વિતરણનો કાયદો. વિતરણ બહુકોણ

પૃષ્ઠ 2

ગ્રાફિકલી વિતરણ કાયદો અલગ મૂલ્યકહેવાતા વિતરણ બહુકોણના રૂપમાં આપવામાં આવે છે.  

વિતરણ શ્રેણીની ગ્રાફિકલ રજૂઆત (ફિગ 5 જુઓ) ને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.  

વિતરણ કાયદાની લાક્ષણિકતા માટે, અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલઘણીવાર પંક્તિ (કોષ્ટક) અને વિતરણ બહુકોણનો ઉપયોગ થાય છે.  

તેનું નિરૂપણ કરવા માટે, બિંદુઓ (Y Pi) (x - i Pa) એક લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં બાંધવામાં આવે છે અને રેખાખંડો દ્વારા જોડાયેલા હોય છે. વિતરણ બહુકોણ રેન્ડમ ચલના વિતરણની પ્રકૃતિની અંદાજિત દ્રશ્ય રજૂઆત આપે છે.  

સ્પષ્ટતા માટે, એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ નિયમને ગ્રાફિકલી પણ દર્શાવી શકાય છે, જેના માટે બિંદુઓ (x/, p) એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બાંધવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.  

M (xn; pn) (hp - - શક્ય મૂલ્યો Xt pi - અનુરૂપ સંભાવનાઓ) અને તેમને સીધા સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડો. પરિણામી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.  

પરના પોઈન્ટના સરવાળાના સંભવિત વિતરણને ધ્યાનમાં લો ડાઇસ. નીચેના આંકડાઓ એક, બે અને ત્રણ હાડકાના કેસ માટે વિતરણ બહુકોણ દર્શાવે છે.  

આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ ચલના વિતરણ બહુકોણને બદલે, વિતરણ ઘનતા ફંક્શન બનાવવામાં આવે છે, જેને વિભેદક વિતરણ કાર્ય કહેવામાં આવે છે અને તે વિભેદક વિતરણ કાયદાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ ચલ x (x Xr) ની વિતરણ ઘનતા એ X ની વચ્ચેના અંતરાલ (x, x - Ax) માં આવતા મૂલ્ય x ની સંભાવનાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે સમજવામાં આવે છે, જ્યારે Al; શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. વિભેદક કાર્ય ઉપરાંત, અવિભાજ્ય વિતરણ કાર્ય, જેને ઘણીવાર ફક્ત વિતરણ કાર્ય અથવા અભિન્ન વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે, તેનો ઉપયોગ રેન્ડમ ચલના વિતરણને દર્શાવવા માટે થાય છે.  

આ બાંધકામ સાથે, અંતરાલોમાં પડવાની સંબંધિત ફ્રીક્વન્સીઝ અનુરૂપ હિસ્ટોગ્રામ બારના ક્ષેત્રો જેટલી હશે, જેમ કે સંભવતઃ અનુરૂપ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ્સના ક્ષેત્રો સમાન છે, જો ધારિત સૈદ્ધાંતિક વિતરણ પ્રયોગ સાથે સારી રીતે સંમત થાય પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા n અને અંતરાલોની સફળ પસંદગી સાથે (YJ-I, y. કેટલીકવાર, સરખામણીની સ્પષ્ટતા માટે, હિસ્ટોગ્રામ બારના ઉપલા પાયાના મધ્યબિંદુઓને શ્રેણીમાં જોડીને વિતરણ બહુકોણ બનાવવામાં આવે છે.  

m ને 0 થી i સુધીના વિવિધ મૂલ્યો આપીને, PQ, P RF - Pn સંભાવનાઓ મેળવવામાં આવે છે, જે ગ્રાફ પર રચાયેલ છે. આપેલ પી; z11, સંભાવના વિતરણ બહુકોણ બનાવો.  

