માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ગાણિતિક અપેક્ષા - આ ડેટા પરથી ગણતરી કરેલ અંતરાલ છે જે જાણીતી સંભાવના સાથે, સામાન્ય વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષા ધરાવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષા માટે કુદરતી અંદાજ તેના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે. તેથી, સમગ્ર પાઠ દરમિયાન આપણે "સરેરાશ" અને "સરેરાશ મૂલ્ય" શબ્દોનો ઉપયોગ કરીશું. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરીની સમસ્યાઓમાં, જવાબની મોટાભાગે આવશ્યકતા હોય છે "સરેરાશ સંખ્યાનો વિશ્વાસ અંતરાલ [ચોક્કસ સમસ્યામાં] [નાના મૂલ્ય] થી [મોટા મૂલ્ય] સુધીનો છે." આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને, તમે માત્ર સરેરાશ મૂલ્યોનું જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય વસ્તીની ચોક્કસ લાક્ષણિકતાના પ્રમાણનું પણ મૂલ્યાંકન કરી શકો છો. સરેરાશ મૂલ્યો, વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન અને ભૂલ, જેના દ્વારા આપણે નવી વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રો પર પહોંચીશું, પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવી છે. નમૂના અને વસ્તીની લાક્ષણિકતાઓ .
સરેરાશના બિંદુ અને અંતરાલ અંદાજ
જો વસ્તીનું સરેરાશ મૂલ્ય સંખ્યા (બિંદુ) દ્વારા અંદાજવામાં આવે છે, તો ચોક્કસ સરેરાશ, જે અવલોકનોના નમૂનામાંથી ગણવામાં આવે છે, તે વસ્તીના અજાણ્યા સરેરાશ મૂલ્યના અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, નમૂના સરેરાશ મૂલ્ય છે રેન્ડમ ચલ- વસ્તીના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે સુસંગત નથી. તેથી, નમૂનાનો અર્થ સૂચવતી વખતે, તમારે એક સાથે નમૂનાની ભૂલ દર્શાવવી આવશ્યક છે. નમૂનાની ભૂલનું માપ એ પ્રમાણભૂત ભૂલ છે, જે સરેરાશ સમાન એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે. તેથી, નીચેના સંકેતોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: .
જો સરેરાશના અંદાજને ચોક્કસ સંભાવના સાથે સાંકળવાની જરૂર હોય, તો વસ્તીમાં રસના પરિમાણનું મૂલ્યાંકન એક સંખ્યા દ્વારા નહીં, પરંતુ અંતરાલ દ્વારા થવું જોઈએ. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ એક અંતરાલ છે જેમાં ચોક્કસ સંભાવના સાથે પીઅંદાજિત વસ્તી સૂચકનું મૂલ્ય જોવા મળે છે. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ જેમાં તે સંભવિત છે પી = 1 - α રેન્ડમ ચલ જોવા મળે છે, જેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
,
α = 1 - પી, જે આંકડા પરના લગભગ કોઈપણ પુસ્તકના પરિશિષ્ટમાં મળી શકે છે.
વ્યવહારમાં, વસ્તીનો અર્થ અને ભિન્નતા જાણીતી નથી, તેથી વસ્તી તફાવતને નમૂનાના તફાવત દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને વસ્તીનો અર્થ નમૂનાના સરેરાશ દ્વારા થાય છે. આમ, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી નીચે મુજબ કરવામાં આવે છે:
.
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્રનો ઉપયોગ વસ્તીના અર્થનો અંદાજ કાઢવા માટે કરી શકાય છે જો
- વસ્તીનું પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું છે;
- અથવા વસ્તીનું પ્રમાણભૂત વિચલન અજ્ઞાત છે, પરંતુ નમૂનાનું કદ 30 કરતા વધારે છે.
નમૂનાનો સરેરાશ એ વસ્તીના સરેરાશનો નિષ્પક્ષ અંદાજ છે. બદલામાં, નમૂના તફાવત 
વસ્તી તફાવતનો નિષ્પક્ષ અંદાજ નથી. સેમ્પલ વેરિઅન્સ ફોર્મ્યુલા, સેમ્પલ સાઈઝમાં વસ્તી ભિન્નતાનો નિષ્પક્ષ અંદાજ મેળવવા માટે nદ્વારા બદલવી જોઈએ n-1.
ઉદાહરણ 1.ચોક્કસ શહેરમાં 100 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરાયેલા કાફેમાંથી માહિતી એકત્રિત કરવામાં આવી હતી કે તેમાં કર્મચારીઓની સરેરાશ સંખ્યા 4.6 ના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે 10.5 છે. વ્યાખ્યાયિત કરો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 95% કાફે કામદારો.
મહત્વના સ્તર માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે α = 0,05 .
આમ, કાફે કર્મચારીઓની સરેરાશ સંખ્યા માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 9.6 થી 11.4 સુધીનો હતો.
ઉદાહરણ 2. 64 અવલોકનોની વસ્તીમાંથી રેન્ડમ નમૂના માટે, નીચેના કુલ મૂલ્યોની ગણતરી કરવામાં આવી હતી:
અવલોકનોમાં મૂલ્યોનો સરવાળો,
સરેરાશથી મૂલ્યોના ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો 
.
ગાણિતિક અપેક્ષા માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરો.
ચાલો પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરીએ:
,
ચાલો સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરીએ:
.
અમે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ માટે અભિવ્યક્તિમાં મૂલ્યોને બદલીએ છીએ:
મહત્વના સ્તર માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે α = 0,05 .
અમને મળે છે:
આમ, આ નમૂનાની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ 7.484 થી 11.266 સુધીનો હતો.
ઉદાહરણ 3. 100 અવલોકનોના રેન્ડમ વસ્તી નમૂના માટે, ગણતરી કરેલ સરેરાશ 15.2 છે અને પ્રમાણભૂત વિચલન 3.2 છે. અપેક્ષિત મૂલ્ય માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરો, પછી 99% વિશ્વાસ અંતરાલ. જો સેમ્પલ પાવર અને તેની ભિન્નતા યથાવત રહે છે અને આત્મવિશ્વાસ ગુણાંક વધે છે, તો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સાંકડો કે પહોળો થશે?
અમે આ મૂલ્યોને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:
મહત્વના સ્તર માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે α = 0,05 .
અમને મળે છે:
.
આમ, આ નમૂનાના સરેરાશ માટે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 14.57 થી 15.82 સુધીનો હતો.
અમે ફરીથી આ મૂલ્યોને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:
મહત્વના સ્તર માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય ક્યાં છે α = 0,01 .
અમને મળે છે:
.
આમ, આ નમૂનાના સરેરાશ માટે 99% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 14.37 થી 16.02 સુધીનો હતો.
