અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણના નિયમો. ભૌમિતિક વિતરણ

લેક્ચર 8

અલગ રેન્ડમ ચલોનું સંભવિત વિતરણ.દ્વિપદી વિતરણ. ઝેરનું વિતરણ. ભૌમિતિક વિતરણ. જનરેટીંગ ફંક્શન.

6. સંભાવના વિતરણ
ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ

દ્વિપદી વિતરણ

તેને ઉત્પન્ન થવા દો nસ્વતંત્ર ટ્રાયલ, જેમાંની દરેક ઘટના એતે દેખાઈ શકે છે કે નહીં પણ. સંભાવના પીઘટનાની ઘટના એતમામ પરીક્ષણોમાં સ્થિર છે અને પરીક્ષણથી પરીક્ષણમાં બદલાતું નથી. ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાને રેન્ડમ ચલ X તરીકે ધ્યાનમાં લો એઆ પરીક્ષણોમાં. ઘટના બનવાની સંભાવના શોધવા માટેનું સૂત્ર એ
સરળ kદર એક વાર nપરીક્ષણો, જેમ કે જાણીતા છે, વર્ણવેલ છે બર્નૌલીનું સૂત્ર

બર્નૌલીના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંભવિતતા વિતરણ કહેવામાં આવે છે દ્વિપદી .

આ નિયમને "દ્વિપદી" કહેવામાં આવે છે કારણ કે ન્યુટનના દ્વિપદીના વિસ્તરણમાં જમણી બાજુને સામાન્ય શબ્દ તરીકે ગણી શકાય.

ચાલો દ્વિપદીનો નિયમ કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ

ચાલો આ વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ.

.

ચાલો સમાનતા લખીએ, જે ન્યૂટન દ્વિસંગી છે

.

અને તેને p ના સંદર્ભમાં અલગ કરો. પરિણામે આપણને મળે છે

.

ડાબી અને જમણી બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો પી:

.

તે ધ્યાનમાં લેતા p+q=1, અમારી પાસે છે

(6.2)

તેથી, n સ્વતંત્ર અજમાયશમાં ઘટનાઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા એ દરેક અજમાયશમાં ઘટના બનવાની સંભાવના p દ્વારા અજમાયશની સંખ્યાના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિભિન્નતાની ગણતરી કરીએ

આ માટે આપણે શોધીશું

.

ચાલો આપણે સૌપ્રથમ ન્યુટનના દ્વિપદી સૂત્રના સંદર્ભમાં બે વાર તફાવત કરીએ પી:

અને સમાનતાની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરો પી 2:

આથી,

તેથી, દ્વિપદી વિતરણનો તફાવત છે

. (6.3)

આ પરિણામો કેવળ ગુણાત્મક તર્કથી પણ મેળવી શકાય છે. તમામ ટ્રાયલ્સમાં ઇવેન્ટ A ની ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા X એ વ્યક્તિગત ટ્રાયલ્સમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાનો સરવાળો છે. તેથી, જો X 1 એ પ્રથમ અજમાયશમાં ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે, X 2 – બીજામાં, વગેરે, તો પછી તમામ અજમાયશમાં ઘટના Aની ઘટનાઓની કુલ સંખ્યા X = X 1 +X 2 જેટલી છે. +…+X n. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ અનુસાર:

સમાનતાની જમણી બાજુની દરેક શરતો એ એક અજમાયશમાં ઘટનાઓની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે, જે ઘટનાની સંભાવના જેટલી છે. આમ,

વિખેરવાની મિલકત અનુસાર:

ત્યારથી , અને રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા, જે માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે, એટલે કે સંભાવના સાથે 1 2 પીઅને સંભાવના સાથે 0 2 q, તે . આમ, પરિણામે, આપણને મળે છે

પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસ માટેના સૂત્રો મેળવી શકીએ છીએ:

. (6.4)

દ્વિપદી વિતરણના બહુકોણમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે (જુઓ. ફિગ. 6.1). સંભાવના પી n(k) પ્રથમ વધારો સાથે વધે છે k, તેના ઉચ્ચતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને પછી ઘટવાનું શરૂ કરે છે. કેસ સિવાય દ્વિપદી વિતરણ ત્રાંસુ છે પી=0.5. નોંધ કરો કે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે nદ્વિપદી વિતરણ સામાન્યની ખૂબ નજીક છે. (આ દરખાસ્તનો તર્ક મોઇવર-લાપ્લેસના સ્થાનિક પ્રમેય સાથે સંબંધિત છે.)

ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા m 0 કહેવાય છે મોટે ભાગે, જો પરીક્ષણોની આ શ્રેણીમાં આપેલ સંખ્યાબંધ વખત ઘટના બનવાની સંભાવના સૌથી મોટી છે (વિતરણ બહુકોણમાં મહત્તમ). દ્વિપદી વિતરણ માટે

. (6.5)

ટિપ્પણી. આ અસમાનતા દ્વિપદી સંભાવનાઓ માટે આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે:

(6.6)

ઉદાહરણ 6.1.આ એન્ટરપ્રાઇઝમાં પ્રીમિયમ ઉત્પાદનોનો હિસ્સો 31% છે. 75 ઉત્પાદનોની રેન્ડમલી પસંદ કરેલ બેચમાં ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને વિભિન્નતા, તેમજ પ્રીમિયમ ઉત્પાદનોની સૌથી સંભવિત સંખ્યા શું છે?

ઉકેલ. ત્યારથી પી=0,31, q=0,69, n=75, પછી

M[ એક્સ] = એન.પી.= 75×0.31 = 23.25; ડી[ એક્સ] = npq= 75×0.31×0.69 = 16.04.

સૌથી સંભવિત સંખ્યા શોધવા માટે m 0, ચાલો બેવડી અસમાનતા બનાવીએ

તે તેને અનુસરે છે m 0 = 23.

ઝેરનું વિતરણ

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, દ્વિપદી વિતરણ જ્યારે સામાન્ય થાય છે n®¥. જો કે, જો વધારો સાથે, આ થતું નથી nજથ્થાઓમાંથી એક પીઅથવા qશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, એસિમ્પ્ટોટિક પોઈસન સૂત્ર ધરાવે છે, એટલે કે. ખાતે n®¥, પી®0

, (6.7)

જ્યાં l= એન.પી.. આ સૂત્ર નક્કી કરે છે પોઈસન વિતરણ કાયદો , જેનો સ્વતંત્ર અર્થ છે, અને માત્ર દ્વિપદી વિતરણના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે નહીં. દ્વિપદી વિતરણથી વિપરીત, અહીં રેન્ડમ ચલ છે kઅસંખ્ય મૂલ્યો લઈ શકે છે: k=0,1,2,…

પોઈસનનો કાયદો સમાન સમયગાળામાં બનતી ઘટનાઓ kની સંખ્યાનું વર્ણન કરે છે, જો કે ઘટનાઓ સતત સરેરાશ તીવ્રતા સાથે એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે થાય છે, જે પરિમાણ l દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. પોઈસન વિતરણ બહુકોણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 6.2. નોંધ કરો કે મોટી l રેસ માટે
પોઈસનનું વિતરણ સામાન્ય થઈ રહ્યું છે. તેથી, પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ, નિયમ તરીકે, એવા કિસ્સાઓમાં થાય છે કે જ્યાં l એકતાના ક્રમમાં હોય, અને અજમાયશની સંખ્યા nમોટી હોવી જોઈએ, અને ઘટના બનવાની સંભાવના પીદરેક ટેસ્ટ નાની છે. આ સંદર્ભે, પોઈસનનો કાયદો ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે દુર્લભ ઘટનાના વિતરણનો કાયદો.

પરિસ્થિતિઓના ઉદાહરણો કે જેમાં પોઈસન વિતરણ ઉદભવે છે તેના વિતરણો છે: 1) એકમ વોલ્યુમ દીઠ ચોક્કસ સૂક્ષ્મજીવાણુઓની સંખ્યા; 2) એકમ સમય દીઠ ગરમ કેથોડમાંથી ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા; 3) ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન કિરણોત્સર્ગી સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત a-કણોની સંખ્યા; 4) દિવસના ચોક્કસ સમયે ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં આવતા કૉલ્સની સંખ્યા, વગેરે.

ચાલો પોઈસનનો નિયમ ટેબલના રૂપમાં લખીએ

ચાલો તપાસીએ કે બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

ચાલો આ વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ. DSV માટેની ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અમારી પાસે છે

નોંધ કરો કે છેલ્લા સરવાળામાં સરવાળો શરૂ થાય છે k=1, કારણ કે અનુરૂપ રકમની પ્રથમ મુદત k=0, શૂન્યની બરાબર.

ભિન્નતા શોધવા માટે, આપણે પહેલા રેન્ડમના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ છીએ:

આમ, પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિચલન એકરુપ છે અને આ વિતરણના પરિમાણની સમાન છે.

. (6.8)

આ પોઈસન વિતરણનું વિશિષ્ટ લક્ષણ છે. આમ, જો, પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે, એવું જાણવા મળ્યું કે ગાણિતિક અપેક્ષા અને ચોક્કસ મૂલ્યનો તફાવત એકબીજાની નજીક છે, તો એવું માનવા માટેનું કારણ છે કે આ રેન્ડમ ચલ પોઈસનના કાયદા અનુસાર વહેંચાયેલું છે.

પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે બતાવી શકીએ છીએ કે પોઈસન વિતરણ માટે વિકૃતિ ગુણાંક અને કુર્ટોસિસ સમાન છે:

. (6.9)

l પરિમાણ હંમેશા હકારાત્મક હોવાથી, પોઈસન વિતરણમાં હંમેશા સકારાત્મક વિકૃતિ અને કર્ટોસિસ હોય છે.

