નિર્ધારણના ગુણાંકમાં રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન. એક્સેલમાં રીગ્રેસન: સમીકરણ, ઉદાહરણો

મહત્વ ચકાસવા માટે, રીગ્રેસન ગુણાંક અને તેના પ્રમાણભૂત વિચલનના ગુણોત્તરનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે. આ ગુણોત્તર વિદ્યાર્થી વિતરણ છે, એટલે કે, મહત્વ નક્કી કરવા માટે અમે ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

- આરએમએસશેષ વિક્ષેપમાંથી;

- સરેરાશ મૂલ્યમાંથી વિચલનોનો સરવાળો

જો ટી રાસ. >ટી ટેબ. , તો ગુણાંક b i નોંધપાત્ર છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

કાર્યની કામગીરી માટેની પ્રક્રિયા

કાર્ય વિકલ્પ અનુસાર પ્રારંભિક ડેટા લો (જર્નલમાં વિદ્યાર્થી નંબર દ્વારા). બે ઇનપુટ્સ સાથે સ્થિર નિયંત્રણ ઑબ્જેક્ટ ઉલ્લેખિત છે એક્સ 1 , એક્સ 2 અને એક બહાર નીકળો વાય. સુવિધા પર નિષ્ક્રિય પ્રયોગ હાથ ધરવામાં આવ્યો હતો અને મૂલ્યો ધરાવતા 30 પોઈન્ટનો નમૂનો મેળવવામાં આવ્યો હતો. એક્સ 1 , એક્સ 2 અને વાયદરેક પ્રયોગ માટે.

એક્સેલ 2007 માં નવી ફાઇલ ખોલો. મૂળ કોષ્ટકની કૉલમમાં પ્રારંભિક માહિતી દાખલ કરો - ઇનપુટ ચલોની કિંમતો એક્સ 1 , એક્સ 2 અને આઉટપુટ વેરીએબલ વાય.

ગણતરી કરેલ મૂલ્યો દાખલ કરવા માટે બે વધારાના કૉલમ તૈયાર કરો વાયઅને અવશેષો.

"રીગ્રેશન" પ્રોગ્રામને કૉલ કરો: ડેટા / ડેટા વિશ્લેષણ / રીગ્રેસન.

ચોખા. 1. ડેટા વિશ્લેષણ સંવાદ બોક્સ.

"રીગ્રેશન" સંવાદ બોક્સમાં સ્રોત ડેટાના સરનામાં દાખલ કરો:

ઇનપુટ અંતરાલ Y, ઇનપુટ અંતરાલ X (2 કૉલમ),

વિશ્વસનીયતા સ્તરને 95% પર સેટ કરો,

"આઉટપુટ અંતરાલ" વિકલ્પમાં, જ્યાં રીગ્રેસન વિશ્લેષણ ડેટા આઉટપુટ છે તે સ્થાનના ઉપલા ડાબા કોષને સૂચવો (વર્કશીટના 2જા પૃષ્ઠ પરનો પ્રથમ કોષ),

"શેષ" અને "બાકીનો ગ્રાફ" વિકલ્પો સક્ષમ કરો,

શરૂ કરવા માટે OK બટન દબાવો પાછળ નુ પૃથકરણ.

ચોખા. 2. રીગ્રેશન ડાયલોગ બોક્સ.

એક્સેલ ચલો પરના અવશેષોની અવલંબનનાં 4 કોષ્ટકો અને 2 ગ્રાફ પ્રદર્શિત કરશે X1અને X2.

કોષ્ટક "કુલનું આઉટપુટ" ફોર્મેટ કરો - આઉટપુટ ડેટાના નામ સાથે કૉલમને વિસ્તૃત કરો, બીજા કૉલમમાં દશાંશ બિંદુ પછી 3 નોંધપાત્ર આંકડા બનાવો.

ફોર્મેટ ટેબલ " વિભિન્નતાનું વિશ્લેષણ»- જથ્થાને વાંચવા અને સમજવામાં સરળ બનાવો નોંધપાત્ર આંકડાઅલ્પવિરામ પછી, ચલ નામો ટૂંકાવી અને કૉલમની પહોળાઈને સમાયોજિત કરો.

સમીકરણ ગુણાંકના કોષ્ટકને ફોર્મેટ કરો - ચલોના નામ ટૂંકા કરો અને જો જરૂરી હોય તો કૉલમની પહોળાઈને સમાયોજિત કરો, નોંધપાત્ર અંકોની સંખ્યાને વાંચવા અને સમજવામાં સરળ બનાવો, છેલ્લા 2 કૉલમ્સ (મૂલ્યો અને કોષ્ટક લેઆઉટ) દૂર કરો.

"બાકીના આઉટપુટ" કોષ્ટકમાંથી ડેટાને સ્રોત કોષ્ટકના તૈયાર કૉલમ્સમાં સ્થાનાંતરિત કરો, પછી "બાકી આઉટપુટ" કોષ્ટકને કાઢી નાખો ("વિશિષ્ટ દાખલ કરો" વિકલ્પ).

સ્ત્રોત કોષ્ટકમાં પ્રાપ્ત ગુણાંક અંદાજ દાખલ કરો.

પરિણામોના કોષ્ટકોને પૃષ્ઠની ટોચ પર ખેંચો.

કોષ્ટકો હેઠળ ચાર્ટ બનાવો વાયસમાપ્તિ, વાયગણતરીઅને આગાહી ભૂલો (શેષ).

શેષ ચાર્ટ ફોર્મેટ કરો. પરિણામી ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, ઇનપુટ્સના આધારે મોડેલની શુદ્ધતાનું મૂલ્યાંકન કરો X1, X2.

રીગ્રેસન વિશ્લેષણના પરિણામો છાપો.

રીગ્રેશન વિશ્લેષણના પરિણામોને સમજો.

કાર્ય અહેવાલ તૈયાર કરો.

કાર્ય પ્રદર્શનનું ઉદાહરણ

EXCEL માં રીગ્રેસન વિશ્લેષણ કરવા માટેની પદ્ધતિ આકૃતિ 3-5 માં રજૂ કરવામાં આવી છે.

ચોખા. 3. EXCEL પેકેજમાં રીગ્રેસન વિશ્લેષણનું ઉદાહરણ.

ફિગ.4. વેરિયેબલ શેષ પ્લોટ X1, X2

ચોખા. 5. ચાર્ટ વાયસમાપ્તિ,વાયગણતરીઅને આગાહી ભૂલો (શેષ).

રીગ્રેશન વિશ્લેષણ અનુસાર, આપણે કહી શકીએ:

1. એક્સેલનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ રીગ્રેસન સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે:

નિર્ધારણ ગુણાંક:

46.5% દ્વારા પરિણામની વિવિધતા પરિબળોની વિવિધતા દ્વારા સમજાવવામાં આવી છે.

