ઘર પ્રોસ્થેટિક્સ અને ઇમ્પ્લાન્ટેશન Bernoulli સમીકરણ ઓનલાઇન. પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો અને બર્નૌલી સમીકરણ

પ્રોસ્થેટિક્સ અને ઇમ્પ્લાન્ટેશન

Bernoulli સમીકરણ ઓનલાઇન. પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો અને બર્નૌલી સમીકરણ

બર્નૌલીનું વિભેદક સમીકરણ છે ફોર્મનું સમીકરણ

જ્યાં n≠0, n≠1.

આ સમીકરણને અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે

રેખીય સમીકરણમાં

વ્યવહારમાં, બર્નૌલીના વિભેદક સમીકરણને સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવતું નથી, પરંતુ રેખીય સમીકરણ જેવી જ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તરત જ ઉકેલવામાં આવે છે - કાં તો બર્નૌલીની પદ્ધતિ અથવા મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ.

ચાલો જોઈએ કે કેવી રીતે અવેજી y=uv (બર્નૌલીની પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને બર્નૌલીના વિભેદક સમીકરણને હલ કરવું. ઉકેલ યોજના માટે સમાન છે.

ઉદાહરણો. સમીકરણો ઉકેલો:

1) y’x+y=-xy².

આ બર્નૌલીનું વિભેદક સમીકરણ છે. ચાલો તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ. આ કરવા માટે, બંને ભાગોને x દ્વારા વિભાજીત કરો: y’+y/x=-y². અહીં p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. પરંતુ આપણે તેને હલ કરવાની જરૂર નથી પ્રમાણભૂત દૃશ્ય. અમે શરતમાં આપેલા રેકોર્ડિંગ ફોર્મ સાથે કામ કરીશું.

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, જ્યાં u=u(x) અને v=v(x) એ x ના કેટલાક નવા કાર્યો છે. પછી y’=(uv)’=u’v+v’u. અમે પરિણામી સમીકરણોને શરતમાં બદલીએ છીએ: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) ચાલો કૌંસ ખોલીએ: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². હવે ચાલો શબ્દોને v સાથે જૂથબદ્ધ કરીએ: v+v’ux=-xu²v² (I) (આપણે ડિગ્રી v સાથે શબ્દને સ્પર્શતા નથી, જે સમીકરણની જમણી બાજુએ છે). હવે આપણને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: u’x+u=0. અને આ વિભાજિત ચલ u અને x સાથેનું સમીકરણ છે. તેને હલ કર્યા પછી, અમે તમને શોધીશું. અમે u=du/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ: x·du/dx=-u. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને xu≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

(યુ સી શોધીએ ત્યારે આપણે તેને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ).

3) સમીકરણ (I) માં આપણે =0 અને મળેલ ફંક્શન u=1/x બદલીએ છીએ. આપણી પાસે સમીકરણ છે: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². સરળીકરણ પછી: v’=-(1/x)·v². આ વિભાજિત ચલ v અને x સાથેનું સમીકરણ છે. અમે v’=dv/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ: dv/dx=-(1/x)·v². આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને v²≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

(અમે -C લીધો જેથી કરીને, બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે માઈનસથી છુટકારો મેળવી શકીએ). તેથી, (-1) વડે ગુણાકાર કરો:

(કોઈ C નહીં, પરંતુ ln│C│ લઈ શકે છે, અને આ કિસ્સામાં તે v=1/ln│Cx│ હશે).

2) 2y’+2y=xy².

ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે. બંને ભાગોને 2 વડે ભાગતા, આપણને y’+y=(x/2) y² મળે છે. અહીં p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. અમે બર્નૌલીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ.

