ઑગસ્ટ 20, 2012 રાત્રે 10:41 વાગ્યે

પરિપત્ર સમીકરણ અને તેની એપ્લિકેશન દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિને તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન

હું તમને બે ત્રિકોણ માટે Delaunay સ્થિતિને ઝડપથી કેવી રીતે તપાસવી તે વિશે એક રહસ્ય કહીશ.
વાસ્તવમાં, ઑપ્ટિમાઇઝેશનનું વર્ણન થોડું ઓછું કરવામાં આવ્યું છે (જુઓ "સર્કલ સમીકરણ દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિને તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન"), પરંતુ હું તમને બધું જ ક્રમમાં જણાવીશ.

મારા કિસ્સામાં, પ્લેનને આદિમ ક્ષેત્રો (ત્રિકોણ) માં વિભાજીત કરવા માટે ઇમેજ ટ્રેસિંગમાં ત્રિકોણનો ઉપયોગ થાય છે. જેમ તમે જાણો છો, તે ઘણા તબક્કામાં પણ વહેંચાયેલું છે: ગોઠવણ, સીમાઓ ઓળખવી, સીમાઓની આસપાસ ચાલવું, રૂપરેખા સાફ કરવી. તે ખૂબ જ છે સામાન્ય દૃશ્ય. મને લાગે છે કે હું ખરેખર રોકવા માંગુ છું મુશ્કેલ તબક્કો: પ્લેન સાફ કરવું.

પ્રવેશદ્વાર પર

સીમાઓ શોધ્યા અને પાર કર્યા પછી, મને આઉટપુટ પર ઘણા બધા બાહ્ય લૂપ્સ મળ્યા. દરેક સ્પર્શી સમોચ્ચ હોય છે વિવિધ રંગો. આવા દરેક સર્કિટમાં આંતરિક સર્કિટની જાણીતી સંખ્યા પણ હોય છે.
આમ, "વિમાનને સાફ કરવા" ના દૃષ્ટિકોણથી, જો આપણે બાહ્ય રૂપરેખાને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણી પાસે બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંના દરેક પાસે જમણી અને ડાબી બાજુએ એક પાડોશી છે. તે. બધા બિંદુઓ સાંકળમાં બંધ છે, ત્યાં એક પણ "હેંગિંગ" બિંદુ નથી, અને દરેક સાંકળમાં ઓછામાં ઓછા 3 બિંદુઓ છે (આકૃતિ 1).

ચિત્ર 1

શું કરવાની જરૂર છે

તમારે ત્રિકોણ સાથે આકૃતિને આવરી લેવાની જરૂર છે.

શોધો

પુસ્તક વાંચ્યા પછી, મને ડેલૌનાય ત્રિકોણ બનાવવાની એક પણ (ઓછામાં ઓછી એક) પદ્ધતિ મળી નથી જે મારા કેસ માટે ઓછામાં ઓછી કંઈક અંશે યોગ્ય હતી. મેં અન્ય પુસ્તકો માટે જોયા નથી. અને આ પૂરતું હતું, તે મારા મગજમાં વિચારોને ક્રમમાં મૂકે છે. પરિણામે, તેણે પોતાની "સાયકલ" ની શોધ કરી.

અલ્ગોરિધમ

1) ચાલો માની લઈએ કે શરૂઆત માટે, વિચારણા હેઠળની આકૃતિમાં માત્ર એક જ ક્રમ છે. પછી તે બધું ક્રમિક રીતે ત્રિકોણ લેવા માટે નીચે આવે છે. અમે કોઈપણ બિંદુ લઈએ છીએ અને પડોશી બિંદુઓ સાથે ત્રિકોણ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. જો ત્રિકોણ બનાવવું શક્ય ન હોય તો (આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પહેલાથી બનેલા સાથે છેદે છે અથવા રેખા બાકાત ઝોનમાં પસાર થાય છે (આકૃતિ 2), આપણે આગળના બિંદુ પર જઈએ છીએ, જમણી બાજુએ કહો. જ્યારે આગામી ત્રિકોણ જોવા મળે છે, અમે તેને સૂચિમાં ઉમેરીએ છીએ (આકૃતિ 3), અને અમે તે બિંદુને દૂર કરીએ છીએ જ્યાંથી તે બનાવવામાં આવ્યું હતું (આકૃતિ 4).

આકૃતિ 2

આકૃતિ 3

આકૃતિ 4

બીજી એક વાત: આગલા ત્રિકોણને સાચવતી વખતે, શિરોબિંદુઓને ઘડિયાળની દિશામાં ટ્રાવર્સલમાં (જમણી સંકલન પ્રણાલીમાં) રેકોર્ડ કરવું જરૂરી છે. આ ભવિષ્યમાં કમ્પ્યુટિંગ સંસાધનોને ઘટાડવા માટે ઉપયોગી થશે.

2) જ્યાં સુધી આપણે સમગ્ર પ્લેનને સ્વિપ ન કરીએ ત્યાં સુધી પગલું 1 નું પુનરાવર્તન કરો.

3) જો ત્યાં અનેક સિક્વન્સ હોય, એટલે કે. એક, અને તેની અંદર એક અથવા વધુ આંતરિક રૂપરેખા છે (આકૃતિ 1). અહીં દરેક ક્રમને અલગથી ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે. ચાલો બીજો આંતરિક સમોચ્ચ લઈએ. એક બાહ્ય અને એક આંતરિકમાંથી આપણે બે સિંગલ સર્કિટ બનાવીશું. આ કરવા માટે, તમારે એક સર્કિટથી બીજા સર્કિટમાં બે "બંદરો" શોધવાની જરૂર છે. "બંદરો" માટેની સ્થિતિ: તેઓ એકબીજા સાથે છેદે ન હોવા જોઈએ (તેમના છેડાને પણ સ્પર્શ ન કરવો જોઈએ), અને સમોચ્ચ રેખાઓ સાથે છેદવું જોઈએ નહીં (આકૃતિ 5).

આકૃતિ 5

આકૃતિ 6
4) આગળ, તમારે એક પછી એક તમામ આંતરિક સિક્વન્સ પહેલેથી જ રચાયેલી સિક્વન્સમાં દાખલ કરવી જોઈએ, એકબીજાથી અલગ (બિંદુ 3). તમારે તેને નવા સમાવિષ્ટ સાથે મર્જ કરવાની જરૂર છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ આંતરિક ક્રમ અન્ય લોકો સાથે સ્પર્શતો નથી અથવા છેદતો નથી (બંને એક બાહ્ય અને તમામ સંભવિત આંતરિક), તેથી બધું સરળતાથી ચાલશે.
બંદરો (આકૃતિ 6) મળ્યા પછી, વર્તમાન અલ્ગોરિધમના પોઈન્ટ 1 અને 2 (આકૃતિ 7) નો ઉપયોગ કરીને નવા સિક્વન્સનું નિર્માણ કરવું અને તેમને બાયપાસ કરવું સરળ છે.

આકૃતિ 7

5) 4થા તબક્કા પછી આપણી પાસે ત્રિકોણની યાદી છે (આકૃતિ 8). એવું લાગે છે કે કાર્ય પહેલેથી જ પૂર્ણ થઈ ગયું છે, પરંતુ જે બાકી છે તે ચિત્રને સુંદર બનાવવાનું છે: તપાસો કે ડેલૌનેય શરત પૂર્ણ થઈ છે (આકૃતિ 9).

આકૃતિ 8

આકૃતિ 9

6) આગળ જોઈને, હું તમને છઠ્ઠા મુદ્દા વિશે જણાવીશ. તેમાં સ્ટેપ નંબર 5 નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ ત્રિકોણની યાદીમાંથી ક્રમિક રીતે દોડવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, આપણે બધા ત્રિકોણને "ગંદા" તરીકે ચિહ્નિત કરીએ છીએ. દરેક ચક્રમાં આપણે દરેક ત્રિકોણ માટે Delaunay સ્થિતિ તપાસીએ છીએ. જો શરત પૂરી ન થાય, તો અમે ફરીથી બનાવીએ છીએ અને પડોશીઓ અને વર્તમાન ત્રિકોણને "ગંદા" તરીકે ચિહ્નિત કરીએ છીએ. જો શરત પૂરી થાય છે, તો અમે તેને સ્વચ્છ ચિહ્નિત કરીએ છીએ. મારા અલ્ગોરિધમના અમલીકરણમાં, દરેક ત્રિકોણમાં તેના પડોશીઓ સાથે એક લિંક છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ 6 સૌથી ઝડપી કાર્ય કરે છે.

પાંચમા તબક્કા વિશે વધુ

હવે, જ્યાં સુધી હું જાણું છું, ત્યાં બે છે શક્ય માર્ગોત્રિકોણ ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે કે નહીં તે નક્કી કરો: 1) વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો તપાસો. તે 180 કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. 2) પરિક્રમિત વર્તુળના કેન્દ્રની ગણતરી કરો અને 4 થી બિંદુ સુધીના અંતરની ગણતરી કરો. દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે જો બિંદુ ઘેરાયેલા વર્તુળની બહાર હોય તો ડેલૌનેય સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

કમ્પ્યુટિંગ પાવર #1: 10 ગુણાકાર/ભાગાકાર અને 13 ઉમેરો/બાદબાકી.
કમ્પ્યુટિંગ પાવર #2: 29 ગુણાકાર/ભાગાકાર કામગીરી અને 24 સરવાળો/બાદબાકી કામગીરી.

કોમ્પ્યુટીંગ પાવરના દૃષ્ટિકોણથી, જે પુસ્તકમાં ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, વિકલ્પ નંબર 1 વધુ નફાકારક છે. મેં તેનો અમલ કર્યો હોત, જો નહીં... (આકૃતિ 10). જેમ તે ઉત્પાદન પછી બહાર આવ્યું છે આ પદ્ધતિ"કન્વેયર બેલ્ટ" પર, પરિણામ અનિશ્ચિતતા હતું. આ એક વિકલ્પ છે જ્યારે કોણ A પોતે 180 ડિગ્રી કરતા વધારે હોય. તે પુસ્તકમાં વ્યક્તિગત ખાનગી પદ્ધતિઓમાંની એક તરીકે ગણવામાં આવે છે. અને આ સાથે, તેની બધી લાવણ્ય, પારદર્શિતા અને પ્રદર્શન અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અને તે પણ પાછળથી બહાર આવ્યું કે પદ્ધતિ નંબર 2 ખૂબ જ નોંધપાત્ર રીતે ઑપ્ટિમાઇઝ કરી શકાય છે.

