ઉકેલ.
કોઈ પ્રતીકો દોરવામાં આવ્યા ન હોવાની સંભાવના: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ત્રણ કોટ્સ ઓફ આર્મ્સ મેળવવાની સંભાવના: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો:
| એક્સ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| પી | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
ઉદાહરણ નંબર 2. પ્રથમ શૂટર માટે એક શૂટર એક શૉટ વડે લક્ષ્યને ફટકારે તેવી સંભાવના 0.8 છે, બીજા શૂટર માટે - 0.85. શૂટરોએ નિશાન પર એક ગોળી ચલાવી હતી. વ્યક્તિગત શૂટર્સ માટે સ્વતંત્ર ઇવેન્ટ તરીકે લક્ષ્યને હિટ કરવાનું ધ્યાનમાં લેતા, ઇવેન્ટ Aની સંભાવના શોધો - લક્ષ્ય પર બરાબર એક હિટ.
ઉકેલ.
ઇવેન્ટ A ને ધ્યાનમાં લો - લક્ષ્ય પર એક હિટ. સંભવિત વિકલ્પોઆ ઘટનાની ઘટના નીચે મુજબ છે.
- પહેલો શૂટર હિટ થયો, બીજો શૂટર ચૂકી ગયો: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- પહેલો શૂટર ચૂકી ગયો, બીજા શૂટરે લક્ષ્યને ફટકાર્યું: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- પ્રથમ અને બીજા તીરો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે લક્ષ્યને ફટકારે છે: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
રેન્ડમ ચલ એક ચલ છે જે વિવિધ સંજોગોના આધારે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને બદલામાં, રેન્ડમ મૂલ્યકહેવાય છે અલગ , જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે.
અલગ રેન્ડમ ચલો ઉપરાંત, સતત રેન્ડમ ચલો પણ છે.
ચાલો રેન્ડમ ચલની વિભાવનાને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. વ્યવહારમાં, ઘણી વખત એવા જથ્થાઓ હોય છે જે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે, પરંતુ તેમાંથી દરેક અનુભવ, ઘટના અથવા વિચારણા હેઠળના અવલોકનમાં શું મૂલ્ય લેશે તેની વિશ્વસનીય આગાહી કરવી અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આગામી દિવસોમાં મોસ્કોમાં જન્મેલા છોકરાઓની સંખ્યા બદલાઈ શકે છે. તે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે (એક પણ છોકરો જન્મશે નહીં: બધી છોકરીઓ જન્મશે અથવા ત્યાં કોઈ નવજાત હશે નહીં), એક, બે, અને તેથી જ અમુક મર્યાદિત સંખ્યા સુધી n. આવા મૂલ્યોમાં શામેલ છે: સાઇટ પર ખાંડના બીટના મૂળનો સમૂહ, આર્ટિલરી શેલની ફ્લાઇટ રેન્જ, બેચમાં ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા, વગેરે. અમે આવા જથ્થાઓને રેન્ડમ કહીશું. તેઓ દરેક વસ્તુનું લક્ષણ આપે છે શક્ય પરિણામોમાત્રાત્મક બાજુથી અનુભવ અથવા અવલોકન.
અલગ રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે દિવસ દરમિયાન જન્મેલા બાળકોની સંખ્યા હોઈ શકે છે વિસ્તાર, બસ મુસાફરોની સંખ્યા, દરરોજ મોસ્કો મેટ્રો દ્વારા પરિવહન કરવામાં આવતા મુસાફરોની સંખ્યા, વગેરે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત, પરંતુ ગણનાપાત્ર સમૂહ હોઈ શકે છે. પરંતુ કોઈ પણ સંજોગોમાં, તેમને અમુક ક્રમમાં ક્રમાંકિત કરી શકાય છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરી શકાય છે અને કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, 3, ..., n.
ધ્યાન: સંભાવના સિદ્ધાંતમાં એક નવો, ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ - વિતરણ કાયદો
. દો એક્સસ્વીકારી શકે છે nમૂલ્યો:. અમે માની લઈશું કે તે બધા જુદા છે (અન્યથા સમાનને જોડવા જોઈએ) અને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે. માટે સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓઅલગ રેન્ડમ ચલ માત્ર તેના તમામ મૂલ્યો જ નહીં, પણ સંભાવનાઓ પણ દર્શાવવી જોઈએ
, જેની સાથે રેન્ડમ ચલ દરેક મૂલ્યો લે છે, એટલે કે. 
