જાણીતા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ. ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

અને અન્ય તે બધા તેમના સૈદ્ધાંતિક એનાલોગના અંદાજો છે, જે નમૂનો નહીં, પરંતુ સામાન્ય વસ્તી ઉપલબ્ધ હોય તો મેળવી શકાય છે. પરંતુ અફસોસ, સામાન્ય વસ્તી ખૂબ ખર્ચાળ છે અને ઘણી વખત અપ્રાપ્ય છે.

અંતરાલ અંદાજનો ખ્યાલ

કોઈપણ નમૂના અંદાજ કેટલાક ફેલાવો છે, કારણ કે ચોક્કસ નમૂનામાં મૂલ્યો પર આધાર રાખીને રેન્ડમ ચલ છે. તેથી, વધુ વિશ્વસનીય આંકડાકીય તારણો માટે, વ્યક્તિએ માત્ર બિંદુ અંદાજ જ નહીં, પણ અંતરાલ પણ જાણવો જોઈએ, જે ઉચ્ચ સંભાવના સાથે γ (ગામા) મૂલ્યાંકિત સૂચકને આવરી લે છે θ (થીટા).

ઔપચારિક રીતે, આ બે આવા મૂલ્યો છે (આંકડા) T 1 (X)અને T 2 (X), શું ટી 1< T 2 , જેના માટે આપેલ સંભાવના સ્તર પર γ શરત પૂરી થાય છે:

ટૂંકમાં, તે સંભવિત છે γ અથવા વધુ સાચા સૂચક બિંદુઓ વચ્ચે છે T 1 (X)અને T 2 (X), જેને નીચલા અને ઉપલા સીમાઓ કહેવામાં આવે છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલો બનાવવા માટેની શરતોમાંની એક તેની મહત્તમ સંકુચિતતા છે, એટલે કે. તે શક્ય તેટલું ટૂંકું હોવું જોઈએ. ઇચ્છા તદ્દન સ્વાભાવિક છે, કારણ કે... સંશોધક ઇચ્છિત પરિમાણના સ્થાનને વધુ સચોટ રીતે સ્થાનીકૃત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

તે અનુસરે છે કે વિશ્વાસ અંતરાલમાં વિતરણની મહત્તમ સંભાવનાઓને આવરી લેવી આવશ્યક છે. અને મૂલ્યાંકન કેન્દ્રમાં હોવું જોઈએ.

એટલે કે, ઉપરની તરફ વિચલનની સંભાવના (અંદાજમાંથી સાચા સૂચકની) નીચેની તરફ વિચલનની સંભાવના જેટલી છે. એ પણ નોંધવું જોઈએ કે અસમપ્રમાણ વિતરણો માટે જમણી બાજુનું અંતરાલ નથી અંતરાલ સમાનબાકી

ઉપરોક્ત આકૃતિ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના જેટલી વધારે છે, તેટલો વિશાળ અંતરાલ - સીધો સંબંધ.

આ અજાણ્યા પરિમાણોના અંતરાલ અંદાજના સિદ્ધાંતનો ટૂંકો પરિચય હતો. ચાલો આત્મવિશ્વાસની મર્યાદાઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ ગાણિતિક અપેક્ષા.

ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

જો મૂળ ડેટા પર વિતરિત કરવામાં આવે, તો સરેરાશ સામાન્ય મૂલ્ય હશે. આ નિયમથી અનુસરે છે કે સામાન્ય મૂલ્યોના રેખીય સંયોજનમાં પણ સામાન્ય વિતરણ હોય છે. તેથી, સંભાવનાઓની ગણતરી કરવા માટે આપણે સામાન્ય વિતરણ કાયદાના ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

જો કે, આ માટે બે પરિમાણો જાણવાની જરૂર પડશે - અપેક્ષા અને ભિન્નતા, જે સામાન્ય રીતે અજાણ હોય છે. તમે, અલબત્ત, પરિમાણો (અંકગણિત સરેરાશ અને ) ને બદલે અંદાજનો ઉપયોગ કરી શકો છો, પરંતુ પછી સરેરાશનું વિતરણ સંપૂર્ણપણે સામાન્ય રહેશે નહીં, તે સહેજ નીચેની તરફ સપાટ થશે. બાયોમેટ્રિકા જર્નલના માર્ચ 1908ના અંકમાં તેમની શોધ પ્રકાશિત કરીને આયર્લેન્ડના નાગરિક વિલિયમ ગોસેટે ચતુરાઈપૂર્વક આ હકીકતની નોંધ લીધી હતી. ગુપ્તતાના હેતુઓ માટે, ગોસેટે પોતાને વિદ્યાર્થી પર હસ્તાક્ષર કર્યા. આ રીતે વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ દેખાયું.