ચાલો હવે બતાવીએ કે પોઈસનના સૂત્રને ઘટનાઓના સૌથી સરળ પ્રવાહના ગાણિતિક મોડેલ તરીકે ગણી શકાય.

ઘટનાઓનો પ્રવાહરેન્ડમ સમયે બનતી ઘટનાઓનો ક્રમ બોલાવો. પ્રવાહ કહેવાય છે સૌથી સરળ, જો તે ગુણધર્મો ધરાવે છે સ્થિરતા, કોઈ અસર નથીઅને સામાન્યતા.

પ્રવાહની તીવ્રતા l એ એકમ સમય દીઠ બનતી ઘટનાઓની સરેરાશ સંખ્યા છે.

જો પ્રવાહની તીવ્રતા સતત l જાણીતી હોય, તો ઘટનાની સંભાવના kસમય જતાં સરળ પ્રવાહની ઘટનાઓ tપોઈસન સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

. (6.10)

આ સૂત્ર સરળ પ્રવાહના તમામ ગુણધર્મોને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તદુપરાંત, કોઈપણ સરળ પ્રવાહનું વર્ણન પોઈસન સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે, તેથી સૌથી સરળ પ્રવાહને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે. પોઈસન.

સ્થિરતા મિલકત kસમય કોઈપણ સમયગાળામાં ઘટનાઓ માત્ર નંબર પર આધાર રાખે છે kઅને અવધિ પર tસમયનો સમયગાળો અને તેની ગણતરીની શરૂઆત પર આધાર રાખતો નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો પ્રવાહમાં સ્થિરતાની મિલકત હોય, તો ઘટનાની સંભાવના kસમયગાળા દરમિયાન ઘટનાઓ tત્યાં એક કાર્ય છે જે ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે kઅને થી t.

સૌથી સરળ પ્રવાહના કિસ્સામાં, તે પોઈસનના સૂત્ર (6.10) પરથી અનુસરે છે કે સંભાવના kદરમિયાનની ઘટનાઓ t, આપેલ તીવ્રતા પર, માત્ર બે દલીલોનું કાર્ય છે: kઅને t, જે સ્થિરતાની મિલકતને દર્શાવે છે.

કોઈ અસરની મિલકત નથીતે ઘટનાની સંભાવના છે kસમયના કોઈપણ સમયગાળાની ઘટનાઓ તેના પર નિર્ભર કરે છે કે શું ઘટનાઓ પ્રશ્નના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાના સમયના બિંદુઓ પર દેખાય છે કે નહીં. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રવાહનો ઇતિહાસ નજીકના ભવિષ્યમાં બનતી ઘટનાઓની સંભાવનાઓને અસર કરતું નથી.

સૌથી સરળ પ્રવાહના કિસ્સામાં, પોઈસન સૂત્ર (6.10) વિચારણા હેઠળના સમયગાળાની શરૂઆત પહેલાં ઘટનાઓની ઘટના વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરતું નથી, જે પછીની અસરોની ગેરહાજરીની મિલકતને દર્શાવે છે.

સામાન્યતાની મિલકતતે છે કે ટૂંકા ગાળામાં બે કે તેથી વધુ ઘટનાઓ બનવી વ્યવહારીક રીતે અશક્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, માત્ર એક જ ઘટના બનવાની સંભાવનાની સરખામણીમાં ટૂંકા ગાળામાં એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના નહિવત્ છે.

ચાલો બતાવીએ કે પોઈસન સૂત્ર (6.10) સામાન્યતાની મિલકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે. પુટિંગ k=0 અને k=1, અમે અનુક્રમે, કોઈ ઘટના ન બનવાની અને એક ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ:

તેથી, એક કરતાં વધુ ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના છે

મેકલોરિન શ્રેણીમાં ફંક્શનના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને, પ્રાથમિક પરિવર્તન પછી આપણે મેળવીએ છીએ

.

સરખામણી પી ટી(1) અને પી ટી(k>1), અમે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે નાના મૂલ્યો માટે tએક કરતાં વધુ ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવના એક ઘટનાની ઘટનાની સંભાવનાની તુલનામાં નહિવત્ છે, જે સામાન્યતાની મિલકતને દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 6.2.રધરફોર્ડ અને ગીગરના અવલોકનોમાં, 7.5 ના સમયગાળામાં કિરણોત્સર્ગી પદાર્થ સેકન્ડસરેરાશ 3.87 a-કણો ઉત્સર્જિત કરે છે. 1 માટે સંભાવના શોધો સેકન્ડઆ પદાર્થ ઓછામાં ઓછા એક કણનું ઉત્સર્જન કરશે.