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો તેના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેનો કોઈપણ પત્રવ્યવહાર છે. કાયદો ટેબ્યુલર રીતે (વિતરણ શ્રેણી), ગ્રાફિકલી (વિતરણ બહુકોણ, વગેરે) અને વિશ્લેષણાત્મક રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.  

વિતરણ વળાંક શોધવું, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ચલનું વિતરણ સ્થાપિત કરવું, આપેલ ચોક્કસ વિતરણ શ્રેણી દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે વ્યક્ત ન હોય તેવી ઘટનાનો વધુ ઊંડો અભ્યાસ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. આંશિક વસ્તીમાંથી બનેલ લેવલિંગ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન કર્વ અને ડિસ્ટ્રિબ્યુશન બહુકોણ બંનેને દોરવાથી, સંશોધક સ્પષ્ટપણે જોઈ શકે છે લક્ષણોજે ઘટનાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેમાં સહજ છે. આના માટે આભાર, આંકડાકીય પૃથ્થકરણ સંશોધકનું ધ્યાન ઘટનામાં કેટલાક કુદરતી ફેરફારોમાંથી અવલોકન કરેલ ડેટાના વિચલનો પર કેન્દ્રિત કરે છે, અને સંશોધક આ વિચલનોના કારણો શોધવાનું કાર્ય કરે છે.  

પછી, આ અંતરાલમાં વપરાશ સાથે મહિનાઓની સંખ્યાને અનુરૂપ, એબ્સીસાસ (સ્કેલ પર) અંતરાલોની મધ્યમાંથી દોરવામાં આવે છે. આ એબ્સીસાસના છેડા જોડાયેલા છે અને આમ બહુકોણ અથવા વિતરણ બહુકોણ પ્રાપ્ત થાય છે.  

બિંદુઓ કે જે જથ્થાના મૂલ્યના સંકલન પ્લેન પર એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાની ગ્રાફિકલ રજૂઆત આપે છે - મૂલ્યોની સંભાવના, સામાન્ય રીતે સીધા ભાગો દ્વારા જોડાયેલા હોય છે અને પરિણામી પરિણામ કહેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક આકૃતિવિતરણ બહુકોણ. ફિગ માં. કોષ્ટક 46 માં 3 (તેમજ આકૃતિ 4 અને 5 માં) વિતરણ બહુકોણ દર્શાવવામાં આવ્યા છે.  

અલગ રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે જે ચોક્કસ સંભાવનાઓ સાથે વ્યક્તિગત, અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 1.ત્રણ સિક્કા ટૉસમાં શસ્ત્રોનો કોટ કેટલી વખત દેખાય છે. સંભવિત મૂલ્યો: 0, 1, 2, 3, તેમની સંભાવનાઓ અનુક્રમે સમાન છે:

પી(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ઉદાહરણ 2.પાંચ ઘટકો ધરાવતા ઉપકરણમાં નિષ્ફળ તત્વોની સંખ્યા. સંભવિત મૂલ્યો: 0, 1, 2, 3, 4, 5; તેમની સંભાવનાઓ દરેક તત્વની વિશ્વસનીયતા પર આધારિત છે.

અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ શ્રેણી અથવા વિતરણ કાર્ય (અભિન્ન વિતરણ કાયદો) દ્વારા આપી શકાય છે.

વિતરણની નજીક તમામ સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ છે એક્સiઅને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ આરi = પી(X = xi), તે કોષ્ટક તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે:

x i				x n
p i				р એન

આ કિસ્સામાં, સંભાવનાઓ આરiશરત સંતોષો

આરi= 1 કારણ કે

શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે nમર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે.

વિતરણ શ્રેણીની ગ્રાફિકલ રજૂઆત વિતરણ બહુકોણ કહેવાય છે . તેને બાંધવા માટે, રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો ( એક્સi) એ x-અક્ષ અને સંભાવનાઓ સાથે રચાયેલ છે આરi- ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે; પોઈન્ટ એiકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ( એક્સi, рi) તૂટેલી રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલ છે.