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, y’=u’v+v’u. અમે આ સમીકરણોને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) કૌંસ ખોલો: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². હવે ચાલો v: +2v’u=xu²v² (II) ધરાવતા શબ્દોનું જૂથ કરીએ. અમને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: 2u’+2u=0, તેથી u’+u=0. આ u અને x માટે અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે. ચાલો તેને હલ કરીએ અને તમને શોધીએ. અમે u’=du/dx ને બદલીએ છીએ, જ્યાંથી du/dx=-u. સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર અને u≠0 વડે ભાગાકાર કરવાથી, આપણને મળશે: du/u=-dx. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

3) (II) =0 અને માં અવેજી

હવે આપણે v’=dv/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકૃત કરીએ:

સમાનતાની ડાબી બાજુ એક ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ છે, જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

અમારી પાસેના ભાગો સૂત્ર દ્વારા સંકલનનો ઉપયોગ કરીને મળેલા v અને du ને બદલીને:

અને ત્યારથી

ચાલો C=-C બનાવીએ:

4) y=uv થી, અમે મળેલા ફંક્શન્સ u અને v ને બદલીએ છીએ:

3) સમીકરણ x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 એકીકૃત કરો.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને x²(x-1)≠0 વડે વિભાજીત કરીએ અને y² સાથેના શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, y’=u’v+v’u. હંમેશની જેમ, અમે આ અભિવ્યક્તિઓને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) તેથી x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². અમે v (v² - સ્પર્શ કરશો નહીં):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). હવે આપણને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, તેથી x²(x-1)u’=x(x-2)u. સમીકરણમાં આપણે u અને x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u ને અલગ કરીએ છીએ. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને x²(x-1)u≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

સમીકરણની ડાબી બાજુએ ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ છે. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકજમણી બાજુએ તમારે સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન કરવાની જરૂર છે:

x=1: 1-2=A·0+B·1 પર, જ્યાંથી B=-1.

x=0 પર: 0-2=A(0-1)+B·0, જ્યાંથી A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. લઘુગણકના ગુણધર્મો અનુસાર: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, જ્યાંથી u=x²/(x-1).

3) સમાનતા (III) માં આપણે =0 અને u=x²/(x-1) ને બદલીએ છીએ. અમને મળે છે: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, અવેજી:

C ને બદલે, અમે - C લઈએ છીએ, જેથી કરીને, બંને બાજુઓને (-1) વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે બાદબાકીથી છૂટકારો મેળવીએ:

ચાલો હવે જમણી બાજુના સમીકરણોને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ અને v શોધીએ:

4) y=uv થી, મળેલ ફંક્શન્સ u અને v ને બદલે, આપણને મળે છે:

સ્વ-પરીક્ષણ ઉદાહરણો:

1) ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે. બંને બાજુઓને x દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણી પાસે છે:

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, જ્યાંથી y’=u’v+v’u. અમે આ y અને y ને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ:

2) v સાથે શરતોનું જૂથ બનાવો:

હવે અમને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય અને તમને આ સ્થિતિમાંથી શોધો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:

3) સમીકરણ (*) માં આપણે =0 અને u=1/x² બદલીએ છીએ:

ચાલો પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ.

રેખીય વિભેદક સમીકરણો 1 લી ઓર્ડર
અને બર્નૌલીનું સમીકરણ

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જે અજાણ્યા કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં રેખીય છે. એવું લાગે છે

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

જ્યાં p(x) અને q(x) ને x ના ફંક્શન આપવામાં આવ્યા છે, તે પ્રદેશમાં સતત જેમાં સમીકરણ (1) ને એકીકૃત કરવાની જરૂર છે.

જો q(x)\equiv0 હોય, તો સમીકરણ (1) કહેવાય છે રેખીય સજાતીય. તે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ છે અને તેમાં છે સામાન્ય નિર્ણય

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

સામાન્ય નિર્ણય નથી સજાતીય સમીકરણમળી શકે છે મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ, જેમાં એ હકીકત છે કે સમીકરણ (1) નો ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવ્યો છે

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\જમણે), જ્યાં C(x) એ xનું નવું અજ્ઞાત કાર્ય છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો y"+2xy=2xe^(-x^2).

