બિંદુ અંદાજ અને તેના ગુણધર્મો. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ

s x =(1.11)

અમે અવલોકનક્ષમ રેન્ડમ ચલનો અભ્યાસ કરવા માટે એક મહત્વપૂર્ણ સમસ્યાને આગળ ધ્યાનમાં લઈશું. કેટલાક નમૂના હોઈ શકે છે (અમે તેને સૂચિત કરીશું એસ) રેન્ડમ ચલ એક્સ. ઉપલબ્ધ નમૂના પરથી અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે અજાણ્યા મૂલ્યો m xઅને .

વિવિધ પરિમાણોના અંદાજનો સિદ્ધાંત રોકે છે ગાણિતિક આંકડાનોંધપાત્ર સ્થાન. તેથી, ચાલો પ્રથમ ધ્યાનમાં લઈએ સામાન્ય કાર્ય. કેટલાક પરિમાણનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે aનમૂના દ્વારા એસ. આવા દરેક આકારણી એક*અમુક કાર્ય છે a*=a*(S)નમૂના મૂલ્યોમાંથી. નમૂના મૂલ્યો રેન્ડમ છે, તેથી અંદાજ પોતે એક*રેન્ડમ ચલ છે. તે ઘણા બાંધવા માટે શક્ય છે અલગ અંદાજ(એટલે ​​​​કે કાર્યો) એક*, પરંતુ તે જ સમયે, એક અર્થમાં, મૂલ્યાંકન "સારું" અથવા તો "શ્રેષ્ઠ" હોવું ઇચ્છનીય છે. નીચેની ત્રણ કુદરતી જરૂરિયાતો સામાન્ય રીતે આકારણીઓ પર લાદવામાં આવે છે.

1. અવિસ્થાપિત.આકારણીની ગાણિતિક અપેક્ષા એક*પરિમાણના ચોક્કસ મૂલ્યની સમાન હોવી જોઈએ: M = a. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સ્કોર એક*વ્યવસ્થિત ભૂલ હોવી જોઈએ નહીં.

2. સંપત્તિ.નમૂનાના કદમાં અનંત વધારા સાથે, અંદાજ એક*ચોક્કસ મૂલ્યમાં કન્વર્જ થવું જોઈએ, એટલે કે, જેમ જેમ અવલોકનોની સંખ્યામાં વધારો થાય છે તેમ, અંદાજની ભૂલ શૂન્ય થઈ જાય છે.

3. કાર્યક્ષમતા.ગ્રેડ એક*કાર્યક્ષમ હોવાનું કહેવાય છે જો તે નિષ્પક્ષ હોય અને તેમાં સૌથી નાની શક્ય ભૂલ તફાવત હોય. આ કિસ્સામાં, અંદાજનો ફેલાવો ન્યૂનતમ છે એક*ચોક્કસ મૂલ્યની તુલનામાં અને અંદાજ ચોક્કસ અર્થમાં "સૌથી સચોટ" છે.

કમનસીબે, એકસાથે ત્રણેય જરૂરિયાતોને સંતોષતા મૂલ્યાંકનનું નિર્માણ કરવું હંમેશા શક્ય નથી.

ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે, અંદાજનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે.

= , (1.12)

એટલે કે, નમૂનાનો અંકગણિત સરેરાશ. જો રેન્ડમ ચલ એક્સમર્યાદિત છે m xઅને s x, તો અંદાજ (1.12) પક્ષપાતી અને સુસંગત નથી. આ અંદાજ અસરકારક છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો એક્સસામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે (આકૃતિ 1.4, પરિશિષ્ટ 1). અન્ય વિતરણો માટે તે અસરકારક ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન વિતરણના કિસ્સામાં (આકૃતિ 1.1, પરિશિષ્ટ 1), એક નિષ્પક્ષ, સુસંગત અંદાજ હશે

(1.13)

તે જ સમયે, સામાન્ય વિતરણ માટે અંદાજ (1.13) સુસંગત કે અસરકારક રહેશે નહીં, અને નમૂનાના કદમાં વધારો થવાથી તે વધુ ખરાબ થશે.

આમ, રેન્ડમ ચલના દરેક પ્રકારના વિતરણ માટે એક્સતમારે તમારા ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. જો કે, અમારી પરિસ્થિતિમાં, વિતરણનો પ્રકાર ફક્ત કામચલાઉ રીતે જાણી શકાય છે. તેથી, અમે અંદાજ (1.12) નો ઉપયોગ કરીશું, જે એકદમ સરળ છે અને તેમાં સૌથી વધુ છે મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મોનિષ્પક્ષતા અને સુસંગતતા.

જૂથબદ્ધ નમૂના માટે ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

= , (1.14)

જે પાછલામાંથી મેળવી શકાય છે, જો આપણે બધું ધ્યાનમાં લઈએ m iનમૂના મૂલ્યો શામેલ છે i-પ્રતિનિધિ સમાન અંતરાલ z iઆ અંતરાલ. આ અંદાજ કુદરતી રીતે વધુ રફ છે, પરંતુ ખાસ કરીને મોટા નમૂનાના કદ સાથે, નોંધપાત્ર રીતે ઓછી ગણતરીની જરૂર છે.

ભિન્નતાનો અંદાજ કાઢવા માટે સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતો અંદાજ છે:

= , (1.15)

આ અંદાજ પક્ષપાતી નથી અને કોઈપણ રેન્ડમ ચલ માટે માન્ય છે એક્સ, ચોથા ક્રમ સહિતની મર્યાદિત ક્ષણો ધરાવે છે.

જૂથબદ્ધ નમૂનાના કિસ્સામાં, વપરાયેલ અંદાજ છે:

= (1.16)

અંદાજો (1.14) અને (1.16), એક નિયમ તરીકે, પક્ષપાતી અને અસમર્થ છે, કારણ કે તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને મર્યાદાઓ જેમાં તેઓ એકીકૃત થાય છે તેનાથી અલગ છે. m xઅને તેમાં સમાવિષ્ટ તમામ નમૂના મૂલ્યોની ફેરબદલને કારણે i-મું અંતરાલ, પ્રતિ અંતરાલ પ્રતિનિધિ z i.

નોંધ કરો કે મોટા માટે n,ગુણાંક n/(n – 1)અભિવ્યક્તિઓમાં (1.15) અને (1.16) એકતાની નજીક છે, તેથી તેને અવગણી શકાય છે.

અંતરાલ અંદાજ.

દો ચોક્કસ મૂલ્યકેટલાક પરિમાણ સમાન છે aઅને તેનો અંદાજ મળી આવ્યો હતો a*(S)નમૂના દ્વારા એસ. મૂલ્યાંકન એક*સંખ્યાત્મક અક્ષ (ફિગ. 1.5) પરના બિંદુને અનુરૂપ છે, તેથી આ અંદાજ કહેવામાં આવે છે બિંદુ. અગાઉના ફકરામાં ચર્ચા કરાયેલા તમામ અંદાજો પોઈન્ટ અંદાજો છે. લગભગ હંમેશા, તકને કારણે

a* ¹ a, અને અમે માત્ર આશા રાખી શકો છો કે બિંદુ એક*ક્યાંક નજીકમાં છે a. પણ કેટલી નજીક? કોઈપણ અન્ય બિંદુ અંદાજમાં સમાન ખામી હશે - પરિણામની વિશ્વસનીયતાના માપનો અભાવ.

ફિગ.1.5. બિંદુ પરિમાણ અંદાજ.

આ સંદર્ભે વધુ ચોક્કસ છે અંતરાલ અંદાજ. અંતરાલ સ્કોર અંતરાલનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે I b = (a, b), જેમાં અંદાજિત પરિમાણનું ચોક્કસ મૂલ્ય આપેલ સંભાવના સાથે જોવા મળે છે b. અંતરાલ Ibકહેવાય છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, અને સંભાવના bકહેવાય છે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના અને તરીકે ગણી શકાય આકારણીની વિશ્વસનીયતા.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ ઉપલબ્ધ નમૂના પર આધારિત છે એસ, તે અર્થમાં રેન્ડમ છે કે તેની સીમાઓ રેન્ડમ છે a(S)અને b(S), જે આપણે (રેન્ડમ) નમૂનામાંથી ગણતરી કરીશું. તેથી જ bત્યાં એક શક્યતા છે કે રેન્ડમ અંતરાલ Ibબિન-રેન્ડમ બિંદુને આવરી લેશે a. ફિગ માં. 1.6. અંતરાલ Ibમુદ્દાને આવરી લીધો a, એ Ib*- ના. તેથી, તે કહેવું સંપૂર્ણપણે યોગ્ય નથી એક "અંતરાલમાં પડે છે.

જો આત્મવિશ્વાસની સંભાવના bમોટા (ઉદાહરણ તરીકે, b = 0.999), પછી લગભગ હંમેશા ચોક્કસ મૂલ્ય aબાંધવામાં આવેલ અંતરાલની અંદર છે.

ફિગ.1.6. પરિમાણના વિશ્વાસ અંતરાલ aવિવિધ નમૂનાઓ માટે.

ચાલો બાંધકામ પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલરેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે X,પર આધારિત છે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય.

રેન્ડમ ચલ દો એક્સએક અજાણી ગાણિતિક અપેક્ષા છે m xઅને જાણીતું તફાવત. પછી, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેયના આધારે, અંકગણિત સરેરાશ છે:

= , (1.17)

પરિણામો n સ્વતંત્ર પરીક્ષણોજથ્થો એક્સએક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મોટાપાયે વિતરણ n, નજીક સામાન્ય વિતરણસરેરાશ સાથે m xઅને પ્રમાણભૂત વિચલન. તેથી રેન્ડમ ચલ

(1.18)

સંભવિત વિતરણ છે જેને ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે પ્રમાણભૂત સામાન્યવિતરણ ઘનતા સાથે j(t), જેનો આલેખ ફિગ. 1.7 (તેમજ ફિગ. 1.4, પરિશિષ્ટ 1 માં) દર્શાવેલ છે.

ફિગ.1.7. રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતાનું વિતરણ t.

આત્મવિશ્વાસની સંભાવના આપવા દો bઅને t b -સમીકરણને સંતોષતી સંખ્યા

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

જ્યાં - લેપ્લેસ કાર્ય. પછી ઈન્ટરવલમાં પડવાની સંભાવના (-t b, t b)આકૃતિ 1.7 માં છાંયેલા સમાન હશે. વિસ્તાર, અને, અભિવ્યક્તિના આધારે (1.19), બરાબર છે b. આથી

b = P(-t b< < t b) = P( – ટી બી< m x < + t b) =

= P( – ટી બી< m x < + t b).(1.20)

આમ, કોન્ફિડન્સ ઈન્ટરવલ તરીકે આપણે ઈન્ટરવલ લઈ શકીએ છીએ

I b = ( - ટી બી; + ટીબી ) , (1.21)

અભિવ્યક્તિ (1.20) એટલે કે અજ્ઞાત ચોક્કસ મૂલ્ય m xમાં છે Ibઆપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે b. બાંધવું Ibઉલ્લેખિત તરીકે જરૂરી છે bશોધો t bસમીકરણમાંથી (1.19). ચાલો થોડા મૂલ્યો આપીએ t bભવિષ્યમાં જરૂરી છે :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3.

અભિવ્યક્તિ (1.21) મેળવતી વખતે, એવું માનવામાં આવતું હતું કે પ્રમાણભૂત વિચલનનું ચોક્કસ મૂલ્ય જાણીતું છે s x. જો કે, તે હંમેશા જાણીતું નથી. તેથી ચાલો તેના અંદાજ (1.15) નો ઉપયોગ કરીએ અને મેળવીએ:

I b = ( - ટી બી; +tb). (1.22)

તદનુસાર, જૂથબદ્ધ નમૂનાના અંદાજો અને મેળવેલો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ માટે નીચેના સૂત્ર આપે છે:

I b = ( - ટી બી; +tb). (1.23)

વ્યાખ્યાનનો હેતુ: અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણનો અંદાજ કાઢવાનો ખ્યાલ રજૂ કરો અને આવા અંદાજોનું વર્ગીકરણ આપો; ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના બિંદુ અને અંતરાલ અંદાજ મેળવો.

વ્યવહારમાં, મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો અજ્ઞાત છે, અને અવલોકનોના પરિણામો અનુસાર
સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અથવા અન્ય ક્ષણો) અથવા અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે , જે વિતરણ કાયદો (વિતરણ ઘનતા) નક્કી કરે છે
રેન્ડમ ચલનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે. આમ, ઘાતાંકીય વિતરણ અથવા પોઈસન વિતરણ માટે, એક પરિમાણનો અંદાજ લગાવવા માટે તે પૂરતું છે, પરંતુ સામાન્ય વિતરણ માટે, બે પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવો આવશ્યક છે - ગાણિતિક અપેક્ષા અને તફાવત.