આકૃતિ 10

પરિપત્ર સમીકરણ દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિ તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન

આગળ શુદ્ધ ગણિત છે.

તેથી અમારી પાસે છે:
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમીકરણ દ્વારા બિંદુ M(X, Y) બિંદુ માટેની સ્થિતિને આ રીતે લખી શકાય છે:

(a ⋅ (X^2 + Y^ 2) − b ⋅ X + c ⋅ Y − d) ⋅ a ≥ 0 ચિહ્ન

વિગતો ઉત્તમ પુસ્તકમાં મળી શકે છે. (ના, હું લેખક નથી)
તેથી, સાઇન a એ ટ્રાવર્સલ દિશાનું ચિહ્ન છે, શરૂઆતથી જ મેં ત્રિકોણ ઘડિયાળની દિશામાં બનાવ્યા છે, તેથી તેને અવગણી શકાય છે (તે એકની બરાબર છે).

A(x1 - X, y1 - Y), B(x2 - X, y2 - Y), B(x3 - X, y3 - Y);

D>=0

આકૃતિ 11

સરળ છે ને?

પુસ્તક મુજબ, ફરીથી,

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (y1*x2 - x1*y2)<= 0

અમારી પાસે છે: 15 ગુણાકાર/ભાગાકાર ક્રિયાઓ અને 14 સરવાળો/બાદબાકીની ક્રિયાઓ.

તમારા ધ્યાન બદલ આભાર. હું ટીકાની રાહ જોઈ રહ્યો છું.

ગ્રંથસૂચિ

1. સ્કવોર્ટ્સોવ એ.વી. Delaunay ત્રિકોણ અને તેની એપ્લિકેશન. - ટોમ્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ટોમ. યુનિવર્સિટી, 2002. - 128 પૃષ્ઠ. ISBN 5-7511-1501-5

GRID મોડેલો નિયમિત કોષોના મોડેલો છે.

સંકલન પ્રણાલી દાખલ કરવા દો
અને અને
. વપરાશકર્તા સમૂહો
અને નમૂના લેવાના પગલાં
.

,

- બિંદુના ભૌતિક કોઓર્ડિનેટ્સ.

અમે ગણતરી કરીએ છીએ
અને
,
- બીટ ગ્રીડ.

- પરિમાણિત મૂલ્યો. વાસ્તવિક:

- અલ્ગોરિધમ પેરામીટર - પોઈન્ટની સંખ્યા, - વજન. બિંદુ જેટલું નજીક છે, વજન વધારે છે.

- અંતરની ડિગ્રી (1 અથવા 2).

સામાન્યીકરણ પરિબળ:

કેવી રીતે 1 ની નજીક, ઊંચા વજનવાળા વધુ પોઈન્ટ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

આ IDW પદ્ધતિ છે - લાંબી, દરેક ટી માટે પડોશીઓ શોધવા જરૂરી છે. પડોશીઓનો સમૂહ અસરકારક રીતે શોધી શકાય છે - નજીકના. દરેક બિંદુ ચોક્કસ ઊંચાઈનો "પેગ" ઉત્પન્ન કરે છે. બિંદુ સેટ કરવાની અનિયમિતતા પર ઘણું નિર્ભર છે, આ માટે તેઓ લે છે
અથવા
તે ક્ષેત્રોમાં વિભાજિત અને નજીકમાં બિલ્ડ પોઈન્ટ.

ફાયદો- સરળતા

દોષ:

------ટિકિટ 14. ટીન મોડેલ. Delaunay ત્રિકોણ ગાણિતીક નિયમો------

1) ત્રિકોણ (ટીન).

ત્રિકોણ- પીસવાઇઝ રેખીય કાર્યોના સમૂહના સ્વરૂપમાં કાર્યનું નિર્માણ

ત્રિકોણ- બહિર્મુખ પ્રદેશમાં પ્રક્ષેપ.

ત્રિકોણ- એક પ્લાનર ગ્રાફ, જેની તમામ આંતરિક કિનારીઓ ત્રિકોણ છે; ઓવરલેપ વિના એકબીજાને અડીને આવેલા ત્રિકોણના રૂપમાં જગ્યાને રજૂ કરવાની રીત. ત્રિકોણ ઘણી રીતે પોઈન્ટના સમૂહ પર બનેલ છે.

શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ રચવા માટે અલ્ગોરિધમની જરૂર છે.

3 પોઈન્ટમાંથી પસાર થતું પ્લેન.

1) એક ત્રિકોણ શોધો જે
;

2)
- પ્લેનનું સમીકરણ બનાવો.

બિંદુઓ ત્રિકોણની અંદર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, તમારે મૂલ્યને રેખાઓના સમીકરણમાં બદલવાની જરૂર છે - ત્રિકોણની ધાર. જો બધા 3 સમીકરણો > 0 હોય, તો અંદર.

પ્રસ્તુતિ માળખું:

દરેક ત્રિકોણમાં સમાન સંખ્યામાં ત્રિકોણ હોય છે.

, ક્યાં - આંતરિક બિંદુઓની સંખ્યા,
- પોઈન્ટ જથ્થો.

લોભી ત્રિકોણ.

અમે તમામ બિંદુઓને કિનારીઓ સાથે જોડીએ છીએ, લઘુત્તમ પસંદ કરીએ છીએ અને તેમને ત્રિકોણમાં ઉમેરીએ છીએ. આગળ, અમે આગલું લઘુત્તમ લઈએ છીએ જે પાછલા લોકો સાથે છેદતું નથી, વગેરે. પરિણામ લોભી ત્રિકોણ છે.

Delaunay ત્રિકોણ.

કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળની અંદરના ભાગમાં અન્ય ત્રિકોણના બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી. તે એકમાત્ર રીતે બાંધવામાં આવે છે.

ફ્લિપ એ કિનારીઓનું સ્થાનાંતરણ છે. તે તમને પરંપરાગત ત્રિકોણમાંથી ડેલૌનાય ત્રિકોણ તરફ જવા દે છે. બિંદુ વર્તુળનો છે કે કેમ તે તપાસવા માટે: જો અવેજી કરો< R, то внутри.

Delaunay સ્થિતિ.

ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ:

જો શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય, તો પછી બાહ્ય, અન્યથા - આંતરિક.

- Delaunay સ્થિતિ.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ:

1) તપાસ હેઠળ બિંદુઓ ઉમેરવા- એક સરળ પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ:

એક સેટ છે
ત્રિકોણમાં ઉમેરો, બાંધકામ હાથ ધરવામાં આવે છે
ત્રિકોણ વિભાજન
પુનઃનિર્માણ શૂન્ય તબક્કે, અમે 3-4 કાલ્પનિક બિંદુઓ ઉમેરીએ છીએ, જે દેખીતી રીતે અમારા પરબિડીયું, અંદરના તમામ બિંદુઓને આવરી લે છે. પછી આપણે બિંદુ ફેંકીએ છીએ, તે કયા ત્રિકોણને હિટ કરે છે તે જુઓ, તેને 3 માં વિભાજીત કરીએ છીએ, દરેક ત્રિકોણ માટે આપણે ડેલૌનેય સ્થિતિ તપાસીએ છીએ અને કિનારીઓનું ફ્લિપ ટ્રાન્સફર કરીએ છીએ. લેન ફેરફારોની સરેરાશ સંખ્યા ત્રણ છે.

સૈદ્ધાંતિક જટિલતા

2) પ્રવેગક પદ્ધતિઓ.આંકડાકીય રીતે આશ્રિત બિંદુઓ પર આધારિત. બીજ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ છે જેમાં અગાઉનો બિંદુ પડ્યો હતો. પછી અમે બે બિંદુઓને જોડીએ છીએ - પાછલા એક અને નવા.

અમે પ્રથમ બિંદુથી બીજા સ્થાને જઈએ છીએ.

ઑગસ્ટ 20, 2012 રાત્રે 10:41 વાગ્યે

પરિપત્ર સમીકરણ અને તેની એપ્લિકેશન દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિને તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન

• ઇમેજ પ્રોસેસિંગ,
• પ્રોગ્રામિંગ

હું તમને બે ત્રિકોણ માટે Delaunay સ્થિતિને ઝડપથી કેવી રીતે તપાસવી તે વિશે એક રહસ્ય કહીશ.
વાસ્તવમાં, ઑપ્ટિમાઇઝેશનનું વર્ણન થોડું ઓછું કરવામાં આવ્યું છે (જુઓ "સર્કલ સમીકરણ દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિને તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન"), પરંતુ હું તમને બધું જ ક્રમમાં જણાવીશ.

મારા કિસ્સામાં, પ્લેનને આદિમ ક્ષેત્રો (ત્રિકોણ) માં વિભાજીત કરવા માટે ઇમેજ ટ્રેસિંગમાં ત્રિકોણનો ઉપયોગ થાય છે. જેમ તમે જાણો છો, તે ઘણા તબક્કામાં પણ વહેંચાયેલું છે: ગોઠવણ, સીમાઓ ઓળખવી, સીમાઓની આસપાસ ચાલવું, રૂપરેખા સાફ કરવી. આ સૌથી સામાન્ય શબ્દોમાં છે. મને લાગે છે કે, હું સૌથી મુશ્કેલ તબક્કે રોકવા માંગુ છું: વિમાનને સાફ કરવું.

પ્રવેશદ્વાર પર

સીમાઓ શોધ્યા અને પાર કર્યા પછી, મને આઉટપુટ પર ઘણા બધા બાહ્ય લૂપ્સ મળ્યા. દરેક સ્પર્શતી રૂપરેખાનો રંગ અલગ હોય છે. આવા દરેક સર્કિટમાં આંતરિક સર્કિટની જાણીતી સંખ્યા પણ હોય છે.
આમ, "વિમાનને સાફ કરવા" ના દૃષ્ટિકોણથી, જો આપણે બાહ્ય રૂપરેખાને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણી પાસે બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંના દરેક પાસે જમણી અને ડાબી બાજુએ એક પાડોશી છે. તે. બધા બિંદુઓ સાંકળમાં બંધ છે, ત્યાં એક પણ "હેંગિંગ" બિંદુ નથી, અને દરેક સાંકળમાં ઓછામાં ઓછા 3 બિંદુઓ છે (આકૃતિ 1).