વિતરણ કાર્ય રેન્ડમ ચલ એક્સકાર્ય કહેવાય છે એફ(એક્સ), બિંદુ પર જેની કિંમત એક્સરેન્ડમ ચલની સંભાવના જેટલી છે એક્સઆ મૂલ્ય કરતાં ઓછી હશે એક્સ, તે જ

F(x) = P(X< х).

કાર્ય એફ(એક્સ) માટે અલગ રેન્ડમ ચલસૂત્ર દ્વારા ગણતરી

એફ(X) = આરi , (1.10.1)

જ્યાં તમામ મૂલ્યો પર સમીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે i, જેના માટે એક્સi< х.

ઉદાહરણ 3. 100 ઉત્પાદનો ધરાવતી બેચમાંથી, જેમાંથી 10 ખામીયુક્ત છે, તેમની ગુણવત્તા ચકાસવા માટે પાંચ ઉત્પાદનોને રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે. વિતરણની શ્રેણી બનાવો રેન્ડમ નંબર એક્સનમૂનામાં સમાયેલ ખામીયુક્ત ઉત્પાદનો.

ઉકેલ. નમૂનામાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા 0 થી 5 સહિત કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે, પછી સંભવિત મૂલ્યો એક્સiરેન્ડમ ચલ એક્સસમાન છે:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

સંભાવના આર(X = k) કે નમૂના બરાબર સમાવે છે k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) ખામીયુક્ત ઉત્પાદનો, બરાબર

P (X = k) = .

0.001 ની ચોકસાઈ સાથે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓના પરિણામે, અમે મેળવીએ છીએ:

આર 1 = પી(X = 0) @ 0,583;આર 2 = પી(X = 1) @ 0,340;આર 3 = પી(X = 2) @ 0,070;

આર 4 = પી(X = 3) @ 0,007;આર 5 = પી(એક્સ= 4) @ 0;આર 6 = પી(X = 5) @ 0.

તપાસ કરવા માટે સમાનતાનો ઉપયોગ કરવો આરk=1, અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે ગણતરીઓ અને રાઉન્ડિંગ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યા હતા (કોષ્ટક જુઓ).

x i
p i

ઉદાહરણ 4.રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી આપેલ છે એક્સ :

x i
p i

સંભાવના વિતરણ કાર્ય શોધો એફ(એક્સઆ રેન્ડમ ચલનું ) અને તેને બાંધો.

ઉકેલ. જો એક્સપછી £10 એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0;

જો 10<એક્સપછી £20 એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0,2 ;

જો 20<એક્સપછી £30 એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

જો 30<એક્સપછી £40 એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

જો 40<એક્સપછી £50 એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

જો એક્સ> 50, પછી એફ(એક્સ)= પી(એક્સ<એક્સ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

જવાબ: એક અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો એક્સશક્ય મૂલ્યો સાથે. આમાંના દરેક મૂલ્યો શક્ય છે, પરંતુ ચોક્કસ નથી, અને મૂલ્ય એક્સતે દરેકને અમુક સંભાવના સાથે સ્વીકારી શકે છે. પ્રયોગના પરિણામે, મૂલ્ય એક્સઆ મૂલ્યોમાંથી એક લેશે, એટલે કે અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથમાંથી એક થશે:

ચાલો આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓને અક્ષરો દ્વારા દર્શાવીએ આરઅનુરૂપ સૂચકાંકો સાથે:

એટલે કે, વિવિધ મૂલ્યોનું સંભવિત વિતરણ વિતરણ કોષ્ટક દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરી શકાય છે, જેમાં આપેલ સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ દ્વારા સ્વીકૃત તમામ મૂલ્યો ટોચની લાઇનમાં દર્શાવેલ છે, અને અનુરૂપ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ નીચે લીટીમાં દર્શાવેલ છે. અસંગત ઘટનાઓ (3.1) એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, એટલે કે, રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે. સતત રેન્ડમ ચલોની સંભાવનાનું વિતરણ કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાતું નથી, કારણ કે આવા રેન્ડમ ચલોના મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત અંતરાલમાં પણ અનંત છે. વધુમાં, કોઈ ચોક્કસ મૂલ્ય મેળવવાની સંભાવના શૂન્ય છે. જો આપણે આ વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી રેન્ડમ વેરીએબલનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવામાં આવશે, એટલે કે, દરેક ઘટનામાં કેટલી સંભાવના છે તે આપણે બરાબર સૂચવીએ છીએ. આ સાથે આપણે રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કહેવાતો કાયદો સ્થાપિત કરીશું. રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એ કોઈપણ સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. અમે રેન્ડમ ચલ વિશે કહીશું કે તે આપેલ વિતરણ કાયદાને આધીન છે. ચાલો ફોર્મ સ્થાપિત કરીએ કે જેમાં અખંડિત રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો સ્પષ્ટ કરી શકાય. એક્સ.આ કાયદાને સ્પષ્ટ કરવાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ એ એક ટેબલ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓને સૂચિબદ્ધ કરે છે:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	પી 1	પી 2	× × ×	p n

અમે આવા કોષ્ટકને રેન્ડમ ચલના વિતરણની શ્રેણી કહીશું એક્સ.

ચોખા. 3.1

વિતરણ શ્રેણીને વધુ વિઝ્યુઅલ દેખાવ આપવા માટે, તેઓ ઘણીવાર તેના ગ્રાફિકલ રજૂઆતનો આશરો લે છે: રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે, અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, પરિણામી બિંદુઓ સીધા સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલા છે. આવી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 3.1). વિતરણ બહુકોણ, તેમજ વિતરણ શ્રેણી, સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલનું લક્ષણ દર્શાવે છે. તે વિતરણના કાયદાનું એક સ્વરૂપ છે. કેટલીકવાર વિતરણ શ્રેણીના કહેવાતા "મિકેનિકલ" અર્થઘટન અનુકૂળ હોય છે. ચાલો કલ્પના કરીએ કે એકતા સમાન ચોક્કસ સમૂહને એબ્સિસા અક્ષ સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે જેથી કરીને nજનતા અનુક્રમે વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત છે . પછી વિતરણ શ્રેણીનું અર્થઘટન એબ્સીસા અક્ષ પર સ્થિત કેટલાક સમૂહો સાથે સામગ્રી બિંદુઓની સિસ્ટમ તરીકે કરવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલએક એવો જથ્થો છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા અન્ય મૂલ્ય લઈ શકે છે જે અગાઉથી જાણીતું નથી. રેન્ડમ ચલો છે અવ્યવસ્થિત (અલગ)અને સતતપ્રકાર અવ્યવસ્થિત જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યો અગાઉથી સૂચિબદ્ધ કરી શકાય છે. સતત જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યો અગાઉથી સૂચિબદ્ધ કરી શકાતા નથી અને ચોક્કસ અંતરને સતત ભરી શકતા નથી.

અલગ રેન્ડમ ચલોનું ઉદાહરણ:

1) ત્રણ સિક્કા ટૉસમાં શસ્ત્રોનો કોટ કેટલી વખત દેખાય છે. (સંભવિત મૂલ્યો 0;1;2;3)

2) સમાન પ્રયોગમાં હથિયારોના કોટના દેખાવની આવર્તન. (શક્ય મૂલ્યો)

3) પાંચ ઘટકો ધરાવતા ઉપકરણમાં નિષ્ફળ તત્વોની સંખ્યા. (સંભવિત મૂલ્યો 0;1;2;3;4;5)

સતત રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો:

1) જ્યારે ગોળીબાર કરવામાં આવે ત્યારે અસરના બિંદુનું એબ્સિસા (ઓર્ડિનેટ).

2) અસરના બિંદુથી લક્ષ્યના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર.