ઉકેલ.ચાલો અચળની વિવિધતાની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ. સજાતીય સમીકરણ y"+2xy=0 ને ધ્યાનમાં લો, આ અસંગત સમીકરણને અનુરૂપ. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ y=Ce^(-x^2) છે.

અમે y=C(x)e^(-x^2) સ્વરૂપમાં અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(x) એ xનું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, આપણને C"(x)=2x મળે છે, જ્યાંથી C(x)=x^2+C. તેથી, અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ હશે y=(x^2+C)e^(-x^2), જ્યાં C એ એકીકરણનો સ્થિરાંક છે.

ટિપ્પણી.તે બહાર આવી શકે છે કે વિભેદક સમીકરણ y ના કાર્ય તરીકે x માં રેખીય છે. આવા સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

ઉકેલ.જો આપણે x ને y ના કાર્ય તરીકે ગણીએ તો આ સમીકરણ રેખીય છે:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

આપણે મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ આપણે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

જે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

અમે ફોર્મમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(y) એ y નું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, અમને મળે છે

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yઅથવા C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

અહીંથી, ભાગો દ્વારા સંકલન, અમારી પાસે છે

\begin(સંરેખિત)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y)\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(સંરેખિત)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

આ સમીકરણને માં બદલીને x=C(y)e^(\sin(y)), અમે મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ, અને તેથી આ સમીકરણ માટે:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

મૂળ સમીકરણ પણ નીચે પ્રમાણે એકીકૃત કરી શકાય છે. અમે માનીએ છીએ

y=u(x)v(x),

જ્યાં u(x) અને v(x) x ના અજાણ્યા કાર્યો છે, જેમાંથી એક, ઉદાહરણ તરીકે v(x), મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

y=u(x)v(x) ને બદલીને, રૂપાંતર પછી આપણને મળે છે

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 શરતમાંથી v(x) નિર્ધારિત કરીએ છીએ, પછી આપણે ત્યાંથી શોધીએ છીએ vu"+(pv+v")u=q(x)ફંક્શન u(x) અને પરિણામે, સમીકરણનો ઉકેલ y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) તરીકે આપણે સમીકરણનો કોઈપણ વારંવાર ઉકેલ લઈ શકીએ છીએ v"+pv=0, ~v\not\equiv0.

ઉદાહરણ 3.કોચી સમસ્યા હલ કરો: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

ઉકેલ.અમે y=u(x)v(x) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ; અમારી પાસે y"=u"v+uv છે. y અને y" માટે અભિવ્યક્તિને બદલીને મૂળ સમીકરણ, હશે

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)અથવા x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

આપણે x(x-1)v"+v=0 શરતમાંથી v=v(x) ફંક્શન શોધીએ છીએ. છેલ્લા સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ લેતા, ઉદાહરણ તરીકે v=\frac(x)(x-1) અને તેને બદલીને, આપણને સમીકરણ u"=2x-1 મળે છે, જેમાંથી આપણને u(x)=x^2-x+C ફંક્શન મળે છે. તેથી, સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)કરશે

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),અથવા y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

પ્રારંભિક સ્થિતિ y|_(x=2)=4 નો ઉપયોગ કરીને, આપણે C શોધવા માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, જ્યાંથી C=0 ; તેથી જણાવેલ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ y=x^2 ફંક્શન હશે.

ઉદાહરણ 4.તે જાણીતું છે કે પ્રતિકાર R અને સ્વ-ઇન્ડક્ટન્સ L ધરાવતા સર્કિટમાં વર્તમાન i અને ઇલેક્ટ્રોમોટિવ બળ E વચ્ચે સંબંધ છે. E=Ri+L\frac(di)(dt), જ્યાં R અને L અચલ છે. જો આપણે E ને સમય t નું કાર્ય ગણીએ, તો આપણે વર્તમાન તાકાત i માટે એક રેખીય અસંગત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

જ્યારે કેસ માટે વર્તમાન તાકાત i(t) શોધો E=E_0=\text(const)અને i(0)=I_0 .