ઉકેલ. આપણે પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન કિરણોત્સર્ગી સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત a-કણોની સંખ્યાનું વિતરણ પોઈસન સૂત્ર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, એટલે કે. ઘટનાઓનો સૌથી સરળ પ્રવાહ બનાવે છે. 1 માટે a-કણોના ઉત્સર્જનની તીવ્રતા હોવાથી સેકન્ડબરાબર

,

પછી પોઈસન ફોર્મ્યુલા (6.10) સ્વરૂપ લે છે

આમ, સંભાવના છે કે t=1 સેકન્ડપદાર્થ ઉત્સર્જન કરશે ઓછામાં ઓછા એક કણ સમાન હશે

ભૌમિતિક વિતરણ

પ્રથમ હિટ, અને સંભાવના સુધી આપેલ લક્ષ્ય પર શૂટિંગ કરવા દો પીદરેક શોટમાં લક્ષ્યને મારવું એ સમાન છે અને તે અગાઉના શોટના પરિણામો પર આધારિત નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિચારણા હેઠળના પ્રયોગમાં, બર્નૌલી યોજના લાગુ કરવામાં આવી છે. રેન્ડમ વેરીએબલ X તરીકે આપણે ફાયર કરેલા શોટ્સની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લઈશું. દેખીતી રીતે, રેન્ડમ ચલ X ના સંભવિત મૂલ્યો કુદરતી સંખ્યાઓ છે: x 1 =1, x 2 =2, ... પછી તેની જરૂર પડશે તેવી સંભાવના kશોટ સમાન હશે

. (6.11)

આ સૂત્રમાં ધારી રહ્યા છીએ k=1,2, ... આપણને પ્રથમ પદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ મળે છે પીઅને ગુણક q:

આ કારણોસર, ફોર્મ્યુલા (6.11) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિતરણ કહેવામાં આવે છે ભૌમિતિક .

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તે ચકાસવું સરળ છે કે

.

ચાલો ભૌમિતિક વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધીએ.

DSV માટેની ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અમારી પાસે છે

.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિભિન્નતાની ગણતરી કરીએ

.

આ માટે આપણે શોધીશું

.

આથી,

.

તેથી, ભૌમિતિક વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા સમાન છે

. (6.12)

6.4.* જનરેટીંગ ફંક્શન

DSV ને લગતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, સંયોજન પદ્ધતિઓનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સંયોજન વિશ્લેષણની સૌથી વિકસિત સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિઓમાંની એક ફંક્શન્સ જનરેટ કરવાની પદ્ધતિ છે, જે એપ્લિકેશનમાં સૌથી શક્તિશાળી પદ્ધતિઓમાંની એક છે. ચાલો તેને ટૂંકમાં જાણીએ.

જો રેન્ડમ ચલ x માત્ર બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્યો લે છે, એટલે કે.

,

તે જનરેટીંગ ફંક્શન રેન્ડમ ચલ x ની સંભાવના વિતરણને ફંક્શન કહેવામાં આવે છે

, (6.13)

જ્યાં z- વાસ્તવિક અથવા જટિલ ચલ. તેની નોંધ લો બહુવિધ જનરેટીંગ કાર્યો વચ્ચે j x ( x)અને ઘણા વિતરણો(P(x= k)} એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર છે.

રેન્ડમ ચલ x પાસે રહેવા દો દ્વિપદી વિતરણ

.

પછી, ન્યુટનના દ્વિપદી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

,

તે દ્વિપદી વિતરણ જનરેટીંગ કાર્ય જેવો દેખાય છે

. (6.14)

ઉમેરણ. પોઈસન જનરેટીંગ ફંક્શન

જેવો દેખાય છે

. (6.15)

ભૌમિતિક વિતરણનું કાર્ય જનરેટ કરવું

જેવો દેખાય છે

. (6.16)

જનરેટીંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, DSV ની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવાનું અનુકૂળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અને બીજી પ્રારંભિક ક્ષણો નીચેની સમાનતાઓ દ્વારા જનરેટીંગ ફંક્શન સાથે સંબંધિત છે:

, (6.17)

. (6.18)

ફંક્શન જનરેટ કરવાની પદ્ધતિ ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે કારણ કે કેટલાક કિસ્સાઓમાં DSV નું વિતરણ કાર્ય નક્કી કરવું ખૂબ જ મુશ્કેલ હોય છે, જ્યારે જનરેટિંગ ફંક્શન શોધવાનું ક્યારેક સરળ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, બર્નૌલીની ક્રમિક સ્વતંત્ર પરીક્ષણ ડિઝાઇનને ધ્યાનમાં લો, પરંતુ તેમાં એક ફેરફાર કરો. ઘટનાની સંભાવના થવા દો એઅજમાયશથી અજમાયશમાં બદલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે બર્નૌલીનું સૂત્ર આવી યોજના માટે અયોગ્ય બને છે. આ કિસ્સામાં વિતરણ કાર્ય શોધવાનું કાર્ય નોંધપાત્ર મુશ્કેલીઓ રજૂ કરે છે. જો કે, આ યોજના માટે, જનરેટિંગ ફંક્શન શોધવાનું સરળ છે, અને તેથી, અનુરૂપ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવામાં સરળ છે.