3) ઉપકરણનો અપટાઇમ (રેડિયો ટ્યુબ).

રેન્ડમ ચલોને મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, અને તેમના સંભવિત મૂલ્યો અનુરૂપ નાના અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, X એ ત્રણ શોટ સાથેની હિટની સંખ્યા છે; સંભવિત મૂલ્યો: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

ચાલો શક્ય મૂલ્યો X 1, X 2, ..., X n સાથે અખંડિત રેન્ડમ ચલ X ને ધ્યાનમાં લઈએ. આમાંના દરેક મૂલ્યો શક્ય છે, પરંતુ ચોક્કસ નથી, અને મૂલ્ય X તે દરેકને કેટલીક સંભાવના સાથે લઈ શકે છે. પ્રયોગના પરિણામે, X નું મૂલ્ય આ મૂલ્યોમાંથી એક લેશે, એટલે કે, અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથમાંથી એક બનશે.

ચાલો આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓને અનુરૂપ સૂચકાંકો સાથે p અક્ષરો દ્વારા દર્શાવીએ:

અસંગત ઘટનાઓ એક સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, તેથી

એટલે કે, રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે. આ કુલ સંભાવના કોઈક રીતે વ્યક્તિગત મૂલ્યો વચ્ચે વિતરિત કરવામાં આવે છે. જો આપણે આ વિતરણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી રેન્ડમ વેરીએબલનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવામાં આવશે, એટલે કે, દરેક ઘટનામાં કેટલી સંભાવના છે તે આપણે બરાબર સૂચવીએ છીએ. (આ રેન્ડમ ચલોના વિતરણનો કહેવાતો કાયદો સ્થાપિત કરશે.)

રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદોએ કોઈપણ સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવના વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. (અમે રેન્ડમ ચલ વિશે કહીશું કે તે આપેલ વિતરણ કાયદાને આધીન છે)

રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને સ્પષ્ટ કરવાનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ એ એક ટેબલ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓને સૂચિબદ્ધ કરે છે.

કોષ્ટક 1.

X i	X 1	X 2	…	એક્સએન
પી i	પૃષ્ઠ 1	P2	…	પી.એન

આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે વિતરણની નજીકરેન્ડમ ચલો.

વિતરણ શ્રેણીને વધુ વિઝ્યુઅલ દેખાવ આપવા માટે, તેઓ તેના ગ્રાફિકલ રજૂઆતનો આશરો લે છે: રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે રચવામાં આવે છે, અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે. (સ્પષ્ટતા માટે, પરિણામી બિંદુઓ સીધી રેખા વિભાગો દ્વારા જોડાયેલા છે.)

આકૃતિ 1 – વિતરણ બહુકોણ

આ આંકડો કહેવામાં આવે છે વિતરણ બહુકોણ. વિતરણ બહુકોણ, વિતરણ શ્રેણીની જેમ, સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલનું લક્ષણ દર્શાવે છે; તે વિતરણના કાયદાનું એક સ્વરૂપ છે.

ઉદાહરણ:

એક પ્રયોગ કરવામાં આવે છે જેમાં ઘટના A = 0.3 ની સંભાવના દેખાઈ શકે છે. અમે રેન્ડમ ચલ X ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ - આપેલ પ્રયોગમાં ઘટના A ની ઘટનાઓની સંખ્યા. X મૂલ્યના વિતરણની શ્રેણી અને બહુકોણ બનાવવું જરૂરી છે.

કોષ્ટક 2.

X i
પી i	0,7	0,3

આકૃતિ 2 - વિતરણ કાર્ય

વિતરણ કાર્યરેન્ડમ ચલની સાર્વત્રિક લાક્ષણિકતા છે. તે બધા અવ્યવસ્થિત ચલો માટે અસ્તિત્વમાં છે: અખંડ અને બિન-સતત બંને. વિતરણ કાર્ય સંભવિત દૃષ્ટિકોણથી રેન્ડમ ચલને સંપૂર્ણપણે લાક્ષણિકતા આપે છે, એટલે કે, તે વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપોમાંનું એક છે.

