ચાલો વિચાર કરીએ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ(SLAU) પ્રમાણમાં nઅજ્ઞાત x 1 , x 2 , ..., x n :
"સંકુચિત" સ્વરૂપમાં આ સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
એસ n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
મેટ્રિક્સ ગુણાકારના નિયમ અનુસાર, ગણવામાં આવેલ સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોમાં લખી શકાય છે મેટ્રિક્સ ફોર્મ Ax=b, ક્યાં
,
,.
મેટ્રિક્સ એ, જેનાં સ્તંભો અનુરૂપ અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે, અને પંક્તિઓ અનુરૂપ સમીકરણમાં અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે તેને કહેવાય છે. સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ. કૉલમ મેટ્રિક્સ b, જે તત્વો સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુ છે, તેને જમણી બાજુનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે અથવા ફક્ત સિસ્ટમની જમણી બાજુ. કૉલમ મેટ્રિક્સ x , જેના તત્વો અજ્ઞાત અજ્ઞાત છે, કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન.
ફોર્મમાં લખેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ Ax=b, છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ.
જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ બિન-અધોગતિ, પછી તેણી પાસે છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સઅને પછી સિસ્ટમનો ઉકેલ Ax=bસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
x=A -1 b.
ઉદાહરણસિસ્ટમ ઉકેલો 
મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.
ઉકેલચાલો સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ
ચાલો પ્રથમ લીટી સાથે વિસ્તરણ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
કારણ કે Δ ≠ 0 , તે એ -1 અસ્તિત્વમાં છે.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું હતું.
ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ 
આથી, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
પરીક્ષા: 
7. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા પર ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમફોર્મ ધરાવે છે:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
અહીં a i j અને b i ( i = ; j = ) આપેલ છે, અને x j અજાણી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. મેટ્રિસીસના ઉત્પાદનની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સિસ્ટમ (5.1) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
જ્યાં A = (a i j) એ અજ્ઞાત સિસ્ટમ (5.1) માટે ગુણાંક ધરાવતું મેટ્રિક્સ છે, જેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T એ અનુક્રમે અજાણ્યા x j અને મુક્ત શબ્દો b i થી બનેલા કૉલમ વેક્ટર છે.
ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ nવાસ્તવિક સંખ્યાઓ (c 1, c 2,..., c n) કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન(5.1), જો અનુરૂપ ચલ x 1, x 2,..., x n ને બદલે આ સંખ્યાઓને બદલવાના પરિણામે, સિસ્ટમનું દરેક સમીકરણ અંકગણિત ઓળખમાં ફેરવાય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ત્યાં વેક્ટર C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T હોય તો AC B.
સિસ્ટમ (5.1) કહેવાય છે સંયુક્તઅથવા ઉકેલી શકાય તેવું,જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. સિસ્ટમ કહેવાય છે અસંગત,અથવા વણઉકેલાયેલ, જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.
,
જમણી બાજુના મેટ્રિક્સ A ને મફત શબ્દોની કૉલમ સોંપીને રચાયેલ કહેવાય છે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ.
સિસ્ટમની સુસંગતતાનો પ્રશ્ન (5.1) નીચેના પ્રમેય દ્વારા હલ થાય છે.
ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય . રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે જો અને માત્ર જો મેટ્રિસિસ A અને A ની રેન્ક એકરૂપ થાય, એટલે કે. r(A) = r(A) = r.
સિસ્ટમ (5.1) ના ઉકેલોના સમૂહ M માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે:
1) M = (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ અસંગત છે);
2) M એક તત્વ ધરાવે છે, એટલે કે. સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ);
3) M એક કરતાં વધુ તત્વ ધરાવે છે (પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે અનિશ્ચિત). ત્રીજા કિસ્સામાં, સિસ્ટમ (5.1) પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.