જનરેટિંગ ફંક્શન્સનો વ્યાપક ઉપયોગ એ હકીકત પર આધારિત છે કે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના અભ્યાસને અનુરૂપ જનરેટિંગ ફંક્શન્સના ઉત્પાદનોના અભ્યાસ દ્વારા બદલી શકાય છે. તેથી, જો x 1, x 2, …, x nસ્વતંત્ર છે, તો પછી

દો p k=પીકે(એ) - માં "સફળતા" ની સંભાવના kબર્નોલી સર્કિટમાં -મી કસોટી (અનુક્રમે, q k=1–p k- માં "નિષ્ફળતા" ની સંભાવના kમી ટેસ્ટ). પછી, ફોર્મ્યુલા (6.19) અનુસાર, જનરેટિંગ ફંક્શનમાં ફોર્મ હશે

. (6.20)

આ જનરેટિંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ છીએ

.

તે અહીં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે p k + q k=1. હવે, સૂત્ર (6.1) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, ચાલો પહેલા ગણતરી કરીએ

અને .

ખાસ કિસ્સામાં પી 1 =પી 2 =…=p n=પી(એટલે ​​​​કે દ્વિપદી વિતરણના કિસ્સામાં) પ્રાપ્ત સૂત્રોમાંથી તે અનુસરે છે કે Mx= એન.પી., Dx= npq.

અમે અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણના સૌથી સામાન્ય નિયમોને પ્રકાશિત કરી શકીએ છીએ:

• દ્વિપદી વિતરણ કાયદો
• પોઈસન વિતરણ કાયદો
• ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો
• હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો

અલગ રેન્ડમ ચલોના આપેલ વિતરણો માટે, તેમના મૂલ્યોની સંભાવનાઓની ગણતરી, તેમજ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, વગેરે) ચોક્કસ "સૂત્રો" નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, આ પ્રકારના વિતરણો અને તેમના મૂળભૂત ગુણધર્મોને જાણવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

1. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ એ દ્વિપદી સંભાવના વિતરણ કાયદાને આધીન છે જો તે $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ $P\left(X=k\right)= સાથે મૂલ્યો લે છે. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\જમણે))^(n-k)$. હકીકતમાં, રેન્ડમ ચલ $X$ એ $n$ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં $A$ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંભાવના વિતરણનો કાયદો:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને \\ બિંદુઓ અને n \\
\hલાઇન
p_i & P_n\left(0\જમણે) & P_n\left(1\જમણે) & \dots & P_n\left(n\જમણે) \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા $M\left(X\right)=np$ છે, ભિન્નતા $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ છે.

ઉદાહરણ . પરિવારમાં બે બાળકો છે. $0.5$ સમાન છોકરો અને છોકરી હોવાની સંભાવનાઓ ધારી રહ્યા છીએ, રેન્ડમ ચલ $\xi$ - કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો શોધો.

રેન્ડમ ચલ $\xi $ ને કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યા થવા દો. મૂલ્યો કે જે $\xi લઈ શકે છે:\ 0, \ 1,\ 2$. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે )$, જ્યાં $n =2$ એ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સની સંખ્યા છે, $p=0.5$ એ $n$ ટ્રાયલ્સની શ્રેણીમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના છે. અમને મળે છે:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\જમણે))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

પછી રેન્ડમ ચલ $\xi $નો વિતરણ કાયદો એ $0,\1,\2$ અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર છે, એટલે કે:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\xi અને 0 અને 1 અને 2 \\
\hલાઇન
P(\xi) અને 0.25 અને 0.5 અને 0.25 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

વિતરણ કાયદામાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ જેટલો હોવો જોઈએ, એટલે કે, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

અપેક્ષા $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, તફાવત $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, પ્રમાણભૂત વિચલન $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\અંદાજે $0.707.

2. પોઈસન વિતરણ કાયદો.

જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ ને $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ટિપ્પણી. આ વિતરણની ખાસિયત એ છે કે, પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે, અમે અંદાજો $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ શોધીએ છીએ, જો પ્રાપ્ત અંદાજો એકબીજાની નજીક હોય, તો અમારી પાસે છે રેન્ડમ ચલ પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે તેવું ભારપૂર્વક જણાવવાનું કારણ.

ઉદાહરણ . પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: આવતીકાલે ગેસ સ્ટેશન દ્વારા પીરસવામાં આવશે તે કારની સંખ્યા; ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા.

ઉદાહરણ . ફેક્ટરીએ આધાર પર $500$ ઉત્પાદનો મોકલ્યા. પરિવહનમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થવાની સંભાવના $0.002$ છે. ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના સમાન રેન્ડમ ચલ $X$ના વિતરણનો કાયદો શોધો; $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ શું છે.

અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ને ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા થવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ની બરાબર છે}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\જમણે)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\જમણે)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\જમણે)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\જમણે)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\જમણે)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\જમણે)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો $X$:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 અને 5 અને 6 અને ... & k \\
\hલાઇન
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 &... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hલાઇન
\end(એરે)$

આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા એકબીજાની સમાન હોય છે અને $\lambda $, એટલે કે, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ સમાન હોય છે. લેમ્બડા =1$.

3. ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો.

જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $1,\2,\\dots ,\n$ સંભાવનાઓ સાથે લઈ શકે છે $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) જમણે)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, પછી તેઓ કહે છે કે આવા રેન્ડમ ચલ $X$ એ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક નિયમને આધીન છે. હકીકતમાં, ભૌમિતિક વિતરણ એ પ્રથમ સફળતા સુધી બર્નૌલી પરીક્ષણ છે.

ઉદાહરણ . ભૌમિતિક વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: લક્ષ્ય પર પ્રથમ હિટ પહેલાં શોટની સંખ્યા; પ્રથમ નિષ્ફળતા સુધી ઉપકરણ પરીક્ષણોની સંખ્યા; પ્રથમ માથું ન આવે ત્યાં સુધી સિક્કા ફેંકવાની સંખ્યા, વગેરે.

ભૌમિતિક વિતરણને અનુક્રમે રેન્ડમ ચલ વિષયની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) સમાન છે )/p^ $2.

ઉદાહરણ . સ્પાવિંગ સાઇટ પર માછલીની હિલચાલના માર્ગ પર $4$ લોક છે. દરેક ગેટવેમાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના $p=3/5$ છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણની શ્રેણી બનાવો - તાળા પર પ્રથમ ધરપકડ પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા. $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$ શોધો.

રેન્ડમ ચલ $X$ એ તાળા પર પ્રથમ ધરપકડ પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા તરીકે રહેવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યો કે જે રેન્ડમ ચલ $X લઈ શકે છે:$ 1, 2, 3, 4. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, જ્યાં: $ p=2/5$ - તાળામાંથી માછલી પકડવાની સંભાવના, $q=1-p=3/5$ - તાળામાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^0=(2)\ ઉપર (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=(6)\over (25))=0.24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^2=(2)\ ઉપર (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^3+(\left(( (3)\over (5))\જમણે))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 \\
\hલાઇન
પી\ડાબે(X_i\જમણે) અને 0.4 અને 0.24 અને 0.144 અને 0.216 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ગાણિતિક અપેક્ષા:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

વિક્ષેપ:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\જમણે))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\જમણે))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\જમણે))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\જમણે))^2\અંદાજે 1.377.$

માનક વિચલન:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\અંદાજે 1,173.$

4. હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો.

જો $N$ ઑબ્જેક્ટ, જેમાંથી $m$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ પ્રોપર્ટી ધરાવે છે. $n$ ઑબ્જેક્ટ્સ પરત કર્યા વિના અવ્યવસ્થિત રીતે પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી $k$ ઑબ્જેક્ટ્સ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ એ સંભવિતતાનો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે કે નમૂનામાં બરાબર $k$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. રેન્ડમ ચલ $X$ એ નમૂનામાં આપેલ ગુણધર્મ ધરાવતા ઑબ્જેક્ટ્સની સંખ્યા તરીકે રહેવા દો. પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

ટિપ્પણી. એક્સેલ $f_x$ ફંક્શન વિઝાર્ડનું આંકડાકીય કાર્ય HYPERGEOMET તમને ચોક્કસ સંખ્યામાં પરીક્ષણો સફળ થવાની સંભાવના નક્કી કરવા દે છે.

$f_x\to$ આંકડાકીય$\to$ હાયપરજિયોમેટ$\to$ ઠીક છે. એક સંવાદ બોક્સ દેખાશે જે તમારે ભરવાની જરૂર છે. કૉલમમાં નમુનામાં_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $k$ દર્શાવો. નમૂના_કદ$n$ બરાબર છે. કૉલમમાં એકસાથે_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $m$ દર્શાવો. વસ્તી_માપ$N$ બરાબર છે.

ભૌમિતિક વિતરણ કાયદાને આધીન અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= સમાન છે. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\જમણે))\over (N-1))$.

ઉદાહરણ . બેંકનો ધિરાણ વિભાગ ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા 5 નિષ્ણાતો અને ઉચ્ચ કાનૂની શિક્ષણ ધરાવતા 3 નિષ્ણાતોને રોજગારી આપે છે. બેંકના મેનેજમેન્ટે તેમની લાયકાત સુધારવા માટે 3 નિષ્ણાતોને મોકલવાનું નક્કી કર્યું, તેમને રેન્ડમ ક્રમમાં પસંદ કર્યા.

a) ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી બનાવો કે જેમને તેમની કુશળતા સુધારવા માટે મોકલી શકાય;

b) આ વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ એ ત્રણ પસંદ કરેલા લોકોમાં ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા છે. મૂલ્યો કે જે $X લઈ શકે છે: 0,\1,\2,\3$. આ રેન્ડમ ચલ $X$ ને નીચેના પરિમાણો સાથે હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે: $N=8$ - વસ્તીનું કદ, $m=5$ - વસ્તીમાં સફળતાઓની સંખ્યા, $n=3$ - નમૂનાનું કદ, $ k=0,\1, \2,\3$ - નમૂનામાં સફળતાઓની સંખ્યા. પછી સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)$ ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ થી વધુ. અમારી પાસે છે:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\અંદાજે 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\અંદાજે 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\અંદાજે 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\અંદાજે 0.179.$

પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ની વિતરણ શ્રેણી:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણના સામાન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરીએ.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\જમણે)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\જમણે)\cdot \left(1-(3)\over (8) ))\જમણે))\over (8-1))=((225)\over (448))\અંદાજે 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\અંદાજે 0.7085.$

તે. સ્વતંત્ર રેન્ડમ X ની કિંમત જીઓમ ધરાવે છે. વિતરક પરિમાણ સાથે આરઅને છેદ q, જો તે મૂલ્યો લે છે 1,2,3,… k, ... સંભાવનાઓ સાથે

P(X) = pq k-1, ક્યાં q=1-આર.

વિતરણને જીઓમ કહેવામાં આવે છે., કારણ કે. સત્યતા પૃષ્ઠ 1, પૃષ્ઠ 2, ...ભૌમિતિક પ્રગતિ રચે છે, જેનો પ્રથમ સભ્ય છે આર, અને છેદ છે q.

જો પરીક્ષણોની સંખ્યા મર્યાદિત નથી, એટલે કે. જો રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો 1, 2, ..., ∞ લઈ શકે છે, તો અપેક્ષિત મૂલ્ય અને ભિન્નતા ભૌમિતિક છે. Mх = 1/p, Dх = q/p 2 સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિતરણો શોધી શકાય છે

ઉદાહરણ. જ્યાં સુધી પહેલો હિટ ન થાય ત્યાં સુધી બંદૂક નિશાન પર ફાયર કરવામાં આવે છે. લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના દરેક શોટ સાથે p = 0.6 છે. એસ.વી. X એ પ્રથમ હિટ પહેલા શક્ય શોટની સંખ્યા છે.

A) વિતરણ શ્રેણીનું સંકલન કરો, વિતરણ કાર્ય શોધો, તેનો ગ્રાફ બનાવો અને તમામ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો. b) જો શૂટર ત્રણથી વધુ ગોળી ચલાવવાનો ઇરાદો ધરાવતો હોય તો કેસ માટે ગાણિતિક અપેક્ષા અને તફાવત શોધો.

અ)રેન્ડમ ચલ 1, 2, 3, 4,..., ∞ મૂલ્યો લઈ શકે છે
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
P(k) = q k-1 p = 0.4 k-1 0.6 ...
વિતરણ શ્રેણી:

નિયંત્રણ: Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો)

વિતરણ કાર્ય એ સંભાવના છે કે r.v. X એ x ના ચોક્કસ આંકડાકીય મૂલ્ય કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે. વિતરણ કાર્ય મૂલ્યો સંભાવનાઓનો સરવાળો કરીને જોવા મળે છે.

જો x ≤ 1, તો F(x) = 0

જો 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
જો 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
જો 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
જો k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0.6 ≈ 1.667
Dх = q/p 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

b)રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો 1, 2, 3 લઈ શકે છે.
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
વિતરણ શ્રેણી:

નિયંત્રણ: Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
વિતરણ કાર્ય.

જો x ≤ 1, તો F(x) = 0
જો 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
જો 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
જો x > 3, તો F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
M(X) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
D(X) = 1 2 0.6 + 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ(Х) ≈ 0.752

સ્ક્યુનેસ અને કર્ટોસિસ

અસમપ્રમાણતા નમૂના વિતરણની મિલકત છે જે રેન્ડમ ચલના વિતરણની અસમપ્રમાણતાને લાક્ષણિકતા આપે છે. વ્યવહારમાં, સપ્રમાણ વિતરણો દુર્લભ છે, અને અસમપ્રમાણતાની ડિગ્રીને ઓળખવા અને તેનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, અસમપ્રમાણતાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવે છે. નકારાત્મક અસમપ્રમાણતા ગુણાંકના કિસ્સામાં, ડાબી બાજુએ હળવા "વંશ" જોવા મળે છે, અન્યથા - જમણી બાજુએ. પ્રથમ કિસ્સામાં, અસમપ્રમાણતાને ડાબી બાજુ કહેવામાં આવે છે, અને બીજામાં - જમણી બાજુ.