ચિત્ર 1

શું કરવાની જરૂર છે

તમારે ત્રિકોણ સાથે આકૃતિને આવરી લેવાની જરૂર છે.

શોધો

પુસ્તક વાંચ્યા પછી, મને ડેલૌનાય ત્રિકોણ બનાવવાની એક પણ (ઓછામાં ઓછી એક) પદ્ધતિ મળી નથી જે મારા કેસ માટે ઓછામાં ઓછી કંઈક અંશે યોગ્ય હતી. મેં અન્ય પુસ્તકો માટે જોયા નથી. અને આ પૂરતું હતું, તે મારા મગજમાં વિચારોને ક્રમમાં મૂકે છે. પરિણામે, તેણે પોતાની "સાયકલ" ની શોધ કરી.

અલ્ગોરિધમ

1) ચાલો માની લઈએ કે શરૂઆત માટે, વિચારણા હેઠળની આકૃતિમાં માત્ર એક જ ક્રમ છે. પછી તે બધું ક્રમિક રીતે ત્રિકોણ લેવા માટે નીચે આવે છે. અમે કોઈપણ બિંદુ લઈએ છીએ અને પડોશી બિંદુઓ સાથે ત્રિકોણ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. જો ત્રિકોણ બનાવવું શક્ય ન હોય તો (આ બે બિંદુઓને જોડતી રેખા પહેલાથી બનેલા સાથે છેદે છે અથવા રેખા બાકાત ઝોનમાં પસાર થાય છે (આકૃતિ 2), આપણે આગળના બિંદુ પર જઈએ છીએ, જમણી બાજુએ કહો. જ્યારે આગામી ત્રિકોણ જોવા મળે છે, અમે તેને સૂચિમાં ઉમેરીએ છીએ (આકૃતિ 3), અને અમે તે બિંદુને દૂર કરીએ છીએ જ્યાંથી તે બનાવવામાં આવ્યું હતું (આકૃતિ 4).

આકૃતિ 2

આકૃતિ 3

આકૃતિ 4

બીજી એક વાત: આગલા ત્રિકોણને સાચવતી વખતે, શિરોબિંદુઓને ઘડિયાળની દિશામાં ટ્રાવર્સલમાં (જમણી સંકલન પ્રણાલીમાં) રેકોર્ડ કરવું જરૂરી છે. આ ભવિષ્યમાં કમ્પ્યુટિંગ સંસાધનોને ઘટાડવા માટે ઉપયોગી થશે.

2) જ્યાં સુધી આપણે સમગ્ર પ્લેનને સ્વિપ ન કરીએ ત્યાં સુધી પગલું 1 નું પુનરાવર્તન કરો.

3) જો ત્યાં અનેક સિક્વન્સ હોય, એટલે કે. એક, અને તેની અંદર એક અથવા વધુ આંતરિક રૂપરેખા છે (આકૃતિ 1). અહીં દરેક ક્રમને અલગથી ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે. ચાલો બીજો આંતરિક સમોચ્ચ લઈએ. એક બાહ્ય અને એક આંતરિકમાંથી આપણે બે સિંગલ સર્કિટ બનાવીશું. આ કરવા માટે, તમારે એક સર્કિટથી બીજા સર્કિટમાં બે "બંદરો" શોધવાની જરૂર છે. "બંદરો" માટેની સ્થિતિ: તેઓ એકબીજા સાથે છેદે ન હોવા જોઈએ (તેમના છેડાને પણ સ્પર્શ ન કરવો જોઈએ), અને સમોચ્ચ રેખાઓ સાથે છેદવું જોઈએ નહીં (આકૃતિ 5).

આકૃતિ 5

આકૃતિ 6
4) આગળ, તમારે એક પછી એક તમામ આંતરિક સિક્વન્સ પહેલેથી જ રચાયેલી સિક્વન્સમાં દાખલ કરવી જોઈએ, એકબીજાથી અલગ (બિંદુ 3). તમારે તેને નવા સમાવિષ્ટ સાથે મર્જ કરવાની જરૂર છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ આંતરિક ક્રમ અન્ય લોકો સાથે સ્પર્શતો નથી અથવા છેદતો નથી (બંને એક બાહ્ય અને તમામ સંભવિત આંતરિક), તેથી બધું સરળતાથી ચાલશે.
બંદરો (આકૃતિ 6) મળ્યા પછી, વર્તમાન અલ્ગોરિધમના પોઈન્ટ 1 અને 2 (આકૃતિ 7) નો ઉપયોગ કરીને નવા સિક્વન્સનું નિર્માણ કરવું અને તેમને બાયપાસ કરવું સરળ છે.

આકૃતિ 7

5) 4થા તબક્કા પછી આપણી પાસે ત્રિકોણની યાદી છે (આકૃતિ 8). એવું લાગે છે કે કાર્ય પહેલેથી જ પૂર્ણ થઈ ગયું છે, પરંતુ જે બાકી છે તે ચિત્રને સુંદર બનાવવાનું છે: તપાસો કે ડેલૌનેય શરત પૂર્ણ થઈ છે (આકૃતિ 9).

આકૃતિ 8

આકૃતિ 9

6) આગળ જોઈને, હું તમને છઠ્ઠા મુદ્દા વિશે જણાવીશ. તેમાં સ્ટેપ નંબર 5 નો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ ત્રિકોણની યાદીમાંથી ક્રમિક રીતે દોડવાનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ, આપણે બધા ત્રિકોણને "ગંદા" તરીકે ચિહ્નિત કરીએ છીએ. દરેક ચક્રમાં આપણે દરેક ત્રિકોણ માટે Delaunay સ્થિતિ તપાસીએ છીએ. જો શરત પૂરી ન થાય, તો અમે ફરીથી બનાવીએ છીએ અને પડોશીઓ અને વર્તમાન ત્રિકોણને "ગંદા" તરીકે ચિહ્નિત કરીએ છીએ. જો શરત પૂરી થાય છે, તો અમે તેને સ્વચ્છ ચિહ્નિત કરીએ છીએ. મારા અલ્ગોરિધમના અમલીકરણમાં, દરેક ત્રિકોણમાં તેના પડોશીઓ સાથે એક લિંક છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુ 6 સૌથી ઝડપી કાર્ય કરે છે.

પાંચમા તબક્કા વિશે વધુ

હવે, જ્યાં સુધી હું જાણું છું, ત્રિકોણ ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે કે નહીં તે નિર્ધારિત કરવાની બે સંભવિત રીતો છે: 1) વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો તપાસો. તે 180 કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. 2) પરિક્રમિત વર્તુળના કેન્દ્રની ગણતરી કરો અને 4 થી બિંદુ સુધીના અંતરની ગણતરી કરો. દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે જો બિંદુ ઘેરાયેલા વર્તુળની બહાર હોય તો ડેલૌનેય સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

કમ્પ્યુટિંગ પાવર #1: 10 ગુણાકાર/ભાગાકાર અને 13 ઉમેરો/બાદબાકી.
કમ્પ્યુટિંગ પાવર #2: 29 ગુણાકાર/ભાગાકાર કામગીરી અને 24 સરવાળો/બાદબાકી કામગીરી.

કોમ્પ્યુટીંગ પાવરના દૃષ્ટિકોણથી, જે પુસ્તકમાં ઉદાહરણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, વિકલ્પ નંબર 1 વધુ નફાકારક છે. મેં તેનો અમલ કર્યો હોત, જો નહીં... (આકૃતિ 10). જેમ જેમ તે બહાર આવ્યું છે, આ પદ્ધતિને "કન્વેયર" પર મૂક્યા પછી, અનિશ્ચિતતા પરિણમી. આ એક વિકલ્પ છે જ્યારે કોણ A પોતે 180 ડિગ્રી કરતા વધારે હોય. તે પુસ્તકમાં વ્યક્તિગત ખાનગી પદ્ધતિઓમાંની એક તરીકે ગણવામાં આવે છે. અને આ સાથે, તેની બધી લાવણ્ય, પારદર્શિતા અને પ્રદર્શન અદૃશ્ય થઈ જાય છે. અને તે પણ પાછળથી બહાર આવ્યું કે પદ્ધતિ નંબર 2 ખૂબ જ નોંધપાત્ર રીતે ઑપ્ટિમાઇઝ કરી શકાય છે.

આકૃતિ 10

પરિપત્ર સમીકરણ દ્વારા ડેલૌનેય સ્થિતિ તપાસવા માટે અલ્ગોરિધમનું ઑપ્ટિમાઇઝેશન

આગળ શુદ્ધ ગણિત છે.

તેથી અમારી પાસે છે:
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમીકરણ દ્વારા બિંદુ M(X, Y) બિંદુ માટેની સ્થિતિને આ રીતે લખી શકાય છે:

(a ⋅ (X^2 + Y^ 2) − b ⋅ X + c ⋅ Y − d) ⋅ a ≥ 0 ચિહ્ન

વિગતો ઉત્તમ પુસ્તકમાં મળી શકે છે. (ના, હું લેખક નથી)
તેથી, સાઇન a એ ટ્રાવર્સલ દિશાનું ચિહ્ન છે, શરૂઆતથી જ મેં ત્રિકોણ ઘડિયાળની દિશામાં બનાવ્યા છે, તેથી તેને અવગણી શકાય છે (તે એકની બરાબર છે).

A(x1 - X, y1 - Y), B(x2 - X, y2 - Y), B(x3 - X, y3 - Y);

D>=0

આકૃતિ 11

સરળ છે ને?

પુસ્તક મુજબ, ફરીથી,

(x1^2 + y1^2)*(y2*x3 - x2*y3) + (x2^2 + y2^2)*(x1*y3 - y1*x3) + (x3^2 + y3^2)* (y1*x2 - x1*y2)<= 0

અમારી પાસે છે: 15 ગુણાકાર/ભાગાકાર ક્રિયાઓ અને 14 સરવાળો/બાદબાકીની ક્રિયાઓ.

તમારા ધ્યાન બદલ આભાર. હું ટીકાની રાહ જોઈ રહ્યો છું.

ગ્રંથસૂચિ

1. સ્કવોર્ટ્સોવ એ.વી. Delaunay ત્રિકોણ અને તેની એપ્લિકેશન. - ટોમ્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ટોમ. યુનિવર્સિટી, 2002. - 128 પૃષ્ઠ. ISBN 5-7511-1501-5

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો

ત્રિકોણ એ એક પ્લેનર ગ્રાફ છે જેના આંતરિક પ્રદેશો બધા ત્રિકોણ છે.

