ઘર બાળરોગ દંત ચિકિત્સા રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો. સહસંબંધ ગુણાંક શોધવાનું ઉદાહરણ

બાળરોગ દંત ચિકિત્સા

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકના ગુણધર્મો. સહસંબંધ ગુણાંક શોધવાનું ઉદાહરણ

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક

જોડાણ નિકટતાની ડિગ્રીનું વધુ સંપૂર્ણ સૂચક છે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક (આર).

આ સૂચકની ગણતરી કરતી વખતે, સરેરાશથી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનોના સંકેતો જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી, પણ આવા વિચલનોની તીવ્રતા પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, એટલે કે. અનુક્રમે કારણભૂત અને પરિણામી લાક્ષણિકતાઓ, મૂલ્યો અને . જો કે, મેળવેલ નિરપેક્ષ મૂલ્યોની એકબીજા સાથે સીધી સરખામણી કરવી અશક્ય છે, કારણ કે લાક્ષણિકતાઓ પોતાને જુદા જુદા એકમોમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે (જેમ કે પ્રસ્તુત ઉદાહરણમાં છે), અને જો માપનના સમાન એકમો હાજર હોય, તો સરેરાશ મૂલ્યમાં અલગ હોઈ શકે છે. આ સંદર્ભે, સંબંધિત મૂલ્યોમાં વ્યક્ત કરાયેલ વિચલનો સરખામણીને આધિન હોઈ શકે છે, એટલે કે. પ્રમાણભૂત વિચલનના અપૂર્ણાંકમાં (તેને સામાન્યકૃત વિચલનો કહેવામાં આવે છે). આમ, પરિબળ લાક્ષણિકતા માટે આપણી પાસે મૂલ્યોનો સમૂહ હશે, અને અસરકારક લાક્ષણિકતા માટે, .

પરિણામી સામાન્યકૃત વિચલનો એકબીજા સાથે સરખાવી શકાય છે. ગણતરી કરેલ સામાન્યકૃત વિચલનોની સરખામણીના આધારે સમગ્ર વસ્તી માટે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે જોડાણની નિકટતાની ડિગ્રીની સામાન્ય લાક્ષણિકતા મેળવવા માટે, સામાન્યકૃત વિચલનોના સરેરાશ ઉત્પાદનની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ રીતે મેળવેલ સરેરાશ રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક હશે આર.

(1.2)

અથવા કારણ કે s xઅને s yઆ શ્રેણીઓ સતત હોય છે અને કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકાય છે, તો પછી રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક માટેનું સૂત્ર નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

(1.3)

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક –1 થી +1 સુધીની કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યમાં સહસંબંધ ગુણાંક 1 ની જેટલો નજીક છે, લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનો સંબંધ જેટલો નજીક છે. રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકનું ચિહ્ન સંબંધની દિશા સૂચવે છે: સીધો સંબંધ વત્તા ચિહ્નને અનુલક્ષે છે, અને વ્યસ્ત સંબંધ બાદબાકીના ચિહ્નને અનુરૂપ છે.

જો પરિબળ લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોમાં વધારો થાય છે એક્સ, પરિણામી ચિહ્ન ખાતેવધવાનું વલણ ધરાવે છે, તો સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય 0 અને 1 ની વચ્ચે હશે. જો, વધતા મૂલ્યો સાથે એક્સપરિણામી ચિહ્ન ખાતેઘટવાનું વલણ ધરાવે છે, સહસંબંધ ગુણાંક 0 થી -1 ની રેન્જમાં મૂલ્યો લઈ શકે છે.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકનું મેળવેલ મૂલ્ય, ઉપર મળેલા ફેકનર ગુણાંકની જેમ, સૂચવે છે શક્ય ઉપલબ્ધતાજાહેરાત ખર્ચ અને કંપનીની સેવાઓનો ઉપયોગ કરનારા પ્રવાસીઓની સંખ્યા વચ્ચે એકદમ ગાઢ સીધો સંબંધ છે.

ચોરસ સહસંબંધ ગુણાંક ( આર 2) કહેવાય છે નિર્ધારણ ગુણાંક. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણ માટે, તેનું મૂલ્ય 0.6569 છે, જેનો અર્થ એ છે કે ફર્મની સેવાઓનો ઉપયોગ કરનારા ગ્રાહકોની સંખ્યામાં ભિન્નતાના 65.69% તેમની સેવાઓની જાહેરાત કરવા માટેના ફર્મના ખર્ચમાં તફાવત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.

અહીં તે ફરી એકવાર યાદ રાખવું જોઈએ કે સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય પોતે અભ્યાસ હેઠળની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના કારણ-અને-અસર સંબંધની હાજરીનો પુરાવો નથી, પરંતુ લાક્ષણિકતાઓમાં ફેરફારોમાં પરસ્પર સુસંગતતાની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન છે. કારણ અને અસર સંબંધની સ્થાપના ઘટનાના ગુણાત્મક પ્રકૃતિના વિશ્લેષણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. પરંતુ ત્યાં એક વધુ સંજોગો છે જે સહસંબંધ ગુણાંકની તીવ્રતાના આધારે જોડાણની સંભવિત હાજરી વિશે નિષ્કર્ષની રચનાને સમજાવે છે.

આ એ હકીકતને કારણે છે કે સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને જોડાણની નિકટતાની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન, એક નિયમ તરીકે, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટના વિશેની વધુ કે ઓછી મર્યાદિત માહિતીના આધારે કરવામાં આવે છે. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે નમૂનાના ડેટા પર આધારિત અમારું નિષ્કર્ષ તેમાં સહસંબંધની વાસ્તવિક હાજરી અંગે કેટલું કાયદેસર છે. વસ્તી, જેમાંથી સેમ્પલ લેવામાં આવ્યા હતા?

માં સહસંબંધ અને રીગ્રેશન વિશ્લેષણ

આર્થિક ગણતરીઓ

સહસંબંધ અને રીગ્રેસન વિશ્લેષણમાં મૂળભૂત ખ્યાલો

ગણિતમાં, બે વિભાવનાઓ છે જે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના કારણ-અને-અસર સંબંધોને પ્રતિબિંબિત કરે છે: કાર્યાત્મક અને સહસંબંધ અવલંબન.

કાર્યાત્મક અવલંબનને જથ્થાઓ વચ્ચેના આવા સંબંધ તરીકે સમજવામાં આવે છે જ્યારે આશ્રિત જથ્થાનું મૂલ્ય - એક કાર્ય - આશ્રિત ચલોના મૂલ્યો દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે.