.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો કોઈપણ નિયમ (કાર્ય, ટેબલ) કહેવાય છે પી(x), જે તમને રેન્ડમ ચલ સાથે સંકળાયેલ તમામ પ્રકારની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના કે તે અમુક મૂલ્યનું ઉદાહરણ છે અથવા અમુક અંતરાલમાં આવે છે).
નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો સેટ કરવો સૌથી સરળ અને અનુકૂળ છે:
| અર્થ | ... | |||
| સંભાવના | ... |
આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણની નજીક. વિતરણ શ્રેણીની ટોચની લાઇન તમામ ચડતા ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરે છે શક્ય મૂલ્યોઅલગ રેન્ડમ ચલ (x), અને નીચલા ભાગમાં - આ મૂલ્યોની સંભાવના ( પી).
ઘટનાઓ 
અસંગત છે અને એકમાત્ર શક્ય છે: તેઓ ઘટનાઓની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ બનાવે છે. તેથી, તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:
.
ઉદાહરણ 1.વિદ્યાર્થી સમૂહમાં લોટરીનું આયોજન કરવામાં આવ્યું હતું. RUB 1,000 ની કિંમતની બે આઇટમ્સ મેળવવા માટે તૈયાર છે. અને એકની કિંમત 3,000 રુબેલ્સ છે. 100 રુબેલ્સ માટે એક ટિકિટ ખરીદનાર વિદ્યાર્થી માટે ચોખ્ખી જીતની રકમ માટે વિતરણ કાયદો દોરો. કુલ 50 ટિકિટો વેચાઈ હતી.
ઉકેલ. આપણે જે રેન્ડમ ચલમાં રસ ધરાવીએ છીએ તે છે એક્સત્રણ મૂલ્યો લઈ શકે છે: - 100 ઘસવું. (જો વિદ્યાર્થી જીતતો નથી, પરંતુ વાસ્તવમાં ટિકિટ માટે ચૂકવેલ 100 રુબેલ્સ ગુમાવે છે), 900 રુબેલ્સ. અને 2900 ઘસવું. (વાસ્તવિક જીત 100 રુબેલ્સ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે - ટિકિટની કિંમત દ્વારા). પ્રથમ પરિણામ 50 માંથી 47 વખત પસંદ કરવામાં આવ્યું છે, બીજું - 2, અને ત્રીજું - એક. તેથી તેમની સંભાવનાઓ છે: પી(એક્સ=-100)=47/50=0,94 , પી(એક્સ=900)=2/50=0,04 , પી(એક્સ=2900)=1/50=0,02 .
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક્સજેવો દેખાય છે
| વિજેતા રકમ | -100 | 900 | 2900 |
| સંભાવના | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય: બાંધકામ
ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સીરિઝ માત્ર એક અલગ રેન્ડમ વેરીએબલ માટે જ બનાવી શકાય છે (એક બિન-ડિસ્ક્રીટ માટે તે બનાવી શકાતી નથી, જો માત્ર કારણ કે આવા રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સેટ અગણિત છે, તો તેને ટોચની પંક્તિમાં સૂચિબદ્ધ કરી શકાતી નથી. ટેબલની).
સૌથી વધુ સામાન્ય સ્વરૂપવિતરણ કાયદો, તમામ રેન્ડમ ચલો (બંને અલગ અને બિન-વિકૃત) માટે યોગ્ય છે, એ વિતરણ કાર્ય છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્યઅથવા અભિન્ન કાર્યકાર્ય કહેવાય છે 
, જે રેન્ડમ ચલની કિંમતની સંભાવના નક્કી કરે છે એક્સમર્યાદા મૂલ્ય કરતાં ઓછું અથવા બરાબર એક્સ.
કોઈપણ અલગ રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય એ એક અવ્યવસ્થિત સ્ટેપ ફંક્શન છે, જેમાંથી કૂદકા રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને અનુરૂપ બિંદુઓ પર થાય છે અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સમાન હોય છે.
ઉદાહરણ 2.અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સ- ડાઇ ફેંકતી વખતે મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા. તેના વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરો.
ઉકેલ. એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી એક્સફોર્મ ધરાવે છે:
| અર્થ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| સંભાવના | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
વિતરણ કાર્ય એફ(x) ની તીવ્રતામાં 1/6 (નીચેની આકૃતિમાં) સમાન 6 જમ્પ છે.
ઉદાહરણ 3.કલરમાં 6 સફેદ દડા અને 4 કાળા દડા છે. કલગીમાંથી 3 બોલ દોરવામાં આવે છે. દોરેલા દડાઓમાં સફેદ દડાઓની સંખ્યા એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે એક્સ. તેને અનુરૂપ વિતરણ કાયદો દોરો.