આકારણીના પ્રકારો

રેન્ડમ ચલ
સંભાવના ઘનતા ધરાવે છે
, ક્યાં - અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણ. પ્રયોગના પરિણામે, આ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો પ્રાપ્ત થયા:
. મૂલ્યાંકન કરવાનો અનિવાર્ય અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલના નમૂના મૂલ્યો ચોક્કસ પરિમાણ મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલા હોવા જોઈએ , એટલે કે અવલોકન પરિણામોનું અમુક કાર્ય બનાવો
, જેનું મૂલ્ય અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે પરિમાણ . અનુક્રમણિકા કરેલા પ્રયોગોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

કોઈપણ કાર્ય કે જે અવલોકનોના પરિણામો પર આધાર રાખે છે તેને કહેવામાં આવે છે આંકડા. અવલોકનોનાં પરિણામો રેન્ડમ ચલ હોવાથી, આંકડા પણ રેન્ડમ ચલ હશે. તેથી, આકારણી
અજ્ઞાત પરિમાણ રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણવું જોઈએ, અને તેનું મૂલ્ય, વોલ્યુમમાં પ્રાયોગિક ડેટામાંથી ગણવામાં આવે છે , – આ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોમાંના એક તરીકે.

વિતરણ પરિમાણોના અંદાજો (રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ) બિંદુ અને અંતરાલમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. બિંદુ અંદાજપરિમાણ એક નંબર દ્વારા નિર્ધારિત , અને તેની ચોકસાઈ અંદાજના ભિન્નતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. અંતરાલ અંદાજબે સંખ્યાઓ દ્વારા નિર્ધારિત થયેલ સ્કોર કહેવાય છે, અને - અંદાજિત પરિમાણને આવરી લેતા અંતરાલના અંત આપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે.

બિંદુ અંદાજોનું વર્ગીકરણ

અજાણ્યા પરિમાણના બિંદુ અંદાજ માટે
ચોકસાઈની દ્રષ્ટિએ શ્રેષ્ઠ, તે સુસંગત, નિષ્પક્ષ અને કાર્યક્ષમ હોવું જોઈએ.

શ્રીમંતઆકારણી કહેવાય છે
પરિમાણ , જો તે અંદાજિત પરિમાણમાં સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે, એટલે કે.

. (8.8)

ચેબીશેવની અસમાનતાના આધારે, તે બતાવી શકાય છે પૂરતી સ્થિતિસંબંધની પરિપૂર્ણતા (8.8) એ સમાનતા છે

.

સુસંગતતા એ અંદાજની એસિમ્પ્ટોટિક લાક્ષણિકતા છે
.

નિષ્પક્ષઆકારણી કહેવાય છે
(વ્યવસ્થિત ભૂલ વિના અંદાજ), જેની ગાણિતિક અપેક્ષા અંદાજિત પરિમાણ જેટલી છે, એટલે કે.

. (8.9)

જો સમાનતા (8.9) સંતુષ્ટ ન હોય, તો અંદાજને પક્ષપાતી કહેવામાં આવે છે. તફાવત
પૂર્વગ્રહ અથવા અંદાજમાં પદ્ધતિસરની ભૂલ કહેવાય છે. જો સમાનતા (8.9) માત્ર માટે સંતુષ્ટ છે
, તો અનુરૂપ અનુમાનને અસમપ્રમાણ રીતે નિષ્પક્ષ કહેવામાં આવે છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે જો વ્યવહારમાં વપરાતા તમામ અંદાજો માટે સુસંગતતા લગભગ ફરજિયાત શરત છે (અસંગત અંદાજો અત્યંત ભાગ્યે જ ઉપયોગમાં લેવાય છે), તો નિષ્પક્ષતાની મિલકત માત્ર ઇચ્છનીય છે. વારંવાર વપરાતા ઘણા અંદાજોમાં નિષ્પક્ષ મિલકત હોતી નથી.

IN સામાન્ય કેસકેટલાક પરિમાણના અંદાજની ચોકસાઈ , પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે મેળવેલ
, સરેરાશ ચોરસ ભૂલ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

,

જે ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે

,

ભિન્નતા ક્યાં છે,
- ચોરસ અંદાજ પૂર્વગ્રહ.

જો અંદાજ નિષ્પક્ષ છે, તો પછી

મર્યાદિત પર સરેરાશ ચોરસ ભૂલ દ્વારા અંદાજો અલગ હોઈ શકે છે . સ્વાભાવિક રીતે, આ ભૂલ જેટલી નાની હશે, તેટલી વધુ નજીકથી મૂલ્યાંકન મૂલ્યો અંદાજિત પરિમાણની આસપાસ જૂથ થયેલ છે. તેથી, તે હંમેશા ઇચ્છનીય છે કે અંદાજની ભૂલ શક્ય તેટલી નાની હોય, એટલે કે, સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય.

. (8.10)

મૂલ્યાંકન , સંતોષકારક સ્થિતિ (8.10), લઘુત્તમ ચોરસ ભૂલ સાથેનો અંદાજ કહેવાય છે.

અસરકારકઆકારણી કહેવાય છે
, જેના માટે સરેરાશ ચોરસ ભૂલ અન્ય કોઈપણ અંદાજની સરેરાશ ચોરસ ભૂલ કરતાં મોટી નથી, એટલે કે.

જ્યાં - કોઈપણ અન્ય પરિમાણ અંદાજ .

તે જાણીતું છે કે એક પરિમાણના કોઈપણ નિષ્પક્ષ અંદાજનો તફાવત ક્રેમર-રાવ અસમાનતાને સંતોષે છે

,

જ્યાં
- પરિમાણના સાચા મૂલ્ય પર રેન્ડમ ચલના પ્રાપ્ત મૂલ્યોનું શરતી સંભાવના ઘનતા વિતરણ .

આમ, નિષ્પક્ષ અંદાજ
, જેના માટે ક્રેમર-રાવ અસમાનતા સમાનતા બની જાય છે, તે અસરકારક રહેશે, એટલે કે, આવા અંદાજમાં ન્યૂનતમ તફાવત છે.

અપેક્ષા અને ભિન્નતાના પોઈન્ટ અંદાજો

જો રેન્ડમ ચલ ગણવામાં આવે તો
, જે ગાણિતિક અપેક્ષા ધરાવે છે અને તફાવત , તો પછી આ બંને પરિમાણો અજ્ઞાત ગણવામાં આવે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ પર
ઉત્પાદિત સ્વતંત્ર પ્રયોગો જે પરિણામો આપે છે:
. અજાણ્યા પરિમાણોના સુસંગત અને નિષ્પક્ષ અંદાજો શોધવા જરૂરી છે અને .

અંદાજ મુજબ અને સામાન્ય રીતે આંકડાકીય (નમૂનો) સરેરાશ અને આંકડાકીય (નમૂનો) તફાવત અનુક્રમે પસંદ કરવામાં આવે છે:

; (8.11)

. (8.12)

ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ (8.11) મોટી સંખ્યાના નિયમ (ચેબીશેવના પ્રમેય) અનુસાર સુસંગત છે:

.

રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

.

તેથી, અંદાજ નિષ્પક્ષ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા અંદાજનું વિક્ષેપ:

જો રેન્ડમ ચલ
સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, પછી અંદાજ અસરકારક પણ છે.

વિચલન અંદાજની અપેક્ષા

તે જ સમયે

.

કારણ કે
, એ
, પછી આપણને મળે છે

. (8.13)

આમ,
- એક પક્ષપાતી આકારણી, જો કે તે સુસંગત અને અસરકારક છે.

ફોર્મ્યુલા (8.13) થી તે નિષ્પક્ષ અંદાજ મેળવવા માટે તેને અનુસરે છે
નમૂનાનો તફાવત (8.12) નીચે પ્રમાણે સંશોધિત થવો જોઈએ:

જે અંદાજ (8.12) ની સરખામણીમાં "સારી" ગણવામાં આવે છે, જો કે મોટા પ્રમાણમાં આ અંદાજો લગભગ એકબીજાના સમાન છે.

વિતરણ પરિમાણોના અંદાજો મેળવવા માટેની પદ્ધતિઓ

ઘણીવાર વ્યવહારમાં, ભૌતિક મિકેનિઝમના વિશ્લેષણના આધારે જે રેન્ડમ ચલ પેદા કરે છે
, આપણે આ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા વિશે નિષ્કર્ષ દોરી શકીએ છીએ. જો કે, આ વિતરણના પરિમાણો અજાણ્યા છે અને પ્રાયોગિક પરિણામો પરથી અંદાજ લગાવવો આવશ્યક છે, સામાન્ય રીતે મર્યાદિત નમૂનાના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.
. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, મોટાભાગે બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ક્ષણોની પદ્ધતિ અને મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ.

ક્ષણોની પદ્ધતિ. પદ્ધતિમાં સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોને સમાન ક્રમની અનુરૂપ પ્રાયોગિક ક્ષણો સાથે સમાવવાનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રાયોગિક પ્રારંભિક બિંદુઓ -મો ક્રમ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

,

અને અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક પ્રારંભિક ક્ષણો -મો ક્રમ - સૂત્રો:

અલગ રેન્ડમ ચલ માટે,

સતત રેન્ડમ ચલ માટે,

જ્યાં - અંદાજિત વિતરણ પરિમાણ.

બે અજાણ્યા પરિમાણો ધરાવતા વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ મેળવવા માટે અને , બે સમીકરણોની સિસ્ટમ સંકલિત કરવામાં આવી છે

જ્યાં અને - બીજા ક્રમની સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક કેન્દ્રીય ક્ષણો.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અંદાજ છે અને અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણો અને .

પ્રથમ ક્રમની સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક પ્રારંભિક ક્ષણોની સમાનતા કરતા, અમે રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ લગાવીને મેળવીએ છીએ.
, એક મનસ્વી વિતરણ ધરાવતો, નમૂનાનો સરેરાશ હશે, એટલે કે.
. પછી, બીજા ક્રમની સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક કેન્દ્રીય ક્ષણોની સમાનતા, અમે મેળવીએ છીએ કે રેન્ડમ ચલના તફાવતનો અંદાજ
, જેનું મનસ્વી વિતરણ છે, તે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

.

તેવી જ રીતે, કોઈ પણ ક્રમની સૈદ્ધાંતિક ક્ષણોનો અંદાજ શોધી શકે છે.

ક્ષણોની પદ્ધતિ સરળ છે અને તેને જટિલ ગણતરીઓની જરૂર નથી, પરંતુ આ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ અંદાજો ઘણીવાર બિનઅસરકારક હોય છે.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ. અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણોના બિંદુ અંદાજની મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ એક અથવા વધુ અંદાજિત પરિમાણોના કાર્યની મહત્તમતા શોધવા માટે નીચે આવે છે.

દો
એક સતત રેન્ડમ ચલ છે, જે પરિણામે પરીક્ષણોએ મૂલ્યો લીધા
. અજાણ્યા પરિમાણનો અંદાજ મેળવવા માટે આવી કિંમત શોધવી જરૂરી છે , જેના પર પરિણામી નમૂનાના અમલીકરણની સંભાવના મહત્તમ હશે. કારણ કે
સમાન સંભાવનાની ઘનતા સાથે પરસ્પર સ્વતંત્ર જથ્થાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરો
, તે સંભાવના કાર્યદલીલ કાર્ય કૉલ કરો :

પરિમાણની મહત્તમ સંભાવના અંદાજ દ્વારા આ મૂલ્ય કહેવાય છે , જેના પર સંભાવના કાર્ય મહત્તમ સુધી પહોંચે છે, એટલે કે, સમીકરણનો ઉકેલ છે

,

જે સ્પષ્ટપણે પરીક્ષણ પરિણામો પર આધાર રાખે છે
.

કાર્યો થી
અને
સમાન મૂલ્યો પર મહત્તમ સુધી પહોંચો
, પછી ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે તેઓ વારંવાર લઘુગણક સંભાવના કાર્યનો ઉપયોગ કરે છે અને અનુરૂપ સમીકરણના મૂળને શોધે છે

,

જે કહેવાય છે સંભાવના સમીકરણ.

જો તમારે કેટલાક પરિમાણોનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર હોય
વિતરણ
, પછી સંભાવના કાર્ય આ પરિમાણો પર આધાર રાખે છે. અંદાજો શોધવા માટે
વિતરણ પરિમાણો સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે જરૂરી છે સંભાવના સમીકરણો

.

મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ સાતત્યપૂર્ણ અને અસ્પષ્ટ રીતે કાર્યક્ષમ અંદાજો પ્રદાન કરે છે. જો કે, મહત્તમ સંભાવના પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ અંદાજો પક્ષપાતી હોય છે, અને વધુમાં, અંદાજો શોધવા માટે, ઘણી વખત સમીકરણોની જટિલ પ્રણાલીઓને ઉકેલવી જરૂરી છે.

