9. સતત રેન્ડમ ચલ, તેની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
સતત રેન્ડમ ચલ બે કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. રેન્ડમ ચલ X નું અવિભાજ્ય સંભાવના વિતરણ કાર્યસમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય કહેવાય છે 
.
અભિન્ન કાર્ય આપે છે સામાન્ય પદ્ધતિબંને અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલોની સોંપણીઓ. સતત રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં. બધી ઘટનાઓ: સમાન સંભાવના ધરાવે છે, આ અંતરાલ પરના અભિન્ન કાર્યના વધારાની સમાન છે, એટલે કે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉદાહરણ તરીકે 26 માં ઉલ્લેખિત અલગ રેન્ડમ ચલ માટે, અમારી પાસે છે:
આમ, વિચારણા હેઠળના કાર્યના અભિન્ન કાર્યનો આલેખ એ Ox અક્ષની સમાંતર બે કિરણો અને ત્રણ ભાગોનું જોડાણ છે.
ઉદાહરણ 27. સતત રેન્ડમ ચલ X એ અભિન્ન સંભાવના વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે
.
ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો અને સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે, રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (0.5;1.5) માં મૂલ્ય લેશે.
ઉકેલ. અંતરાલ પર 
આલેખ એ સીધી રેખા y = 0 છે. 0 થી 2 ના અંતરાલમાં સમીકરણ દ્વારા એક પેરાબોલા આપવામાં આવે છે 
. અંતરાલ પર 
ગ્રાફ સીધી રેખા y = 1 છે.
પરીક્ષણના પરિણામે રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (0.5;1.5) માં મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.
આમ, .
અભિન્ન સંભાવના વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:
બીજા ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ વેરીએબલના વિતરણ કાયદાનો ઉલ્લેખ કરવો અનુકૂળ છે, એટલે કે, સંભાવના ઘનતા કાર્યો
.
રેન્ડમ ચલ X દ્વારા ધારવામાં આવેલ મૂલ્ય અંતરાલની અંદર આવે તેવી સંભાવના 
, સમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે 
.
કાર્યનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક. ભૌમિતિક રીતે, અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલ Xની સંભાવના વિતરણ વળાંક, ઓક્સ અક્ષ અને સીધી રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલા અનુરૂપ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રની બરાબર છે. 
.
સંભાવના ઘનતા કાર્યના ગુણધર્મો:
9.1. સતત રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ Xનું (સરેરાશ મૂલ્ય) સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે 
.
M(X) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એ. સતત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે અલગ જથ્થો, ગુણધર્મો:
ભિન્નતાડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X કહેવાય છે ગાણિતિક અપેક્ષાતેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વિચલનનો વર્ગ, એટલે કે. . સતત રેન્ડમ ચલ માટે, ભિન્નતા સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે 
.
વિક્ષેપમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
છેલ્લી ગુણધર્મ સતત રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા શોધવા માટે વાપરવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે.
પ્રમાણભૂત વિચલનનો ખ્યાલ એ જ રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. સતતનું પ્રમાણભૂત વિચલનરેન્ડમ વેરીએબલ X એ વિચલનનું વર્ગમૂળ કહેવાય છે, એટલે કે. 
.
ઉદાહરણ 28. સતત રેન્ડમ ચલ X એ સંભાવના ઘનતા કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે 
અંતરાલ (10;12) માં, આ અંતરાલની બહાર ફંક્શનનું મૂલ્ય 0 છે. 1 શોધો) પરિમાણનું મૂલ્ય એ, 2) ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), ભિન્નતા 
, પ્રમાણભૂત વિચલન, 3) અભિન્ન કાર્ય 
અને અભિન્ન અને વિભેદક કાર્યોના આલેખ બનાવો.
1). પરિમાણ શોધવા માટે એસૂત્રનો ઉપયોગ કરો 
. અમે તે મેળવીશું. આમ, 
.
2). ગાણિતિક અપેક્ષા શોધવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: , જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે 
.
આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તફાવત શોધીશું: 
, એટલે કે .
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધીએ: , જેમાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ 
.
3). અભિન્ન કાર્ય સંભવિત ઘનતા કાર્ય દ્વારા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: 
. આથી, 
ખાતે 
, = 0 ખાતે 
u = 1 ખાતે 
.
આ કાર્યોના ગ્રાફ ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 4. અને ફિગ. 5.
Fig.4 Fig.5.
9.2. સતત રેન્ડમ ચલનું સમાન સંભાવના વિતરણ
સતત રેન્ડમ ચલ X નું સંભવિત વિતરણ સમાનરૂપેઅંતરાલ પર જો તેની સંભાવના ઘનતા આ અંતરાલ પર સ્થિર હોય અને આ અંતરાલની બહાર શૂન્યની બરાબર હોય, એટલે કે. . આ કિસ્સામાં તે બતાવવાનું સરળ છે 
.
જો અંતરાલ 
પછી અંતરાલમાં સમાયેલ છે 
.
ઉદાહરણ 29.ત્વરિત સિગ્નલ ઘટના એક વાગ્યાથી પાંચ વાગ્યાની વચ્ચે થવી જોઈએ. સિગ્નલની રાહ જોવાનો સમય એ રેન્ડમ વેરીએબલ X છે. બપોરે બે થી ત્રણ વાગ્યાની વચ્ચે સિગ્નલ શોધવામાં આવશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. રેન્ડમ વેરીએબલ X એક સમાન વિતરણ ધરાવે છે, અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ કે સિગ્નલ બપોરે 2 થી 3 વાગ્યાની વચ્ચે હશે તેવી સંભાવના બરાબર છે 
.
શૈક્ષણિક અને અન્ય સાહિત્યમાં, તેઓ ઘણીવાર સાહિત્યમાં દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે 
.
9.3. સતત રેન્ડમ ચલનું સામાન્ય સંભાવના વિતરણ
સતત રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે જો તેની સંભાવના વિતરણ કાયદો સંભાવના ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે 
. આવા જથ્થાઓ માટે એ- ગાણિતિક અપેક્ષા, 
- પ્રમાણભૂત વિચલન.
પ્રમેય. આપેલ અંતરાલમાં આવતા સામાન્ય રીતે વિતરિત સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના 
ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે 
, ક્યાં 
- લેપ્લેસ કાર્ય.
આ પ્રમેયનો એક પરિણામ છે ત્રણનો નિયમસિગ્મા, એટલે કે તે લગભગ નિશ્ચિત છે કે સામાન્ય રીતે વિતરિત, સતત રેન્ડમ ચલ X અંતરાલમાં તેના મૂલ્યો લે છે 
. આ નિયમ સૂત્રમાંથી મેળવી શકાય છે 
, જે ઘડાયેલ પ્રમેયનો વિશેષ કેસ છે.
ઉદાહરણ 30.ટીવીનું ઓપરેટિંગ જીવન એક રેન્ડમ ચલ X છે, જે સામાન્ય વિતરણ કાયદાને આધીન છે, વોરંટી અવધિ 15 વર્ષ અને 3 વર્ષનું પ્રમાણભૂત વિચલન. ટીવી 10 થી 20 વર્ષ સુધી ચાલશે તેવી સંભાવના શોધો.
ઉકેલ. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, ગાણિતિક અપેક્ષા એ= 15, પ્રમાણભૂત વિચલન.
ચાલો શોધીએ . આમ, 10 થી 20 વર્ષ સુધી ચાલતા ટીવીની સંભાવના 0.9 થી વધુ છે.
9.4. ચેબીશેવની અસમાનતા
થાય છે ચેબીશેવનું લેમ્મા. જો રેન્ડમ ચલ X માત્ર બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા છે, તો પછી કોઈપણ હકારાત્મક માટે વી
.
તે ધ્યાનમાં લેતા, વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા તરીકે, આપણે તે મેળવીએ છીએ 
.
ચેબીશેવનું પ્રમેય. જો રેન્ડમ ચલ X પાસે મર્યાદિત ભિન્નતા છે 
અને ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), પછી કોઈપણ હકારાત્મક માટે 
અસમાનતા સાચી છે
.
જ્યાંથી તે તેને અનુસરે છે 
.
ઉદાહરણ 31.ભાગોનો બેચ બનાવવામાં આવ્યો છે. ભાગોની સરેરાશ લંબાઈ 100 સેમી છે, અને પ્રમાણભૂત વિચલન 0.4 સેમી છે. સંભવિતતાની નીચેથી અંદાજ કાઢો કે રેન્ડમ લેવામાં આવેલા ભાગની લંબાઈ ઓછામાં ઓછી 99 સેમી હશે. અને 101cm કરતાં વધુ નહીં.
ઉકેલ. ભિન્નતા. ગાણિતિક અપેક્ષા 100 છે. તેથી, પ્રશ્નમાં ઘટનાની સંભાવનાની નીચેથી અંદાજ કાઢવો 
ચાલો ચેબીશેવની અસમાનતા લાગુ કરીએ, જેમાં 
, પછી 
.
10. ગાણિતિક આંકડાઓના તત્વો
આંકડાકીય એકંદરસજાતીય વસ્તુઓ અથવા ઘટનાના સમૂહને નામ આપો. નંબર nઆ સમૂહના ઘટકોને સંગ્રહનું પ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. અવલોકન કરેલ મૂલ્યો 
લક્ષણ X કહેવાય છે વિકલ્પો. જો વિકલ્પોને વધતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે, તો આપણને મળે છે સ્વતંત્ર વિવિધતા શ્રેણી. જૂથીકરણના કિસ્સામાં, અંતરાલો દ્વારા વિકલ્પ બહાર આવે છે અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણી. હેઠળ આવર્તન ટીલાક્ષણિક મૂલ્યો આપેલ વેરિઅન્ટ સાથે વસ્તીના સભ્યોની સંખ્યાને સમજે છે.
આંકડાકીય વસ્તીના વોલ્યુમ અને આવર્તનનો ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે સંબંધિત આવર્તનચિહ્ન: 
.
