ઉકેલ.
કોઈ પ્રતીકો દોરવામાં આવ્યા ન હોવાની સંભાવના: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ત્રણ કોટ્સ ઓફ આર્મ્સ મેળવવાની સંભાવના: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો:
| એક્સ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| પી | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
ઉદાહરણ નંબર 2. પ્રથમ શૂટર માટે એક શૂટર એક શૉટ વડે લક્ષ્યને ફટકારે તેવી સંભાવના 0.8 છે, બીજા શૂટર માટે - 0.85. શૂટરોએ નિશાન પર એક ગોળી ચલાવી હતી. વ્યક્તિગત શૂટર્સ માટે સ્વતંત્ર ઇવેન્ટ તરીકે લક્ષ્યને હિટ કરવાનું ધ્યાનમાં લેતા, ઇવેન્ટ Aની સંભાવના શોધો - લક્ષ્ય પર બરાબર એક હિટ.
ઉકેલ.
ઇવેન્ટ A ને ધ્યાનમાં લો - લક્ષ્ય પર એક હિટ. સંભવિત વિકલ્પોઆ ઘટનાની ઘટના નીચે મુજબ છે.
- પહેલો શૂટર હિટ થયો, બીજો શૂટર ચૂકી ગયો: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- પહેલો શૂટર ચૂકી ગયો, બીજા શૂટરે લક્ષ્યને ફટકાર્યું: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- પ્રથમ અને બીજા તીરો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યને ફટકારે છે: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
જેમ જાણીતું છે, રેન્ડમ ચલ એક ચલ જથ્થો છે જે કેસના આધારે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે. રેન્ડમ ચલો સૂચવે છે મોટા અક્ષરોમાં લેટિન મૂળાક્ષરો(X, Y, Z), અને તેમના મૂલ્યો સંબંધિત લોઅરકેસ અક્ષરો (x, y, z) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત ચલો વિભાજિત કરવામાં આવે છે અવ્યવસ્થિત (અલગ) અને સતત.
અલગ રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે રેન્ડમ ચલ, ચોક્કસ બિન-શૂન્ય સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યોનો માત્ર મર્યાદિત અથવા અનંત (ગણતરીયોગ્ય) સમૂહ લેતા.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક કાર્ય છે જે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ સાથે જોડે છે. વિતરણ કાયદો નીચેનામાંથી એક રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.
1 . વિતરણ કાયદો કોષ્ટક દ્વારા આપી શકાય છે:
જ્યાં λ>0, k = 0, 1, 2, … .
વી)ઉપયોગ કરીને વિતરણ કાર્ય F(x) , જે દરેક મૂલ્ય x માટે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ X એ x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, એટલે કે. F(x) = P(X< x).
ફંક્શન F(x) ના ગુણધર્મો
3 . વિતરણ કાયદો ગ્રાફિકલી સ્પષ્ટ કરી શકાય છે – વિતરણ બહુકોણ (બહુકોણ) (સમસ્યા 3 જુઓ).
નોંધ કરો કે કેટલીક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિતરણ કાયદો જાણવો જરૂરી નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે એક અથવા વધુ સંખ્યાઓને જાણવા માટે પૂરતું છે જે સૌથી વધુ પ્રતિબિંબિત કરે છે મહત્વપૂર્ણ લક્ષણોવિતરણ કાયદો. આ એવી સંખ્યા હોઈ શકે છે જેનો અર્થ રેન્ડમ ચલના "સરેરાશ" નો અર્થ હોય અથવા કોઈ સંખ્યા સૂચવતી હોય મધ્યમ કદરેન્ડમ ચલનું તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વિચલન.
આ પ્રકારની સંખ્યાઓને રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ કહેવામાં આવે છે. :
- એક અલગ રેન્ડમ ચલની મૂળભૂત સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
ગાણિતિક અપેક્ષા એક અલગ રેન્ડમ ચલનું (સરેરાશ મૂલ્ય)..