જેમ આપણે જોઈએ છીએ, જેમ જેમ આત્મવિશ્વાસ ગુણાંક વધે છે તેમ, પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય પણ વધે છે, અને પરિણામે, અંતરાલના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ સરેરાશથી આગળ સ્થિત છે, અને આ રીતે ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ વધે છે. .
ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણના બિંદુ અને અંતરાલ અંદાજ
કેટલાક સેમ્પલ એટ્રિબ્યુટના શેરને બિંદુ અંદાજ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ પીસામાન્ય વસ્તીમાં સમાન લાક્ષણિકતા. જો આ મૂલ્યને સંભાવના સાથે સાંકળવાની જરૂર હોય, તો ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવી જોઈએ. પીસંભાવના સાથે વસ્તીમાં લાક્ષણિકતા પી = 1 - α :
.
ઉદાહરણ 4.અમુક શહેરમાં બે ઉમેદવારો છે એઅને બીમેયર માટે દોડી રહ્યા છે. 200 શહેરના રહેવાસીઓનું રેન્ડમલી સર્વે કરવામાં આવ્યું હતું, જેમાંથી 46% લોકોએ જવાબ આપ્યો કે તેઓ ઉમેદવારને મત આપશે એ, 26% - ઉમેદવાર માટે બીઅને 28% લોકોને ખબર નથી કે તેઓ કોને મત આપશે. ઉમેદવારને ટેકો આપતા શહેરના રહેવાસીઓના પ્રમાણ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો એ.
કોઈપણ નમૂના સામાન્ય વસ્તીનો માત્ર અંદાજિત ખ્યાલ આપે છે, અને તમામ નમૂનાની આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓ (મીન, મોડ, ભિન્નતા...) અમુક અંદાજો છે અથવા સામાન્ય પરિમાણોનો અંદાજ કહો, જે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં કારણે ગણતરી કરવી શક્ય નથી. સામાન્ય વસ્તીની અપ્રાપ્યતા માટે (આકૃતિ 20).
આકૃતિ 20. નમૂનાની ભૂલ
પરંતુ તમે અંતરાલનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો જેમાં, ચોક્કસ અંશની સંભાવના સાથે, આંકડાકીય લાક્ષણિકતાનું સાચું (સામાન્ય) મૂલ્ય આવેલું છે. આ અંતરાલ કહેવામાં આવે છે ડી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (CI).
તેથી 95% ની સંભાવના સાથે સામાન્ય સરેરાશ મૂલ્ય અંદર આવેલું છે
થી, (20)
જ્યાં t – કોષ્ટક મૂલ્યમાટે વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ α =0.05 અને f= n-1
આ કિસ્સામાં, 99% CI પણ મળી શકે છે t માટે પસંદ કરેલ છે α =0,01.
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું વ્યવહારિક મહત્વ શું છે?
વિશાળ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂચવે છે કે નમૂનાનો અર્થ વસ્તીના સરેરાશને ચોક્કસ રીતે પ્રતિબિંબિત કરતું નથી. આ સામાન્ય રીતે અપૂરતા નમૂનાના કદને કારણે અથવા તેની વિજાતીયતાને કારણે થાય છે, એટલે કે. વિશાળ ફેલાવો. તેઓ બંને આપે છે મોટી ભૂલસરેરાશ અને, તે મુજબ, વ્યાપક CI. અને આ સંશોધન આયોજન તબક્કામાં પાછા ફરવાનો આધાર છે.
CI ની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ એક અંદાજ પૂરો પાડે છે કે શું પરિણામો તબીબી રીતે નોંધપાત્ર હશે
ચાલો જૂથ ગુણધર્મોના અભ્યાસના પરિણામોના આંકડાકીય અને તબીબી મહત્વના પ્રશ્ન પર થોડી વિગતમાં રહીએ. ચાલો યાદ રાખીએ કે આંકડાનું કાર્ય નમૂનાના ડેટાના આધારે સામાન્ય વસ્તીમાં ઓછામાં ઓછા કેટલાક તફાવતો શોધવાનું છે. ચિકિત્સકો માટે પડકાર એ તફાવતો શોધવાનો છે (માત્ર કોઈ નહીં) જે નિદાન અથવા સારવારમાં મદદ કરશે. અને આંકડાકીય તારણો હંમેશા ક્લિનિકલ તારણો માટેનો આધાર નથી. આમ, હિમોગ્લોબિનમાં 3 g/l નો આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર ઘટાડો ચિંતાનું કારણ નથી. અને, તેનાથી વિપરિત, જો માનવ શરીરમાં કેટલીક સમસ્યા સમગ્ર વસ્તીના સ્તરે વ્યાપક નથી, તો આ સમસ્યાનો સામનો ન કરવાનો આ કોઈ કારણ નથી.
|
ચાલો આ પરિસ્થિતિ જોઈએ ઉદાહરણ. સંશોધકોએ આશ્ચર્ય વ્યક્ત કર્યું કે શું છોકરાઓ જેઓ અમુક પ્રકારના ચેપી રોગથી પીડિત છે તેઓ વૃદ્ધિમાં તેમના સાથીદારો કરતાં પાછળ છે. આ હેતુ માટે, તે હાથ ધરવામાં આવી હતી નમૂના સર્વેક્ષણ, જેમાં આ રોગથી પીડિત 10 છોકરાઓએ ભાગ લીધો હતો. પરિણામો કોષ્ટક 23 માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. કોષ્ટક 23. આંકડાકીય પ્રક્રિયાના પરિણામો
આ ગણતરીઓ પરથી તે અનુસરે છે કે નમૂના સરેરાશ ઊંચાઇ 10 વર્ષના છોકરાઓ જેમણે કેટલાક સહન કર્યા હતા ચેપ, સામાન્યની નજીક (132.5 સે.મી.). જો કે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી મર્યાદા (126.6 સે.મી.) સૂચવે છે કે 95% સંભાવના છે કે આ બાળકોની સાચી સરેરાશ ઊંચાઈ "ટૂંકી ઊંચાઈ" ના ખ્યાલને અનુરૂપ છે, એટલે કે. આ બાળકો સ્ટંટેડ છે. આ ઉદાહરણમાં, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરીના પરિણામો તબીબી રીતે નોંધપાત્ર છે. |
|||||||||||||||||||
આંકડાકીય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓમાંની એક વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી છે. તેનો ઉપયોગ વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ વિકલ્પ તરીકે થાય છે બિંદુ અંદાજનાના નમૂનાના કદ સાથે. એ નોંધવું જોઇએ કે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા પોતે જ તદ્દન જટિલ છે. પરંતુ એક્સેલ ટૂલ્સ તેને કંઈક અંશે સરળ બનાવે છે. ચાલો જોઈએ કે વ્યવહારમાં આ કેવી રીતે થાય છે.
આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વિવિધના અંતરાલ અંદાજ માટે થાય છે આંકડાકીય માત્રા. આ ગણતરીનું મુખ્ય કાર્ય બિંદુ અંદાજની અનિશ્ચિતતાઓથી છુટકારો મેળવવાનું છે.
એક્સેલમાં, ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરવા માટે બે મુખ્ય વિકલ્પો છે આ પદ્ધતિ: જ્યારે ભિન્નતા જાણીતી છે અને જ્યારે તે અજાણ છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, કાર્યનો ઉપયોગ ગણતરી માટે થાય છે TRUST.NORM, અને બીજામાં - TRUSTEE.STUDENT.
પદ્ધતિ 1: કોન્ફિડન્સ નોર્મ ફંક્શન
ઓપરેટર TRUST.NORM, જે ફંક્શન્સના આંકડાકીય જૂથ સાથે સંબંધિત છે, તે સૌપ્રથમ એક્સેલ 2010 માં દેખાયું હતું. આ પ્રોગ્રામના અગાઉના સંસ્કરણો તેના એનાલોગનો ઉપયોગ કરે છે. વિશ્વાસ. આ ઓપરેટરનો હેતુ વસ્તીના સરેરાશ માટે સામાન્ય રીતે વિતરિત વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાનો છે.
તેની વાક્યરચના નીચે મુજબ છે.
CONFIDENCE.NORM(આલ્ફા;સ્ટાન્ડર્ડ_ઓફ;સાઇઝ)
"આલ્ફા"- એક દલીલ જે મહત્વના સ્તરને દર્શાવે છે જેનો ઉપયોગ વિશ્વાસ સ્તરની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. આત્મવિશ્વાસ સ્તર નીચેના અભિવ્યક્તિ સમાન છે:
(1-"આલ્ફા")*100
« પ્રમાણભૂત વિચલન» - આ એક દલીલ છે, જેનો સાર નામ પરથી સ્પષ્ટ છે. આ સૂચિત નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે.
"કદ"- નમૂનાના કદને વ્યાખ્યાયિત કરતી દલીલ.
આ ઓપરેટરને બધી દલીલો જરૂરી છે.
કાર્ય વિશ્વાસઅગાઉના એક જેવી જ દલીલો અને શક્યતાઓ છે. તેની વાક્યરચના છે:
TRUST(આલ્ફા, માનક_બંધ, કદ)
જેમ તમે જોઈ શકો છો, તફાવતો ફક્ત ઓપરેટરના નામમાં છે. ઉલ્લેખિત કાર્યસુસંગતતાના કારણોસર, એક્સેલ 2010 માં બાકી છે અને વિશેષ શ્રેણીમાં નવી આવૃત્તિઓ "સુસંગતતા". એક્સેલ 2007 અને તેના પહેલાના સંસ્કરણોમાં, તે આંકડાકીય ઓપરેટરોના મુખ્ય જૂથમાં હાજર છે.
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મર્યાદા નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે:
X+(-)કોન્ફિડન્સ નોર્મ
જ્યાં એક્સસરેરાશ નમૂના મૂલ્ય છે, જે પસંદ કરેલ શ્રેણીની મધ્યમાં સ્થિત છે.
હવે ચાલો ચોક્કસ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જોઈએ. 12 પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેના પરિણામે કોષ્ટકમાં વિવિધ પરિણામોની જાણ કરવામાં આવી હતી. આ આપણી સંપૂર્ણતા છે. પ્રમાણભૂત વિચલન 8 છે. આપણે 97% આત્મવિશ્વાસ સ્તર પર વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
- સેલ પસંદ કરો જ્યાં ડેટા પ્રોસેસિંગનું પરિણામ પ્રદર્શિત થશે. બટન પર ક્લિક કરો "કાર્ય દાખલ કરો".
- દેખાય છે કાર્ય વિઝાર્ડ. શ્રેણી પર જાઓ "આંકડાકીય"અને નામ પ્રકાશિત કરો "TRUST.NORM". તે પછી, બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- દલીલો વિન્ડો ખુલે છે. તેના ક્ષેત્રો સ્વાભાવિક રીતે દલીલોના નામોને અનુરૂપ છે.
કર્સરને પ્રથમ ફીલ્ડમાં મૂકો - "આલ્ફા". અહીં આપણે મહત્વના સ્તરને સૂચવવું જોઈએ. જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, અમારું વિશ્વાસનું સ્તર 97% છે. તે જ સમયે, અમે કહ્યું કે તે આ રીતે ગણવામાં આવે છે:(1-ટ્રસ્ટ લેવલ)/100
એટલે કે, મૂલ્યને બદલીને, આપણને મળે છે:
સરળ ગણતરીઓ દ્વારા આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે દલીલ "આલ્ફા"બરાબર 0,03 . ક્ષેત્રમાં આ મૂલ્ય દાખલ કરો.
જેમ જાણીતું છે, શરત દ્વારા પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે 8 . તેથી, ક્ષેત્રમાં "પ્રમાણભૂત વિચલન"ફક્ત આ નંબર લખો.
ક્ષેત્રમાં "કદ"તમારે પરીક્ષણ ઘટકોની સંખ્યા દાખલ કરવાની જરૂર છે. જેમ આપણે યાદ કરીએ છીએ, તેમના 12 . પરંતુ ફોર્મ્યુલાને સ્વચાલિત કરવા અને દર વખતે જ્યારે આપણે નવી કસોટી કરીએ ત્યારે તેને સંપાદિત ન કરવા માટે, ચાલો આ મૂલ્યને સામાન્ય સંખ્યા સાથે નહીં, પરંતુ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને સેટ કરીએ. તપાસો. તો, ચાલો કર્સરને ક્ષેત્રમાં મૂકીએ "કદ", અને પછી ત્રિકોણ પર ક્લિક કરો, જે ફોર્મ્યુલા બારની ડાબી બાજુએ સ્થિત છે.
તાજેતરમાં વપરાયેલ કાર્યોની સૂચિ દેખાય છે. જો ઓપરેટર તપાસોતમારા દ્વારા તાજેતરમાં ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે, તે આ સૂચિમાં હોવો જોઈએ. આ કિસ્સામાં, તમારે ફક્ત તેના નામ પર ક્લિક કરવાની જરૂર છે. નહિંતર, જો તમને તે ન મળે, તો પછી બિંદુ પર જાઓ "અન્ય કાર્યો...".
- પહેલેથી જ પરિચિત દેખાય છે કાર્ય વિઝાર્ડ. ચાલો ફરીથી જૂથ પર પાછા જઈએ "આંકડાકીય". અમે ત્યાં નામ પ્રકાશિત કરીએ છીએ "ચેક". બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- ઉપરોક્ત નિવેદન માટે દલીલ વિન્ડો દેખાય છે. આ ફંક્શનને આંકડાકીય મૂલ્યો ધરાવતી ચોક્કસ શ્રેણીમાં કોષોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે. તેની વાક્યરચના નીચે મુજબ છે.