જો કે, ભૂલ વિશ્લેષણમાં કે. ગૌસ દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતા ડેટાનું સામાન્ય વિતરણ ખગોળશાસ્ત્રીય અવલોકનો, પૃથ્વીના જીવનમાં અત્યંત દુર્લભ છે અને તે સ્થાપિત કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે (ઉચ્ચ ચોકસાઈ માટે લગભગ 2 હજાર અવલોકનો જરૂરી છે). તેથી, સામાન્યતાની ધારણાને છોડી દેવી અને મૂળ ડેટાના વિતરણ પર નિર્ભર ન હોય તેવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ છે.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: જો ડેટામાંથી ગણતરી કરવામાં આવે તો અંકગણિતના સરેરાશનું વિતરણ શું છે અજ્ઞાત વિતરણ? જવાબ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં જાણીતા દ્વારા આપવામાં આવે છે કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય(CPT). ગણિતમાં તેના ઘણા પ્રકારો છે (સમગ્ર લાંબા વર્ષો સુધીફોર્મ્યુલેશનને રિફાઇન કરવામાં આવ્યા છે), પરંતુ તે બધા, લગભગ કહીએ તો, એ નિવેદનમાં ઉકળે છે કે મોટી સંખ્યામાં સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો સામાન્ય વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે.

અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે, રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો ઉપયોગ થાય છે. અહીંથી તે તારણ આપે છે કે અંકગણિત સરેરાશનું સામાન્ય વિતરણ છે, જેમાં અપેક્ષા એ મૂળ ડેટાની અપેક્ષા છે, અને તફાવત છે .

સ્માર્ટ લોકો CLT કેવી રીતે સાબિત કરવું તે જાણો, પરંતુ અમે એક્સેલમાં હાથ ધરાયેલા પ્રયોગની મદદથી તેની ચકાસણી કરીશું. ચાલો 50 સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના નમૂનાનું અનુકરણ કરીએ (એક્સેલ ફંક્શન RANDBETWEEN નો ઉપયોગ કરીને). પછી આપણે આવા 1000 નમૂનાઓ બનાવીશું અને દરેક માટે અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરીશું. ચાલો તેમના વિતરણને જોઈએ.

તે જોઈ શકાય છે કે સરેરાશનું વિતરણ સામાન્ય કાયદાની નજીક છે. જો નમૂનાનું કદ અને સંખ્યા વધુ મોટી કરવામાં આવે તો સમાનતા વધુ સારી હશે.

હવે અમે CLT ની માન્યતા અમારી પોતાની આંખોથી જોઈ છે, અમે અંકગણિત સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકીએ છીએ, જે આપેલ સંભાવના સાથે સાચા સરેરાશ અથવા ગાણિતિક અપેક્ષાને આવરી લે છે.

ઉપલા અને નીચલા મર્યાદા સેટ કરવા માટે, તમારે પરિમાણો જાણવાની જરૂર છે સામાન્ય વિતરણ. એક નિયમ તરીકે, ત્યાં કોઈ નથી, તેથી અંદાજોનો ઉપયોગ થાય છે: અંકગણિત સરેરાશઅને નમૂના તફાવત. હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ પદ્ધતિ ફક્ત મોટા નમૂનાઓ સાથે જ સારો અંદાજ આપે છે. જ્યારે નમૂનાઓ નાના હોય, ત્યારે વારંવાર વિદ્યાર્થી વિતરણનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. તે માનશો નહીં! સરેરાશ માટે વિદ્યાર્થી વિતરણ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે મૂળ ડેટા સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે લગભગ ક્યારેય નહીં. તેથી, તરત જ મૂકવું વધુ સારું છે ન્યૂનતમ બારજરૂરી ડેટાના જથ્થા અનુસાર અને એસિમ્પ્ટોટિકલી યોગ્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો. તેઓ કહે છે કે 30 અવલોકનો પર્યાપ્ત છે. 50 લો - તમે ખોટું નહીં કરો.

ટી 1.2- આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચલી અને ઉપલી મર્યાદા

- નમૂના અંકગણિત સરેરાશ

s 0- નમૂનાનું પ્રમાણભૂત વિચલન (નિષ્પક્ષ)

n - નમૂનાનું કદ

γ - આત્મવિશ્વાસની સંભાવના (સામાન્ય રીતે 0.9, 0.95 અથવા 0.99 જેટલી)

c γ =Φ -1 (1+γ)/2)– પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણ કાર્યનું વ્યસ્ત મૂલ્ય. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અંકગણિતના સરેરાશથી નીચલા અથવા સુધીની પ્રમાણભૂત ભૂલોની સંખ્યા છે મહત્તમ મર્યાદા(સૂચિત ત્રણ સંભાવનાઓ 1.64, 1.96 અને 2.58 મૂલ્યોને અનુરૂપ છે).

સૂત્રનો સાર એ છે કે અંકગણિત સરેરાશ લેવામાં આવે છે અને પછી તેમાંથી ચોક્કસ રકમ અલગ રાખવામાં આવે છે ( γ સાથે) પ્રમાણભૂત ભૂલો ( s 0 /√n). બધું જાણીતું છે, તે લો અને તેનો વિચાર કરો.