વિકલ્પો વચ્ચે સંબંધ વિવિધતા શ્રેણીઅને તેમની ફ્રીક્વન્સીઝ કહેવાય છે નમૂનાનું આંકડાકીય વિતરણ. આંકડાકીય વિતરણની ગ્રાફિકલ રજૂઆત હોઈ શકે છે બહુકોણઆવર્તન
ઉદાહરણ 32.પ્રથમ વર્ષના 25 વિદ્યાર્થીઓનું સર્વેક્ષણ કરીને, તેમની ઉંમર વિશેનો નીચેનો ડેટા મેળવવામાં આવ્યો હતો: 
. કંપોઝ કરો આંકડાકીય વિતરણવય દ્વારા વિદ્યાર્થીઓ, વિવિધતાની શ્રેણી શોધો, આવર્તન બહુકોણ બનાવો અને સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝના વિતરણની શ્રેણીનું સંકલન કરો.
ઉકેલ. સર્વેક્ષણમાંથી મેળવેલ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નમૂનાનું આંકડાકીય વિતરણ બનાવીશું
|
વિવિધતા નમૂનાની શ્રેણી 23 – 17 = 6 છે. આવર્તન બહુકોણ બનાવવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુઓ બનાવો 
અને તેમને શ્રેણીમાં જોડો.
સંબંધિત આવર્તન વિતરણ શ્રેણીનું સ્વરૂપ છે:
|
10.1.વિવિધતા શ્રેણીની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
લક્ષણ X ના ફ્રીક્વન્સી ડિસ્ટ્રિબ્યુશનની શ્રેણી દ્વારા નમૂના આપવા દો:
|
|
|
|
||
|
|
|
તમામ ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો સમાન છે પી.
નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશજથ્થાને નામ આપો 
.
ભિન્નતાઅથવા તેના અંકગણિત સરેરાશના સંબંધમાં લાક્ષણિકતા X ના મૂલ્યોના વિખેરવાના માપને મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે 
. પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે, એટલે કે. .
નમૂનાના અંકગણિત સરેરાશ સાથે પ્રમાણભૂત વિચલનનો ગુણોત્તર, ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, કહેવાય છે વિવિધતાના ગુણાંક:
.
પ્રયોગમૂલક સંબંધિત આવર્તન વિતરણ કાર્યએક કાર્યને કૉલ કરો જે દરેક મૂલ્ય માટે ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન નક્કી કરે છે 
, એટલે કે 
, ક્યાં 
- વિકલ્પોની સંખ્યા, નાની એક્સ, એ n- નમૂનાનું કદ.
ઉદાહરણ 33.ઉદાહરણ 32 ની શરતો હેઠળ, સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો 
.
ઉકેલ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ શોધીએ, પછી.
લક્ષણ X નો તફાવત સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: , એટલે કે . નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે 
. વિવિધતાનો ગુણાંક છે 
.
10.2. સંબંધિત આવર્તન દ્વારા સંભાવના અંદાજ. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ
તેને હાથ ધરવા દો nસ્વતંત્ર અજમાયશ, જેમાંના દરેકમાં ઘટના A થવાની સંભાવના સતત અને સમાન હોય છે આર. આ કિસ્સામાં, ચોક્કસ મૂલ્યમાં પ્રત્યેક અજમાયશમાં ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવનાથી સંબંધિત આવર્તન અલગ હશે તેવી સંભાવના બાય કરતાં વધુ નથી, તે લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શનના મૂલ્ય કરતાં લગભગ બમણી છે: 
.
અંતરાલ અંદાજઆવા અંદાજને કૉલ કરો, જે આંકડાકીય વસ્તીના અંદાજિત પરિમાણને આવરી લેતા અંતરાલના છેડા બે સંખ્યાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ
આપેલ સાથેનું અંતરાલ કહેવાય છે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના 
આંકડાકીય વસ્તીના અંદાજિત પરિમાણને આવરી લે છે. સૂત્રને ધ્યાનમાં રાખીને જેમાં આપણે અજાણ્યા જથ્થાને બદલીએ છીએ આરતેના અંદાજિત મૂલ્ય સુધી 
નમૂના ડેટામાંથી મેળવેલ, અમે મેળવીએ છીએ: 
. આ સૂત્રનો ઉપયોગ સંબંધિત આવર્તન દ્વારા સંભવિતતાનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. સંખ્યાઓ 
અને 
નીચલા અને અનુક્રમે ઉપલા કહેવાય છે વિશ્વાસની સીમાઓ, - આપેલ વિશ્વાસ સંભાવના માટે મહત્તમ ભૂલ 
.
ઉદાહરણ 34. ફેક્ટરી વર્કશોપ લાઇટ બલ્બનું ઉત્પાદન કરે છે. જ્યારે 625 લેમ્પની તપાસ કરતાં 40 ખામીયુક્ત જણાયા હતા. 0.95 ની આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે, ફેક્ટરી વર્કશોપ દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત લાઇટ બલ્બની ટકાવારી રહેલી સીમાઓ શોધો.
ઉકેલ. કાર્યની શરતો અનુસાર. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ 
. પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 2 નો ઉપયોગ કરીને, આપણે દલીલનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ, જેમાં લેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શનનું મૂલ્ય 0.475 જેટલું છે. અમે તે મેળવીએ છીએ 
. આમ, . તેથી, અમે 0.95 ની સંભાવના સાથે કહી શકીએ કે વર્કશોપ દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીઓનો હિસ્સો ઊંચો છે, એટલે કે, તે 6.2% થી 6.6% સુધી બદલાય છે.
10.3. આંકડાશાસ્ત્રમાં પરિમાણ અંદાજ
અભ્યાસ હેઠળ સમગ્ર વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા Xને ચાલો ( વસ્તી) ધરાવે છે સામાન્ય વિતરણ.
જો પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું છે, તો પછી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, ગાણિતિક અપેક્ષાને આવરી લે છે એ 
, ક્યાં n- નમૂનાનું કદ, 
- નમૂનો અંકગણિત સરેરાશ, tલેપ્લેસ ઇન્ટિગ્રલ ફંક્શનની દલીલ છે, જેના પર 
. આ કિસ્સામાં નંબર 
અંદાજ ચોકસાઈ કહેવાય છે.
જો પ્રમાણભૂત વિચલન અજ્ઞાત હોય, તો નમૂનાના ડેટામાંથી રેન્ડમ ચલ બનાવવું શક્ય છે કે જેમાં વિદ્યાર્થી વિતરણ હોય n- સ્વતંત્રતાની 1 ડિગ્રી, જે ફક્ત એક પરિમાણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે nઅને અજાણ્યાઓ પર નિર્ભર નથી એઅને . નાના નમૂનાઓ માટે પણ વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણ 
તદ્દન સંતોષકારક રેટિંગ આપે છે. પછી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ગાણિતિક અપેક્ષાને આવરી લે છે એઆપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથેની આ સુવિધા શરતમાંથી મળી આવે છે 
, જ્યાં S એ સુધારેલ સરેરાશ ચોરસ છે, 
- વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક, ડેટામાંથી મળ્યો 
પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 3 માંથી.
આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે આ લાક્ષણિકતાના પ્રમાણભૂત વિચલનને આવરી લેતો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે: અને , જ્યાં 
મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી મળે છે q
ડેટા અનુસાર.
10.4. રેન્ડમ ચલો વચ્ચે અવલંબનનો અભ્યાસ કરવા માટેની આંકડાકીય પદ્ધતિઓ
X પર Y ની સહસંબંધ અવલંબન એ શરતી સરેરાશની કાર્યાત્મક અવલંબન છે 
થી એક્સ.સમીકરણ 
X પર Y નું રીગ્રેશન સમીકરણ રજૂ કરે છે, અને 
- Y પર X નું રીગ્રેશન સમીકરણ.
સહસંબંધ અવલંબન રેખીય અથવા વક્રીય હોઈ શકે છે. રેખીય સહસંબંધ અવલંબનના કિસ્સામાં, સીધી રીગ્રેસન રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: 
, જ્યાં ઢાળ એ X પર રીગ્રેસન Y ની સીધી રેખાને X પરના નમૂના રીગ્રેસન ગુણાંક Y કહેવામાં આવે છે અને તે સૂચવવામાં આવે છે 
.
નાના નમૂનાઓ માટે, ડેટા જૂથબદ્ધ નથી, પરિમાણો 
પદ્ધતિ અનુસાર જોવા મળે છે ઓછામાં ઓછા ચોરસસામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી:
, ક્યાં n- આંતરસંબંધિત જથ્થાઓની જોડીના મૂલ્યોના અવલોકનોની સંખ્યા.
પસંદગીયુક્ત રેખીય ગુણાંકસહસંબંધ 
Y અને X વચ્ચેનો ગાઢ સંબંધ દર્શાવે છે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સહસંબંધ ગુણાંક જોવા મળે છે 
, અને 
, એટલે કે:
X પર સીધી રીગ્રેશન લાઇન Y ના નમૂના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:
.
X અને Y લાક્ષણિકતાઓના મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, સમાન મૂલ્ય સાથે, બે ઇનપુટ્સ સાથેનું સહસંબંધ કોષ્ટક સંકલિત કરવામાં આવે છે. એક્સઅવલોકન કર્યું 
સમય, સમાન અર્થ ખાતેઅવલોકન કર્યું 
વખત, સમાન જોડી 
અવલોકન કર્યું 
એકવાર
ઉદાહરણ 35. X અને Y ચિહ્નોના અવલોકનોનું કોષ્ટક આપવામાં આવ્યું છે.
|
X પર સીધી રીગ્રેસન રેખા Yનું નમૂના સમીકરણ શોધો.
ઉકેલ. અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેનો સંબંધ X પર Y ની સીધી રેખા રીગ્રેસનના સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે: . સમીકરણના ગુણાંકની ગણતરી કરવા માટે, અમે ગણતરી કોષ્ટક બનાવીશું:
અવલોકન નં. |
|
|
||
પ્રકરણ 6. સતત રેન્ડમ ચલો.
§ 1. સતત રેન્ડમ ચલની ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય.