COUNT(મૂલ્ય1,મૂલ્ય2,…)
દલીલ જૂથ "મૂલ્યો"એ શ્રેણીનો સંદર્ભ છે જેમાં તમે સંખ્યાત્મક ડેટાથી ભરેલા કોષોની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માંગો છો. આવી કુલ 255 જેટલી દલીલો હોઈ શકે છે, પરંતુ અમારા કિસ્સામાં અમને ફક્ત એકની જરૂર છે.
ક્ષેત્રમાં કર્સર મૂકો "મૂલ્ય1"અને, ડાબું માઉસ બટન દબાવી રાખીને, શીટ પર અમારું સંગ્રહ સમાવિષ્ટ શ્રેણી પસંદ કરો. પછી તેનું સરનામું ક્ષેત્રમાં પ્રદર્શિત થશે. બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- આ પછી, એપ્લિકેશન ગણતરી કરશે અને પરિણામ જ્યાં તે સ્થિત છે તે કોષમાં પ્રદર્શિત કરશે. અમારા ચોક્કસ કિસ્સામાં, સૂત્ર આના જેવું દેખાતું હતું:
કોન્ફિડન્સ નોર્મ(0.03,8,COUNT(B2:B13))
ગણતરીઓનું એકંદર પરિણામ આવ્યું 5,011609 .
- પરંતુ તે બધુ જ નથી. જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મર્યાદા નમૂનાના સરેરાશમાંથી ગણતરી પરિણામ ઉમેરીને અને બાદબાકી કરીને ગણવામાં આવે છે. TRUST.NORM. આ રીતે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની જમણી અને ડાબી સીમાઓ અનુક્રમે ગણવામાં આવે છે. ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાનો અર્થ પોતે જ ગણતરી કરી શકાય છે સરેરાશ.
આ ઓપરેટર પસંદ કરેલ સંખ્યાઓની શ્રેણીના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે રચાયેલ છે. તે નીચેની એકદમ સરળ વાક્યરચના ધરાવે છે:
સરેરાશ(નંબર1,નંબર2,…)
દલીલ "નંબર"ક્યાં તો અલગ હોઈ શકે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, અને કોષોની લિંક અથવા તો સમગ્ર રેન્જ કે જેમાં તે શામેલ છે.
તેથી, સેલ પસંદ કરો જેમાં સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી દર્શાવવામાં આવશે, અને બટન પર ક્લિક કરો "કાર્ય દાખલ કરો".
- ખુલે છે કાર્ય વિઝાર્ડ. શ્રેણી પર પાછા જવું "આંકડાકીય"અને યાદીમાંથી નામ પસંદ કરો "સરેરાશ". હંમેશની જેમ, બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- દલીલો વિન્ડો ખુલે છે. ક્ષેત્રમાં કર્સર મૂકો "ક્રમ 1"અને ડાબું માઉસ બટન દબાવી રાખીને, મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણી પસંદ કરો. ક્ષેત્રમાં કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રદર્શિત થયા પછી, બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- એના પછી સરેરાશશીટ તત્વમાં ગણતરી પરિણામ દર્શાવે છે.
- અમે ગણતરી કરીએ છીએ જમણી સરહદઆત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આ કરવા માટે, એક અલગ કોષ પસંદ કરો અને ચિહ્ન મૂકો «=»
અને શીટ ઘટકોની સામગ્રી ઉમેરો જેમાં કાર્ય ગણતરીના પરિણામો સ્થિત છે સરેરાશઅને TRUST.NORM. ગણતરી કરવા માટે, બટન દબાવો દાખલ કરો. અમારા કિસ્સામાં, અમને નીચેનું સૂત્ર મળ્યું:
ગણતરી પરિણામ: 6,953276
- તે જ રીતે આપણે વિશ્વાસ અંતરાલની ડાબી મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ, માત્ર આ વખતે ગણતરીના પરિણામમાંથી સરેરાશઓપરેટરની ગણતરીના પરિણામ બાદ કરો TRUST.NORM. અમારા ઉદાહરણ માટે પરિણામી સૂત્ર નીચેના પ્રકારનું છે:
ગણતરી પરિણામ: -3,06994
- અમે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટેના તમામ પગલાઓનું વિગતવાર વર્ણન કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, તેથી અમે દરેક સૂત્રનું વિગતવાર વર્ણન કર્યું. પરંતુ તમે બધી ક્રિયાઓને એક સૂત્રમાં જોડી શકો છો. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની જમણી સીમાની ગણતરી નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
સરેરાશ(B2:B13)+CONFIDENCE.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
- ડાબી સરહદ માટે સમાન ગણતરી આના જેવી દેખાશે:
સરેરાશ(B2:B13)-CONFIDENCE.NORM(0.03,8,COUNT(B2:B13))
પદ્ધતિ 2: TRUST.STUDENT કાર્ય
વધુમાં, એક્સેલમાં બીજું કાર્ય છે જે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી સાથે સંકળાયેલું છે - TRUSTEE.STUDENT. તે માત્ર એક્સેલ 2010 માં દેખાયું હતું. આ ઓપરેટર વિદ્યાર્થી વિતરણનો ઉપયોગ કરીને વસ્તી વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરે છે. જ્યારે ભિન્નતા અને તે મુજબ, પ્રમાણભૂત વિચલન અજ્ઞાત હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ અનુકૂળ છે. ઓપરેટર સિન્ટેક્સ છે:
CONFIDENCE.STUDENT(આલ્ફા,સ્ટાન્ડર્ડ_ઓફ,સાઇઝ)
જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ કેસમાં ઓપરેટરોના નામો યથાવત રહ્યા હતા.
ચાલો જોઈએ કે આપણે અગાઉની પદ્ધતિમાં ધ્યાનમાં લીધેલા સમાન વસ્તીના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. ચાલો છેલ્લી વખત 97% પર વિશ્વાસનું સ્તર લઈએ.
- કોષ પસંદ કરો જેમાં ગણતરી કરવામાં આવશે. બટન પર ક્લિક કરો "કાર્ય દાખલ કરો".
- માં ખોલ્યું કાર્ય વિઝાર્ડશ્રેણી પર જાઓ "આંકડાકીય". એક નામ પસંદ કરો "વિશ્વાસુ વિદ્યાર્થી". બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- ઉલ્લેખિત ઓપરેટર માટેની દલીલો વિન્ડો શરૂ કરવામાં આવી છે.
ક્ષેત્રમાં "આલ્ફા", આપેલ છે કે વિશ્વાસ સ્તર 97% છે, અમે સંખ્યા લખીએ છીએ 0,03 . બીજી વખત અમે આ પરિમાણની ગણતરીના સિદ્ધાંતો પર ધ્યાન આપીશું નહીં.