M(X)=Σ x i p i - દ્વિપદી વિતરણ M(X)=np માટે, પોઈસન વિતરણ M(X)=λ માટે
વિખેરી નાખવું અલગ રેન્ડમ ચલ D(X)=M2 અથવા D(X) = M(X 2)− 2
. તફાવત X–M(X) ને તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન કહેવામાં આવે છે. - દ્વિપદી વિતરણ D(X)=npq માટે, પોઈસન વિતરણ D(X)=λ માટે (પ્રમાણભૂત વિચલન) પ્રમાણભૂત વિચલન.
σ(X)=√D(X)
"વિવિધ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો" વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો
કાર્ય 1.
ઉકેલ. 1000 લોટરી ટિકિટ જારી કરવામાં આવી હતી: તેમાંથી 5 500 રુબેલ્સ જીતશે, 10 100 રુબેલ્સ જીતશે, 20 50 રુબેલ્સ જીતશે, 50 10 રુબેલ્સ જીતશે. રેન્ડમ ચલ X - ટિકિટ દીઠ જીતના સંભવિત વિતરણનો કાયદો નક્કી કરો.
સમસ્યાની શરતો અનુસાર, રેન્ડમ ચલ X ના નીચેના મૂલ્યો શક્ય છે: 0, 10, 50, 100 અને 500.
જીત્યા વિના ટિકિટોની સંખ્યા 1000 છે – (5+10+20+50) = 915, પછી P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
એ જ રીતે, આપણે અન્ય તમામ સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. ચાલો પરિણામી કાયદો કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:
ચાલો X મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
કાર્ય 3.
ઉકેલ. 1. ઉપકરણમાં ત્રણ સ્વતંત્ર રીતે ઓપરેટિંગ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. એક પ્રયોગમાં દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.1 છે. એક પ્રયોગમાં નિષ્ફળ તત્વોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો, વિતરણ બહુકોણ બનાવો. વિતરણ કાર્ય F(x) શોધો અને તેને પ્લોટ કરો. એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.: x 1 =0 (ઉપકરણ ઘટકોમાંથી કોઈ નિષ્ફળ થયું), x 2 =1 (એક ઘટક નિષ્ફળ), x 3 =2 (બે ઘટકો નિષ્ફળ) અને x 4 =3 (ત્રણ ઘટકો નિષ્ફળ).
તત્વોની નિષ્ફળતાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ સમાન છે, તેથી તે લાગુ પડે છે. બર્નૌલીનું સૂત્ર
. તે ધ્યાનમાં લેતા, સ્થિતિ અનુસાર, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, અમે મૂલ્યોની સંભાવનાઓ નક્કી કરીએ છીએ:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
તપાસો: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
આમ, X ના ઇચ્છિત દ્વિપદી વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ છે:
અમે એબ્સીસા અક્ષ સાથે x i ના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ p i ને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરીએ છીએ. ચાલો બિંદુઓ M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) બનાવીએ. આ બિંદુઓને સીધી રેખા વિભાગો સાથે જોડીને, અમે ઇચ્છિત વિતરણ બહુકોણ મેળવીએ છીએ.
3. ચાલો વિતરણ કાર્ય F(x) = Р(Х
x ≤ 0 માટે આપણી પાસે F(x) = Р(Х<0) = 0;0 માટે< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 માટે< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 માટે< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 માટે F(x) = 1 હશે, કારણ કે ઘટના વિશ્વસનીય છે.
 |
કાર્ય F(x) નો ગ્રાફ
4.
દ્વિપદી વિતરણ X માટે:
- ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- તફાવત D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- પ્રમાણભૂત વિચલન σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
અલગ રેન્ડમચલો એ રેન્ડમ ચલો છે જે ફક્ત એવા મૂલ્યો લે છે જે એકબીજાથી દૂર હોય અને જે અગાઉથી સૂચિબદ્ધ થઈ શકે.
વિતરણનો કાયદો
રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એ એવો સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી એ તેના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓની સૂચિ છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય ફંક્શન છે:
,
દલીલ x ની દરેક કિંમત માટે રેન્ડમ ચલ X આ x કરતા ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના નક્કી કરી રહ્યા છીએ.
એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા
,
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય ક્યાં છે; - X મૂલ્યો સ્વીકારતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના.
જો રેન્ડમ ચલ શક્ય મૂલ્યોનો ગણી શકાય એવો સમૂહ લે છે, તો પછી: 
.
n સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા:
,
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ: 
અથવા 
.
n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનો તફાવત 
,
જ્યાં p એ ઘટના બનવાની સંભાવના છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું માનક વિચલન: 
.
ઉદાહરણ 1
ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલ (DRV) X માટે સંભાવના વિતરણનો કાયદો દોરો - ડાઇસની જોડીના n = 8 થ્રોમાં ઓછામાં ઓછા એક "છ" ની k ઘટનાઓની સંખ્યા. વિતરણ બહુકોણ બનાવો. વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો (વિતરણ મોડ, ગાણિતિક અપેક્ષા M(X), વિક્ષેપ D(X), પ્રમાણભૂત વિચલન s(X)). ઉકેલ:ચાલો નોટેશનનો પરિચય આપીએ: ઘટના A - "જ્યારે ડાઇસની જોડી ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે સિક્સ ઓછામાં ઓછા એક વખત દેખાય છે." ઘટના A ની સંભાવના P(A) = p શોધવા માટે, પહેલા વિરોધી ઘટના Ā ની P(Ā) = q સંભાવના શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે - "જ્યારે ડાઇસની જોડી ફેંકી રહ્યા છીએ, ત્યારે છ ક્યારેય દેખાતા નથી."
એક ડાઇ ફેંકતી વખતે "છ" ન દેખાય તેવી સંભાવના 5/6 છે, તો પછી સંભાવના ગુણાકાર પ્રમેય અનુસાર
P(Ā) = q = = .
અનુક્રમે,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
સમસ્યાના પરીક્ષણો બર્નૌલી યોજનાને અનુસરે છે, તેથી d.s.v. તીવ્રતા એક્સ- નંબર kબે ડાઇસ ફેંકતી વખતે ઓછામાં ઓછા એક છની ઘટના સંભાવના વિતરણના દ્વિપદી નિયમનું પાલન કરે છે: 
જ્યાં = ના સંયોજનોની સંખ્યા છે nદ્વારા k.
આ સમસ્યા માટે હાથ ધરવામાં આવેલી ગણતરીઓ ટેબલના રૂપમાં સરળતાથી રજૂ કરી શકાય છે:
સંભાવના વિતરણ d.s.v. એક્સ º k (n = 8; પી = ; q = )
| k | ||||||||||
પી.એન(k) |
એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણનો બહુકોણ (બહુકોણ). એક્સઆકૃતિમાં બતાવેલ છે:
ચોખા. સંભાવના વિતરણ બહુકોણ d.s.v. એક્સ=k.
ઊભી રેખા વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા દર્શાવે છે એમ(એક્સ).
ચાલો d.s.v ની સંભાવના વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ. એક્સ. વિતરણ મોડ 2 છે (અહીં પી 8(2) = 0.2932 મહત્તમ). વ્યાખ્યા દ્વારા ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે:
એમ(એક્સ) = = 2,4444,
જ્યાં xk = k- d.s.v દ્વારા લેવામાં આવેલ મૂલ્ય એક્સ. ભિન્નતા ડી(એક્સ) આપણે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને વિતરણ શોધીએ છીએ:
ડી(એક્સ) = 
= 4,8097.
માનક વિચલન (RMS):
s( એક્સ) = = 2,1931.
ઉદાહરણ2
અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે
ઉકેલ.જો , તો (ત્રીજી મિલકત).
જો, તો. ખરેખર, એક્સ 0.3 સંભાવના સાથે મૂલ્ય 1 લઈ શકે છે.