એક્સમૂલ્યો 0, 1, 2, 3 પર લઈ શકે છે. અનુરૂપ સંભાવનાઓ સૌથી સરળતાથી આનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે સંભાવના ગુણાકાર નિયમ. અમે અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો નીચેનો કાયદો મેળવીએ છીએ:
| અર્થ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| સંભાવના | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ઉદાહરણ 4.એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદો દોરો - ચાર શોટ સાથે લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા, જો એક શોટ સાથે હિટની સંભાવના 0.1 છે.
ઉકેલ. અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સપાંચ અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, 5. અમે તેનો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ બર્નૌલીનું સૂત્ર
. મુ
n = 4 ,
પી = 1,1 ,
q = 1 - પી = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
અમે મેળવીએ છીએ
પરિણામે, એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક્સજેવો દેખાય છે
જો અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, તો રેન્ડમ ચલ પાસે છે દ્વિપદી વિતરણ .
જો અજમાયશની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો સંભાવના છે કે આ ટ્રાયલ્સમાં રસની ઘટના બનશે mવખત, કાયદાનું પાલન કરે છે ઝેરનું વિતરણ .
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય: ગણતરી
એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે એફ(એક્સ), તે તમામ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે જે સીમા મૂલ્ય કરતાં ઓછી અથવા સમાન હોય એક્સ.
ઉદાહરણ 5.કોષ્ટક લગ્નની અવધિ પર વર્ષ દરમિયાન ઓગળેલા લગ્નોની સંખ્યાની નિર્ભરતા દર્શાવે છે. સંભવિતતા શોધો કે આગામી છૂટાછેડા લીધેલા લગ્ન 5 વર્ષથી ઓછા અથવા તેની બરાબર ચાલ્યા.
| લગ્નની અવધિ (વર્ષ) | નંબર | સંભાવના | એફ(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 અથવા વધુ | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| કુલ | 6010 | 1 |
ઉકેલ. સંભાવનાઓની ગણતરી અનુરૂપ વિસર્જન થયેલા લગ્નની સંખ્યાને કુલ 6010 ની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને કરવામાં આવે છે. આગામી ઓગળેલા લગ્ન 5 વર્ષ ચાલ્યા હોવાની સંભાવના 0.056 છે. આગામી છૂટાછેડા લીધેલા લગ્નની અવધિ 5 વર્ષથી ઓછી અથવા તેની બરાબર હોવાની સંભાવના 0.186 છે. અમે તેને મૂલ્યમાં ઉમેરીને મેળવ્યું એફ(x) 4 વર્ષની અવધિ સાથેના લગ્નો માટે, 5 વર્ષની અવધિવાળા લગ્નની સંભાવના.
એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા અને ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ વચ્ચેનો સંબંધ
ઘણીવાર અલગ રેન્ડમ ચલના તમામ મૂલ્યો જાણીતા નથી, પરંતુ શ્રેણીમાંથી કેટલાક મૂલ્યો અથવા સંભાવનાઓ જાણીતી છે, તેમજ રેન્ડમ ચલનો ગાણિતિક અપેક્ષા અને (અથવા) ભિન્નતા, જેના માટે એક અલગ પાઠ સમર્પિત છે.
ચાલો આપણે અહીં આ પાઠમાંથી કેટલાક સૂત્રો રજૂ કરીએ જે અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને દોરતી વખતે મદદ કરી શકે છે અને આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.
એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ છે:
(1)
વ્યાખ્યા દ્વારા અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા માટેનું સૂત્ર છે:
ગણતરીઓ માટે ઘણીવાર નીચેનું વિક્ષેપ સૂત્ર વધુ અનુકૂળ છે:
, (2)
જ્યાં 
.
ઉદાહરણ 6.અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સમાત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે. તે સંભાવના સાથે એક નાનું મૂલ્ય લે છે પી= 0.6. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધો એક્સ, જો તે જાણીતું હોય કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા છે.