આ પછી, કર્સરને ક્ષેત્રમાં મૂકો "પ્રમાણભૂત વિચલન". આ વખતે આ સૂચક આપણા માટે અજાણ છે અને તેની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. આ એક વિશેષ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે - STDEV.V. આ ઓપરેટરની વિન્ડો ખોલવા માટે, ફોર્મ્યુલા બારની ડાબી બાજુના ત્રિકોણ પર ક્લિક કરો. જો અમને ખુલતી સૂચિમાં ઇચ્છિત નામ ન મળે, તો પછી આઇટમ પર જાઓ "અન્ય કાર્યો...".
- શરૂ થાય છે કાર્ય વિઝાર્ડ. શ્રેણીમાં ખસેડવું "આંકડાકીય"અને તેમાં નામ ચિહ્નિત કરો "STDEV.V". પછી બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- દલીલો વિન્ડો ખુલે છે. ઓપરેટરનું કાર્ય STDEV.Vનમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન નક્કી કરવાનું છે. તેનું વાક્યરચના આના જેવું દેખાય છે:
માનક વિચલન.B(નંબર1;નંબર2;…)
અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે દલીલ "નંબર"પસંદગી તત્વનું સરનામું છે. જો પસંદગી એક જ એરેમાં મૂકવામાં આવી હોય, તો તમે આ શ્રેણીની લિંક પ્રદાન કરવા માટે માત્ર એક દલીલનો ઉપયોગ કરી શકો છો.
ક્ષેત્રમાં કર્સર મૂકો "ક્રમ 1"અને, હંમેશની જેમ, ડાબું માઉસ બટન દબાવી રાખીને, સંગ્રહ પસંદ કરો. કોઓર્ડિનેટ્સ ફીલ્ડમાં આવ્યા પછી, બટન દબાવવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં "બરાબર", કારણ કે પરિણામ ખોટું હશે. પ્રથમ આપણે ઓપરેટર દલીલો વિન્ડો પર પાછા જવાની જરૂર છે TRUSTEE.STUDENTઅંતિમ દલીલ ઉમેરવા માટે. આ કરવા માટે, ફોર્મ્યુલા બારમાં સંબંધિત નામ પર ક્લિક કરો.
- પહેલેથી જ પરિચિત કાર્ય માટે દલીલ વિન્ડો ફરીથી ખુલે છે. ક્ષેત્રમાં કર્સર મૂકો "કદ". ફરીથી, ઓપરેટરોની પસંદગી પર જવા માટે આપણે પહેલાથી જ પરિચિત છીએ તે ત્રિકોણ પર ક્લિક કરો. જેમ તમે સમજો છો, અમને નામની જરૂર છે "ચેક". અમે ઉપયોગ કર્યો ત્યારથી આ કાર્યઅગાઉની પદ્ધતિમાં ગણતરી કરતી વખતે, તે આ સૂચિમાં હાજર છે, તેથી ફક્ત તેના પર ક્લિક કરો. જો તમને તે ન મળે, તો પછી પ્રથમ પદ્ધતિમાં વર્ણવેલ અલ્ગોરિધમનો અનુસરો.
- એકવાર દલીલો વિંડોમાં તપાસો, કર્સરને ક્ષેત્રમાં મૂકો "ક્રમ 1"અને માઉસ બટન દબાવી રાખીને, સંગ્રહ પસંદ કરો. પછી બટન પર ક્લિક કરો "બરાબર".
- આ પછી, પ્રોગ્રામ ગણતરી કરે છે અને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
- સીમાઓ નક્કી કરવા માટે, આપણે ફરીથી નમૂનાના સરેરાશની ગણતરી કરવાની જરૂર પડશે. પરંતુ, આપેલ છે કે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી અલ્ગોરિધમ સરેરાશઅગાઉની પદ્ધતિની જેમ જ, અને પરિણામ પણ બદલાયું નથી, અમે બીજી વાર આના પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં.
- ગણતરીના પરિણામો ઉમેરી રહ્યા છીએ સરેરાશઅને TRUSTEE.STUDENT, અમે વિશ્વાસ અંતરાલની યોગ્ય મર્યાદા મેળવીએ છીએ.
- ઓપરેટરના ગણતરીના પરિણામોમાંથી બાદબાકી સરેરાશગણતરી પરિણામ TRUSTEE.STUDENT, અમારી પાસે કોન્ફિડન્સ અંતરાલની ડાબી મર્યાદા છે.
- જો ગણતરી એક સૂત્રમાં લખવામાં આવે છે, તો પછી અમારા કિસ્સામાં જમણી સીમાની ગણતરી આના જેવી દેખાશે:
સરેરાશ(B2:B13)+કોન્ફિડન્સ.વિદ્યાર્થી(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))
- તદનુસાર, ડાબી સરહદની ગણતરી માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:
સરેરાશ(B2:B13)-કોન્ફિડન્સ.વિદ્યાર્થી(0.03,STDEV.B(B2:B13),COUNT(B2:B13))
જેમ તમે જોઈ શકો છો, સાધનો એક્સેલ પ્રોગ્રામ્સઆત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અને તેની સીમાઓની ગણતરીને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવાનું શક્ય બનાવે છે. આ હેતુઓ માટે, સેમ્પલ માટે અલગ ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેનું વિચલન જાણીતું અને અજ્ઞાત છે.
લક્ષ્ય- વિદ્યાર્થીઓને આંકડાકીય પરિમાણોના આત્મવિશ્વાસના અંતરાલની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ્સ શીખવો.
આંકડાકીય રીતે ડેટાની પ્રક્રિયા કરતી વખતે, ગણતરી કરેલ અંકગણિત સરેરાશ, વિવિધતાના ગુણાંક, સહસંબંધ ગુણાંક, તફાવત માપદંડો અને અન્ય બિંદુના આંકડાઓને માત્રાત્મક વિશ્વાસ મર્યાદા પ્રાપ્ત થવી જોઈએ, જે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની અંદર નાની અને મોટી દિશામાં સૂચકની સંભવિત વધઘટ દર્શાવે છે.
ઉદાહરણ 3.1
.
વાંદરાઓના લોહીના સીરમમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ, અગાઉ સ્થાપિત કર્યા મુજબ, નીચેના નમૂના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: = 11.94 મિલિગ્રામ%; 
= 0.127 એમજી%; n= 100. સામાન્ય સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવું જરૂરી છે 
) આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે પી
= 0,95.
સામાન્ય સરેરાશ અંતરાલમાં ચોક્કસ સંભાવના સાથે સ્થિત છે:
, ક્યાં 
- નમૂના અંકગણિત સરેરાશ; t- વિદ્યાર્થીની કસોટી; 
- અંકગણિત સરેરાશની ભૂલ.
કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને "વિદ્યાર્થીનું ટી-ટેસ્ટ મૂલ્યો" આપણે મૂલ્ય શોધીએ છીએ
0.95 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે k= 100-1 = 99. તે 1.982 બરાબર છે. અંકગણિત સરેરાશ અને આંકડાકીય ભૂલના મૂલ્યો સાથે, અમે તેને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:
અથવા 11.69 
12,19
આમ, 95% ની સંભાવના સાથે, એવું કહી શકાય કે આ સામાન્ય વિતરણની સામાન્ય સરેરાશ 11.69 અને 12.19 mg% ની વચ્ચે છે.
ઉદાહરણ 3.2
. માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની મર્યાદા નક્કી કરો સામાન્ય તફાવત (
) વાંદરાઓના લોહીમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ, જો તે જાણીતું હોય 
= 1.60, મુ n
= 100.
સમસ્યા હલ કરવા માટે તમે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો:
જ્યાં 
- વિખેરવાની આંકડાકીય ભૂલ.
અમે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને સેમ્પલિંગ વેરિઅન્સ ભૂલ શોધીએ છીએ: 
. તે 0.11 ની બરાબર છે. અર્થ t- 0.95 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથેનો માપદંડ k= 100–1 = 99 અગાઉના ઉદાહરણ પરથી જાણી શકાય છે.
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને મેળવીએ:
અથવા 1.38 
1,82
વધુ સચોટ રીતે, સામાન્ય વિચલનોનો વિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય છે 
(ચી-ચોરસ) - પીયર્સન ટેસ્ટ. આ માપદંડ માટેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ ખાસ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. માપદંડનો ઉપયોગ કરતી વખતે 
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે, બે બાજુના મહત્વના સ્તરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. નીચી મર્યાદા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મહત્વના સ્તરની ગણતરી કરવામાં આવે છે 
, ટોચ માટે - 
. ઉદાહરણ તરીકે, આત્મવિશ્વાસના સ્તર માટે 
=
0,99
= 0,010,
= 0.990. તદનુસાર, નિર્ણાયક મૂલ્યોના વિતરણના કોષ્ટક અનુસાર 
, ગણતરી કરેલ આત્મવિશ્વાસના સ્તરો અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે k= 100 – 1 = 99, કિંમતો શોધો 
અને 
. અમને મળે છે 
બરાબર 135.80, અને 
70.06 બરાબર છે.
નો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય ભિન્નતા માટે વિશ્વાસ મર્યાદા શોધવા માટે 
ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ: નીચલી સીમા માટે 
, ઉપલા બાઉન્ડ માટે 
. ચાલો સમસ્યાના ડેટા માટે મળેલા મૂલ્યોને બદલીએ 
સૂત્રોમાં: 
=
1,17;
= 2.26. આમ, આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે પી= 0.99 અથવા 99% સામાન્ય તફાવત 1.17 થી 2.26 mg% સહિતની રેન્જમાં હશે.
ઉદાહરણ 3.3 . એલિવેટરમાં મળેલા બેચમાંથી ઘઉંના 1000 બીજમાંથી 120 બીજ એર્ગોટથી સંક્રમિત જણાયા હતા. ઘઉંના આપેલ બેચમાં ચેપગ્રસ્ત બીજના સામાન્ય પ્રમાણની સંભવિત સીમાઓ નક્કી કરવી જરૂરી છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યો માટે સામાન્ય શેર માટે વિશ્વાસની મર્યાદા નક્કી કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:
,
જ્યાં n - અવલોકનોની સંખ્યા; m- જૂથોમાંથી એકનું સંપૂર્ણ કદ; t- સામાન્યકૃત વિચલન.
ચેપગ્રસ્ત બીજના નમૂનાનું પ્રમાણ છે 
અથવા 12%. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે આર= 95% સામાન્યકૃત વિચલન ( t- ખાતે વિદ્યાર્થીની પરીક્ષા k
=
)t
= 1,960.
અમે ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ:
તેથી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ સમાન છે 
= 0.122–0.041 = 0.081, અથવા 8.1%; 
= 0.122 + 0.041 = 0.163, અથવા 16.3%.
આમ, 95% ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના સાથે એવું કહી શકાય કે ચેપગ્રસ્ત બીજનું સામાન્ય પ્રમાણ 8.1 અને 16.3% ની વચ્ચે છે.
ઉદાહરણ 3.4 . વાંદરાઓના લોહીના સીરમમાં કેલ્શિયમ (mg%) ની વિવિધતાને દર્શાવતી વિવિધતાનો ગુણાંક 10.6% જેટલો હતો. નમૂનાનું કદ n= 100. સામાન્ય પરિમાણ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરવી જરૂરી છે સીવી.
વિવિધતાના સામાન્ય ગુણાંક માટે વિશ્વાસ અંતરાલની મર્યાદા સીવી નીચેના સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
અને 
, ક્યાં કે
ફોર્મ્યુલા દ્વારા ગણતરી કરેલ મધ્યવર્તી મૂલ્ય 
.
આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે તે જાણીને આર= 95% નોર્મલાઇઝ્ડ વિચલન (વિદ્યાર્થીની કસોટી ખાતે k
=
)t
= 1.960, ચાલો પહેલા મૂલ્યની ગણતરી કરીએ પ્રતિ:
.
અથવા 9.3%
અથવા 12.3%
આમ, 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર સાથે વિવિધતાનો સામાન્ય ગુણાંક 9.3 થી 12.3% ની રેન્જમાં રહેલો છે. પુનરાવર્તિત નમૂનાઓ સાથે, વિવિધતાના ગુણાંક 12.3% થી વધુ નહીં હોય અને 100 માંથી 95 કેસોમાં 9.3% થી નીચે નહીં હોય.
સ્વ-નિયંત્રણ માટે પ્રશ્નો:
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓ.
1. ઢોલમોગોરી ક્રોસ બ્રેડ ગાયોના સ્તનપાન દરમિયાન દૂધમાં ચરબીની સરેરાશ ટકાવારી નીચે મુજબ હતી: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. સામાન્ય સરેરાશ માટે 95% આત્મવિશ્વાસ સ્તર (20 પોઈન્ટ) પર આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સ્થાપિત કરો.
2. 400 વર્ણસંકર રાઈના છોડ પર, પ્રથમ ફૂલો વાવણીના સરેરાશ 70.5 દિવસ પછી દેખાય છે. પ્રમાણભૂત વિચલન 6.9 દિવસ હતું. મહત્વના સ્તરે સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે સરેરાશ અને વિશ્વાસ અંતરાલની ભૂલ નક્કી કરો ડબલ્યુ= 0.05 અને ડબલ્યુ= 0.01 (25 પોઈન્ટ).