સહસંબંધ અવલંબન ત્યારે થાય છે જ્યારે એક (પરિણામે) જથ્થાનું પ્રત્યેક મૂલ્ય બીજાના રેન્ડમ મૂલ્યોના સમૂહને અનુરૂપ હોય છે, જે ચોક્કસ સંભાવના સાથે થાય છે.

આર્થિક ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે કાર્યાત્મક સાથે નહીં, પરંતુ સહસંબંધ અવલંબન સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ. સહસંબંધનો ઉપયોગ કરીને અને રીગ્રેસન વિશ્લેષણગણતરી કરી શકાય છે સહસંબંધ ગુણાંક, જે વ્યક્તિગત સૂચકો વચ્ચેના સંબંધની મજબૂતાઈનું મૂલ્યાંકન કરે છે, પસંદ કરો

રીગ્રેસન સમીકરણ, જે આ જોડાણનું સ્વરૂપ નક્કી કરે છે અને આ જોડાણના અસ્તિત્વની વિશ્વસનીયતા સ્થાપિત કરે છે.

આર્થિક પ્રક્રિયાઓના સહસંબંધ અને રીગ્રેસન વિશ્લેષણની પ્રક્રિયામાં નીચેના તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:

આંકડાકીય માહિતીની પ્રારંભિક પ્રક્રિયા અને અસરકારક સૂચકને પ્રભાવિત કરતી મુખ્ય પરિબળ લાક્ષણિકતાઓની પસંદગી;

જોડાણની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન કરવું અને પરિણામી અને પરિબળની લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના હાલના જોડાણના સ્વરૂપને ઓળખવું;

જે ઘટનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેના (મલ્ટિફેક્ટોરિયલ) મોડલનો વિકાસ અને તેનું વિશ્લેષણ;

મેનેજમેન્ટ નિર્ણયો લેવા માટે વિશ્લેષણના પ્રાપ્ત પરિણામોનો ઉપયોગ.

સહસંબંધ બે મુખ્ય પડકારોનો સામનો કરે છે. પ્રથમ પરિબળ એકમાં ફેરફાર સાથે જોડાણમાં સરેરાશ અસરકારક લાક્ષણિકતા કેવી રીતે બદલાય છે તે ઓળખવાનું છે. આ સમસ્યા ઉકેલી શકાય છે સંચાર સમીકરણ શોધો.બીજું કાર્ય વિકૃત પરિબળોના પ્રભાવની ડિગ્રી નક્કી કરે છે. કનેક્શન નિકટતાના સૂચકાંકોનો અભ્યાસ કરીને આ સમસ્યા હલ થાય છે. આવા સૂચકાંકો સહસંબંધ ગુણાંક અને સહસંબંધ ગુણોત્તર છે.

2. અસરકારક અને પરિબળ ચિહ્નો . જ્યારે અન્ય પર કોઈ ઘટનાના કેટલાક ચિહ્નોના પ્રભાવનો અભ્યાસ કરવામાં આવે ત્યારે, આપેલ ઘટનાને દર્શાવતા સંકેતોની સાંકળમાંથી, બેને અલગ પાડવામાં આવે છે - પરિબળ સંકેતો (પરિણામને અસર કરતા) અને પરિણામલક્ષી. તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે કે કઈ લાક્ષણિકતાઓ હકીકતલક્ષી છે અને કઈ ઉત્પાદક છે. સૌ પ્રથમ, તાર્કિક વિશ્લેષણ આમાં મદદ કરે છે.

ઉદાહરણ. વ્યક્તિગત એન્ટરપ્રાઇઝના ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનોની કિંમત આ એન્ટરપ્રાઇઝમાં ઉત્પાદનની માત્રા સહિત ઘણા પરિબળો પર આધારિત છે. ઉત્પાદનની કિંમત આ કિસ્સામાં અસરકારક લક્ષણ તરીકે કાર્ય કરે છે, અને ઉત્પાદનનું પ્રમાણ એક કારણભૂત તરીકે.

બીજું ઉદાહરણ. નાના કરતા મોટા સાહસોના ફાયદાઓનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ કે મોટા સાહસોમાં કામદારોની શ્રમ ઉત્પાદકતા કેવી રીતે વધે છે અને એન્ટરપ્રાઇઝના કદમાં વધારા પર શ્રમ ઉત્પાદકતાની નિર્ભરતાને ઓળખી શકાય છે.

3. સંચાર સમીકરણનો ખ્યાલ. આ ફંક્શનનું સમીકરણ પરિણામી અને ફેક્ટોરિયલ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણનું સમીકરણ હશે.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોડાણ સમીકરણ જોવા મળે છે ઓછામાં ઓછા ચોરસ, જે જરૂરી છે કે યુગલ સમીકરણના આધારે પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાંથી પ્રયોગમૂલક મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.

ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કહેવાતા સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરીને સંચાર સમીકરણના પરિમાણો શોધવાનું શક્ય બનાવે છે, જે દરેક પ્રકારના જોડાણ માટે અલગ છે.

એ નોંધવા માટે કે બે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનો સંબંધ સરેરાશ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, સંબંધના સમીકરણમાંથી પરિણામી લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો સૂચવવામાં આવે છે. ઉહ.

સંબંધના સમીકરણને જાણીને, તમે પરિણામી લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યની અગાઉથી ગણતરી કરી શકો છો જ્યારે મૂલ્ય. કારણભૂત લાક્ષણિકતા જાણીતી છે. આમ, જોડાણ સમીકરણ એ અવલોકન કરાયેલ આંકડાકીય સંબંધોને સામાન્ય બનાવવાની એક પદ્ધતિ છે, તેનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ.

કપ્લીંગ સમીકરણ તરીકે એક અથવા બીજા ફંક્શનનો ઉપયોગ કપ્લિંગ્સને તેમના સ્વરૂપ અનુસાર અલગ પાડે છે: રેખીય કપ્લીંગ અને વક્રીલીયન કપ્લીંગ (પેરાબોલિક, હાઇપરબોલિક, વગેરે).

ચાલો એક લાક્ષણિકતા પર નિર્ભરતા માટે જોડાણ સમીકરણો પર વિચાર કરીએ વિવિધ સ્વરૂપોજોડાણો, (રેખીય, વક્રીય પેરાબોલિક, હાયપરબોલિક) અને બહુવિધ જોડાણો માટે.

4. લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે રેખીય સંબંધ. સીધી રેખા Ух==ао+а1х ના સમીકરણ તરીકે જોડાણ સમીકરણનો ઉપયોગ ફેક્ટોરિયલ એટ્રિબ્યુટમાં વધારા સાથે અસરકારક વિશેષતામાં સમાન વધારાના કિસ્સામાં થાય છે. આવી અવલંબન રેખીય (રેક્ટીલિનિયર) અવલંબન હશે.

સીધી રેખા સમીકરણ ao અને a1 ના પરિમાણો ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલા સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને જોવા મળે છે:

સમીકરણના પરિમાણો અને અસરકારક લાક્ષણિકતા Vx ના સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરીનું ઉદાહરણ નીચેનું કોષ્ટક છે, જે કારણભૂત લાક્ષણિકતા દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવાનું અને અસરકારક લાક્ષણિકતા દ્વારા સરેરાશ મૂલ્યોની ગણતરીનું પરિણામ છે.

સંચાર સમીકરણ માટે સ્થિર અસ્કયામતોના મૂલ્ય દ્વારા એન્ટરપ્રાઇઝને જૂથબદ્ધ કરવું અને રકમની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ: n==6; =18; =39.0; =71.5

132.0. અમે બે અજ્ઞાત સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ:

બંને સમીકરણોમાં દરેક પદને aо ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત કરીને આપણે મેળવીએ છીએ:

બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરો: 0.97a1=0.83; a1==0.86. a1 ના મૂલ્યોને પ્રથમ સમીકરણ ao+3*0.86 =6.5 માં બદલીને, આપણે ao=6.5-2.58=+3.92 શોધીએ છીએ.

જોડાણ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: yx=3.92+0.86x. આ સમીકરણમાં અનુરૂપ x ને બદલીને, અમે પરિણામી લાક્ષણિકતાના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ, જે સહસંબંધ અવલંબનના સ્વરૂપમાં x પર y ની સરેરાશ અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

નોંધ કરો કે સમીકરણ અને વાસ્તવિક રાશિઓ દ્વારા ગણવામાં આવતી રકમો એકબીજાની સમાન છે. ફિગમાં વાસ્તવિક અને ગણતરી કરેલ મૂલ્યોનું પ્રતિનિધિત્વ. 4 બતાવે છે કે યુગલ સમીકરણ સરેરાશ અવલોકન કરેલ અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

5. ચિહ્નો વચ્ચે પેરાબોલિક અવલંબન . પેરાબોલિક અવલંબન, 2જી ક્રમના પેરાબોલા yx = ao + a1x + a2x 2 ના સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તે કારણભૂત લક્ષણમાં સમાન વધારા સાથે સંયોજનમાં અસરકારક વિશેષતામાં ઝડપી વધારો અથવા ઘટાડો સાથે થાય છે.

પેરાબોલા સમીકરણ પરિમાણો aо; a1; a2, 3 સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીને ગણવામાં આવે છે:

ચાલો એક ઉદાહરણ તરીકે અવલંબન લઈએ. માસિક મુદ્દોસ્થાયી અસ્કયામતો (x) ના મૂલ્યમાંથી ઉત્પાદનો (y) બંને આંકડા નજીકના મિલિયન રુબેલ્સ સુધી ગોળાકાર છે. જરૂરી રકમની ગણતરીઓ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવી છે. 5.

કોષ્ટકમાંના ડેટાના આધારે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ:

6. હાયપરબોલા સમીકરણ. પ્રતિસાદ અસરકારક લક્ષણમાં ઘટાડો સૂચવે છે કારણ કે કારણભૂત એક વધે છે. આ a1 ના નકારાત્મક મૂલ્ય સાથેનો રેખીય સંબંધ છે. અસંખ્ય અન્ય કિસ્સાઓમાં, પ્રતિસાદ હાયપરબોલા સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે

હાયપરબોલા સમીકરણ ao અને a1 ના પરિમાણો સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી જોવા મળે છે:

7. સહસંબંધ કોષ્ટક. અવલોકનોના મોટા જથ્થા સાથે, જ્યારે એકબીજા સાથે જોડાયેલા જોડીઓની સંખ્યા મોટી હોય છે, ત્યારે જોડી કરેલ ડેટા સહસંબંધ કોષ્ટકમાં સરળતાથી સ્થિત થઈ શકે છે, જે સંખ્યાઓની જોડીની નોંધપાત્ર સંખ્યાને રજૂ કરવાનું સૌથી અનુકૂળ સ્વરૂપ છે.

સહસંબંધ કોષ્ટકમાં, એક લાક્ષણિકતા પંક્તિઓમાં સ્થિત છે, અને અન્ય કોષ્ટકની કૉલમ્સમાં. આલેખ અને સ્તંભના આંતરછેદ પર કોષમાં સ્થિત સંખ્યા દર્શાવે છે કે પરિણામી લાક્ષણિકતાનું આપેલ મૂલ્ય ફેક્ટરીઅલ લાક્ષણિકતાના આપેલ મૂલ્ય સાથે સંયોજનમાં કેટલી વાર થાય છે.

ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે, અમે કામદાર દીઠ સરેરાશ માસિક આઉટપુટ (હજાર રુબેલ્સ) અને નિશ્ચિત ઉત્પાદન સંપત્તિ (લાખો રુબેલ્સ) ની કિંમતના 20 સાહસો પર થોડી સંખ્યામાં અવલોકનો લઈશું.

નિયમિત જોડી કોષ્ટકમાં, આ માહિતી આ રીતે ગોઠવવામાં આવી છે:

પંક્તિઓનો સરવાળો y લાક્ષણિકતા nу ની આવર્તન દર્શાવે છે, કૉલમ x નો સરવાળો લાક્ષણિકતા nx ની આવર્તન દર્શાવે છે. સહસંબંધ કોષ્ટકના કોષોમાંની સંખ્યાઓ બંને લાક્ષણિકતાઓ સાથે સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ છે અને નિયુક્ત nxy છે.

સહસંબંધ કોષ્ટક, સુપરફિસિયલ ઓળખાણ સાથે પણ, આપે છે સામાન્ય વિચારસીધી રેખા વિશે અને પ્રતિસાદ. જો ફ્રીક્વન્સીઝ ત્રાંસા નીચે જમણી બાજુએ સ્થિત છે, તો પછી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનું જોડાણ સીધું છે (પંક્તિઓ અને કૉલમ્સમાં લાક્ષણિકતાના વધતા મૂલ્યો સાથે). જો ફ્રીક્વન્સીઝ ત્રાંસા ઉપર જમણી તરફ સ્થિત હોય, તો કનેક્શન રિવર્સ છે.