ગુણધર્મો:

· ડેલૌનાય ત્રિકોણ સમાન પોઈન્ટના સમૂહ માટે વોરોનોઈ ડાયાગ્રામને એક-થી-એકને અનુરૂપ છે.

· પરિણામે: જો કોઈ ચાર બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર ન હોય, તો ડેલૌનાય ત્રિકોણ અનન્ય છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ બધા બાંધેલા ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓ વચ્ચે લઘુત્તમ કોણને મહત્તમ કરે છે, તેથી "પાતળા" ત્રિકોણને ટાળે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ અંકિત ગોળાઓની ત્રિજ્યાના સરવાળાને મહત્તમ કરે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલગ ડિરિચલેટ કાર્યાત્મકને ઘટાડે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ લઘુત્તમ આસપાસના ગોળાની મહત્તમ ત્રિજ્યાને ઘટાડે છે.

· પ્લેન પરના ડેલૌનાય ત્રિકોણમાં તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળોની ત્રિજ્યાનો લઘુત્તમ સરવાળો હોય છે.

આકૃતિ 1. ત્રિકોણ.

બહિર્મુખ ત્રિકોણ એ એક ત્રિકોણ છે જેના માટે તમામ ત્રિકોણને ઘેરતો લઘુત્તમ બહુકોણ બહિર્મુખ છે. એક ત્રિકોણ જે બહિર્મુખ નથી તેને બિન-બહિર્મુખ કહેવાય છે.

દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના આપેલ સમૂહમાંથી ત્રિકોણ બાંધવાની સમસ્યા એ આપેલ બિંદુઓને બિન-છેદેલા ભાગો દ્વારા જોડવાની સમસ્યા છે જેથી ત્રિકોણ રચાય.

જો આપેલ ત્રિકોણ બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ બાંધેલા ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની અંદર ન આવે તો ત્રિકોણને ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે.

ત્રિકોણને ડેલૌનાય ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે જો તે બહિર્મુખ હોય અને ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે.

આકૃતિ 2. Delaunay ત્રિકોણ.

Delaunay ખાલી બોલ પદ્ધતિ. સામાન્ય કિસ્સામાં બાંધકામ

ચાલો ખાલી બોલનો ઉપયોગ કરીએ, જેને આપણે ખસેડીશું, તેનું કદ બદલીશું જેથી તે સિસ્ટમ (A) ના બિંદુઓને સ્પર્શ કરી શકે, પરંતુ હંમેશા ખાલી રહે.

તો, ચાલો પોઈન્ટ્સ (A) ની સિસ્ટમમાં ખાલી ડેલૌનેય બોલ મૂકીએ. જો તમે પૂરતો નાનો બોલ પસંદ કરો તો આ હંમેશા શક્ય છે. ચાલો તેની ત્રિજ્યા વધારવાનું શરૂ કરીએ, બોલના કેન્દ્રને સ્થાને રાખીને. અમુક સમયે બોલની સપાટી સિસ્ટમ (A) ના અમુક બિંદુ i ને મળે છે. આ ચોક્કસપણે થશે, કારણ કે આપણી સિસ્ટમમાં કોઈ અનંત મોટી ખાલી જગ્યાઓ નથી. આપણે ખાલી બોલની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીશું જેથી તે બિંદુ i તેની સપાટી પર રહે. આ કરવા માટે, તમારે બિંદુ i થી બોલનું કેન્દ્ર ખસેડવું પડશે. વહેલા કે પછી બોલ તેની સપાટી સાથે સિસ્ટમના બીજા બિંદુ સુધી પહોંચશે (A).

ફિગ.3

ડેલૌનેય સિમ્પ્લેક્સ ગાબડા અથવા ઓવરલેપ વિના જગ્યા ભરે છે.

કોઈપણ સિમ્પ્લેક્સના વર્ણવેલ ક્ષેત્રમાં સિસ્ટમના અન્ય બિંદુઓ તેની અંદર હોતા નથી.

ચાલો આ બિંદુ જે. ચાલો આપણા બોલની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીએ, બંને બિંદુઓને તેની સપાટી પર રાખીને. જેમ જેમ બોલ વધશે, તે સિસ્ટમના ત્રીજા બિંદુ, બિંદુ k સુધી પહોંચશે. દ્વિ-પરિમાણીય કિસ્સામાં, અમારું "ખાલી વર્તુળ" આ ક્ષણે નિશ્ચિત કરવામાં આવશે, એટલે કે. વર્તુળને ખાલી રાખીને તેની ત્રિજ્યાને વધુ વધારવી અશક્ય બની જશે. તે જ સમયે, અમે ત્રણ બિંદુઓ (i, j, k) ના પ્રાથમિક દ્વિ-પરિમાણીય રૂપરેખાંકનને ઓળખીએ છીએ, ચોક્કસ ત્રિકોણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જેની વિશિષ્ટતા એ છે કે તેના પરિઘની અંદર સિસ્ટમ (A) ના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી. ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં, બોલને ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતો નથી. ચાલો તેની સપાટી પર મળેલા ત્રણેય બિંદુઓને રાખીને તેની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીએ. જ્યાં સુધી બોલની સપાટી સિસ્ટમના ચોથા બિંદુ l ને પૂર્ણ ન કરે ત્યાં સુધી આ શક્ય બનશે. આ પછી, ખાલી બોલની હિલચાલ અને વૃદ્ધિ અશક્ય બની જશે. મળેલા ચાર બિંદુઓ (i,j,k,l) ​​ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે તેના ઘેરાયેલા વલયની અંદર સિસ્ટમ (A) ના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી. આવા ટેટ્રાહેડ્રોનને ડેલૌનાય સિમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે.

ગણિતમાં, આપેલ પરિમાણની જગ્યામાં સિમ્પ્લેક્સ એ સૌથી સરળ આકૃતિ છે: એક ટેટ્રાહેડ્રોન - ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં; ત્રિકોણ - બે પરિમાણમાં. સિસ્ટમના એક મનસ્વી ત્રણ (ચાર) બિંદુઓ કે જે એક જ પ્લેનમાં રહેતા નથી તે હંમેશા ચોક્કસ સિમ્પ્લેક્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો કે, જો તેનો વર્ણવેલ ગોળો ખાલી હોય તો જ તે Delaunay સિમ્પ્લેક્સ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સિસ્ટમ (A) માં બિંદુઓના ત્રિપુટી (ચતુર્ભુજ) ની વિશેષ પસંદગી દ્વારા ડેલૌનેય સરળતા નક્કી કરવામાં આવે છે.

અમે એક Delaunay સિમ્પ્લેક્સ બનાવ્યું છે, પરંતુ ખાલી બોલને જુદી જુદી જગ્યાએ મૂકીને અને તે જ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, અમે અન્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે સિસ્ટમ (A) ના તમામ Delaunay સરળતાનો સમૂહ ઓવરલેપ અને ગાબડા વગર જગ્યા ભરે છે, એટલે કે. જગ્યાના વિભાજનને અમલમાં મૂકે છે, પરંતુ આ વખતે ટેટ્રાહેડ્રોનમાં. આ પાર્ટીશન કહેવાય છે Delaunay ટાઇલીંગ(ફિગ. 3).

ડેલૌનાય ત્રિકોણની અરજી

યુક્લિડિયન અવકાશમાં ડેલૌનાય ત્રિકોણનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. યુક્લિડિયન લઘુત્તમ ફેલાયેલું વૃક્ષ ડેલૌનાય ત્રિકોણ પર આવેલું હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે, તેથી કેટલાક અલ્ગોરિધમ્સ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરે છે. ઉપરાંત, ડેલૌનાય ત્રિકોણ દ્વારા, યુક્લિડિયન પ્રવાસી સેલ્સમેનની સમસ્યા લગભગ હલ થાય છે.

2D પ્રક્ષેપમાં, ડેલૌનેય ત્રિકોણ પ્લેનને શક્ય તેટલા જાડા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, ખૂબ તીક્ષ્ણ અને ખૂબ જ સ્થૂળ ખૂણાઓને ટાળે છે. આ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, તમે બનાવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિભાષી પ્રક્ષેપ.

જીઓઇન્ફોર્મેટિક્સમાં વારંવાર આવતી બીજી સમસ્યા ઢોળાવના એક્સપોઝરનું નિર્માણ છે. અહીં મુખ્ય દિશા દ્વારા ઢોળાવની પ્રબળ દિશાઓ નક્કી કરવી અને સપાટીને એવા પ્રદેશોમાં વિભાજીત કરવી જરૂરી છે કે જેમાં ચોક્કસ દિશા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. સપાટીના આડા વિસ્તારો માટે એક્સપોઝર નક્કી કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, જે વિસ્તારો આડા છે અથવા થોડો ઢોળાવ ધરાવે છે તે અલગ પ્રદેશમાં ફાળવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

ફિગ.4.

ઢોળાવના સંસર્ગની ગણતરી કરવાની સમસ્યાનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની રોશનીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. આ સંદર્ભમાં, ઘણીવાર સૂર્યની વર્તમાન સ્થિતિને પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય છે, એટલે કે. એક્સપોઝરની ગણતરી સામાન્યથી ત્રિકોણ અને સૂર્યની દિશા વચ્ચેની દિશા તરીકે કરવામાં આવે છે.

આમ, દરેક ત્રિકોણ ત્રિકોણને ચોક્કસ પ્રદેશ સાથે જોડાયેલા સિદ્ધાંત અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આ પછી, તમારે ફક્ત પ્રદેશ પસંદગી અલ્ગોરિધમનો કૉલ કરવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણાકાર એ કોઈ ચોક્કસ નિર્દિષ્ટ મૂલ્ય 6 કરતા વધુ ન હોય તેવા અંતરે ત્રિકોણાકાર પ્લેટો દ્વારા મોડલ કરેલ પદાર્થની સપાટીનું અનુમાન છે. બધી ત્રિકોણાકાર પ્લેટો એકસાથે જોડાયેલી હોવી જોઈએ. તેમની ટોચ સપાટી પર આવેલા છે. ત્રિકોણાકાર પ્લેટોનો સમૂહ સામાન્ય સપાટી કરતાં કામ કરવા માટે સરળ છે. આપણે ત્રિકોણાકાર પ્લેટોને ત્રિકોણ કહીશું. ત્રિકોણ માટે, આપેલ બિંદુનું અંતર અથવા અવકાશમાં આપેલ રેખા સાથે આંતરછેદના બિંદુની ઝડપથી ગણતરી કરવામાં આવે છે. ચહેરાઓનું ત્રિકોણ ભૌમિતિક મોડેલની વિઝ્યુઅલ ધારણા માટે કરવામાં આવે છે, તેથી ત્રિકોણની બાજુઓ પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી આંખ કિંક્સને ધ્યાનમાં ન લઈ શકે.