પહેલાં સામૂહિક ઉપયોગપીસીનો ઉપયોગ સામાન્ય વિતરણ કાર્યના મૂલ્યો અને તેના વ્યસ્ત મેળવવા માટે થતો હતો. તેઓ આજે પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે, પરંતુ તૈયાર એક્સેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવો વધુ અસરકારક છે. ઉપરના સૂત્રમાંથી તમામ ઘટકો ( , અને ) એક્સેલમાં સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે. પરંતુ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટે એક તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે - TRUST.NORM. તેની વાક્યરચના નીચે મુજબ છે.

CONFIDENCE.NORM(આલ્ફા;સ્ટાન્ડર્ડ_ઓફ;સાઇઝ)

આલ્ફા– મહત્વનું સ્તર અથવા આત્મવિશ્વાસનું સ્તર, જે ઉપર અપનાવવામાં આવેલા સંકેતમાં 1- γ બરાબર છે, એટલે કે. સંભાવના છે કે ગાણિતિકઅપેક્ષા વિશ્વાસ અંતરાલની બહાર હશે. મુ આત્મવિશ્વાસની સંભાવના 0.95, આલ્ફા 0.05 છે, વગેરે.

પ્રમાણભૂત_બંધ- નમૂના ડેટાનું પ્રમાણભૂત વિચલન. પ્રમાણભૂત ભૂલની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી; એક્સેલ પોતે n ના રુટ દ્વારા વિભાજીત થશે

કદ- નમૂનાનું કદ (n).

કોન્ફિડન્સ નોર્મ ફંક્શનનું પરિણામ એ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટેના સૂત્રમાંથી બીજી પદ છે, એટલે કે. અર્ધ અંતરાલ તદનુસાર, નીચલા અને ઉપલા બિંદુઓ સરેરાશ ± પ્રાપ્ત મૂલ્ય છે.

આમ, અંકગણિત સરેરાશ માટે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરવું શક્ય છે, જે મૂળ ડેટાના વિતરણ પર આધારિત નથી. સાર્વત્રિકતા માટેની કિંમત તેની એસિમ્પ્ટોટિક પ્રકૃતિ છે, એટલે કે. પ્રમાણમાં મોટા નમૂનાઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂરિયાત. જો કે, ઉંમરમાં આધુનિક તકનીકોજરૂરી માત્રામાં ડેટા એકત્રિત કરવો સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ નથી.

આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ

(મોડ્યુલ 111)

આંકડાઓમાં ઉકેલાયેલી મુખ્ય સમસ્યાઓમાંની એક છે. તેનો સાર ટૂંકમાં નીચે મુજબ છે. એવું માનવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અપેક્ષા વસ્તીઅમુક મૂલ્યની બરાબર. પછી નમૂનાનું વિતરણ એટલે કે જે આપેલ અપેક્ષા માટે અવલોકન કરી શકાય છે તે બાંધવામાં આવે છે. આગળ, તેઓ જુએ છે કે આ શરતી વિતરણમાં વાસ્તવિક સરેરાશ ક્યાં સ્થિત છે. જો તે સ્વીકાર્ય મર્યાદાઓથી આગળ વધે છે, તો પછી આવી સરેરાશનો દેખાવ ખૂબ જ અસંભવિત છે, અને જો પ્રયોગ એકવાર પુનરાવર્તિત થાય છે, તો તે લગભગ અશક્ય છે, જે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે સફળતાપૂર્વક નકારી કાઢવામાં આવે છે. જો સરેરાશ કરતાં વધી ન જાય નિર્ણાયક સ્તર, તો પછી પૂર્વધારણાને નકારવામાં આવતી નથી (પણ સાબિત પણ નથી!).

તેથી, આત્મવિશ્વાસના અંતરાલોની મદદથી, અપેક્ષા માટેના અમારા કિસ્સામાં, તમે કેટલીક પૂર્વધારણાઓ પણ ચકાસી શકો છો. તે કરવું ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો કહીએ કે ચોક્કસ નમૂના માટે અંકગણિત સરેરાશ 100 ની બરાબર છે. પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે કે અપેક્ષિત મૂલ્ય છે, કહો, 90. એટલે કે, જો આપણે આદિમ રીતે પ્રશ્ન પૂછીએ, તો તે આના જેવું લાગે છે: શું તે સાચું છે સરેરાશ મૂલ્ય 90 ની બરાબર, અવલોકન કરેલ સરેરાશ 100 છે?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે સરેરાશ વિશેની માહિતીની પણ જરૂર પડશે ચોરસ વિચલનઅને નમૂનાનું કદ. ચાલો ધારીએ કે પ્રમાણભૂત વિચલન 30 છે અને અવલોકનોની સંખ્યા 64 છે (મૂળને સરળતાથી કાઢવા માટે). પછી સરેરાશની પ્રમાણભૂત ભૂલ 30/8 અથવા 3.75 છે. 95% વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે, તમારે સરેરાશની દરેક બાજુમાં બે પ્રમાણભૂત ભૂલો ઉમેરવાની જરૂર પડશે (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, 1.96). આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આશરે 100±7.5 અથવા 92.5 થી 107.5 હશે.