8. સહસંબંધ સંબંધ. જો કોઈ ઘટનાને બે લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા માપવામાં આવે છે, તો પછી ફેક્ટોરિયલ લાક્ષણિકતાના સમાન મૂલ્યો માટે પરિણામી લાક્ષણિકતા દ્વારા વિક્ષેપ (મુખ્યત્વે વિક્ષેપ) ના પગલાં શોધવાનું શક્ય છે.

આપેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે પરસ્પર નિર્ભર શ્રેણીનું સહસંબંધ કોષ્ટક છે, જેમાં, સરળતા માટે, લાગુ કરેલ ખાતરની માત્રા (x) અને પરિણામી લાક્ષણિકતાના ફેક્ટોરિયલ લાક્ષણિકતાના માત્ર ત્રણ મૂલ્યો છે - ઉપજ (y) - નોંધપાત્ર રીતે વધઘટ થાય છે. કોષ્ટક 16

અલગ અલગ ઉપજ ધરાવતા પ્લોટના દરેક જૂથમાં અલગ-અલગ પ્રમાણમાં ખાતર નાખવામાં આવ્યું હતું. તેથી, જ્યારે વિવિધ વિસ્તારોમાં 20 ગ્રામ/ઉપજ પર ખાતરો લાગુ કરવામાં આવ્યા હતા: એક વિસ્તારમાં તે 0.8 ટન હતું, બે વિસ્તારમાં - 0.9 ટન, ત્રણમાં - 1.0 ટન અને એકમાં - 1.1 ટન ચાલો સરેરાશ ઉપજ શોધીએ અને પ્લોટના આ જૂથ માટે ઉપજ વિક્ષેપ.

30.0 ગ્રામ ખાતરની માત્રા સાથે પ્લોટના જૂથ માટે, સરેરાશ ઉપજ હશે:

ચાલો વિસ્તારોના જૂથ માટે સમાન લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરીએ. 40 ટન ખાતર મેળવ્યું:

આ ડેટામાંથી, તમે બધા 20 પ્લોટની સરેરાશ ઉપજ પણ નિર્ધારિત કરી શકો છો, ખાતરની માત્રાને ધ્યાનમાં લીધા વગર, એટલે કે એકંદર સરેરાશ:

અને એકંદર સરેરાશની આસપાસના જૂથોની સરેરાશ ઉપજની પરિવર્તનશીલતા (વિખેરવું) નું માપ. આ વિક્ષેપને આંતર જૂથ વિક્ષેપ કહેવામાં આવે છે અને તેને b 2 સૂચવવામાં આવે છે

જ્યાં yi એ પ્લોટના જૂથો માટે સરેરાશ ઉપજ છે જે લાગુ કરાયેલ ખાતરની માત્રામાં અલગ છે; m1,m2,m3,-જૂથોની સંખ્યા. આ ઉદાહરણ માટે જૂથ વચ્ચેનો તફાવત છે:

જૂથ વિભિન્નતા એ વિક્ષેપ દર્શાવે છે જે કારણભૂત લક્ષણને કારણે થાય છે. આ ઉદાહરણમાં, Y = == 0.01 અને 247 એ ઉપજના વિક્ષેપનું સૂચક છે જે લાગુ કરાયેલ ખાતરની માત્રામાં તફાવતને કારણે થાય છે.

જો કે, આંતરજૂથ વિખેરવા ઉપરાંત, અન્ય પરિબળોને કારણે વિખેરવાના સૂચક તરીકે વિખેરવાની ગણતરી કરવી પણ શક્ય છે (જો તમે ખાતર સિવાયના અન્ય તમામ પરિબળોને તે રીતે કૉલ કરો છો). આ સૂચક સાઇટ્સના જૂથો માટે વિક્ષેપ સૂચકાંકો (ભિન્નતા) નું સરેરાશ (ભારિત) મૂલ્ય હશે

આનો વ્યવહારિક અર્થ એ છે કે જો લાગુ કરાયેલ ખાતરના જથ્થામાં ભિન્ન હોય તેવા પ્લોટના જૂથોના માધ્યમો અને ભિન્નતાઓ વિશે માહિતી ઉપલબ્ધ હોય તો તમામ 20 પ્લોટ માટે વિક્ષેપ (વિખેરવું)નું સામાન્ય માપ મેળવવું શક્ય છે. તેથી, 20 પ્લોટ માટે કુલ ઉપજ તફાવત હશે;

આંતરજૂથ અને સરેરાશ જૂથ ભિન્નતાની ગણતરી માટેના સૂત્રો નીચે પ્રમાણે સંક્ષિપ્ત કરી શકાય છે:

કુલ ભિન્નતા, ઇન્ટ્રાગ્રુપ અને ઇન્ટરગ્રુપ વેરિઅન્સની ગણતરી અમને અસરકારક લક્ષણની પરિવર્તનશીલતા પર ફેક્ટોરિયલ એટ્રિબ્યુટના પ્રભાવની ડિગ્રી વિશે કેટલાક તારણો કાઢવા દે છે. પ્રભાવનું આ માપ સહસંબંધ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

આનો અર્થ એ છે કે પ્લોટની ઉપજમાં 78% પરિવર્તનક્ષમતા લાગુ કરાયેલ ખાતરની માત્રાની પરિવર્તનશીલતા પર આધાર રાખે છે.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક

બે પરસ્પર નિર્ભર શ્રેણીઓ વચ્ચેના સંબંધની નિકટતાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, એક રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે આ શ્રેણીઓ વચ્ચેનો સંબંધ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ અને કેટલો મજબૂત છે. તે -1 થી +1 સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે.

10.સંચિત સહસંબંધ ગુણાંક :

જ્યાં આર- રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક, અને સબસ્ક્રિપ્ટ્સ સૂચવે છે કે તેઓ કઈ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે ગણવામાં આવે છે.

1) રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક -1 થી +1 સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે.

2) જો , તો પછી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનું જોડાણ કાર્યાત્મક છે, એટલે કે, અસરકારક લાક્ષણિકતા માત્ર વિચારણા હેઠળની કારણભૂત લાક્ષણિકતા દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે અને બીજું કંઈ નહીં, જો r = 0, પછી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે કોઈ જોડાણ નથી.

3) જો આર> 0, તો પછી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનો સંબંધ સીધો છે, જો આર< 0, то связь – обратная.