ઉકેલ. રેન્ડમ વેરીએબલ મોટી કિંમત લેશે તેવી સંભાવના x2 , 1 − 0.6 = 4 બરાબર છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, અમે એક સમીકરણ બનાવીએ છીએ જેમાં અજ્ઞાત એ આપણા સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો છે:
વિક્ષેપ સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે બીજું સમીકરણ બનાવીએ છીએ જેમાં અજાણ્યાઓ પણ એક અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો છે:
બે પ્રાપ્ત સમીકરણોની સિસ્ટમ
અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલો. પ્રથમ સમીકરણથી આપણે મેળવીએ છીએ
આ અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીને, સરળ પરિવર્તનો પછી આપણને મળે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ
,
જેના બે મૂળ છે: 7/5 અને −1. પ્રથમ રુટ સમસ્યાની શરતોને પૂર્ણ કરતું નથી, ત્યારથી x2 < x 1 . આમ, મૂલ્યો કે જે એક અલગ રેન્ડમ ચલ લઈ શકે છે એક્સઅમારા ઉદાહરણની શરતો અનુસાર, સમાન છે x1 = −1 અને x2 = 2 .
આ પૃષ્ઠ પર અમે શૈક્ષણિક ઉકેલોના ઉદાહરણો એકત્રિત કર્યા છે અલગ રેન્ડમ ચલો વિશે સમસ્યાઓ. આ એકદમ વ્યાપક વિભાગ છે: વિવિધ વિતરણ કાયદા (દ્વિપદી, ભૌમિતિક, હાયપરજીઓમેટ્રિક, પોઈસન અને અન્ય), ગુણધર્મો અને સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે દરેક વિતરણ શ્રેણી માટે, ગ્રાફિકલ રજૂઆતો બનાવી શકાય છે: સંભાવનાઓનું બહુકોણ (બહુકોણ), વિતરણ કાર્ય;
નીચે તમને અલગ રેન્ડમ ચલો વિશેના નિર્ણયોના ઉદાહરણો મળશે, જેમાં તમારે વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે સંભાવના સિદ્ધાંતના અગાઉના વિભાગોમાંથી જ્ઞાન લાગુ કરવાની જરૂર છે, અને પછી ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો, વિતરણ કાર્ય રચો, જવાબ આપો. ડીએસવી વગેરે વિશેના પ્રશ્નો. પી.
લોકપ્રિય સંભાવના વિતરણ કાયદાના ઉદાહરણો:
DSV લાક્ષણિકતાઓ માટે કેલ્ક્યુલેટર
- DSV ના ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી.
DSV વિશે સમસ્યાઓ હલ કરી
ભૌમિતિકની નજીકનું વિતરણ
કાર્ય 1.કારના પાથ પર 4 ટ્રાફિક લાઇટ છે, જેમાંથી દરેક 0.5 ની સંભાવના સાથે કારની આગળની હિલચાલને પ્રતિબંધિત કરે છે. પ્રથમ સ્ટોપ પહેલા કાર દ્વારા પસાર થયેલી ટ્રાફિક લાઇટની સંખ્યાની વિતરણ શ્રેણી શોધો. આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શું છે?
કાર્ય 2.શિકારી પ્રથમ હિટ સુધી રમત પર ગોળીબાર કરે છે, પરંતુ ચારથી વધુ શોટ મારવાનું સંચાલન કરે છે. જો એક શોટ વડે લક્ષ્યને ફટકારવાની સંભાવના 0.7 હોય તો ચૂકી જવાની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. આ રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધો.
કાર્ય 3.શૂટર, 3 કારતુસ ધરાવતો, પ્રથમ હિટ સુધી લક્ષ્ય પર ગોળીબાર કરે છે. પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા શોટ માટે હિટ સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.6, 0.5, 0.4 છે. એસ.વી. $\xi$ - બાકીના કારતુસની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીનું સંકલન કરો, ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, સરેરાશ શોધો પ્રમાણભૂત વિચલન r.v., r.v વિતરણ કાર્ય બનાવો, $P(|\xi-m| \le \sigma$.
કાર્ય 4.બૉક્સમાં 7 પ્રમાણભૂત અને 3 ખામીયુક્ત ભાગો છે. તેઓ ભાગોને ક્રમશઃ બહાર કાઢે છે જ્યાં સુધી પ્રમાણભૂત એક દેખાય નહીં, તેમને પાછા આપ્યા વિના. $\xi$ પુનઃપ્રાપ્ત થયેલ ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલ $\xi$ માટે વિતરણ કાયદો દોરો, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો, વિતરણ બહુકોણ અને વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ દોરો.
સ્વતંત્ર ઘટનાઓ સાથે કાર્યો
કાર્ય 5.પ્રોબેબિલિટી થિયરીમાં 3 વિદ્યાર્થીઓએ ફરીથી પરીક્ષા આપી હતી. પ્રથમ વ્યક્તિ પરીક્ષા પાસ કરશે તેવી સંભાવના 0.8, બીજી - 0.7, અને ત્રીજી - 0.9 છે. પરીક્ષામાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાના રેન્ડમ ચલ $\xi$ની વિતરણ શ્રેણી શોધો, વિતરણ કાર્યની રચના કરો, $M(\xi), D(\xi)$ શોધો.