ઉકેલ.અમારી પાસે \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). પ્રારંભિક સ્થિતિ (13) નો ઉપયોગ કરીને, અમે આમાંથી મેળવીએ છીએ C=I_0-\frac(E_0)(R), તેથી ઇચ્છિત ઉકેલ હશે

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\જમણે)\!e^(-(R/L)t).

આ બતાવે છે કે t\to+\infty પર વર્તમાન તાકાત i(t) સ્થિર મૂલ્ય \frac(E_0)(R) તરફ વળે છે.

ઉદાહરણ 5.રેખીય અસંગત સમીકરણ y"+p(x)y=q(x) ના અભિન્ન વણાંકોનો એક કુટુંબ C_\આલ્ફા આપવામાં આવે છે.

બતાવો કે રેખીય સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંક C_\alpha ને અનુરૂપ બિંદુઓ પરના સ્પર્શકો એક બિંદુ પર છેદે છે (ફિગ. 13).

ઉકેલ.બિંદુ M(x,y) પર કોઈપણ વળાંક C_\alpha માટે સ્પર્શકને ધ્યાનમાં લો M(x,y) બિંદુ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

\eta-q(x)(\xi-x)=y, જ્યાં \xi,\eta એ સ્પર્શ બિંદુના વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અનુરૂપ બિંદુઓ પર x સ્થિર છે અને y ચલ છે. કોઈપણ બે સ્પર્શકને અનુરૂપ બિંદુઓ પર C_\alpha રેખાઓ પર લઈ જવાથી, તેમના આંતરછેદના બિંદુ S ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે, આપણે મેળવીએ છીએ

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

આ બતાવે છે કે અનુરૂપ બિંદુઓ (x નિશ્ચિત છે) પર વક્ર C_\આલ્ફાના તમામ સ્પર્શક એક જ બિંદુ પર છેદે છે

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\જમણે).

સિસ્ટમમાં દલીલ x ને દૂર કરીને, આપણે બિંદુઓના સ્થાનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ S\colon f(\xi,\eta)=0.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો y"-y=\cos(x)-\sin(x), શરત સંતોષે છે: y y\to+\infty પર મર્યાદિત છે.

ઉકેલ.આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=Ce^x+\sin(x) છે. C\ne0 માટેના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવેલ સમીકરણનો કોઈપણ ઉકેલ અનબાઉન્ડ હશે, કારણ કે x\to+\infty માટે ફંક્શન \sin(x) બાઉન્ડેડ છે અને e^x\to+\infty. તે અનુસરે છે કે આ સમીકરણમાં એક અનન્ય ઉકેલ y=\sin(x) છે, જે x\to+\infty પર બંધાયેલ છે, જે C=0 પરના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

બર્નૌલીનું સમીકરણ

બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણજેવો દેખાય છે

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, જ્યાં n\ne0;1 (n=0 અને n=1 માટે આ સમીકરણ રેખીય છે).

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટનો ઉપયોગ z=\frac(1)(y^(n-1))બર્નૌલીનું સમીકરણ રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડીને એક રેખીય સમીકરણ તરીકે સંકલિત કરવામાં આવ્યું છે.

ઉદાહરણ 7.બર્નૌલીનું સમીકરણ y"-xy=-xy^3 ઉકેલો.

ઉકેલ.સમીકરણની બંને બાજુઓને y^3 વડે વિભાજીત કરો:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

પરિવર્તનશીલ ફેરફાર કરી રહ્યા છીએ \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", ક્યાં \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). અવેજી પછી, છેલ્લું સમીકરણ રેખીય સમીકરણમાં ફેરવાય છે

-\frac(z")(2)-xz=-xઅથવા z"+2xz=2x, જેનો સામાન્ય ઉકેલ z=1+Ce^(-x^2) છે.