અસમપ્રમાણતા ગુણાંક અલગરેન્ડમ ચલની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
As(X) = (x 1-એમ એક્સ) 3 પૃ 1 + (x 2 - એમ એક્સ) 3 પૃ 2 + ... + ( x n-M એક્સ) 3 પી એન

કોફ. અસમપ્રમાણતા સતત sl.vel. સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

અધિક વિતરણ વળાંકની તીવ્રતાનું માપ છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના કુર્ટોસિસ ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

સતત રેન્ડમ ચલના કુર્ટોસિસ ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો એ આગામી ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સૂચિ છે. X કે તે સ્વીકારી શકે છે, અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ. બધી માન્યતાઓનો સરવાળો 1 જેવો હોવો જોઈએ. તપાસો: 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1.

1. અપેક્ષા: M(X) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. વિખેરી નાખવુંઆગામી vel ના મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે. તેણીના mat.ozhમાંથી X: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0.1) 2 0.1 = 1.09
   અથવા D(X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 2 0.1 - (-0 ,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. બુધ. ચો. બંધવિચલનનું વર્ગમૂળ છે: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. કોફ. અસમપ્રમાણતાજેમ(X) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. કોફ. અધિકઇ x(X) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0,1) 4 ·0.1 + (2 + 0.1) 4 ·0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. વિતરણ કાર્ય એ સંભાવના છે કે રેન્ડમ ચલ X અમુક સંખ્યાત્મક મૂલ્ય કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે x: F(X) = P(X< x). વિતરણ કાર્ય એ એક બિન-ઘટતું કાર્ય છે. તે 0 થી 1 ની રેન્જમાં મૂલ્યો લે છે.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) સતત રેન્ડમ ચલો. સામાન્ય વિતરણ.

સતતરેન્ડમ વેરીએબલ કોઈ ચોક્કસ લેતું નથી સંખ્યાત્મક મૂલ્યો, પરંતુ સંખ્યાત્મક અંતરાલ પર કોઈપણ મૂલ્યો. સતત કેસમાં વિતરણ કાયદાનું વર્ણન અલગ કેસ કરતાં વધુ જટિલ છે.

સતતરેન્ડમ ચલ કહેવાય છે જે ચોક્કસ આપેલ અંતરાલમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પરિવહન માટે રાહ જોવાનો સમય, ચોક્કસ મહિનામાં હવાનું તાપમાન, નજીવા કદમાંથી ભાગના વાસ્તવિક કદનું વિચલન વગેરે. જે અંતરાલ પર તે સેટ કરેલ છે તે એક અથવા બંને દિશામાં અનંત હોઈ શકે છે.

સ્વતંત્ર અને સતત કેસ માટે સંભાવનાઓની ગણતરીની સમસ્યાઓમાં મુખ્ય તફાવત નીચે મુજબ છે. એક અલગ કિસ્સામાંજેવી ઘટનાઓ માટે x = c(રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ મૂલ્ય લે છે) સંભાવના માંગવામાં આવે છે આર(સાથે). સતત કિસ્સામાંઆ પ્રકારની સંભાવનાઓ શૂન્ય સમાન છે, તેથી, "રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્યો લે છે" પ્રકારની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ રસ ધરાવે છે, એટલે કે. એ≤ એક્સ≤ b. અથવા જેવી ઘટનાઓ માટે એક્સ≤ સાથેસંભાવના શોધી રહ્યા છીએ આર(એક્સ≤ સાથે). અમે વિતરણ કાર્ય F નો ગ્રાફ મેળવ્યો ( એક્સ≤ સાથે).

તેથી, રેન્ડમ ચલોની વિવિધતા ખૂબ મોટી છે. તેઓ સ્વીકારે છે તે મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત, ગણતરીપાત્ર અથવા અગણિત હોઈ શકે છે; મૂલ્યો સ્પષ્ટ રીતે સ્થિત થઈ શકે છે અથવા અંતરાલો સંપૂર્ણપણે ભરી શકે છે. રેન્ડમ ચલોના મૂલ્યોની સંભાવનાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે કે જે પ્રકૃતિમાં ખૂબ જ અલગ છે, અને વધુમાં, તેમને તે જ રીતે સ્પષ્ટ કરવા માટે, ની વિભાવના રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય.

ચાલો રેન્ડમ ચલ હોઈએ અને એક્સ- એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા. કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના X,કહેવાય છે સંભાવના વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલ: F(x)= P(<х}.

ચાલો શું કહેવામાં આવ્યું છે તેનો સારાંશ આપીએ: રેન્ડમ ચલએક એવો જથ્થો છે જેના મૂલ્યો કેસ પર આધાર રાખે છે અને જેના માટે સંભાવના વિતરણ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

સતત રેન્ડમ ચલો માટે (જ્યારે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અગણિત હોય છે), વિતરણ કાયદો ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે આ વિતરણ કાર્ય :F( x) = P(X<એક્સ) .

કાર્ય F( x) નીચેના ધરાવે છે ગુણધર્મો:

1. 0 ≤ F( x) ≤ 1 ;

2.F( x) ઘટતું નથી;

3.F( x) સતત છોડી દીધું;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.