કાર્ય 6.એક શૉટ વડે લક્ષ્યને હિટ કરવાની સંભાવના 0.8 છે અને દરેક શૉટ સાથે 0.1 ઘટે છે. જો ત્રણ ગોળી ચલાવવામાં આવે તો લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો. અપેક્ષિત મૂલ્ય, વિભિન્નતા અને S.K.O શોધો. આ રેન્ડમ ચલ. વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ દોરો.
કાર્ય 7.લક્ષ્ય પર 4 ગોળી ચલાવવામાં આવે છે. હિટની સંભાવના નીચે પ્રમાણે વધે છે: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણનો કાયદો શોધો - હિટની સંખ્યા. સંભાવના શોધો કે $X \ge 1$.
કાર્ય 8.બે સપ્રમાણતાવાળા સિક્કા ફેંકવામાં આવે છે અને સિક્કાઓની બંને બાજુઓ પરના કોટ ઓફ આર્મ્સની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે. અમે એક અલગ રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ $X$ - બંને સિક્કાઓ પરના કોટ્સ ઓફ આર્મ્સની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલ $X$ નો વિતરણ કાયદો લખો, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.
અન્ય સમસ્યાઓ અને ડીએસવીના વિતરણના કાયદા
કાર્ય 9.બે બાસ્કેટબોલ ખેલાડીઓ બાસ્કેટમાં ત્રણ શોટ બનાવે છે. પ્રથમ બાસ્કેટબોલ ખેલાડી માટે હિટ થવાની સંભાવના 0.6 છે, બીજા માટે - 0.7. પ્રથમ અને બીજા બાસ્કેટબોલ ખેલાડીઓના સફળ શોટની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $X$ છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ની વિતરણ શ્રેણી, મોડ અને વિતરણ કાર્ય શોધો. વિતરણ બહુકોણ અને વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો. અપેક્ષિત મૂલ્ય, વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો. ઘટનાની સંભાવના શોધો $(-2 \lt X \le 1)$.
સમસ્યા 10.ચોક્કસ પોર્ટ પર લોડ કરવા માટે દરરોજ આવતા શહેરની બહારના જહાજોની સંખ્યા રેન્ડમ વેરીએબલ $X$ છે, જે નીચે મુજબ છે:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
એ) ખાતરી કરો કે વિતરણ શ્રેણી ઉલ્લેખિત છે,
B) રેન્ડમ ચલ $X$ નું વિતરણ કાર્ય શોધો,
C) જો ત્રણથી વધુ જહાજો આપેલ દિવસે આવે છે, તો વધારાના ડ્રાઇવરો અને લોડરોને ભાડે રાખવાની જરૂરિયાતને કારણે પોર્ટ ખર્ચની જવાબદારી સ્વીકારે છે. પોર્ટને વધારાના ખર્ચો ભોગવવાની સંભાવના કેટલી છે?
ડી) રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.
સમસ્યા 11. 4 ફેંકો ડાઇસ. બધી બાજુઓ પર દેખાશે તે બિંદુઓની સંખ્યાના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.
સમસ્યા 12.જ્યાં સુધી આર્મ્સનો કોટ પ્રથમ દેખાય નહીં ત્યાં સુધી બંને એક સિક્કો ફેંકી દે છે. જે ખેલાડીને શસ્ત્રોનો કોટ મળ્યો છે તે બીજા ખેલાડી પાસેથી 1 રૂબલ મેળવે છે. દરેક ખેલાડી માટે જીતવાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.
જેમ જાણીતું છે, રેન્ડમ ચલ એક ચલ જથ્થો છે જે કેસના આધારે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે. રેન્ડમ ચલો સૂચવે છે મોટા અક્ષરોમાં લેટિન મૂળાક્ષરો(X, Y, Z), અને તેમના મૂલ્યો સંબંધિત લોઅરકેસ અક્ષરો (x, y, z) માં સૂચવવામાં આવે છે. અવ્યવસ્થિત ચલો વિભાજિત કરવામાં આવે છે અવ્યવસ્થિત (અલગ) અને સતત.