આ સંભાવના વિતરણને જથ્થાત્મક રીતે દર્શાવવા માટે, ઘટના X=x ની સંભાવનાનો નહીં, પરંતુ ઘટના Xની સંભાવનાનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

વિતરણ કાર્ય F(x) ને કેટલીકવાર સંચિત વિતરણ કાર્ય અથવા સંચિત વિતરણ કાયદો પણ કહેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો

1. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન F(x) એ તેની દલીલનું બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે, માટે;

2. માઈનસ અનંત પર:

3. વત્તા અનંત પર:

આકૃતિ 3 - વિતરણ કાર્ય આલેખ

વિતરણ કાર્ય ગ્રાફસામાન્ય રીતે, તે બિન-ઘટતા કાર્યનો ગ્રાફ છે જેની કિંમતો 0 થી શરૂ થાય છે અને 1 પર જાય છે.

રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણીને જાણીને, રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે.

ઉદાહરણ:

અગાઉના ઉદાહરણની શરતો માટે, રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય બનાવો.

ચાલો વિતરણ કાર્ય X બનાવીએ:

આકૃતિ 4 – વિતરણ કાર્ય X

વિતરણ કાર્યકોઈપણ અવ્યવસ્થિત અલગ રેન્ડમ વેરીએબલમાં હંમેશા અસંતુલિત સ્ટેપ ફંક્શન હોય છે, જેનાં કૂદકા રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને અનુરૂપ બિંદુઓ પર થાય છે અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સમાન હોય છે. તમામ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન જમ્પનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે.

જેમ જેમ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યામાં વધારો થાય છે અને તેમની વચ્ચેના અંતરાલોમાં ઘટાડો થાય છે તેમ, કૂદકાઓની સંખ્યા મોટી થાય છે, અને કૂદકાઓ પોતે જ નાના બને છે:

આકૃતિ 5

સ્ટેપ કરેલ વળાંક સરળ બને છે:

આકૃતિ 6

રેન્ડમ ચલ ધીમે ધીમે સતત મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે, અને તેનું વિતરણ કાર્ય સતત કાર્ય સુધી પહોંચે છે. ત્યાં રેન્ડમ ચલો પણ છે જેમના સંભવિત મૂલ્યો સતત ચોક્કસ અંતરાલ ભરે છે, પરંતુ જેના માટે વિતરણ કાર્ય દરેક જગ્યાએ સતત નથી. અને ચોક્કસ બિંદુઓ પર તે તૂટી જાય છે. આવા રેન્ડમ ચલોને મિશ્ર કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 7

રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ. રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો

રેન્ડમ ચલ (સંક્ષિપ્ત: r.v.) મોટા લેટિન અક્ષરો X, Y, દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. Z,...(અથવા લોઅરકેસ ગ્રીક અક્ષરો ξ (xi), η (eta), θ (થીટા), ψ (psi), વગેરે), અને તેઓ જે મૂલ્યો લે છે તે અનુરૂપ નાના અક્ષરોમાં x 1 છે , x 2 ,…, 1 પર , 2 પર , 3 પર …

ઉદાહરણોસાથે. વી. સેવા આપી શકે છે: 1) એક્સ- ડાઇ ફેંકતી વખતે દેખાતા પોઇન્ટ્સની સંખ્યા; 2) Y - લક્ષ્ય પર પ્રથમ હિટ પહેલાં શોટની સંખ્યા; 3) ઝેડ- ઉપકરણની મુશ્કેલી-મુક્ત કામગીરીનો સમય, વગેરે. (વ્યક્તિની ઊંચાઈ, ડૉલર વિનિમય દર, બેચમાં ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા, હવાનું તાપમાન, ખેલાડીની જીત, જો તે અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે તો બિંદુનું સંકલન, કંપનીનો નફો, . ..).

