સતત ઉદાહરણ તરીકે રેન્ડમ ચલઅંતરાલ (a; b) પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ X ને ધ્યાનમાં લો. રેન્ડમ ચલ X કહેવાય છે સમાનરૂપે વિતરિત અંતરાલ પર (a; b), જો તેની વિતરણ ઘનતા આ અંતરાલ પર સ્થિર ન હોય તો:
નોર્મલાઇઝેશનની સ્થિતિથી આપણે સ્થિર c ની કિંમત નક્કી કરીએ છીએ. વિતરણ ઘનતા વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર એકતા સમાન હોવો જોઈએ, પરંતુ અમારા કિસ્સામાં તે આધાર (b - α) અને ઊંચાઈ c (ફિગ. 1) સાથે લંબચોરસનો વિસ્તાર છે. 
ચોખા. 1 સમાન વિતરણ ઘનતા
અહીંથી આપણે સ્થિર c ની કિંમત શોધીએ છીએ: 
તેથી, સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલની ઘનતા બરાબર છે 
ચાલો હવે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ કાર્ય શોધીએ:
1) માટે 
2) માટે
3) 0+1+0=1 માટે.
આમ, 
વિતરણ કાર્ય સતત છે અને ઘટતું નથી (ફિગ. 2). 
ચોખા. 2 સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય
અમે શોધીશું અપેક્ષિત મૂલ્યસમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલસૂત્ર અનુસાર:
સમાન વિતરણનો ફેલાવોસૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે અને તેની બરાબર છે
ઉદાહરણ નંબર 1. માપન ઉપકરણનું સ્કેલ ડિવિઝન મૂલ્ય 0.2 છે. ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ રીડિંગ્સ નજીકના સમગ્ર વિભાગમાં ગોળાકાર છે. ગણતરી દરમિયાન ભૂલ થવાની સંભાવના શોધો: a) 0.04 કરતાં ઓછી; b) મોટી 0.02
ઉકેલ. રાઉન્ડિંગ એરર એ રેન્ડમ ચલ છે જે અડીને આવેલા પૂર્ણાંક વિભાગો વચ્ચેના અંતરાલ પર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. ચાલો અંતરાલ (0; 0.2) ને આવા વિભાજન તરીકે ગણીએ (ફિગ. a). રાઉન્ડિંગ ડાબી સરહદ - 0 અને જમણી તરફ - 0.2 બંને તરફ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, જેનો અર્થ છે કે 0.04 કરતા ઓછી અથવા બરાબર ભૂલ બે વાર કરી શકાય છે, જે સંભાવનાની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે: 
પી = 0.2 + 0.2 = 0.4
બીજા કિસ્સામાં, ભૂલ મૂલ્ય બંને વિભાગની સીમાઓ પર 0.02 થી પણ વધી શકે છે, એટલે કે, તે કાં તો 0.02 થી વધુ અથવા 0.18 થી ઓછું હોઈ શકે છે. 
પછી આના જેવી ભૂલની સંભાવના:
ઉદાહરણ નંબર 2. એવું માનવામાં આવતું હતું કે છેલ્લા 50 વર્ષોમાં દેશમાં આર્થિક પરિસ્થિતિની સ્થિરતા (યુદ્ધો, કુદરતી આફતો, વગેરેની ગેરહાજરી) વય દ્વારા વસ્તીના વિતરણની પ્રકૃતિ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે: શાંત પરિસ્થિતિમાં તે હોવું જોઈએ. યુનિફોર્મ. અભ્યાસના પરિણામ સ્વરૂપે, એક દેશ માટે નીચેના ડેટા મેળવવામાં આવ્યા હતા.
દેશમાં અસ્થિરતા હતી એવું માનવાનું કોઈ કારણ છે?અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ હાથ ધરીએ છીએ. પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ. સૂચકોની ગણતરી માટેનું કોષ્ટક.
| જૂથો | અંતરાલનો મધ્યબિંદુ, x i | જથ્થો, f i | x i * f i | સંચિત આવર્તન, એસ | |x - x av |*f | (x - x સરેરાશ) 2 *f | આવર્તન, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
ભારિત સરેરાશ
વિવિધતા સૂચકાંકો.
સંપૂર્ણ ભિન્નતા.
વિવિધતાની શ્રેણી એ પ્રાથમિક શ્રેણીની લાક્ષણિકતાના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત છે.
R = X મહત્તમ - X મિનિટ
આર = 70 - 0 = 70
વિક્ષેપ- તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ વિક્ષેપના માપને લાક્ષણિકતા આપે છે (વિક્ષેપનું માપ, એટલે કે સરેરાશથી વિચલન).
પ્રમાણભૂત વિચલન.