અલગ રેન્ડમ ચલ એક રેન્ડમ ચલ છે જે ચોક્કસ બિન-શૂન્ય સંભાવનાઓ સાથે માત્ર મર્યાદિત અથવા અનંત (ગણતરીયોગ્ય) મૂલ્યોનો સમૂહ લે છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક કાર્ય છે જે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ સાથે જોડે છે. વિતરણ કાયદો નીચેનામાંથી એક રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.
1 . વિતરણ કાયદો કોષ્ટક દ્વારા આપી શકાય છે:
જ્યાં λ>0, k = 0, 1, 2, … .
વી)ઉપયોગ કરીને વિતરણ કાર્યો F(x) , જે દરેક મૂલ્ય x માટે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ X એ x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, એટલે કે. F(x) = P(X< x).
ફંક્શન F(x) ના ગુણધર્મો
3 . વિતરણ કાયદો ગ્રાફિકલી સ્પષ્ટ કરી શકાય છે – વિતરણ બહુકોણ (બહુકોણ) (સમસ્યા 3 જુઓ).
નોંધ કરો કે કેટલીક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિતરણ કાયદો જાણવો જરૂરી નથી. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, તે એક અથવા વધુ સંખ્યાઓને જાણવા માટે પૂરતું છે જે સૌથી વધુ પ્રતિબિંબિત કરે છે મહત્વપૂર્ણ લક્ષણોવિતરણ કાયદો. આ એવી સંખ્યા હોઈ શકે છે જેનો અર્થ રેન્ડમ ચલના "સરેરાશ" નો અર્થ હોય અથવા કોઈ સંખ્યા સૂચવતી હોય સરેરાશ કદરેન્ડમ ચલનું તેના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વિચલન. આ પ્રકારની સંખ્યાઓને રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ કહેવામાં આવે છે.
એક અલગ રેન્ડમ ચલની મૂળભૂત સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ :
- ગાણિતિક અપેક્ષા
એક અલગ રેન્ડમ ચલનું (સરેરાશ મૂલ્ય). M(X)=Σ x i p i.
દ્વિપદી વિતરણ M(X)=np માટે, પોઈસન વિતરણ M(X)=λ માટે - વિક્ષેપ
અલગ રેન્ડમ ચલ D(X)=M2અથવા D(X) = M(X 2)− 2. તફાવત X–M(X) ને તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલનું વિચલન કહેવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણ D(X)=npq માટે, પોઈસન વિતરણ D(X)=λ માટે - પ્રમાણભૂત વિચલન (પ્રમાણભૂત વિચલન) σ(X)=√D(X).
"વિવિધ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો" વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો
કાર્ય 1.
1000 લોટરી ટિકિટ જારી કરવામાં આવી હતી: તેમાંથી 5 500 રુબેલ્સ જીતશે, 10 100 રુબેલ્સ જીતશે, 20 50 રુબેલ્સ જીતશે, 50 10 રુબેલ્સ જીતશે. રેન્ડમ ચલ X - ટિકિટ દીઠ જીતના સંભવિત વિતરણનો કાયદો નક્કી કરો.
ઉકેલ. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, રેન્ડમ ચલ X ના નીચેના મૂલ્યો શક્ય છે: 0, 10, 50, 100 અને 500.
જીત્યા વિના ટિકિટોની સંખ્યા 1000 છે – (5+10+20+50) = 915, પછી P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
એ જ રીતે, આપણે અન્ય તમામ સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. ચાલો પરિણામી કાયદો કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:
ચાલો X મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
કાર્ય 3.
ઉપકરણમાં ત્રણ સ્વતંત્ર રીતે ઓપરેટિંગ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. એક પ્રયોગમાં દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.1 છે. એક પ્રયોગમાં નિષ્ફળ તત્વોની સંખ્યા માટે વિતરણ કાયદો દોરો, વિતરણ બહુકોણ બનાવો. વિતરણ કાર્ય F(x) શોધો અને તેને પ્લોટ કરો. એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.
ઉકેલ. 1. અલગ રેન્ડમ ચલ X = (એક પ્રયોગમાં નિષ્ફળ ઘટકોની સંખ્યા) નીચેના સંભવિત મૂલ્યો ધરાવે છે: x 1 = 0 (ઉપકરણ ઘટકોમાંથી કોઈ નિષ્ફળ થયું નથી), x 2 = 1 (એક તત્વ નિષ્ફળ થયું), x 3 = 2 ( બે તત્વો નિષ્ફળ ) અને x 4 =3 (ત્રણ તત્વો નિષ્ફળ).