અહીંથી આપણે આ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)અથવા y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

ટિપ્પણી.બર્નૌલીના સમીકરણને રેખીય સમીકરણની જેમ, સ્થિરાંકના ભિન્નતાની પદ્ધતિ દ્વારા અને અવેજી y(x)=u(x)v(x) નો ઉપયોગ કરીને પણ એકીકૃત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 8.બર્નૌલીનું સમીકરણ xy"+y=y^2\ln(x) ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો આપણે મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ xy"+y=0 ના સામાન્ય ઉકેલમાં y=\frac(C)(x) સ્વરૂપ છે. અમે y=\frac(C(x)) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. (x) , જ્યાં C(x) - નવું અજ્ઞાત ફંક્શન મૂળ સમીકરણમાં બદલાઈ રહ્યું છે

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

ફંક્શન C(x) શોધવા માટે, આપણે અલગ કરી શકાય તેવા ચલ સાથેનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાંથી, ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

તેથી, મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

કેટલાક નથી રેખીય સમીકરણોપ્રથમ ક્રમ, ચલોના સફળતાપૂર્વક જોવા મળેલા ફેરફારની મદદથી, રેખીય સમીકરણો અથવા બર્નૌલી સમીકરણોમાં ઘટાડો થાય છે.

ઉદાહરણ 9.સમીકરણ ઉકેલો y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

ઉકેલ.ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિભાજન 2\cos^2\frac(y)(2), અમને મળે છે \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

બદલી \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))આ સમીકરણને રેખીય સુધી ઘટાડે છે \frac(dz)(dx)+z=-x, જેનો સામાન્ય ઉકેલ z=1-x+Ce^(-x) છે.

z ને y ની દ્રષ્ટિએ તેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલીને, આપણે આ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

કેટલાક સમીકરણોમાં, ઇચ્છિત કાર્ય y(x) અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓમાં, ભિન્નતા દ્વારા આ સમીકરણને વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ 10.સમીકરણ ઉકેલો x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

ઉકેલ. x ના સંદર્ભમાં આ સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડવાથી, આપણને મળે છે

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)અથવા \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x ના સંદર્ભમાં ફરીથી તફાવત કરીએ છીએ, આપણી પાસે y(x)\colon ના સંદર્ભમાં એક રેખીય સજાતીય સમીકરણ હશે

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)અથવા x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). આ ઉકેલ, જેમ કે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે, મૂળ સમીકરણને સંતોષે છે.

બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણ ફોર્મનું સમીકરણ છે:
, જ્યાં n ≠ 0 , n ≠ 1 , p અને q એ x ના કાર્યો છે.

રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડા દ્વારા બર્નૌલીના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવું

બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
(1) ,
જ્યાં n ≠ 0 , n ≠ 1 , p અને q એ x ના કાર્યો છે.
ચાલો તેને y n વડે ભાગીએ. જ્યારે y ≠ 0 અથવા એન< 0 અમારી પાસે:
(2) .
ચલના ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણને રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે:
.
ચાલો તે બતાવીએ. જટિલ કાર્યના ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર:
;
.
ચાલો અવેજી કરીએ (2) અને પરિવર્તન:
;
.
આ એક રેખીય, z ને સંબંધિત, વિભેદક સમીકરણ છે. તેને ઉકેલ્યા પછી, n > માટે 0 , આપણે કેસ y = ધ્યાનમાં લેવો જોઈએ 0 . જ્યારે n > 0 , y = 0 સમીકરણનો ઉકેલ પણ છે (1) અને જવાબમાં સમાવેશ કરવો જોઈએ.