જો, તો. ખરેખર, જો તે અસમાનતાને સંતોષે છે
, તો પછી આવી શકે તેવી ઘટનાની સંભાવનાની બરાબર થાય છે એક્સમૂલ્ય 1 લેશે (આ ઘટનાની સંભાવના 0.3 છે) અથવા મૂલ્ય 4 (આ ઘટનાની સંભાવના 0.1 છે). આ બે ઘટનાઓ અસંગત હોવાથી, વધારાના પ્રમેય મુજબ, ઘટનાની સંભાવના 0.3 + 0.1 = 0.4 સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે. જો, તો. ખરેખર, ઘટના ચોક્કસ છે, તેથી તેની સંભાવના એક સમાન છે. તેથી, વિતરણ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વિશ્લેષણાત્મક રીતે લખી શકાય છે: 
આ કાર્યનો આલેખ:
ચાલો આ મૂલ્યોને અનુરૂપ સંભાવનાઓ શોધીએ. શરત મુજબ, ઉપકરણોની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ સમાન છે: પછી વોરંટી સમયગાળા દરમિયાન ઉપકરણો કામ કરશે તેવી સંભાવનાઓ સમાન છે: 
વિતરણ કાયદો ફોર્મ ધરાવે છે:
શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય
કૃષિ એકેડમી"
ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ
માર્ગદર્શિકા
ફેકલ્ટી ઓફ એકાઉન્ટિંગ ફોર કોરસપોન્ડન્સ એજ્યુકેશન (NISPO) ના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા "રેન્ડમ વેરીએબલ્સ" વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે
ગોર્કી, 2013
રેન્ડમ ચલો
અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલો
સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય ખ્યાલોમાંની એક ખ્યાલ છે રેન્ડમ ચલ . રેન્ડમ ચલ એક એવો જથ્થો છે જે, પરીક્ષણના પરિણામે, તેના ઘણા સંભવિત મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી કે કયું મૂલ્ય.
રેન્ડમ ચલો છે સ્વતંત્ર અને સતત . ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (DRV) એક રેન્ડમ ચલ છે જે એકબીજાથી અલગ પડેલા મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો લઈ શકે છે, એટલે કે. જો આ જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યોની પુનઃગણતરી કરી શકાય. સતત રેન્ડમ ચલ (CNV) રેન્ડમ ચલ છે, જેનાં તમામ સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યા રેખાના ચોક્કસ અંતરાલને સંપૂર્ણપણે ભરે છે.
રેન્ડમ ચલોને લેટિન મૂળાક્ષરો X, Y, Z, વગેરેના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલોના સંભવિત મૂલ્યો અનુરૂપ નાના અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
રેકોર્ડ 
એટલે કે "એક રેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સ 0.28 ની બરાબર 5 નું મૂલ્ય લેશે.
ઉદાહરણ 1 . એક્સડાઇસ એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, 1 થી 6 સુધીની સંખ્યાઓ દેખાઈ શકે છે, જે પોઈન્ટની સંખ્યા દર્શાવે છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(રોલ્ડ પોઈન્ટ્સની સંખ્યા). પરીક્ષણના પરિણામે આ રેન્ડમ ચલ છ મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, 5 અથવા 6. તેથી, રેન્ડમ ચલ
DSV છે. ઉદાહરણ 2 એક્સ. જ્યારે પથ્થર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ચોક્કસ અંતરે જાય છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(સ્ટોન ફ્લાઇટ અંતર). આ રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ અંતરાલમાંથી કોઈપણ, પરંતુ માત્ર એક, મૂલ્ય લઈ શકે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ એ જે મૂલ્યો લઈ શકે છે અને આ મૂલ્યો જેની સાથે લેવામાં આવે છે તેની સંભાવનાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કહેવામાં આવે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો .
જો તમામ સંભવિત મૂલ્યો જાણીતા છે 
રેન્ડમ ચલ એક્સઅને સંભાવનાઓ 
આ મૂલ્યોનો દેખાવ, પછી એવું માનવામાં આવે છે કે DSV ના વિતરણ કાયદો એક્સજાણીતું છે અને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
DSV વિતરણ કાયદો ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે જો બિંદુઓ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દર્શાવવામાં આવે છે 
,
,
…,
અને તેમને સીધી રેખાના ભાગો સાથે જોડો. પરિણામી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 3 . સફાઈ માટે બનાવાયેલ અનાજમાં 10% નીંદણ હોય છે. 4 અનાજ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પસંદ કરેલ ચારમાંથી નીંદણની સંખ્યા). DSV વિતરણ કાયદો બનાવો એક્સઅને વિતરણ બહુકોણ.