વધુ તર્ક નીચે મુજબ છે. જો ચકાસાયેલ મૂલ્ય વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવે છે, તો તે પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરતું નથી, કારણ કે રેન્ડમ વધઘટની મર્યાદામાં આવે છે (95% ની સંભાવના સાથે). જો ચકાસાયેલ બિંદુ વિશ્વાસ અંતરાલની બહાર આવે છે, તો આવી ઘટનાની સંભાવના બહુ ઓછી છે, કોઈપણ કિસ્સામાં સ્વીકાર્ય સ્તરથી નીચે. આનો અર્થ એ છે કે પૂર્વધારણાને અવલોકન કરાયેલ ડેટાના વિરોધાભાસ તરીકે નકારી કાઢવામાં આવે છે. અમારા કિસ્સામાં, અપેક્ષિત મૂલ્ય વિશેની પૂર્વધારણા વિશ્વાસ અંતરાલની બહાર છે (90 નું પરીક્ષણ કરેલ મૂલ્ય અંતરાલ 100±7.5માં શામેલ નથી), તેથી તેને નકારવું જોઈએ. ઉપરોક્ત આદિમ પ્રશ્નનો જવાબ આપતા, તે કહેવું જોઈએ: ના, તે કોઈ પણ સંજોગોમાં, આ અત્યંત ભાગ્યે જ થાય છે. મોટે ભાગે, તેઓ પૂર્વધારણા (p-સ્તર) ને ભૂલથી નકારી કાઢવાની ચોક્કસ સંભાવના સૂચવે છે, અને તે નિર્દિષ્ટ સ્તરને નહીં કે જેના પર આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ બીજી વખત તેના પર વધુ.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સરેરાશ (અથવા ગાણિતિક અપેક્ષા) માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવો મુશ્કેલ નથી. મુખ્ય વસ્તુ એ સારને સમજવાની છે, અને પછી વસ્તુઓ આગળ વધશે. વ્યવહારમાં, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ થાય છે, જે સરેરાશની બંને બાજુએ લગભગ બે પ્રમાણભૂત ભૂલો છે.

હમણાં માટે એટલું જ. તમામ શ્રેષ્ઠ!

રેન્ડમ ચલ (આપણે સામાન્ય વસ્તી વિશે વાત કરી શકીએ છીએ) ને સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવા દો, જેના માટે ભિન્નતા D = 2 (> 0) જાણીતી છે. સામાન્ય વસ્તીમાંથી (ઓબ્જેક્ટ્સના સમૂહ પર કે જેનું રેન્ડમ ચલ નક્કી કરવામાં આવે છે), કદ n નો નમૂના બનાવવામાં આવે છે. નમૂના x 1 , x 2 ,..., x n એ n સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સમૂહ તરીકે ગણવામાં આવે છે જે રીતે (ટેક્સ્ટમાં ઉપર સમજાવેલ અભિગમ).

નીચેની સમાનતાઓની પણ ચર્ચા કરવામાં આવી હતી અને અગાઉ સાબિત કરવામાં આવી હતી:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

તે ફક્ત સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે (અમે સાબિતી છોડી દઈએ છીએ) કે જે રેન્ડમ ચલ છે આ બાબતેસામાન્ય કાયદા અનુસાર પણ વહેંચવામાં આવે છે.

ચાલો અજ્ઞાત જથ્થા M ને a વડે દર્શાવીએ અને આપેલ વિશ્વસનીયતાના આધારે, સંખ્યા d > 0 પસંદ કરીએ જેથી સ્થિતિ સંતોષાય:

P(- a< d) = (1)

કારણ કે રેન્ડમ ચલ સામાન્ય કાયદા અનુસાર ગાણિતિક અપેક્ષા M = M = a અને ભિન્નતા D = D /n = 2 /n સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે, અમે મેળવીએ છીએ:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

સમાનતા જળવાઈ રહે તે રીતે ડી પસંદ કરવાનું બાકી છે

કોઈપણ એક માટે, તમે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને નંબર t શોધી શકો છો જેમ કે (t)= / 2. આ સંખ્યાને ક્યારેક t કહેવામાં આવે છે. પરિમાણ.

હવે સમાનતામાંથી

ચાલો d ની કિંમત નક્કી કરીએ:

ફોર્મમાં ફોર્મ્યુલા (1) રજૂ કરીને અમે અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ:

છેલ્લા સૂત્રનો અર્થ નીચે મુજબ છે: વિશ્વસનીયતા સાથે, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

વસ્તીના અજ્ઞાત પરિમાણ a = M આવરી લે છે. તમે તેને અલગ રીતે કહી શકો છો: બિંદુ અંદાજચોકસાઈ d= t / અને વિશ્વસનીયતા સાથે પરિમાણ M ની કિંમત નક્કી કરે છે.

કાર્ય. 6.25 ની સમાન ભિન્નતા સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત ચોક્કસ લાક્ષણિકતા ધરાવતી સામાન્ય વસ્તી હોવા દો. n = 27 નું નમૂનાનું કદ લેવામાં આવ્યું હતું અને લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ નમૂના મૂલ્ય = 12 પ્રાપ્ત થયું હતું. વિશ્વસનીયતા = 0.99 સાથે સામાન્ય વસ્તીની અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાની અજાણી ગાણિતિક અપેક્ષાને આવરી લેતો વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો.