4) નીચેના અંતરાલો માટે ફાળવો આર:

ચિહ્નો વચ્ચે વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ જોડાણ નથી;

જોડાણ નબળું છે;

જોડાણ મધ્યમ છે;

જોડાણ મજબૂત છે.

ચોખા. 2.ગ્રાફ પરના બિંદુઓના સ્થાન અને સહસંબંધ ગુણાંકના મૂલ્યોના ઉદાહરણો

માટે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન આરઉપયોગ t- વિદ્યાર્થીની કસોટી. આ કિસ્સામાં, એક પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે કે સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

પૂર્વધારણા પરીક્ષણ:

1. વાસ્તવિક મૂલ્યોની ગણતરી કરો ટી-માટે માપદંડ આર:

(આ સૂત્રનો ઉપયોગ નાના નમૂનાના કદ માટે થાય છે).

2. કોષ્ટક મુજબ ટી-વિદ્યાર્થી વિતરણ, મહત્વના સ્વીકૃત સ્તર અથવા અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા, નક્કી કરવામાં આવે છે.

3. જો , તો પછી પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, જે સહસંબંધ ગુણાંકનું મહત્વ દર્શાવે છે.

સહસંબંધ સંબંધસૂત્રો દ્વારા નિર્ધારિત:

η = અથવા η = ,

પરિબળ લક્ષણના પ્રભાવને કારણે પરિણામી લક્ષણનો આંતર-જૂથ તફાવત ક્યાં છે;

- પરિણામી લક્ષણનું કુલ વિખેરવું;

- પરિણામી લક્ષણના જૂથની અંદરના તફાવતોની સરેરાશ.

સહસંબંધ સંબંધની ગણતરી કરવા માટે એકદમ મોટી માત્રામાં માહિતીની જરૂર પડે છે, જે જૂથ કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં અથવા સહસંબંધ કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં રજૂ થવી જોઈએ, એટલે કે. પૂર્વશરતએટ્રિબ્યુટ-ફેક્ટર દ્વારા ડેટાનું જૂથીકરણ છે.

જૂથ વગરના ડેટા માટે, પ્રયોગમૂલક સહસંબંધ ગુણોત્તરની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

જ્યાં y - પરિણામી લાક્ષણિકતાના પ્રયોગમૂલક (વાસ્તવિક) મૂલ્યો;

- અસરકારક લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય;

- પરિણામી લાક્ષણિકતાના સમાન મૂલ્યો, વિશ્લેષણાત્મક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

સહસંબંધ ગુણોત્તર વર્ગ (), અને જોડીવાર સંબંધ માટે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક વર્ગ () કહેવાય છે નિર્ધારણ ગુણાંક (કારણકારણ), તે કુલ વિચલનમાં પરિબળ ભિન્નતાના હિસ્સાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

નિર્ધારણ ગુણાંક (ડી) આ પરિબળ લાક્ષણિકતાના પ્રભાવ દ્વારા પરિણામી લાક્ષણિકતાના સરેરાશ મૂલ્યમાં ફેરફાર કેટલી ટકાવારી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે તે દર્શાવે છે.

વ્યવહારમાં, જોડાણની નિકટતાની ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે અન્ય સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

જોડાણની નિકટતાની ડિગ્રીની પ્રાથમિક લાક્ષણિકતા છે ફેકનર ગુણાંક :

જ્યાં n એ- પરિબળ લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનના સંકેતોના સંયોગોની સંખ્યા એક્સઅને પરિણામી ચિહ્ન ખાતેતેમના અંકગણિત સરેરાશમાંથી (ઉદાહરણ તરીકે, “વત્તા” અને “વત્તા”, “માઈનસ” અને “માઈનસ”, “કોઈ વિચલન” અને “કોઈ વિચલન”);

n b- તેમના અંકગણિત સરેરાશના મૂલ્યમાંથી લાક્ષણિકતાઓના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના વિચલનના ચિહ્નોમાં વિસંગતતાઓની સંખ્યા.

જ્યારે પ્રારંભિક માહિતીની માત્રા ઓછી હોય ત્યારે ફેકનર ગુણાંકનો ઉપયોગ થાય છે. તે -1 થી 1 સુધી બદલાય છે.

બંને જથ્થાત્મક અને ગુણાત્મક લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની નિકટતા નક્કી કરવા માટે, જો કે આ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોને ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ક્રમાંકિત કરી શકાય છે, તેનો ઉપયોગ થાય છે. સ્પીયરમેનનો ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક :

જ્યાં d i- પરિબળ લાક્ષણિકતાના ક્રમ મૂલ્યો અને પરિણામી લાક્ષણિકતા વચ્ચેનો તફાવત;

n- અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી શ્રેણીના સૂચકાંકોની સંખ્યા (રેન્ક).

તે -1 થી 1 સુધી બદલાય છે.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

આંકડા

વ્યાટકા રાજ્ય માનવતાવાદી યુનિવર્સિટી.. હું કુનિલોવા ઓ ઓ ઓ એન્ટોનેનકો..

જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

ફિશરની એફ ટેસ્ટના નિર્ણાયક મૂલ્યો
k1 k2 મહત્વ સ્તર

વિવિધ આર્થિક ઘટનાઓ, સૂક્ષ્મ અને મેક્રો બંને સ્તરે, સ્વતંત્ર નથી, પરંતુ એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે (ઉત્પાદનની કિંમત અને તેની માંગ, ઉત્પાદનનું પ્રમાણ અને કંપનીનો નફો વગેરે).

આ અવલંબન સખત રીતે કાર્યાત્મક (નિર્ધારિત) અને આંકડાકીય હોઈ શકે છે.

જ્યારે એક લાક્ષણિકતાનું દરેક મૂલ્ય બીજી લાક્ષણિકતાના એક મૂલ્યને અનુરૂપ હોય ત્યારે અને વચ્ચેની અવલંબનને કાર્યાત્મક કહેવામાં આવે છે. (આવા અનન્ય સંબંધનું ઉદાહરણ ત્રિજ્યા પરના વર્તુળના ક્ષેત્રની અવલંબન છે.)

વાસ્તવમાં, ઘટના વચ્ચેનું બીજું જોડાણ વધુ સામાન્ય છે, જ્યારે એક લાક્ષણિકતાનું દરેક મૂલ્ય બીજાના ઘણા મૂલ્યોને અનુરૂપ હોઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, બાળકોની ઉંમર અને તેમની વૃદ્ધિ વચ્ચેનું જોડાણ).