ઉકેલ . ઉદાહરણ શરતો અનુસાર. પછી:
ચાલો DSV X ના વિતરણ કાયદાને કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ અને વિતરણ બહુકોણ બનાવીએ:
|
|
એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા
એક અલગ રેન્ડમ ચલના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો તેની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ લક્ષણો પૈકી એક છે ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલ.
DSV વિતરણ કાયદો જાણીએ એક્સ:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ગાણિતિક અપેક્ષા
ડીએસવી એક્સઆ જથ્થાના દરેક મૂલ્યના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને અનુરૂપ સંભાવના છે: 
.
રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના તમામ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી હોય છે. તેથી, વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, આ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય ઘણીવાર ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે લેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 8 . શૂટર 0.1, 0.45, 0.3 અને 0.15 ની સંભાવનાઓ સાથે 4, 8, 9 અને 10 પોઇન્ટ મેળવે છે. એક શોટ સાથે પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.
ઉકેલ . ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પૉઇન્ટની સંખ્યા) પછી . આમ, એક શોટ સાથે મેળવેલા પોઈન્ટ્સની અપેક્ષિત સરેરાશ સંખ્યા 8.2 છે, અને 10 શોટ સાથે - 82.
મુખ્ય ગુણધર્મો ગાણિતિક અપેક્ષાઓ છે:
.
.
, ક્યાં 
,
.
.
, ક્યાં એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે.
તફાવત 
કહેવાય છે વિચલન
રેન્ડમ ચલ એક્સતેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી. આ તફાવત રેન્ડમ ચલ છે અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય છે, એટલે કે. 
.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા
રેન્ડમ ચલને દર્શાવવા માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા ઉપરાંત, અમે પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ વિખેરવું , જે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના ફેલાવા (સ્પ્રેડ)નો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે. સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે બે સજાતીય રેન્ડમ ચલોની સરખામણી કરતી વખતે, "શ્રેષ્ઠ" મૂલ્ય તે જ ગણવામાં આવે છે જેનો ફેલાવો ઓછો હોય, એટલે કે. ઓછું વિક્ષેપ.
ભિન્નતા રેન્ડમ ચલ એક્સતેને તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે: .
પ્રાયોગિક સમસ્યાઓમાં, ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે સમકક્ષ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
વિક્ષેપના મુખ્ય ગુણધર્મો છે:
.
અમે અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણના સૌથી સામાન્ય નિયમોને પ્રકાશિત કરી શકીએ છીએ:
- દ્વિપદી વિતરણ કાયદો
- પોઈસન વિતરણ કાયદો
- ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો
- હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો
અલગ રેન્ડમ ચલોના આપેલ વિતરણો માટે, તેમના મૂલ્યોની સંભાવનાઓની ગણતરી, તેમજ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, વગેરે) ચોક્કસ "સૂત્રો" નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, આ પ્રકારના વિતરણો અને તેમના મૂળભૂત ગુણધર્મોને જાણવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
1. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો.
એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ એ દ્વિપદી સંભાવના વિતરણ કાયદાને આધીન છે જો તે $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ $P\left(X=k\right)= સાથે મૂલ્યો લે છે. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\જમણે))^(n-k)$. હકીકતમાં, રેન્ડમ ચલ $X$ એ $n$ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં $A$ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંભાવના વિતરણનો કાયદો:
$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને \\ બિંદુઓ અને n \\
\hલાઇન
p_i & P_n\left(0\જમણે) & P_n\left(1\જમણે) & \dots & P_n\left(n\જમણે) \\
\hલાઇન
\end(એરે)$
આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા $M\left(X\right)=np$ છે, ભિન્નતા $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ છે.
ઉદાહરણ . પરિવારમાં બે બાળકો છે. $0.5$ સમાન છોકરો અને છોકરી હોવાની સંભાવનાઓ ધારી રહ્યા છીએ, રેન્ડમ ચલ $\xi$ - કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો શોધો.