શ્રેણીનું દરેક મૂલ્ય 43 ના સરેરાશ મૂલ્યથી 23.92 કરતાં વધુ નહીં અલગ હોય છે
વિતરણના પ્રકાર વિશે પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ.
4. વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ સમાન વિતરણસામાન્ય વસ્તી.
X ના સમાન વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, એટલે કે. કાયદા અનુસાર: f(x) = 1/(b-a) અંતરાલમાં (a,b)
જરૂરી:
1. પરિમાણો a અને b - અંતરાલના અંતનો અંદાજ કાઢો જેમાં શક્ય મૂલ્યો X, સૂત્રો અનુસાર (* ચિહ્ન પરિમાણ અંદાજ સૂચવે છે):
2. અપેક્ષિત વિતરણ f(x) = 1/(b * - a *) ની સંભાવના ઘનતા શોધો
3. સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ શોધો:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. પીયર્સન માપદંડનો ઉપયોગ કરીને પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની સરખામણી કરો, સ્વતંત્રતા k = s-3 ની ડિગ્રીની સંખ્યા લઈને, જ્યાં s એ પ્રારંભિક સેમ્પલિંગ અંતરાલોની સંખ્યા છે; જો નાની ફ્રીક્વન્સીઝનું સંયોજન, અને તેથી અંતરાલો પોતે જ હાથ ધરવામાં આવે, તો s એ સંયોજન પછી બાકી રહેલા અંતરાલોની સંખ્યા છે.
ઉકેલ:
1. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમાન વિતરણના પરિમાણો a * અને b * ના અંદાજો શોધો:
2. ધારેલા સમાન વિતરણની ઘનતા શોધો:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. ચાલો સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ શોધીએ:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
બાકીના n s સમાન હશે:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| કુલ | 1 | 0.0532 |
તેથી, આ આંકડા માટે નિર્ણાયક ક્ષેત્ર હંમેશા જમણેરી હોય છે: જો તેની સંભાવના ઘનતા આ સેગમેન્ટ પર સ્થિર હોય, અને તેની બહાર તે 0 ની બરાબર હોય (એટલે કે, રેન્ડમ ચલ એક્સસેગમેન્ટ પર કેન્દ્રિત [ a, b], જેના પર તે સતત ઘનતા ધરાવે છે). દ્વારા આ વ્યાખ્યાસેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત ઘનતા [ a, b] રેન્ડમ ચલ એક્સફોર્મ ધરાવે છે:
જ્યાં સાથેચોક્કસ સંખ્યા છે. જો કે, સેગમેન્ટ પર કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલો માટે સંભાવના ઘનતાની મિલકતનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું સરળ છે [ a,
b]:
. તે તેને અનુસરે છે 
, ક્યાં 
. તેથી, સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત ઘનતા [ a,
b] રેન્ડમ ચલ એક્સફોર્મ ધરાવે છે:
.
n.s.v ના વિતરણની એકરૂપતાનો ન્યાય કરો. એક્સનીચેના વિચારણાઓથી શક્ય છે. સતત રેન્ડમ ચલ હોય છે સમાન વિતરણસેગમેન્ટ પર [ a, b], જો તે માત્ર આ સેગમેન્ટમાંથી જ મૂલ્યો લે છે, અને આ સેગમેન્ટની કોઈપણ સંખ્યાને આ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય બનવા માટે સક્ષમ હોવાના અર્થમાં આ સેગમેન્ટની અન્ય સંખ્યાઓ પર ફાયદો નથી.
રેન્ડમ ચલો કે જેનું સમાન વિતરણ હોય છે તેમાં સ્ટોપ પર પરિવહન માટે રાહ જોવાનો સમય (સતત ટ્રાફિક અંતરાલ સાથે, રાહ જોવાની અવધિ આ અંતરાલ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે), સંખ્યાને પૂર્ણાંકમાં ગોળાકાર કરવામાં ભૂલ (સમાન રીતે) જેવા મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે. [−0.5 પર વિતરિત , 0.5 ]) અને અન્ય.
વિતરણ કાર્યનો પ્રકાર એફ(x)
a,
b] રેન્ડમ ચલ એક્સજાણીતી સંભાવના ઘનતા દ્વારા શોધાયેલ f(x)
તેમના જોડાણ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને 
. અનુરૂપ ગણતરીઓના પરિણામે, અમે વિતરણ કાર્ય માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ એફ(x)
સમાનરૂપે વિતરિત સેગમેન્ટ [ a,
b] રેન્ડમ ચલ એક્સ
:
.
આંકડાઓ સંભાવના ઘનતા ગ્રાફ દર્શાવે છે f(x) અને વિતરણ કાર્યો f(x) સમાનરૂપે વિતરિત સેગમેન્ટ [ a, b] રેન્ડમ ચલ એક્સ :
અપેક્ષા, ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલન, મોડ અને સમાનરૂપે વિતરિત સેગમેન્ટનો મધ્યક [ a, b] રેન્ડમ ચલ એક્સસંભાવના ઘનતા દ્વારા ગણવામાં આવે છે f(x) સામાન્ય રીતે (અને તદ્દન સરળ કારણ કે સરળ પ્રકાર f(x) ). પરિણામ નીચેના સૂત્રો છે:
અને ફેશન ડી(એક્સ) અંતરાલમાં કોઈપણ સંખ્યા છે [ a, b].
ચાલો સમાનરૂપે વિતરિત સેગમેન્ટને હિટ કરવાની સંભાવના શોધીએ [ a,
b] રેન્ડમ ચલ એક્સઅંતરાલ માં 
, સંપૂર્ણપણે અંદર પડેલું [ a,
b]. વિતરણ કાર્યના જાણીતા સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ:
આમ, સમાનરૂપે વિતરિત સેગમેન્ટને હિટ કરવાની સંભાવના [ a,
b] રેન્ડમ ચલ એક્સઅંતરાલ માં 
, સંપૂર્ણપણે અંદર પડેલું [ a,
b], આ અંતરાલની સ્થિતિ પર આધાર રાખતો નથી, પરંતુ માત્ર તેની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે અને તે આ લંબાઈના સીધા પ્રમાણસર છે.
ઉદાહરણ. બસનો અંતરાલ 10 મિનિટનો છે. બસ સ્ટોપ પર આવનાર મુસાફર બસ માટે 3 મિનિટથી ઓછી રાહ જોશે તેની સંભાવના કેટલી છે? બસ માટે સરેરાશ રાહ જોવાનો સમય કેટલો છે?
સામાન્ય વિતરણ
આ વિતરણ મોટાભાગે વ્યવહારમાં જોવા મળે છે અને સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓ અને તેમના ઉપયોગોમાં અસાધારણ ભૂમિકા ભજવે છે, કારણ કે કુદરતી વિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, મનોવિજ્ઞાન, સમાજશાસ્ત્ર, લશ્કરી વિજ્ઞાન વગેરેમાં ઘણા રેન્ડમ ચલોમાં આ પ્રકારનું વિતરણ છે. આ વિતરણ એક મર્યાદિત કાયદો છે, જેમાં અન્ય ઘણા વિતરણ કાયદાઓ (ચોક્કસ કુદરતી પરિસ્થિતિઓ હેઠળ) પહોંચે છે. સામાન્ય વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ પ્રકૃતિના ઘણા સ્વતંત્ર રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાને આધીન હોય તેવી ઘટનાઓ અને તેમના વિતરણના કોઈપણ કાયદાનું પણ વર્ણન કરવામાં આવે છે. ચાલો વ્યાખ્યાઓ તરફ આગળ વધીએ.
સતત રેન્ડમ ચલને વિતરિત ઓવર કહેવામાં આવે છે સામાન્ય કાયદો (અથવા ગૌસનો કાયદો), જો તેની સંભાવના ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે:
,
નંબરો ક્યાં છે એઅને σ (σ>0 ) આ વિતરણના પરિમાણો છે.
પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, રેન્ડમ ચલોના વિતરણના ગૌસના કાયદામાં અસંખ્ય એપ્લિકેશનો છે. આ કાયદા અનુસાર, સાધનો દ્વારા માપનની ભૂલો, શૂટિંગ કરતી વખતે લક્ષ્યના કેન્દ્રમાંથી વિચલન, ઉત્પાદિત ભાગોના પરિમાણો, લોકોનું વજન અને ઊંચાઈ, વાર્ષિક વરસાદ, નવજાત શિશુઓની સંખ્યા અને ઘણું બધું વિતરિત કરવામાં આવે છે.
સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા માટે આપેલ સૂત્રમાં બે પરિમાણ હોય છે. એઅને σ , અને તેથી ફંક્શનના પરિવારને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે આ પરિમાણોના મૂલ્યોના આધારે બદલાય છે. જો આપણે સામાન્ય વિતરણની સંભાવના ઘનતા માટે ફંક્શન્સ અને પ્લોટિંગ ગ્રાફના અભ્યાસના ગાણિતિક વિશ્લેષણની સામાન્ય પદ્ધતિઓ લાગુ કરીએ, તો આપણે નીચેના તારણો દોરી શકીએ છીએ.
તેના ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટ છે.
પ્રાપ્ત માહિતીના આધારે, અમે સંભાવના ઘનતા ગ્રાફ બનાવીએ છીએ f(x) સામાન્ય વિતરણ (તેને ગૌસીયન વળાંક કહેવામાં આવે છે - આકૃતિ).
ચાલો જોઈએ કે બદલાતા પરિમાણો કેવી રીતે અસર કરે છે એઅને σ ગૌસીયન વળાંકના આકાર સુધી. તે સ્પષ્ટ છે (સામાન્ય વિતરણ ઘનતા માટેના સૂત્રમાંથી આ જોઈ શકાય છે) કે પરિમાણમાં ફેરફાર એવળાંકનો આકાર બદલાતો નથી, પરંતુ માત્ર તેને ધરીની સાથે જમણી કે ડાબી તરફ લઈ જાય છે એક્સ. અવલંબન σ વધુ મુશ્કેલ. ઉપરોક્ત અભ્યાસ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે મહત્તમ મૂલ્ય અને ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ પરિમાણ પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે σ . વધુમાં, આપણે કોઈપણ પરિમાણો માટે તે ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે એઅને σ ગૌસીયન વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર 1 ની બરાબર રહે છે (આ સંભાવના ઘનતાની સામાન્ય મિલકત છે). ઉપરથી તે વધતા પરિમાણ સાથે તેને અનુસરે છે σ વળાંક ચપટી બને છે અને ધરી સાથે વિસ્તરે છે એક્સ. આકૃતિ પેરામીટરના વિવિધ મૂલ્યો માટે ગૌસીયન વણાંકો બતાવે છે σ (σ 1 < σ< σ 2 ) અને સમાન પરિમાણ મૂલ્ય એ.
ચાલો પરિમાણોનો સંભવિત અર્થ શોધીએ એઅને σ
સામાન્ય વિતરણ. પહેલેથી જ નંબરમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખાને સંબંધિત ગૌસિયન વળાંકની સપ્રમાણતામાંથી એધરી પર એક્સતે સ્પષ્ટ છે કે સરેરાશ મૂલ્ય (એટલે કે ગાણિતિક અપેક્ષા M(X)) સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની બરાબર છે એ. સમાન કારણોસર, મોડ અને મધ્યક પણ સંખ્યા aની સમાન હોવા જોઈએ. યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સચોટ ગણતરીઓ આની પુષ્ટિ કરે છે. જો આપણે ઉપર લખેલ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીએ f(x)
વિભિન્નતા માટે સૂત્રમાં અવેજી 
, પછી અવિભાજ્યની (તેના બદલે જટિલ) ગણતરી પછી આપણને જવાબમાં સંખ્યા મળે છે σ
2
. આમ, રેન્ડમ ચલ માટે એક્સ, સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત, નીચેની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પ્રાપ્ત થઈ હતી:
તેથી, સામાન્ય વિતરણના પરિમાણોનો સંભવિત અર્થ એઅને σ આગળ જો આર.વી. એક્સએઅને σ એ σ.
ચાલો હવે વિતરણ કાર્ય શોધીએ એફ(x)
રેન્ડમ ચલ માટે એક્સ, સંભાવના ઘનતા માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત f(x)
અને સૂત્ર 
. જ્યારે અવેજી f(x)
પરિણામ એ "અવિભાજ્ય" અભિન્ન છે. માટે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે કંઈપણ કરી શકાય છે એફ(x),
આ આ કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ આ રીતે છે:
,
જ્યાં F(x)- કહેવાતા લેપ્લેસ કાર્ય, જે ફોર્મ ધરાવે છે
.
ઇન્ટિગ્રલ કે જેના દ્વારા લેપ્લેસ ફંક્શન વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તે પણ બિન-લેવામાં આવે છે (પરંતુ દરેક માટે એક્સઆ અવિભાજ્યની અંદાજે કોઈપણ પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે ગણતરી કરી શકાય છે). જો કે, તેની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે સંભાવના સિદ્ધાંત પરના કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકના અંતે કાર્યના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે એક કોષ્ટક હોય છે. F(x)આપેલ મૂલ્ય પર એક્સ. નીચેનામાં આપણને લેપ્લેસ ફંક્શનની વિચિત્રતા ગુણધર્મની જરૂર પડશે: Ф(−х)=−F(x)બધા નંબરો માટે એક્સ.
ચાલો હવે સંભાવના શોધીએ કે સામાન્ય રીતે વિતરિત આર.વી. એક્સઉલ્લેખિત સંખ્યાત્મક અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે (α, β) . વિતરણ કાર્યના સામાન્ય ગુણધર્મોમાંથી આર(α< એક્સ< β)= એફ(β) − એફ(α) . અવેજીમાં α અને β માટે ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિમાં એફ(x) , અમને મળે છે
.
ઉપર જણાવ્યા મુજબ, જો આર.વી. એક્સપરિમાણો સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત એઅને σ , તો તેનું સરેરાશ મૂલ્ય છે એ, અને પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે σ. એ કારણે સરેરાશઆ આર.વી.ના મૂલ્યોનું વિચલન જ્યારે નંબર પરથી પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે એબરાબર σ. પરંતુ આ સરેરાશ વિચલન છે. તેથી, મોટા વિચલનો શક્ય છે. ચાલો શોધી કાઢીએ કે સરેરાશ મૂલ્યમાંથી અમુક વિચલનો કેટલા શક્ય છે. ચાલો સંભવિતતા શોધીએ કે રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત થાય છે એક્સતેના સરેરાશ મૂલ્યથી વિચલિત થવું M(X)=aચોક્કસ સંખ્યા કરતાં ઓછી δ, એટલે કે. આર(| એક્સ− a|<δ ): આમ,
.
આ સમાનતા માં અવેજી δ=3σ, અમે સંભાવના મેળવીએ છીએ કે r.v નું મૂલ્ય. એક્સ(એક પરીક્ષણમાં) સરેરાશ મૂલ્યથી ત્રણ ગણા કરતાં ઓછા મૂલ્યથી વિચલિત થશે σ (સરેરાશ વિચલન સાથે, જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, બરાબર σ ): (અર્થ F(3)લેપ્લેસ ફંક્શન મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી લેવામાં આવે છે). તે લગભગ છે 1 ! પછી વિપરીત ઘટનાની સંભાવના (કે મૂલ્ય તેનાથી ઓછું નહીં વિચલિત થશે 3σ) બરાબર છે 1 −0.997=0.003 , જે ખૂબ નજીક છે 0 . તેથી, આ ઘટના "લગભગ અશક્ય" છે − અત્યંત ભાગ્યે જ થાય છે (સરેરાશ 3 સમય બહાર 1000 ). આ તર્ક જાણીતા "ત્રણ સિગ્મા નિયમ" માટેનો તર્ક છે.
ત્રણ સિગ્મા નિયમ. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ એક જ ટેસ્ટમાંકરતાં વધુ તેની સરેરાશથી વ્યવહારીક રીતે વિચલિત થતું નથી 3σ.
ચાલો ફરી એકવાર ભારપૂર્વક જણાવીએ કે અમે એક ટેસ્ટ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. જો રેન્ડમ ચલના ઘણા પરીક્ષણો છે, તો તે તદ્દન શક્ય છે કે તેના કેટલાક મૂલ્યો સરેરાશ કરતાં વધુ આગળ વધે 3σ. નીચેના દ્વારા આની પુષ્ટિ થાય છે
ઉદાહરણ. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના 100 ટ્રાયલ્સમાં સંભાવના કેટલી છે એક્સશું તેનું ઓછામાં ઓછું એક મૂલ્ય પ્રમાણભૂત વિચલન કરતાં ત્રણ ગણા કરતાં વધુ સરેરાશથી વિચલિત થશે? 1000 પરીક્ષણો વિશે શું?
ઉકેલ. ઘટના દો એએટલે કે જ્યારે રેન્ડમ વેરીએબલનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે એક્સતેનું મૂલ્ય સરેરાશ કરતાં વધુ વિચલિત થયું 3σ.હમણાં જ સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું છે તેમ, આ ઘટનાની સંભાવના p=P(A)=0.003.આવા 100 પરીક્ષણો કરવામાં આવ્યા હતા. અમે સંભવિત છે કે ઘટના શોધવા માટે જરૂર છે એથયું ઓછામાં ઓછુંવખત, એટલે કે તરફથી આવ્યા હતા 1 પહેલાં 100 એકવાર પરિમાણો સાથે આ એક લાક્ષણિક બર્નૌલી સર્કિટ સમસ્યા છે n=100 (સ્વતંત્ર અજમાયશની સંખ્યા), p=0.003(ઘટનાની સંભાવના એએક અજમાયશમાં) q=1− પી=0.997 . શોધવાની જરૂર છે આર 100 (1≤ k≤100) . IN આ બાબતે, અલબત્ત, પહેલા વિપરીત ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સરળ છે આર 100 (0) - ઘટનાની સંભાવના એએકવાર પણ બન્યું નહીં (એટલે કે 0 વખત થયું). ઘટનાની સંભાવનાઓ અને તેની વિરુદ્ધ વચ્ચેના જોડાણને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ:
એટલું ઓછું નથી. તે સારી રીતે થઈ શકે છે (પરીક્ષણોની દરેક ચોથી શ્રેણીમાં સરેરાશ થાય છે). મુ 1000 સમાન યોજનાનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણો, તે મેળવી શકાય છે કે ઓછામાં ઓછા એક વિચલનની સંભાવના કરતાં વધુ છે 3σ, બરાબર: . તેથી આપણે મોટા આત્મવિશ્વાસ સાથે ઓછામાં ઓછા આવા એક વિચલનની અપેક્ષા રાખી શકીએ છીએ.
ઉદાહરણ. ચોક્કસ વય જૂથના પુરુષોની ઊંચાઈ સામાન્ય રીતે ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે વહેંચવામાં આવે છે a, અને પ્રમાણભૂત વિચલન σ . સુટ્સનું પ્રમાણ શું છે kઆપેલ વય જૂથ માટે કુલ ઉત્પાદનમાં વૃદ્ધિનો સમાવેશ થવો જોઈએ જો kમી વૃદ્ધિ નીચેની મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
1 ઊંચાઈ : 158 − 164 સેમી 2ઊંચાઈ : 164 − 170cm 3ઊંચાઈ : 170 − 176cm 4ઊંચાઈ : 176 − 182 સે.મી
ઉકેલ. ચાલો નીચેના પેરામીટર મૂલ્યો સાથે સમસ્યા હલ કરીએ: a=178,σ=6,k=3
. ચાલો આર.વી. એક્સ
−
અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ માણસની ઊંચાઈ (તે આપેલ પરિમાણો સાથે સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે). ચાલો સંભવિતતા શોધીએ કે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલ માણસને જરૂર પડશે 3
-મી ઊંચાઈ. લેપ્લેસ ફંક્શનની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીને F(x)અને તેના મૂલ્યોનું ટેબલ: પી(170
આ મુદ્દાનો લાંબા સમયથી વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ ધ્રુવીય સંકલન પદ્ધતિ છે, જે 1958માં જ્યોર્જ બોક્સ, મર્વિન મુલર અને જ્યોર્જ માર્સાગ્લિયા દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. આ પદ્ધતિ તમને નીચે પ્રમાણે ગાણિતિક અપેક્ષા 0 અને ભિન્નતા 1 સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોની જોડી મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે:
જ્યાં Z 0 અને Z 1 એ ઇચ્છિત મૂલ્યો છે, s = u 2 + v 2, અને u અને v એ અંતરાલ (-1, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ છે, એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે શરત 0 સંતુષ્ટ થાય.< s < 1.
ઘણા લોકો વિચાર્યા વિના પણ આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે, અને ઘણાને તેમના અસ્તિત્વ પર શંકા પણ નથી થતી, કારણ કે તેઓ તૈયાર અમલીકરણોનો ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ એવા લોકો છે જેમને પ્રશ્નો છે: “આ સૂત્ર ક્યાંથી આવ્યું? અને શા માટે તમે એક સાથે બે જથ્થા મેળવો છો?" આગળ, હું આ પ્રશ્નોના સ્પષ્ટ જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ.
શરૂ કરવા માટે, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સંભાવના ઘનતા, રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય અને વ્યસ્ત કાર્ય શું છે. ધારો કે કોઈ ચોક્કસ રેન્ડમ ચલ છે, જેનું વિતરણ ઘનતા ફંક્શન f(x) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યું છે, જેનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય અંતરાલ (A, B) માં હશે તેવી સંભાવના છાંયેલા વિસ્તારના ક્ષેત્રફળ જેટલી છે. અને પરિણામે, સમગ્ર છાંયેલા વિસ્તારનો વિસ્તાર એક સમાન હોવો જોઈએ, કારણ કે કોઈ પણ સંજોગોમાં રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય ફંક્શન f ની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આવશે.
રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય ઘનતા કાર્યનું અભિન્ન અંગ છે. અને આ કિસ્સામાં, તેનો અંદાજિત દેખાવ આના જેવો હશે:
અહીંનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ વેરીએબલનું મૂલ્ય સંભાવના B સાથે A કરતાં ઓછું હશે. અને પરિણામે, ફંક્શન ક્યારેય ઘટતું નથી, અને તેની કિંમતો અંતરાલમાં રહે છે.
ઇન્વર્સ ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જે મૂળ ફંક્શનમાં દલીલ પરત કરે છે જો મૂળ ફંક્શનની કિંમત તેમાં પસાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન x 2 માટે ઇન્વર્સ એ રુટ કાઢવાનું કાર્ય છે, sin(x) માટે તે arcsin(x), વગેરે છે.
મોટાભાગના સ્યુડોરેન્ડમ નંબર જનરેટર્સ આઉટપુટ તરીકે માત્ર એક સમાન વિતરણ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી ઘણી વખત તેને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર પડે છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય ગૌસીયન માટે:
સમાન વિતરણને અન્ય કોઈપણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેની તમામ પદ્ધતિઓનો આધાર વ્યસ્ત પરિવર્તન પદ્ધતિ છે. તે નીચે પ્રમાણે કામ કરે છે. એક ફંક્શન જોવા મળે છે જે જરૂરી વિતરણના કાર્યથી વિપરિત હોય છે, અને અંતરાલ (0, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત કરાયેલ રેન્ડમ ચલ તેમાં દલીલ તરીકે પસાર થાય છે. આઉટપુટ પર આપણે જરૂરી વિતરણ સાથે મૂલ્ય મેળવીએ છીએ. સ્પષ્ટતા માટે, હું નીચેનું ચિત્ર પ્રદાન કરું છું.
આમ, એક સમાન સેગમેન્ટ, જેમ કે તે હતા, નવા વિતરણ અનુસાર ગંધિત, વ્યસ્ત કાર્ય દ્વારા અન્ય ધરી પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. પરંતુ સમસ્યા એ છે કે ગૌસીયન વિતરણની ઘનતાના અભિન્નતાની ગણતરી કરવી સરળ નથી, તેથી ઉપરોક્ત વૈજ્ઞાનિકોએ છેતરપિંડી કરવી પડી.
એક ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન (પિયર્સન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન) છે, જે k સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના ચોરસના સરવાળાનું વિતરણ છે. અને કિસ્સામાં જ્યારે k = 2, આ વિતરણ ઘાતાંકીય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઈ બિંદુ રેન્ડમ X અને Y કોઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરે છે, તો પછી આ કોઓર્ડિનેટ્સને ધ્રુવીય સિસ્ટમ (r, θ) માં રૂપાંતરિત કર્યા પછી, ત્રિજ્યાનો વર્ગ (મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર) ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવશે, કારણ કે ત્રિજ્યાનો વર્ગ એ કોઓર્ડિનેટ્સના વર્ગોનો સરવાળો છે (પાયથાગોરિયન કાયદા અનુસાર). પ્લેન પર આવા બિંદુઓની વિતરણ ઘનતા આના જેવી દેખાશે:
તે બધી દિશામાં સમાન હોવાથી, કોણ θ 0 થી 2π સુધીની શ્રેણીમાં સમાન વિતરણ ધરાવશે. વાતચીત પણ સાચી છે: જો તમે બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ઉપયોગ કરીને ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં કોઈ બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરો છો (એક સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ ખૂણો અને ત્રિજ્યા ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત થાય છે), તો આ બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલો હશે. અને સમાન વ્યસ્ત રૂપાંતરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એક સમાનમાંથી ઘાતાંકીય વિતરણ મેળવવું ખૂબ સરળ છે. આ ધ્રુવીય બોક્સ-મુલર પદ્ધતિનો સાર છે.
હવે ચાલો સૂત્રો મેળવીએ.
(1)
r અને θ મેળવવા માટે, અંતરાલ (0, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ જનરેટ કરવા જરૂરી છે (ચાલો તેમને u અને v કહીએ), જેમાંથી એકનું વિતરણ (ચાલો v કહીએ) ઘાતાંકીયમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે ત્રિજ્યા મેળવો. ઘાતાંકીય વિતરણ કાર્ય આના જેવું દેખાય છે:
તેનું વ્યસ્ત કાર્ય છે:
એકસમાન વિતરણ સપ્રમાણ હોવાથી, રૂપાંતરણ કાર્ય સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરશે
ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફોર્મ્યુલામાંથી તે λ = 0.5ને અનુસરે છે. આ ફંક્શનમાં λ, v ને બદલો અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ મેળવો અને પછી ત્રિજ્યા પોતે મેળવો:
અમે એકમ સેગમેન્ટને 2π સુધી લંબાવીને કોણ મેળવીએ છીએ:
હવે આપણે ફોર્મ્યુલા (1) માં r અને θ ને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:
(2)
આ સૂત્રો પહેલેથી જ ઉપયોગ માટે તૈયાર છે. X અને Y સ્વતંત્ર હશે અને સામાન્ય રીતે 1 ના ભિન્નતા અને 0 ની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે વિતરિત કરવામાં આવશે. અન્ય લાક્ષણિકતાઓ સાથેનું વિતરણ મેળવવા માટે, પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા કાર્યના પરિણામને ગુણાકાર કરવા અને ગાણિતિક અપેક્ષા ઉમેરવા માટે તે પૂરતું છે.
પરંતુ વર્તુળમાં રેન્ડમ બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સીધા નહીં, પરંતુ પરોક્ષ રીતે કોણનો ઉલ્લેખ કરીને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોથી છુટકારો મેળવવો શક્ય છે. પછી, આ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા, ત્રિજ્યા વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરવી શક્ય બનશે, અને પછી તેના દ્વારા અનુક્રમે x અને y ને વિભાજીત કરીને કોસાઈન અને સાઈન શોધો. તે કેવી રીતે અને શા માટે કામ કરે છે?
ચાલો એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમાનરૂપે વિતરિત કરાયેલામાંથી એક રેન્ડમ બિંદુ પસંદ કરીએ અને અક્ષર s દ્વારા આ બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરની લંબાઈના ચોરસને સૂચવીએ:
પસંદગી રેન્ડમ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ x અને y નો ઉલ્લેખ કરીને કરવામાં આવે છે, જે અંતરાલ (-1, 1) માં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે, અને વર્તુળ સાથે સંબંધિત ન હોય તેવા બિંદુઓને છોડી દે છે, તેમજ કેન્દ્રીય બિંદુ કે જેના પર ત્રિજ્યા વેક્ટરનો કોણ હોય છે. વ્યાખ્યાયિત નથી. એટલે કે, શરત 0 મળવી આવશ્યક છે< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
અમને લેખની શરૂઆતમાં ફોર્મ્યુલા મળે છે. આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે તે વર્તુળમાં શામેલ ન હોય તેવા બિંદુઓને છોડી દે છે. એટલે કે, જનરેટ થયેલ રેન્ડમ ચલોના માત્ર 78.5% નો ઉપયોગ કરીને. જૂના કમ્પ્યુટર્સ પર, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અભાવ હજુ પણ એક મોટો ફાયદો હતો. હવે, જ્યારે એક પ્રોસેસર આદેશ ત્વરિતમાં સાઈન અને કોસાઈન બંનેની ગણતરી કરે છે, ત્યારે મને લાગે છે કે આ પદ્ધતિઓ હજુ પણ સ્પર્ધા કરી શકે છે.
અંગત રીતે, મારી પાસે હજુ પણ બે પ્રશ્નો છે:
- શા માટે s ની કિંમત સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે?
- શા માટે બે સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના વર્ગોનો સરવાળો ઘાતક રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે?
જો સામાન્ય રેન્ડમ ચલ માટે સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે, તો તેના ચોરસનું ઘનતા કાર્ય અતિપરવલય જેવું જ બનશે. અને સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના બે ચોરસનો ઉમેરો એ ડબલ એકીકરણ સાથે સંકળાયેલ વધુ જટિલ પ્રક્રિયા છે. અને હકીકત એ છે કે પરિણામ ઘાતાંકીય વિતરણ હશે, મારે વ્યક્તિગત રીતે માત્ર વ્યવહારુ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરવી પડશે અથવા સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવું પડશે. અને રસ ધરાવતા લોકો માટે, હું સૂચન કરું છું કે તમે આ પુસ્તકોમાંથી જ્ઞાન મેળવીને વિષય પર નજીકથી નજર નાખો:
- વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ. સંભાવના સિદ્ધાંત
- નુટ ડી.ઇ. ધ આર્ટ ઓફ પ્રોગ્રામિંગ, વોલ્યુમ 2
નિષ્કર્ષમાં, અહીં JavaScript માં સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ નંબર જનરેટરને અમલમાં મૂકવાનું ઉદાહરણ છે:
ફંક્શન ગૌસ() ( var રેડી = false; var સેકન્ડ = 0.0; આ. નેક્સ્ટ = ફંક્શન(મીન, dev) ( સરેરાશ = સરેરાશ == અવ્યાખ્યાયિત ? 0.0: સરેરાશ; dev = dev == અવ્યાખ્યાયિત ? 1.0: dev; જો ( this.ready) ( this.ready = false; આ. સેકન્ડ * dev + mean; પરત કરો; ) બીજું ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * ગણિત. રેન્ડમ() - 1.0; s = u * u + v * v; ) જ્યારે (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; પરત કરો r * v * dev + mean; )); ) g = new Gauss(); // ઑબ્જેક્ટ બનાવો a = g.next(); // મૂલ્યોની જોડી બનાવો અને પ્રથમ મેળવો b = g.next(); // બીજું c = g.next(); મેળવો // ફરીથી મૂલ્યોની જોડી બનાવો અને પ્રથમ મેળવો
પરિમાણોનો અર્થ (ગાણિતિક અપેક્ષા) અને dev (માનક વિચલન) વૈકલ્પિક છે. હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરું છું કે લઘુગણક કુદરતી છે.