સતત રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ અગણિત છે અને સામાન્ય રીતે અમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
સંભવિત જગ્યા (W, S, P) માં વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ચલ x(w) કહેવાય છે. સતત(એકદમ સતત) W, જો ત્યાં બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય કે જે કોઈપણ x માટે વિતરણ કાર્ય Fx(x) ને અભિન્ન તરીકે રજૂ કરી શકાય
ફંક્શનને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે સંભાવના વિતરણ ઘનતા.
વ્યાખ્યા વિતરણ ઘનતા કાર્યના ગુણધર્મો સૂચવે છે:
1..gif" width="97" height="51">
3. સાતત્યના બિંદુઓ પર, વિતરણ ઘનતા વિતરણ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે: .
4. વિતરણ ઘનતા રેન્ડમ ચલના વિતરણના નિયમને નિર્ધારિત કરે છે, કારણ કે તે અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરે છે:
5. સતત રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના શૂન્ય છે: . તેથી, નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:
વિતરણ ઘનતા કાર્યનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક, અને વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર એકતા સમાન છે. પછી, ભૌમિતિક રીતે, બિંદુ x0 પર વિતરણ કાર્ય Fx(x) નું મૂલ્ય એ વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર છે અને બિંદુ x0 ની ડાબી બાજુએ આવેલો છે.
કાર્ય 1.સતત રેન્ડમ ચલના ઘનતા કાર્યનું સ્વરૂપ છે:
સ્થિર C નક્કી કરો, વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવો અને સંભાવનાની ગણતરી કરો.
ઉકેલ.અમારી પાસે જે સ્થિતિ છે તેમાંથી સ્થિર C જોવા મળે છે:
જ્યાંથી C=3/8.
વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવવા માટે, નોંધ કરો કે અંતરાલ દલીલ x (સંખ્યાત્મક અક્ષ) ના મૂલ્યોની શ્રેણીને ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
કારણ કે અર્ધ-અક્ષ પર x ઘનતા શૂન્ય છે. બીજા કિસ્સામાં
છેલ્લે, છેલ્લા કિસ્સામાં, જ્યારે x>2,
કારણ કે ઘનતા અર્ધ-અક્ષ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી, વિતરણ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે
સંભાવના ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ. આમ,
§ 2. સતત રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અપેક્ષાસતત વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે ફોર્મ્યુલા https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,
જો જમણી બાજુનું અવિભાજ્ય સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય.
વિખેરી નાખવું x ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે 
, અને એ પણ, સ્વતંત્ર કેસની જેમ, ફોર્મ્યુલા https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> અનુસાર.
અલગ રેન્ડમ ચલ માટે પ્રકરણ 5 માં આપેલ ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના તમામ ગુણધર્મો સતત રેન્ડમ ચલો માટે પણ માન્ય છે.
સમસ્યા 2. સમસ્યા 1 માંથી રેન્ડમ ચલ x માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો .
ઉકેલ.
અને તેનો અર્થ છે
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
ઘનતા ગ્રાફ સમાન વિતરણઅંજીર જુઓ. .
ફિગ.6.2. વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા. સમાન કાયદો
સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય Fx(x) બરાબર છે
Fx(x)= 
અપેક્ષા અને ભિન્નતા; .
ઘાતાંકીય (ઘાતાંકીય) વિતરણ.બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લેતા સતત રેન્ડમ ચલ x માં પરિમાણ l>0 સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ હોય છે જો રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા વિતરણ સમાન હોય
рx(x)= 
ચોખા. 6.3. ઘાતાંકીય કાયદાનું વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા.
ઘાતાંકીય વિતરણનું વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> અને જો તેની વિતરણ ઘનતા બરાબર છે
.
દ્વારા પેરામીટર પેરામીટર્સ અને .
સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય બરાબર છે
.
ચોખા. 6.4. વિતરણ કાર્ય અને સામાન્ય વિતરણ ઘનતા
સામાન્ય વિતરણના પરિમાણો એ ગાણિતિક અપેક્ષા છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> સામાન્ય વિતરણ કહેવામાં આવે છે ધોરણ, અને આવા વિતરણોનો વર્ગ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે,
અને વિતરણ કાર્ય
આવા અવિભાજ્યની વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણતરી કરી શકાતી નથી (તે "ચતુર્ભુજ" માં લેવામાં આવતી નથી), અને તેથી કાર્ય માટે કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે. આ ફંક્શન પ્રકરણ 4 માં રજૂ કરાયેલ લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે
,
નીચેના સંબંધ દ્વારા 
. મનસ્વી પરિમાણ મૂલ્યોના કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે:
.
તેથી, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના અંતરાલમાં આવતા સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
.
બિન-નકારાત્મક રેન્ડમ ચલ x એ લોગનોર્મલી વિતરિત કહેવાય છે જો તેનો લઘુગણક h=lnx સામાન્ય નિયમનું પાલન કરે છે. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા Mx= અને Dx= છે.
કાર્ય 3.રેન્ડમ ચલને https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> આપવા દો.
ઉકેલ.અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
લેપ્લેસ વિતરણફંક્શન fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કર્ટોસિસ gx=3 છે.
ફિગ.6.5. લેપ્લેસ વિતરણ ઘનતા કાર્ય.
રેન્ડમ ચલ x ઉપર વિતરિત થયેલ છે વેઇબુલનો કાયદો, જો તેનું વિતરણ ઘનતા કાર્ય https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> સમાન હોય
વેઇબુલ વિતરણ ઘણા તકનીકી ઉપકરણોના નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમયને નિયંત્રિત કરે છે. આ પ્રોફાઇલના કાર્યોમાં મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઉંમર t ના અભ્યાસ કરેલ ઘટકોનો નિષ્ફળતા દર (મૃત્યુ દર) l(t) છે, જે સંબંધ l(t)= દ્વારા નિર્ધારિત છે. જો a=1, તો વેઈબુલ વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણમાં ફેરવાય છે, અને જો a=2 - કહેવાતા વિતરણમાં રેલે.
વેઇબુલ વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, જ્યાં Г(а) એ યુલર છે કાર્ય
IN વિવિધ કાર્યોલાગુ આંકડાઓમાં, કહેવાતા "કાપાયેલા" વિતરણોનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કર સત્તાવાળાઓ તે વ્યક્તિઓની આવકના વિતરણમાં રસ ધરાવે છે જેમની વાર્ષિક આવક કર કાયદા દ્વારા સ્થાપિત ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડ c0 કરતાં વધી જાય છે. આ વિતરણો લગભગ પેરેટો વિતરણ સાથે સુસંગત છે. પેરેટો વિતરણકાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે
Fx(x)=P(x
અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
કાર્ય 4.રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની ઘનતા શોધો.
ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે તેને અનુસરે છે
આગળ, કાર્ય અંતરાલ પર એક એકવિધ અને વિભેદક કાર્ય છે અને તેમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે 
, જેના વ્યુત્પન્ન સમાન છે તેથી,
§ 5. સતત રેન્ડમ ચલોની જોડી
બે સતત રેન્ડમ ચલ x અને h આપવા દો. પછી જોડી (x, h) પ્લેન પર "રેન્ડમ" બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જોડી (x, h) કહેવાય છે રેન્ડમ વેક્ટરઅથવા દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ.
સંયુક્ત વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ x અને h અને ફંક્શનને F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> કહેવામાં આવે છે. સંયુક્ત ઘનતારેન્ડમ ચલ x અને h ની સંભાવના વિતરણને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે જેમ કે 
.
સંયુક્ત વિતરણ ઘનતાની આ વ્યાખ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે. "રેન્ડમ પોઈન્ટ" (x, h) પ્લેન પરના પ્રદેશમાં આવે તેવી સંભાવનાની ગણતરી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિના જથ્થા તરીકે કરવામાં આવે છે - સપાટીથી બંધાયેલ "વળાકાર" સિલિન્ડર https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">
બે રેન્ડમ ચલોના સંયુક્ત વિતરણનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ દ્વિ-પરિમાણીય છે સેટ પર સમાન વિતરણએ. એક બાઉન્ડેડ સેટ M ને વિસ્તાર સાથે આપવામાં આવે છે તે જોડી (x, h) ના વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે નીચેની સંયુક્ત ઘનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
કાર્ય 5.દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) ને ત્રિકોણની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવા દો. અસમાનતા x>h ની સંભાવનાની ગણતરી કરો.
ઉકેલ.દર્શાવેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે (જુઓ ફિગ. નંબર?). દ્વિ-પરિમાણીય સમાન વિતરણની વ્યાખ્યાના આધારે, રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x, h બરાબર છે
ઘટના સમૂહને અનુરૂપ છે 
પ્લેન પર, એટલે કે અડધા પ્લેનમાં. પછી સંભાવના
હાફ-પ્લેન B પર, સંયુક્ત ઘનતા સમૂહની બહાર શૂન્ય છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. આમ, અર્ધ-વિમાન B બે સેટમાં વહેંચાયેલું છે અને https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> અને , અને બીજો અવિભાજ્ય સમાન છે શૂન્ય, કારણ કે સંયુક્ત ઘનતા શૂન્યની બરાબર છે. તેથી જ
જો જોડી (x, h) માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે, તો x અને h બંને ઘટકોની ઘનતા કહેવામાં આવે છે. ખાનગી ઘનતાઅને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
ઘનતા рx(х), рh(у) સાથે સતત વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, સ્વતંત્રતાનો અર્થ છે કે
કાર્ય 6.અગાઉની સમસ્યાની સ્થિતિમાં, રેન્ડમ વેક્ટર x અને h ના ઘટકો સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે નક્કી કરો?
ઉકેલ. ચાલો આંશિક ઘનતાની ગણતરી કરીએ અને . અમારી પાસે છે:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
દેખીતી રીતે, અમારા કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> એ x અને h, અને j( ની સંયુક્ત ઘનતા છે. x, y) એ બે દલીલોનું કાર્ય છે, પછી
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
કાર્ય 7.અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, ગણતરી કરો.