રેન્ડમ ચલ $\xi $ ને કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યા થવા દો. મૂલ્યો કે જે $\xi લઈ શકે છે:\ 0, \ 1,\ 2$. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે )$, જ્યાં $n =2$ એ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સની સંખ્યા છે, $p=0.5$ એ $n$ ટ્રાયલ્સની શ્રેણીમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના છે. અમને મળે છે:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\જમણે))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
પછી રેન્ડમ ચલ $\xi $નો વિતરણ કાયદો એ $0,\1,\2$ અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર છે, એટલે કે:
$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\xi અને 0 અને 1 અને 2 \\
\hલાઇન
P(\xi) અને 0.25 અને 0.5 અને 0.25 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$
વિતરણ કાયદામાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ જેટલો હોવો જોઈએ, એટલે કે, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
અપેક્ષા $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, તફાવત $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, પ્રમાણભૂત વિચલન $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\અંદાજે $0.707.
2. પોઈસન વિતરણ કાયદો.
જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ ને $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
ટિપ્પણી. આ વિતરણની ખાસિયત એ છે કે, પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે, અમે અંદાજો $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ શોધીએ છીએ, જો પ્રાપ્ત અંદાજો એકબીજાની નજીક હોય, તો અમારી પાસે છે રેન્ડમ ચલ પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે તેવું ભારપૂર્વક જણાવવાનું કારણ.
ઉદાહરણ . પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: આવતીકાલે ગેસ સ્ટેશન દ્વારા પીરસવામાં આવશે તે કારની સંખ્યા; ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા.
ઉદાહરણ . ફેક્ટરીએ આધાર પર $500$ ઉત્પાદનો મોકલ્યા. પરિવહનમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થવાની સંભાવના $0.002$ છે. ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના સમાન રેન્ડમ ચલ $X$ના વિતરણનો કાયદો શોધો; $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ શું છે.
અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ને ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા થવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ની બરાબર છે}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\જમણે)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\જમણે)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\જમણે)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\જમણે)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\જમણે)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\જમણે)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો $X$:
$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 અને 5 અને 6 અને ... & k \\
\hલાઇન
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 &... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hલાઇન
\end(એરે)$
આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા એકબીજાની સમાન હોય છે અને $\lambda $, એટલે કે, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ સમાન હોય છે. લેમ્બડા =1$.
3. ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો.
જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $1,\2,\\dots ,\n$ સંભાવનાઓ સાથે લઈ શકે છે $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) જમણે)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, પછી તેઓ કહે છે કે આવા રેન્ડમ ચલ $X$ એ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક નિયમને આધીન છે. હકીકતમાં, ભૌમિતિક વિતરણ એ પ્રથમ સફળતા સુધી બર્નૌલી પરીક્ષણ છે.
ઉદાહરણ . ભૌમિતિક વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: લક્ષ્ય પર પ્રથમ હિટ પહેલાં શોટની સંખ્યા; પ્રથમ નિષ્ફળતા સુધી ઉપકરણ પરીક્ષણોની સંખ્યા; પ્રથમ માથું ન આવે ત્યાં સુધી સિક્કા ફેંકવાની સંખ્યા, વગેરે.
ભૌમિતિક વિતરણને અનુક્રમે રેન્ડમ ચલ વિષયની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) સમાન છે )/p^ $2.
ઉદાહરણ . સ્પાવિંગ સાઇટ પર માછલીની હિલચાલના માર્ગ પર $4$ લોક છે. દરેક લોકમાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના $p=3/5$ છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણની શ્રેણી બનાવો - તાળા પર પ્રથમ ધરપકડ પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા. $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$ શોધો.