અંતરાલ પરિમાણ અંદાજ

બિંદુ અંદાજોની ચોકસાઈ તેમના વિભિન્નતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. જો કે, પ્રાપ્ત અંદાજ પરિમાણોના સાચા મૂલ્યોની કેટલી નજીક છે તે વિશે કોઈ માહિતી નથી. સંખ્યાબંધ કાર્યોમાં, તમારે માત્ર પેરામીટર શોધવાની જરૂર નથી યોગ્ય સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, પણ તેની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે. તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે પરિમાણને બદલવાથી કઈ ભૂલો થઈ શકે છે તેના બિંદુ અંદાજ અને આપણે કેટલા આત્મવિશ્વાસ સાથે અપેક્ષા રાખવી જોઈએ કે આ ભૂલો જાણીતી મર્યાદાને ઓળંગશે નહીં.

જ્યારે પ્રયોગોની સંખ્યા ઓછી હોય ત્યારે આવા કાર્યો ખાસ કરીને સંબંધિત હોય છે. , જ્યારે બિંદુ અંદાજ મોટે ભાગે રેન્ડમ અને અંદાજિત રિપ્લેસમેન્ટ પર નોંધપાત્ર ભૂલો તરફ દોરી શકે છે.

વધુ સંપૂર્ણ અને વિશ્વસનીય માર્ગડિસ્ટ્રિબ્યુશનના પરિમાણોનો અંદાજ એક બિંદુ મૂલ્ય નક્કી કરવા માટેનો સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ એક અંતરાલ કે જે આપેલ સંભાવના સાથે, અંદાજિત પરિમાણના સાચા મૂલ્યને આવરી લે છે.

પરિણામો અનુસાર દો પ્રયોગો, એક નિષ્પક્ષ અંદાજ મેળવવામાં આવ્યો હતો
પરિમાણ . શક્ય ભૂલનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. કેટલીક પૂરતી મોટી સંભાવના પસંદ કરેલ છે
(ઉદાહરણ તરીકે), જેમ કે આ સંભાવના સાથેની ઘટનાને વ્યવહારીક રીતે ચોક્કસ ઘટના ગણી શકાય, અને એવું મૂલ્ય જોવા મળે , જેના માટે

. (8.15)

આ કિસ્સામાં, રિપ્લેસમેન્ટ દરમિયાન થતી ભૂલના વ્યવહારીક સંભવિત મૂલ્યોની શ્રેણી પર , કરશે
, અને મોટા સંપૂર્ણ મૂલ્યભૂલો માત્ર ઓછી સંભાવના સાથે જ દેખાશે .

અભિવ્યક્તિ (8.15) નો અર્થ છે કે સંભાવના સાથે
અજ્ઞાત પરિમાણ મૂલ્ય અંતરાલમાં આવે છે

. (8.16)

સંભાવના
કહેવાય છે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના, અને અંતરાલ , સંભાવના સાથે આવરી લે છે પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય કહેવાય છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. નોંધ કરો કે તે કહેવું ખોટું છે કે પરિમાણ મૂલ્ય સંભાવના સાથે વિશ્વાસ અંતરાલની અંદર આવેલું છે . વપરાયેલ ફોર્મ્યુલેશન (કવર) નો અર્થ એ છે કે અંદાજિત પરિમાણ અજ્ઞાત હોવા છતાં, તેનું મૂલ્ય સ્થિર છે અને તેથી તેનો કોઈ ફેલાવો નથી કારણ કે તે રેન્ડમ ચલ નથી.

અપેક્ષા એ રેન્ડમ ચલનું સંભવિત વિતરણ છે

ગાણિતિક અપેક્ષા, વ્યાખ્યા, અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષા, નમૂના, શરતી અપેક્ષા, ગણતરી, ગુણધર્મો, સમસ્યાઓ, અપેક્ષાનો અંદાજ, વિખેરવું, વિતરણ કાર્ય, સૂત્રો, ગણતરીના ઉદાહરણો

સામગ્રીઓ વિસ્તૃત કરો

સામગ્રી સંકુચિત કરો

ગાણિતિક અપેક્ષા એ વ્યાખ્યા છે

રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અથવા સંભાવનાઓના વિતરણની લાક્ષણિકતા, ગાણિતિક આંકડા અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોમાંની એક. સામાન્ય રીતે રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત પરિમાણોની ભારિત સરેરાશ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. તકનીકી વિશ્લેષણ, સંખ્યા શ્રેણીના અભ્યાસ અને સતત અને સમય લેતી પ્રક્રિયાઓના અભ્યાસમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ધરાવે છે મહત્વપૂર્ણજોખમોનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, નાણાકીય બજારો પર વેપાર કરતી વખતે ભાવ સૂચકાંકોની આગાહી કરતી વખતે, તેનો ઉપયોગ જુગારના સિદ્ધાંતમાં વ્યૂહરચના અને ગેમિંગ યુક્તિઓની પદ્ધતિઓના વિકાસમાં થાય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેરેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય, રેન્ડમ ચલનું સંભવિત વિતરણ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં ગણવામાં આવે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેસંભાવના સિદ્ધાંતમાં રેન્ડમ ચલના સરેરાશ મૂલ્યનું માપ. રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા xદ્વારા સૂચિત M(x).

ગાણિતિક અપેક્ષા છે

ગાણિતિક અપેક્ષા છેસંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ચલ લઈ શકે તેવા તમામ સંભવિત મૂલ્યોની ભારિત સરેરાશ.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેરેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેચોક્કસ નિર્ણયથી સરેરાશ લાભ, જો કે આવા નિર્ણયને મોટી સંખ્યા અને લાંબા અંતરના સિદ્ધાંતના માળખામાં ધ્યાનમાં લઈ શકાય.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેજુગારની થિયરીમાં, દરેક શરત માટે, સરેરાશ રીતે, ખેલાડી કમાઈ અથવા ગુમાવી શકે તેટલી જીતની રકમ. જુગારની ભાષામાં, આને ક્યારેક "ખેલાડીની ધાર" (જો તે ખેલાડી માટે સકારાત્મક હોય) અથવા "હાઉસ એજ" (જો તે ખેલાડી માટે નકારાત્મક હોય તો) કહેવાય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા છેજીત દીઠ નફાની ટકાવારી સરેરાશ નફા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, નુકસાનની સંભાવનાને સરેરાશ નુકસાનથી ગુણાકાર કરે છે.

માં રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા ગાણિતિક સિદ્ધાંત

રેન્ડમ ચલની મહત્વની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની એક તેની ગાણિતિક અપેક્ષા છે. ચાલો રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ. ચાલો રેન્ડમ ચલોના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ જે સમાન રેન્ડમ પ્રયોગના પરિણામો છે. જો સિસ્ટમના સંભવિત મૂલ્યોમાંનું એક છે, તો ઘટના ચોક્કસ સંભાવનાને અનુરૂપ છે જે કોલમોગોરોવના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોને સંતોષે છે. રેન્ડમ ચલોના કોઈપણ સંભવિત મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કાર્યને સંયુક્ત વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે. આ કાર્ય તમને કોઈપણ ઘટનાઓની સંભાવનાઓની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ખાસ કરીને, રેન્ડમ ચલોનો સંયુક્ત વિતરણ કાયદો અને, જે સમૂહમાંથી મૂલ્યો લે છે અને, સંભાવનાઓ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

"ગાણિતિક અપેક્ષા" શબ્દની રજૂઆત પિયર સિમોન માર્ક્વિસ ડી લાપ્લેસ (1795) દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને તે "જીતનું અપેક્ષિત મૂલ્ય" ની વિભાવનામાંથી આવે છે, જે પ્રથમ વખત 17મી સદીમાં બ્લેઈઝ પાસ્કલ અને ક્રિસ્ટિયનના કાર્યોમાં જુગારના સિદ્ધાંતમાં દેખાયા હતા. હ્યુજેન્સ. જો કે, આ ખ્યાલની પ્રથમ સંપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક સમજણ અને મૂલ્યાંકન પેફન્યુટી લ્વોવિચ ચેબીશેવ (19મી સદીના મધ્યમાં) દ્વારા આપવામાં આવ્યું હતું.

રેન્ડમ ન્યુમેરિકલ ચલોનો વિતરણ કાયદો (વિતરણ કાર્ય અને વિતરણ શ્રેણી અથવા સંભાવના ઘનતા) સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલના વર્તનનું વર્ણન કરે છે. પરંતુ સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓમાં અભ્યાસ હેઠળના જથ્થાની કેટલીક સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ જાણવા માટે તે પૂરતું છે (ઉદાહરણ તરીકે, તેનું સરેરાશ મૂલ્ય અને શક્ય વિચલનતેની પાસેથી) પૂછાયેલા પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે. રેન્ડમ ચલોની મુખ્ય સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, સ્થિતિ અને મધ્ય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા એ તેના સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓનો સરવાળો છે. કેટલીકવાર ગાણિતિક અપેક્ષાને ભારિત સરેરાશ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો પર રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશની લગભગ સમાન હોય છે. ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનું મૂલ્ય રેન્ડમ ચલના શક્ય તેટલા નાના મૂલ્ય કરતાં ઓછું નથી અને સૌથી મોટા કરતાં વધુ નથી. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા એ બિન-રેન્ડમ (સતત) ચલ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા એક સરળ છે ભૌતિક અર્થ: જો તમે કોઈ એકમ સમૂહને સીધી રેખા પર મૂકો છો, તો અમુક બિંદુઓ પર અમુક સમૂહ મૂકીને (માટે સ્વતંત્ર વિતરણ), અથવા તેને ચોક્કસ ઘનતા સાથે "સ્મીયરિંગ" કરો (એકદમ સતત વિતરણ માટે), પછી ગાણિતિક અપેક્ષાને અનુરૂપ બિંદુ એ રેખાના "ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર" નું સંકલન હશે.

રેન્ડમ વેરીએબલનું સરેરાશ મૂલ્ય એ ચોક્કસ સંખ્યા છે જે, તેના "પ્રતિનિધિ" તરીકે છે અને તેને આશરે અંદાજિત ગણતરીઓમાં બદલે છે. જ્યારે આપણે કહીએ છીએ: "સરેરાશ લેમ્પ ઓપરેટિંગ સમય 100 કલાક છે" અથવા "સરેરાશ અસર બિંદુ લક્ષ્યની તુલનામાં 2 મીટર જમણી બાજુએ ખસેડવામાં આવે છે," ત્યારે અમે રેન્ડમ ચલની ચોક્કસ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા સૂચવીએ છીએ જે તેના સ્થાનનું વર્ણન કરે છે. સંખ્યાત્મક અક્ષ પર, એટલે કે. "સ્થિતિની લાક્ષણિકતાઓ".

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સ્થિતિની લાક્ષણિકતાઓમાંથી મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકારેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા ભજવે છે, જેને ક્યારેક રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લો એક્સ, શક્ય મૂલ્યો ધરાવે છે x1, x2, …, xnસંભાવનાઓ સાથે p1, p2, …, pn. આપણે x-અક્ષ પર રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સ્થિતિને અમુક સંખ્યા સાથે દર્શાવવાની જરૂર છે, એ હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને કે આ મૂલ્યોની વિવિધ સંભાવનાઓ છે. આ હેતુ માટે, મૂલ્યોના કહેવાતા "ભારિત સરેરાશ" નો ઉપયોગ કરવો સ્વાભાવિક છે xi, અને સરેરાશ દરમિયાન દરેક મૂલ્ય xiને આ મૂલ્યની સંભાવનાના પ્રમાણસર "વજન" સાથે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ. આમ, આપણે રેન્ડમ ચલની સરેરાશની ગણતરી કરીશું એક્સ, જે આપણે સૂચવીએ છીએ M |X|:

આ ભારિત સરેરાશને રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે. આમ, અમે સંભાવના સિદ્ધાંતની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓમાંની એક - ગાણિતિક અપેક્ષાનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા એ રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.

તેને ઉત્પન્ન થવા દો એનસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાં દરેક મૂલ્ય એક્સચોક્કસ મૂલ્ય લે છે. ચાલો ધારીએ કે મૂલ્ય x1દેખાયા m1સમય, મૂલ્ય x2દેખાયા m2વખત, સામાન્ય અર્થ xiમારા વખત દેખાયા. ચાલો X મૂલ્યના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ, જે ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિપરીત છે M|X|અમે સૂચવીએ છીએ M*|X|:

પ્રયોગોની વધતી સંખ્યા સાથે એનફ્રીક્વન્સીઝ piઅનુરૂપ સંભાવનાઓ સુધી પહોંચશે (સંભાવનામાં એકરૂપ થશે). પરિણામે, રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ M|X|પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારા સાથે તે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સુધી પહોંચશે (સંભાવનામાં એકરૂપ થશે). અંકગણિત સરેરાશ અને ઉપર ઘડવામાં આવેલ ગાણિતિક અપેક્ષા વચ્ચેનું જોડાણ મોટી સંખ્યાના કાયદાના એક સ્વરૂપની સામગ્રી બનાવે છે.