સપાટીઓના પેરામેટ્રિક પ્લેન પર ત્રિકોણ દ્વારા ભૌમિતિક વસ્તુઓ પ્રદર્શિત કરતી વખતે, શરીરના ચહેરાઓનું અવકાશી ત્રિકોણ અવકાશમાં પોઈન્ટ્સની એરેની ગણતરી કરીને અને આ બિંદુઓ પર શરીરના ચહેરા પરના સામાન્યની શ્રેણીની એરેનો ઉપયોગ કરીને બનાવવું જોઈએ. દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓ. શરીરને ઝડપથી પ્રદર્શિત કરવા માટે, શરીરના ચહેરાઓ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરતી પ્રકાશ કિરણોની વર્તણૂક નક્કી કરવા માટે, સામાન્ય બિંદુઓ પર બાંધવામાં આવેલી ત્રિકોણાકાર પ્લેટ દ્વારા તેમના ચહેરાઓ અંદાજવામાં આવે છે. અગાઉના પ્રકરણો અને આ પ્રકરણમાં સ્વર રેખાંકનો ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે.

સપાટીના ત્રિકોણના પરિણામે, અમે પેરામેટ્રિક પ્લેન પર દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓની હારમાળા અને પૂર્ણાંકોના ત્રિગુણોની એરે રાખવા માંગીએ છીએ, જે પ્રથમ ઉલ્લેખિત એરેમાં બિંદુઓની સંખ્યા છે. આમ, દરેક ત્રિકોણને પેરામીટર એરેમાં તેના શિરોબિંદુઓની ત્રણ સંખ્યાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. પેરામેટ્રિક ડોમેનના દરેક દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુ માટે, સપાટી પરના અવકાશી બિંદુ અને તેમાં સામાન્ય સપાટીની ગણતરી કરી શકાય છે. અવકાશી પોઈન્ટ અને નોર્મલ્સ 2D પોઈન્ટ એરે જેવા જ એરેમાં સંગ્રહિત કરી શકાય છે.

ચાલો ત્રિકોણની કેટલીક પદ્ધતિઓ જોઈએ. સપાટ સપાટીઓ માટે, ત્યાં ખર્ચ-અસરકારક ત્રિકોણ પદ્ધતિઓ છે જેમાં સપાટીના સીમા બિંદુઓ પર ત્રિકોણ બાંધવામાં આવે છે અને પેરામેટ્રિક પ્રદેશની અંદરના બિંદુઓ શોધવાની જરૂર નથી.

Delaunay ત્રિકોણ.

ચાલો પ્લેન પરના કેટલાક વિસ્તારને ધ્યાનમાં લઈએ. અમે વિસ્તારને બહિર્મુખ કહીશું જો, તેની સીમા સાથે આગળ વધતી વખતે, તમારે ફક્ત એક જ દિશામાં (માત્ર ડાબી અથવા ફક્ત જમણી તરફ) વળવું પડશે. Delaunay અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ બહિર્મુખ સમતલીય પ્રદેશોને ત્રિકોણાકાર કરવા માટે કરી શકાય છે. અમે આ અલ્ગોરિધમને ફ્રી-ફોર્મ સપાટીઓને ત્રિકોણાકાર કરવા માટે સીધા જ લાગુ કરી શકીશું નહીં, પરંતુ અમે ત્રિકોણ બનાવવા માટે તેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું.

ચોખા. 9.7.1. અંદર આપેલ બિંદુઓ સાથે બહિર્મુખ પ્રદેશ

બંધ તૂટેલી રેખાથી બંધાયેલ કેટલાક બહિર્મુખ દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશ અને આ પ્રદેશની અંદરના બિંદુઓનો સમૂહ આપવા દો (ફિગ. 9.7.1).

ઉલ્લેખિત ક્ષેત્રને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવું જરૂરી છે, જેનાં શિરોબિંદુઓ વિસ્તારની અંદર આપેલ બિંદુઓ છે અને તૂટેલી રેખાના શિરોબિંદુઓ તેને બંધ કરે છે. ત્રિકોણ એકબીજાને ઓવરલેપ ન કરવા જોઈએ, અને તેમની બાજુઓ ફક્ત શિરોબિંદુઓ પર છેદે છે.

નિર્દિષ્ટ વિસ્તારને ભરવા માટે ત્રિકોણના વિવિધ સેટ બનાવી શકાય છે. બધા કિસ્સાઓમાં, ત્રિકોણની સંખ્યા બરાબર છે, જ્યાં K એ બાઉન્ડિંગ પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, I એ વિસ્તારની અંદર આપેલ બિંદુઓની સંખ્યા છે.

ચોખા. 9.7.2. Delaunay અલ્ગોરિધમનો ત્રીજો મુદ્દો પસંદ કરી રહ્યા છીએ

જો દરેક ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની અંદર અન્ય ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ ન હોય તો પ્રદેશનું ત્રિકોણ એ ડેલૌનેય ત્રિકોણ હશે. ડેલૌનેય ત્રિકોણ ત્રિકોણ બને તેટલું સમકોણાકારની નજીક બને છે (ગેરવાજબી રીતે વિસ્તરેલ ત્રિકોણ બનાવવાની મંજૂરી આપતું નથી).

તેને સંતુલિત કહી શકાય. જો એક જ વર્તુળ પર ચાર શિરોબિંદુઓ ન હોય તો ડેલૌનેય ત્રિકોણ અનન્ય હશે.

ચાલો Delaunay ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઈએ. અમે પ્રદેશને બાઉન્ડ કરતી પોલિલાઇનના શિરોબિંદુઓને અને પ્રદેશની અંદર આપેલા બિંદુઓને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ કહીશું. આપણે ત્રિકોણની ધારની બાજુઓને કહીશું. કિનારીઓ વચ્ચે, અમે બાઉન્ડિંગ પોલિલાઇનના સેગમેન્ટ્સ પસંદ કરીએ છીએ, જેને આપણે બાઉન્ડ્રી એજ કહીશું. ચાલો બધી સીમા કિનારીઓને દિશા આપીએ જેથી બહિર્મુખ પ્રદેશ દરેક ધારની ડાબી બાજુએ આવે. ત્રિકોણ બાંધવા માટે તેને જરૂરી થવા દો, જેની બાજુ સીમાની ધાર AB છે, જે ફિગમાં બતાવેલ છે. 9.7.2.

શિરોબિંદુઓ A, B અને કોઈપણ શિરોબિંદુ કે જે તેમની સાથે સમાન રેખા પર ન હોય તે દ્વારા, એક વર્તુળ દોરી શકાય છે. ત્રિકોણના ત્રીજા શિરોબિંદુ તરીકે, આપણે શિરોબિંદુ V પસંદ કરીએ છીએ, અનુરૂપ વર્તુળમાં બિંદુ V સ્થિત છે તે સેગમેન્ટ ABની તુલનામાં સમાન બાજુએ અન્ય શિરોબિંદુઓ ધરાવતું નથી. સીમા ધાર માટે, સામાન્ય કિસ્સામાં, આવા એક શિરોબિંદુ શોધી શકાય છે. અમે તેને સૌથી નજીકનું કહીશું. A, B અને V બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર AB, BV અને VA ખંડોના મધ્યબિંદુઓના કાટખૂણે આંતરછેદ પર આવેલું છે. વર્તુળના કેન્દ્રની સ્થિતિ એ સેગમેન્ટ MN ના પરિમાણ t દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે, જે ધાર AB ને લંબ છે, લંબાઈમાં સમાન છે અને ધાર AB ની મધ્યમાંથી પસાર થશે.

ચોખા. 9.7.3. Delaunay ત્રિકોણ પ્રક્રિયા

સેગમેન્ટ AB ની ડાબી બાજુએ આવેલા તમામ શિરોબિંદુઓ માટે, નજીકના શિરોબિંદુમાં સૌથી નાનું પરિમાણ t છે. નજીકના શિરોબિંદુને અનુરૂપ વર્તુળ AB ખંડની ડાબી બાજુએ અન્ય શિરોબિંદુઓ ધરાવતું નથી. શિરોબિંદુ A, B અને V ને અનુક્રમે દ્વિ-પરિમાણીય ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા વર્ણવવા દો. સેગમેન્ટ્સ AB અને BV ના મધ્યબિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટર સમાન હશે

A, B અને V બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના કેન્દ્રની તેના પરની સ્થિતિને અનુરૂપ રેખાના પરિમાણ t નું મૂલ્ય, બરાબર છે

સેગમેન્ટ AB ની ડાબી બાજુના સૌથી નજીકના શિરોબિંદુ માટે, પરિમાણ t નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.

ચાલો તમામ સીમા કિનારીઓને દિશા આપીએ જેથી ત્રિકોણાકાર થવાનો વિસ્તાર તે દરેકની ડાબી બાજુએ આવે. અમે કોઈપણ સીમાની ધારથી ત્રિકોણ બાંધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. ચાલો તેના માટે સૌથી નજીકનું શિરોબિંદુ શોધીએ, જેનું અનુરૂપ વર્તુળ અન્ય શિરોબિંદુઓ ધરાવતું નથી. સીમા ધાર AB માટે નજીકના શિરોબિંદુ V ને શોધવા દો. પછી આપણે ત્રિકોણ ABV બનાવીએ અને ધાર AB ને નિષ્ક્રિયની શ્રેણીમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ. અમે નિષ્ક્રિય ધાર અને શિરોબિંદુઓને કૉલ કરીશું જે ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમમાં ભાગ લેતા નથી. જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે કોઈ એજ BV ન હોય, તો અમે સેગમેન્ટ VB પર નવી બાઉન્ડ્રી એજ બનાવીએ છીએ. જો સીમાની કિનારીઓ વચ્ચે એક ધાર BV હોય, તો અમે તેને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ અને શિરોબિંદુ B ને નિષ્ક્રિયની શ્રેણીમાં લઈ જઈએ છીએ. જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે કોઈ કિનારી VA ન હોય, તો અમે સેગમેન્ટ AV પર નવી બાઉન્ડ્રી એજ બનાવીશું. જો સીમાની કિનારીઓ વચ્ચે એક ધાર VA હોય, તો અમે તેને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ અને શિરોબિંદુ A ને નિષ્ક્રિયની શ્રેણીમાં લઈ જઈએ છીએ. ત્રિકોણ પ્રક્રિયા ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 9.7.3.