જો r(A) = n હોય તો જ સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા (mn) કરતાં ઓછી નથી; જો m>n, તો m-n સમીકરણોઅન્યના પરિણામો છે. જો 0 રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, તમારે એવી પ્રણાલીઓને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે - કહેવાતા ક્રેમર પ્રકારની સિસ્ટમો: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . સિસ્ટમ્સ (5.3) નીચેનામાંથી એક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે: 1) ગૌસ પદ્ધતિ, અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ; 2) ક્રેમરના સૂત્રો અનુસાર; 3) મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. ઉદાહરણ 2.12. સમીકરણોની સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને જો તે સુસંગત હોય તો તેને હલ કરો: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. ઉકેલ.અમે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:
ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી કરીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના ડાબા ખૂણામાં બીજા-ક્રમના નાના = 7 0; તે ધરાવતા ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્યના બરાબર છે: પરિણામે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે, એટલે કે. r(A) = 2. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ A ના ક્રમની ગણતરી કરવા માટે, કિનારી નાનાને ધ્યાનમાં લો આનો અર્થ છે કે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ r(A) = 3. r(A) r(A) હોવાથી, સિસ્ટમ અસંગત છે. પ્રથમ ભાગમાં, અમે કેટલીક સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી, અવેજી પદ્ધતિ, તેમજ સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિ પર ધ્યાન આપ્યું. હું દરેકને ભલામણ કરું છું કે જેણે આ પૃષ્ઠ દ્વારા સાઇટને ઍક્સેસ કરી હોય તે પ્રથમ ભાગ વાંચે. કદાચ કેટલાક મુલાકાતીઓને સામગ્રી ખૂબ જ સરળ લાગશે, પરંતુ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં, મેં સામાન્ય રીતે ગાણિતિક સમસ્યાઓના ઉકેલ અંગે ઘણી મહત્વપૂર્ણ ટિપ્પણીઓ અને તારણો કર્યા છે. હવે આપણે ક્રેમરના નિયમનું વિશ્લેષણ કરીશું, તેમજ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ (મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીશું. બધી સામગ્રીઓ સરળ રીતે, વિગતવાર અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે; પ્રથમ, આપણે બે અજ્ઞાતમાં બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને નજીકથી જોઈશું. શેના માટે? – છેવટે, શાળા પદ્ધતિ, ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૌથી સરળ સિસ્ટમ ઉકેલી શકાય છે! હકીકત એ છે કે કેટલીકવાર, પરંતુ કેટલીકવાર એવું કાર્ય હોય છે - ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને બે અજાણ્યા સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે. બીજું, એક સરળ ઉદાહરણ તમને વધુ જટિલ કેસ માટે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે સમજવામાં મદદ કરશે - ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ. વધુમાં, બે ચલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો છે, જે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવા માટે સલાહભર્યું છે! સમીકરણોની સિસ્ટમનો વિચાર કરો પ્રથમ પગલા પર, અમે નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ, તેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનો મુખ્ય નિર્ણાયક. ગૌસ પદ્ધતિ. જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ બે નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ: વ્યવહારમાં, ઉપરોક્ત ક્વોલિફાયર્સને લેટિન અક્ષર દ્વારા પણ સૂચવી શકાય છે. અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ: ઉદાહરણ 7 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો ઉકેલ: આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણના ગુણાંક ખૂબ મોટા છે જમણી બાજુએ અલ્પવિરામ સાથે દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે. ગણિતના વ્યવહારિક કાર્યોમાં અલ્પવિરામ એ એક દુર્લભ અતિથિ છે; આવી સિસ્ટમ કેવી રીતે ઉકેલવી? તમે એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો, પરંતુ આ કિસ્સામાં તમે કદાચ ભયંકર ફેન્સી અપૂર્ણાંકો સાથે સમાપ્ત થશો જેની સાથે કામ કરવા માટે અત્યંત અસુવિધાજનક છે, અને સોલ્યુશનની ડિઝાઇન ફક્ત ભયંકર દેખાશે. તમે બીજા સમીકરણને 6 વડે ગુણાકાર કરી શકો છો અને પદ વડે અવધિ બાદ કરી શકો છો, પરંતુ અહીં પણ તે જ અપૂર્ણાંકો ઊભા થશે. શુ કરવુ? આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રેમરના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ; ; જવાબ આપો: , બંને મૂળમાં અનંત પૂંછડીઓ છે અને તે લગભગ જોવા મળે છે, જે અર્થમિતિની સમસ્યાઓ માટે તદ્દન સ્વીકાર્ય (અને સામાન્ય પણ) છે. અહીં ટિપ્પણીઓની જરૂર નથી, કારણ કે કાર્ય તૈયાર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જો કે, એક ચેતવણી છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ફરજિયાતકાર્ય ડિઝાઇનનો ટુકડો નીચેનો ટુકડો છે: "આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે". નહિંતર, સમીક્ષક તમને ક્રેમરના પ્રમેયના અનાદર બદલ સજા કરી શકે છે. તે તપાસવું અનાવશ્યક રહેશે નહીં, જે કેલ્ક્યુલેટર પર સરળતાથી હાથ ધરવામાં આવી શકે છે: અમે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણની ડાબી બાજુએ અંદાજિત મૂલ્યોને બદલીએ છીએ. પરિણામે, નાની ભૂલ સાથે, તમારે જમણી બાજુઓ પર હોય તેવા નંબરો મેળવવું જોઈએ. ઉદાહરણ 8 જવાબ સામાન્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રજૂ કરો. ચેક કરો. આ તમારા માટે જાતે ઉકેલવા માટેનું ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનું ઉદાહરણ અને પાઠના અંતે જવાબ). ત્રણ અજ્ઞાત સાથેના ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ક્રેમરના નિયમને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ: અમે સિસ્ટમના મુખ્ય નિર્ણાયકને શોધીએ છીએ: જો , તો સિસ્ટમ પાસે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો છે અથવા તે અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી). આ કિસ્સામાં, ક્રેમરનો નિયમ મદદ કરશે નહીં, તમારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. જો , તો સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે અને મૂળ શોધવા માટે આપણે વધુ ત્રણ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવી જોઈએ: અને અંતે, જવાબની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: જેમ તમે જોઈ શકો છો, “ત્રણ બાય ત્રણ” કેસ મૂળભૂત રીતે “બે બાય બે” કેસથી અલગ નથી; ઉદાહરણ 9 ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો. ઉકેલ: ચાલો ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલીએ. જવાબ આપો: વાસ્તવમાં, અહીં ફરીથી ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી, કારણ કે ઉકેલ તૈયાર ફોર્મ્યુલાને અનુસરે છે. પરંતુ ત્યાં એક દંપતિ ટિપ્પણીઓ છે. એવું બને છે કે ગણતરીઓના પરિણામે, "ખરાબ" અફર અપૂર્ણાંક પ્રાપ્ત થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે: . 1) ગણતરીમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જલદી તમે "ખરાબ" અપૂર્ણાંકનો સામનો કરો છો, તમારે તરત જ તપાસ કરવાની જરૂર છે શું સ્થિતિ યોગ્ય રીતે ફરીથી લખાઈ છે?. જો શરત ભૂલો વિના ફરીથી લખવામાં આવે છે, તો તમારે બીજી પંક્તિ (કૉલમ) માં વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારકોની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર છે. 