ઉકેલ. પ્રથમ, લેપ્લેસ ફંક્શન માટે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતા (t) = / 2 = 0.495 માંથી t ની કિંમત શોધીએ છીએ. પ્રાપ્ત મૂલ્ય t = 2.58 ના આધારે, અમે અંદાજની ચોકસાઈ (અથવા વિશ્વાસ અંતરાલની અડધી લંબાઈ) d: d = 2.52.58 / 1.24 નક્કી કરીએ છીએ. અહીંથી આપણે ઇચ્છિત આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મેળવીએ છીએ: (10.76; 13.24).

આંકડાકીય પૂર્વધારણા સામાન્ય વિવિધતા

અજાણ્યા ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ

એક અજ્ઞાત ગાણિતિક અપેક્ષા M સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ હોઈએ, જેને આપણે અક્ષર a દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. ચાલો વોલ્યુમ n નો નમૂનો બનાવીએ. ચાલો આપણે જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ નમૂના અને સુધારેલ નમૂનાનો તફાવત s 2 નક્કી કરીએ.

રેન્ડમ મૂલ્ય

સ્વતંત્રતાના n - 1 ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થીના કાયદા અનુસાર વિતરિત.

કાર્ય એ આપેલ વિશ્વસનીયતા માટે સંખ્યા t શોધવાનું છે અને સ્વતંત્રતા n - 1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા શોધવાનું છે જેથી સમાનતા

અથવા સમકક્ષ સમાનતા

અહીં કૌંસમાં એ શરત લખેલી છે કે અજાણ્યા પરિમાણ aનું મૂલ્ય ચોક્કસ અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે, જે વિશ્વાસ અંતરાલ છે. તેની સીમાઓ વિશ્વસનીયતા તેમજ નમૂનાના પરિમાણો અને s પર આધાર રાખે છે.

તીવ્રતા દ્વારા t નું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, અમે સમાનતા (2) ને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

હવે માટે કોષ્ટક અનુસાર રેન્ડમ ચલ t, વિદ્યાર્થીના કાયદા અનુસાર વિતરિત, સંભાવના 1 - અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા n - 1 નો ઉપયોગ કરીને, આપણે t શોધીએ છીએ. ફોર્મ્યુલા (3) ઉભી થયેલી સમસ્યાનો જવાબ આપે છે.

કાર્ય. 20 ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પના નિયંત્રણ પરીક્ષણો દરમિયાન સરેરાશ અવધિતેમનું કાર્ય પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે 2000 કલાક જેટલું હતું (સુધારેલા નમૂનાના વિચલનના વર્ગમૂળ તરીકે ગણવામાં આવે છે) 11 કલાક જેટલું હતું. તે જાણીતું છે કે લેમ્પનો કાર્યકારી સમય સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે. આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે નક્કી કરો.

ઉકેલ. મૂલ્ય 1 - આ કિસ્સામાં 0.05 બરાબર છે. વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટક મુજબ, 19 જેટલી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે, આપણે શોધીએ છીએ: t = 2.093. ચાલો હવે અંદાજની ચોકસાઈની ગણતરી કરીએ: 2.093121/ = 56.6. અહીંથી આપણે જરૂરી વિશ્વાસ અંતરાલ મેળવીએ છીએ: (1943.4; 2056.6).

કાયદાને આધીન સામાન્ય વસ્તીમાંથી નમૂના લેવા દો સામાન્યવિતરણ એક્સN( m;  ). ગાણિતિક આંકડાઓની આ મૂળભૂત ધારણા કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય પર આધારિત છે. સામાન્ય માનક વિચલન જાણીએ  , પરંતુ સૈદ્ધાંતિક વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા અજ્ઞાત છે m(સરેરાશ મૂલ્ય).

આ કિસ્સામાં, નમૂનાનો અર્થ , પ્રયોગ દરમિયાન મેળવેલ (વિભાગ 3.4.2), પણ રેન્ડમ ચલ હશે m;
). પછી "સામાન્ય" વિચલન
N(0;1) – પ્રમાણભૂત સામાન્ય રેન્ડમ ચલ છે.

કાર્ય માટે અંતરાલ અંદાજ શોધવાનું છે m. ચાલો માટે બે-બાજુ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવીએ m જેથી સાચી ગાણિતિક અપેક્ષા આપેલ સંભાવના (વિશ્વસનીયતા) સાથે તેની છે  .

મૂલ્ય માટે આવા અંતરાલને સેટ કરો
- આનો અર્થ એ છે કે આ જથ્થાનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું
અને ન્યૂનતમ
, જે નિર્ણાયક પ્રદેશની સીમાઓ છે:
.

કારણ કે આ સંભાવના સમાન છે
, તો આ સમીકરણનું મૂળ
લેપ્લેસ ફંક્શન કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે (કોષ્ટક 3, પરિશિષ્ટ 1).