ચોખા. 9.7.4. Delaunay ત્રિકોણ

જ્યારે બધા શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ નિષ્ક્રિય થઈ જાય ત્યારે અમે ત્રિકોણ પૂર્ણ કરીએ છીએ. આપેલ વિસ્તારના ત્રિકોણનું પરિણામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 9.7.4.

કરેક્શન પદ્ધતિ દ્વારા ત્રિકોણ.

ચાલો પરિમાણો નક્કી કરવા માટે લંબચોરસ ડોમેન સાથે ચોક્કસ સપાટીના ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઈએ. અમે સપાટીના પરિમાણોને દ્વિ-પરિમાણીય રેખાઓવાળા લંબચોરસ કોષોમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ડોમેનને વિભાજીત કરીએ છીએ. આ રેખાઓ લંબચોરસ ગ્રીડ બનાવે છે. ચાલો સૂત્ર (9.4.7) અનુસાર સંલગ્ન રેખાઓ વચ્ચેના પેરામેટ્રિક અંતરને સમાન ગણીએ.

ચાલો સૂત્ર (9.4.8) અનુસાર સંલગ્ન રેખાઓ વચ્ચેના પેરામેટ્રિક અંતરને સમાન ગણીએ.

બધા લંબચોરસ કોષોમાં કર્ણ બાંધીને, અમે સપાટીનું ત્રિકોણ મેળવીએ છીએ (અમે ત્રિકોણનો સમૂહ મેળવીએ છીએ જે જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરે છે). ફિગ માં. 9.7.5 વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિની સપાટીનું ત્રિકોણ બતાવે છે.

ચાલો મનસ્વી સીમાવાળી સપાટીના ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લઈએ. અમે પરિમાણો નક્કી કરવા માટે લંબચોરસ વિસ્તાર સાથે ઉપર વર્ણવેલ સપાટીના ત્રિકોણના સીમા રૂપરેખા દ્વારા સુધારણા પર ત્રિકોણ પદ્ધતિ બનાવીશું.

ચોખા. 9.7.5. પરિમાણો વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે લંબચોરસ ડોમેન સાથે સપાટીનું ત્રિકોણ

પરિમાણ વ્યાખ્યા ડોમેનમાં સપાટીની સીમાને કેટલાક બિન-છેદ ન કરતા દ્વિ-પરિમાણીય રૂપરેખા (2.12.7) દ્વારા વર્ણવવા દો. રૂપરેખાઓમાંથી એક બાહ્ય છે અને બાકીના રૂપરેખા ધરાવે છે. દરેક સમોચ્ચ માટે હકારાત્મક દિશા માટે આપણે તે દિશા લઈશું કે જેની સાથે આગળ વધતી વખતે, સપાટીની વ્યાખ્યાનો વિસ્તાર હંમેશા સમોચ્ચની ડાબી બાજુએ હોય છે, જ્યારે સપાટી સામાન્ય તરફ જોતી હોય. ચાલો સપાટી વ્યાખ્યા વિસ્તારની સીમા રૂપરેખાની હકારાત્મક દિશામાં બહુકોણ બનાવીએ. સીમા બહુકોણ બાંધવા માટે, તમારે કેટલાક ચલ સ્ટેપ સાથે સપાટીની સીમાના રૂપરેખા સાથે ચાલવાની જરૂર છે અને દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓની એરે ભરવાની જરૂર છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સપાટીના પરિમાણો છે. અમે પેરામેટ્રિક પ્લેન પરના બિંદુઓથી બહુકોણ બનાવીશું, પરંતુ જ્યારે એક બિંદુથી બીજા બિંદુ તરફ જવાનું પગલું અવકાશી ભૂમિતિથી નક્કી કરવામાં આવશે, એટલે કે, નજીકના બિંદુઓ વચ્ચેના વળાંકના ચાપનું વિચલન આપેલ કરતાં વધુ ન હોય તેવી સ્થિતિથી. મૂલ્ય અમે ફોર્મ્યુલા (9.4.4) નો ઉપયોગ કરીને સપાટીની સીમા સમોચ્ચ વળાંક માટે બહુકોણ બાંધવા માટેના પેરામેટ્રિક પગલાંની ગણતરી કરીએ છીએ.

દરેક બહુકોણમાં દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના ક્રમબદ્ધ સમૂહનો સમાવેશ થાય છે. બહુકોણના દરેક વિભાગને બે અડીને આવેલા બિંદુઓ પર બનેલા દ્વિ-પરિમાણીય સીધા રેખાખંડ તરીકે ગણી શકાય. આપણે આવા વિસ્તારોનો સીમા ધાર તરીકે ઉપયોગ કરીશું, અને બહુકોણના બિંદુઓ કે જેના પર કિનારીઓ આધારિત છે તેનો ત્રિકોણ શિરોબિંદુ તરીકે ઉપયોગ કરવામાં આવશે. સપાટીના પરિમાણો નક્કી કરવા માટેનો વિસ્તાર સીમા બહુકોણની ડાબી બાજુએ આવેલો હોવાથી, દરેક સીમા ત્રિકોણ ધાર માટે ત્રિકોણ બાંધતી વખતે, તમારે ધારની ડાબી બાજુએ ત્રિકોણનો ત્રીજો શિરોબિંદુ જોવો જોઈએ.

ચાલો નિર્ધારિત કરીએ કે કયા ગાંઠો સીમા બહુકોણની અંદર આવેલા છે, અને જે સરહદ પર અથવા સપાટી વ્યાખ્યા વિસ્તારની બહાર આવેલા છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને, અમે લંબચોરસ ગ્રીડ કોષોને બે જૂથોમાં સૉર્ટ કરીએ છીએ. પ્રથમ જૂથમાં કોષોનો સમાવેશ થાય છે જે સંપૂર્ણપણે તે વિસ્તારની અંદર રહે છે જ્યાં સપાટીના પરિમાણો નક્કી કરવામાં આવે છે (કોષો સીમા બહુકોણને સ્પર્શતા ન હોવા જોઈએ). બીજા જૂથમાં બાકીના કોષોનો સમાવેશ થાય છે (સપાટી વ્યાખ્યા વિસ્તારની બહાર પડેલા અથવા સીમા બહુકોણ દ્વારા છેદે છે).

ચોખા. 9.7.6. અપૂર્ણ સપાટી ત્રિકોણ

પ્રથમ જૂથના દરેક કોષની અંદર, કર્ણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બે ત્રિકોણ બનાવીશું. આમ આપણને અપૂર્ણ ત્રિકોણ મળે છે. રૂપરેખા દ્વારા મર્યાદિત ક્રાંતિની સપાટી માટે પ્રથમ જૂથના કોષોમાં ત્રિકોણ બનાવવાનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 9.7.6.

અમે બીજા જૂથના કોષોની છેદાયેલી બાજુઓ પર સીમાની કિનારીઓ બનાવીશું અને તેમને દિશામાન કરીશું જેથી અનુરૂપ કોષ ધારની ડાબી બાજુએ આવે. પ્રથમ જૂથના કોષોની આસપાસ, આપણે એક બંધ તૂટેલી રેખા (કદાચ ઘણી બંધ રેખાઓ) બાંધીશું જેથી કરીને જ્યારે તેની સાથે આગળ વધીએ ત્યારે, સપાટીને સામાન્ય તરફ જોતી વખતે, ત્રિકોણમાં વિભાજિત ન હોય તેવા વિસ્તારનો ભાગ ડાબી બાજુએ આવેલું છે. . અમે આ તૂટેલી રેખાના સીધા વિભાગોનો પણ સીમાની ધાર તરીકે ઉપયોગ કરીશું. અમે બધી ધારને સમાન ગણીશું. ત્રિકોણ પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સીમાની કિનારીઓ વચ્ચે ત્રિકોણ બનાવવાની જરૂર છે. દરેક ધાર માટે આપણે એક શિરોબિંદુ શોધીશું જે તેની ડાબી બાજુએ આવેલું છે અને તેનો ઉપયોગ ત્રિકોણ બનાવવા માટે થઈ શકે છે. અમે ફક્ત તે જ શિરોબિંદુઓ વચ્ચે શિરોબિંદુ શોધીશું જે ધાર સાથે સમાન કોષમાં આવેલા છે. શિરોબિંદુ પસંદ કરવા માટે, અમે ઉપર વર્ણવેલ અને ફિગમાં સચિત્ર ડેલૌનેય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. 9.7.2. જો આવી શિરોબિંદુ મળી આવે, તો તમારે તપાસવું જોઈએ કે ત્રિકોણની બે નવી ધાર કોઈપણ સીમાની ધાર સાથે છેદે છે કે નહીં. સીમાની ધાર AB માટે નજીકના શિરોબિંદુ V ને શોધવા દો અને તપાસો કે BV અને VA ખંડો અન્ય સીમા ધારને છેદતા નથી. પછી આપણે ત્રિકોણ ABV બનાવીશું અને ધાર AB ને નિષ્ક્રિય શ્રેણીમાં સ્થાનાંતરિત કરીશું. જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે કોઈ એજ BV ન હોય, તો અમે સેગમેન્ટ VB પર નવી બાઉન્ડ્રી એજ બનાવીશું, પરંતુ જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે એજ BV હશે, તો અમે તેને અને શિરોબિંદુ B ને નિષ્ક્રિયની શ્રેણીમાં સ્થાનાંતરિત કરીશું. જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે કોઈ એજ VA ન હોય, તો અમે સેગમેન્ટ AV પર નવી બાઉન્ડ્રી એજ બનાવીશું, પરંતુ જો બાઉન્ડ્રી કિનારીઓ વચ્ચે એજ VA હશે, તો અમે તેને અને શિરોબિંદુ A ને નિષ્ક્રિયની શ્રેણીમાં સ્થાનાંતરિત કરીશું.

જો કોઈ સેગમેન્ટ અથવા VA અન્ય સીમા ધારને છેદે છે, તો આપણે બીજી સીમાની ધાર માટે નજીકના શિરોબિંદુને શોધવા માટે આગળ વધીએ છીએ. તમામ કિનારીઓ અને શિરોબિંદુઓને નિષ્ક્રિય તરીકે વર્ગીકૃત કર્યા પછી ત્રિકોણ પૂર્ણ થશે.

ચોખા. 9.7.7. કરેક્શન પદ્ધતિ દ્વારા ત્રિકોણ

ફિગ માં. 9.7.7 સીમા રૂપરેખા દ્વારા છેદાયેલા કોષોમાં ત્રિકોણ સુધારવાની પદ્ધતિ દ્વારા સપાટીનું ત્રિકોણ બતાવે છે. ફિગ માં. 9.7.8, પરિણામી ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, સપાટી પોતે જ પ્રદર્શિત થાય છે.

જો સીમા બહુકોણ અને સપાટીમાં થોડી સમપ્રમાણતા હોય, તો સુધારણા પદ્ધતિ દ્વારા ત્રિકોણની સમાન સમપ્રમાણતા હશે.

શોષણ પદ્ધતિ દ્વારા ત્રિકોણ.

ચાલો બીજી ત્રિકોણ પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ. ઝડપની દ્રષ્ટિએ, તે ડેલૌનાય ત્રિકોણ અને તેના ફેરફારોથી હલકી ગુણવત્તાવાળા છે. ત્રિકોણ પ્રક્રિયા શરૂ કરવા માટે, બંધ બહુકોણના સ્વરૂપમાં સપાટીની સીમાનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું જરૂરી છે. ત્રિકોણ પ્રક્રિયા દરમિયાન, આપણે સપાટીના પરિમાણોના આધારે પગલાં નક્કી કરવાની જરૂર પડશે. ચળવળની જાણીતી દિશા સાથે, આ પગલાં સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (9.4.6). સપાટીના પરિમાણો માટેના અંદાજિત પગલાં નીચે મુજબ મળી શકે છે. ચાલો આપણે ચોક્કસ બિંદુની આસપાસ પરિમાણ સમતલ પર એક પ્રદેશને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે આ પ્રદેશમાં બિંદુથી બિંદુ સુધીનો કોઈપણ અવકાશી સેગમેન્ટ સપાટી પરથી આપેલ મૂલ્ય S કરતાં વધુ ન હોય.

આ કરવા માટે, અમે સંકલન રેખાઓ સાથે પરિમાણોના અનુમતિપાત્ર વધારાની ગણતરી કરીએ છીએ

બિંદુ પર સપાટીના પ્રથમ અને બીજા ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોના ગુણાંક ક્યાં છે. ઇચ્છિત પ્રદેશની સીમા તરીકે, આપણે એક બિંદુ અને અર્ધ-અક્ષ પર કેન્દ્ર સાથે લંબગોળ લઈએ છીએ. આ લંબગોળ સમીકરણ ધરાવે છે

જો તમે કોણ દ્વારા અને ધરી સાથે આપેલ દિશામાં એક બિંદુની બાજુમાં પ્લેન પર કોઈ બિંદુ શોધવા માંગતા હો, તો તેના પરિમાણો હશે

પ્રથમ, ચાલો એક સરળ કેસ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે સપાટીના પરિમાણોનો વિસ્તાર એક બાહ્ય સમોચ્ચ સુધી મર્યાદિત હોય. અમે પેરામેટ્રિક ડોમેન પર બંધ બહુકોણ દ્વારા સપાટીની સીમાનો અંદાજ લગાવીએ છીએ. ત્રિકોણ બનાવતી વખતે, આપણે કાર્યકારી બહુકોણનો ઉપયોગ કરીશું, જે આ કિસ્સામાં આપણે બાહ્ય સમોચ્ચના બહુકોણ તરીકે લઈશું. આપણે દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના પરિણામી એરેમાં બહુકોણ બિંદુઓ ઉમેરીશું. અમે કાર્યકારી ક્ષેત્રની ધારથી ત્રિકોણ બનાવીશું, જ્યાં સુધી કાર્યક્ષેત્રમાં ફક્ત ત્રણ બિંદુઓ બાકી ન હોય ત્યાં સુધી તેને સંકુચિત કરીશું.

ચાલો વર્કિંગ બહુકોણમાં એક શિરોબિંદુ શોધીએ કે જેના પર તે પ્રદેશમાં ફેરવાય છે. આવા બિંદુ હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે અને તેના પર પરિભ્રમણનો કોણ નાનો છે. ચાલો આ બિંદુને O દ્વારા દર્શાવીએ અને તેના પરિમાણોને આ બિંદુની નજીકથી આપણે પરિભ્રમણના ખૂણાના આધારે એક કે બે ત્રિકોણ બનાવીશું. જો કોણ નાનો હશે, તો આપણે આ ત્રણ બિંદુઓ પર એક ત્રિકોણ બનાવીશું (ફિગ. 9.7.9). નહિંતર, અમે આના પર બે ત્રિકોણ બનાવીશું, બે પડોશી અને એક નવા બિંદુઓ (ફિગ. 9.7.11). નવા બિંદુને P દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. અમે સમાંતરગ્રામ B OS P ના કર્ણ પર બિંદુ P શોધીશું. જો સમાંતરગ્રામનું શિરોબિંદુ લંબગોળ (ફિગ. 9.7.10) ની અંદર આવેલું છે, તો અમે તેને બિંદુ P તરીકે લઈશું. નહિંતર, આપણે લંબગોળના આંતરછેદ અને સમાંતરગ્રામના કર્ણને બિંદુ P તરીકે લઈશું. પછીના કિસ્સામાં, એલિપ્સ અને સેગમેન્ટના આંતરછેદને જોવા માટે તે બિલકુલ જરૂરી નથી.

બિંદુ P ના કોઓર્ડિનેટ્સ બિંદુઓ O BC ના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

આડા સાથે સેગમેન્ટ OP નો કોણ સમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે

(9.7.8)

આ ડેટા એલિપ્સ (9.7.5) ને સંબંધિત બિંદુ P ની સ્થિતિ નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં. 9.7.9, ચાલો ત્રિકોણ બનાવીએ (તેના શિરોબિંદુઓની સંખ્યા યાદ રાખો) અને કાર્યક્ષેત્રમાં બિંદુ O કાઢી નાખીએ. ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં. 9.7.11, આપણે બે ત્રિકોણ બનાવીશું અને કાર્યક્ષેત્રમાં આપણે બિંદુ O ને બિંદુ P સાથે બદલીશું અને પછીનાને બિંદુઓની પરિણામી એરેમાં મૂકીશું. ફિગ માં. આકૃતિ 9.7.12 બે ત્રિકોણ બાંધ્યા પછી અને બિંદુ O નાબૂદ કર્યા પછી મેળવેલ બહુકોણ બતાવે છે. બંને કિસ્સાઓમાં, કાર્યકારી બહુકોણમાંથી બિંદુ O દૂર કરવામાં આવશે અને કાર્યશીલ બહુકોણ સાંકડો થશે. નોંધ કરો કે ત્રિકોણ ફક્ત ત્યારે જ બાંધી શકાય છે જ્યારે કાર્યક્ષેત્ર, સંકુચિત કર્યા પછી, પોતાને છેદે નહીં.

ચોખા. 9.7.9. ત્રિકોણનું બાંધકામ

ચોખા. 9.7.10. પરિણામ બહુકોણ

ચોખા. 9.7.11. બે ત્રિકોણનું બાંધકામ

ચોખા. 9.7.12. પરિણામ બહુકોણ

આવી પરિસ્થિતિઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 9.7.13. જ્યારે બાંધવામાં આવેલા ત્રિકોણની બાજુઓ તેમની બાજુમાં ન હોય તેવા કાર્યક્ષેત્રની બાજુઓને છેદે ત્યારે તે થઈ શકે છે. ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે નવો ત્રિકોણ બનાવતા પહેલા. 9.7.9, અને ફિગમાં બતાવેલ કિસ્સામાં. 9.7.11, પરિણામી બહુકોણ પોતાને છેદે નહીં તેની ખાતરી કરવા માટે તપાસ કરવી આવશ્યક છે.

તદુપરાંત, બિંદુ P ની સ્થિતિ નક્કી કરતી વખતે, તે મહત્વપૂર્ણ છે કે તે કાર્યક્ષેત્રના અન્ય બિંદુઓથી પર્યાપ્ત અંતરે હોય અને વિસ્તારના બિંદુઓને જોડતા ભાગોની નજીક ન આવે. નહિંતર, ત્રિકોણ બાંધતી વખતે ભવિષ્યમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે. તેથી, કાર્યકારી બહુકોણને સંકુચિત કરતા પહેલા, તમારે સ્વ-છેદન માટે પરિણામી બહુકોણ તપાસવું જોઈએ. જો બિંદુ O નજીક ત્રિકોણ (ત્રિકોણ) બનાવવું અશક્ય છે, તો તેના બદલે તમારે અન્ય બિંદુ શોધવું જોઈએ કે જેના પર બહુકોણ સમોચ્ચની અંદર અન્ય કરતા વધુ લપેટી જાય, અને તેના પર વર્ણવેલ ક્રિયાઓ કરો.

આગળ, સંશોધિત કાર્યક્ષેત્ર સાથે, અમે તે જ ક્રિયાઓ કરીશું જે અમે હમણાં જ વર્ણવી છે. ચાલો કાર્યકારી બહુકોણમાં એક બિંદુ શોધીએ કે જેના પર તે અન્ય બિંદુઓ કરતાં વધુ વિસ્તારની અંદર વળે છે, એક અથવા બે ત્રિકોણ બનાવીને તેમાં બહુકોણને સાંકડી કરવાની શક્યતા તપાસો અને બહુકોણને સાંકડો કરો.

ચોખા. 9.7.13. તમે આ ખૂણામાં ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.