સામાન્ય F ટેસ્ટ રીગ્રેશન સમીકરણના આંકડાકીય મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરે છે. ફિશર એફ ટેસ્ટના વાસ્તવિક અને ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યોની તુલના કરીને વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

કારણ કે વાસ્તવિક મૂલ્ય કોષ્ટક કરતાં વધી ગયું છે
, પછી અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે પરિણામી રીગ્રેસન સમીકરણ આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે.

ગુણાંક બહુવિધ સહસંબંધ:

b 0 :

t ટેબ. (29, 0.975) = 2.05

b 0 :

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ:

અમે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલગુણાંક માટે b 1 :

ગુણાંકનું મહત્વ તપાસી રહ્યું છે b 1 :

t dis. >ટી ટેબ. , ગુણાંક b 1 નોંધપાત્ર છે

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ:

ગુણાંક માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો b 2 :

ગુણાંક માટે મહત્વની કસોટી b 2 :

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરો:

કાર્ય વિકલ્પો

કોષ્ટક 2. કાર્ય વિકલ્પો

કોષ્ટક 1 નું ચાલુ રાખવું

કોષ્ટક 3. પ્રારંભિક ડેટા

સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો

રીગ્રેસન વિશ્લેષણની સમસ્યાઓ.

રીગ્રેસન વિશ્લેષણ માટે પૂર્વજરૂરીયાતો.

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણનું મૂળભૂત સમીકરણ.

ફિશરનો F- ગુણોત્તર શું દર્શાવે છે?

ફિશરના માપદંડનું કોષ્ટક મૂલ્ય કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે?

નિર્ધારણનો ગુણાંક શું દર્શાવે છે?

રીગ્રેસન ગુણાંકનું મહત્વ કેવી રીતે નક્કી કરવું?

રીગ્રેસન ગુણાંકનો વિશ્વાસ અંતરાલ કેવી રીતે નક્કી કરવો?

ગણતરી કરેલ ટી-ટેસ્ટ મૂલ્ય કેવી રીતે નક્કી કરવું?

ટી-ટેસ્ટનું ટેબલ મૂલ્ય કેવી રીતે નક્કી કરવું?

ભિન્નતા વિશ્લેષણનો મુખ્ય વિચાર ઘડવો; કઈ સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે તે સૌથી અસરકારક છે?

વિભિન્નતાના વિશ્લેષણના મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક પરિસર શું છે?

ANOVA માં ઘટકોમાં ચોરસ વિચલનોના કુલ સરવાળાને વિઘટિત કરો.

વર્ગ વિચલનોના સરવાળામાંથી વિચલન અંદાજ કેવી રીતે મેળવવો?

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની આવશ્યક સંખ્યાઓ કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે?

પ્રમાણભૂત ભૂલ કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે?

ભિન્નતાના દ્વિ-પરિબળ વિશ્લેષણની રચના સમજાવો.

ક્રોસ વર્ગીકરણ અધિક્રમિક વર્ગીકરણથી કેવી રીતે અલગ છે?

સંતુલિત ડેટા વચ્ચે શું તફાવત છે?

માં રિપોર્ટ તૈયાર કરવામાં આવ્યો છે ટેક્સ્ટ એડિટર A4 પેપર GOST 6656-76 (210x297 mm) પરનો શબ્દ અને તેમાં શામેલ છે:

પ્રયોગશાળાના કાર્યનું નામ.

કાર્યનું લક્ષ્ય.

1. ગણતરી પરિણામો.

પૂર્ણ કરવા માટે મંજૂર સમય

લેબોરેટરી વર્ક

કાર્ય માટેની તૈયારી - 0.5 શૈક્ષણિક. કલાક

કાર્ય પૂર્ણ - 0.5 શૈક્ષણિક. કલાક

કમ્પ્યુટર ગણતરીઓ - 0.5 શૈક્ષણિક. કલાક

કાર્યની ડિઝાઇન - 0.5 શૈક્ષણિક. કલાક

સાહિત્ય

નિયંત્રણ પદાર્થોની ઓળખ. / A. D. Semenov, D. V. Artamonov, A. V. Bryukhachev. ટ્યુટોરીયલ. - પેન્ઝા: પીએસયુ, 2003. - 211 પૃ.

આંકડાકીય વિશ્લેષણની મૂળભૂત બાબતો. સ્ટેટિસ્ટિક અને એક્સેલ પેકેજનો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને કામગીરી સંશોધન પર વર્કશોપ. / વુકોલોવ ઇ.એ. ટ્યુટોરીયલ. - એમ.: ફોરમ, 2008. - 464 પૃષ્ઠ.

નિયંત્રણ પદાર્થોની ઓળખના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો. / એ.એ. ઇગ્નાટીવ, એસ.એ. ઇગ્નાટીવ. ટ્યુટોરીયલ. - સારાટોવ: એસએસટીયુ, 2008. - 44 પૃ.

EXCEL નો ઉપયોગ કરીને ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા. / જી.વી. ગોરેલોવા, આઈ.એ. કાત્સ્કો. - રોસ્ટોવ એન/ડી: ફોનિક્સ, 2006.- 475 પૃ.

ધ્યેય 2

મૂળભૂત ખ્યાલો 2

વર્ક ઓર્ડર 6

કાર્યનું ઉદાહરણ 9

સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો 13

કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે ફાળવેલ સમય 14

વ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન કર્યા પછી આંકડાકીય મહત્વદરેક રીગ્રેસન ગુણાંક માટે, ગુણાંકના એકંદર મહત્વનું સામાન્ય રીતે વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. સમગ્ર સમીકરણ. આ વિશ્લેષણ સ્પષ્ટીકરણાત્મક ચલો માટે તમામ રીગ્રેસન ગુણાંકના શૂન્યથી એક સાથે સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાના સામાન્ય મહત્વ વિશેની પૂર્વધારણાના પરીક્ષણના આધારે હાથ ધરવામાં આવે છે:

H 0: b 1 = b 2 = ... = b m = 0.

જો આ પૂર્વધારણાને નકારવામાં ન આવે, તો તે નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે આશ્રિત ચલ Y પરના તમામ m સમજૂતીત્મક ચલો X 1, X 2, ..., X m નો કુલ પ્રભાવ આંકડાકીય રીતે નજીવો ગણી શકાય, અને એકંદર ગુણવત્તા રીગ્રેસન સમીકરણ નીચું ગણી શકાય.

આ પૂર્વધારણા સમજાવાયેલ અને અવશેષ ભિન્નતાની તુલના કરતા ભિન્નતાના વિશ્લેષણના આધારે પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે.

H 0: (સમજાયેલ ભિન્નતા) = (શેષ વિચલન),

H 1: (સમજાયેલ ભિન્નતા) > (શેષ વિચલન).