પછી સંભાવના સાથે  એવી દલીલ કરી શકાય છે કે રેન્ડમ ચલ
, એટલે કે, ઇચ્છિત સામાન્ય સરેરાશ અંતરાલની છે
. (3.13)

કદ
(3.14)

કહેવાય છે ચોકસાઈઆકારણીઓ

નંબર
– પરિમાણસામાન્ય વિતરણ - લેપ્લેસ ફંક્શનની દલીલ તરીકે શોધી શકાય છે (કોષ્ટક 3, પરિશિષ્ટ 1), સંબંધ 2Ф(ને ધ્યાનમાં લેતા u)=, એટલે કે F( u)=
.

વિપરીત, ઉલ્લેખિત વિચલન મૂલ્ય અનુસાર  અજ્ઞાત સામાન્ય અર્થ અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે તે સંભવિતતા સાથે શોધી શકાય છે
. આ કરવા માટે તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે

. (3.15)

પુનરાવર્તિત પસંદગી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વસ્તીમાંથી રેન્ડમ નમૂના લેવા દો. Eq થી.
મળી શકે છે ન્યૂનતમરિસેમ્પલિંગ વોલ્યુમ n, આપેલ વિશ્વસનીયતા સાથે વિશ્વાસ અંતરાલ માટે જરૂરી પ્રીસેટ મૂલ્ય કરતાં વધી નથી  . જરૂરી નમૂનાનું કદ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંદાજવામાં આવે છે:

. (3.16)

ચાલો અન્વેષણ કરીએ અંદાજ ચોકસાઈ
:

1) જેમ જેમ નમૂનાનું કદ વધે છે nતીવ્રતા  ઘટે છે, અને તેથી અંદાજની ચોકસાઈ વધે છે.

2) સી વધારોઆકારણીની વિશ્વસનીયતા દલીલનું મૂલ્ય વધે છે u(કારણ કે એફ(u) એકવિધ રીતે વધે છે) અને તેથી વધે છે  . આ કિસ્સામાં, વિશ્વસનીયતામાં વધારો ઘટાડે છેતેના આકારણીની ચોકસાઈ  .

મૂલ્યાંકન
(3.17)

કહેવાય છે શાસ્ત્રીય(જ્યાં t- તેના આધારે ચોક્કસ પરિમાણ અને n), કારણ કે તે સૌથી વધુ વખત આવતા વિતરણ કાયદાનું લક્ષણ દર્શાવે છે.

3.5.3 અજાણ્યા પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાના અંદાજ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 

જણાવી દઈએ કે વસ્તી સામાન્ય વિતરણના કાયદાને આધીન છે એક્સN( m; ), જ્યાં મૂલ્ય વર્ગો ની એવરેજ નું વર્ગમૂળવિચલનો અજ્ઞાત

આ કિસ્સામાં સામાન્ય સરેરાશનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવા માટે, આંકડાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે
, સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ કર્યા k= nસ્વતંત્રતાની -1 ડિગ્રી. આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે N(0;1) (વિભાગ 3.5.2 જુઓ), અને
(વિભાગ 3.5.3 જુઓ) અને વિદ્યાર્થી વિતરણની વ્યાખ્યામાંથી (ભાગ 1. વિભાગ 2.11.2).

ચાલો વિદ્યાર્થી વિતરણના શાસ્ત્રીય અંદાજની ચોકસાઈ શોધીએ: એટલે કે. અમે શોધીશું tફોર્મ્યુલામાંથી (3.17). અસમાનતાને પરિપૂર્ણ કરવાની સંભાવના દો
વિશ્વસનીયતા દ્વારા આપવામાં આવે છે  :

. (3.18)

કારણ કે ટી St( n-1), તે સ્પષ્ટ છે કે tપર આધાર રાખે છે  અને n, તેથી તેઓ સામાન્ય રીતે લખે છે
.

(3.19)

જ્યાં
- સાથે વિદ્યાર્થી વિતરણ કાર્ય nસ્વતંત્રતાની -1 ડિગ્રી.

માટે આ સમીકરણ ઉકેલવું m, અમને અંતરાલ મળે છે
જે વિશ્વસનીય રીતે  અજાણ્યા પરિમાણને આવરી લે છે m.

તીવ્રતા t  , n-1, રેન્ડમ ચલનો વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે વપરાય છે ટી(n-1), સાથે વિદ્યાર્થીઓની કસોટી અનુસાર વિતરિત nસ્વતંત્રતાની -1 ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે વિદ્યાર્થીનો ગુણાંક. તે આપેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને શોધવું જોઈએ nઅને  "વિદ્યાર્થી વિતરણના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ" કોષ્ટકોમાંથી. (કોષ્ટક 6, પરિશિષ્ટ 1), જે સમીકરણના ઉકેલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (3.19).

પરિણામે, અમને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળે છે ચોકસાઈ ગાણિતિક અપેક્ષા (સામાન્ય સરેરાશ) ના અંદાજ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, જો તફાવત અજાણ્યો હોય તો:

(3.20)

આમ, વસ્તીની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે એક સામાન્ય સૂત્ર છે:

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ચોકસાઈ ક્યાં છે  અનુક્રમે 3.16, સૂત્રો અનુસાર જાણીતા અથવા અજ્ઞાત વિક્ષેપના આધારે જોવા મળે છે. અને 3.20.