જોડાણનું સ્વરૂપ કે જેમાં એક અથવા વધુ આંતરસંબંધિત સૂચકાંકો (પરિબળો) અન્ય સૂચક (પરિણામ) ને અસ્પષ્ટપણે નહીં, પરંતુ ચોક્કસ અંશે સંભાવના સાથે પ્રભાવિત કરે છે, તેને આંકડાકીય કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, જો એક જથ્થામાં ફેરફાર થાય છે, અન્યનું સરેરાશ મૂલ્ય બદલાય છે, તો આ કિસ્સામાં આંકડાકીય અવલંબનને સહસંબંધ કહેવામાં આવે છે.

મોડેલમાં સમાવિષ્ટ પરિબળોની સંખ્યાના આધારે, જોડી સહસંબંધ (બે ચલો વચ્ચેનો સંબંધ) અને બહુવિધ સહસંબંધ (ઘણા પરિબળો પર પરિણામની અવલંબન) વચ્ચે ભેદ પાડવામાં આવે છે.

સહસંબંધ વિશ્લેષણવ્યાખ્યામાં સમાવે છે દિશાઓ, સ્વરૂપો અને ડિગ્રીબે (કેટલીક) અવ્યવસ્થિત લાક્ષણિકતાઓ અને વચ્ચે જોડાણો (નિકટતા).

દિશામાં, સહસંબંધ સકારાત્મક (સીધો) છે જો, જેમ જેમ એક ચલના મૂલ્યોમાં વધારો થાય છે તેમ, બીજાનું મૂલ્ય વધે છે, અને નકારાત્મક (વિપરીત) જો, જેમ જેમ એક ચલના મૂલ્યો વધે છે તેમ, બીજાનું મૂલ્ય ઘટે છે. .

સ્વરૂપમાં, સહસંબંધ સંબંધ રેખીય (સીધી-રેખા) હોઈ શકે છે, જ્યારે એક લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોમાં ફેરફાર અન્યમાં સમાન ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે (ગાણિતિક રીતે સીધી રેખાના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે), અને વળાંક, જ્યારે એક લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોમાં ફેરફાર અન્યમાં અસમાન ફેરફારો તરફ દોરી જાય છે (ગાણિતિક રીતે, તે વક્ર રેખાઓના સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે હાયપરબોલાસ, પેરાબોલાસ, વગેરે).

ચલો વચ્ચેની અવલંબનનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ રેખીય અવલંબન છે. અને આવા અવલંબનની હાજરી તપાસવી, તેના સૂચકાંકો અને પરિમાણોનું મૂલ્યાંકન કરવું એ અર્થમિતિશાસ્ત્રના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રોમાંનું એક છે.

ત્યાં વિશેષ આંકડાકીય પદ્ધતિઓ છે અને તે મુજબ, સૂચકાંકો, જેનાં મૂલ્યો ચોક્કસ રીતે ચલો વચ્ચેના રેખીય સંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી દર્શાવે છે.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક

સહસંબંધોને ઓળખવાની સૌથી સરળ, અંદાજિત રીત ગ્રાફિકલ છે.

નાના નમૂનાના કદ સાથે, પ્રાયોગિક ડેટા એકબીજા સાથે જોડાયેલા મૂલ્યોની બે શ્રેણીના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે અને. જો દરેક જોડીને પ્લેન પર એક બિંદુ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તો કહેવાતા સહસંબંધ ક્ષેત્ર પ્રાપ્ત થાય છે (ફિગ. 1).

જો સહસંબંધ ક્ષેત્ર એક લંબગોળ છે, જેનો અક્ષ ડાબેથી જમણે અને નીચેથી ઉપર (ફિગ. 1c) સ્થિત છે, તો પછી આપણે ધારી શકીએ કે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે એક રેખીય હકારાત્મક સંબંધ છે.

જો સહસંબંધ ક્ષેત્ર અક્ષ સાથે ડાબેથી જમણે અને ઉપરથી નીચે સુધી વિસ્તરેલ હોય (ફિગ. 1d), તો આપણે રેખીય નકારાત્મક જોડાણની હાજરી ધારી શકીએ છીએ.

જો અવલોકન બિંદુઓ પ્લેન પર અસ્તવ્યસ્ત રીતે સ્થિત છે, એટલે કે, સહસંબંધ ક્ષેત્ર એક વર્તુળ બનાવે છે (ફિગ. 1a), તો આ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણનો અભાવ સૂચવે છે.

આકૃતિ 1b સખત રેખીય કાર્યાત્મક સંબંધ દર્શાવે છે.

બે જથ્થાઓ વચ્ચેના ગાઢ સંબંધને તેમની વચ્ચેના જોડાણની ડિગ્રી તરીકે સમજવામાં આવે છે, જે અભ્યાસ કરવામાં આવતા જથ્થામાં ફેરફાર સાથે પ્રગટ થાય છે. જો દરેક આપેલ મૂલ્ય એકબીજાની નજીકના મૂલ્યોને અનુરૂપ હોય, તો સંબંધને નજીક (મજબૂત) ગણવામાં આવે છે; જો મૂલ્યો વ્યાપકપણે વિખેરાયેલા હોય, તો સંબંધ ઓછો નજીકનો માનવામાં આવે છે. નજીકના સહસંબંધ જોડાણ સાથે, સહસંબંધ ક્ષેત્ર એ વધુ કે ઓછું સંકુચિત લંબગોળ છે.

રેખીય સંબંધની દિશા અને ચુસ્તતા માટે માત્રાત્મક માપદંડ એ ગુણાંક છે રેખીય સહસંબંધ.

નમૂનાના ડેટા પરથી નિર્ધારિત સહસંબંધ ગુણાંકને નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

જ્યાં, સુવિધાઓના વર્તમાન મૂલ્યો અને; અને લાક્ષણિકતાઓના અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્યો; - વેરિઅન્ટના ઉત્પાદનોનો અંકગણિત સરેરાશ અને આ લાક્ષણિકતાઓના પ્રમાણભૂત વિચલનો; નમૂનાનું કદ.

સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, રેન્ડમ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના રેખીય સંબંધની ધારણાને સ્વીકારવા માટે તે પૂરતું છે. પછી ગણતરી કરેલ સહસંબંધ ગુણાંક આ રેખીય સંબંધનું માપ હશે.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક કડક રેખીય નકારાત્મક સંબંધના કિસ્સામાં?1 થી, કડક રેખીયના કિસ્સામાં +1 સુધી મૂલ્યો લે છે સકારાત્મક જોડાણ(તેઓ.). 0 થી સહસંબંધ ગુણાંકની નિકટતા ગેરહાજરી દર્શાવે છે રેખીયલાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના જોડાણો, પરંતુ તેમની વચ્ચેના જોડાણોની ગેરહાજરી વિશે બિલકુલ નહીં.