F-આંકડાઓ બનાવવામાં આવે છે:

જ્યાં - રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ તફાવત;

– શેષ વિક્ષેપ (સ્વતંત્રતા n-m-1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો). જ્યારે OLS ધારણાઓ પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે બાંધવામાં આવેલ F-આંકડામાં સ્વતંત્રતા n1 = m, n2 = n–m–1 ની ડિગ્રી સાથે ફિશર વિતરણ હોય છે. તેથી, જો મહત્વના આવશ્યક સ્તરે F અવલોકન કરવામાં આવ્યું હોય > F a ; m; n - m -1 = F a (જ્યાં F a ; m ; n - m -1 એ ફિશર વિતરણનો નિર્ણાયક બિંદુ છે), તો H 0 ને H 1 ની તરફેણમાં નકારવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ ભિન્નતા શેષ ભિન્નતા કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે, અને તેથી, રીગ્રેસન સમીકરણ તદ્દન ગુણાત્મક રીતે આશ્રિત ચલ Y માં પરિવર્તનની ગતિશીલતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે. જો F અવલોકન કરવામાં આવે તો< F a ; m ; n - m -1 = F кр. , то нет основания для отклонения Н 0 . Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.

જો કે, વ્યવહારમાં, આ પૂર્વધારણાને બદલે, નિર્ધારણ R2 ના ગુણાંકના આંકડાકીય મહત્વ વિશે નજીકથી સંબંધિત પૂર્વધારણા વધુ વખત ચકાસવામાં આવે છે:





H 0: R 2 > 0.

આ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, નીચેના એફ-આંકડાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

. (8.20)

F નું મૂલ્ય, જો OLS ધારણાઓ પૂર્ણ થાય અને જો H 0 સાચું હોય, તો F- આંકડાકીય (8.19) ના વિતરણ જેવું જ ફિશર વિતરણ ધરાવે છે. ખરેખર, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને (8.19) દ્વારા વિભાજિત કરીને કુલ રકમચોરસ વિચલનો અને તે જાણીને કે તે રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવવામાં આવેલ વર્ગ વિચલનોના સરવાળામાં અને વર્ગીય વિચલનોના અવશેષ સરવાળામાં વિભાજિત થાય છે (આ એક પરિણામ છે, જે પછીથી બતાવવામાં આવશે, સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમનું)

,

અમને સૂત્ર મળે છે (8.20):

(8.20) થી તે સ્પષ્ટ છે કે ઘાતાંક F અને R 2 એક જ સમયે શૂન્ય સમાન છે અથવા સમાન નથી. જો F = 0, તો R 2 = 0, અને રીગ્રેસન રેખા Y = એ ઓછામાં ઓછા ચોરસ પ્રમાણે શ્રેષ્ઠ છે, અને તેથી, Y નું મૂલ્ય રેખીય રીતે X 1, X 2, ..., X m પર આધારિત નથી. . આપેલ મહત્વના સ્તર a પર નલ પૂર્વધારણા H 0: F = 0 ને ચકાસવા માટે, ફિશર વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકોમાંથી નિર્ણાયક મૂલ્ય F cr = F a જોવા મળે છે; m; n - m -1 . જો F > F cr હોય તો શૂન્ય પૂર્વધારણા નકારવામાં આવે છે. આ એ હકીકતની સમકક્ષ છે કે R 2 > 0, એટલે કે. R 2 આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે.

F આંકડાઓનું વિશ્લેષણ અમને નિષ્કર્ષ પર આવવા દે છે કે તમામ રેખીય રીગ્રેસન ગુણાંક વારાફરતી શૂન્ય સમાન છે તેવી પૂર્વધારણા સ્વીકારવા માટે, નિર્ધારણ R2 નો ગુણાંક શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ ન હોવો જોઈએ. અવલોકનોની સંખ્યામાં વધારો થતાં તેનું નિર્ણાયક મૂલ્ય ઘટે છે અને તે આપખુદ રીતે નાનું બની શકે છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે 30 અવલોકનો માટે X 1 i, X 2 i, R 2 = 0.65 બે સ્પષ્ટીકરણ ચલો સાથે રીગ્રેશનનો અંદાજ લગાવીએ. પછી

ફોબ = = 25.07.

ફિશર વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, અમે F 0.05 શોધીએ છીએ; 2; 27 = 3.36; F 0.01; 2; 27 = 5.49. F એ 5% અને 1% મહત્વના સ્તરે = 25.07 > F cr બંને અવલોકન કર્યું હોવાથી, બંને કિસ્સાઓમાં શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે.

જો સમાન પરિસ્થિતિમાં R 2 = 0.4, તો પછી

F obs = = 9.

સંબંધ નજીવો છે એવી ધારણાને પણ અહીં નકારી કાઢવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે જોડી પ્રમાણે રીગ્રેશનના કિસ્સામાં, F-આંકડા માટે નલ પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું એ t-આંકડા માટે નલ પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવા સમાન છે.

સહસંબંધ ગુણાંક. આ કિસ્સામાં, F-આંકડાકીય t-આંકડાકીય વર્ગના બરાબર છે. ગુણાંક R2 બહુવિધ રેખીય રીગ્રેશનના કિસ્સામાં સ્વતંત્ર મહત્વ મેળવે છે.

8.6. વર્ગ વિચલનોના કુલ સરવાળાને વિઘટન કરવા માટે વિચલનનું વિશ્લેષણ. વર્ગ વિચલનોના અનુરૂપ સરવાળો માટે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી

ચાલો જોડી પ્રમાણે રેખીય રીગ્રેસન માટે ઉપર દર્શાવેલ સિદ્ધાંતને લાગુ કરીએ.

રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ મળ્યા પછી, સમગ્ર સમીકરણ અને તેના વ્યક્તિગત પરિમાણો બંનેનું મહત્વ મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે.

ફિશર એફ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને સમગ્ર રીગ્રેસન સમીકરણનું મહત્વ મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, નલ પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે કે રીગ્રેસન ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે, એટલે કે. b = 0, અને તેથી પરિબળ x ની પરિણામ y પર કોઈ અસર થતી નથી.

એફ-ટેસ્ટની સીધી ગણતરી ભિન્નતાના વિશ્લેષણ દ્વારા કરવામાં આવે છે. તેમાંનું કેન્દ્રિય સ્થાન સરેરાશ મૂલ્યથી ચલ y ના ચોરસ વિચલનોના કુલ સરવાળાના વિઘટન દ્વારા કબજે કરવામાં આવ્યું છે - "સમજાયેલ" અને "અસ્પષ્ટ":

સમીકરણ (8.21) એ અગાઉના વિષયોમાંથી એકમાં મેળવેલા સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમનું પરિણામ છે.

અભિવ્યક્તિનો પુરાવો (8.21).





તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે છેલ્લી મુદત શૂન્યની બરાબર છે.

જો તમે 1 થી n સુધીના તમામ સમીકરણો ઉમેરો

y i = a+b×x i +e i , (8.22)

પછી આપણને åy i = a×å1+b×åx i +åe i મળે છે. åe i =0 અને å1 =n હોવાથી, આપણને મળે છે

પછી .