ઉકેલ.ઉપરોક્ત સૂત્ર અનુસાર અમારી પાસે છે:
.
ત્રિકોણ તરીકે રજૂ કરે છે
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. બે સતત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઘનતા
x અને h ને ઘનતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. રેન્ડમ ચલ x + ની ઘનતા h ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે ક્રાંતિ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. સરવાળાની ઘનતાની ગણતરી કરો.
ઉકેલ. x અને h પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવ્યા હોવાથી, તેમની ઘનતા સમાન છે
આથી,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
જો એક્સ<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">નકારાત્મક છે, અને તેથી. તેથી, જો https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
આમ અમને જવાબ મળ્યો:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> સામાન્ય રીતે પેરામીટર્સ 0 અને 1 સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલ x1 અને x2 સ્વતંત્ર છે અને સામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે અનુક્રમે a1, અને a2 સાથે સાબિત કરો કે x1 + x2 નું સામાન્ય વિતરણ છે x1, x2, ... xn વિતરિત અને સ્વતંત્ર છે અને સમાન વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે.
.
વિતરણ કાર્ય અને મૂલ્યોના વિતરણની ઘનતા શોધો:
a) h1 = મિનિટ (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = મહત્તમ (x1,x2, ... xn)
રેન્ડમ ચલ x1, x2, ... xn સ્વતંત્ર છે અને અંતરાલ [a, b] પર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. જથ્થાના વિતરણના વિતરણ કાર્યો અને ઘનતા કાર્યો શોધો
x(1) = મિનિટ (x1,x2, ... xn) અને x(2)= મહત્તમ(x1, x2, ...xn).
સાબિત કરો કે Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
રેન્ડમ ચલ કોચીના કાયદા અનુસાર વિતરિત થાય છે શોધો: a) ગુણાંક a; b) વિતરણ કાર્ય; c) અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના (-1, 1). બતાવો કે x ની ગાણિતિક અપેક્ષા અસ્તિત્વમાં નથી. રેન્ડમ વેરીએબલ l (l>0) પેરામીટર સાથે લેપ્લેસના કાયદાને આધીન છે: ગુણાંક a શોધો; વિતરણ ઘનતા આલેખ અને વિતરણ કાર્યોનું નિર્માણ કરો; Mx અને Dx શોધો; ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
વિતરણ ઘનતા માટે એક સૂત્ર લખો, Mx અને Dx શોધો.
કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યો.
રેન્ડમ બિંદુ A ત્રિજ્યા R ના વર્તુળમાં સમાન વિતરણ ધરાવે છે. વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીના બિંદુના અંતર r ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો. બતાવો કે મૂલ્ય r2 સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે. 
રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: 
સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો 
રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: 
સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો 
રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: 
અચળ C, વિતરણ કાર્ય F(x), , ભિન્નતા અને સંભાવનાની ગણતરી કરો એક રેન્ડમ ચલમાં વિતરણ કાર્ય છે 
રેન્ડમ ચલ, ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને સંભાવનાની ઘનતાની ગણતરી કરો તપાસો કે કાર્ય = 
રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય હોઈ શકે છે. આ જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો: Mx અને Dx. રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. વિતરણ ઘનતા લખો. વિતરણ કાર્ય શોધો. સેગમેન્ટ અને સેગમેન્ટ પર આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના શોધો. વિતરણ ઘનતા x બરાબર છે
.
સતત c, વિતરણ ઘનતા h = અને સંભાવના શોધો
પી (0.25 કમ્પ્યુટરનો નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય l = 0.05 (કલાક દીઠ નિષ્ફળતા) પેરામીટર સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેની ઘનતા કાર્ય છે. p(x) = ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે 15 મિનિટ માટે મશીનની મુશ્કેલી-મુક્ત કામગીરી જરૂરી છે. જો કોઈ સમસ્યા હલ કરતી વખતે નિષ્ફળતા આવે છે, તો ઉકેલ પૂર્ણ થયા પછી જ ભૂલ શોધી કાઢવામાં આવે છે, અને સમસ્યા ફરીથી ઉકેલાઈ જાય છે. શોધો: a) સમસ્યાના ઉકેલ દરમિયાન એક પણ નિષ્ફળતા નહીં થાય તેવી સંભાવના; b) સરેરાશ સમય જેમાં સમસ્યા હલ થશે. 24 સે.મી. લાંબી સળિયાને બે ભાગમાં ભાંગી નાખવામાં આવે છે; અમે ધારીશું કે વિરામ બિંદુ સળિયાની સમગ્ર લંબાઈ સાથે સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે. મોટાભાગના સળિયાની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? 12 સે.મી.ની લંબાઇનો ટુકડો અવ્યવસ્થિત રીતે બે ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. કટ બિંદુ સમાનરૂપે સેગમેન્ટની સમગ્ર લંબાઈ સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. સેગમેન્ટના નાના ભાગની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા શોધો a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . બતાવો કે જો x પાસે સતત વિતરણ કાર્ય છે F(x) = P(x સેગમેન્ટ્સ અને અનુક્રમે સમાન વિતરણ કાયદા સાથે બે સ્વતંત્ર જથ્થા x અને h ના સરવાળાનું ઘનતા કાર્ય અને વિતરણ કાર્ય શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે અને ઘનતા સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ એક્સફંક્શન કહેવાય છે એફ(એક્સ), દરેક માટે વ્યક્ત એક્સરેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સકરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે એક્સ:. કાર્ય એફ(એક્સ) ક્યારેક કહેવાય છે અભિન્ન વિતરણ કાર્ય,અથવા વિતરણનો અભિન્ન કાયદો. રેન્ડમ ચલ એક્સકહેવાય છે સતત, જો તેનું વિતરણ કાર્ય કોઈપણ બિંદુએ સતત હોય અને દરેક જગ્યાએ અલગ હોય, સિવાય કે, કદાચ, વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર. ઉદાહરણોસતત રેન્ડમ ચલો: ટર્નર આપેલ કદ તરફ વળે છે તે ભાગનો વ્યાસ, વ્યક્તિની ઊંચાઈ, અસ્ત્રની ફ્લાઇટ રેન્જ વગેરે. પ્રમેય.સતત રેન્ડમ ચલના કોઈપણ વ્યક્તિગત મૂલ્યની સંભાવના શૂન્ય છે પરિણામ.જો એક્સસતત રેન્ડમ ચલ છે, પછી રેન્ડમ ચલની સંભાવના અંતરાલમાં આવે છે જો સતત રેન્ડમ ચલ એક્સવચ્ચેના મૂલ્યો જ લઈ શકે છે એથી b(જ્યાં એઅને b- કેટલાક સ્થિરાંકો), પછી તેનું વિતરણ કાર્ય તમામ મૂલ્યો માટે શૂન્ય જેટલું છે અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાર્યોના તમામ ગુણધર્મો સતત રેન્ડમ ચલોના વિતરણ કાર્યો માટે પણ સંતુષ્ટ છે. વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરવો એ એકમાત્ર રસ્તો નથી. સંભાવના ઘનતા
(વિતરણ ઘનતાઅથવા ઘનતા)
આર(એક્સ) સતત રેન્ડમ ચલ એક્સતેના વિતરણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન કહેવાય છે સંભાવના ઘનતા આર(એક્સ), તેમજ વિતરણ કાર્ય એફ(એક્સ), વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપોમાંનું એક છે, પરંતુ વિતરણ કાર્યથી વિપરીત, તે ફક્ત માટે જ અસ્તિત્વમાં છે સતતરેન્ડમ ચલો. સંભાવના ઘનતાને ક્યારેક કહેવામાં આવે છે વિભેદક કાર્ય, અથવા વિભેદક વિતરણ કાયદો. સંભાવના ઘનતા ગ્રાફને વિતરણ વળાંક કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મોસતત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા: ચોખા. 8.1 ચોખા. 8.2 4.