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે મોટી સંખ્યાના કાયદાના તમામ સ્વરૂપો એ હકીકત જણાવે છે કે કેટલીક સરેરાશ મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો પર સ્થિર છે. અહીં આપણે સમાન જથ્થાના અવલોકનોની શ્રેણીમાંથી અંકગણિત સરેરાશની સ્થિરતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. પ્રયોગોની નાની સંખ્યા સાથે, તેમના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ રેન્ડમ છે; પ્રયોગોની સંખ્યામાં પર્યાપ્ત વધારા સાથે, તે "લગભગ બિન-રેન્ડમ" બની જાય છે અને, સ્થિર થઈને, સતત મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે - ગાણિતિક અપેક્ષા.

મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો પર સરેરાશની સ્થિરતા પ્રાયોગિક રીતે સરળતાથી ચકાસી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ચોક્કસ ભીંગડા પર પ્રયોગશાળામાં શરીરનું વજન કરવામાં આવે છે, ત્યારે વજનના પરિણામે આપણે દર વખતે નવું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ; અવલોકન ભૂલ ઘટાડવા માટે, અમે શરીરનું ઘણી વખત વજન કરીએ છીએ અને પ્રાપ્ત મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે જોવાનું સરળ છે કે પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધુ વધારો (વજન) સાથે, અંકગણિત સરેરાશ આ વધારાને ઓછા અને ઓછા પ્રમાણમાં પ્રતિક્રિયા આપે છે અને, પૂરતી મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, વ્યવહારીક રીતે બદલાવાનું બંધ કરે છે.

તે નોંધવું જોઈએ કે સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતારેન્ડમ ચલની સ્થિતિ - ગાણિતિક અપેક્ષા - બધા રેન્ડમ ચલો માટે અસ્તિત્વમાં નથી. આવા અવ્યવસ્થિત ચલોના ઉદાહરણો કંપોઝ કરવાનું શક્ય છે જેના માટે ગાણિતિક અપેક્ષા અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે અનુરૂપ સરવાળો અથવા અવિભાજ્ય અલગ પડે છે. જો કે, આવા કિસ્સાઓ અભ્યાસ માટે નોંધપાત્ર રસ ધરાવતા નથી. સામાન્ય રીતે, અમે જે રેન્ડમ ચલો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ તે સંભવિત મૂલ્યોની મર્યાદિત શ્રેણી ધરાવે છે અને, અલબત્ત, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ધરાવે છે.

રેન્ડમ ચલની સ્થિતિની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ ઉપરાંત - ગાણિતિક અપેક્ષા - વ્યવહારમાં, સ્થિતિની અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કેટલીકવાર થાય છે, ખાસ કરીને, રેન્ડમ ચલના મોડ અને મધ્યનો.

રેન્ડમ ચલનો મોડ એ તેની સૌથી સંભવિત કિંમત છે. "સૌથી સંભવિત મૂલ્ય" શબ્દ સખત રીતે કહીએ તો માત્ર અસંતુલિત જથ્થાને લાગુ પડે છે; માટે સતત મૂલ્યમોડ એ મૂલ્ય છે કે જેના પર સંભાવના ઘનતા મહત્તમ છે. આકૃતિઓ અનુક્રમે અખંડ અને સતત રેન્ડમ ચલો માટે મોડ દર્શાવે છે.

જો વિતરણ બહુકોણ (વિતરણ વળાંક) એક કરતાં વધુ મહત્તમ હોય, તો વિતરણને "મલ્ટીમોડલ" કહેવામાં આવે છે.

કેટલીકવાર એવા વિતરણો હોય છે જેમાં મહત્તમને બદલે મધ્યમાં લઘુત્તમ હોય છે. આવા વિતરણોને "એન્ટી-મોડલ" કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલની સ્થિતિ અને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એકરૂપ થતા નથી. ચોક્કસ કિસ્સામાં, જ્યારે વિતરણ સપ્રમાણ અને મોડલ હોય (એટલે ​​​​કે મોડલ હોય) અને ગાણિતિક અપેક્ષા હોય, તો તે વિતરણની સમપ્રમાણતાના મોડ અને કેન્દ્ર સાથે એકરુપ થાય છે.

અન્ય સ્થિતિ લાક્ષણિકતાનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે - રેન્ડમ ચલનો કહેવાતા મધ્યક. આ લાક્ષણિકતાનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે માત્ર સતત રેન્ડમ ચલ માટે જ થાય છે, જો કે તેને ઔપચારિક રીતે અસંતુલિત ચલ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ભૌમિતિક રીતે, મધ્યબિંદુ એ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે.

સપ્રમાણ મોડલ વિતરણના કિસ્સામાં, મધ્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને સ્થિતિ સાથે મેળ ખાય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા એ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય છે - રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા. સૌથી સામાન્ય રીતે, રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા X(w)સંભાવના માપના સંદર્ભમાં લેબેસ્ગ્યુ ઇન્ટિગ્રલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે આરમૂળ સંભાવના જગ્યામાં:

ગાણિતિક અપેક્ષાને લેબેસગ્યુના અભિન્ન તરીકે પણ ગણી શકાય એક્સસંભાવના વિતરણ દ્વારા pxજથ્થો એક્સ:

અનંત ગાણિતિક અપેક્ષા સાથેના રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ કુદરતી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણકેટલાક રેન્ડમ વોકમાં પાછા ફરવાના સમય તરીકે સેવા આપે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાની મદદથી, ઘણા સંખ્યાત્મક અને કાર્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓવિતરણો (રેન્ડમ ચલમાંથી અનુરૂપ વિધેયોની ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે), ઉદાહરણ તરીકે, જનરેટિંગ ફંક્શન, લાક્ષણિક કાર્ય, કોઈપણ ક્રમની ક્ષણો, ખાસ કરીને વિક્ષેપ, સહપ્રવર્તન.

ગાણિતિક અપેક્ષા એ રેન્ડમ ચલ (તેના વિતરણનું સરેરાશ મૂલ્ય) ના મૂલ્યોના સ્થાનની લાક્ષણિકતા છે. આ ક્ષમતામાં, ગાણિતિક અપેક્ષા કેટલાક "સામાન્ય" વિતરણ પરિમાણ તરીકે સેવા આપે છે અને તેની ભૂમિકા સ્થિર ક્ષણની ભૂમિકા જેવી જ છે - સમૂહ વિતરણના ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રના સંકલન - મિકેનિક્સમાં. સ્થાનની અન્ય વિશેષતાઓમાંથી જેની મદદથી વિતરણને સામાન્ય શબ્દોમાં વર્ણવવામાં આવે છે - મધ્યક, સ્થિતિઓ, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તે અને અનુરૂપ સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતા - વિક્ષેપ - સંભાવના સિદ્ધાંતના મર્યાદા પ્રમેયમાં હોય છે તે વધુ મૂલ્યમાં અલગ પડે છે. ગાણિતિક અપેક્ષાનો અર્થ મોટાભાગની સંખ્યાના કાયદા (ચેબીશેવની અસમાનતા) અને મોટી સંખ્યાના મજબૂત કાયદા દ્વારા સંપૂર્ણપણે પ્રગટ થાય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

કેટલાક રેન્ડમ વેરીએબલ હોઈ શકે છે જે અનેક સંખ્યાત્મક મૂલ્યોમાંથી એક લઈ શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, ડાઇસ ફેંકતી વખતે પોઈન્ટની સંખ્યા 1, 2, 3, 4, 5 અથવા 6 હોઈ શકે છે). ઘણીવાર વ્યવહારમાં, આવા મૂલ્ય માટે, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે તે "સરેરાશ" શું મૂલ્ય લે છે? દરેક જોખમી વ્યવહારોમાંથી આપણી સરેરાશ આવક (અથવા નુકસાન) કેટલી હશે?

ચાલો કહીએ કે કોઈ પ્રકારની લોટરી છે. અમે એ સમજવા માંગીએ છીએ કે તેમાં ભાગ લેવો નફાકારક છે કે નહીં (અથવા તો વારંવાર, નિયમિતપણે ભાગ લેવો). ચાલો કહીએ કે દરેક ચોથી ટિકિટ વિજેતા છે, ઇનામ 300 રુબેલ્સ હશે, અને કોઈપણ ટિકિટની કિંમત 100 રુબેલ્સ હશે. અસીમ મોટી સંખ્યામાં સહભાગિતા સાથે, આવું થાય છે. ત્રણ ક્વાર્ટરના કેસોમાં આપણે ગુમાવીશું, દરેક ત્રણ નુકસાન માટે 300 રુબેલ્સનો ખર્ચ થશે. દરેક ચોથા કિસ્સામાં અમે 200 રુબેલ્સ જીતીશું. (ઈનામ બાદની કિંમત), એટલે કે, ચાર સહભાગિતા માટે આપણે સરેરાશ 100 રુબેલ્સ ગુમાવીએ છીએ, એક માટે - સરેરાશ 25 રુબેલ્સ. કુલ મળીને, અમારા વિનાશનો સરેરાશ દર ટિકિટ દીઠ 25 રુબેલ્સ હશે.

અમે ફેંકીએ છીએ ડાઇસ. જો તે છેતરપિંડી ન કરતું હોય (ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રને સ્થાનાંતરિત કર્યા વિના, વગેરે), તો પછી આપણી પાસે એક સમયે સરેરાશ કેટલા બિંદુઓ હશે? દરેક વિકલ્પ સમાન સંભાવના હોવાથી, આપણે ફક્ત અંકગણિતનો સરેરાશ લઈએ અને 3.5 મેળવીએ. આ સરેરાશ હોવાને કારણે, કોઈ ચોક્કસ રોલ 3.5 પોઈન્ટ આપશે નહીં તે અંગે ગુસ્સે થવાની જરૂર નથી - સારું, આ ક્યુબમાં આટલી સંખ્યા ધરાવતો ચહેરો નથી!

હવે ચાલો આપણા ઉદાહરણોનો સારાંશ આપીએ:

હમણાં આપેલ ચિત્ર જોઈએ. ડાબી બાજુએ રેન્ડમ ચલના વિતરણનું ટેબલ છે. મૂલ્ય X એ n સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક લઈ શકે છે (ટોચની લાઇનમાં આપેલ). અન્ય કોઈ અર્થ હોઈ શકે નહીં. દરેક હેઠળ શક્ય અર્થતેની સંભાવના નીચે લખેલ છે. જમણી બાજુએ સૂત્ર છે, જ્યાં M(X) ને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે. આ મૂલ્યનો અર્થ એ છે કે મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે (મોટા નમૂના સાથે), સરેરાશ મૂલ્ય આ સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ તરફ વળશે.

ચાલો ફરી એ જ વગાડતા ક્યુબ પર પાછા ફરીએ. ફેંકતી વખતે પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા 3.5 છે (જો તમે મારા પર વિશ્વાસ ન કરો તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની જાતે ગણતરી કરો). ચાલો કહીએ કે તમે તેને બે વાર ફેંકી દીધું. પરિણામો 4 અને 6 હતા. સરેરાશ 5 હતી, જે 3.5 થી ઘણી દૂર છે. તેઓએ તેને વધુ એક વખત ફેંકી દીધું, તેમને 3 મળ્યા, એટલે કે સરેરાશ (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ગાણિતિક અપેક્ષાથી ક્યાંક દૂર. હવે એક ઉન્મત્ત પ્રયોગ કરો - ક્યુબને 1000 વખત રોલ કરો! અને જો એવરેજ બરાબર 3.5 ન હોય તો પણ તે તેની નજીક હશે.

ચાલો ઉપર વર્ણવેલ લોટરી માટેની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરીએ. પ્લેટ આના જેવી દેખાશે:

પછી ગાણિતિક અપેક્ષા હશે, જેમ આપણે ઉપર સ્થાપિત કર્યું છે:

બીજી વસ્તુ એ છે કે જો ત્યાં વધુ વિકલ્પો હોય તો, ફોર્મ્યુલા વિના, "આંગળીઓ પર" કરવું મુશ્કેલ બનશે. સારું, ચાલો કહીએ કે ત્યાં 75% હારેલી ટિકિટ, 20% વિજેતા ટિકિટ અને 5% ખાસ કરીને વિજેતા ટિકિટ હશે.

હવે ગાણિતિક અપેક્ષાના કેટલાક ગુણધર્મો.