સહસંબંધ ગુણાંકને દ્રશ્ય ગ્રાફિકલ અર્થઘટન આપી શકાય છે.

જો, તો પછી લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના પ્રકારની રેખીય કાર્યાત્મક અવલંબન છે, જેનો અર્થ છે લાક્ષણિકતાઓનો સંપૂર્ણ સહસંબંધ. જ્યારે, સીધી રેખા અક્ષની તુલનામાં હકારાત્મક ઢોળાવ ધરાવે છે, અને નકારાત્મક (ફિગ. 1b).

જો બિંદુઓ વિસ્તારમાં છે મર્યાદિત રેખા, લંબગોળ જેવું લાગે છે. સહસંબંધ ગુણાંક જેટલો નજીક છે, લંબગોળ સંકુચિત છે અને બિંદુઓ સીધી રેખાની નજીક વધુ નજીકથી કેન્દ્રિત છે. જ્યારે તેઓ કહે છે કે ત્યાં સકારાત્મક સંબંધ છે. આ કિસ્સામાં, મૂલ્યો વધવાની સાથે વધે છે (ફિગ. 1c). જ્યારે તેઓ નકારાત્મક સહસંબંધ વિશે વાત કરે છે; મૂલ્યો વૃદ્ધિ સાથે ઘટે છે (ફિગ. 1d).

જો, પછી બિંદુઓ વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલા વિસ્તારમાં સ્થિત છે. આનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ લક્ષણો વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી, અને આવા લક્ષણોને અસંબંધિત (ફિગ. 1a) કહેવામાં આવે છે.

ઉપરાંત, જ્યારે લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે સંબંધ હોય ત્યારે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યની નજીક (સમાન) હોઈ શકે છે, પરંતુ તે બિનરેખીય છે (ફિગ. 2).

કનેક્શનની ચુસ્તતાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, તમે નીચેના શરતી કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

નોંધ કરો કે જથ્થાના નમૂનાના રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક માટેના સૂત્રના અંશ અને સાથે તેમના સહપ્રવર્તન સૂચક ધરાવે છે:

આ સૂચક, સહસંબંધ ગુણાંકની જેમ, જથ્થાઓ અને વચ્ચેના રેખીય સંબંધની ડિગ્રી દર્શાવે છે. જો તે શૂન્ય કરતા વધારે હોય, તો પછી પ્રમાણો વચ્ચેનો સંબંધ સકારાત્મક છે, જો તે શૂન્યથી ઓછો હોય, તો સંબંધ નકારાત્મક છે, ત્યાં કોઈ રેખીય સંબંધ નથી.

સહસંબંધ ગુણાંકથી વિપરીત, સહપ્રવાહ સૂચક સામાન્ય થાય છે - તેનું એક પરિમાણ છે, અને તેનું મૂલ્ય માપનના એકમો પર આધારિત છે અને. આંકડાકીય પૃથ્થકરણમાં, સહપ્રવૃત્તિ સૂચકનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરીમાં મધ્યવર્તી તત્વ તરીકે થાય છે. તે. નમૂના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ફોર્મ લે છે:

સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વ (વિશ્વસનીયતા) નો અંદાજ

એ નોંધવું જોઈએ કે ચલો વચ્ચેના રેખીય સંબંધની ડિગ્રીનું સાચું સૂચક સૈદ્ધાંતિક સહસંબંધ ગુણાંક છે, જે સમગ્ર વસ્તી (એટલે કે, તમામ) ના ડેટાના આધારે ગણવામાં આવે છે. શક્ય મૂલ્યોસૂચકાંકો):

સૈદ્ધાંતિક સહપ્રવૃત્તિ સૂચકાંક ક્યાં છે, જે તરીકે ગણવામાં આવે છે ગાણિતિક અપેક્ષા SVs ના વિચલનો અને તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓમાંથી ઉત્પાદનો.

એક નિયમ તરીકે, અમે સૈદ્ધાંતિક સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરી શકતા નથી. જો કે, હકીકત એ છે કે નમૂના ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી, તે અનુસરતું નથી કે સૈદ્ધાંતિક ગુણાંક પણ છે (એટલે કે, સૂચકો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોઈ શકે છે). તે. રેન્ડમ સેમ્પલિંગ ડેટાના આધારે, એવું કહી શકાય નહીં કે સૂચકો વચ્ચે કોઈ સંબંધ છે.

નમૂના સહસંબંધ ગુણાંક એ સૈદ્ધાંતિક ગુણાંકનો અંદાજ છે, કારણ કે તે માત્ર ચલ મૂલ્યોના ભાગ માટે ગણવામાં આવે છે.

સહસંબંધ ગુણાંકમાં હંમેશા ભૂલ હોય છે. આ ભૂલ - નમૂનાના કદના સહસંબંધ ગુણાંક અને સામાન્ય વસ્તી માટેના સહસંબંધ ગુણાંક વચ્ચેની વિસંગતતા સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ખાતે; અને ખાતે.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું પરીક્ષણ કરવાનો અર્થ એ છે કે નમૂનાના ડેટા પર આપણે કેટલો વિશ્વાસ કરી શકીએ છીએ.

આ હેતુ માટે, નલ પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે કે વસ્તી માટે સહસંબંધ ગુણાંકનું મૂલ્ય શૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે. વસ્તીમાં કોઈ સંબંધ નથી. વૈકલ્પિક એક પૂર્વધારણા છે.

આ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, વિદ્યાર્થી આંકડા (-માપદંડ) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

જે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ ધરાવે છે. વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તે નક્કી કરવામાં આવે છે નિર્ણાયક મૂલ્ય. જો માપદંડનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય, તો નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, એટલે કે, ગણતરી કરેલ સહસંબંધ ગુણાંક સંભાવના સાથે શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે.

જો, તો પછી નલ પૂર્વધારણાને નકારી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, સંભવ છે કે સહસંબંધ ગુણાંકનું સાચું મૂલ્ય શૂન્ય છે, એટલે કે. સૂચકો વચ્ચેનો સંબંધ આંકડાકીય રીતે નજીવો ગણી શકાય.

ઉદાહરણ 1. કોષ્ટક કુલ આવક અને અંતિમ વપરાશ ખર્ચ પર 8 વર્ષનો ડેટા દર્શાવે છે.