રેન્ડમ ચલ $X$ એ તાળા પર પ્રથમ ધરપકડ પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા હોવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યો કે જે રેન્ડમ ચલ $X લઈ શકે છે:$ 1, 2, 3, 4. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, જ્યાં: $ p=2/5$ - તાળામાંથી માછલી પકડવાની સંભાવના, $q=1-p=3/5$ - તાળામાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના, $k=1,\ 2,\3,\4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^0=(2)\ ઉપર (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=(6)\over (25))=0.24 $;
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^2=(2)\ ઉપર (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^3+(\left(( (3)\over (5))\જમણે))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 \\
\hલાઇન
પી\ડાબે(X_i\જમણે) અને 0.4 અને 0.24 અને 0.144 અને 0.216 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$
ગાણિતિક અપેક્ષા:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
વિક્ષેપ:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\જમણે))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\જમણે))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\જમણે))^2+$
$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\જમણે))^2\અંદાજે 1.377.$
માનક વિચલન:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\અંદાજે 1,173.$
4. હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો.
જો $N$ ઑબ્જેક્ટ, જેમાંથી $m$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ પ્રોપર્ટી ધરાવે છે. $n$ ઑબ્જેક્ટ્સ પરત કર્યા વિના અવ્યવસ્થિત રીતે પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી $k$ ઑબ્જેક્ટ્સ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ એ સંભવિતતાનો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે કે નમૂનામાં બરાબર $k$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. રેન્ડમ ચલ $X$ એ નમૂનામાં આપેલ ગુણધર્મ ધરાવતા ઑબ્જેક્ટ્સની સંખ્યા તરીકે રહેવા દો. પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
ટિપ્પણી. એક્સેલ $f_x$ ફંક્શન વિઝાર્ડનું આંકડાકીય કાર્ય HYPERGEOMET તમને ચોક્કસ સંખ્યામાં પરીક્ષણો સફળ થવાની સંભાવના નક્કી કરવા દે છે.
$f_x\to$ આંકડાકીય$\to$ હાયપરજિયોમેટ$\to$ ઠીક છે. એક સંવાદ બોક્સ દેખાશે જે તમારે ભરવાની જરૂર છે. કૉલમમાં નમુનામાં_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $k$ દર્શાવો. નમૂના_કદ$n$ બરાબર છે. કૉલમમાં એકસાથે_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $m$ દર્શાવો. વસ્તી_માપ$N$ બરાબર છે.
ભૌમિતિક વિતરણ કાયદાને આધીન અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= સમાન છે. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\જમણે))\over (N-1))$.
ઉદાહરણ . બેંકનો ક્રેડિટ વિભાગ ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ સાથે 5 નિષ્ણાતો અને ઉચ્ચ કાનૂની શિક્ષણ સાથે 3 નિષ્ણાતોને રોજગારી આપે છે. બેંકના મેનેજમેન્ટે તેમની લાયકાત સુધારવા માટે 3 નિષ્ણાતોને મોકલવાનું નક્કી કર્યું, તેમને રેન્ડમ ક્રમમાં પસંદ કર્યા.
a) ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી બનાવો જેમને તેમની કુશળતા સુધારવા માટે મોકલી શકાય છે;
b) આ વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.
રેન્ડમ વેરીએબલ $X$ એ ત્રણ પસંદ કરેલા લોકોમાં ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા છે. મૂલ્યો કે જે $X લઈ શકે છે: 0,\1,\2,\3$. આ રેન્ડમ ચલ $X$ ને નીચેના પરિમાણો સાથે હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે: $N=8$ - વસ્તીનું કદ, $m=5$ - વસ્તીમાં સફળતાઓની સંખ્યા, $n=3$ - નમૂનાનું કદ, $ k=0,\1, \2,\3$ - નમૂનામાં સફળતાઓની સંખ્યા. પછી સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)$ ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_(N)^(n) ) $ ઉપર. અમારી પાસે છે:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\અંદાજે 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\અંદાજે 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\અંદાજે 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\અંદાજે 0.179.$
પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ની વિતરણ શ્રેણી:
$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$
ચાલો સામાન્ય હાયપર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરીએ ભૌમિતિક વિતરણ.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\જમણે)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\જમણે)\cdot \left(1-(3)\over (8) ))\જમણે))\over (8-1))=((225)\over (448))\અંદાજે 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\અંદાજે 0.7085.$