જો આપણે અભિવ્યક્તિ (8.22) માંથી સમીકરણ (8.23) બાદ કરીએ, તો આપણને મળે છે

પરિણામે આપણને મળે છે







બે સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમને કારણે છેલ્લા સરવાળો શૂન્યના બરાબર છે.

સરેરાશ મૂલ્યમાંથી અસરકારક લાક્ષણિકતા y ના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના ચોરસ વિચલનોનો કુલ સરવાળો ઘણા કારણોના પ્રભાવને કારણે થાય છે. ચાલો આપણે કારણોના સમગ્ર સમૂહને બે જૂથોમાં શરતી રીતે વિભાજીત કરીએ: અભ્યાસ કરેલ પરિબળ x અને અન્ય પરિબળો. જો પરિબળ પરિણામ પર કોઈ પ્રભાવ ધરાવતું નથી, તો રીગ્રેસન રેખા OX અને અક્ષની સમાંતર છે. પછી પરિણામી લાક્ષણિકતાનો સંપૂર્ણ તફાવત અન્ય પરિબળોના પ્રભાવને કારણે છે અને ચોરસ વિચલનોનો કુલ સરવાળો શેષ સાથે મેળ ખાશે. જો અન્ય પરિબળો પરિણામને પ્રભાવિત કરતા નથી, તો પછી y કાર્યાત્મક રીતે x સાથે સંબંધિત છે અને ચોરસનો શેષ સરવાળો શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં, રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો ચોરસના કુલ સરવાળા સાથે મેળ ખાય છે.

સહસંબંધ ક્ષેત્રના તમામ બિંદુઓ રીગ્રેસન લાઇન પર ન હોવાથી, તેમના સ્કેટર હંમેશા પરિબળ xના પ્રભાવને કારણે થાય છે, એટલે કે. x પર y નું રીગ્રેસન, અને અન્ય કારણોને કારણે થાય છે (અનસ્પષ્ટ તફાવત). પૂર્વાનુમાન માટે રીગ્રેસન લાઇનની યોગ્યતા તેના પર આધાર રાખે છે કે લક્ષણ y માં કુલ ભિન્નતાનો કેટલો હિસ્સો સમજાવેલ વિવિધતા દ્વારા ગણવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, જો રીગ્રેસનને કારણે સ્ક્વેર વિચલનોનો સરવાળો ચોરસના શેષ સરવાળા કરતા વધારે હોય, તો રીગ્રેશન સમીકરણ આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે અને પરિબળ x લાક્ષણિકતા y પર નોંધપાત્ર અસર કરે છે. આ એ હકીકતની સમકક્ષ છે કે નિર્ધારણના ગુણાંક એકતાનો સંપર્ક કરશે.

ચોરસનો કોઈપણ સરવાળો સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (df – સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી) સાથે સંકળાયેલ હોય છે, જેમાં લાક્ષણિકતાની સ્વતંત્રતાની સ્વતંત્રતાની સંખ્યા હોય છે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા વસ્તી n ના એકમોની સંખ્યા અને તેમાંથી નિર્ધારિત સ્થિરાંકોની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે. અભ્યાસ હેઠળની સમસ્યાના સંબંધમાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દર્શાવે છે કે આપેલ ચોરસનો સરવાળો બનાવવા માટે n સંભવિતમાંથી કેટલા સ્વતંત્ર વિચલનો જરૂરી છે. આમ, ચોરસના કુલ સરવાળા માટે, (n-1) સ્વતંત્ર વિચલનો જરૂરી છે, કારણ કે n એકમોના સમૂહમાં, સરેરાશની ગણતરી કર્યા પછી, માત્ર (n-1) વિચલનોની સંખ્યા મુક્તપણે બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે y મૂલ્યોની શ્રેણી છે: 1,2,3,4,5. તેમાંથી સરેરાશ 3 છે, અને પછી સરેરાશમાંથી n વિચલનો હશે: -2, -1, 0, 1, 2. ત્યારથી, પછી માત્ર ચાર વિચલનો મુક્તપણે બદલાય છે, અને પાંચમું વિચલન નક્કી કરી શકાય છે જો અગાઉના ચાર છે જાણીતા

વર્ગોના સમજાવેલ અથવા અવયવના સરવાળાની ગણતરી કરતી વખતે પરિણામી લાક્ષણિકતાના સૈદ્ધાંતિક (ગણતરી) મૂલ્યોનો ઉપયોગ થાય છે

પછી રેખીય રીગ્રેસનને કારણે વર્ગીય વિચલનોનો સરવાળો બરાબર છે

કારણ કે, x અને y માં અવલોકનોના આપેલ વોલ્યુમ માટે, રેખીય રીગ્રેશનમાં ચોરસનો પરિબળ સરવાળો ફક્ત રીગ્રેસન સ્થિરાંક b પર આધાર રાખે છે, તો ચોરસના આ સરવાળામાં માત્ર એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા હોય છે.

કુલ, અવયવ અને ચોરસ વિચલનોના અવશેષ સરવાળાની સ્વતંત્રતાના ડિગ્રીની સંખ્યા વચ્ચે સમાનતા છે. રેખીય રીગ્રેશનમાં ચોરસના અવશેષ સરવાળાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા n-2 છે. ચોરસના કુલ સરવાળાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ચલ લાક્ષણિકતાઓના એકમોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને અમે નમૂનાના ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ સરેરાશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેથી અમે સ્વતંત્રતાની એક ડિગ્રી ગુમાવીએ છીએ, એટલે કે. df કુલ = n–1.

તેથી, અમારી પાસે બે સમાનતા છે:

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની અનુરૂપ સંખ્યા દ્વારા ચોરસના દરેક સરવાળાને વિભાજિત કરવાથી, આપણે વિચલનોનો સરેરાશ વર્ગ મેળવીએ છીએ, અથવા, જે સમાન છે, સ્વતંત્રતા ડીની એક ડિગ્રી દીઠ વિખેરન.

;

;

.

ભિન્નતાને એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવાથી ભિન્નતાઓ તુલનાત્મક સ્વરૂપમાં લાવે છે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દીઠ પરિબળ અને અવશેષ ભિન્નતાઓની તુલના કરીને, અમે ફિશર એફ પરીક્ષણનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ

જ્યાં શૂન્ય પૂર્વધારણા ચકાસવા માટે F- માપદંડ H 0: D હકીકત = D આરામ.

જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો પરિબળ અને અવશેષ ભિન્નતા એકબીજાથી અલગ નથી. H 0 માટે, ખંડન જરૂરી છે જેથી પરિબળ વિક્ષેપ શેષ વિક્ષેપ કરતાં ઘણી વખત વધી જાય. અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી સ્નેડેકોરે શૂન્ય પૂર્વધારણાના મહત્વના વિવિધ સ્તરો પર એફ-રેશિયોના નિર્ણાયક મૂલ્યોના કોષ્ટકો વિકસાવ્યા અને વિવિધ સંખ્યાઓસ્વતંત્રતાની ડિગ્રી. કોષ્ટક મૂલ્યએફ-ટેસ્ટ એ ભિન્નતાના ગુણોત્તરનું મહત્તમ મૂલ્ય છે જે નલ પૂર્વધારણાની સંભાવનાના આપેલ સ્તર માટે તક દ્વારા અલગ હોય તો આવી શકે છે. ગણતરી કરેલ F-ગુણોત્તર મૂલ્ય વિશ્વસનીય માનવામાં આવે છે જો તે ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય કરતા વધારે હોય. જો F હકીકત > F કોષ્ટક હોય, તો નલ પૂર્વધારણા H 0: D fact = D લક્ષણો વચ્ચેના જોડાણની ગેરહાજરી વિશેનો બાકીનો નકારવામાં આવે છે અને આ જોડાણના મહત્વ વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે.

જો F એ હકીકત છે< F табл, то вероятность нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без серьёзного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Гипотеза H 0 не отклоняется.

પ્રકરણ 3 ના આ ઉદાહરણમાં:

= 131200 -7*144002 = 30400 – ચોરસનો કુલ સરવાળો;

1057.878*(135.43-7*(3.92571) 2) = 28979.8 – વર્ગોનો અવયવ સરવાળો;

=30400-28979.8 = 1420.197 – ચોરસનો શેષ સરવાળો;

ડી હકીકત = 28979.8;

ડી આરામ = 1420.197/(n-2) = 284.0394;

F હકીકત =28979.8/284.0394 = 102.0274;

F a = 0.05; 2; 5 = 6.61; F a = 0.01; 2; 5 = 16.26.

F fact > F ટેબલ બંને 1% અને 5% મહત્વના સ્તરે હોવાથી, અમે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે રીગ્રેશન સમીકરણ નોંધપાત્ર છે (સંબંધ સાબિત થયો છે).

F ટેસ્ટનું મૂલ્ય નિર્ધારણના ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે. વર્ગીય વિચલનોના પરિબળ સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

,

અને ચોરસનો શેષ સરવાળો

.

પછી F-ટેસ્ટનું મૂલ્ય આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે

.

રીગ્રેસન મહત્વનું મૂલ્યાંકન સામાન્ય રીતે વિચલન કોષ્ટકના વિશ્લેષણના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે.

, તેનું મૂલ્ય ચોક્કસ મહત્વના સ્તરે કોષ્ટક મૂલ્ય સાથે સરખાવવામાં આવે છે α અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (n-2).

વિવિધતાના સ્ત્રોતો	સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા	વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો	સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દીઠ વિક્ષેપ	F- ગુણોત્તર
વાસ્તવિક	a=0.05 પર ટેબ્યુલર
જનરલ
સમજાવી		28979,8	28979,8	102,0274	6,61
શેષ		1420,197	284,0394

100 RURપ્રથમ ઓર્ડર માટે બોનસ

નોકરીનો પ્રકાર પસંદ કરો ગ્રેજ્યુએટ કામ કોર્સ વર્કનિબંધ માસ્ટરનો નિબંધપ્રેક્ટિસ રિપોર્ટ લેખ રિપોર્ટ સમીક્ષા ટેસ્ટમોનોગ્રાફ પ્રોબ્લેમ સોલ્વિંગ બિઝનેસ પ્લાન પ્રશ્નોના જવાબો સર્જનાત્મક કાર્યનિબંધ ડ્રોઇંગ વર્ક્સ અનુવાદ પ્રસ્તુતિઓ ટાઇપિંગ અન્ય ટેક્સ્ટની વિશિષ્ટતા વધારવી માસ્ટરની થીસીસ લેબોરેટરી કામઓનલાઇન મદદ

કિંમત જાણો

રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ મળ્યા પછી, એક સમીકરણ તરીકે મહત્વ આકારણીસામાન્ય રીતે અને તેની વ્યક્તિગત રીતે પરિમાણો. રીગ્રેસન સમીકરણનું મહત્વ તપાસો- તે અનુરૂપ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાનો અર્થ છે ગાણિતિક મોડેલ, ચલ, પ્રાયોગિક ડેટા અને સમીકરણ (એક અથવા વધુ) માં સમાવિષ્ટ સમજૂતીત્મક ચલો આશ્રિત ચલનું વર્ણન કરવા માટે પૂરતા છે કે કેમ તે વચ્ચેનો સંબંધ વ્યક્ત કરે છે. પાસેથી મોડેલની ગુણવત્તા વિશે સામાન્ય નિર્ણય લેવો સંબંધિત વિચલનોદરેક અવલોકન માટે, નક્કી કરો સરેરાશ અંદાજ ભૂલ: સરેરાશ ભૂલઅંદાજ 8-10% થી વધુ ન હોવો જોઈએ.

સમગ્ર રીગ્રેસન સમીકરણનું મહત્વ તેના આધારે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે એફ- ફિશર માપદંડ, જે ભિન્નતાના વિશ્લેષણ દ્વારા આગળ આવે છે. ભિન્નતા વિશ્લેષણના મૂળ વિચાર મુજબ, ચલના વર્ગ વિચલનોનો કુલ સરવાળો yસરેરાશ થી yબે ભાગોમાં વિઘટિત થાય છે - "સમજાયેલ" અને "અસ્પષ્ટ": વર્ગ વિચલનોનો કુલ સરવાળો ક્યાં છે; - રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ સ્ક્વેર વિચલનોનો સરવાળો (અથવા સ્ક્વેર વિચલનોનો પરિબળ સરવાળો); - મોડેલમાં ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવતા પરિબળોના પ્રભાવને દર્શાવતા વર્ગના વિચલનોનો શેષ સરવાળો. ભિન્નતાને એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવાથી ભિન્નતાઓ તુલનાત્મક સ્વરૂપમાં લાવે છે. સ્વતંત્રતાના એક ડિગ્રી દીઠ પરિબળ અને અવશેષ વિક્ષેપની તુલના કરીને, અમે મૂલ્ય મેળવીએ છીએ એફ- માછીમાર માપદંડ: વાસ્તવિક મૂલ્ય એફ-ફિશર માપદંડ સાથે સરખાવવામાં આવે છે

કોષ્ટક મૂલ્ય એફટેબલ(a; k 1; k 2) મહત્વના સ્તરે અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી k 1 = mઅને k 2= n-m-1.આ કિસ્સામાં, જો વાસ્તવિક મૂલ્ય એફ- માપદંડ ટેબ્યુલર કરતાં મોટો છે, પછી સમગ્ર સમીકરણનું આંકડાકીય મહત્વ ઓળખવામાં આવે છે.