બર્નૌલી પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ

પ્રશ્નમાં સમીકરણ (1) બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા પણ ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે બે કાર્યોના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ:
y = u·v ,
જ્યાં u અને v x ના ફંકશન છે. x ના સંદર્ભમાં તફાવત કરો:
y′ = u′ v + u v′ .
મૂળ સમીકરણમાં અવેજી કરો (1) :
;
(3) .
v તરીકે આપણે સમીકરણનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય ઉકેલ લઈએ છીએ:
(4) .
સમીકરણ (4) વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. અમે તેને હલ કરીએ છીએ અને ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ v = v (x). અમે ચોક્કસ ઉકેલને તેમાં બદલીએ છીએ (3) . કારણ કે તે સમીકરણને સંતોષે છે (4) , પછી કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય બની જાય છે. અમને મળે છે:
;
.
અહીં v એ x નું પહેલેથી જ જાણીતું ફંક્શન છે. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. આપણે તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, અને તેની સાથે મૂળ સમીકરણ y = uv નો ઉકેલ શોધીએ છીએ.

બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ

પ્રથમ નજરમાં, આ વિભેદક સમીકરણ બર્નૌલીના સમીકરણ જેવું લાગતું નથી. જો આપણે x ને સ્વતંત્ર ચલ અને y ને નિર્ભર ચલ માનીએ (એટલે કે, જો y એ x નું કાર્ય છે), તો આ સાચું છે. પરંતુ જો આપણે y ને સ્વતંત્ર ચલ અને x ને નિર્ભર ચલ માનીએ, તો તે જોવાનું સરળ છે કે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે.

તેથી, આપણે ધારીએ છીએ કે x એ y નું કાર્ય છે. ચાલો અવેજી કરીએ અને વડે ગુણાકાર કરીએ:
;
;
(પૃ.1) .
આ બર્નૌલીનું n = સાથેનું સમીકરણ છે 2 . તે ઉપર ચર્ચા કરેલ સમીકરણથી અલગ છે (1) , માત્ર ચલોના સંકેત દ્વારા (y ને બદલે x). અમે બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરીએ છીએ. ચાલો એક અવેજી બનાવીએ:
x = u v ,
જ્યાં u અને v એ y ના કાર્યો છે. y ના સંદર્ભમાં તફાવત કરો:
.
ચાલો અવેજી કરીએ (પૃ.1):
;
(પૃ.2) .
અમે કોઈપણ બિન-શૂન્ય કાર્ય v શોધી રહ્યા છીએ (y), સમીકરણને સંતોષે છે:
(પૃ.3) .
અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ:
;
;
.
ચાલો C = 0 , કારણ કે આપણને સમીકરણના કોઈપણ ઉકેલની જરૂર છે (પૃ.3).
;
.
ચાલો અવેજી કરીએ (પૃ.2)આપેલ છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય સમાન છે (ના કારણે (પૃ.3)):
;
;
.
ચાલો ચલોને અલગ કરીએ. જ્યારે તમે ≠ 0 અમારી પાસે:
;
(પૃ.4) ;
.
બીજા અભિન્ન ભાગમાં આપણે અવેજી બનાવીએ છીએ:
;
.

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

જ્યાં p(x) અને q(x) ને x ના ફંક્શન આપવામાં આવે છે, તે પ્રદેશમાં સતત જેમાં સમીકરણ (1) ને એકીકૃત કરવાની જરૂર છે.

જો q(x)\equiv0 હોય, તો સમીકરણ (1) કહેવાય છે રેખીય સજાતીય. તે એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ છે

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\જમણે)\!,

અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી શકાય છે મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ, જેમાં એ હકીકત છે કે સમીકરણ (1) નો ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવ્યો છે

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\જમણે), જ્યાં C(x) એ xનું નવું અજ્ઞાત કાર્ય છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ y"+2xy=2xe^(-x^2) ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો સતત ભિન્નતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. સજાતીય સમીકરણ y"+2xy=0 ને ધ્યાનમાં લો, આ અસંગત સમીકરણને અનુરૂપ. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ y=Ce^(-x^2) છે.