તત્વોની નિષ્ફળતાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ સમાન છે, તેથી તે લાગુ પડે છે. બર્નૌલીનું સૂત્ર
. તે ધ્યાનમાં લેતા, સ્થિતિ અનુસાર, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, અમે મૂલ્યોની સંભાવનાઓ નક્કી કરીએ છીએ:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
તપાસો: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
આમ, X ના ઇચ્છિત દ્વિપદી વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ છે:
અમે એબ્સીસા અક્ષ સાથે x i ના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ p i ને ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરીએ છીએ. ચાલો બિંદુઓ M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) બનાવીએ. આ બિંદુઓને સીધી રેખા વિભાગો સાથે જોડીને, અમે ઇચ્છિત વિતરણ બહુકોણ મેળવીએ છીએ.
3. ચાલો વિતરણ કાર્ય F(x) = Р(Х
x ≤ 0 માટે આપણી પાસે F(x) = Р(Х<0) = 0;0 માટે< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 માટે< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 માટે< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 માટે F(x) = 1 હશે, કારણ કે ઘટના વિશ્વસનીય છે.
 |
કાર્ય F(x) નો આલેખ
4.
દ્વિપદી વિતરણ X માટે:
- ગાણિતિક અપેક્ષા M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- તફાવત D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- પ્રમાણભૂત વિચલન σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
આ પૃષ્ઠ પર અમે શૈક્ષણિક સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે સંક્ષિપ્ત સિદ્ધાંત અને ઉદાહરણો એકત્રિત કર્યા છે જેમાં એક અલગ રેન્ડમ ચલ તેની વિતરણ શ્રેણી (ટેબ્યુલર સ્વરૂપ) દ્વારા પહેલેથી જ સ્પષ્ટ થયેલ છે અને તેનો અભ્યાસ કરવો જરૂરી છે: સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો, આલેખ બનાવો, વગેરે. વિતરણના જાણીતા પ્રકારોના ઉદાહરણો નીચેની લિંક્સ પર મળી શકે છે:
DSV વિશે સંક્ષિપ્ત સિદ્ધાંત
એક અલગ રેન્ડમ ચલ તેની વિતરણ શ્રેણી દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: મૂલ્યોની સૂચિ $x_i$ જે તે લઈ શકે છે અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ $p_i=P(X=x_i)$. રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર હોઈ શકે છે. નિશ્ચિતતા માટે, અમે કેસ $i=\overline(1,n)$ ને ધ્યાનમાં લઈશું. પછી અલગ રેન્ડમ ચલની ટેબ્યુલર રજૂઆત ફોર્મ ધરાવે છે:
$$ \begin(એરે)(|c|c $
આ કિસ્સામાં, સામાન્યકરણની સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન હોવો જોઈએ
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
ગ્રાફિકલી, વિતરણ શ્રેણી રજૂ કરી શકાય છે વિતરણ બહુકોણ(અથવા વિતરણ બહુકોણ). આ કરવા માટે, કોઓર્ડિનેટ્સ $(x_i,p_i)$ સાથેના બિંદુઓને પ્લેન પર પ્લોટ કરવામાં આવે છે અને તૂટેલી રેખા દ્વારા ક્રમમાં જોડાયેલા હોય છે. તમને વિગતવાર ઉદાહરણો મળશે.
DSV ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અપેક્ષિત મૂલ્ય:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
વિક્ષેપ:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
પ્રમાણભૂત વિચલન:
$$\સિગ્મા (X) = \sqrt(D(X))$$
વિવિધતાના ગુણાંક:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
સ્થિતિ: મૂલ્ય $Mo=x_k$ ઉચ્ચતમ સંભાવના સાથે $p_k=\max_i(p_i)$.
તમે DSV ના અપેક્ષિત મૂલ્ય, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવા માટે ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
DSV વિતરણ કાર્ય
વિતરણ શ્રેણીના આધારે, એક સંકલન કરી શકે છે વિતરણ કાર્યડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ $F(x)=P(X\lt x)$. આ ફંક્શન એ સંભાવનાને સ્પષ્ટ કરે છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ ચોક્કસ સંખ્યા $x$ કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે. વિગતવાર ગણતરીઓ અને આલેખ સાથેના બાંધકામના ઉદાહરણો નીચેના ઉદાહરણોમાં મળી શકે છે.
ઉકેલી સમસ્યાઓના ઉદાહરણો
કાર્ય 1.ડિસ્ટ્રિબ્યુશન શ્રેણી દ્વારા એક અલગ રેન્ડમ ચલ આપવામાં આવે છે:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
વિતરણ બહુકોણ અને વિતરણ કાર્ય $F(x)$ બનાવો. ગણતરી કરો: $M[X], D[X], \sigma[X]$, તેમજ ભિન્નતા, skewness, kurtosis, મોડ અને મધ્યકનો ગુણાંક.