તે સાબિત કરવું સરળ છે:

સતત પરિબળને ગાણિતિક અપેક્ષાના સંકેત તરીકે લઈ શકાય છે, એટલે કે:

આ ગાણિતિક અપેક્ષાની રેખીયતા ગુણધર્મનો એક વિશેષ કેસ છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાની રેખીયતાનું બીજું પરિણામ:

એટલે કે, રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે.

X, Y ને સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ રહેવા દો, પછી:

આ સાબિત કરવું પણ સરળ છે) કામ XYપોતે એક રેન્ડમ ચલ છે, અને જો પ્રારંભિક મૂલ્યો લઈ શકે છે nઅને mતે મુજબ મૂલ્યો, પછી XY nm મૂલ્યો લઈ શકે છે. દરેક મૂલ્યની સંભાવના એ હકીકતના આધારે ગણવામાં આવે છે કે સ્વતંત્ર ઘટનાઓની સંભાવનાઓ ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. પરિણામે, અમને આ મળે છે:

સતત રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

સતત રેન્ડમ ચલોમાં વિતરણ ઘનતા (સંભાવનાની ઘનતા) જેવી લાક્ષણિકતા હોય છે. તે અનિવાર્યપણે પરિસ્થિતિને દર્શાવે છે કે રેન્ડમ ચલ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી કેટલીક કિંમતો વધુ વખત લે છે, અને કેટલીક ઓછી વાર. ઉદાહરણ તરીકે, આ ગ્રાફને ધ્યાનમાં લો:

અહીં એક્સ- વાસ્તવિક રેન્ડમ ચલ, f(x)- વિતરણ ઘનતા. આ ગ્રાફ દ્વારા અભિપ્રાય, પ્રયોગો દરમિયાન મૂલ્ય એક્સઘણીવાર શૂન્યની નજીકની સંખ્યા હશે. શક્યતાઓ ઓળંગાઈ ગઈ છે 3 અથવા નાના બનો -3 તદ્દન સૈદ્ધાંતિક.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, એક સમાન વિતરણ હોઈ શકે છે:

આ સાહજિક સમજ સાથે તદ્દન સુસંગત છે. ચાલો કહીએ કે જો આપણે મેળવીએ સમાન વિતરણઘણી રેન્ડમ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, દરેક સેગમેન્ટમાંથી |0; 1| , તો અંકગણિતનો સરેરાશ આશરે 0.5 હોવો જોઈએ.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો-રેખીયતા, વગેરે, અલગ રેન્ડમ ચલો માટે લાગુ પડે છે, તે પણ અહીં લાગુ પડે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા અને અન્ય આંકડાકીય સૂચકાંકો વચ્ચેનો સંબંધ

આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં, ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે, પરસ્પર નિર્ભર સૂચકોની એક સિસ્ટમ છે જે ઘટનાની એકરૂપતા અને પ્રક્રિયાઓની સ્થિરતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ઘણીવાર, વિવિધતા સૂચકોનો સ્વતંત્ર અર્થ હોતો નથી અને તેનો ઉપયોગ વધુ ડેટા વિશ્લેષણ માટે થાય છે. અપવાદ એ વિવિધતાના ગુણાંક છે, જે ડેટાની એકરૂપતાને લાક્ષણિકતા આપે છે, જે એક મૂલ્યવાન આંકડાકીય લાક્ષણિકતા છે.

આંકડાકીય વિજ્ઞાનમાં પ્રક્રિયાઓની પરિવર્તનશીલતા અથવા સ્થિરતાની ડિગ્રી કેટલાક સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે.

સૌથી વધુ મહત્વપૂર્ણ સૂચક, રેન્ડમ ચલની પરિવર્તનક્ષમતાનું લક્ષણ છે વિખેરી નાખવું, જે ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સૌથી નજીકથી અને સીધો સંબંધિત છે. આ પરિમાણ અન્ય પ્રકારના આંકડાકીય વિશ્લેષણમાં સક્રિયપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે. સરેરાશ રેખીય વિચલનની જેમ, વિચલન પણ સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ ડેટાના ફેલાવાની હદને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ચિહ્નોની ભાષાને શબ્દોની ભાષામાં અનુવાદિત કરવા માટે તે ઉપયોગી છે. તે તારણ આપે છે કે વિક્ષેપ એ વિચલનોનો સરેરાશ ચોરસ છે. એટલે કે, સરેરાશ મૂલ્યની પ્રથમ ગણતરી કરવામાં આવે છે, પછી દરેક મૂળ અને સરેરાશ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત લેવામાં આવે છે, ચોરસ કરવામાં આવે છે, ઉમેરવામાં આવે છે અને પછી વસ્તીમાં મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. વ્યક્તિગત મૂલ્ય અને સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત વિચલનના માપને પ્રતિબિંબિત કરે છે. તેને વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે જેથી તમામ વિચલનો ફક્ત હકારાત્મક સંખ્યાઓ બની જાય અને જ્યારે તેનો સારાંશ કરવામાં આવે ત્યારે સકારાત્મક અને નકારાત્મક વિચલનોના પરસ્પર વિનાશને ટાળવા માટે. પછી, ચોરસ વિચલનોને જોતાં, આપણે ફક્ત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ. સરેરાશ - ચોરસ - વિચલનો. વિચલનોનો વર્ગ કરવામાં આવે છે અને સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે. જાદુઈ શબ્દ "વિક્ષેપ" નો જવાબ ફક્ત ત્રણ શબ્દોમાં છે.

જો કે, માં શુદ્ધ સ્વરૂપ, જેમ કે અંકગણિત સરેરાશ, અથવા અનુક્રમણિકા, ભિન્નતાનો ઉપયોગ થતો નથી. તે એક સહાયક અને મધ્યવર્તી સૂચક છે જેનો ઉપયોગ અન્ય પ્રકારના આંકડાકીય વિશ્લેષણ માટે થાય છે. તેની પાસે માપનનું સામાન્ય એકમ પણ નથી. સૂત્ર દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, આ મૂળ ડેટાના માપનના એકમનો ચોરસ છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલ માપીએ એનવખત, ઉદાહરણ તરીકે, અમે પવનની ગતિ દસ વખત માપીએ છીએ અને સરેરાશ મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ. વિતરણ કાર્ય સાથે સરેરાશ મૂલ્ય કેવી રીતે સંબંધિત છે?

અથવા અમે ડાઇસને ઘણી વખત ફેરવીશું. દરેક થ્રો સાથે ડાઇસ પર જે પોઈન્ટ દેખાશે તે રેન્ડમ વેરીએબલ છે અને તે 1 થી 6 સુધી કોઈપણ કુદરતી મૂલ્ય લઈ શકે છે. તમામ ડાઇસ ફેંકવા માટે ગણતરી કરાયેલા ડ્રોપ પોઈન્ટની અંકગણિત સરેરાશ પણ રેન્ડમ ચલ છે, પરંતુ મોટા પ્રમાણમાં એનતે ખૂબ જ ચોક્કસ સંખ્યા તરફ વલણ ધરાવે છે - ગાણિતિક અપેક્ષા Mx. IN આ કિસ્સામાં Mx = 3.5.

તમને આ મૂલ્ય કેવી રીતે મળ્યું? અંદર આવવા દો એનપરીક્ષણો n1એકવાર તમને 1 પોઈન્ટ મળે, n2એકવાર - 2 પોઇન્ટ અને તેથી વધુ. પછી પરિણામોની સંખ્યા જેમાં એક બિંદુ ઘટ્યું:

એ જ રીતે પરિણામો માટે જ્યારે 2, 3, 4, 5 અને 6 પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે.

ચાલો હવે માની લઈએ કે આપણે રેન્ડમ વેરીએબલ x નો વિતરણ કાયદો જાણીએ છીએ, એટલે કે, આપણે જાણીએ છીએ કે રેન્ડમ ચલ x x1, x2, ..., xk સંભાવનાઓ સાથે p1, p2, ..., pk

રેન્ડમ ચલ x ની ગાણિતિક અપેક્ષા Mx બરાબર છે:

ગાણિતિક અપેક્ષા હંમેશા અમુક રેન્ડમ ચલનો વાજબી અંદાજ નથી. તેથી, સરેરાશનો અંદાજ કાઢવો વેતનતે મધ્યકની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરવા માટે વધુ અર્થપૂર્ણ બને છે, એટલે કે, એવું મૂલ્ય કે જે સરેરાશ કરતાં ઓછો અને મોટો પગાર મેળવતા લોકોની સંખ્યા એકરૂપ થાય છે.

સંભવિતતા p1 કે રેન્ડમ ચલ x x1/2 કરતા ઓછું હશે, અને p2 સંભાવના કે રેન્ડમ ચલ x x1/2 કરતા વધારે હશે, તે સમાન છે અને 1/2 ની બરાબર છે. બધા વિતરણો માટે મધ્યક વિશિષ્ટ રીતે નિર્ધારિત થતો નથી.

પ્રમાણભૂત અથવા પ્રમાણભૂત વિચલનઆંકડાઓમાં, સરેરાશ મૂલ્યમાંથી અવલોકન ડેટા અથવા સેટના વિચલનની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. s અથવા s અક્ષરો દ્વારા સૂચિત. એક નાનું પ્રમાણભૂત વિચલન સૂચવે છે કે ડેટા ક્લસ્ટર સરેરાશની આસપાસ છે, જ્યારે મોટા પ્રમાણભૂત વિચલન સૂચવે છે કે પ્રારંભિક ડેટા તેનાથી દૂર સ્થિત છે. પ્રમાણભૂત વિચલનબરાબર વર્ગમૂળવિક્ષેપ કહેવાય જથ્થો. તે પ્રારંભિક ડેટાના સ્ક્વેર તફાવતોના સરવાળાની સરેરાશ છે જે સરેરાશ મૂલ્યથી વિચલિત થાય છે. રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે:

ઉદાહરણ. લક્ષ્ય પર શૂટિંગ કરતી વખતે પરીક્ષણ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, રેન્ડમ ચલના વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો:

ભિન્નતા- વધઘટ, વસ્તીના એકમોમાં લાક્ષણિકતાના મૂલ્યની પરિવર્તનક્ષમતા. અલગ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોઅભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીમાં જોવા મળતી લાક્ષણિકતાઓને અર્થના પ્રકારો કહેવામાં આવે છે. માટે અપર્યાપ્ત સરેરાશ મૂલ્ય સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓવસ્તી અમને સૂચકાંકો સાથે સરેરાશ મૂલ્યોને પૂરક બનાવવા દબાણ કરે છે જે અમને અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનશીલતા (વિવિધતા) માપવા દ્વારા આ સરેરાશની લાક્ષણિકતાનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિવિધતાના ગુણાંકની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

વિવિધતાની શ્રેણી(R) અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીમાં વિશેષતાના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતને રજૂ કરે છે. આ સૂચક સૌથી વધુ આપે છે સામાન્ય વિચારઅભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાની પરિવર્તનશીલતા વિશે, કારણ કે તે ફક્ત વિકલ્પોના મર્યાદિત મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત દર્શાવે છે. લાક્ષણિકતાના આત્યંતિક મૂલ્યો પર નિર્ભરતા વિવિધતાના અવકાશને અસ્થિર, રેન્ડમ પાત્ર આપે છે.

સરેરાશ રેખીય વિચલનવિશ્લેષણ કરેલ વસ્તીના તમામ મૂલ્યોના તેમના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી સંપૂર્ણ (મોડ્યુલો) વિચલનોના અંકગણિત સરેરાશને રજૂ કરે છે:

જુગાર સિદ્ધાંતમાં ગાણિતિક અપેક્ષા

ગાણિતિક અપેક્ષા છેઆપેલ દાવ પર જુગારી જીતી કે હારી શકે તેટલી સરેરાશ રકમ. આ ખેલાડી માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે કારણ કે તે મોટાભાગની ગેમિંગ પરિસ્થિતિઓના મૂલ્યાંકન માટે મૂળભૂત છે. મૂળભૂત કાર્ડ લેઆઉટ અને ગેમિંગ પરિસ્થિતિઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ગાણિતિક અપેક્ષા એ પણ શ્રેષ્ઠ સાધન છે.

ચાલો કહીએ કે તમે મિત્ર સાથે સિક્કાની રમત રમી રહ્યાં છો, દરેક વખતે $1 ની સમાન શરત લગાવો, પછી ભલે ગમે તે આવે. પૂંછડી એટલે તમે જીતો છો, માથું એટલે તમે હારી ગયા છો. મતભેદ એકથી એક છે કે તે આગળ આવશે, તેથી તમે $1 થી $1 પર હોડ લગાવો. આમ, તમારી ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય છે, કારણ કે ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, તમે જાણી શકતા નથી કે તમે બે થ્રો પછી કે 200 પછી લીડ કરશો કે હારશો.