સમસ્યા 10.કેટલાક પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા, જેનાં પરિણામો કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ છે:

x i

તે જાણીતું છે કે તેઓ સામાન્ય વિતરણના કાયદાનું પાલન કરે છે
. રેટિંગ શોધો m* ગાણિતિક અપેક્ષા માટે m, તેના માટે 90% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવો.

ઉકેલ:

તેથી, m(2.53;5.47).

સમસ્યા 11.સમુદ્રની ઊંડાઈ એક ઉપકરણ દ્વારા માપવામાં આવે છે જેની પદ્ધતિસરની ભૂલ 0 છે, અને રેન્ડમ ભૂલો પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.  =15 મિ. 90% ના વિશ્વાસ સ્તરે 5 મીટરથી વધુની ભૂલો સાથે ઊંડાઈ નક્કી કરવા માટે કેટલા સ્વતંત્ર માપન કરવા જોઈએ?

ઉકેલ:

અમારી પાસે જે સમસ્યા છે તે મુજબ એક્સN( m;  ), ક્યાં  =15 મિ.,  =5 મિ.,  =0.9. ચાલો વોલ્યુમ શોધીએ n.

1) આપેલ વિશ્વસનીયતા સાથે = 0.9, અમે કોષ્ટકો 3 (પરિશિષ્ટ 1) માંથી લેપ્લેસ ફંક્શનની દલીલ શોધીએ છીએ u  = 1.65.

2) નિર્દિષ્ટ અંદાજની ચોકસાઈ જાણવી  =u  =5, ચાલો શોધીએ
. અમારી પાસે

. તેથી પરીક્ષણોની સંખ્યા n 25.

સમસ્યા 12.તાપમાન નમૂના tજાન્યુઆરીના પ્રથમ 6 દિવસ માટે કોષ્ટકમાં પ્રસ્તુત છે:

ગાણિતિક અપેક્ષા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો mઆત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે વસ્તી
અને સામાન્યનું મૂલ્યાંકન કરો પ્રમાણભૂત વિચલન s.

ઉકેલ:

અને
.

2) નિષ્પક્ષ અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને શોધો
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) સામાન્ય ભિન્નતા અજ્ઞાત હોવાથી, પરંતુ તેનો અંદાજ જાણીતો હોવાથી, ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે mઅમે વિદ્યાર્થી વિતરણ (કોષ્ટક 6, પરિશિષ્ટ 1) અને સૂત્ર (3.20) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

કારણ કે n 1 =n 2 =6, પછી,
, s 1 = 6.85 અમારી પાસે છે:
, તેથી -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

તેથી -33.3<m 1 <-25.1.

એ જ રીતે આપણી પાસે છે,
, s 2 = 4.8, તેથી

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) અને m 2 (-34.9;-29.1).

પ્રયોજિત વિજ્ઞાનમાં, ઉદાહરણ તરીકે, બાંધકામ શાખાઓમાં, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ વસ્તુઓની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે થાય છે, જે સંબંધિત સંદર્ભ સાહિત્યમાં આપવામાં આવે છે.

CB X ને સામાન્ય વસ્તી બનાવવા દો અને β એ અજ્ઞાત પરિમાણ CB X રહેવા દો. જો * માં આંકડાકીય અંદાજ સુસંગત હોય, તો નમૂનાનું કદ જેટલું મોટું હશે, તેટલું વધુ સચોટપણે આપણે β નું મૂલ્ય મેળવીશું. જો કે, વ્યવહારમાં, અમારી પાસે ખૂબ મોટા નમૂનાઓ નથી, તેથી અમે વધુ ચોકસાઈની ખાતરી આપી શકતા નથી.

ચાલો b* એ c માટે આંકડાકીય અંદાજ છે. મૂલ્ય |in* - in| અંદાજ ચોકસાઈ કહેવાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે ચોકસાઈ CB છે, કારણ કે β* એ રેન્ડમ ચલ છે. ચાલો એક નાની ધન સંખ્યા 8 નો ઉલ્લેખ કરીએ અને જરૂરી છે કે અંદાજની ચોકસાઈ |в* - в| 8 કરતાં ઓછી હતી, એટલે કે | માં* - માં |< 8.

વિશ્વસનીયતા g અથવા * માં અંદાજની આત્મવિશ્વાસ સંભાવના એ સંભાવના g છે જેની સાથે અસમાનતા |in * - in|< 8, т. е.

સામાન્ય રીતે, વિશ્વસનીયતા g અગાઉથી નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને g ને 1 (0.9; 0.95; 0.99; ...) ની નજીકની સંખ્યા તરીકે લેવામાં આવે છે.

અસમાનતા |in * - in| થી< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

અંતરાલ (* - 8 માં, * + 5 માં) ને વિશ્વાસ અંતરાલ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ અજ્ઞાત પરિમાણને સંભાવના y સાથે આવરી લે છે. નોંધ કરો કે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો છેડો રેન્ડમ છે અને નમૂનાથી નમૂનામાં બદલાય છે, તેથી તે કહેવું વધુ સચોટ છે કે અંતરાલ (* - 8 માં, * + 8 માં) અજ્ઞાત પરિમાણને આવરી લે છે, તેના બદલે in આનાથી સંબંધિત છે. અંતરાલ.