અમે y=C(x)e^(-x^2) સ્વરૂપમાં અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(x) એ xનું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, આપણને C"(x)=2x મળે છે, જ્યાંથી C(x)=x^2+C. તેથી, અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=(x^2+C)e^(-x^) હશે. 2) , જ્યાં C - એકીકરણનો સતત.

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

ઉકેલ.જો આપણે x ને y ના કાર્ય તરીકે ગણીએ તો આ સમીકરણ રેખીય છે:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

અમે x=C(y)e^(\sin(y)) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(y) એ y નું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, અમને મળે છે

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yઅથવા C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

અહીંથી, ભાગો દ્વારા સંકલન, અમારી પાસે છે

તેથી,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

આ સમીકરણને x=C(y)e^(\sin(y)) માં બદલીને, આપણે મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ, અને તેથી આ સમીકરણ માટે:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

મૂળ સમીકરણ પણ નીચે પ્રમાણે એકીકૃત કરી શકાય છે. અમે માનીએ છીએ

Y=u(x)v(x),

y=u(x)v(x) ને બદલીને, રૂપાંતર પછી આપણને મળે છે

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 શરતમાંથી v(x) નિર્ધારિત કરીને, પછી આપણે vu"+(pv+v")u=q(x) ફંક્શન u(x) માંથી શોધીએ છીએ અને પરિણામે, ઉકેલ y=uv સમીકરણ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) તરીકે આપણે સમીકરણનો કોઈપણ વારંવાર ઉકેલ લઈ શકીએ છીએ v"+pv=0, ~v\not\equiv0.

ઉદાહરણ 3.કોચી સમસ્યા હલ કરો: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

ઉકેલ.અમે y=u(x)v(x) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ; આપણી પાસે y"=u"v+uv છે. મૂળ સમીકરણમાં y અને y" ની અભિવ્યક્તિને બદલે, આપણી પાસે હશે

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)અથવા x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),અથવા y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

જ્યારે કેસ માટે વર્તમાન તાકાત i(t) શોધો E=E_0=\text(const)અને i(0)=I_0 .

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\જમણે)\!e^(-(R/L)t).

આ બતાવે છે કે t\to+\infty પર વર્તમાન તાકાત i(t) સ્થિર મૂલ્ય \frac(E_0)(R) તરફ વલણ ધરાવે છે.

\eta-q(x)(\xi-x)=y, જ્યાં \xi,\eta એ સ્પર્શ બિંદુના વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\જમણે).

ઉદાહરણ 6.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો y"-y=\cos(x)-\sin(x), શરત સંતોષે છે: y y\to+\infty પર મર્યાદિત છે.

બર્નૌલીનું સમીકરણ

બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણજેવો દેખાય છે

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, જ્યાં n\ne0;1 (n=0 અને n=1 માટે આ સમીકરણ રેખીય છે).

ઉદાહરણ 7.બર્નૌલીનું સમીકરણ y"-xy=-xy^3 ઉકેલો.

ઉકેલ.સમીકરણની બંને બાજુઓને y^3 વડે વિભાજીત કરો:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

-\frac(z")(2)-xz=-xઅથવા z"+2xz=2x, જેનો સામાન્ય ઉકેલ z=1+Ce^(-x^2) છે.

અહીંથી આપણે આ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)અથવા y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

ઉદાહરણ 8.બર્નૌલીનું સમીકરણ xy"+y=y^2\ln(x) ઉકેલો.