તમારો કલાકદીઠ લાભ શૂન્ય છે. કલાકદીઠ જીત એ એક કલાકમાં તમે જીતવાની અપેક્ષા રાખતા નાણાંની રકમ છે. તમે એક કલાકમાં 500 વખત સિક્કો ફેંકી શકો છો, પરંતુ તમે જીતશો કે હારશો નહીં કારણ કે... તમારી તકો સકારાત્મક કે નકારાત્મક નથી. જો તમે તેને જુઓ, ગંભીર ખેલાડીના દૃષ્ટિકોણથી, આ સટ્ટાબાજીની સિસ્ટમ ખરાબ નથી. પરંતુ આ ફક્ત સમયનો બગાડ છે.

પરંતુ ચાલો કહીએ કે કોઈ વ્યક્તિ સમાન રમત પર તમારા $1 સામે $2ની દાવ લગાવવા માંગે છે. પછી તમે તરત જ દરેક શરતમાંથી 50 સેન્ટની હકારાત્મક અપેક્ષા રાખો છો. શા માટે 50 સેન્ટ્સ? સરેરાશ, તમે એક શરત જીતો છો અને બીજી હારી જાઓ છો. પ્રથમ ડોલર પર શરત લગાવો અને તમે $1 ગુમાવશો, બીજા પર શરત લગાવો અને તમે $2 જીતશો. તમે બે વાર $1 શરત લગાવો છો અને $1થી આગળ છો. તેથી તમારી દરેક એક-ડોલર બેટ્સે તમને 50 સેન્ટ આપ્યા.

જો સિક્કો એક કલાકમાં 500 વખત દેખાય છે, તો તમારી પ્રતિ કલાકની જીત પહેલેથી જ $250 હશે, કારણ કે... સરેરાશ, તમે 250 વખત એક ડોલર ગુમાવ્યો અને 250 વખત બે ડોલર જીત્યા. $500 ઓછા $250 બરાબર $250, જે કુલ જીત છે. કૃપા કરીને નોંધો કે અપેક્ષિત મૂલ્ય, જે તમે શરત દીઠ જીતેલી સરેરાશ રકમ છે, તે 50 સેન્ટ છે. તમે એક ડોલર પર 500 વખત સટ્ટો લગાવીને $250 જીત્યા, જે શરત દીઠ 50 સેન્ટની બરાબર છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાને ટૂંકા ગાળાના પરિણામો સાથે કોઈ લેવાદેવા નથી. તમારો પ્રતિસ્પર્ધી, જેણે તમારી સામે $2ની શરત લગાવવાનું નક્કી કર્યું છે, તે તમને સળંગ પ્રથમ દસ રોલ્સ પર હરાવી શકે છે, પરંતુ તમે, 2 થી 1 સટ્ટાબાજીનો ફાયદો મેળવતા, અન્ય તમામ બાબતો સમાન હોવાને કારણે, કોઈપણમાં દરેક $1 શરત પર 50 સેન્ટની કમાણી કરશો. સંજોગો જ્યાં સુધી તમારી પાસે ખર્ચને આરામથી કવર કરવા માટે પૂરતી રોકડ હોય ત્યાં સુધી તમે એક શરત જીતો કે ગુમાવો કે પછી અનેક દાવમાં કોઈ ફરક પડતો નથી. જો તમે એ જ રીતે શરત લગાવવાનું ચાલુ રાખો, તો પછી માટે લાંબી અવધિસમય જતાં, તમારી જીત વ્યક્તિગત રોલ્સમાં અપેક્ષિત મૂલ્યોના સરવાળા સુધી પહોંચી જશે.

જ્યારે પણ તમે શ્રેષ્ઠ દાવ લગાવો છો (એક શરત જે લાંબા ગાળે નફાકારક બની શકે છે), જ્યારે મતભેદ તમારી તરફેણમાં હોય છે, ત્યારે તમે તેના પર કંઈક જીતવા માટે બંધાયેલા છો, પછી ભલે તમે તેને ગુમાવો કે નહીં આપેલ હાથ. તેનાથી વિપરિત, જો તમે અંડરડોગ શરત કરો છો (એક શરત જે લાંબા ગાળે બિનલાભકારક હોય છે) જ્યારે મતભેદ તમારી સામે હોય, તો તમે જીતો છો અથવા હાથ ગુમાવો છો તે ધ્યાનમાં લીધા વિના તમે કંઈક ગુમાવો છો.

જો તમારી અપેક્ષા સકારાત્મક હોય તો તમે શ્રેષ્ઠ પરિણામ સાથે શરત લગાવો છો અને જો મતભેદ તમારી બાજુમાં હોય તો તે હકારાત્મક છે. જ્યારે તમે સૌથી ખરાબ પરિણામ સાથે શરત લગાવો છો, ત્યારે તમારી પાસે નકારાત્મક અપેક્ષા હોય છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે મતભેદ તમારી વિરુદ્ધ હોય. ગંભીર ખેલાડીઓ માત્ર શ્રેષ્ઠ પરિણામ પર શરત લગાવે છે જો સૌથી ખરાબ થાય, તો તેઓ ફોલ્ડ કરે છે. તમારી તરફેણમાં મતભેદનો અર્થ શું છે? તમે વાસ્તવિક મતભેદ લાવવા કરતાં વધુ જીતી શકો છો. લેન્ડિંગ હેડની વાસ્તવિક ઓડ્સ 1 થી 1 છે, પરંતુ ઓડ્સ રેશિયોને કારણે તમને 2 થી 1 મળે છે. આ કિસ્સામાં, મતભેદ તમારી તરફેણમાં છે. તમે ચોક્કસપણે 50 સેન્ટ પ્રતિ શરતની હકારાત્મક અપેક્ષા સાથે શ્રેષ્ઠ પરિણામ મેળવો છો.

અહીં ગાણિતિક અપેક્ષાનું વધુ જટિલ ઉદાહરણ છે. એક મિત્ર એકથી પાંચ સુધીના નંબરો લખે છે અને તમારા $1 સામે $5નો દાવ લગાવે છે કે તમે નંબરનો અંદાજ નહીં લગાવો. શું તમારે આવી શરત માટે સંમત થવું જોઈએ? અહીં અપેક્ષા શું છે?

સરેરાશ તમે ચાર વખત ખોટા હશો. આના આધારે, તમારી સંખ્યાનો અનુમાન લગાવવા સામે મતભેદ 4 થી 1 છે. એક પ્રયાસમાં તમે એક ડોલર ગુમાવવા સામે મતભેદ. જો કે, તમે 4 થી 1 હારવાની સંભાવના સાથે 5 થી 1 જીતો છો. તેથી મતભેદ તમારી તરફેણમાં છે, તમે શરત લગાવી શકો છો અને શ્રેષ્ઠ પરિણામની આશા રાખી શકો છો. જો તમે આ શરત પાંચ વખત કરો છો, તો સરેરાશ તમે ચાર વખત $1 ગુમાવશો અને એકવાર $5 જીતશો. આના આધારે, તમામ પાંચ પ્રયાસો માટે તમે શરત દીઠ 20 સેન્ટની હકારાત્મક ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે $1 કમાવશો.

ઉપરના ઉદાહરણની જેમ, એક ખેલાડી જે તેણે દાવ કરતાં વધુ જીતવાની અપેક્ષા રાખે છે, તે તકો લઈ રહ્યો છે. તેનાથી વિપરિત, જ્યારે તે પોતાની શરત કરતા ઓછા જીતવાની અપેક્ષા રાખે છે ત્યારે તે તેની તકોનો નાશ કરે છે. શરત લગાવનાર પાસે સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક અપેક્ષા હોઈ શકે છે, જે તેના પર નિર્ભર કરે છે કે તે મતભેદ જીતે છે કે નષ્ટ કરે છે.

જો તમે જીતવાની 4 થી 1 તક સાથે $10 જીતવા માટે $50 પર દાવ લગાવો છો, તો તમને $2 ની નકારાત્મક અપેક્ષા મળશે કારણ કે સરેરાશ, તમે ચાર વખત $10 જીતશો અને એકવાર $50 ગુમાવશો, જે દર્શાવે છે કે શરત દીઠ નુકસાન $10 હશે. પરંતુ જો તમે 4 થી 1 જીતવાના સમાન મતભેદ સાથે $10 જીતવા માટે $30 પર દાવ લગાવો છો, તો આ કિસ્સામાં તમારી પાસે $2ની સકારાત્મક અપેક્ષા છે, કારણ કે તમે ફરીથી $10 ચાર વખત જીતો અને એકવાર $30 ગુમાવો, $10 ના નફા માટે. આ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે પ્રથમ શરત ખરાબ છે, અને બીજી સારી છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા એ કોઈપણ ગેમિંગ પરિસ્થિતિનું કેન્દ્ર છે. જ્યારે કોઈ બુકમેકર ફૂટબોલ ચાહકોને $10 જીતવા માટે $11 પર શરત લગાવવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે, ત્યારે તે દરેક $10 પર 50 સેન્ટની સકારાત્મક અપેક્ષા રાખે છે. જો કેસિનો પાસ લાઇનમાંથી ક્રેપ્સમાં પણ પૈસા ચૂકવે છે, તો કેસિનોની હકારાત્મક અપેક્ષા દરેક $100 માટે આશરે $1.40 હશે, કારણ કે આ રમત એવી રીતે રચવામાં આવી છે કે જે કોઈ પણ આ લાઇન પર દાવ લગાવે છે તે સરેરાશ 50.7% ગુમાવે છે અને કુલ સમયના 49.3% જીતે છે. નિઃશંકપણે, આ મોટે ભાગે ન્યૂનતમ હકારાત્મક અપેક્ષા છે જે વિશ્વભરના કેસિનોના માલિકોને પ્રચંડ નફો લાવે છે. જેમ કે વેગાસ વર્લ્ડ કેસિનો માલિક બોબ સ્ટુપકે નોંધ્યું છે કે, "લાંબા અંતર પર એક ટકા નકારાત્મક સંભાવનાનો એક હજારમો ભાગ બરબાદ થઈ જશે. સૌથી ધનિક માણસવિશ્વમાં."

પોકર રમતી વખતે અપેક્ષા

પોકર ગેમ એ ગાણિતિક અપેક્ષાના સિદ્ધાંત અને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાના દૃષ્ટિકોણથી સૌથી દૃષ્ટાંતરૂપ અને ઉદાહરણરૂપ ઉદાહરણ છે.

પોકરમાં અપેક્ષિત મૂલ્ય એ ચોક્કસ નિર્ણયથી સરેરાશ લાભ છે, જો કે આવા નિર્ણયને મોટી સંખ્યા અને લાંબા અંતરના સિદ્ધાંતના માળખામાં ધ્યાનમાં લઈ શકાય. સફળ પોકર ગેમ હંમેશા હકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય સાથે ચાલને સ્વીકારે છે.

પોકર રમતી વખતે ગાણિતિક અપેક્ષાનો ગાણિતિક અર્થ એ છે કે નિર્ણયો લેતી વખતે આપણે ઘણીવાર રેન્ડમ ચલોનો સામનો કરીએ છીએ (અમે જાણતા નથી કે વિરોધીના હાથમાં કયા કાર્ડ છે, સટ્ટાબાજીના અનુગામી રાઉન્ડમાં કયા કાર્ડ્સ આવશે). આપણે દરેક ઉકેલોને મોટી સંખ્યાના સિદ્ધાંતના દૃષ્ટિકોણથી ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ, જે જણાવે છે કે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા નમૂના સાથે, રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય તેની ગાણિતિક અપેક્ષાને વળગી રહેશે.

ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરવા માટેના ચોક્કસ સૂત્રો પૈકી, પોકરમાં નીચેના સૌથી વધુ લાગુ પડે છે:

પોકર રમતી વખતે, બેટ્સ અને કોલ બંને માટે અપેક્ષિત મૂલ્યની ગણતરી કરી શકાય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, ફોલ્ડ ઇક્વિટી ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ, બીજા કિસ્સામાં, બેંકની પોતાની મતભેદ. કોઈ ચોક્કસ ચાલની ગાણિતિક અપેક્ષાનું મૂલ્યાંકન કરતી વખતે, તમારે યાદ રાખવું જોઈએ કે ફોલ્ડમાં હંમેશા શૂન્ય અપેક્ષા હોય છે. આમ, કાર્ડ કાઢી નાખવું એ કોઈપણ નકારાત્મક ચાલ કરતાં હંમેશા વધુ નફાકારક નિર્ણય હશે.