વસ્તીને રેન્ડમ ચલ X દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો, સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે અને પ્રમાણભૂત વિચલન a જાણીતું છે. અજ્ઞાત એ ગાણિતિક અપેક્ષા a = M (X) છે. આપેલ વિશ્વસનીયતા y માટે a માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધવાનું જરૂરી છે.

નમૂનાનો અર્થ

xr = a માટે આંકડાકીય અંદાજ છે.

પ્રમેય. રેન્ડમ ચલ xB નો સામાન્ય વિતરણ હોય છે જો X પાસે સામાન્ય વિતરણ હોય અને M (XB) = a,

A (XB) = a, જ્યાં a = y/B (X), a = M (X). l/i

a માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું સ્વરૂપ છે:

અમને 8 મળે છે.

ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને

જ્યાં Ф(r) એ લેપ્લેસ ફંક્શન છે, અમારી પાસે છે:

પી ( | XB - a |<8} = 2Ф

લેપ્લેસ ફંક્શનના મૂલ્યોનું કોષ્ટક આપણે t ની કિંમત શોધીએ છીએ.

નિયુક્ત કર્યા

T, આપણને F(t) = g મળે છે કારણ કે g આપવામાં આવે છે, પછી દ્વારા

સમાનતા પરથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે અંદાજ સચોટ છે.

આનો અર્થ એ છે કે a માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનું સ્વરૂપ છે:

X વસ્તીમાંથી એક નમૂનો આપેલ છે

એનજી	પ્રતિ"	X2	એક્સએમ
n	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, પછી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ હશે:

ઉદાહરણ 6.35. નમૂનાનો અર્થ Xb = 10.43, નમૂનાનું કદ n = 100 અને પ્રમાણભૂત વિચલન s = 5 જાણીને, 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષા aનો અંદાજ કાઢવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો.

ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

વસ્તીના રેન્ડમ ચલ X ને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવા દો, ધ્યાનમાં રાખીને કે આ વિતરણનું વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન જાણીતું છે. નમૂનાના સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને અજાણી ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, કાર્ય વિશ્વસનીયતા સાથે ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધવા માટે નીચે આવે છે b. જો તમે વિશ્વાસની સંભાવના (વિશ્વસનીયતા) b નું મૂલ્ય સ્પષ્ટ કરો છો, તો પછી તમે સૂત્ર (6.9a) નો ઉપયોગ કરીને અજાણી ગાણિતિક અપેક્ષા માટે અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના શોધી શકો છો:

જ્યાં Ф(t) એ લેપ્લેસ ફંક્શન છે (5.17a).

પરિણામે, જો તફાવત D = s 2 જાણીતો હોય તો ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ શોધવા માટે અમે અલ્ગોરિધમ ઘડી શકીએ છીએ:

1. વિશ્વસનીયતા મૂલ્ય સેટ કરો - b.
2. થી (6.14) એક્સપ્રેસ Ф(t) = 0.5× b. મૂલ્ય Ф(t) ના આધારે લેપ્લેસ ફંક્શન માટે કોષ્ટકમાંથી t ની કિંમત પસંદ કરો (જુઓ પરિશિષ્ટ 1).
3. ફોર્મ્યુલા (6.10) નો ઉપયોગ કરીને વિચલન eની ગણતરી કરો.
4. ફોર્મ્યુલા (6.12) નો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ લખો કે જે સંભાવના b સાથે અસમાનતા ધરાવે છે:

.

ઉદાહરણ 5.

રેન્ડમ ચલ X નું સામાન્ય વિતરણ છે. અજ્ઞાત ગાણિતિક અપેક્ષા a ની વિશ્વસનીયતા b = 0.96 સાથે અંદાજ માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો, જો આપવામાં આવે તો:

1) સામાન્ય માનક વિચલન s = 5;

2) નમૂના સરેરાશ;

3) નમૂનાનું કદ n = 49.

ગાણિતિક અપેક્ષાના અંતરાલ અંદાજના સૂત્ર (6.15) માં એ વિશ્વસનીયતા b સાથે t સિવાય તમામ જથ્થાઓ જાણીતા છે. t નું મૂલ્ય (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96 નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. Ф(t) = 0.48.

લેપ્લેસ ફંક્શન Ф(t) = 0.48 માટે પરિશિષ્ટ 1 માં કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, અનુરૂપ મૂલ્ય t = 2.06 શોધો. આથી, . e ની ગણતરી કરેલ કિંમતને ફોર્મ્યુલા (6.12) માં બદલીને, તમે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મેળવી શકો છો: 30-1.47< a < 30+1,47.

અજ્ઞાત ગાણિતિક અપેક્ષાની વિશ્વસનીયતા b = 0.96 સાથેના અંદાજ માટે જરૂરી વિશ્વાસ અંતરાલ બરાબર છે: 28.53< a < 31,47.