આ પ્રક્રિયાને ચાલુ રાખીને, અમે દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓની શ્રેણી અને ત્રિકોણની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરીશું, અને તે જ સમયે અમે કાર્યકારી બહુકોણને સાંકડી કરીશું, તે આવરી લેતો વિસ્તાર અને તેના બિંદુઓની સંખ્યા ઘટાડશે. આ ક્રિયાઓના અમુક તબક્કે આપણે ત્રણ બિંદુઓ ધરાવતો કાર્યકારી બહુકોણ પ્રાપ્ત કરીશું. ચાલો આ બિંદુઓ પર છેલ્લો ત્રિકોણ બનાવીએ, કાર્યક્ષેત્રને દૂર કરીએ અને ત્રિકોણ સમાપ્ત કરીએ. વર્ણવેલ ત્રિકોણ પદ્ધતિમાં, કાર્યકારી ક્ષેત્ર દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર, તેમાંથી ત્રિકોણ કાપીને દૂર કરવામાં આવે છે.

ચાલો સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે સપાટીના પરિમાણોનો વિસ્તાર એક બાહ્ય સમોચ્ચ અને ઘણા આંતરિક રૂપરેખા દ્વારા મર્યાદિત હોય છે જે સંપૂર્ણપણે બાહ્ય સમોચ્ચની અંદર આવેલા હોય છે. અમે પેરામેટ્રિક ડોમેન પર બંધ બહુકોણ દ્વારા સપાટીની સીમાનો અંદાજ લગાવીએ છીએ. દરેક સમોચ્ચ માટે આપણે આપણું પોતાનું બહુકોણ બનાવીશું. જેમ કે રૂપરેખા માટે, તેમના પર બનેલા બહુકોણ માટે, તેમના પરસ્પર અભિગમનો નિયમ પૂર્ણ થવો જોઈએ. આંતરિક બહુકોણનું ઓરિએન્ટેશન બાહ્ય બહુકોણના ઓરિએન્ટેશનની વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ. ચાલો બાહ્ય સમોચ્ચ બહુકોણ સાથે ત્રિકોણ બાંધવાનું શરૂ કરીએ. ચાલો તેના બિંદુઓને દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના પરિણામી એરેમાં મૂકીએ, અને બહુકોણને જ કાર્યશીલ બનાવીએ.

આપણે ત્રિકોણ એ જ રીતે બનાવીશું જેમ કે સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશના કિસ્સામાં. ચાલો કાર્યક્ષેત્રમાં બિંદુ O શોધીએ, ત્યાં કાર્યક્ષેત્રને સાંકડી કરવાની શક્યતા તપાસીએ અને વિસ્તારને સાંકડો કરીએ. જો ત્યાં આંતરિક રૂપરેખા હોય, તો પસંદ કરેલા બિંદુ પર કાર્યક્ષેત્રને સાંકડી કરવાની શક્યતા તપાસવી વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે. કાર્યક્ષેત્રની બાજુઓ સાથે ત્રિકોણની બાજુઓના આંતરછેદ માટે વર્ણવેલ તપાસો ઉપરાંત, તમામ આંતરિક બહુકોણની બાજુઓ સાથે ત્રિકોણની બાજુઓના આંતરછેદ માટે તપાસ કરવી જરૂરી છે.

ચાલો બિંદુ O (ફિગ. 9.7.11) પર બે ત્રિકોણ બાંધવાની શક્યતા તપાસીએ અને શોધીએ કે નવો બિંદુ P, એકવાર બાંધ્યા પછી, આંતરિક બહુકોણમાંથી એકની અંદર આવશે અથવા તેના ભાગોની અસ્વીકાર્ય નિકટતામાં હશે. આ કિસ્સામાં, અમે બિંદુ P બાંધીશું નહીં, પરંતુ તેના બદલે ફિગમાં બતાવેલ બે ત્રિકોણ બનાવીને કાર્યકારી બહુકોણમાં આ આંતરિક બહુકોણનો સમાવેશ કરીશું. 9.7.14.

કાર્યકારી બહુકોણમાં આંતરિક બહુકોણમાંના એકના બિંદુઓને સમાવવા માટે, આપણે આંતરિક બહુકોણના બિંદુઓમાંથી કાર્યકારી બહુકોણના બિંદુ C (બિંદુ O ને અડીને) ની સૌથી નજીકનો બિંદુ શોધીએ છીએ.

ચાલો બિંદુઓ OCF અને CEF પર ત્રિકોણ બનાવીએ અને કાર્યક્ષેત્રના બિંદુઓ O અને C વચ્ચે આંતરિક બહુકોણના બિંદુઓ દાખલ કરીએ, બિંદુ F થી શરૂ કરીને અને બિંદુ E સાથે સમાપ્ત થાય છે. આમ, આપણે સેગમેન્ટ OS પરના કાર્યક્ષેત્રને તોડીશું. સેગમેન્ટ EF પર આંતરિક બહુકોણ અને તેમને સેગમેન્ટ્સ OF અને EU સાથે જોડો.

ચોખા. 9.7.14. બે ત્રિકોણનું બાંધકામ

ચોખા. 9.7.15. બાહ્ય અને આંતરિક બહુકોણને મર્જ કરવું

મર્જરનું પરિણામ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 9.7.15. અલબત્ત, બાહ્ય અને આંતરિક બહુકોણને મર્જ કરતા પહેલા, આ કામગીરીની ચોકસાઈની ખાતરી કરવા માટે તપાસ કરવી આવશ્યક છે.

આગળ, જ્યાં સુધી આપણે આપણી જાતને બીજા આંતરિક વિસ્તારની નજીક ન મળીએ અને તેને કાર્યક્ષેત્રમાં સમાવી લઈએ ત્યાં સુધી અમે વર્ણવેલ રીતે કાર્યક્ષેત્રને સંકુચિત કરવાનું ચાલુ રાખીશું. પરિણામે, તમામ આંતરિક બહુકોણ કાર્યકારી બહુકોણમાં શામેલ કરવામાં આવશે, જે છેલ્લા ત્રણ બિંદુઓ સુધી સંકુચિત હોવા જોઈએ. પરિણામે, સપાટીના પરિમાણો નક્કી કરવા માટે સમગ્ર ગુણાકાર જોડાયેલ પ્રદેશ ત્રિકોણથી આવરી લેવામાં આવશે.

ચોખા. 9.7.16. તમે આ ખૂણામાં ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.

એવી પરિસ્થિતિઓ હોઈ શકે છે જ્યારે આપેલ બહુકોણ પર એક ત્રિકોણ બનાવવું અશક્ય છે. ફિગ માં. આકૃતિ 9.7.16 બે બહુકોણ દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર દર્શાવે છે, જેમાંના દરેક ચાર સેગમેન્ટ ધરાવે છે. બાહ્ય બહુકોણ માટે, આપણે ત્રિકોણ ચાલુ રાખી શકતા નથી કારણ કે આંતરિક બહુકોણ માર્ગમાં છે. આ કિસ્સામાં, આપણે બહુકોણના બે પડોશી બિંદુઓ B અને C શોધીશું, જેના માટે આપણે ત્રિકોણ HRV બનાવી શકીએ છીએ. બિંદુ P એ બાજુ BC ની મધ્યમાં પ્રક્ષેપિત છે અને તેનાથી એટલા અંતરે સ્થિત છે કે નવો ત્રિકોણ બહુકોણને છેદતો નથી.

ત્રિકોણની અન્ય પદ્ધતિઓ.

ત્રિકોણની અન્ય રીતો છે. ઉદાહરણ તરીકે, સપાટીની વ્યાખ્યા વિસ્તારના બાહ્ય અને આંતરિક રૂપરેખાના બહુકોણ બાંધ્યા પછી, ત્રિકોણ બનાવવા માટે એક અલગ વ્યૂહરચના પસંદ કરી શકાય છે. બીજો વિકલ્પ ત્રિકોણ શરૂ કરતા પહેલા બાહ્ય અને આંતરિક બહુકોણને એક બહુકોણમાં જોડવાનો છે. તમે ચોક્કસ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને પેરામીટર ડેફિનેશન એરિયાની અંદરના પોઈન્ટનું "સ્કેચ" કરી શકો છો અને તેનો ઉપયોગ કરીને અને બાઉન્ડ્રી કોન્ટૂર બહુકોણના બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ડેલૌનેય ત્રિકોણ કરી શકો છો. એવા અલ્ગોરિધમ્સ છે જે પહેલા મોટા ત્રિકોણ બનાવે છે અને પછી તેને મેનેજ કરી શકાય તેવા કદમાં વિભાજિત કરે છે.

શારીરિક ત્રિકોણ.

શરીરનું ત્રિકોણ એ તેના ચહેરાની સપાટીને ત્રિકોણ કરીને મેળવેલા ત્રિકોણનો સમૂહ છે. વ્યક્તિગત સપાટીઓનું ત્રિકોણ શરીરના ચહેરાના ત્રિકોણ કરતાં અલગ છે કે પછીના કિસ્સામાં, નજીકના ચહેરા માટે સીમા બહુકોણ સુસંગત હોવા જોઈએ (ફિગ. 9.7.17).

ચોખા. 9.7.17. શારીરિક ચહેરો સીમા બહુકોણ સુસંગતતા

સામાન્ય કિનારીઓ સાથે પસાર થતા નજીકના ચહેરાઓના બહુકોણના વિભાગો સુસંગત રહેશે જો તેમના બિંદુઓ અવકાશમાં એકરૂપ થાય.

ત્રિકોણની અરજી.

ત્રિકોણના પરિણામે બનેલા ત્રિકોણનો ઉપયોગ ટોન ઈમેજ મેળવવા માટે થાય છે. ફિગ માં. 9.7.18 અને 9.7.19 શીટ બોડીના ચહેરાના ત્રિકોણ દર્શાવે છે, જેની ટોન ઇમેજ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 6.5.1.

ચોખા. 9.7.18. સુધારણા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શરીરના ચહેરાનું ત્રિકોણ

શરીરની ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરતી વખતે સપાટીના પરિમાણોને ત્રિકોણમાં નિર્ધારિત કરવાના ડોમેનને વિભાજન (8.6.2), (8.6.3), (8.6.12), (8.7.17)-(8.7.22) માં ઉપયોગ કરી શકાય છે. . સંખ્યાત્મક એકીકરણ દરમિયાન, વણાંકો માટેના પેરામેટ્રિક પગલાની ગણતરી સૂત્ર (8.11.5) નો ઉપયોગ કરીને થવી જોઈએ, અને સપાટીઓ માટે, પેરામેટ્રિક પગલાંની ગણતરી સૂત્રો (8.11.1) અને (8.11.2) નો ઉપયોગ કરીને થવી જોઈએ.