અપેક્ષા તમને જણાવે છે કે તમે જોખમમાં રહેલા દરેક ડોલર માટે તમે શું અપેક્ષા રાખી શકો છો (નફો કે નુકસાન). કેસિનો પૈસા કમાય છે કારણ કે તેમાં રમાતી તમામ રમતોની ગાણિતિક અપેક્ષા કેસિનોની તરફેણમાં છે. રમતોની લાંબી પર્યાપ્ત શ્રેણી સાથે, તમે અપેક્ષા કરી શકો છો કે ક્લાયંટ તેના પૈસા ગુમાવશે, કારણ કે "વિષમતા" કેસિનોની તરફેણમાં છે. જો કે, પ્રોફેશનલ કેસિનો ખેલાડીઓ તેમની રમતોને ટૂંકા ગાળા સુધી મર્યાદિત કરે છે, જેનાથી તેમની તરફેણમાં મતભેદ ઊભા થાય છે. તે જ રોકાણ માટે જાય છે. જો તમારી અપેક્ષા સકારાત્મક છે, તો તમે ટૂંકા ગાળામાં ઘણા સોદા કરીને વધુ પૈસા કમાઈ શકો છો. અપેક્ષા એ તમારી જીત દીઠ નફાની ટકાવારી છે જે તમારા સરેરાશ નફાથી ગુણાકાર કરે છે, તમારી નુકસાનની સંભાવનાને તમારા સરેરાશ નુકસાનથી ગુણાકાર કરે છે.

પોકરને ગાણિતિક અપેક્ષાના દૃષ્ટિકોણથી પણ ગણી શકાય. તમે ધારી શકો છો કે ચોક્કસ ચાલ નફાકારક છે, પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે શ્રેષ્ઠ ન હોઈ શકે કારણ કે બીજી ચાલ વધુ નફાકારક છે. ચાલો કહીએ કે તમે પાંચ-કાર્ડ ડ્રો પોકરમાં સંપૂર્ણ ઘર મેળવ્યું છે. તમારો પ્રતિસ્પર્ધી શરત લગાવે છે. તમે જાણો છો કે જો તમે દાવ વધારશો, તો તે જવાબ આપશે. તેથી, ઉછેર એ શ્રેષ્ઠ યુક્તિ હોવાનું જણાય છે. પરંતુ જો તમે શરત વધારશો, તો બાકીના બે ખેલાડીઓ ચોક્કસપણે ફોલ્ડ થશે. પરંતુ જો તમે ફોન કરો છો, તો તમને પૂરો વિશ્વાસ છે કે તમારી પાછળના અન્ય બે ખેલાડીઓ પણ આવું જ કરશે. જ્યારે તમે તમારી શરત વધારશો ત્યારે તમને એક યુનિટ મળે છે, અને જ્યારે તમે ફક્ત કૉલ કરો છો ત્યારે તમને બે મળે છે. આમ, કૉલિંગ તમને ઉચ્ચ હકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય આપે છે અને શ્રેષ્ઠ યુક્તિ હશે.

ગાણિતિક અપેક્ષા એ પણ ખ્યાલ આપી શકે છે કે કઈ પોકર યુક્તિઓ ઓછી નફાકારક છે અને કઈ વધુ નફાકારક છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે કોઈ ચોક્કસ હાથ વગાડો છો અને તમને લાગે છે કે તમારું નુકસાન સરેરાશ 75 સેન્ટ્સ હશે, તો તમારે તે હાથ વગાડવો જોઈએ કારણ કે જ્યારે $1 હોય ત્યારે ફોલ્ડિંગ કરતાં આ વધુ સારું છે.

અન્ય મહત્વપૂર્ણ કારણગાણિતિક અપેક્ષાનો સાર સમજવા માટે તે તમને શાંતિનો અહેસાસ આપે છે પછી ભલે તમે દાવ જીતો કે ન જીતો: જો તમે સારી દાવ લગાવી હોય અથવા સમયસર ફોલ્ડ કરો, તો તમે જાણશો કે તમે ચોક્કસ રકમ કમાઈ છે અથવા બચાવી છે. નબળા ખેલાડી બચાવી શક્યા ન હતા. જો તમે અસ્વસ્થ હોવ તો તમારા પ્રતિસ્પર્ધીએ વધુ મજબૂત હાથ દોર્યો હોવાથી તેને ફોલ્ડ કરવું વધુ મુશ્કેલ છે. આ બધા સાથે, તમે સટ્ટાબાજીને બદલે ન રમીને જે પૈસા બચાવો છો તે રાત અથવા મહિના માટે તમારી જીતમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

ફક્ત યાદ રાખો કે જો તમે તમારા હાથ બદલ્યા હોત, તો તમારા વિરોધીએ તમને બોલાવ્યા હોત, અને તમે પોકર લેખના મૂળભૂત પ્રમેયમાં જોશો તેમ, આ તમારા ફાયદાઓમાંનો એક છે. જ્યારે આવું થાય ત્યારે તમારે ખુશ થવું જોઈએ. તમે હાથ ગુમાવવાનો આનંદ માણવાનું પણ શીખી શકો છો કારણ કે તમે જાણો છો કે તમારી સ્થિતિમાં અન્ય ખેલાડીઓએ ઘણું ગુમાવ્યું હશે.

શરૂઆતમાં સિક્કા રમતના ઉદાહરણમાં ચર્ચા કર્યા મુજબ, નફાનો કલાકદીઠ દર ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે સંબંધિત છે, અને આ ખ્યાલખાસ કરીને વ્યાવસાયિક ખેલાડીઓ માટે મહત્વપૂર્ણ. જ્યારે તમે પોકર રમવા જાઓ છો, ત્યારે તમારે માનસિક રીતે અંદાજ લગાવવો જોઈએ કે તમે રમતના એક કલાકમાં કેટલું જીતી શકો છો. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં તમારે તમારા અંતર્જ્ઞાન અને અનુભવ પર આધાર રાખવો પડશે, પરંતુ તમે કેટલાક ગણિતનો ઉપયોગ પણ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ડ્રો લોબોલ રમી રહ્યા છો અને તમે જુઓ છો કે ત્રણ ખેલાડીઓ $10 પર દાવ લગાવે છે અને પછી બે કાર્ડનો વેપાર કરે છે, જે ખૂબ જ ખરાબ યુક્તિ છે, તમે સમજી શકો છો કે જ્યારે પણ તેઓ $10 પર શરત લગાવે છે, ત્યારે તેઓ લગભગ $2 ગુમાવે છે. તેમાંથી દરેક કલાક દીઠ આઠ વખત આ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે તે ત્રણેય કલાક દીઠ આશરે $48 ગુમાવે છે. તમે બાકીના ચાર ખેલાડીઓમાંના એક છો જે લગભગ સમાન છે, તેથી આ ચાર ખેલાડીઓ (અને તમે તેમાંથી) $48 વિભાજિત કરવા જોઈએ, દરેક કલાક દીઠ $12 નો નફો કરે છે. આ કિસ્સામાં તમારા કલાકદીઠ મતભેદો એક કલાકમાં ત્રણ ખરાબ ખેલાડીઓ દ્વારા ગુમાવેલ નાણાંની રકમના તમારા હિસ્સાની બરાબર છે.

લાંબા સમયગાળા દરમિયાન, ખેલાડીની કુલ જીત વ્યક્તિગત હાથમાં તેની ગાણિતિક અપેક્ષાઓનો સરવાળો છે. સકારાત્મક અપેક્ષા સાથે તમે જેટલા વધુ હાથ રમશો, તેટલા વધુ તમે જીતશો અને તેનાથી વિપરીત, તમે નકારાત્મક અપેક્ષા સાથે જેટલા વધુ હાથ રમશો, તેટલા તમે ગુમાવશો. પરિણામે, તમારે એવી રમત પસંદ કરવી જોઈએ જે તમારી સકારાત્મક અપેક્ષાને મહત્તમ કરી શકે અથવા તમારી નકારાત્મક અપેક્ષાને નકારી શકે જેથી કરીને તમે તમારી પ્રતિ કલાકની જીતને મહત્તમ કરી શકો.

ગેમિંગ વ્યૂહરચનામાં હકારાત્મક ગાણિતિક અપેક્ષા

જો તમે કાર્ડની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણો છો, તો તમને કેસિનો પર ફાયદો થઈ શકે છે જો તેઓ ધ્યાન ન આપે અને તમને બહાર ફેંકી દે. કસિનો પીધેલા ખેલાડીઓને પસંદ કરે છે અને કાર્ડ ગણનારા ખેલાડીઓને સહન કરતા નથી. ફાયદો તમને સમય સાથે જીતવા દેશે. મોટી સંખ્યાગુમાવવા કરતાં ઘણી વખત. સારું સંચાલનઅપેક્ષિત મૂલ્યની ગણતરીનો ઉપયોગ કરતી વખતે મૂડી તમને તમારા ફાયદામાંથી વધુ નફો મેળવવા અને તમારા નુકસાનને ઘટાડવામાં મદદ કરી શકે છે. લાભ વિના, તમે ચેરિટીમાં પૈસા આપવાનું વધુ સારું કરશો. સ્ટોક એક્સચેન્જ પરની રમતમાં, ગેમ સિસ્ટમ દ્વારા ફાયદો આપવામાં આવે છે, જે નુકસાન, કિંમતમાં તફાવત અને કમિશન કરતાં વધુ નફો બનાવે છે. મની મેનેજમેન્ટની કોઈપણ રકમ ખરાબ ગેમિંગ સિસ્ટમને બચાવી શકતી નથી.

હકારાત્મક અપેક્ષાને શૂન્ય કરતાં વધુ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ સંખ્યા જેટલી મોટી છે, આંકડાકીય અપેક્ષા એટલી જ મજબૂત છે. જો મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય, તો ગાણિતિક અપેક્ષા પણ નકારાત્મક હશે. નકારાત્મક મૂલ્યનું મોડ્યુલ જેટલું મોટું છે, તેટલી ખરાબ પરિસ્થિતિ. જો પરિણામ શૂન્ય છે, તો રાહ જોવી બ્રેક-ઇવન છે. તમે ત્યારે જ જીતી શકો છો જ્યારે તમારી પાસે સકારાત્મક ગાણિતિક અપેક્ષા હોય અને વાજબી રમતની સિસ્ટમ હોય. અંતઃપ્રેરણાથી રમવાથી આપત્તિ થાય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષા અને સ્ટોક ટ્રેડિંગ

નાણાકીય બજારોમાં એક્સચેન્જ ટ્રેડિંગ હાથ ધરતી વખતે ગાણિતિક અપેક્ષા એ એકદમ વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતું અને લોકપ્રિય આંકડાકીય સૂચક છે. સૌ પ્રથમ, આ પરિમાણનો ઉપયોગ વેપારની સફળતાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે આ મૂલ્ય જેટલું ઊંચું હશે, તેટલા વધુ કારણોને ધ્યાનમાં લેવાના વેપારનો સફળ અભ્યાસ કરવામાં આવશે. અલબત્ત, એકલા આ પરિમાણનો ઉપયોગ કરીને વેપારીના કાર્યનું વિશ્લેષણ કરી શકાતું નથી. જો કે, ગણતરી કરેલ મૂલ્ય, કાર્યની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે સંયોજનમાં, વિશ્લેષણની ચોકસાઈમાં નોંધપાત્ર વધારો કરી શકે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી મોટાભાગે ટ્રેડિંગ એકાઉન્ટ મોનિટરિંગ સેવાઓમાં કરવામાં આવે છે, જે તમને ડિપોઝિટ પર કરવામાં આવેલા કાર્યનું ઝડપથી મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. અપવાદોમાં એવી વ્યૂહરચનાઓનો સમાવેશ થાય છે જે "બેઠક" નફાકારક વેપારનો ઉપયોગ કરે છે. વેપારી થોડા સમય માટે ભાગ્યશાળી હોઈ શકે છે, અને તેથી તેના કામમાં કોઈ નુકસાન ન હોઈ શકે. આ કિસ્સામાં, ફક્ત ગાણિતિક અપેક્ષા દ્વારા માર્ગદર્શન મેળવવું શક્ય બનશે નહીં, કારણ કે કાર્યમાં ઉપયોગમાં લેવાતા જોખમોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે નહીં.

માર્કેટ ટ્રેડિંગમાં, કોઈપણ ટ્રેડિંગ વ્યૂહરચનાની નફાકારકતાની આગાહી કરતી વખતે અથવા તેના અગાઉના ટ્રેડિંગના આંકડાકીય ડેટાના આધારે વેપારીની આવકની આગાહી કરતી વખતે ગાણિતિક અપેક્ષાનો ઉપયોગ મોટાભાગે થાય છે.

મની મેનેજમેન્ટના સંદર્ભમાં, તે સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે નકારાત્મક અપેક્ષાઓ સાથે વેપાર કરતી વખતે, ત્યાં કોઈ મની મેનેજમેન્ટ સ્કીમ નથી જે ચોક્કસપણે ઉચ્ચ નફો લાવી શકે. જો તમે આ શરતો હેઠળ શેરબજાર રમવાનું ચાલુ રાખો છો, તો પછી તમે તમારા નાણાંનું સંચાલન કેવી રીતે કરો છો તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, તમે તમારું આખું ખાતું ગુમાવશો, પછી ભલે તે કેટલું મોટું હોય.