કાર્ય 2.એક અલગ રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણનો કાયદો જરૂરી છે:
a) રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા M(x), ભિન્નતા D(x) અને પ્રમાણભૂત વિચલન (x) નક્કી કરો; b) આ વિતરણનો ગ્રાફ બનાવો.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02
કાર્ય 3.આપેલ વિતરણ શ્રેણી સાથે રેન્ડમ ચલ X માટે
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
A) $p_1$ અને $p_2$ શોધો જેથી $M(X)=0.5$
બી) આ પછી, રેન્ડમ વેરીએબલ $X$ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો અને તેના વિતરણ કાર્યને પ્લોટ કરો
કાર્ય 4.અલગ SV $X$ માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: $x_1$ અને $x_2$, અને $x_1 \lt x_2$. સંભવિત મૂલ્યની સંભાવના $P$, ગાણિતિક અપેક્ષા $M(x)$ અને તફાવત $D(x)$ જાણીતો છે. શોધો: 1) આ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો; 2) SV વિતરણ કાર્ય $X$; 3) $F(x)$ નો ગ્રાફ બનાવો.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$
કાર્ય 5.રેન્ડમ ચલ X ત્રણ મૂલ્યો લે છે: 2, 4 અને 6. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ શોધો જો $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.
કાર્ય 6.અલગ r.v ના વિતરણની શ્રેણી આપવામાં આવે છે. $X$. r.v ની સ્થિતિ અને વિક્ષેપની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો. $X$. m.o શોધો અને વિક્ષેપ આર.વી. $Y=X/2-2$, r.v વિતરણ શ્રેણી લખ્યા વિના. $Y$, જનરેટીંગ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને પરિણામ તપાસો.
r.v વિતરણ કાર્ય બનાવો. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 24 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
કાર્ય 7.એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$નું વિતરણ નીચેના કોષ્ટક (વિતરણ પંક્તિ) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
વિતરણ કોષ્ટકમાં ખૂટતું મૂલ્ય નક્કી કરો. વિતરણની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરો: $M_x, D_x, \sigma_x$. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન $F(x)$ શોધો અને બનાવો. સંભવિતતા નક્કી કરો કે રેન્ડમ ચલ $X$ નીચેના મૂલ્યો લેશે:
એ) 6 થી વધુ,
બી) 12 કરતા ઓછા,
સી) 9 કરતાં વધુ નહીં.
કાર્ય 8.સમસ્યાને શોધવાની જરૂર છે: a) ગાણિતિક અપેક્ષા; b) વિખેરવું; c) કોષ્ટકમાં આપેલ તેના વિતરણના આપેલ કાયદા અનુસાર અલગ રેન્ડમ ચલ Xનું પ્રમાણભૂત વિચલન (કોષ્ટકની પ્રથમ પંક્તિ સંભવિત મૂલ્યો સૂચવે છે, બીજી પંક્તિ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સૂચવે છે).
કાર્ય 9.એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$નો વિતરણ કાયદો આપેલ છે (પ્રથમ લીટી $x_i$ ના સંભવિત મૂલ્યો બતાવે છે, બીજી લીટી $p_i$ ના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ દર્શાવે છે).
શોધો:
A) ગાણિતિક અપેક્ષા $M(X)$, ભિન્નતા $D(X)$ અને પ્રમાણભૂત વિચલન $\sigma(X)$;
બી) રેન્ડમ ચલ $F(x)$ નું વિતરણ કાર્ય કંપોઝ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો;
C) સંકલિત વિતરણ કાર્ય $F(x)$ નો ઉપયોગ કરીને $x_2 \lt X \lt x_4$ માં આવતા રેન્ડમ ચલ $X$ની સંભાવનાની ગણતરી કરો;
ડી) મૂલ્ય $Y=100-2X$ માટે વિતરણ કાયદો બનાવો;
ડી) બે રીતે સંકલિત રેન્ડમ ચલ $Y$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાની ગણતરી કરો, એટલે કે. લાભ લેવો
ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપની મિલકત, તેમજ સીધા જ રેન્ડમ ચલ $Y$ ના વિતરણ કાયદા અનુસાર.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
સમસ્યા 10.એક અલગ રેન્ડમ ચલ કોષ્ટકને આપવામાં આવે છે. 4 થી ક્રમ સહિત તેની પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય ક્ષણોની ગણતરી કરો. ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધો $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0.3 0.6 0.9 1.2
પી 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