જોડી રેખીય રીગ્રેસન માટે m=1, તેથી

તીવ્રતા એફ- માપદંડ નિર્ધારણ R2 ના ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે; તે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે:

જોડીવાળા રેખીય રીગ્રેશનમાં, સમગ્ર સમીકરણનું મહત્વ જ નહીં, પરંતુ તેની વ્યક્તિગત પણ પરિમાણો. આ હેતુ માટે, દરેક પરિમાણ માટે તેની પ્રમાણભૂત ભૂલ નક્કી કરવામાં આવે છે: m bઅને m a. રીગ્રેસન ગુણાંકની પ્રમાણભૂત ભૂલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: , ક્યાં

સાથે પ્રમાણભૂત ભૂલ મૂલ્ય t- ખાતે વિદ્યાર્થી વિતરણ nસ્વતંત્રતાના -2 ડિગ્રીનો ઉપયોગ રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વને ચકાસવા અને તેના વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે થાય છે. રીગ્રેસન ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, તેનું મૂલ્ય તેની પ્રમાણભૂત ભૂલ સાથે સરખાવવામાં આવે છે, એટલે કે. વાસ્તવિક મૂલ્ય નિર્ધારિત t-વિદ્યાર્થીઓની ટી-ટેસ્ટ: જે પછી ચોક્કસ મહત્વના સ્તર a અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (n-2) સાથે કોષ્ટક મૂલ્ય સાથે સરખાવવામાં આવે છે. રીગ્રેસન ગુણાંક માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે b± tકોષ્ટક × mb. કારણ કે રીગ્રેસન ગુણાંકનું ચિહ્ન અસરકારક લાક્ષણિકતામાં વધારો સૂચવે છે yપરિબળ-ચિહ્નમાં વધારો સાથે x(b>0), પરિબળ-ચિહ્નમાં વધારા સાથે અસરકારક લાક્ષણિકતામાં ઘટાડો ( b<0) или его независимость от независимой переменной (b=0), તો પછી રીગ્રેસન ગુણાંક માટે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓમાં વિરોધાભાસી પરિણામો ન હોવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, -1.5 £ b£0.8. આ પ્રકારનું નોટેશન સૂચવે છે કે રીગ્રેસન ગુણાંકના સાચા મૂલ્યમાં એક સાથે સકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો અને શૂન્ય પણ હોય છે, જે કેસ હોઈ શકતો નથી.

માનક ભૂલ પરિમાણ a સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત: આ પરિમાણના મહત્વના મૂલ્યાંકન માટેની પ્રક્રિયા રીગ્રેસન ગુણાંક માટે ઉપર ચર્ચા કરેલ કરતાં અલગ નથી. ગણતરી કરેલ t- માપદંડ: , તેના મૂલ્યની કોષ્ટક મૂલ્ય સાથે સરખામણી કરવામાં આવે છે n- સ્વતંત્રતાની 2 ડિગ્રી.




જોડી કરેલ રીગ્રેસનબે ચલો વચ્ચે રીગ્રેસન રજૂ કરે છે

-y અને x, એટલે કે.મોડેલ પ્રકાર + ઇ

જ્યાં ખાતે- પરિણામી ચિહ્ન, એટલે કે આશ્રિત ચલ; એક્સ- સાઇન-ફેક્ટર.

લીનિયર રીગ્રેશનફોર્મનું સમીકરણ શોધવા માટે ઘટાડે છે અથવા

ફોર્મનું સમીકરણ, પરિબળ xના મૂલ્યોને જોતાં, પરિબળ xના વાસ્તવિક મૂલ્યોને તેમાં બદલીને પરિણામી લાક્ષણિકતાના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

રેખીય રીગ્રેસનનું નિર્માણ તેના પરિમાણો a અને b નો અંદાજ કાઢવા માટે નીચે આવે છે.

લીનિયર રીગ્રેશન પેરામીટર અંદાજો વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

1.

2.

પરિમાણ bકહેવાય છે રીગ્રેસન ગુણાંક. તેનું મૂલ્ય દર્શાવે છે

એક એકમના પરિબળ ફેરફાર સાથે પરિણામમાં સરેરાશ ફેરફાર.

ઔપચારિક રીતે એ- અર્થ ખાતે x = 0 પર. જો સાઇન-ફેક્ટર

શૂન્ય મૂલ્ય ધરાવતું નથી અને હોઈ શકતું નથી, પછી ઉપરનું

મુક્ત સભ્યનું અર્થઘટન, એઅર્થ નથી. પરિમાણ, એકદાચ

કોઈ આર્થિક સામગ્રી નથી. આર્થિક રીતે પ્રયાસો

પરિમાણનું અર્થઘટન કરો, એવાહિયાતતા તરફ દોરી શકે છે, ખાસ કરીને જ્યારે એ < 0.

માત્ર પરિમાણના ચિહ્નનું અર્થઘટન કરી શકાય છે એ.જો એ > 0,

પછી પરિણામમાં સંબંધિત ફેરફાર ફેરફાર કરતાં ધીમો છે

મળેલા પરિમાણોની ગુણવત્તા અને સમગ્ર મોડેલની તપાસ કરી રહ્યા છીએ:

-રીગ્રેસન ગુણાંક (b) અને સહસંબંધ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન

-સમગ્ર રીગ્રેશન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન. નિર્ધારણ ગુણાંક

રીગ્રેસન સમીકરણ હંમેશા જોડાણની નિકટતાના સૂચક સાથે પૂરક છે. મુ

રેખીય રીગ્રેસનનો ઉપયોગ કરીને, આવા સૂચક છે

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક r xy . અલગ અલગ હોય છે

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક સૂત્રના ફેરફારો.

રેખીય સહસંબંધ ગુણાંક મર્યાદાની અંદર છે: -1≤ .r xy

≤ 1. વધુમાં, નજીક આર 0 થી, નબળા સહસંબંધ અને ઊલટું, ધ

r 1 અથવા -1 ની નજીક છે, સહસંબંધ વધુ મજબૂત છે, એટલે કે. x અને y અવલંબન નજીક છે

રેખીય જો આરબરાબર =1 અથવા -1 બધા બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે.

જો ગુણાંક રીગ્રેશન b>0 પછી 0 ≤. r xy≤ 1 અને

b માટે ઊલટું<0 -1≤.r xy≤0. કોફ.

સહસંબંધ ડિગ્રી પ્રતિબિંબિત કરે છે રેખીય અવલંબનજો ઉપલબ્ધ હોય તો m/y જથ્થો

અન્ય પ્રકારની ઉચ્ચારણ નિર્ભરતા.

રેખીય કાર્યને ફિટ કરવાની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, રેખીયનો ચોરસ

સહસંબંધ ગુણાંક

કહેવાય છે નિર્ધારણ ગુણાંક.નિર્ધારણ ગુણાંક

સમજાવેલ પરિણામી લક્ષણ y ના ભિન્નતાના પ્રમાણને લાક્ષણિકતા આપે છે

પ્રત્યાગમાન. અનુરૂપ મૂલ્ય

વિભિન્નતાના શેરને લાક્ષણિકતા આપે છે y,અન્ય બિનહિસાબીના પ્રભાવને કારણે

પરિબળ મોડેલમાં.