3. બગીચાના સ્ટ્રોબેરીના 502 નમુનાઓના પાંદડાઓની લંબાઈનો અભ્યાસ કરતી વખતે, નીચેનો ડેટા મેળવવામાં આવ્યો હતો:
= 7.86 સેમી; σ = 1.32 સે.મી., 
=± 0.06 સે.મી. 0.01 ના મહત્વના સ્તરો સાથે અંકગણિત વસ્તી સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો; 0.02; 0.05. (25 પોઈન્ટ).
4. 150 પુખ્ત પુરુષોના અભ્યાસમાં, સરેરાશ ઊંચાઈ 167 સેમી હતી, અને σ = 6 સે.મી. 0.99 અને 0.95 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના સાથે સામાન્ય સરેરાશ અને સામાન્ય તફાવતની મર્યાદા શું છે? (25 પોઈન્ટ).
5. વાંદરાઓના રક્ત સીરમમાં કેલ્શિયમનું વિતરણ નીચેના પસંદગીના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે:
= 11.94 મિલિગ્રામ%, σ
= 1,27, n
= 100. આ વિતરણના સામાન્ય સરેરાશ માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો. વિવિધતાના ગુણાંક (25 પોઈન્ટ)ની ગણતરી કરો.
6. અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે સામાન્ય સામગ્રી 37 અને 180 દિવસની ઉંમરના અલ્બીનો ઉંદરોના રક્ત પ્લાઝ્મામાં નાઇટ્રોજન. પરિણામો પ્લાઝ્માના 100 સેમી 3 દીઠ ગ્રામમાં દર્શાવવામાં આવે છે. 37 દિવસની ઉંમરે, 9 ઉંદરો હતા: 0.98; 0.83; 0.99; 0.86; 0.90; 0.81; 0.94; 0.92; 0.87. 180 દિવસની ઉંમરે, 8 ઉંદરો હતા: 1.20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. 0.95 (50 પોઈન્ટ) ના આત્મવિશ્વાસ સ્તરે તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો સેટ કરો.
7. વાંદરાઓના રક્ત સીરમમાં કેલ્શિયમ (mg%) ના વિતરણના સામાન્ય તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો, જો આ વિતરણ માટે નમૂનાનું કદ n = 100 હોય, તો નમૂનાના તફાવતની આંકડાકીય ભૂલ s σ 2 = 1.60 (40 પોઈન્ટ).
8. લંબાઈ (σ 2 = 40.87 mm 2) સાથે 40 ઘઉંના સ્પાઇકલેટ્સના વિતરણના સામાન્ય તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો. (25 પોઈન્ટ).
9. ધૂમ્રપાન એ અવરોધક પલ્મોનરી રોગો માટેનું મુખ્ય પરિબળ માનવામાં આવે છે. નિષ્ક્રિય ધૂમ્રપાનને આવા પરિબળ માનવામાં આવતું નથી. વૈજ્ઞાનિકોએ નિષ્ક્રિય ધૂમ્રપાનની હાનિકારકતા પર શંકા કરી અને અભેદ્યતાની તપાસ કરી શ્વસન માર્ગધૂમ્રપાન ન કરનારા, નિષ્ક્રિય અને સક્રિય ધૂમ્રપાન કરનારાઓમાં. શ્વસન માર્ગની સ્થિતિને દર્શાવવા માટે, અમે કાર્ય સૂચકાંકોમાંથી એક લીધો બાહ્ય શ્વસન- મહત્તમ મિડ-એક્સપાયરેટરી ફ્લો રેટ. આ સૂચકમાં ઘટાડો એ વાયુમાર્ગમાં અવરોધની નિશાની છે. સર્વેનો ડેટા કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
|
તપાસ કરાયેલા લોકોની સંખ્યા |
મહત્તમ મિડ-એક્સપાયરેટરી ફ્લો રેટ, l/s |
||
|
પ્રમાણભૂત વિચલન |
|||
|
ધૂમ્રપાન ન કરનારા |
|||
|
બિન-ધુમ્રપાન વિસ્તારમાં કામ કરો | |||
|
સ્મોકી રૂમમાં કામ કરવું | |||
|
ધુમ્રપાન |
|||
|
થોડી સંખ્યામાં સિગારેટ પીવો | |||
|
સિગારેટ પીનારાઓની સરેરાશ સંખ્યા | |||
|
મોટી સંખ્યામાં સિગારેટ પીવો | |||
કોષ્ટક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, દરેક જૂથ માટે એકંદર સરેરાશ અને એકંદર તફાવત માટે 95% વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો. જૂથો વચ્ચે શું તફાવત છે? પરિણામોને ગ્રાફિકલી રજૂ કરો (25 પોઈન્ટ).
10. 64 ફેરોમાં પિગલેટની સંખ્યામાં સામાન્ય તફાવત માટે 95% અને 99% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો, જો નમૂનાના તફાવતની આંકડાકીય ભૂલ s σ 2 = 8.25 (30 પોઈન્ટ).
11. તે જાણીતું છે કે સસલાંનું સરેરાશ વજન 2.1 કિલો છે. સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે 95% અને 99% વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો n= 30, σ = 0.56 કિગ્રા (25 પોઈન્ટ).
12. કાનમાં અનાજની સામગ્રી 100 કાન માટે માપવામાં આવી હતી ( એક્સ), કાનની લંબાઈ ( વાય) અને કાનમાં અનાજનો સમૂહ ( ઝેડ). પર સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો પી 1
= 0,95, પી 2
= 0,99, પી 3
= 0.999 જો
= 19, = 6.766 સેમી, = 0.554 ગ્રામ; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 પોઈન્ટ).
13. શિયાળાના ઘઉંના 100 અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા કાનમાં, સ્પાઇકલેટ્સની સંખ્યા ગણવામાં આવી હતી. નમૂનાની વસ્તી નીચેના સૂચકાંકો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવી હતી:
= 15 સ્પાઇકલેટ અને σ = 2.28 પીસી. સરેરાશ પરિણામ કઈ ચોકસાઈથી પ્રાપ્ત થયું તે નક્કી કરો ( 
) અને સામાન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા માટે 95% અને 99% મહત્વના સ્તરો (30 પોઈન્ટ) પર વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો.
14. અશ્મિભૂત મોલસ્ક શેલ્સ પર પાંસળીની સંખ્યા ઓર્થમ્બોનિટ્સ કૅલિગ્રામ:
તે જાણીતું છે n = 19, σ = 4.25. મહત્વના સ્તરે સામાન્ય સરેરાશ અને સામાન્ય તફાવત માટે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ નક્કી કરો ડબલ્યુ = 0.01 (25 પોઈન્ટ).