2) જો ચકાસણીના પરિણામે કોઈ ભૂલો ઓળખવામાં આવતી નથી, તો સંભવતઃ કાર્યની પરિસ્થિતિઓમાં ટાઇપ કરવામાં આવી હતી. આ કિસ્સામાં, શાંતિથી અને કાળજીપૂર્વક કાર્ય દ્વારા અંત સુધી કાર્ય કરો, અને પછી તપાસવાની ખાતરી કરોઅને અમે નિર્ણય પછી તેને સ્વચ્છ શીટ પર દોરીએ છીએ. અલબત્ત, આંશિક જવાબ ચકાસવું એ એક અપ્રિય કાર્ય છે, પરંતુ તે શિક્ષક માટે નિઃશસ્ત્ર દલીલ હશે, જે ખરેખર કોઈપણ બુલશીટ માટે માઈનસ આપવાનું પસંદ કરે છે. અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવું તે ઉદાહરણ 8 ના જવાબમાં વિગતવાર વર્ણવેલ છે. જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર છે, તો પછી તપાસવા માટે સ્વચાલિત પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરો, જે પાઠની શરૂઆતમાં જ મફતમાં ડાઉનલોડ કરી શકાય છે. માર્ગ દ્વારા, પ્રોગ્રામનો તરત જ ઉપયોગ કરવો સૌથી વધુ નફાકારક છે (સોલ્યુશન શરૂ કરતા પહેલા પણ તમે તરત જ મધ્યવર્તી પગલું જોશો જ્યાં તમે ભૂલ કરી છે! સમાન કેલ્ક્યુલેટર મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના ઉકેલની આપમેળે ગણતરી કરે છે. બીજી ટીકા. સમયાંતરે સમીકરણોમાં એવી પ્રણાલીઓ હોય છે કે જેમાં કેટલાક ચલો ખૂટે છે, ઉદાહરણ તરીકે: ઉદાહરણ 10 ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને ઉકેલો. સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે આ એક ઉદાહરણ છે (અંતિમ ડિઝાઇનનો નમૂનો અને પાઠના અંતે જવાબ). 4 અજ્ઞાત સાથે 4 સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં, ક્રેમરના સૂત્રો સમાન સિદ્ધાંતો અનુસાર લખવામાં આવે છે. તમે નિર્ધારકોના ગુણધર્મો પાઠમાં જીવંત ઉદાહરણ જોઈ શકો છો. નિર્ણાયકનો ક્રમ ઘટાડવો - પાંચ ચોથા ક્રમના નિર્ધારકો તદ્દન ઉકેલી શકાય તેવા છે. જો કે કાર્ય પહેલાથી જ નસીબદાર વિદ્યાર્થીની છાતી પર પ્રોફેસરના જૂતાની યાદ અપાવે છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે એક ખાસ કેસ છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ(નિર્દિષ્ટ પાઠનું ઉદાહરણ નંબર 3 જુઓ). આ વિભાગનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે નિર્ણાયકોને વિસ્તૃત કરવા, મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધવા અને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. સમજૂતીની પ્રગતિ સાથે સંબંધિત લિંક્સ પ્રદાન કરવામાં આવશે. ઉદાહરણ 11 મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલો ઉકેલચાલો સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખીએ: કૃપા કરીને સમીકરણો અને મેટ્રિસિસની સિસ્ટમ જુઓ. મને લાગે છે કે દરેક જણ તે સિદ્ધાંતને સમજે છે જેના દ્વારા આપણે ઘટકોને મેટ્રિસિસમાં લખીએ છીએ. એકમાત્ર ટિપ્પણી: જો સમીકરણોમાંથી કેટલાક ચલો ખૂટે છે, તો શૂન્યને મેટ્રિક્સમાં અનુરૂપ સ્થાનો પર મૂકવા પડશે. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ: પ્રથમ, ચાલો નિર્ણાયક જોઈએ: અહીં નિર્ણાયક પ્રથમ લીટી પર વિસ્તૃત છે. ધ્યાન આપો! જો , તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી, અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી અશક્ય છે. આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમ અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ (ગૌસ પદ્ધતિ) દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે. હવે આપણે 9 સગીરોની ગણતરી કરવાની અને તેમને સગીર મેટ્રિક્સમાં લખવાની જરૂર છે સંદર્ભ:રેખીય બીજગણિતમાં ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટનો અર્થ જાણવો ઉપયોગી છે. પ્રથમ અંક એ રેખાની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે. બીજો અંક એ સ્તંભની સંખ્યા છે જેમાં તત્વ સ્થિત છે: nમા ક્રમનો ચોરસ મેટ્રિક્સ હોવા દો મેટ્રિક્સ A-1 કહેવાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સમેટ્રિક્સ A ના સંબંધમાં, જો A*A -1 = E, જ્યાં E એ nમા ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. ઓળખ મેટ્રિક્સ- આવા ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણ સાથેના તમામ તત્વો, ઉપરના ડાબા ખૂણાથી નીચેના જમણા ખૂણે પસાર થાય છે, તે એક છે, અને બાકીના શૂન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે: વ્યસ્ત મેટ્રિક્સઅસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે માત્ર ચોરસ મેટ્રિસ માટેતે તે મેટ્રિસિસ માટે કે જેમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા એકરૂપ થાય છે. મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોય તે માટે, તે બિન-એકવચન હોવું જરૂરી અને પૂરતું છે. મેટ્રિક્સ A = (A1, A2,...A n) કહેવાય છે બિન-અધોગતિ, જો કૉલમ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય. મેટ્રિક્સના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ વેક્ટર્સની સંખ્યાને મેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વ માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના પરિમાણની સમાન હોય, એટલે કે. r = n. મેટ્રિક્સ A માટે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 શોધો ઉકેલ: અમે મેટ્રિક્સ A લખીએ છીએ અને ઓળખ મેટ્રિક્સ E ને જમણી બાજુએ સોંપીએ છીએ, જોર્ડન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ A ને ઓળખ મેટ્રિક્સ E માં ઘટાડીએ છીએ. ગણતરીઓ કોષ્ટક 31.1 માં આપવામાં આવી છે. ચાલો મૂળ મેટ્રિક્સ A અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 નો ગુણાકાર કરીને ગણતરીની સાચીતા તપાસીએ. મેટ્રિક્સ ગુણાકારના પરિણામે, ઓળખ મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવ્યું હતું. તેથી, ગણતરીઓ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવી હતી. જવાબ: મેટ્રિક્સ સમીકરણો આના જેવા દેખાઈ શકે છે: AX = B, HA = B, AXB = C, જ્યાં A, B, C એ ઉલ્લેખિત મેટ્રિક્સ છે, X એ ઇચ્છિત મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ સમીકરણો સમીકરણને વ્યસ્ત મેટ્રિસિસ દ્વારા ગુણાકાર કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણમાંથી મેટ્રિક્સ શોધવા માટે, તમારે આ સમીકરણને ડાબી બાજુએ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. તેથી, સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની અને તેને સમીકરણની જમણી બાજુના મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અન્ય સમીકરણો પણ એ જ રીતે ઉકેલાય છે. AX = B જો સમીકરણ ઉકેલો ઉકેલ: વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સમાન હોવાથી (ઉદાહરણ 1 જુઓ) અન્ય લોકો સાથે, તેઓ પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ. આ પદ્ધતિઓ રેખીય અને વેક્ટર-મેટ્રિક્સ બીજગણિત પર આધારિત છે. જટિલ અને બહુપરિમાણીય આર્થિક ઘટનાઓનું વિશ્લેષણ કરવાના હેતુઓ માટે આવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે, જ્યારે સંસ્થાઓની કામગીરી અને તેમના માળખાકીય વિભાગોનું તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી હોય ત્યારે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાની પ્રક્રિયામાં, ઘણા તબક્કાઓને અલગ કરી શકાય છે. પ્રથમ તબક્કેઆર્થિક સૂચકાંકોની એક સિસ્ટમ બનાવવામાં આવી રહી છે અને તેના આધારે પ્રારંભિક ડેટાનું મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે, જે એક કોષ્ટક છે જેમાં સિસ્ટમ નંબરો તેની વ્યક્તિગત પંક્તિઓમાં બતાવવામાં આવે છે. (i = 1,2,....,n), અને ઊભી કૉલમમાં - સૂચકોની સંખ્યા (j = 1,2, ....,m). બીજા તબક્કેદરેક વર્ટિકલ કૉલમ માટે, ઉપલબ્ધ સૂચક મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટાને ઓળખવામાં આવે છે, જે એક તરીકે લેવામાં આવે છે. આ પછી, આ સ્તંભમાં પ્રતિબિંબિત થતી તમામ રકમને સૌથી મોટા મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને પ્રમાણિત ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ રચાય છે. ત્રીજા તબક્કેમેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ચોરસ છે. જો તેમનું અલગ મહત્વ હોય, તો દરેક મેટ્રિક્સ સૂચકને ચોક્કસ વજન ગુણાંક સોંપવામાં આવે છે k. બાદમાંનું મૂલ્ય નિષ્ણાતના અભિપ્રાય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. છેલ્લા એક પર, ચોથો તબક્કોરેટિંગ મૂલ્યો મળ્યાં આર જેતેમના વધારો અથવા ઘટાડાના ક્રમમાં જૂથ થયેલ છે. દર્શાવેલ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ રોકાણ પ્રોજેક્ટ્સના તુલનાત્મક વિશ્લેષણમાં, તેમજ સંસ્થાઓની પ્રવૃત્તિઓના અન્ય આર્થિક સૂચકાંકોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે. (કેટલીકવાર આ પદ્ધતિને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા વિપરિત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે) SLAE ના નોટેશનના મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ જેવા ખ્યાલ સાથે પ્રારંભિક પરિચયની જરૂર છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની તે સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે બનાવાયેલ છે જેમાં સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે. સ્વાભાવિક રીતે, આ ધારે છે કે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ ચોરસ છે (નિર્ધારકની વિભાવના ફક્ત ચોરસ મેટ્રિસિસ માટે અસ્તિત્વમાં છે). વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો સાર ત્રણ બિંદુઓમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે: કોઈપણ SLAE ને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં $A\cdot X=B$ તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં $A$ એ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ છે, $B$ એ ફ્રી ટર્મ્સનું મેટ્રિક્સ છે, $X$ એ અજાણ્યાઓનું મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ ને અસ્તિત્વમાં રહેવા દો. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુએ $A\cdot X=B$ ને ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સ $A^(-1)$ વડે ગુણાકાર કરીએ: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ કારણ કે $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે), ઉપર લખેલી સમાનતા બને છે: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $E\cdot X=X$ થી, પછી: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ ઉદાહરણ નંબર 1 વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ ઉકેલો. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(એરે)\જમણે). $$ ચાલો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ, એટલે કે. ચાલો $A^(-1)$ ની ગણતરી કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે નંબર 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(એરે)\જમણે) . $$ હવે ચાલો ત્રણેય મેટ્રિસિસ ($X$, $A^(-1)$, $B$) ને સમાનતા $X=A^(-1)\cdot B$ માં બદલીએ. પછી અમે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરીએ છીએ $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 અને -5\end(એરે)\જમણે)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(એરે)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(એરે) (c) -3\\ 2\end(એરે)\જમણે). $$ તેથી, અમને સમાનતા મળી $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( એરે )\જમણે)$. આ સમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: $x_1=-3$, $x_2=2$. જવાબ આપો: $x_1=-3$, $x_2=2$. ઉદાહરણ નંબર 2 SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6 ઉકેલો. \end(સંરેખિત)\જમણે .$ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ $A$, મફત શબ્દોનું મેટ્રિક્સ $B$ અને અજાણ્યાનું મેટ્રિક્સ $X$ લખીએ. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(એરે)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(એરે)\જમણે);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\જમણે). $$ હવે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનો વારો છે, એટલે કે. $A^(-1)$ શોધો. દાખલા નંબર 3 માં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે સમર્પિત પૃષ્ઠ પર, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પહેલેથી જ મળી આવ્યું છે. ચાલો તૈયાર પરિણામનો ઉપયોગ કરીએ અને $A^(-1)$ લખીએ: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 અને 37\અંત(એરે)\જમણે). $$ હવે ચાલો ત્રણેય મેટ્રિક્સ ($X$, $A^(-1)$, $B$) ને સમાનતામાં બદલીએ $X=A^(-1)\cdot B$, અને પછી જમણી બાજુએ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરીએ આ સમાનતા. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 અને -5 અને 1 \\ 8 અને 2 અને -16 \\ -12 અને -3 અને 37\અંત(એરે) \જમણે)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(એરે)\જમણે)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(એરે)\જમણે)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(એરે)\right)=\left( \begin(એરે) (c) 0\\-4\\9\end(એરે)\જમણે) $$ તેથી, અમને સમાનતા મળી $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(એરે)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\અંત(એરે)\જમણે)$. આ સમાનતામાંથી આપણી પાસે છે: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. આ એક ખ્યાલ છે જે મેટ્રિસિસ સાથે કરવામાં આવતી તમામ સંભવિત કામગીરીને સામાન્ય બનાવે છે. ગાણિતિક મેટ્રિક્સ - તત્વોનું કોષ્ટક. એક ટેબલ વિશે જ્યાં mરેખાઓ અને nકૉલમ, આ મેટ્રિક્સને પરિમાણ હોવાનું કહેવાય છે mપર n. મેટ્રિક્સનું સામાન્ય દૃશ્ય: માટે મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન્સમેટ્રિક્સ શું છે તે સમજવું અને તેના મુખ્ય પરિમાણોને જાણવું જરૂરી છે. મેટ્રિક્સના મુખ્ય ઘટકો: મેટ્રિસિસના મુખ્ય પ્રકારો: મેટ્રિક્સ મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. એટલે કે, જો a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, પછી મેટ્રિક્સ મુખ્ય કર્ણ વિશે સપ્રમાણ છે. માત્ર ચોરસ મેટ્રિસિસ સપ્રમાણ હોઈ શકે છે. લગભગ બધા મેટ્રિક્સ ઉકેલ પદ્ધતિઓતેના નિર્ણાયક શોધવામાં સમાવિષ્ટ છે n-મો ક્રમ અને તેમાંના મોટા ભાગના તદ્દન બોજારૂપ છે. 2જી અને 3જી ક્રમના નિર્ણાયકને શોધવા માટે અન્ય, વધુ તર્કસંગત પદ્ધતિઓ છે. મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવા માટે એ 2જી ક્રમમાં, મુખ્ય કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનમાંથી ગૌણ કર્ણના તત્વોના ઉત્પાદનને બાદ કરવું જરૂરી છે: નીચે 3જી ક્રમ નિર્ધારક શોધવા માટેના નિયમો છે. એક તરીકે ત્રિકોણનો સરળ નિયમ મેટ્રિક્સ ઉકેલ પદ્ધતિઓ, આ રીતે ચિત્રિત કરી શકાય છે: બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રથમ નિર્ણાયકમાં તત્વોનું ઉત્પાદન જે સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલ છે તે "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે; ઉપરાંત, 2જી નિર્ણાયક માટે, અનુરૂપ ઉત્પાદનો "-" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, નીચેની યોજના અનુસાર: મુ સરરસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિસીસ ઉકેલવા, નિર્ણાયકની જમણી બાજુએ, પ્રથમ 2 કૉલમ ઉમેરો અને અનુરૂપ તત્વોના ઉત્પાદનો મુખ્ય કર્ણ પર અને તેની સમાંતર કર્ણ પર "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે; અને ગૌણ કર્ણના અનુરૂપ તત્વોના ઉત્પાદનો અને તેની સમાંતર કર્ણ "-" ચિહ્ન સાથે: મેટ્રિસિસ હલ કરતી વખતે એક પંક્તિ અથવા કૉલમમાં નિર્ણાયકનું વિઘટન કરવું. નિર્ણાયક એ નિર્ણાયકની પંક્તિના ઘટકોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને તેમના બીજગણિતીય પૂરક સમાન છે. સામાન્ય રીતે પંક્તિ/કૉલમ કે જેમાં શૂન્ય હોય છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. પંક્તિ અથવા કૉલમ કે જેની સાથે વિઘટન હાથ ધરવામાં આવે છે તે તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. મેટ્રિસિસ હલ કરતી વખતે નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવું. મુ મેટ્રિક્સ ઉકેલવાનિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પદ્ધતિ, તેઓ આ રીતે કાર્ય કરે છે: પંક્તિઓ અથવા કૉલમ્સ પરના સરળ પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, નિર્ણાયક સ્વરૂપમાં ત્રિકોણાકાર બને છે અને પછી નિર્ણાયકના ગુણધર્મો અનુસાર તેનું મૂલ્ય, ઉત્પાદનની સમાન હશે. મુખ્ય કર્ણ પર હોય તેવા તત્વોમાંથી. મેટ્રિસીસ ઉકેલવા માટે લેપ્લેસનું પ્રમેય. લેપ્લેસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિસીસ ઉકેલતી વખતે, તમારે પ્રમેયને જ જાણવાની જરૂર છે. લેપ્લેસનું પ્રમેય: ચાલો Δ