રેન્ડમ ચલ XΏ ડબલ્યુ

X(w), એટલે કે. એક્સ= X(w), wО Ώ (અથવા X = f(w)) (31)

ઉદાહરણ 1. પ્રયોગમાં એક સિક્કો 2 વખત ફેંકવાનો સમાવેશ થાય છે. PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4) પર, જ્યાં w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = આરઆર, તમે પીને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો. વી. એક્સ- હથિયારોના કોટના દેખાવની સંખ્યા. એસ.વી. એક્સપ્રાથમિક ઘટના w i નું કાર્ય છે : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; એક્સ- ડી.એસ. વી. મૂલ્યો x 1 સાથે = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< એક્સ).

એક્સ- ડી.એસ. વી.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

પી હું,જ્યાં i = 1,2,3, ...,n,….

વિતરણનો કાયદોડી.એસ. વી. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

સાથે. વી. એક્સ x i :

એક્સ	x 1	x 2	….	x n	…
પી	પૃષ્ઠ 1	p2	….	p n	…

ઘટનાઓ થી (X = x 1 ), (X = x 2),…, (X = x n ), એટલે કે .

(x 1 , પૃષ્ઠ 1 ), (x 2 , p 2), …, (x n , p n) કહેવાય છે બહુકોણ(અથવા બહુકોણ) વિતરણ(જુઓ ફિગ. 17).

રેન્ડમ મૂલ્ય X અલગ છે,જો ત્યાં x 1 સંખ્યાઓનો મર્યાદિત અથવા ગણવાયોગ્ય સમૂહ છે , x 2 , ..., x n જેમ કે P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) પૃષ્ઠ 1 + p2 + પૃષ્ઠ 3 +…= 1 (32)

રકમડી.એસ. વી. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, અને d.s સંભાવનાઓ સાથે x i મૂલ્યો લેતા. વી. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, સંભાવનાઓ સાથે y j ને d.s કહેવાય છે. વી. Z = X + Y, તમામ ઉલ્લેખિત મૂલ્યો માટે p ij = P( X = x i,Y = y j) સંભાવનાઓ સાથે z ij = x i + y j ની કિંમતો લેવી iઅને જે. જો અમુક રકમો x i + y j એકરૂપ થાય, તો અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરવામાં આવે છે.

તફાવત દ્વારાડી.એસ. વી. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, અને d.s સંભાવનાઓ સાથે x i મૂલ્યો લેતા. વી. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, સંભાવનાઓ સાથે y j ને d.s કહેવાય છે. વી. Z = X - Y, તમામ ઉલ્લેખિત મૂલ્યો માટે p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો z ij = x i – y j લેતા iઅને જે. જો કેટલાક તફાવતો x i – y j એકરૂપ થાય છે, તો અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરવામાં આવે છે.

કામડી.એસ. વી. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, અને d.s સંભાવનાઓ સાથે x i મૂલ્યો લેતા. વી. Y, p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... m, સંભાવનાઓ સાથે y j ને d.s કહેવાય છે. વી. Z = X × Y, તમામ ઉલ્લેખિત મૂલ્યો માટે p ij = P( X = x i,Y = y j) સંભાવનાઓ સાથે z ij = x i × y j ની કિંમતો લેવી iઅને જે. જો કેટલાક ઉત્પાદનો x i × y j એકરૂપ થાય છે, તો અનુરૂપ સંભાવનાઓ ઉમેરવામાં આવે છે.

ડી.એસ. વી. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X અને Y ઘટનાઓ (X = x i) = A i અને (Y = y j) = B j કોઈપણ i= 1,2,...,n માટે સ્વતંત્ર છે; j = l,2,...,m, i.e.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

ઉદાહરણ 2.કલરમાં 8 દડા છે, જેમાંથી 5 સફેદ છે, બાકીના કાળા છે. તેમાંથી 3 બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. નમૂનામાં સફેદ દડાઓની સંખ્યાના વિતરણનો નિયમ શોધો.