ભૌમિતિક રીતે, સંભાવના ઘનતાના ગુણધર્મોનો અર્થ એ છે કે તેનો આલેખ - વિતરણ વળાંક - એબ્સીસા અક્ષની નીચે નથી, અને વિતરણ વળાંક અને એબ્સીસા અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિનો કુલ વિસ્તાર એક સમાન છે. ઉદાહરણ 8.1.ઇલેક્ટ્રિક ઘડિયાળનો મિનિટ હાથ દર મિનિટે કૂદકે ને ભૂસકે આગળ વધે છે. તમે તમારી ઘડિયાળ તરફ નજર કરી. તેઓ બતાવે છે એમિનિટ પછી તમારા માટે આપેલ ક્ષણે સાચો સમય રેન્ડમ ચલ હશે. તેનું વિતરણ કાર્ય શોધો. ઉકેલ.દેખીતી રીતે, સાચું સમય વિતરણ કાર્ય બધા માટે 0 ની બરાબર છે વિશે ચોખા. 8.3 ઉદાહરણ 8.2.કેટલાક રેન્ડમ વેરીએબલ ફંક્શનનું વિતરણ કાર્ય છે ઉકેલ. આ ફંક્શનની તમામ કિંમતો સેગમેન્ટની છે સમાનતાઓ પણ ધરાવે છે: તેથી, કાર્ય ઉદાહરણ 8.3.કેટલાક રેન્ડમ વેરીએબલ ફંક્શનનું વિતરણ કાર્ય છે ઉકેલ.આ ફંક્શન એ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય નથી, કારણ કે તે વચ્ચે છે ચોખા. 8.5 ઉદાહરણ 8.4.રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે ગુણાંક શોધો એઅને રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા એક્સ. અસમાનતાની સંભાવના નક્કી કરો ઉકેલ.વિતરણ ઘનતા વિતરણ કાર્યના પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સમાન છે ગુણાંક એસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત કાર્યની સાતત્યનો ઉપયોગ કરીને સમાન પરિણામ મેળવી શકાય છે આથી, તેથી સંભાવના ઘનતાનું સ્વરૂપ છે સંભાવના ઉદાહરણ 8.5.રેન્ડમ ચલ એક્સસંભવિત ઘનતા ધરાવે છે (કોચીનો કાયદો) ગુણાંક શોધો એઅને સંભાવના કે રેન્ડમ ચલ એક્સઅંતરાલમાંથી અમુક મૂલ્ય લેશે ઉકેલ.ચાલો ગુણાંક શોધીએ એસમાનતા થી આથી, તેથી, રેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સઅંતરાલમાંથી અમુક મૂલ્ય લેશે ચાલો આ રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય શોધીએ પી ચોખા. 8.6 ઉકેલ.ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, અમે આપેલ રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણ ઘનતા માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ લખીએ છીએ. ચાલો વિતરણ કાર્ય શોધીએ. જો જો જો જો તેથી, વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે
પ્રકરણ 1. અલગ રેન્ડમ ચલ
§
1. રેન્ડમ ચલની વિભાવનાઓ. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો. વ્યાખ્યા
: રેન્ડમ એક એવો જથ્થો છે જે પરીક્ષણના પરિણામે, તેના મૂલ્યોના સંભવિત સમૂહમાંથી માત્ર એક મૂલ્ય લે છે, જે અગાઉથી અજાણ હોય છે અને રેન્ડમ કારણોને આધારે. રેન્ડમ ચલો બે પ્રકારના હોય છે: અલગ અને સતત. વ્યાખ્યા
: રેન્ડમ ચલ X કહેવાય છે અલગ
(અસતત) જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ મર્યાદિત અથવા અનંત છે પરંતુ ગણતરીપાત્ર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શક્ય મૂલ્યોએક અલગ રેન્ડમ ચલ ફરીથી નંબર કરી શકાય છે. રેન્ડમ ચલનું વર્ણન તેના વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા
: એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો
રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કૉલ કરો. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો કાયદો કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જેની પ્રથમ પંક્તિમાં રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો ચડતા ક્રમમાં દર્શાવેલ છે, અને બીજી પંક્તિમાં આની અનુરૂપ સંભાવનાઓ મૂલ્યો, એટલે કે જ્યાં р1+ р2+…+ рn=1 આવા કોષ્ટકને એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે. જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અનંત છે, તો શ્રેણી p1+ p2+…+ pn+… કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ નિયમને ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે, જેના માટે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં તૂટેલી રેખા બાંધવામાં આવે છે, જે કોઓર્ડિનેટ્સ (xi; pi), i=1,2,…n સાથે અનુક્રમે બિંદુઓને જોડે છે. પરિણામી રેખા કહેવામાં આવે છે વિતરણ બહુકોણ
(ફિગ. 1). કાર્બનિક રસાયણશાસ્ત્ર" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ઓર્ગેનિક રસાયણશાસ્ત્ર અનુક્રમે 0.7 અને 0.8 છે. રેન્ડમ ચલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - વિદ્યાર્થી જે પરીક્ષાઓ પાસ કરશે તેની સંખ્યા. ઉકેલ.
પરીક્ષાના પરિણામે ગણવામાં આવેલ રેન્ડમ ચલ X નીચેના મૂલ્યોમાંથી એક લઈ શકે છે: x1=0, x2=1, x3=2. ચાલો આ મૂલ્યોની સંભાવના શોધીએ, ચાલો ઘટનાઓને સૂચિત કરીએ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src="> તેથી, રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવે છે: નિયંત્રણ: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. વિતરણ કાર્ય રેન્ડમ ચલનું સંપૂર્ણ વર્ણન પણ વિતરણ કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા: એક અલગ રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ કાર્ય
ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે દરેક મૂલ્ય x માટે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ X x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે: F(x)=P(X<х) ભૌમિતિક રીતે, ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શનને સંભવિતતા તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્ય લેશે જે સંખ્યા રેખા પર બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) એ (-∞;+∞) પર બિન-ઘટતું કાર્ય છે; 3) F(x) - પોઈન્ટ x= xi (i=1,2,...n) પર ડાબી બાજુ સતત અને અન્ય તમામ પોઈન્ટ પર સતત; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. જો ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો કોષ્ટકના રૂપમાં આપવામાં આવે છે: પછી વિતરણ કાર્ય F(x) સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1 માટે 0, x1 પર р1< х≤ x2, F(x)= р1 + р2 અને x2< х≤ х3 x>xn માટે 1. તેનો આલેખ આકૃતિ 2 માં દર્શાવેલ છે: §
3. એક અલગ રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. મહત્વની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની એક ગાણિતિક અપેક્ષા છે. વ્યાખ્યા: ગાણિતિક અપેક્ષા M(X)
ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X એ તેના તમામ મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે: M(X) =
∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલના સરેરાશ મૂલ્યની લાક્ષણિકતા તરીકે સેવા આપે છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો:
1)M(C)=C, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), જ્યાં X, Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે; 5)M(X±C)=M(X)±C, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે; તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના ફેલાવાની ડિગ્રીને દર્શાવવા માટે, વિક્ષેપનો ઉપયોગ થાય છે. વ્યાખ્યા:
ભિન્નતા
ડી
(
એક્સ
)
રેન્ડમ ચલ X એ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:
વિક્ષેપ ગુણધર્મો:
1)D(C)=0, જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે; 2)D(X)>0, જ્યાં X એ રેન્ડમ ચલ છે; 3)D(C X)=C2 D(X), જ્યાં C એ સ્થિર મૂલ્ય છે; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), જ્યાં X, Y સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે; વિભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે: D(X)=M(X2)-(M(X))2, જ્યાં M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn ભિન્નતા D(X) માં ચોરસ રેન્ડમ ચલનું પરિમાણ છે, જે હંમેશા અનુકૂળ હોતું નથી. તેથી, મૂલ્ય √D(X) નો ઉપયોગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપના સૂચક તરીકે પણ થાય છે. વ્યાખ્યા: પ્રમાણભૂત વિચલન σ(X)
અવ્યવસ્થિત ચલ X એ વિભિન્નતાનું વર્ગમૂળ કહેવાય છે: કાર્ય નંબર 2.ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે: P2 શોધો, વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેનો ગ્રાફ, તેમજ M(X), D(X), σ(X). ઉકેલ:
રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર હોવાથી Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 ચાલો વિતરણ કાર્ય F(x)=P(X ભૌમિતિક રીતે, આ સમાનતાને નીચે પ્રમાણે અર્થઘટન કરી શકાય છે: F(x) એ સંભાવના છે કે રેન્ડમ ચલ એ મૂલ્ય લેશે જે સંખ્યા અક્ષ પર બિંદુ x ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જો x≤-1, તો F(x)=0, કારણ કે (-∞;x) પર આ રેન્ડમ ચલની એક પણ કિંમત નથી. જો -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; જો 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) બે મૂલ્યો છે x1=-1 અને x2=0; જો 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; જો 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; જો x>3, તો F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, કારણ કે ચાર મૂલ્યો x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 અંતરાલ (-∞;x) અને x5=3માં આવે છે. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 x≤-1 પર, -1 પર 0.1<х≤0, 0 પર 0.2<х≤1, F(x)= 0.5 અને 1<х≤2, 2 પર 0.7<х≤3, x>3 પર 1 ચાલો ફંક્શન F(x) ને ગ્રાફિકલી રજૂ કરીએ (ફિગ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ, પોઈસનનો કાયદો. વ્યાખ્યા: દ્વિપદી
એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો કાયદો કહેવાય છે - n સ્વતંત્ર પુનરાવર્તિત ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યા, જેમાંની દરેક ઘટનામાં A સંભાવના p સાથે થઈ શકે છે અથવા સંભાવના q = 1-p સાથે ન થઈ શકે. પછી P(X=m) - n ટ્રાયલ્સમાં ઘટના A બરાબર m વખત બનવાની સંભાવનાની ગણતરી બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m દ્વિસંગી કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> દરેક અજમાયશમાં ઇવેન્ટ A - "પાંચ રોલ આઉટ" ની સંભાવના સમાન અને 1/6 જેટલી છે , એટલે કે P(A)=p=1/6, પછી P(A)=1-p=q=5/6, જ્યાં - "એ મેળવવામાં નિષ્ફળતા." રેન્ડમ ચલ X નીચેના મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0;1;2;3. અમે બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને X ના દરેક સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવના શોધીએ છીએ: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. તે. રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ છે: નિયંત્રણ: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. ચાલો રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, કાર્ય નંબર 4.ઓટોમેટિક મશીન પાર્ટ્સ સ્ટેમ્પ કરે છે. ઉત્પાદિત ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.002 છે. 1000 પસંદ કરેલા ભાગોમાં આ હશે તેવી સંભાવના શોધો: a) 5 ખામીયુક્ત; b) ઓછામાં ઓછું એક ખામીયુક્ત છે. ઉકેલ:
સંખ્યા n=1000 મોટી છે, ખામીયુક્ત ભાગ p=0.002 ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના નાની છે, અને વિચારણા હેઠળની ઘટનાઓ (ભાગ ખામીયુક્ત હોવાનું બહાર આવ્યું છે) સ્વતંત્ર છે, તેથી પોઈસન સૂત્ર ધરાવે છે: Рn(m)= ઇ-
λ
λm ચાલો λ=np=1000 0.002=2 શોધીએ. a) 5 ખામીયુક્ત ભાગો હશે તેવી સંભાવના શોધો (m=5): 1000(5)= ઇ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત ભાગ હશે તેવી સંભાવના શોધો. ઇવેન્ટ A - "પસંદ કરેલ ભાગોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત છે" છે વિપરીત ઘટના- "બધા પસંદ કરેલા ભાગો ખામીયુક્ત નથી." (એ) = 1-પી. તેથી જરૂરી સંભાવના બરાબર છે: P(A)=1-P1000(0)=1- ઇ-2
20
= 1- e-2=1-0.13534≈0.865. સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો.
1.1
1.2.
વિખરાયેલ રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાયદા દ્વારા ઉલ્લેખિત છે: p4 શોધો, વિતરણ કાર્ય F(X) અને તેનો ગ્રાફ, તેમજ M(X), D(X), σ(X). 1.3.