આપેલ સૂચકાંકો વચ્ચેના સંબંધની નિકટતાનો અભ્યાસ કરો અને માપો.

સહસંબંધ વિશ્લેષણ બે વચ્ચેના જોડાણની ડિગ્રી સાથે વ્યવહાર કરે છે રેન્ડમ ચલોએક્સ અને વાય.

બે રેન્ડમ ચલો માટે પ્રાયોગિક ડેટાના સહસંબંધ વિશ્લેષણમાં નીચેની મૂળભૂત તકનીકોનો સમાવેશ થાય છે:
1. નમૂના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી.
2. સહસંબંધ કોષ્ટક દોરવું.
3. તપાસો આંકડાકીય પૂર્વધારણાજોડાણનું મહત્વ.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ X અને Y વચ્ચેના સહસંબંધ અવલંબનને રેખીય સહસંબંધ કહેવામાં આવે છે જો બંને રીગ્રેશન ફંક્શન f(x) અને φ(x) રેખીય હોય. આ કિસ્સામાં, બંને રીગ્રેસન રેખાઓ સીધી છે; તેમને રીગ્રેસન રેખાઓ કહેવામાં આવે છે.

પૂરતી માટે સંપૂર્ણ વર્ણનજથ્થાઓ વચ્ચેના સહસંબંધ અવલંબનની લાક્ષણિકતાઓ, આ અવલંબનનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે તે પૂરતું નથી અને કિસ્સામાં રેખીય અવલંબનરીગ્રેસન ગુણાંકના મૂલ્ય દ્વારા તેની શક્તિનું મૂલ્યાંકન કરો. ઉદાહરણ તરીકે, તે સ્પષ્ટ છે કે માધ્યમિક શાળાના વિદ્યાર્થીઓની તેમના શાળાકીય અભ્યાસના વર્ષ X પર વય Y સાથે સંબંધની અવલંબન, એક નિયમ તરીકે, ઉચ્ચ શિક્ષણના વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરની સમાન અવલંબન કરતાં નજીક છે. શૈક્ષણિક સંસ્થાઅભ્યાસના વર્ષના આધારે, કારણ કે યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસના તે જ વર્ષના વિદ્યાર્થીઓમાં સામાન્ય રીતે સમાન વર્ગના શાળાના બાળકો કરતાં વયમાં વધુ વિક્ષેપ હોય છે.

નમૂના અવલોકનોના પરિણામોના આધારે X અને Y ના મૂલ્યો વચ્ચેના રેખીય સહસંબંધ અવલંબનની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, નમૂનાના રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકની વિભાવના રજૂ કરવામાં આવી છે, જે સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે:

જ્યાં σ X અને σ Y એ X અને Y મૂલ્યોના નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલનો છે, જેની ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

એ નોંધવું જોઈએ કે નમૂનાના રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક r B નો મુખ્ય અર્થ એ છે કે તે અનુરૂપ સામાન્ય રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક r: r= નો પ્રયોગમૂલક (એટલે કે, X અને Y મૂલ્યોના અવલોકનોના પરિણામોમાંથી મળેલ) અંદાજ રજૂ કરે છે. આર બી (9)

સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેતા:

આપણે જોઈએ છીએ કે નમૂનાનું સમીકરણ રેખીય રીગ્રેસન X દ્વારા Y દેખાય છે:

(10)

ક્યાં. Y પર X ના નમૂનાના રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણો વિશે પણ એવું જ કહી શકાય:

(11)

નમૂનાના રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મો:

1. રેખીય સહસંબંધ દ્વારા સંબંધિત ન હોય તેવા બે જથ્થાનો સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્ય સમાન છે.
2. રેખીય સહસંબંધ અવલંબન દ્વારા સંબંધિત બે જથ્થાનો સહસંબંધ ગુણાંક વધતી અવલંબનના કિસ્સામાં 1 અને ઘટતા અવલંબનના કિસ્સામાં -1 ની બરાબર છે.
3. સંપૂર્ણ મૂલ્યરેખીય સહસંબંધ અવલંબન દ્વારા સંબંધિત બે જથ્થાના સહસંબંધ ગુણાંક અસમાનતાને સંતોષે છે 0<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. નજીક |r| 1 થી, Y અને X ના મૂલ્યો વચ્ચેના રેખીય સહસંબંધ જેટલો નજીક છે.

તેની પ્રકૃતિ દ્વારા, સહસંબંધ સીધો અથવા વ્યસ્ત હોઈ શકે છે, અને તાકાત દ્વારા - મજબૂત, મધ્યમ, નબળા. વધુમાં, જોડાણ ગેરહાજર અથવા સંપૂર્ણ હોઈ શકે છે.

પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધની તાકાત અને પ્રકૃતિ

ઉદાહરણ 4. Y અને X બે જથ્થાઓ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

એક્સ	68	37	50	53	75	66	52	65	74	65	54
વાય	114	149	146	141	114	112	124	105	141	120	124

આવશ્યક:
1) નમૂના સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરો;
2) સહસંબંધની પ્રકૃતિ અને શક્તિનું મૂલ્યાંકન કરો;
3) X પર Y માટે રેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. જાણીતા સૂત્રો અનુસાર:

તેથી, (7) અને (8) મુજબ:

આમ, તે તારણ કાઢવું જોઈએ કે X અને Y ના મૂલ્યો વચ્ચે વિચારણા હેઠળની સહસંબંધ અવલંબન પ્રકૃતિમાં વિપરીત છે અને તાકાતમાં સરેરાશ છે.

3) X પર Y નું રેખીય રીગ્રેશન સમીકરણ:

ઉદાહરણ 5. ગુણવત્તા Y (%) અને જથ્થા X (pcs) વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. અવલોકન પરિણામો સહસંબંધ કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે:

Y\X	18	22	26	30	n y
70	5				5
75	7	46	1		54
80		29	72		101
85			29	8
90				3	3
n x	12	75	102	11	200

X પર Y ની અવલંબનના નમૂનાના રેખીય સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ. ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે, ચાલો નવા ચલો - શરતી વિકલ્પો (u i, v i) તરફ આગળ વધીએ, h 1 =4, h 2 =5, x 0 =26, y 0 =80 સાથે સૂત્રો (*) (§3) નો ઉપયોગ કરીને. સગવડ માટે, અમે આ કોષ્ટકને નવા સંકેતમાં ફરીથી લખીએ છીએ: