સમાન વિતરણ.રેન્ડમ મૂલ્ય એક્સસેગમેન્ટ પર રેન્ડમ પસંદ કરેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સનો અર્થ છે

[a, b. સમાન ઘનતારેન્ડમ ચલ વિતરણ એક્સ(ફિગ. 10.5, અ)તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:

ચોખા. 10.5. રેન્ડમ ચલનું સમાન વિતરણ: એ- વિતરણ ઘનતા; b- વિતરણ કાર્ય

રેન્ડમ વેરિયેબલ વિતરણ કાર્ય એક્સફોર્મ ધરાવે છે:

સમાન વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 10.5, b

અમે (10.3) નો ઉપયોગ કરીને સમાન વિતરણના લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરીએ છીએ:

અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓમાંથી અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતાની સીધી ગણતરી કરવામાં આવે છે:

ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ માટે સમાન ફોર્મ્યુલા (10.8), (10.9) નો ઉપયોગ કરીને લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને પણ મેળવી શકાય છે.

ચાલો સેવા સિસ્ટમના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ જે સમાન વિતરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

આંતરછેદ પરનો ટ્રાફિક ઓટોમેટિક ટ્રાફિક લાઇટ દ્વારા નિયંત્રિત થાય છે, જેમાં લીલી લાઇટ 1 મિનિટ અને લાલ 0.5 મિનિટ માટે ચાલુ હોય છે. ડ્રાઇવરો એક આંતરછેદ સુધી પહોંચે છે રેન્ડમ ક્ષણોટ્રાફિક લાઇટના સંચાલન સાથે સંબંધિત નથી સમાન વિતરણ સાથેનો સમય. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે કાર રોકાયા વિના આંતરછેદમાંથી પસાર થશે.

જ્યારે કાર આંતરછેદમાંથી પસાર થાય છે તે ક્ષણ 1 + 0.5 = 1.5 મિનિટના અંતરાલમાં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. જો આંતરછેદ પસાર કરવાની ક્ષણ સમય અંતરાલમાં આવે તો કાર રોકાયા વિના આંતરછેદમાંથી પસાર થશે. અંતરાલમાં સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના 1/1.5=2/3 છે. રાહ જોવાનો સમય Гож એ મિશ્ર રેન્ડમ ચલ છે. સંભાવના 2/3 સાથે તે શૂન્યની બરાબર છે, અને સંભાવના 0.5/1.5 સાથે તે 0 અને 0.5 મિનિટ વચ્ચે કોઈપણ મૂલ્ય લે છે. તેથી, આંતરછેદ પર સરેરાશ રાહ જોવાનો સમય અને ભિન્નતા

ઘાતાંકીય (ઘાતાંકીય) વિતરણ.ઘાતાંકીય વિતરણ માટે, રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા આ રીતે લખી શકાય છે:

જ્યાં A ને વિતરણ પરિમાણ કહેવામાં આવે છે.

ઘાતાંકીય વિતરણની સંભાવના ઘનતા ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 10.6, એ.

ઘાતાંકીય વિતરણ સાથે રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ છે

ચોખા. 10.6. રેન્ડમ ચલનું ઘાતાંકીય વિતરણ: એ- વિતરણ ઘનતા; b -વિતરણ કાર્ય

ઘાતાંકીય વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 10.6, 6.

અમે (10.3) નો ઉપયોગ કરીને ઘાતાંકીય વિતરણના લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મની ગણતરી કરીએ છીએ:

ચાલો તે રેન્ડમ ચલ માટે બતાવીએ X,ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે, અપેક્ષિત મૂલ્યપ્રમાણભૂત વિચલન a ની સમાન અને પરિમાણ A ની વિપરિત:

આમ, ઘાતાંકીય વિતરણ માટે અમારી પાસે છે: તે પણ બતાવી શકાય છે

તે ઘાતાંકીય વિતરણ સંપૂર્ણપણે સરેરાશ અથવા પરિમાણ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે એક્સ .

ઘાતાંકીય વિતરણમાં સંખ્યા હોય છે ઉપયોગી ગુણધર્મો, જેનો ઉપયોગ મોડલિંગ સર્વિસ સિસ્ટમ્સમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેની પાસે કોઈ મેમરી નથી. ક્યારે , તે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો રેન્ડમ ચલ સમયને અનુરૂપ હોય, તો બાકીની અવધિનું વિતરણ પહેલાથી પસાર થયેલા સમય પર આધારિત નથી. આ મિલકત ફિગ માં સચિત્ર છે. 10.7.

ચોખા. 10.7.

ચાલો સિસ્ટમના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના ઓપરેટિંગ પરિમાણો ઘાતાંકીય વિતરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

જ્યારે કોઈ ઉપકરણ ચાલે છે, ત્યારે અવ્યવસ્થિત સમયે ખામી સર્જાય છે. ઉપકરણ ઓપરેટિંગ સમય ટીપરિમાણ સાથેના ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે ત્યાં સુધી તેના સ્વિચિંગથી લઈને કોઈ ખામી સર્જાય ત્યાં સુધી એક્સ.જો કોઈ ખામી મળી આવે, તો ઉપકરણ તરત જ સમારકામમાં જાય છે, જે સમય / 0 સુધી ચાલે છે. ચાલો આપણે સમય અંતરાલની ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય શોધીએ Г બે નજીકના ખામીઓ વચ્ચે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ, તેમજ સંભવિતતા કે સમય ટી એક્સત્યાં વધુ હશે 2t 0 .

ત્યારથી

સામાન્ય વિતરણ.સામાન્ય એ સતત રેન્ડમ ચલનું સંભવિત વિતરણ છે, જે ઘનતા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

(10.48) થી તે અનુસરે છે સામાન્ય વિતરણબે પરિમાણો દ્વારા નિર્ધારિત - ગાણિતિક અપેક્ષા ટીઅને ફેલાવો a 2. પર સામાન્ય વિતરણ સાથે રેન્ડમ ચલનો સંભાવના ઘનતા ગ્રાફ t= 0, અને 2 =1 ફિગમાં બતાવેલ છે. 10.8, એ.

ચોખા. 10.8. પર રેન્ડમ ચલનો સામાન્ય વિતરણ કાયદો ટી= 0, st 2 = 1: એ- સંભાવના ઘનતા; 6 - વિતરણ કાર્ય

વિતરણ કાર્ય સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે

પર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના સંભાવના વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ ટી= 0, અને 2 = 1 ફિગમાં બતાવેલ છે. 10.8, b

ચાલો તેની સંભાવના નક્કી કરીએ એક્સઅંતરાલ (a, p) સાથે સંબંધિત મૂલ્ય લેશે:

જ્યાં લેપ્લેસ ફંક્શન છે, અને તેની સંભાવના

શું સંપૂર્ણ મૂલ્યહકારાત્મક નંબર 6 કરતા ઓછા વિચલનો:

ખાસ કરીને, જ્યારે t = 0 સમાનતા સાચી છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સામાન્ય વિતરણ સાથેનું રેન્ડમ ચલ હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. તેથી, ક્ષણોની ગણતરી કરવા માટે બે-માર્ગી લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે

જો કે, આ અભિન્ન આવશ્યકપણે અસ્તિત્વમાં નથી. જો તે અસ્તિત્વમાં હોય, તો (10.50) ને બદલે સામાન્ય રીતે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ થાય છે

જેને કહેવામાં આવે છે લાક્ષણિક કાર્યઅથવા ક્ષણોનું નિર્માણ કાર્ય.

ચાલો ફોર્મ્યુલા (10.51) નો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વિતરણની ક્ષણોના જનરેટીંગ ફંક્શનની ગણતરી કરીએ:

ઉપઘાતી સમીકરણના અંશને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કર્યા પછી આપણને મળે છે

અભિન્ન

કારણ કે તે પરિમાણો સાથે સામાન્ય સંભાવના ઘનતાનું અભિન્ન અંગ છે t + તેથી 2અને 2. આથી,

ભિન્નતા (10.52), અમે મેળવીએ છીએ

આ અભિવ્યક્તિઓમાંથી તમે નીચેના મુદ્દાઓ શોધી શકો છો:

સામાન્ય વિતરણનો વ્યવહારમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, કારણ કે, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય મુજબ, જો રેન્ડમ ચલ એ પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની ખૂબ મોટી સંખ્યાનો સરવાળો હોય, તો તેમાંના દરેકનો પ્રભાવ સમગ્ર સરવાળા પર નજીવો હોય, તો પછી તેનું વિતરણ સામાન્યની નજીક છે.

ચાલો સિસ્ટમના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના પરિમાણો સામાન્ય વિતરણ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે.

કંપની આપેલ કદના એક ભાગનું ઉત્પાદન કરે છે. ભાગની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન તેના કદને માપવા દ્વારા કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ માપન ભૂલો પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સામાન્ય કાયદાને આધીન છે A -યમકેમ. ચાલો સંભાવના શોધીએ કે માપન ભૂલ 15 માઇક્રોનથી વધુ નહીં હોય.

(10.49) થી આપણે શોધીએ છીએ

ધ્યાનમાં લેવાયેલા વિતરણોના ઉપયોગમાં સરળતા માટે, અમે કોષ્ટકમાં મેળવેલા સૂત્રોનો સારાંશ આપીએ છીએ. 10.1 અને 10.2.

કોષ્ટક 10.1. સતત વિતરણની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓ

કોષ્ટક 10.2. સતત વિતરણના કાર્યોનું નિર્માણ

નિયંત્રણ પ્રશ્નો

• 1. કયા સંભવિત વિતરણોને સતત ગણવામાં આવે છે?
• 2. લેપ્લેસ-સ્ટીલ્ટજેસ ટ્રાન્સફોર્મ શું છે? તેનો ઉપયોગ શેના માટે થાય છે?
• 3. લેપ્લેસ-સ્ટીલ્ટજેસ ટ્રાન્સફોર્મનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલોની ક્ષણોની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?
• 4. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું લેપ્લેસ ટ્રાન્સફોર્મ શું છે?
• 5. સિગ્નલ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં સંક્રમણ કરે છે તે સમયના સરેરાશ સમય અને તફાવતની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?
• 6. સમાન વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ આપો. સેવા કાર્યોમાં તેના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપો.
• 7. ઘાતાંકીય વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ આપો. સેવા કાર્યોમાં તેના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપો.
• 8. સામાન્ય વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ આપો. સેવા કાર્યોમાં તેના ઉપયોગના ઉદાહરણો આપો.

પ્રકરણ 6. સતત રેન્ડમ ચલો.

§ 1. સતત રેન્ડમ ચલની ઘનતા અને વિતરણ કાર્ય.

સતત રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ અગણિત છે અને સામાન્ય રીતે અમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

સંભવિત જગ્યા (W, S, P) માં વ્યાખ્યાયિત રેન્ડમ ચલ x(w) કહેવાય છે. સતત(એકદમ સતત) W, જો ત્યાં બિન-નકારાત્મક કાર્ય હોય કે જે કોઈપણ x માટે વિતરણ કાર્ય Fx(x) ને અભિન્ન તરીકે રજૂ કરી શકાય

ફંક્શનને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે સંભાવના વિતરણ ઘનતા.

વ્યાખ્યા વિતરણ ઘનતા કાર્યના ગુણધર્મો સૂચવે છે:

1..gif" width="97" height="51">

3. સાતત્યના બિંદુઓ પર, વિતરણ ઘનતા વિતરણ કાર્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે: .

4. વિતરણ ઘનતા રેન્ડમ ચલના વિતરણના નિયમને નિર્ધારિત કરે છે, કારણ કે તે અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરે છે:

5. સતત રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના શૂન્ય છે: . તેથી, નીચેની સમાનતાઓ માન્ય છે:

વિતરણ ઘનતા કાર્યનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક, અને વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર એકતા સમાન છે. પછી, ભૌમિતિક રીતે, બિંદુ x0 પર વિતરણ કાર્ય Fx(x) નું મૂલ્ય એ વિતરણ વળાંક અને x-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ વિસ્તાર છે અને બિંદુ x0 ની ડાબી બાજુએ આવેલો છે.

કાર્ય 1.સતત રેન્ડમ ચલના ઘનતા કાર્યનું સ્વરૂપ છે:

સ્થિર C નક્કી કરો, વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવો અને સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.અમારી પાસે જે સ્થિતિ છે તેમાંથી સ્થિર C જોવા મળે છે:

જ્યાંથી C=3/8.

વિતરણ કાર્ય Fx(x) બનાવવા માટે, નોંધ કરો કે અંતરાલ દલીલ x (સંખ્યાત્મક અક્ષ) ના મૂલ્યોની શ્રેણીને ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

કારણ કે અર્ધ-અક્ષ પર x ઘનતા શૂન્ય છે. બીજા કિસ્સામાં

છેલ્લે, છેલ્લા કિસ્સામાં, જ્યારે x>2,

કારણ કે ઘનતા અર્ધ-અક્ષ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તેથી, વિતરણ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે

સંભાવના ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ. આમ,

§ 2. સતત રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

અપેક્ષિત મૂલ્યસતત વિતરિત રેન્ડમ ચલો માટે ફોર્મ્યુલા https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,

જો જમણી બાજુનું અવિભાજ્ય સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય.

વિક્ષેપ x ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે , અને એ પણ, સ્વતંત્ર કેસની જેમ, સૂત્ર https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> અનુસાર.

અલગ રેન્ડમ ચલ માટે પ્રકરણ 5 માં આપેલ ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના તમામ ગુણધર્મો સતત રેન્ડમ ચલો માટે પણ માન્ય છે.

સમસ્યા 2. સમસ્યા 1 માંથી રેન્ડમ ચલ x માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો .

ઉકેલ.

અને તેનો અર્થ છે

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

સમાન વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ માટે, ફિગ જુઓ. .

ફિગ.6.2. વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા. સમાન કાયદો

સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય Fx(x) બરાબર છે

Fx(x)=

અપેક્ષા અને ભિન્નતા; .

ઘાતાંકીય (ઘાતાંકીય) વિતરણ.બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો લેતા સતત રેન્ડમ ચલ x માં પરિમાણ l>0 સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ હોય છે જો રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા વિતરણ સમાન હોય

рx(x)=

ચોખા. 6.3. ઘાતાંકીય કાયદાનું વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ ઘનતા.

ઘાતાંકીય વિતરણનું વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> અને જો તેની વિતરણ ઘનતા બરાબર છે

.

દ્વારા પેરામીટર પેરામીટર્સ સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત તમામ રેન્ડમ ચલોનો સમૂહ સૂચવે છે અને .

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય બરાબર છે

.

ચોખા. 6.4. વિતરણ કાર્ય અને સામાન્ય વિતરણ ઘનતા

સામાન્ય વિતરણના પરિમાણો એ ગાણિતિક અપેક્ષા છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> સામાન્ય વિતરણ કહેવામાં આવે છે ધોરણ, અને આવા વિતરણોનો વર્ગ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે,

અને વિતરણ કાર્ય

આવા અવિભાજ્યની વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગણતરી કરી શકાતી નથી (તે "ચતુર્ભુજ" માં લેવામાં આવતી નથી), અને તેથી કાર્ય માટે કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે. આ ફંક્શન પ્રકરણ 4 માં રજૂ કરાયેલ લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે

,

નીચેના સંબંધ દ્વારા . મનસ્વી પરિમાણ મૂલ્યોના કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને લેપ્લેસ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે:

.

તેથી, સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના અંતરાલમાં આવતા સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

.

બિન-નકારાત્મક રેન્ડમ ચલ x એ લોગનોર્મલી વિતરિત કહેવાય છે જો તેનો લઘુગણક h=lnx સામાન્ય નિયમનું પાલન કરે છે. સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા Mx= અને Dx= છે.

કાર્ય 3.રેન્ડમ ચલને https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> આપવા દો.

ઉકેલ.અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

લેપ્લેસ વિતરણફંક્શન fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કર્ટોસિસ gx=3 છે.

ફિગ.6.5. લેપ્લેસ વિતરણ ઘનતા કાર્ય.

રેન્ડમ ચલ x ઉપર વિતરિત થયેલ છે વેઇબુલનો કાયદો, જો તેનું વિતરણ ઘનતા કાર્ય https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> સમાન હોય

વેઇબુલ વિતરણ ઘણા તકનીકી ઉપકરણોના નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમયને નિયંત્રિત કરે છે. આ પ્રોફાઇલના કાર્યોમાં મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઉંમર t ના અભ્યાસ કરેલ ઘટકોનો નિષ્ફળતા દર (મૃત્યુ દર) l(t) છે, જે સંબંધ l(t)= દ્વારા નિર્ધારિત છે. જો a=1, તો વેઈબુલ વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણમાં ફેરવાય છે, અને જો a=2 - કહેવાતા વિતરણમાં રેલે.

વેઇબુલ વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, જ્યાં Г(а) એ યુલર છે કાર્ય..

IN વિવિધ કાર્યોલાગુ આંકડાઓમાં, કહેવાતા "કાપાયેલા" વિતરણોનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કર સત્તાવાળાઓ તે વ્યક્તિઓની આવકના વિતરણમાં રસ ધરાવે છે જેમની વાર્ષિક આવક કર કાયદા દ્વારા સ્થાપિત ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડ c0 કરતાં વધી જાય છે. આ વિતરણો લગભગ પેરેટો વિતરણ સાથે સુસંગત છે. પેરેટો વિતરણકાર્યો દ્વારા આપવામાં આવે છે

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> રેન્ડમ ચલ x અને મોનોટોનિક ડિફરન્સિએબલ ફંક્શન ..gif" width="200" height="51">

અહીં https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

કાર્ય 4.રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની ઘનતા શોધો.

ઉકેલ.સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે તેને અનુસરે છે

આગળ, કાર્ય અંતરાલ પર મોનોટોન અને ડિફરન્સિબલ ફંક્શન છે અને તેમાં વ્યસ્ત ફંક્શન છે , જેના વ્યુત્પન્ન સમાન છે તેથી,

§ 5. સતત રેન્ડમ ચલોની જોડી

બે સતત રેન્ડમ ચલ x અને h આપવા દો. પછી જોડી (x, h) પ્લેન પર "રેન્ડમ" બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જોડી (x, h) કહેવાય છે રેન્ડમ વેક્ટરઅથવા દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ.

સંયુક્ત વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ x અને h અને ફંક્શનને F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> કહેવામાં આવે છે. સંયુક્ત ઘનતારેન્ડમ ચલ x અને h ની સંભાવના વિતરણને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે જેમ કે .

સંયુક્ત વિતરણ ઘનતાની આ વ્યાખ્યાનો અર્થ નીચે મુજબ છે. "રેન્ડમ પોઈન્ટ" (x, h) પ્લેન પરના પ્રદેશમાં આવે તેવી સંભાવનાની ગણતરી ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિના જથ્થા તરીકે કરવામાં આવે છે - સપાટીથી બંધાયેલ "વક્રીય" સિલિન્ડર https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

બે રેન્ડમ ચલોના સંયુક્ત વિતરણનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ દ્વિ-પરિમાણીય છે સેટ પર સમાન વિતરણએ. એક બાઉન્ડેડ સેટ M ને વિસ્તાર સાથે આપવા દો. તેને જોડી (x, h) ના વિતરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે નીચેની સંયુક્ત ઘનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:

કાર્ય 5.દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) ને ત્રિકોણની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવા દો. અસમાનતા x>h ની સંભાવનાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.દર્શાવેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બરાબર છે (ફિગ જુઓ. નંબર?). દ્વિ-પરિમાણીય સમાન વિતરણની વ્યાખ્યાના આધારે, રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x, h બરાબર છે

ઘટના સમૂહને અનુરૂપ છે પ્લેન પર, એટલે કે અડધા પ્લેનમાં. પછી સંભાવના

હાફ-પ્લેન B પર, સંયુક્ત ઘનતા સમૂહની બહાર શૂન્ય છે https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. આમ, અર્ધ-વિમાન B બે સેટમાં વહેંચાયેલું છે અને https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> અને , અને બીજો અવિભાજ્ય સમાન છે શૂન્ય, કારણ કે સંયુક્ત ઘનતા શૂન્યની બરાબર છે. એ કારણે

જો જોડી (x, h) માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા આપવામાં આવે, તો x અને h બંને ઘટકોની ઘનતા કહેવામાં આવે છે. ખાનગી ઘનતાઅને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

ઘનતા рx(х), рh(у) સાથે સતત વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, સ્વતંત્રતાનો અર્થ છે કે

કાર્ય 6.અગાઉની સમસ્યાની સ્થિતિમાં, રેન્ડમ વેક્ટર x અને h ના ઘટકો સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે નક્કી કરો?

ઉકેલ. ચાલો આંશિક ઘનતાની ગણતરી કરીએ અને . અમારી પાસે:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

દેખીતી રીતે, અમારા કિસ્સામાં https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> એ x અને h, અને j( ની સંયુક્ત ઘનતા છે. x, y) એ બે દલીલોનું કાર્ય છે, પછી

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

કાર્ય 7.અગાઉની સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં, ગણતરી કરો.

ઉકેલ.ઉપરોક્ત સૂત્ર અનુસાર અમારી પાસે છે:

.

ત્રિકોણ તરીકે રજૂ કરે છે

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. બે સતત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઘનતા

x અને h ને ઘનતા સાથે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. રેન્ડમ ચલ x + ની ઘનતા h ની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે ક્રાંતિ

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. સરવાળાની ઘનતાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. x અને h પરિમાણ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવ્યા હોવાથી, તેમની ઘનતા સમાન છે

આથી,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

જો એક્સ<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">નકારાત્મક છે, અને તેથી. તેથી, જો https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

આમ અમને જવાબ મળ્યો:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> સામાન્ય રીતે પેરામીટર્સ 0 અને 1 સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલ x1 અને x2 સ્વતંત્ર છે અને સામાન્ય છે અનુક્રમે a1, અને a2 પરિમાણો સાથેનું વિતરણ. સાબિત કરો કે x1 + x2 નું સામાન્ય વિતરણ છે. રેન્ડમ ચલ x1, x2, ... xn વિતરિત અને સ્વતંત્ર છે અને સમાન ઘનતા કાર્ય ધરાવે છે

.

વિતરણ કાર્ય અને મૂલ્યોના વિતરણની ઘનતા શોધો:

a) h1 = મિનિટ (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = મહત્તમ (x1,x2, ... xn)

રેન્ડમ ચલ x1, x2, ... xn સ્વતંત્ર છે અને અંતરાલ [a, b] પર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. જથ્થાના વિતરણના વિતરણ કાર્યો અને ઘનતા કાર્યો શોધો

x(1) = મિનિટ (x1,x2, ... xn) અને x(2)= મહત્તમ(x1, x2, ...xn).

સાબિત કરો કે Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

રેન્ડમ ચલ કોચીના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે શોધો: a) ગુણાંક a; b) વિતરણ કાર્ય; c) અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના (-1, 1). બતાવો કે x ની ગાણિતિક અપેક્ષા અસ્તિત્વમાં નથી. રેન્ડમ વેરીએબલ l (l>0) પેરામીટર સાથે લેપ્લેસના કાયદાને આધીન છે: ગુણાંક a શોધો; વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ અને વિતરણ કાર્યોનું નિર્માણ કરો; Mx અને Dx શોધો; ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

વિતરણ ઘનતા માટે એક સૂત્ર લખો, Mx અને Dx શોધો.

કોમ્પ્યુટેશનલ કાર્યો.

રેન્ડમ બિંદુ A ત્રિજ્યા R ના વર્તુળમાં સમાન વિતરણ ધરાવે છે. વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીના બિંદુના અંતર r ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો. બતાવો કે મૂલ્ય r2 સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે.

રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x) અને સંભાવનાની ગણતરી કરો રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:
સતત C, વિતરણ કાર્ય F(x), , ભિન્નતા અને સંભાવનાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલમાં વિતરણ કાર્ય હોય છે

રેન્ડમ ચલ, ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને સંભાવનાની ઘનતાની ગણતરી કરો તપાસો કે કાર્ય =
રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય હોઈ શકે છે. આ જથ્થાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો: Mx અને Dx. રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. વિતરણ ઘનતા લખો. વિતરણ કાર્ય શોધો. સેગમેન્ટ અને સેગમેન્ટ પર આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના શોધો. વિતરણ ઘનતા x બરાબર છે

.

સતત c, વિતરણ ઘનતા h = અને સંભાવના શોધો

પી (0.25

કમ્પ્યુટરનો નિષ્ફળતા-મુક્ત ઓપરેશન સમય l = 0.05 (કલાક દીઠ નિષ્ફળતા) પેરામીટર સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેની ઘનતા કાર્ય છે.

p(x) = .

ચોક્કસ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે 15 મિનિટ માટે મશીનની મુશ્કેલી-મુક્ત કામગીરી જરૂરી છે. જો કોઈ સમસ્યા હલ કરતી વખતે નિષ્ફળતા આવે છે, તો ઉકેલ પૂર્ણ થયા પછી જ ભૂલ શોધાય છે, અને સમસ્યા ફરીથી ઉકેલાઈ જાય છે. શોધો: a) સમસ્યાના ઉકેલ દરમિયાન એક પણ નિષ્ફળતા નહીં થાય તેવી સંભાવના; b) સરેરાશ સમય જેમાં સમસ્યા હલ થશે.

24 સે.મી. લાંબી સળિયાને બે ભાગમાં ભાંગી નાખવામાં આવે છે; અમે ધારીશું કે વિરામ બિંદુ સળિયાની સમગ્ર લંબાઈ સાથે સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે. મોટાભાગના સળિયાની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? 12 સે.મી.ની લંબાઇનો ટુકડો અવ્યવસ્થિત રીતે બે ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે. કટ બિંદુ સમાનરૂપે સેગમેન્ટની સમગ્ર લંબાઈ સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે. સેગમેન્ટના નાના ભાગની સરેરાશ લંબાઈ કેટલી છે? રેન્ડમ વેરીએબલ સેગમેન્ટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા શોધો a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

બતાવો કે જો x પાસે સતત વિતરણ કાર્ય છે

F(x) = P(x

સેગમેન્ટ્સ અને અનુક્રમે સમાન વિતરણ કાયદા સાથે બે સ્વતંત્ર જથ્થા x અને h ના સરવાળાનું ઘનતા કાર્ય અને વિતરણ કાર્ય શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલ x અને h અનુક્રમે સેગમેન્ટ્સ પર સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે વિતરિત છે. સરવાળા x+h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે અને ઘનતા સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે . તેમના સરવાળાની વિતરણ ઘનતા શોધો. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ x અને h ના સરવાળાનું વિતરણ શોધો, જ્યાં x નું અંતરાલ પર સમાન વિતરણ છે, અને h પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ ધરાવે છે. પી શોધો , જો x પાસે હોય: a) a અને s2 પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ; b) પરિમાણ l સાથે ઘાતાંકીય વિતરણ; c) સેગમેન્ટ [-1;1] પર સમાન વિતરણ. x, h નું સંયુક્ત વિતરણ સ્ક્વેર યુનિફોર્મ છે
K = (x, y): |x| +|y|£2). સંભાવના શોધો . શું x અને h સ્વતંત્ર છે? રેન્ડમ ચલોની જોડી x અને h ત્રિકોણ K= ની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતાની ગણતરી કરો. શું આ રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર છે? સંભાવના શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h સ્વતંત્ર અને સમાનરૂપે સેગમેન્ટ્સ અને [-1,1] પર વિતરિત છે. સંભાવના શોધો. દ્વિ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ (x, h) શિરોબિંદુઓ (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) સાથે સમાન રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. બિંદુ (1, -1) પર સંયુક્ત વિતરણ કાર્યનું મૂલ્ય શોધો. રેન્ડમ વેક્ટર (x, h) મૂળ પર કેન્દ્રિત ત્રિજ્યા 3 ના વર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા માટે અભિવ્યક્તિ લખો. આ રેન્ડમ ચલો નિર્ભર છે કે કેમ તે નક્કી કરો. સંભાવનાની ગણતરી કરો. રેન્ડમ ચલો x અને h ની જોડી સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ છે ટ્રેપેઝોઇડની અંદર બિંદુઓ (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). રેન્ડમ ચલોની આ જોડી માટે સંયુક્ત વિતરણ ઘનતા અને ઘટકોની ઘનતા શોધો. શું x અને h નિર્ભર છે? રેન્ડમ જોડી (x, h) અર્ધવર્તુળની અંદર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. બે રેન્ડમ ચલોની સંયુક્ત ઘનતા x અને h બરાબર છે .
x, h ઘનતા શોધો. x અને h ની નિર્ભરતાના પ્રશ્નની તપાસ કરો. એક રેન્ડમ જોડી (x, h) સેટ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે. x અને h ની ઘનતા શોધો, તેમની અવલંબનના પ્રશ્નની તપાસ કરો. M(xh) શોધો. રેન્ડમ ચલ x અને h સ્વતંત્ર છે અને પરિમાણ શોધ સાથે ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

જેની મદદથી ઘણી વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓનું અનુકરણ કરવામાં આવે છે. અને સૌથી સામાન્ય ઉદાહરણ જાહેર પરિવહન સમયપત્રક છે. ધારો કે ચોક્કસ બસ (ટ્રોલીબસ/ટ્રામ)દર 10 મિનિટે ચાલે છે, અને તમે સમયની રેન્ડમ ક્ષણે સ્ટોપ પર આવો છો. બસ 1 મિનિટની અંદર પહોંચવાની સંભાવના કેટલી છે? દેખીતી રીતે 1/10 મી. તમારે 4-5 મિનિટ રાહ જોવી પડશે તેવી સંભાવના કેટલી છે? સમાન . તમારે 9 મિનિટથી વધુ સમય માટે બસની રાહ જોવી પડશે તેવી સંભાવના કેટલી છે? દસમો ભાગ!

ચાલો કેટલાક ધ્યાનમાં લઈએ મર્યાદિતઅંતરાલ, નિશ્ચિતતા માટે તે એક સેગમેન્ટ બનવા દો. જો રેન્ડમ મૂલ્યધરાવે છે સતત સંભાવના વિતરણ ઘનતાઆપેલ સેગમેન્ટ પર અને તેની બહાર શૂન્ય ઘનતા, પછી તેઓ કહે છે કે તે વિતરિત થયેલ છે સમાનરૂપે. આ કિસ્સામાં, ઘનતા કાર્ય સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે:

ખરેખર, જો સેગમેન્ટની લંબાઈ (રેખાંકન જુઓ)છે, તો મૂલ્ય અનિવાર્યપણે સમાન છે - જેથી લંબચોરસનો એકમ વિસ્તાર પ્રાપ્ત થાય, અને તે અવલોકન કરવામાં આવે જાણીતી મિલકત:


ચાલો તેને ઔપચારિક રીતે તપાસીએ:
, વગેરે સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી, આનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલ વિશ્વસનીય રીતેસેગમેન્ટના મૂલ્યોમાંથી એક લેશે..., અરે, હું ધીમે ધીમે કંટાળાજનક વૃદ્ધ માણસ બની રહ્યો છું =)

એકરૂપતાનો સાર એ છે કે ગમે તેટલું આંતરિક અંતર હોય નિશ્ચિત લંબાઈઅમે ધ્યાનમાં લીધું નથી ("બસ" મિનિટ યાદ રાખો)- રેન્ડમ ચલ આ અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના સમાન હશે. ડ્રોઇંગમાં મેં આવી ત્રણ સંભાવનાઓને શેડ કરી છે - ફરી એકવાર હું તેના પર ભાર મૂકું છું તેઓ વિસ્તારો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, કાર્ય મૂલ્યો નહીં!

ચાલો એક સામાન્ય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ:

ઉદાહરણ 1

સતત રેન્ડમ ચલ તેની વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

સતત શોધો, વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરો અને કંપોઝ કરો. આલેખ બનાવો. શોધો

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તમે જેનું સ્વપ્ન જોઈ શકો તે બધું :)

ઉકેલ: અંતરાલથી (મર્યાદિત અંતરાલ) , પછી રેન્ડમ ચલનું એકસમાન વિતરણ હોય છે, અને "ce" નું મૂલ્ય ડાયરેક્ટ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે . પરંતુ તે સામાન્ય રીતે વધુ સારું છે - મિલકતનો ઉપયોગ કરીને:

...તે શા માટે સારું છે? જેથી કોઈ બિનજરૂરી પ્રશ્નો ન રહે;)

તેથી ઘનતા કાર્ય છે:

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ. મૂલ્યો અશક્ય , અને તેથી બોલ્ડ બિંદુઓ નીચે મૂકવામાં આવે છે:


ઝડપી તપાસ તરીકે, ચાલો લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ:
, વગેરે

ચાલો શોધીએ અપેક્ષિત મૂલ્ય, અને તમે કદાચ પહેલાથી જ અનુમાન કરી શકો છો કે તે શું સમાન છે. "10-મિનિટ" બસ યાદ રાખો: જો અવ્યવસ્થિત રીતેઘણા, ઘણા દિવસો માટે સ્ટોપ નજીક, પછી સરેરાશતમારે તેના માટે 5 મિનિટ રાહ જોવી પડશે.

હા, તે સાચું છે - અપેક્ષા "ઇવેન્ટ" અંતરાલની બરાબર મધ્યમાં હોવી જોઈએ:
, અપેક્ષા મુજબ.

ચાલો ઉપયોગ કરીને ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ સૂત્ર . અને અભિન્ન ગણતરી કરતી વખતે અહીં તમારે આંખ અને આંખની જરૂર છે:

આમ, વિક્ષેપ:

ચાલો કંપોઝ કરીએ વિતરણ કાર્ય . અહીં કંઈ નવું નથી:

1) જો, પછી અને ;

2) જો, પછી અને:

3) અને છેલ્લે, ક્યારે , એ કારણે:

પરિણામ સ્વરૂપ:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:


"લાઇવ" અંતરાલ પર, વિતરણ કાર્ય વધતું રેખીય, અને આ બીજી નિશાની છે કે આપણી પાસે સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે. ઠીક છે, અલબત્ત, બધા પછી વ્યુત્પન્ન રેખીય કાર્ય- ત્યાં એક સ્થિર છે.

મળેલ વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને જરૂરી સંભાવનાની ગણતરી બે રીતે કરી શકાય છે:

અથવા ઘનતાના ચોક્કસ અભિન્ન અંગનો ઉપયોગ કરીને:

જેને ગમે તે.

અને અહીં તમે પણ લખી શકો છો જવાબ: ,
, આલેખ ઉકેલ સાથે બાંધવામાં આવે છે.

... "તે શક્ય છે" કારણ કે તેની ગેરહાજરી માટે સામાન્ય રીતે કોઈ સજા હોતી નથી. સામાન્ય રીતે;)

એકસમાન રેન્ડમ ચલની ગણતરી કરવા માટે વિશેષ સૂત્રો છે, જે હું તમને તમારી જાતે મેળવવાની સલાહ આપું છું:

ઉદાહરણ 2

સતત રેન્ડમ ચલ ઘનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે .

ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો. પરિણામોને શક્ય તેટલું સરળ બનાવો (સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોમદદ કરવા માટે).

પરિણામી સૂત્રો ચકાસણી માટે વાપરવા માટે અનુકૂળ છે; ખાસ કરીને, તમે તેમાં “a” અને “b” ના વિશિષ્ટ મૂલ્યોને બદલીને તમે જે સમસ્યા હલ કરી છે તે તપાસો. પૃષ્ઠના તળિયે સંક્ષિપ્ત ઉકેલ.

અને પાઠના અંતે, અમે કેટલીક "ટેક્સ્ટ" સમસ્યાઓ જોઈશું:

ઉદાહરણ 3

માપન ઉપકરણનું સ્કેલ ડિવિઝન મૂલ્ય 0.2 છે. ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ રીડિંગ્સ નજીકના સમગ્ર વિભાગમાં ગોળાકાર છે. ધારી રહ્યા છીએ કે રાઉન્ડિંગ ભૂલો એકસરખી રીતે વિતરિત કરવામાં આવી છે, સંભવિતતા શોધો કે આગામી માપન પર તે 0.04 થી વધુ નહીં હોય.

સારી સમજણ માટે ઉકેલોચાલો કલ્પના કરીએ કે આ એક તીર સાથેનું એક પ્રકારનું યાંત્રિક ઉપકરણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 0.2 કિગ્રાના વિભાજન મૂલ્ય સાથેનો સ્કેલ, અને આપણે પોકમાં ડુક્કરનું વજન કરવું પડશે. પરંતુ તેની જાડાઈ શોધવા માટે નહીં - હવે તે મહત્વનું રહેશે કે તીર બે અડીને આવેલા વિભાગો વચ્ચે ક્યાં અટકે છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ - અંતરમાંથી તીર નજીકનાડાબી વિભાગ. અથવા સૌથી નજીકથી જમણી તરફ, તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

ચાલો સંભાવના ઘનતા કાર્ય કંપોઝ કરીએ:

1) કારણ કે અંતર નકારાત્મક હોઈ શકતું નથી, પછી અંતરાલ પર. તાર્કિક.

2) શરત પરથી તે અનુસરે છે કે સાથે ભીંગડા તીર સમાન સંભાવનાવિભાગો વચ્ચે ગમે ત્યાં અટકી શકે છે * , પોતાને વિભાગો સહિત, અને તેથી અંતરાલ પર:

* આ એક આવશ્યક સ્થિતિ છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કપાસના ઊનના ટુકડાઓ અથવા મીઠાના કિલોગ્રામ પેકનું વજન કરવામાં આવે છે, ત્યારે વધુ સાંકડા અંતરાલોમાં એકરૂપતા જાળવવામાં આવશે.

3) અને નજીકના ડાબા વિભાગથી અંતર 0.2 કરતા વધારે ન હોઈ શકે, તો પછી પર પણ શૂન્યની બરાબર છે.

આમ:

એ નોંધવું જોઈએ કે કોઈએ અમને ઘનતા કાર્ય વિશે પૂછ્યું નથી, અને મેં તેનું સંપૂર્ણ બાંધકામ ફક્ત જ્ઞાનાત્મક સાંકળોમાં રજૂ કર્યું છે. કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે, ફક્ત 2 જી બિંદુ લખવા માટે તે પૂરતું છે.

ચાલો હવે સમસ્યાના પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ. નજીકના ડિવિઝનને રાઉન્ડિંગમાં ભૂલ ક્યારે 0.04 થી વધુ નહીં થાય? આ ત્યારે થશે જ્યારે તીર ડાબા વિભાગમાંથી 0.04 કરતાં વધુ નહીં અટકે જમણી બાજુએ અથવાજમણા વિભાગમાંથી 0.04 કરતાં વધુ નહીં બાકી. ડ્રોઇંગમાં મેં અનુરૂપ વિસ્તારોને શેડ કર્યા:

આ વિસ્તારોને શોધવાનું બાકી છે ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને. સૈદ્ધાંતિક રીતે, તેઓ "શાળાની ફેશનમાં" (લંબચોરસના ક્ષેત્રોની જેમ) ગણતરી કરી શકાય છે, પરંતુ સરળતા હંમેશા સમજી શકાતી નથી;)

દ્વારા અસંગત ઘટનાઓની સંભાવનાઓના ઉમેરાનું પ્રમેય:

- રાઉન્ડિંગ ભૂલ 0.04 (અમારા ઉદાહરણ માટે 40 ગ્રામ) કરતાં વધુ નહીં હોવાની સંભાવના

તે જોવાનું સરળ છે કે મહત્તમ શક્ય રાઉન્ડિંગ ભૂલ 0.1 (100 ગ્રામ) છે અને તેથી સંભાવના છે કે રાઉન્ડિંગ ભૂલ 0.1 થી વધુ નહીં હોયએક સમાન.

જવાબ આપો: 0,4

માહિતીના અન્ય સ્ત્રોતોમાં આ સમસ્યાના વૈકલ્પિક સ્પષ્ટતા/સૂત્રો છે, અને મેં તે વિકલ્પ પસંદ કર્યો જે મને સૌથી વધુ સમજી શકાય તેવું લાગ્યું. ખાસ ધ્યાનએ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જરૂરી છે કે પરિસ્થિતિમાં આપણે ભૂલો વિશે વાત કરી શકીએ છીએ રાઉન્ડિંગ નહીં, પરંતુ તેના વિશે રેન્ડમમાપન ભૂલો, જે સામાન્ય રીતે હોય છે (પરંતુ હંમેશા નહીં), દ્વારા વિતરિત સામાન્ય કાયદો. આમ, ફક્ત એક શબ્દ તમારા નિર્ણયને ધરમૂળથી બદલી શકે છે!સાવચેત રહો અને અર્થ સમજો.

અને જલદી બધું વર્તુળમાં જાય છે, અમારા પગ અમને સમાન બસ સ્ટોપ પર લાવે છે:

ઉદાહરણ 4

ચોક્કસ રૂટ પરની બસો સમયપત્રક અને દર 7 મિનિટે સખત રીતે ચાલે છે. રેન્ડમ વેરીએબલનું ઘનતા ફંક્શન કંપોઝ કરો - સ્ટોપ પર રેન્ડમ રીતે પહોંચેલા મુસાફર દ્વારા આગામી બસની રાહ જોવાનો સમય. સંભાવના શોધો કે તે બસ માટે ત્રણ મિનિટથી વધુ રાહ જોશે નહીં. વિતરણ કાર્ય શોધો અને તેનો અર્થપૂર્ણ અર્થ સમજાવો.

અગાઉ સૂચવ્યા મુજબ, સંભાવના વિતરણના ઉદાહરણો સતત રેન્ડમ ચલ X છે:

• સતત રેન્ડમ ચલનું સમાન સંભાવના વિતરણ;
• સતત રેન્ડમ ચલનું ઘાતાંકીય સંભાવના વિતરણ;
• સામાન્ય વિતરણ સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવનાઓ.

ચાલો એકસમાન અને ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદા, સંભાવના સૂત્રો અને વિચારણા હેઠળના કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ખ્યાલ આપીએ.

અનુક્રમણિકા	સમાન વિતરણ કાયદો	ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદો
વ્યાખ્યા	ગણવેશ કહેવાય સતત રેન્ડમ ચલ Xનું સંભવિત વિતરણ, જેની ઘનતા સેગમેન્ટ પર સ્થિર રહે છે અને તેનું સ્વરૂપ છે	ઘાતાંકીય (ઘાતાંકીય) કહેવાય છે સતત રેન્ડમ ચલ Xનું સંભવિત વિતરણ, જે ફોર્મ ધરાવતી ઘનતા દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે
		જ્યાં λ એ સતત હકારાત્મક મૂલ્ય છે
વિતરણ કાર્ય
સંભાવના અંતરાલમાં પડવું
અપેક્ષિત મૂલ્ય
વિક્ષેપ
પ્રમાણભૂત વિચલન

"સમાન અને ઘાતાંકીય વિતરણ કાયદા" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો

કાર્ય 1.

બસો સમયપત્રક પર સખત રીતે દોડે છે. ચળવળ અંતરાલ 7 મિનિટ. શોધો: a) સ્ટોપ પર આવનાર મુસાફર આગલી બસ માટે બે મિનિટ કરતાં ઓછા સમયની રાહ જોશે તેવી સંભાવના; b) સ્ટોપ પર આવનાર મુસાફર આગલી બસ માટે ઓછામાં ઓછી ત્રણ મિનિટ રાહ જોશે તેવી સંભાવના; c) ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલ X નું પ્રમાણભૂત વિચલન - પેસેન્જર રાહ જોવાનો સમય.

ઉકેલ. 1. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, સતત રેન્ડમ ચલ X = (મુસાફર રાહ જોવાનો સમય) સમાનરૂપે વિતરિત બે બસોના આગમન વચ્ચે. રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણ અંતરાલની લંબાઈ b-a=7 જેટલી છે, જ્યાં a=0, b=7.

2. જો રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (5;7) માં આવે તો રાહ જોવાનો સમય બે મિનિટ કરતાં ઓછો હશે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપેલ અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના શોધીએ છીએ: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. જો રેન્ડમ ચલ X અંતરાલ (0;4) માં આવે તો રાહ જોવાનો સમય ઓછામાં ઓછો ત્રણ મિનિટ (એટલે ​​​​કે, ત્રણથી સાત મિનિટ) હશે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપેલ અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના શોધીએ છીએ: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. એક સતત, સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા – પેસેન્જરનો રાહ જોવાનો સમય – સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળશે: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5.

5. એક સતત, સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલ Xનું પ્રમાણભૂત વિચલન - પેસેન્જરનો રાહ જોવાનો સમય - સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળશે: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

કાર્ય 2.

ઘનતા f(x) = 5e – 5x દ્વારા x ≥ 0 માટે ઘાતાંકીય વિતરણ આપવામાં આવે છે. આવશ્યક: a) વિતરણ કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિ લખો; b) સંભાવના શોધો કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલમાં આવે છે (1;4); c) પરીક્ષણ X ​​≥ 2 ના પરિણામે સંભાવના શોધો; d) M(X), D(X), σ(X) ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. 1. શરત આપવામાં આવી હોવાથી ઘાતાંકીય વિતરણ , પછી રેન્ડમ ચલ X ની સંભાવના વિતરણ ઘનતા માટેના સૂત્રમાંથી આપણે λ = 5 મેળવીએ છીએ. પછી વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ હશે:

2. સંભાવના કે પરીક્ષણના પરિણામે X અંતરાલ (1;4) માં આવે છે તે સૂત્ર દ્વારા શોધવામાં આવશે:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
પી(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. સંભવ છે કે પરીક્ષણ X ​​≥ 2 ના પરિણામ સ્વરૂપે સૂત્ર દ્વારા મળશે: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. ઘાતાંકીય વિતરણ માટે શોધો:

• M(X) = 1/λ = 1/5 = 0.2 સૂત્ર અનુસાર ગાણિતિક અપેક્ષા;
• ફોર્મ્યુલા D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0.04 અનુસાર તફાવત;
• સૂત્ર σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2 અનુસાર પ્રમાણભૂત વિચલન.

આ મુદ્દાનો લાંબા સમયથી વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે, અને સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ ધ્રુવીય સંકલન પદ્ધતિ છે, જે 1958માં જ્યોર્જ બોક્સ, મર્વિન મુલર અને જ્યોર્જ માર્સાગ્લિયા દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી. આ પદ્ધતિ તમને નીચે પ્રમાણે ગાણિતિક અપેક્ષા 0 અને ભિન્નતા 1 સાથે સ્વતંત્ર સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોની જોડી મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે:

જ્યાં Z 0 અને Z 1 એ ઇચ્છિત મૂલ્યો છે, s = u 2 + v 2, અને u અને v એ અંતરાલ (-1, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ રેન્ડમ ચલ છે, એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે શરત 0 સંતુષ્ટ થાય.< s < 1.
ઘણા લોકો વિચાર્યા વિના પણ આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે, અને ઘણાને તેમના અસ્તિત્વ પર શંકા પણ નથી થતી, કારણ કે તેઓ તૈયાર અમલીકરણોનો ઉપયોગ કરે છે. પરંતુ એવા લોકો છે જેમને પ્રશ્નો છે: “આ સૂત્ર ક્યાંથી આવ્યું? અને શા માટે તમે એક સાથે બે જથ્થા મેળવો છો?" આગળ, હું આ પ્રશ્નોના સ્પષ્ટ જવાબ આપવાનો પ્રયત્ન કરીશ.

શરૂ કરવા માટે, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે સંભાવના ઘનતા, રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય અને વ્યસ્ત કાર્ય શું છે. ધારો કે કોઈ ચોક્કસ રેન્ડમ ચલ છે, જેનું વિતરણ ઘનતા ફંક્શન f(x) દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યું છે, જેનું નીચેનું સ્વરૂપ છે:

આનો અર્થ એ છે કે આપેલ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય અંતરાલ (A, B) માં હશે તેવી સંભાવના છાંયેલા વિસ્તારના ક્ષેત્રફળ જેટલી છે. અને પરિણામે, સમગ્ર છાંયેલા વિસ્તારનો વિસ્તાર એક સમાન હોવો જોઈએ, કારણ કે કોઈ પણ સંજોગોમાં રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય ફંક્શન f ની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આવશે.
રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય ઘનતા કાર્યનું અભિન્ન અંગ છે. અને આ કિસ્સામાં, તેનો અંદાજિત દેખાવ આના જેવો હશે:

અહીંનો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ વેરીએબલનું મૂલ્ય સંભાવના B સાથે A કરતાં ઓછું હશે. અને પરિણામે, ફંક્શન ક્યારેય ઘટતું નથી, અને તેની કિંમતો અંતરાલમાં રહે છે.

ઇન્વર્સ ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જે મૂળ ફંક્શનમાં દલીલ પરત કરે છે જો મૂળ ફંક્શનની કિંમત તેમાં પસાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન x 2 માટે ઇન્વર્સ એ રુટ કાઢવાનું કાર્ય છે, sin(x) માટે તે arcsin(x), વગેરે છે.

મોટાભાગના સ્યુડોરેન્ડમ નંબર જનરેટર્સ આઉટપુટ તરીકે માત્ર એક સમાન વિતરણ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી ઘણી વખત તેને બીજામાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર પડે છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય ગૌસીયન માટે:

સમાન વિતરણને અન્ય કોઈપણમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેની તમામ પદ્ધતિઓનો આધાર વ્યસ્ત પરિવર્તન પદ્ધતિ છે. તે નીચે પ્રમાણે કામ કરે છે. એક ફંક્શન જોવા મળે છે જે જરૂરી વિતરણના કાર્યથી વિપરિત હોય છે, અને અંતરાલ (0, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત કરાયેલ રેન્ડમ ચલ તેમાં દલીલ તરીકે પસાર થાય છે. આઉટપુટ પર આપણે જરૂરી વિતરણ સાથે મૂલ્ય મેળવીએ છીએ. સ્પષ્ટતા માટે, હું નીચેનું ચિત્ર પ્રદાન કરું છું.

આમ, એક સમાન સેગમેન્ટ, જેમ કે તે હતા, નવા વિતરણ અનુસાર ગંધિત, વ્યસ્ત કાર્ય દ્વારા અન્ય ધરી પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. પરંતુ સમસ્યા એ છે કે ગૌસીયન વિતરણની ઘનતાના અભિન્નતાની ગણતરી કરવી સરળ નથી, તેથી ઉપરોક્ત વૈજ્ઞાનિકોએ છેતરપિંડી કરવી પડી.

એક ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન (પિયર્સન ડિસ્ટ્રિબ્યુશન) છે, જે k સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના ચોરસના સરવાળાનું વિતરણ છે. અને કિસ્સામાં જ્યારે k = 2, આ વિતરણ ઘાતાંકીય છે.

આનો અર્થ એ છે કે જો લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઈ બિંદુ રેન્ડમ X અને Y કોઓર્ડિનેટ્સ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરે છે, તો પછી આ કોઓર્ડિનેટ્સને ધ્રુવીય સિસ્ટમ (r, θ) માં રૂપાંતરિત કર્યા પછી, ત્રિજ્યાનો વર્ગ (મૂળથી બિંદુ સુધીનું અંતર) ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવશે, કારણ કે ત્રિજ્યાનો વર્ગ એ કોઓર્ડિનેટ્સના વર્ગોનો સરવાળો છે (પાયથાગોરિયન કાયદા અનુસાર). પ્લેન પર આવા બિંદુઓની વિતરણ ઘનતા આના જેવી દેખાશે:

તે બધી દિશામાં સમાન હોવાથી, કોણ θ 0 થી 2π સુધીની શ્રેણીમાં સમાન વિતરણ ધરાવશે. વાતચીત પણ સાચી છે: જો તમે બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો ઉપયોગ કરીને ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં કોઈ બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરો છો (એક સમાનરૂપે વિતરિત થયેલ ખૂણો અને ત્રિજ્યા ઘાતાંકીય રીતે વિતરિત થાય છે), તો આ બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ સ્વતંત્ર સામાન્ય રેન્ડમ ચલો હશે. અને સમાન વ્યસ્ત રૂપાંતરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને એક સમાનમાંથી ઘાતાંકીય વિતરણ મેળવવું ખૂબ સરળ છે. આ ધ્રુવીય બોક્સ-મુલર પદ્ધતિનો સાર છે.
હવે ચાલો સૂત્રો મેળવીએ.

(1)

r અને θ મેળવવા માટે, અંતરાલ (0, 1) પર સમાનરૂપે વિતરિત બે રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ જનરેટ કરવા જરૂરી છે (ચાલો તેમને u અને v કહીએ), જેમાંથી એકનું વિતરણ (ચાલો v કહીએ) ઘાતાંકીયમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે ત્રિજ્યા મેળવો. ઘાતાંકીય વિતરણ કાર્ય આના જેવું દેખાય છે:

તેનું વ્યસ્ત કાર્ય છે:

એકસમાન વિતરણ સપ્રમાણ હોવાથી, રૂપાંતરણ કાર્ય સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરશે

ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફોર્મ્યુલામાંથી તે λ = 0.5ને અનુસરે છે. આ ફંક્શનમાં λ, v ને બદલો અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ મેળવો અને પછી ત્રિજ્યા પોતે મેળવો:

અમે એકમ સેગમેન્ટને 2π સુધી લંબાવીને કોણ મેળવીએ છીએ:

હવે આપણે ફોર્મ્યુલા (1) માં r અને θ ને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

(2)

આ સૂત્રો પહેલેથી જ ઉપયોગ માટે તૈયાર છે. X અને Y સ્વતંત્ર હશે અને સામાન્ય રીતે 1 ના ભિન્નતા અને 0 ની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે વિતરિત કરવામાં આવશે. અન્ય લાક્ષણિકતાઓ સાથેનું વિતરણ મેળવવા માટે, પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા કાર્યના પરિણામને ગુણાકાર કરવા અને ગાણિતિક અપેક્ષા ઉમેરવા માટે તે પૂરતું છે.
પરંતુ વર્તુળમાં રેન્ડમ બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સીધા નહીં, પરંતુ પરોક્ષ રીતે કોણનો ઉલ્લેખ કરીને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોથી છુટકારો મેળવવો શક્ય છે. પછી, આ કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા, ત્રિજ્યા વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરવી શક્ય બનશે, અને પછી તેના દ્વારા અનુક્રમે x અને y ને વિભાજીત કરીને કોસાઈન અને સાઈન શોધો. તે કેવી રીતે અને શા માટે કામ કરે છે?
ચાલો એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં સમાનરૂપે વિતરિત કરાયેલામાંથી એક રેન્ડમ બિંદુ પસંદ કરીએ અને અક્ષર s દ્વારા આ બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરની લંબાઈના ચોરસને સૂચવીએ:

પસંદગી રેન્ડમ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ x અને y નો ઉલ્લેખ કરીને કરવામાં આવે છે, જે અંતરાલ (-1, 1) માં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે, અને વર્તુળ સાથે સંબંધિત ન હોય તેવા બિંદુઓને છોડી દે છે, તેમજ કેન્દ્રીય બિંદુ કે જેના પર ત્રિજ્યા વેક્ટરનો કોણ હોય છે. વ્યાખ્યાયિત નથી. એટલે કે, શરત 0 મળવી આવશ્યક છે< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

અમને લેખની શરૂઆતમાં ફોર્મ્યુલા મળે છે. આ પદ્ધતિનો ગેરલાભ એ છે કે તે વર્તુળમાં શામેલ ન હોય તેવા બિંદુઓને છોડી દે છે. એટલે કે, જનરેટ થયેલ રેન્ડમ ચલોના માત્ર 78.5% નો ઉપયોગ કરીને. જૂના કમ્પ્યુટર્સ પર, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો અભાવ હજુ પણ એક મોટો ફાયદો હતો. હવે, જ્યારે એક પ્રોસેસર આદેશ ત્વરિતમાં સાઈન અને કોસાઈન બંનેની ગણતરી કરે છે, ત્યારે મને લાગે છે કે આ પદ્ધતિઓ હજુ પણ સ્પર્ધા કરી શકે છે.

અંગત રીતે, મારી પાસે હજુ પણ બે પ્રશ્નો છે:

• શા માટે s ની કિંમત સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે?
• શા માટે બે સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના વર્ગોનો સરવાળો ઘાતક રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે?

s એ ત્રિજ્યાનો ચોરસ હોવાથી (સરળતા માટે, હું ત્રિજ્યાને ત્રિજ્યા વેક્ટરની લંબાઈ કહું છું જે રેન્ડમ પોઈન્ટની સ્થિતિને સ્પષ્ટ કરે છે), આપણે પ્રથમ શોધીએ છીએ કે ત્રિજ્યાનું વિતરણ કેવી રીતે થાય છે. વર્તુળ સમાન રીતે ભરેલું હોવાથી, તે સ્પષ્ટ છે કે ત્રિજ્યા r સાથેના બિંદુઓની સંખ્યા ત્રિજ્યા r ના વર્તુળની લંબાઈના પ્રમાણસર છે. અને વર્તુળનો પરિઘ ત્રિજ્યાના પ્રમાણસર છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિજ્યાની વિતરણ ઘનતા વર્તુળના કેન્દ્રથી તેની કિનારીઓ સુધી સમાનરૂપે વધે છે. અને ઘનતા કાર્યમાં અંતરાલ (0, 1) પર f(x) = 2x સ્વરૂપ છે. ગુણાંક 2 જેથી આલેખ હેઠળની આકૃતિનો વિસ્તાર એક સમાન હોય. જ્યારે આ ઘનતાનું વર્ગીકરણ થાય છે, ત્યારે તે એકરૂપ બને છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે આ કિસ્સામાં, ઘનતા કાર્યને તેના રૂપાંતરણ કાર્ય (એટલે ​​​​કે, x 2) ના વ્યુત્પન્ન દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે. અને સ્પષ્ટપણે તે આના જેવું થાય છે:

જો સામાન્ય રેન્ડમ ચલ માટે સમાન રૂપાંતરણ કરવામાં આવે, તો તેના ચોરસનું ઘનતા કાર્ય અતિપરવલય જેવું જ બનશે. અને સામાન્ય રેન્ડમ ચલોના બે ચોરસનો ઉમેરો એ ડબલ એકીકરણ સાથે સંકળાયેલ વધુ જટિલ પ્રક્રિયા છે. અને હકીકત એ છે કે પરિણામ ઘાતાંકીય વિતરણ હશે, મારે વ્યક્તિગત રીતે માત્ર વ્યવહારુ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરવી પડશે અથવા સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવું પડશે. અને રસ ધરાવતા લોકો માટે, હું સૂચન કરું છું કે તમે આ પુસ્તકોમાંથી જ્ઞાન મેળવીને વિષય પર નજીકથી નજર નાખો:

• વેન્ટ્ઝેલ ઇ.એસ. સંભાવના સિદ્ધાંત
• નુટ ડી.ઇ. ધ આર્ટ ઓફ પ્રોગ્રામિંગ, વોલ્યુમ 2

નિષ્કર્ષમાં, અહીં JavaScript માં સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ નંબર જનરેટરને અમલમાં મૂકવાનું ઉદાહરણ છે:

ફંક્શન ગૌસ() ( var રેડી = false; var સેકન્ડ = 0.0; આ. નેક્સ્ટ = ફંક્શન(મીન, dev) ( સરેરાશ = સરેરાશ == અવ્યાખ્યાયિત ? 0.0: સરેરાશ; dev = dev == અવ્યાખ્યાયિત ? 1.0: dev; જો ( this.ready) ( this.ready = false; આ. સેકન્ડ * dev + mean; પરત કરો; ) બીજું ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * ગણિત. રેન્ડમ() - 1.0; s = u * u + v * v; ) જ્યારે (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; પરત કરો r * v * dev + mean; )); ) g = new Gauss(); // ઑબ્જેક્ટ બનાવો a = g.next(); // મૂલ્યોની જોડી બનાવો અને પ્રથમ મેળવો b = g.next(); // બીજું c = g.next(); મેળવો // ફરીથી મૂલ્યોની જોડી બનાવો અને પ્રથમ મેળવો
પરિમાણોનો અર્થ (ગાણિતિક અપેક્ષા) અને dev (માનક વિચલન) વૈકલ્પિક છે. હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરું છું કે લઘુગણક કુદરતી છે.