બોક્સમાં 9 માર્કર છે, જેમાંથી 2 હવે લખતા નથી. રેન્ડમ પર 3 માર્કર્સ લો. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લેવામાં આવેલા લેખન માર્કર્સની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો દોરો. 1.4.
લાઇબ્રેરીના શેલ્ફ પર 6 પાઠ્યપુસ્તકો અવ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવાયેલા છે, જેમાંથી 4 બંધાયેલા છે. ગ્રંથપાલ રેન્ડમ પર 4 પાઠયપુસ્તકો લે છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લેવામાં આવેલો પૈકી બાઉન્ડ પાઠ્યપુસ્તકોની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો દોરો. 1.5.
ટિકિટ પર બે કાર્યો છે. પ્રથમ સમસ્યાને યોગ્ય રીતે ઉકેલવાની સંભાવના 0.9 છે, બીજી 0.7 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ ટિકિટમાં યોગ્ય રીતે ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો, આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો, અને વિતરણ કાર્ય F(x) પણ શોધો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો. 1.6.
ત્રણ શૂટર્સ નિશાન પર ગોળીબાર કરી રહ્યા છે. પ્રથમ શૂટર માટે 0.5, બીજા માટે 0.8 અને ત્રીજા માટે 0.7 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા છે જો શૂટર્સ એક સમયે એક ગોળી ચલાવે છે. વિતરણ કાયદો, M(X), D(X) શોધો. 1.7.
બાસ્કેટબોલ ખેલાડી 0.8 ના દરેક શોટને ફટકારવાની સંભાવના સાથે બાસ્કેટમાં બોલને શૂટ કરે છે. દરેક હિટ માટે, તેને 10 પોઈન્ટ મળે છે, અને જો તે ચૂકી જાય, તો તેને કોઈ પોઈન્ટ આપવામાં આવશે નહીં. રેન્ડમ વેરીએબલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - બાસ્કેટબોલ ખેલાડી દ્વારા 3 શોટમાં મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા. M(X),D(X), તેમજ તેને 10 થી વધુ પોઈન્ટ મળે તેવી સંભાવના શોધો. 1.8.
પત્રો પર કુલ 5 સ્વરો અને 3 વ્યંજન લખેલા છે. 3 કાર્ડ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે, અને દરેક વખતે લીધેલું કાર્ડ પાછું આપવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલ X એ લેવામાં આવેલા સ્વરોની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો અને M(X),D(X),σ(X) શોધો. 1.9.
સરેરાશ, 60% કરાર વીમા કંપનીવીમેદાર ઘટનાની ઘટનાના સંબંધમાં વીમાની રકમ ચૂકવે છે. રેન્ડમ ચલ X માટે વિતરણ કાયદો દોરો - કોન્ટ્રાક્ટની સંખ્યા કે જેના માટે રેન્ડમ પસંદ કરાયેલા ચાર કોન્ટ્રાક્ટમાં વીમાની રકમ ચૂકવવામાં આવી હતી. આ જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો. 1.10.
જ્યાં સુધી દ્વિ-માર્ગી સંચાર સ્થાપિત ન થાય ત્યાં સુધી રેડિયો સ્ટેશન ચોક્કસ સમયાંતરે કોલ સંકેતો (ચારથી વધુ નહીં) મોકલે છે. કૉલ સાઇન માટે પ્રતિસાદ પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના 0.3 છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ મોકલેલ કૉલ ચિહ્નોની સંખ્યા છે. વિતરણ કાયદો દોરો અને F(x) શોધો. 1.11.
ત્યાં 3 ચાવીઓ છે, જેમાંથી ફક્ત એક જ લોકને બંધબેસે છે. જો અજમાવવામાં આવેલ કી અનુગામી પ્રયત્નોમાં ભાગ ન લે તો લોક ખોલવાના પ્રયાસોના રેન્ડમ ચલ X-સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો. M(X), D(X) શોધો. 1.12.
ત્રણ ઉપકરણોના સળંગ સ્વતંત્ર વિશ્વસનીયતા પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે. દરેક અનુગામી ઉપકરણ ફક્ત ત્યારે જ પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે જો પાછલું એક વિશ્વસનીય હોવાનું બહાર આવ્યું. દરેક ઉપકરણ માટે પરીક્ષણ પાસ કરવાની સંભાવના 0.9 છે. પરીક્ષણ કરેલ ઉપકરણોના રેન્ડમ ચલ X-સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. 1.13
.ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ Xમાં ત્રણ સંભવિત મૂલ્યો છે: x1=1, x2, x3, અને x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણ બ્લોકમાં 100 સમાન તત્વો છે. T સમય દરમિયાન દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.002 છે. તત્વો સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરે છે. T સમય દરમિયાન બે કરતાં વધુ તત્વો નિષ્ફળ જશે તેવી સંભાવના શોધો. 1.15.
પાઠયપુસ્તક 50,000 નકલોના પરિભ્રમણમાં પ્રકાશિત થયું હતું. પાઠ્યપુસ્તક ખોટી રીતે બંધાયેલ હોવાની સંભાવના 0.0002 છે. પરિભ્રમણ સમાવે છે તેવી સંભાવના શોધો: એ) ચાર ખામીયુક્ત પુસ્તકો, b) બે કરતાં ઓછી ખામીયુક્ત પુસ્તકો. 1
.16.
PBX પર દર મિનિટે આવતા કૉલ્સની સંખ્યા λ=1.5 પેરામીટર સાથે પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે એક મિનિટમાં નીચેના આવશે: એ) બે કૉલ્સ; b) ઓછામાં ઓછો એક કૉલ. 1.17.
જો Z=3X+Y હોય તો M(Z),D(Z) શોધો. 1.18.
બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે: જો Z=X+2Y હોય તો M(Z), D(Z) શોધો. જવાબો:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2 પર 0, -2 પર 0.3<х≤0, F(x) = 0.5 પર 0<х≤2, 2 પર 0.9<х≤5, x>5 પર 1 -1 પર 0.3<х≤0, 0 પર 0.4<х≤1, F(x)= 0.6 અને 1<х≤2, 2 પર 0.7<х≤3, x>3 પર 1 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 પર x≤0, 0 પર 0.03<х≤1, F(x)= 0.37 પર 1<х≤2, x>2 માટે 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 e-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; b) 0.00049 1.16.
a)0.0702; b)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. પ્રકરણ 2. સતત રેન્ડમ ચલ
વ્યાખ્યા: સતત
તેઓ એક જથ્થાને તમામ સંભવિત મૂલ્યો કહે છે જેમાંથી સંખ્યા રેખાના મર્યાદિત અથવા અનંત ગાળાને સંપૂર્ણપણે ભરે છે. દેખીતી રીતે, સતત રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે. વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. વ્યાખ્યા:એફ વિતરણ કાર્ય
સતત રેન્ડમ ચલ X ને ફંક્શન F(x) કહેવાય છે, જે દરેક મૂલ્ય xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> માટે નક્કી કરે છે આર વિતરણ કાર્યને કેટલીકવાર સંચિત વિતરણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે. વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:
1)1≤ F(x) ≤1 2) સતત રેન્ડમ ચલ માટે, વિતરણ કાર્ય કોઈપણ બિંદુએ સતત હોય છે અને દરેક જગ્યાએ અલગ પડે છે, સિવાય કે, કદાચ, વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર. 3) રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના એક અંતરાલ (a;b), [a;b], [a;b], ફંક્શન F(x) ના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે. બિંદુ a અને b પર, એટલે કે R(a)<Х 4) સતત રેન્ડમ ચલ X એક અલગ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના 0 છે. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરવો એ એકમાત્ર રસ્તો નથી. ચાલો સંભાવના વિતરણ ઘનતા (વિતરણ ઘનતા) નો ખ્યાલ રજૂ કરીએ. વ્યાખ્યા
:
સંભાવના વિતરણ ઘનતા
f
(
x
)
સતત રેન્ડમ ચલ X એ તેના વિતરણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે, એટલે કે: સંભાવના ઘનતા કાર્યને કેટલીકવાર વિભેદક વિતરણ કાર્ય અથવા વિભેદક વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે. સંભાવના ઘનતા વિતરણ f(x) નો ગ્રાફ કહેવાય છે સંભાવના વિતરણ વળાંક
.
સંભાવના ઘનતા વિતરણના ગુણધર્મો:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height પર ="62 src="> x≤2 પર 0, f(x)= c(x-2) 2 પર<х≤6, x>6 માટે 0. શોધો: a) c નું મૂલ્ય; b) વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેને પ્લોટ કરો; c) P(3≤x<5) ઉકેલ:
+
∞ a) આપણે સામાન્યીકરણની સ્થિતિમાંથી c નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ: ∫ f(x)dx=1. તેથી, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x જો 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 x≤2 પર, F(x)= (x-2)2/16 at 2<х≤6, x>6 માટે 1. ફંક્શન F(x) નો ગ્રાફ આકૃતિ 3 માં બતાવવામાં આવ્યો છે https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 પર x≤0, F(x)= (3 આર્કટન x)/π પર 0<х≤√3, x>√3 માટે 1. વિભેદક વિતરણ કાર્ય f(x) શોધો ઉકેલ:
ત્યારથી f(x)= F’(x), પછી https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના તમામ ગુણધર્મો, વિખરાયેલા રેન્ડમ ચલ માટે અગાઉ ચર્ચા કરવામાં આવ્યા હતા, તે સતત માટે પણ માન્ય છે. કાર્ય નંબર 3.રેન્ડમ ચલ X એ વિભેદક કાર્ય f(x) દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> પી(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.
2.1.
એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: x≤0 પર 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 x≤ π/6 માટે, F(x)= - cos 3x પર π/6<х≤ π/3, x> π/3 માટે 1. વિભેદક વિતરણ કાર્ય f(x) શોધો, અને તે પણ આર(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2 પર 0, f(x) = c x 2 પર<х≤4, x>4 માટે 0. 2.4.
એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: x≤0 પર 0, f(x)= c √x 0 પર<х≤1, x>1 માટે 0. શોધો: a) નંબર c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> પર x, x પર 0. શોધો: a) F(x) અને તેનો ગ્રાફ બનાવો; b) M(X), D(X), σ(X); c) સંભાવના કે ચારમાં સ્વતંત્ર પરીક્ષણોમૂલ્ય X અંતરાલ (1;4) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય કરતાં બરાબર 2 ગણો લેશે. 2.6.
સતત રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે છે: f(x)= 2(x-2) પર x, x પર 0. શોધો: a) F(x) અને તેને કાવતરું કરો; b) M(X), D(X), σ (X); c) ત્રણ સ્વતંત્ર અજમાયશમાં X નું મૂલ્ય સેગમેન્ટના મૂલ્ય કરતાં બરાબર 2 ગણું લેશે તેવી સંભાવના. 2.7.
ફંક્શન f(x) આ રીતે આપવામાં આવે છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
ફંક્શન f(x) આ રીતે આપવામાં આવે છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4]. શોધો: a) સ્થિર c નું મૂલ્ય કે જેના પર ફંક્શન કેટલાક રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના ઘનતા હશે; b) વિતરણ કાર્ય F(x). 2.9.
રેન્ડમ ચલ X, અંતરાલ (3;7) પર કેન્દ્રિત, વિતરણ કાર્ય F(x)= દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે. તેની સંભાવના શોધો રેન્ડમ ચલ X મૂલ્ય લેશે: a) 5 કરતાં ઓછું, b) 7 કરતાં ઓછું નહીં. 2.10.
રેન્ડમ ચલ X, અંતરાલ પર કેન્દ્રિત (-1;4), વિતરણ કાર્ય F(x)= દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેની સંભાવના શોધો રેન્ડમ ચલ X મૂલ્ય લેશે: a) 2 કરતાં ઓછું, b) 4 કરતાં ઓછું નહીં. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. શોધો: a) નંબર c; b) M(X); c) સંભાવના P(X> M(X)). 2.12.
રેન્ડમ ચલ વિભેદક વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ થયેલ છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . શોધો: a) M(X); b) સંભાવના P(X≤M(X)) 2.13.
રેમ વિતરણ સંભાવના ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે: x ≥0 માટે https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">. સાબિત કરો કે f(x) ખરેખર એક સંભાવના ઘનતા કાર્ય છે. 2.14.
સતત રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(ફિગ. 4) 2.16.
રેન્ડમ ચલ X કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે “ જમણો ત્રિકોણ"અંતરાલમાં (0;4) (ફિગ. 5). સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સંભાવના ઘનતા f(x) માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ શોધો. જવાબો
x≤0 પર 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 માટે 0, F(x)= 3sin 3x π/6 પર<х≤ π/3, x> π/3 માટે 0. સતત રેન્ડમ ચલ X ધરાવે છે સમાન કાયદોચોક્કસ અંતરાલ (a;b) પર વિતરણ, જેમાં X ના તમામ સંભવિત મૂલ્યો હોય છે, જો સંભાવના વિતરણ ઘનતા f(x) આ અંતરાલ પર સ્થિર હોય અને તેની બહાર 0 ની બરાબર હોય, એટલે કે. x≤a માટે 0, f(x)= a માટે<х x≥b માટે 0. ફંક્શન f(x) નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. કાર્ય નંબર 1.રેન્ડમ ચલ X એ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો: a) સંભાવના વિતરણ ઘનતા f(x) અને તેને પ્લોટ કરો; b) વિતરણ કાર્ય F(x) અને તેને પ્લોટ કરો; c) M(X), D(X), σ(X). ઉકેલ:
ઉપર ચર્ચા કરેલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, a=3, b=7 સાથે, આપણે શોધીએ છીએ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7 પર, x>7 માટે 0 ચાલો તેનો ગ્રાફ બનાવીએ (ફિગ. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 પર x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">ફિગ. 4 D(X) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 at x<0, x≥0 માટે f(x)= λе-λх. રેન્ડમ ચલ X નું વિતરણ કાર્ય, ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત, સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= આમ, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ઘાતાંકીય વિતરણનું પ્રમાણભૂત વિચલન એકબીજાની સમાન છે. X ના અંતરાલ (a;b) માં પડવાની સંભાવના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે: P(a<Х કાર્ય નંબર 2.ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સરેરાશ સમય 100 કલાક છે એમ માનીને કે ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદો ધરાવે છે, શોધો: a) સંભાવના વિતરણ ઘનતા; b) વિતરણ કાર્ય; c) ઉપકરણની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય 120 કલાક કરતાં વધી જશે તેવી સંભાવના. ઉકેલ:
શરત અનુસાર, ગાણિતિક વિતરણ M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 પર x<0, a) f(x)= 0.01e -0.01x x≥0 માટે. b) F(x)= 0 અને x<0, x≥0 પર 1-e -0.01x. c) અમે વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત સંભાવના શોધીએ છીએ: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.સામાન્ય વિતરણ કાયદો વ્યાખ્યા:
સતત રેન્ડમ ચલ X પાસે છે સામાન્ય વિતરણ કાયદો (ગૌસનો કાયદો),
જો તેની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે: જ્યાં m=M(X), σ2=D(X), σ>0. સામાન્ય વિતરણ વળાંક કહેવામાં આવે છે સામાન્ય અથવા ગૌસીયન વળાંક
(ફિગ.7) રેન્ડમ ચલ X નું વિતરણ કાર્ય, સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, સૂત્ર અનુસાર લેપ્લેસ ફંક્શન Ф (x) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: લેપ્લેસ કાર્ય ક્યાં છે. ટિપ્પણી:
ફંક્શન Ф(x) વિચિત્ર છે (Ф(-х)=-Ф(х)), વધુમાં, x>5 માટે આપણે Ф(х) ≈1/2 ધારી શકીએ છીએ. વિતરણ કાર્ય F(x) નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> સંભાવના છે કે સંપૂર્ણ મૂલ્યસકારાત્મક સંખ્યા δ કરતા ઓછા વિચલનોની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: ખાસ કરીને, m=0 માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે: "થ્રી સિગ્મા નિયમ"
જો રેન્ડમ ચલ X પાસે m અને σ પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદો હોય, તો તે લગભગ નિશ્ચિત છે કે તેનું મૂલ્ય અંતરાલ (a-3σ; a+3σ) માં આવેલું છે, કારણ કે https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> ફંક્શન Ф(х) ના મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે Ф(1,5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 શોધીએ છીએ. તેથી, ઇચ્છિત સંભાવના: પી(28 સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો
3.1.
રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (-3;5) માં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. શોધો: b) વિતરણ કાર્ય F(x); c) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ; d) સંભાવના P(4<х<6). 3.2.
રેન્ડમ ચલ X એ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો: a) વિતરણ ઘનતા f(x); b) વિતરણ કાર્ય F(x); c) સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ; d) સંભાવના P(3≤х≤6). 3.3.
હાઇવે પર સ્વયંસંચાલિત ટ્રાફિક લાઇટ છે, જેમાં લીલી લાઇટ 2 મિનિટ માટે, પીળી 3 સેકન્ડ માટે, લાલ 30 સેકન્ડ માટે, વગેરે છે. એક કાર હાઇવે પર સમયસર રેન્ડમ ક્ષણે ચાલે છે. સંભવિતતા શોધો કે કાર રોકાયા વિના ટ્રાફિક લાઇટ પસાર કરશે. 3.4.
સબવે ટ્રેનો નિયમિતપણે 2 મિનિટના અંતરાલ પર દોડે છે. પેસેન્જર રેન્ડમ સમયે પ્લેટફોર્મમાં પ્રવેશ કરે છે. યાત્રીએ ટ્રેન માટે 50 સેકન્ડથી વધુ રાહ જોવી પડે તેવી સંભાવના કેટલી છે? રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો - ટ્રેન માટે રાહ જોવાનો સમય. 3.5.
ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન દ્વારા આપવામાં આવેલ ઘાતાંકીય વિતરણનું વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો: F(x) = 0 અને x<0, x≥0 માટે 1st-8x. 3.6.
સતત રેન્ડમ ચલ X એ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: f(x) = 0 અને x<0, x≥0 પર 0.7 e-0.7x. a) વિચારણા હેઠળના રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને નામ આપો. b) વિતરણ કાર્ય F(X) અને રેન્ડમ ચલ X ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો. 3.7.
રેન્ડમ ચલ X એ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે: f(x) = 0 અને x<0, x≥0 પર 0.4 e-0.4 x. સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલ (2.5;5) માંથી મૂલ્ય લેશે. 3.8.
એક સતત રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે: F(x) = 0 અને x<0, x≥0 પર 1લી-0.6x સંભાવના શોધો કે, પરીક્ષણના પરિણામે, X સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે. 3.9.
સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન અનુક્રમે 8 અને 2 છે. a) વિતરણ ઘનતા f(x); b) સંભાવના કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે (10;14). 3.10.
રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે 3.5 ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને 0.04 ની ભિન્નતા સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. શોધો: a) વિતરણ ઘનતા f(x); b) સંભાવના કે પરીક્ષણના પરિણામે X સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે. 3.11.
રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને D(X)=1 સાથે વિતરિત થાય છે. કઈ ઘટનાઓ: |X|≤0.6 અથવા |X|≥0.6 વધુ સંભવિત છે? 3.12.
રેન્ડમ વેરીએબલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને D(X)=1 સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે જેમાંથી એક કસોટી દરમિયાન મૂલ્ય લેવાની શક્યતા વધુ છે? 3.13.
શેર દીઠ વર્તમાન ભાવને M(X)=10 ડેન સાથે સામાન્ય વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ કરી શકાય છે. એકમો અને σ (X)=0.3 ડેન. એકમો શોધો: a) વર્તમાન શેરની કિંમત 9.8 ડેનથી હશે તેવી સંભાવના. એકમો 10.4 દિવસ સુધી એકમો; b) "ત્રણ સિગ્મા નિયમ" નો ઉપયોગ કરીને, વર્તમાન શેરની કિંમત સ્થિત હશે તે સીમાઓ શોધો. 3.14.