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

તેથી, મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ચલોના સફળતાપૂર્વક મળેલા ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક પ્રથમ ક્રમના બિનરેખીય સમીકરણોને રેખીય સમીકરણો અથવા બર્નૌલી સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ 9.સમીકરણ ઉકેલો y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

ઉકેલ.ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

ઉદાહરણ 10.સમીકરણ ઉકેલો x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

ઉકેલ. x ના સંદર્ભમાં આ સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડવાથી, આપણને મળે છે

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)અથવા માહિતીનો સ્ત્રોત

બર્નૌલીનું સમીકરણસૌથી પ્રખ્યાત પૈકી એક છે પ્રથમ ક્રમના બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણો. તે ફોર્મમાં લખાયેલ છે

જ્યાં a(x) અને b(x) સતત કાર્યો છે. જો m= 0, તો બર્નૌલીનું સમીકરણ રેખીય વિભેદક સમીકરણ બને છે. કિસ્સામાં જ્યારે m= 1, સમીકરણ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ બની જાય છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે m≠ 0.1, બર્નૌલીનું સમીકરણ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને રેખીય વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે

કાર્ય માટે નવું વિભેદક સમીકરણ z(x) ફોર્મ ધરાવે છે

અને પૃષ્ઠ પર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે પ્રથમ-ક્રમ રેખીય વિભેદક સમીકરણો.

બર્નોલી પદ્ધતિ.

વિચારણા હેઠળના સમીકરણને બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે બે કાર્યોના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ: જ્યાં u, v- થી કાર્યો x. તફાવત કરો: મૂળ સમીકરણ (1) માં અવેજી કરો: (2) તરીકે વિચાલો સમીકરણનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય ઉકેલ લઈએ: (3) સમીકરણ (3) એ વિભાજિત ચલ સાથેનું સમીકરણ છે. અમે તેનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યા પછી v = v(x), તેને (2) માં બદલો. કારણ કે તે સમીકરણ (3) ને સંતોષે છે, કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય બની જાય છે. અમને મળે છે: આ પણ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે. આપણે તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, અને તેની સાથે મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ y = uv.

64. કુલ તફાવતમાં સમીકરણ. એકીકૃત પરિબળ. ઉકેલ પદ્ધતિઓ

ફોર્મનું પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ

કહેવાય છે માં સમીકરણ સંપૂર્ણ તફાવતો જો તે ડાબી બાજુઅમુક કાર્યના કુલ વિભેદકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, એટલે કે.

પ્રમેય.સમીકરણ (1) કુલ ભિન્નતાઓમાં સમીકરણ બનવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ચલોના પરિવર્તનના કેટલાક સરળ રીતે જોડાયેલા ડોમેનમાં સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

સમીકરણ (1) નું સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપ અથવા

ઉદાહરણ 1. વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો તપાસીએ કે આ સમીકરણ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે:

તેથી તે છે શરત (2) સંતુષ્ટ છે. આમ, આ સમીકરણ એ કુલ ભિન્નતાઓમાં સમીકરણ છે અને

તેથી, જ્યાં હજુ પણ અવ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે.

સંકલન, અમને મળે છે. મળેલ ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન સમાન હોવું જોઈએ, જે ક્યાંથી આપે છે જેથી આમ,.

મૂળ વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ.

કેટલાક વિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરતી વખતે, શબ્દોને એવી રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે કે સરળતાથી સંકલન કરી શકાય તેવા સંયોજનો પ્રાપ્ત થાય.

65. ઉચ્ચ ઓર્ડરના સામાન્ય વિભેદક રેખીય સમીકરણો: સજાતીય અને અસંગત. રેખીય વિભેદક ઓપરેટર, તેના ગુણધર્મો (સાબિતી સાથે).

રેખીય વિભેદક ઓપરેટર અને તેના ગુણધર્મો.અંતરાલ પરના કાર્યોનો સમૂહ ( a , b ) ઓછું નહિ n ડેરિવેટિવ્ઝ, એક રેખીય જગ્યા બનાવે છે. ઓપરેટરનો વિચાર કરો એલ n (y ), જે કાર્ય દર્શાવે છે y (x ), ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતાં, ફંક્શન ધરાવતાં k - n ડેરિવેટિવ્ઝ