આ સિદ્ધાંત માત્ર નકારાત્મક અપેક્ષા સાથેની રમતો અથવા વેપાર માટે જ સાચું નથી, તે સમાન તકો ધરાવતી રમતો માટે પણ સાચું છે. તેથી, જો તમે સકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય સાથે વેપાર કરો છો તો જ તમારી પાસે લાંબા ગાળે નફો કરવાની તક છે.

નકારાત્મક અપેક્ષા અને હકારાત્મક અપેક્ષા વચ્ચેનો તફાવત એ જીવન અને મૃત્યુ વચ્ચેનો તફાવત છે. અપેક્ષા કેટલી હકારાત્મક કે કેટલી નકારાત્મક છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી; તે સકારાત્મક છે કે નકારાત્મક છે તે મહત્વનું છે. તેથી, મની મેનેજમેન્ટને ધ્યાનમાં લેતા પહેલા, તમારે સકારાત્મક અપેક્ષા સાથે રમત શોધવી જોઈએ.

જો તમારી પાસે તે રમત નથી, તો પછી વિશ્વની તમામ નાણાં વ્યવસ્થાપન તમને બચાવશે નહીં. બીજી બાજુ, જો તમારી પાસે સકારાત્મક અપેક્ષા હોય, તો તમે યોગ્ય નાણાં વ્યવસ્થાપન દ્વારા, તેને ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ કાર્યમાં ફેરવી શકો છો. હકારાત્મક અપેક્ષા કેટલી નાની છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી! બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક કરાર પર આધારિત ટ્રેડિંગ સિસ્ટમ કેટલી નફાકારક છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. જો તમારી પાસે એવી સિસ્ટમ હોય કે જે પ્રતિ વેપાર પ્રતિ કરાર $10 જીતે છે (કમિશન અને સ્લિપેજ પછી), તો તમે મની મેનેજમેન્ટ ટેકનિકનો ઉપયોગ કરીને તેને વેપાર દીઠ સરેરાશ $1,000 (કમિશન અને સ્લિપેજની કપાત પછી) કરતાં વધુ નફાકારક બનાવવા માટે વાપરી શકો છો.

સિસ્ટમ કેટલી નફાકારક હતી તે મહત્વનું નથી, પરંતુ સિસ્ટમને ભવિષ્યમાં ઓછામાં ઓછો નફો દર્શાવવા માટે કેટલું નિશ્ચિત કહી શકાય તે મહત્વનું છે. તેથી, વેપારી જે સૌથી મહત્વની તૈયારી કરી શકે છે તે સુનિશ્ચિત કરવાની છે કે સિસ્ટમ ભવિષ્યમાં હકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય બતાવશે.

ભવિષ્યમાં હકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય મેળવવા માટે, તમારી સિસ્ટમની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીને મર્યાદિત ન કરવી તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. આ ફક્ત ઑપ્ટિમાઇઝ કરવાના પરિમાણોની સંખ્યાને દૂર કરીને અથવા ઘટાડીને જ નહીં, પણ શક્ય તેટલા સિસ્ટમ નિયમોને ઘટાડીને પણ પ્રાપ્ત થાય છે. તમે ઉમેરો છો તે દરેક પરિમાણ, તમે બનાવેલ દરેક નિયમ, તમે સિસ્ટમમાં કરો છો તે દરેક નાનો ફેરફાર સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ઘટાડે છે. આદર્શ રીતે, તમારે એકદમ આદિમ અને બિલ્ડ કરવાની જરૂર છે સરળ સિસ્ટમ, જે લગભગ કોઈપણ માર્કેટમાં સતત નાનો નફો જનરેટ કરશે. ફરીથી, તમારા માટે એ સમજવું અગત્યનું છે કે જ્યાં સુધી તે નફાકારક છે ત્યાં સુધી સિસ્ટમ કેટલી નફાકારક છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. તમે ટ્રેડિંગમાંથી જે પૈસા કમાવો છો તે તેના દ્વારા કમાવામાં આવશે અસરકારક સંચાલનપૈસા

ટ્રેડિંગ સિસ્ટમ એ ફક્ત એક સાધન છે જે તમને હકારાત્મક અપેક્ષિત મૂલ્ય આપે છે જેથી તમે મની મેનેજમેન્ટનો ઉપયોગ કરી શકો. સિસ્ટમો કે જે ફક્ત એક અથવા થોડા બજારોમાં કામ કરે છે (ઓછામાં ઓછો નફો બતાવે છે), અથવા વિવિધ બજારો માટે વિવિધ નિયમો અથવા પરિમાણો ધરાવે છે, તે મોટાભાગે લાંબા સમય સુધી વાસ્તવિક સમયમાં કામ કરશે નહીં. મોટાભાગના તકનીકી લક્ષી વેપારીઓની સમસ્યા એ છે કે તેઓ ઑપ્ટિમાઇઝેશન પર ઘણો સમય અને પ્રયત્નો ખર્ચે છે વિવિધ નિયમોઅને ટ્રેડિંગ સિસ્ટમ પેરામીટર્સના મૂલ્યો. આ સંપૂર્ણપણે વિપરીત પરિણામો આપે છે. ટ્રેડિંગ સિસ્ટમનો નફો વધારવામાં ઊર્જા અને કમ્પ્યુટરનો સમય બગાડવાને બદલે, તમારી ઊર્જાને ન્યૂનતમ નફો મેળવવાની વિશ્વસનીયતાના સ્તરને વધારવા માટે દિશામાન કરો.

મની મેનેજમેન્ટ એ માત્ર સંખ્યાઓની રમત છે જેમાં હકારાત્મક અપેક્ષાઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે તે જાણીને, વેપારી સ્ટોક ટ્રેડિંગની "હોલી ગ્રેઇલ" શોધવાનું બંધ કરી શકે છે. તેના બદલે, તે તેની ટ્રેડિંગ પદ્ધતિનું પરીક્ષણ શરૂ કરી શકે છે, આ પદ્ધતિ કેટલી તાર્કિક છે અને તે હકારાત્મક અપેક્ષાઓ આપે છે કે કેમ તે શોધી શકે છે. યોગ્ય પદ્ધતિઓમની મેનેજમેન્ટ, કોઈપણ, ખૂબ જ સામાન્ય ટ્રેડિંગ પદ્ધતિઓ પર લાગુ, બાકીનું કામ પોતે કરશે.

કોઈપણ વેપારીને તેના કાર્યમાં સફળ થવા માટે, તેણે સૌથી વધુ ત્રણ ઉકેલવાની જરૂર છે મહત્વપૂર્ણ કાર્યો: . સફળ વ્યવહારોની સંખ્યા અનિવાર્ય ભૂલો અને ખોટી ગણતરીઓ કરતાં વધી જાય તેની ખાતરી કરવા માટે; તમારી ટ્રેડિંગ સિસ્ટમ સેટ કરો જેથી તમને શક્ય તેટલી વાર પૈસા કમાવવાની તક મળે; તમારી કામગીરીમાંથી સ્થિર હકારાત્મક પરિણામો પ્રાપ્ત કરો.

અને અહીં, અમારા કામ કરતા વેપારીઓ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા ખૂબ મદદરૂપ થઈ શકે છે. આ શબ્દ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય મુદ્દાઓમાંનો એક છે. તેની મદદથી, તમે કેટલાક રેન્ડમ મૂલ્યનો સરેરાશ અંદાજ આપી શકો છો. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર જેવી જ છે, જો તમે તમામ સંભવિત સંભાવનાઓને જુદા જુદા સમૂહ સાથેના બિંદુઓ તરીકે કલ્પના કરો છો.

ટ્રેડિંગ વ્યૂહરચનાના સંબંધમાં, નફા (અથવા નુકસાન)ની ગાણિતિક અપેક્ષાનો ઉપયોગ તેની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે. આ પરિમાણને નફા અને નુકસાનના આપેલ સ્તરોના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને તેમની ઘટનાની સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિકસિત ટ્રેડિંગ વ્યૂહરચના ધારે છે કે તમામ વ્યવહારોમાંથી 37% નફો લાવશે, અને બાકીનો ભાગ - 63% - બિનલાભકારી હશે. તે જ સમયે, સફળ વ્યવહારમાંથી સરેરાશ આવક $7 હશે અને સરેરાશ નુકસાન $1.4 હશે. ચાલો આ સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને વેપારની ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી કરીએ:

આ સંખ્યાનો અર્થ શું છે? તે કહે છે કે, આ સિસ્ટમના નિયમોને અનુસરીને, અમને દરેક બંધ વ્યવહારમાંથી સરેરાશ $1,708 પ્રાપ્ત થશે. પરિણામી કાર્યક્ષમતા રેટિંગ શૂન્ય કરતા વધારે હોવાથી, આવી સિસ્ટમનો વાસ્તવિક કાર્ય માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે. જો, ગણતરીના પરિણામે, ગાણિતિક અપેક્ષા નકારાત્મક બહાર આવે છે, તો આ પહેલેથી જ સરેરાશ નુકસાન સૂચવે છે અને આવા વેપાર વિનાશ તરફ દોરી જશે.

ટ્રાન્ઝેક્શન દીઠ નફાની રકમ પણ % ના રૂપમાં સંબંધિત મૂલ્ય તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

- 1 વ્યવહાર દીઠ આવકની ટકાવારી - 5%;

- સફળ ટ્રેડિંગ કામગીરીની ટકાવારી - 62%;

- 1 વ્યવહાર દીઠ નુકસાનની ટકાવારી - 3%;

- અસફળ વ્યવહારોની ટકાવારી - 38%;

એટલે કે, સરેરાશ વેપાર 1.96% લાવશે.

એવી સિસ્ટમ વિકસાવવી શક્ય છે જે, બિનલાભકારી વેપારના વર્ચસ્વ હોવા છતાં, આપશે હકારાત્મક પરિણામ, તેના MO>0 થી.

જો કે, એકલા રાહ જોવી પૂરતી નથી. જો સિસ્ટમ બહુ ઓછા ટ્રેડિંગ સંકેતો આપે તો પૈસા કમાવવા મુશ્કેલ છે. આ કિસ્સામાં, તેની નફાકારકતા બેંક વ્યાજ સાથે તુલનાત્મક હશે. દરેક ઑપરેશનને સરેરાશ માત્ર 0.5 ડૉલરનું ઉત્પાદન કરવા દો, પરંતુ જો સિસ્ટમમાં દર વર્ષે 1000 ઑપરેશન સામેલ હોય તો શું? પ્રમાણમાં ઓછા સમયમાં આ ખૂબ જ ગંભીર રકમ હશે. તે તાર્કિક રીતે આનાથી અનુસરે છે કે સારી ટ્રેડિંગ સિસ્ટમની અન્ય વિશિષ્ટ વિશેષતા ગણી શકાય ટૂંકા ગાળાનાહોદ્દાઓ ધરાવે છે.

સ્ત્રોતો અને લિંક્સ

dic.academic.ru – શૈક્ષણિક ઑનલાઇન શબ્દકોશ

mathematics.ru – ગણિતમાં શૈક્ષણિક વેબસાઇટ

nsu.ru - નોવોસિબિર્સ્કની શૈક્ષણિક વેબસાઇટ રાજ્ય યુનિવર્સિટી

webmath.ru - શૈક્ષણિક પોર્ટલવિદ્યાર્થીઓ, અરજદારો અને શાળાના બાળકો માટે.

exponenta.ru શૈક્ષણિક ગાણિતિક વેબસાઇટ

ru.tradimo.com – નિઃશુલ્ક ઑનલાઇન ટ્રેડિંગ સ્કૂલ

crypto.hut2.ru – મલ્ટિડિસિપ્લિનરી માહિતી સંસાધન

poker-wiki.ru – પોકરનો મફત જ્ઞાનકોશ

sernam.ru - વૈજ્ઞાનિક પુસ્તકાલયપસંદ કરેલ કુદરતી વિજ્ઞાન પ્રકાશનો

reshim.su – વેબસાઇટ અમે પરીક્ષણ અભ્યાસક્રમની સમસ્યાઓ હલ કરીશું

unfx.ru – UNFX પર ફોરેક્સ: તાલીમ, ટ્રેડિંગ સિગ્નલ, ટ્રસ્ટ મેનેજમેન્ટ

slovopedia.com – મોટું જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશસ્લોવોપીડિયા

pokermansion.3dn.ru – પોકરની દુનિયામાં તમારી માર્ગદર્શિકા

statanaliz.info – માહિતી બ્લોગ “આંકડાકીય માહિતી વિશ્લેષણ”

forex-trader.rf – ફોરેક્સ-ટ્રેડર પોર્ટલ

megafx.ru - વર્તમાન ફોરેક્સ એનાલિટિક્સ

fx-by.com – વેપારી માટે બધું