વ્યવસ્થિત ભૂલો વિના પદાર્થનું વજન કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ વજનની ભૂલો સરેરાશ ચોરસ ગુણોત્તર σ=5g સાથે સામાન્ય કાયદાને આધીન છે. સંભવિતતા શોધો કે ચાર સ્વતંત્ર પ્રયોગોમાં ત્રણ તોલોમાં ભૂલ નિરપેક્ષ મૂલ્ય 3r માં થશે નહીં. 3.15.
રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=12.6 સાથે વિતરિત થાય છે. અંતરાલ (11.4;13.8) માં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના 0.6826 છે. પ્રમાણભૂત વિચલન σ શોધો. 3.16.
રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=12 અને D(X)=36 સાથે વિતરિત થાય છે જેમાં 0.9973 ની સંભાવના સાથે પરીક્ષણના પરિણામે રેન્ડમ ચલ X ઘટશે. 3.17.
ઓટોમેટિક મશીન દ્વારા ઉત્પાદિત ભાગને ખામીયુક્ત ગણવામાં આવે છે જો નજીવા મૂલ્યમાંથી તેના નિયંત્રિત પરિમાણનું વિચલન X માપનના મોડ્યુલો 2 એકમો કરતાં વધી જાય. એવું માનવામાં આવે છે કે રેન્ડમ ચલ X સામાન્ય રીતે M(X)=0 અને σ(X)=0.7 સાથે વિતરિત થાય છે. મશીન કેટલા ટકા ખામીયુક્ત ભાગો ઉત્પન્ન કરે છે? 3.18.
ભાગનું X પરિમાણ સામાન્ય રીતે નજીવા મૂલ્યની સમાન 2 ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને 0.014 ના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. નજીવી મૂલ્યમાંથી X નું વિચલન નજીવા મૂલ્યના 1% કરતાં વધુ નહીં હોય તેવી સંભાવના શોધો. જવાબો
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 માટે 0, F(x)= left"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. વિખેરી નાખવુંસતત રેન્ડમ ચલ X, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સમગ્ર ઓક્સ અક્ષ સાથે સંબંધિત છે, સમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: સેવાનો હેતુ. ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર એ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે રચાયેલ છે જેમાં ક્યાં તો વિતરણ ઘનતા f(x) અથવા વિતરણ કાર્ય F(x) (ઉદાહરણ જુઓ). સામાન્ય રીતે આવા કાર્યોમાં તમારે શોધવાની જરૂર છે ગાણિતિક અપેક્ષા, પ્રમાણભૂત વિચલન, ફંક્શન્સ f(x) અને F(x) ના પ્લોટ ગ્રાફ. સૂચનાઓ. સ્રોત ડેટાનો પ્રકાર પસંદ કરો: વિતરણ ઘનતા f(x) અથવા વિતરણ કાર્ય F(x). વિતરણ ઘનતા f(x) આપેલ છે: વિતરણ કાર્ય F(x) આપેલ છે: સતત રેન્ડમ ચલ એ સંભાવના ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલ X કહેવામાં આવે છે સતત
, જો તેનું વિતરણ કાર્ય F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. તેમના સરવાળાની વિતરણ ઘનતા શોધો. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x અને h ના સરવાળાનું વિતરણ શોધો, જ્યાં x નું અંતરાલ પર સમાન વિતરણ છે, અને h પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે. પી શોધો 
, જો x પાસે હોય: a) a અને s2 પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ; b) પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ; c) સેગમેન્ટ [-1;1] પર સમાન વિતરણ. x, h નું સંયુક્ત વિતરણ સ્ક્વેર યુનિફોર્મ છે
K = (x, y): |x| +|y|£2). સંભાવના શોધો 
. શું x અને h સ્વતંત્ર છે? રેન્ડમ ચલોની જોડી x અને h ત્રિકોણ K= ની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. શું આ રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે? સંભાવના શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે સેગમેન્ટ્સ અને [-1,1] પર વિતરિત છે. સંભાવના શોધો. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (x, h) શિરોબિંદુઓ (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) સાથે સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. બિંદુ (1, -1) પર સંયુક્ત વિતરણ કાર્યનું મૂલ્ય શોધો. રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા 3 ના વર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા માટે અભિવ્યક્તિ લખો. આ રેન્ડમ ચલો નિર્ભર છે કે કેમ તે નક્કી કરો. સંભાવનાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો x અને h ની જોડી સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે ટ્રેપેઝોઇડની અંદર બિંદુઓ (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). રેન્ડમ ચલોની આ જોડી માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા અને ઘટકોની ઘનતા શોધો. શું x અને h નિર્ભર છે? રેન્ડમ જોડી (x, h) અર્ધવર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. બે રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x અને h બરાબર છે 
.
x, h ઘનતા શોધો. x અને h ની નિર્ભરતાના પ્રશ્નની તપાસ કરો. એક રેન્ડમ જોડી (x, h) સેટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. M(xh) શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h સ્વતંત્ર છે અને પરિમાણ શોધ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.
.
આ અંતરાલ ખુલ્લું છે કે બંધ છે તેના પર નિર્ભર નથી, એટલે કે.
અને મૂલ્યો માટે એકમ 
.સતત રેન્ડમ ચલ માટે
.
.
અને માટે એકમ 
. સમય સરખી રીતે વહે છે. તેથી, સાચા સમયની સંભાવના ઓછી છે એ+ 0.5 મિનિટ, 0.5 ની બરાબર, કારણ કે તે પછી પસાર થયું કે કેમ તે સમાન સંભવિત છે એઅડધી મિનિટથી ઓછી અથવા વધુ. સાચા સમયની સંભાવના ઓછી છે એ+ 0.25 મિનિટ, 0.25 ની બરાબર (આ સમયની સંભાવના એ સંભાવના કરતાં ત્રણ ગણી ઓછી છે કે સાચો સમય વધારે છે એ+ 0.25 મિનિટ, અને તેમનો સરવાળો એક સમાન છે, વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા તરીકે). એ જ રીતે તર્ક કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે સાચા સમયની સંભાવના ઓછી છે એ+ 0.6 મિનિટ, 0.6 ની બરાબર. સામાન્ય રીતે, સાચા સમયની સંભાવના ઓછી છે એ
+ + α
મિનિટ 
, સમાન છે α
. તેથી, સાચા સમય વિતરણ કાર્યમાં નીચેની અભિવ્યક્તિ છે:
on દરેક જગ્યાએ સતત છે, અને તેનું વ્યુત્પન્ન તમામ બિંદુઓ પર સતત છે, બે અપવાદ સિવાય: x = aઅને x = a+ 1. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ આવો દેખાય છે (ફિગ. 8.3):
, એટલે કે 
. કાર્ય એફ(એક્સ) બિન-ઘટતી છે: અંતરાલમાં 
તે સતત છે, શૂન્ય બરાબર છે, અંતરાલમાં 
વચ્ચે વધે છે 
તે પણ સ્થિર છે, એકતાની સમાન છે (જુઓ આકૃતિ. 8.4). કાર્ય દરેક બિંદુએ સતત છે એક્સતેની વ્યાખ્યાનો 0 વિસ્તાર - અંતરાલ 
, તેથી ડાબી બાજુએ સતત છે, એટલે કે. સમાનતા ધરાવે છે
,
.
,
.
વિતરણ કાર્યની તમામ લાક્ષણિકતાઓને સંતોષે છે. તેથી આ કાર્ય 
કેટલાક રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય છે એક્સ.
તે ઘટે છે અને સતત નથી. ફંક્શન ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 8.5.
.
,
.
બિંદુ પર 
,
.
.
રેન્ડમ ચલની હિટ એક્સઆપેલ સમયગાળામાં સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે
.
. આ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય શોધો.
,
.
.
, સમાન છે
ઉદાહરણ 8.6.રેન્ડમ ચલનો સંભવિત ઘનતા પ્લોટ એક્સફિગમાં બતાવેલ છે. 8.6 (સિમ્પસનનો કાયદો). સંભાવના ઘનતા અને આ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ લખો.
, તે 
.
, તે .
, તે
, તે
1.2.
p4=0.1; x≤-1 પર 0,
(ફિગ.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a માટે 0,
,
સામાન્ય વળાંક સીધી રેખા x=mના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય છે, તેની મહત્તમ x=a, બરાબર હોય છે.
,
(રેલે વિતરણ કાયદો - રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં વપરાય છે). M(x) , D(x) શોધો.
સતત રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ આપેલ અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે થાય છે:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
તદુપરાંત, સતત રેન્ડમ ચલ માટે, તેની સીમાઓ આ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે કે નહીં તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
વિતરણ ઘનતા
સતત રેન્ડમ ચલને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે
f(x)=F’(x) , વિતરણ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.વિતરણ ઘનતાના ગુણધર્મો
1. રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા x ના તમામ મૂલ્યો માટે બિન-નકારાત્મક (f(x) ≥ 0) છે.
2. સામાન્યીકરણ સ્થિતિ:
સામાન્યીકરણ સ્થિતિનો ભૌમિતિક અર્થ: વિતરણ ઘનતા વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર એકતા સમાન છે.
3. α થી β સુધીના અંતરાલમાં રેન્ડમ ચલ Xની સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. 
ભૌમિતિક રીતે, આ અંતરાલ (α, β) માં આવતા સતત રેન્ડમ ચલ Xની સંભાવના આ અંતરાલના આધારે વિતરણ ઘનતા વળાંક હેઠળ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તાર જેટલી છે.
4. વિતરણ કાર્ય ઘનતાના સંદર્ભમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:
બિંદુ x પર વિતરણ ઘનતાનું મૂલ્ય સતત રેન્ડમ ચલ માટે આ મૂલ્યને સ્વીકારવાની સંભાવનાની બરાબર નથી; ચાલો)