- આ એક નિર્ણાયક છે n-મો ઓર્ડર. અમે કોઈપણ પસંદ કરીએ છીએ kપંક્તિઓ (અથવા કૉલમ), પ્રદાન કરેલ છે k≤
n - 1. આ કિસ્સામાં, તમામ સગીરોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો k-પસંદ કરેલમાં સમાયેલ છે kપંક્તિઓ (સ્તંભો), તેમના બીજગણિતીય પૂરક દ્વારા નિર્ણાયક સમાન હશે. માટે ક્રિયાઓનો ક્રમ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન્સ: માટે મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ્સના ઉકેલોગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે. ગૌસ પદ્ધતિ એ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (SLAEs) ની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ છે અને તેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે ચલોને ક્રમિક રીતે દૂર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પ્રાથમિક ફેરફારોની મદદથી, સમીકરણોની સિસ્ટમને સમકક્ષ ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમમાં લાવવામાં આવે છે અને તેમાંથી, ક્રમશઃ, બાદમાં (સંખ્યા દ્વારા) થી શરૂ કરીને, સિસ્ટમના દરેક તત્વને શોધો. ગૌસ પદ્ધતિમેટ્રિક્સ સોલ્યુશન્સ શોધવા માટેનું સૌથી સર્વતોમુખી અને શ્રેષ્ઠ સાધન છે. જો સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો હોય અથવા સિસ્ટમ અસંગત હોય, તો તેને ક્રેમરના નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરી શકાતી નથી. ગૌસ પદ્ધતિમાં પ્રત્યક્ષ (વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું, એટલે કે, મુખ્ય કર્ણ હેઠળ શૂન્ય મેળવવું) અને રિવર્સ (વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણની ઉપર શૂન્ય મેળવવું)નો પણ અર્થ થાય છે. આગળ ચાલ એ ગૌસ પદ્ધતિ છે, વિપરીત ચાલ એ ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ છે. ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિ માત્ર ચલોને દૂર કરવાના ક્રમમાં ગૌસ પદ્ધતિથી અલગ છે.
.
અને
, 
, 
, 
, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.
.
હું નીચેના "સારવાર" અલ્ગોરિધમની ભલામણ કરું છું. જો તમારી પાસે કમ્પ્યુટર નથી, તો આ કરો:
અહીં પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ ચલ નથી, બીજામાં કોઈ ચલ નથી. આવા કિસ્સાઓમાં, મુખ્ય નિર્ણાયકને યોગ્ય રીતે અને કાળજીપૂર્વક લખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: 
- ગુમ થયેલ ચલોની જગ્યાએ શૂન્ય મૂકવામાં આવે છે.
માર્ગ દ્વારા, તે પંક્તિ (કૉલમ) અનુસાર શૂન્ય સાથે નિર્ધારકો ખોલવા માટે તર્કસંગત છે જેમાં શૂન્ય સ્થિત છે, કારણ કે ત્યાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી ગણતરીઓ છે.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવી
, ક્યાં 
, મેટ્રિક્સના અનુરૂપ તત્વોના બીજગણિતીય પૂરકનું સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ ક્યાં છે.
એટલે કે, ડબલ સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે તત્વ પ્રથમ પંક્તિ, ત્રીજી કૉલમમાં છે અને, ઉદાહરણ તરીકે, તત્વ 3 પંક્તિ, 2 કૉલમમાં છે.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની અસ્તિત્વ સ્થિતિ માટે પ્રમેય
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ
ઉદાહરણ 1 
મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલવા
આર્થિક વિશ્લેષણમાં મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ
મેટ્રિસિસ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.
2જી ક્રમ નિર્ધારકો શોધવી.
3જી ક્રમ નિર્ધારકો શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું નિરાકરણ.
મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ્સ ઉકેલવા.