MNC પરવાનગી આપે છેઆવા પરિમાણ અંદાજો મેળવો એઅને bજે

પરિણામી લાક્ષણિકતાના વાસ્તવિક મૂલ્યોના ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો

(y)ગણતરીમાંથી (સૈદ્ધાંતિક)

ન્યૂનતમ:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, થી

રેખાઓના સમગ્ર સમૂહમાંથી, ગ્રાફ પર રીગ્રેસન રેખા પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી સરવાળો થાય

બિંદુઓ અને આ રેખા વચ્ચેના ઊભી અંતરના ચોરસ હશે

ન્યૂનતમ

સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

લીનિયર રીગ્રેશન પેરામીટર્સના મહત્વનું મૂલ્યાંકન.

સમગ્ર રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન F-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે

ફિશર. આ કિસ્સામાં, નલ પૂર્વધારણા આગળ મૂકવામાં આવે છે કે રીગ્રેસન ગુણાંક બરાબર છે

શૂન્ય, એટલે કે b = 0, અને તેથી પરિબળ એક્સપ્રદાન કરતું નથી

પરિણામ પર અસર u

એફ-ટેસ્ટની તાત્કાલિક ગણતરી વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

તેમાં કેન્દ્રિય સ્થાન ચોરસ વિચલનોના કુલ સરવાળાના વિસ્તરણ દ્વારા કબજે કરવામાં આવ્યું છે

ચલ ખાતેસરેરાશ મૂલ્યમાંથી ખાતેબે ભાગમાં -

"સમજાયેલ" અને "અસ્પષ્ટ":

ચોરસ વિચલનોનો કુલ સરવાળો

ચોરસનો સરવાળો

રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ વિચલનો

ચોરસ વિચલનોનો શેષ સરવાળો.

વર્ગ વિચલનોનો કોઈપણ સરવાળો સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે , ટી.

એટલે કે લાક્ષણિકતાના સ્વતંત્ર ભિન્નતાની સ્વતંત્રતાની સંખ્યા સાથે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા વસ્તી n ના એકમોની સંખ્યા અને તેમાંથી નિર્ધારિત સ્થિરાંકોની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે. અભ્યાસ હેઠળની સમસ્યાના સંબંધમાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દર્શાવે છે કે કેટલા સ્વતંત્ર વિચલનો છે પીમાટે જરૂરી છે

આપેલ ચોરસના સરવાળાની રચના.

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી દીઠ વિક્ષેપ ડી.

એફ-રેશિયો (એફ-ટેસ્ટ):

જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો પરિબળ અને અવશેષ ભિન્નતાઓ નથી

એકબીજાથી અલગ છે. H 0 માટે ક્રમમાં ખંડન જરૂરી છે

પરિબળ વિક્ષેપ ઘણી વખત શેષ વિક્ષેપ કરતાં વધી ગયો. અંગ્રેજી

આંકડાશાસ્ત્રી સ્નેડેકોરે એફ-રેશિયોના નિર્ણાયક મૂલ્યોના કોષ્ટકો વિકસાવ્યા

નલ પૂર્વધારણાના મહત્વના વિવિધ સ્તરો અને ડિગ્રીની વિવિધ સંખ્યાઓ પર

સ્વતંત્રતા F-ટેસ્ટનું ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય એ ગુણોત્તરનું મહત્તમ મૂલ્ય છે

વિખેરવું, જે ત્યારે થઈ શકે છે જ્યારે તેઓ આપેલ માટે અવ્યવસ્થિત રીતે અલગ પડે છે

નલ પૂર્વધારણાની સંભાવનાનું સ્તર. ગણતરી કરેલ F- ગુણોત્તર મૂલ્ય

જો o કોષ્ટક કરતા મોટો હોય તો તે વિશ્વસનીય માનવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, શૂન્ય

ચિહ્નો વચ્ચેના જોડાણની ગેરહાજરી વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને તેના વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવામાં આવે છે.

આ જોડાણનું મહત્વ: F હકીકત > F કોષ્ટક N 0

નામંજૂર.

જો મૂલ્ય કોષ્ટક F હકીકત કરતાં ઓછું હોવાનું બહાર આવ્યું ‹, F ટેબલ

પછી નલ પૂર્વધારણાની સંભાવના આપેલ સ્તર કરતા વધારે છે અને તે હોઈ શકતી નથી

સંબંધના અસ્તિત્વ વિશે ખોટા નિષ્કર્ષ દોરવાના ગંભીર જોખમ વિના નકારવામાં આવે છે. IN

આ કિસ્સામાં, રીગ્રેસન સમીકરણ આંકડાકીય રીતે મામૂલી માનવામાં આવે છે. પણ

વિચલિત થતું નથી.




સંબંધિત માહિતી.




પરિમાણોનું મૂલ્યાંકન કર્યા પછી aઅને b, અમે રીગ્રેસન સમીકરણ મેળવ્યું છે જેના દ્વારા અમે મૂલ્યોનો અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ yઆપેલ મૂલ્યો અનુસાર x. તે માનવું સ્વાભાવિક છે કે આશ્રિત ચલના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો વાસ્તવિક મૂલ્યો સાથે મેળ ખાશે નહીં, કારણ કે રીગ્રેસન રેખા સામાન્ય રીતે માત્ર સરેરાશ પર સંબંધનું વર્ણન કરે છે. વ્યક્તિગત અર્થો તેની આસપાસ પથરાયેલા છે. આમ, રીગ્રેસન સમીકરણમાંથી મેળવેલ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોની વિશ્વસનીયતા મોટાભાગે રીગ્રેસન લાઇનની આસપાસના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોના સ્કેટરિંગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, એક નિયમ તરીકે, ભૂલનો તફાવત અજ્ઞાત છે અને રીગ્રેશન પરિમાણો સાથે વારાફરતી અવલોકનો પરથી અંદાજવામાં આવે છે. aઅને b. તે ધારવું તદ્દન તાર્કિક છે કે અંદાજ રીગ્રેસન અવશેષોના ચોરસના સરવાળા સાથે સંબંધિત છે. જથ્થામાં સમાવિષ્ટ વિક્ષેપના વિક્ષેપનો નમૂનાનો અંદાજ છે સૈદ્ધાંતિક મોડેલ . તે જોડી રીગ્રેસન મોડેલ માટે બતાવી શકાય છે

તેના ગણતરી કરેલ મૂલ્યમાંથી નિર્ભર ચલના વાસ્તવિક મૂલ્યનું વિચલન ક્યાં છે.