15. વ્યાપારી ડેરી ફાર્મ પર દૂધની ઉપજ નક્કી કરવા માટે, દરરોજ 15 ગાયોની ઉત્પાદકતા નક્કી કરવામાં આવી હતી. વર્ષના ડેટા અનુસાર, દરેક ગાય દરરોજ સરેરાશ નીચેની માત્રામાં દૂધ આપે છે (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; ત્રીસ; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. સામાન્ય વિસંગતતા અને અંકગણિત સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવો. શું આપણે ગાય દીઠ સરેરાશ વાર્ષિક દૂધ ઉપજ 10,000 લિટરની અપેક્ષા રાખી શકીએ? (50 પોઈન્ટ).
16. કૃષિ સાહસ માટે ઘઉંની સરેરાશ ઉપજ નક્કી કરવા માટે, 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 અને 2 હેક્ટરના ટ્રાયલ પ્લોટ પર કાપણી હાથ ધરવામાં આવી હતી. પ્લોટમાંથી ઉત્પાદકતા (c/ha) 39.4 હતી; 38; 35.8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; અનુક્રમે 29. સામાન્ય ભિન્નતા અને અંકગણિત સરેરાશ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો બનાવો. શું આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે સરેરાશ કૃષિ ઉપજ 42 c/ha હશે? (50 પોઈન્ટ).
આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આંકડાઓના ક્ષેત્રમાંથી અમારી પાસે આવે છે. આ એક ચોક્કસ શ્રેણી છે જે ઉચ્ચ સ્તરની વિશ્વસનીયતા સાથે અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે સેવા આપે છે. આને સમજાવવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એક ઉદાહરણ સાથે છે.
ધારો કે તમારે કેટલાક રેન્ડમ વેરીએબલનો અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાયંટની વિનંતી પર સર્વરની પ્રતિભાવ ગતિ. દરેક વખતે જ્યારે વપરાશકર્તા ચોક્કસ સાઇટનું સરનામું ટાઇપ કરે છે, ત્યારે સર્વર જુદી જુદી ઝડપે પ્રતિસાદ આપે છે. આમ, અભ્યાસ હેઠળનો પ્રતિભાવ સમય રેન્ડમ છે. તેથી, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અમને આ પરિમાણની સીમાઓ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને પછી આપણે કહી શકીએ કે 95% સંભાવના સાથે સર્વર અમે ગણતરી કરેલ શ્રેણીમાં હશે.
અથવા તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે કેટલા લોકો વિશે જાણે છે ટ્રેડમાર્કકંપનીઓ જ્યારે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે કહેવું શક્ય બનશે, ઉદાહરણ તરીકે, 95% સંભાવના સાથે આ અંગે વાકેફ ગ્રાહકોનો હિસ્સો 27% થી 34% ની રેન્જમાં છે.
આ શબ્દ સાથે નજીકથી સંબંધિત જથ્થો છે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના. તે સંભાવનાને રજૂ કરે છે કે ઇચ્છિત પરિમાણ વિશ્વાસ અંતરાલમાં શામેલ છે. આપણી ઇચ્છિત શ્રેણી કેટલી મોટી હશે તે આ મૂલ્ય પર આધારિત છે. તે જેટલું મોટું મૂલ્ય લે છે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સંકુચિત થાય છે, અને ઊલટું. સામાન્ય રીતે તે 90%, 95% અથવા 99% પર સેટ છે. મૂલ્ય 95% સૌથી લોકપ્રિય છે.
આ સૂચક અવલોકનોના વિક્ષેપથી પણ પ્રભાવિત છે અને તેની વ્યાખ્યા એ ધારણા પર આધારિત છે કે અભ્યાસ હેઠળની લાક્ષણિકતા પાળે છે. આ વિધાનને Gauss’s Law તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. તેમના મતે, સામાન્ય એ સતત રેન્ડમ ચલની તમામ સંભાવનાઓનું વિતરણ છે જે સંભવિતતા ઘનતા દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. જો ધારણા વિશે સામાન્ય વિતરણભૂલભરેલું હોવાનું બહાર આવ્યું છે, આકારણી ખોટી હોઈ શકે છે.
પ્રથમ, ચાલો આકૃતિ કરીએ કે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કેવી રીતે કરવી અહીં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે. વિક્ષેપ (રેન્ડમ ચલના ફેલાવાની ડિગ્રી) જાણી શકાય છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. જો તે જાણીતું હોય, તો આપણો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - ચિહ્ન,
t - લેપ્લેસ વિતરણ કોષ્ટકમાંથી પરિમાણ,
σ એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે.
જો ભિન્નતા અજ્ઞાત હોય, તો તેની ગણતરી કરી શકાય છે જો આપણે ઇચ્છિત લક્ષણના તમામ મૂલ્યો જાણીએ. આ માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:
σ2 = х2ср - (хср)2, જ્યાં
х2ср - અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાના ચોરસનું સરેરાશ મૂલ્ય,
(хср)2 એ આ લાક્ષણિકતાનો વર્ગ છે.
આ કિસ્સામાં જે ફોર્મ્યુલા દ્વારા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવામાં આવે છે તે સહેજ બદલાય છે:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - નમૂના સરેરાશ,
α - ચિહ્ન,
t એ પરિમાણ છે જે વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટક t = t(ɣ;n-1) નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.
sqrt(n) - કુલ નમૂનાના કદનું વર્ગમૂળ,
s એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે.
આ ઉદાહરણનો વિચાર કરો. ધારો કે 7 માપના પરિણામોના આધારે, અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતા 30 ની બરાબર અને નમૂનાની વિસંગતતા 36 ની બરાબર હોવાનું નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. 99% ની સંભાવના સાથે, વિશ્વાસ અંતરાલ શોધવો જરૂરી છે જેમાં સાચું માપેલ પરિમાણનું મૂલ્ય.
પ્રથમ, ચાલો નક્કી કરીએ કે t શું છે: t = t (0.99; 7-1) = 3.71. ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમને મળે છે:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
વિભિન્નતા માટેના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી જાણીતા સરેરાશના કિસ્સામાં અને જ્યારે ગાણિતિક અપેક્ષા પર કોઈ ડેટા ન હોય ત્યારે બંને રીતે ગણવામાં આવે છે, અને માત્ર વિચલનના નિષ્પક્ષ અંદાજના બિંદુનું મૂલ્ય જાણીતું છે. અમે અહીં તેની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો આપીશું નહીં, કારણ કે તે ખૂબ જટિલ છે અને, જો ઇચ્છિત હોય, તો હંમેશા ઇન્ટરનેટ પર મળી શકે છે.
ચાલો માત્ર એ નોંધીએ કે એક્સેલ અથવા નેટવર્ક સેવાનો ઉપયોગ કરીને વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવાનું અનુકૂળ છે, જેને તે રીતે કહેવામાં આવે છે.