જો , પછી તમામ અવલોકનો માટે આશ્રિત ચલના વાસ્તવિક મૂલ્યો ગણતરી કરેલ (સૈદ્ધાંતિક) મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે . ગ્રાફિકલી, આનો અર્થ એ છે કે સૈદ્ધાંતિક રીગ્રેસન લાઇન (ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલ રેખા) સહસંબંધ ક્ષેત્રના તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, જે ફક્ત સખત કાર્યાત્મક જોડાણ સાથે જ શક્ય છે. તેથી, અસરકારક સંકેત ખાતેસંપૂર્ણપણે પરિબળના પ્રભાવને કારણે છે એક્સ.

સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં સૈદ્ધાંતિક રીગ્રેસન લાઇનને સંબંધિત સહસંબંધ ક્ષેત્રના બિંદુઓના કેટલાક છૂટાછવાયા હોય છે, એટલે કે, સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ડેટાના વિચલનો. આ સ્કેટર બંને પરિબળના પ્રભાવને કારણે છે એક્સ, એટલે કે પ્રત્યાગમાન yદ્વારા એક્સ, (આવા ભિન્નતાને સમજાવાયેલ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તે રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે), અને અન્ય કારણોની ક્રિયા દ્વારા (અસમજિત ભિન્નતા, રેન્ડમ). આ વિચલનોની તીવ્રતા એ સમીકરણના ગુણવત્તા સૂચકાંકોની ગણતરી માટેનો આધાર છે.

ભિન્નતા વિશ્લેષણના મૂળ સિદ્ધાંત અનુસાર, આશ્રિત ચલના વર્ગ વિચલનોનો કુલ સરવાળો yસરેરાશ મૂલ્યમાંથી બે ઘટકોમાં વિઘટિત થઈ શકે છે: રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા સમજાવાયેલ અને ન સમજાવાયેલ:

,

મૂલ્યો ક્યાં છે y, સમીકરણ અનુસાર ગણતરી.

ચાલો વર્ગોના કુલ સરવાળા સાથે રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા સમજાવાયેલ વર્ગ વિચલનોના સરવાળાનો ગુણોત્તર શોધીએ:

, ક્યાં

. (7.6)

રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા પરિણામી લાક્ષણિકતાના કુલ ભિન્નતા સાથેના ભિન્નતાના ભાગના ગુણોત્તરને નિર્ધારણનો ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. મૂલ્ય એકતા કરતાં વધી શકતું નથી અને આ મહત્તમ મૂલ્ય માત્ર , એટલે કે પર પ્રાપ્ત થશે. જ્યારે દરેક વિચલન શૂન્ય હોય છે અને તેથી સ્કેટરપ્લોટ પરના તમામ બિંદુઓ બરાબર સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે.

નિર્ધારણનો ગુણાંક આશ્રિત ચલના કુલ ભિન્નતામાં રીગ્રેસન દ્વારા સમજાવાયેલ વિભિન્નતાના હિસ્સાને દર્શાવે છે . તદનુસાર, મૂલ્ય ભિન્નતા (વિક્ષેપ) ના શેરને દર્શાવે છે y,રીગ્રેશન સમીકરણ દ્વારા અસ્પષ્ટ, અને તેથી મોડેલમાં ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવતા અન્ય પરિબળોના પ્રભાવને કારણે. એકતાની નજીક, મોડેલની ઉચ્ચ ગુણવત્તા.





જોડી કરેલ રેખીય રીગ્રેશનમાં, નિર્ધારણનો ગુણાંક ચોરસ સમાનડબલ્સ રેખીય ગુણાંકસહસંબંધ:.

આ નિર્ધારણ ગુણાંકનું મૂળ બહુવિધ સહસંબંધ ગુણાંક (ઇન્ડેક્સ), અથવા સૈદ્ધાંતિક સહસંબંધ ગુણોત્તર છે.

રીગ્રેસનનો અંદાજ કાઢતી વખતે પ્રાપ્ત થયેલ નિર્ધારણના ગુણાંકનું મૂલ્ય ખરેખર વચ્ચેના સાચા સંબંધને પ્રતિબિંબિત કરે છે કે કેમ તે શોધવા માટે yઅને xસંપૂર્ણ અને વ્યક્તિગત પરિમાણો તરીકે રચાયેલ સમીકરણનું મહત્વ તપાસો. રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વની ચકાસણી કરવાથી તમે રીગ્રેસન સમીકરણ વ્યવહારુ ઉપયોગ માટે યોગ્ય છે કે કેમ તે જાણવાની મંજૂરી આપે છે, જેમ કે આગાહી કરવી કે નહીં.

તે જ સમયે, મુખ્ય પૂર્વધારણાને સમગ્ર સમીકરણની તુચ્છતા વિશે આગળ મૂકવામાં આવે છે, જે ઔપચારિક રીતે પૂર્વધારણાને ઘટાડે છે કે રીગ્રેસન પરિમાણો શૂન્ય સમાન છે, અથવા, શું સમાન છે, કે નિર્ધારણનો ગુણાંક સમાન છે. શૂન્ય થી: . સમીકરણના મહત્વ વિશે વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા એ પૂર્વધારણા છે કે રીગ્રેસન પરિમાણો શૂન્યની બરાબર નથી અથવા તે નિર્ધારણના ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી: .

રીગ્રેસન મોડેલના મહત્વને ચકાસવા માટે, ઉપયોગ કરો F-ફિશરનો માપદંડ, ચોરસના સરવાળા (એક સ્વતંત્ર ચલ દીઠ) અને ચોરસના અવશેષ સરવાળા (સ્વતંત્રતાના એક ડિગ્રી દીઠ) ના ગુણોત્તર તરીકે ગણવામાં આવે છે:

, (7.7)

જ્યાં k- સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા.

આશ્રિત ચલના વર્ગ વિચલનોના કુલ સરવાળા દ્વારા સંબંધના અંશ અને છેદ (7.7) ને વિભાજિત કર્યા પછી, F-ગુણાંકના આધારે માપદંડ સમાન રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

.

જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા સમજાવાયેલ ભિન્નતા અને ન સમજાય તેવા (અવશેષ) ભિન્નતા એકબીજાથી અલગ નથી.

અંદાજિત મૂલ્ય F-માપદંડની તુલના નિર્ણાયક મૂલ્ય સાથે કરવામાં આવે છે, જે સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા પર આધારિત છે k, અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર (n-k-1). કોષ્ટક (જટિલ) મૂલ્ય F-માપદંડ એ ભિન્નતાના ગુણોત્તરનું મહત્તમ મૂલ્ય છે જે નલ પૂર્વધારણાની સંભાવનાના આપેલ સ્તર માટે અવ્યવસ્થિત રીતે અલગ પડે તો આવી શકે છે. જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય F-માપદંડ મહત્વના આપેલ સ્તરે ટેબ્યુલર એક કરતા વધારે છે, પછી સંબંધની ગેરહાજરી વિશેની શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને આ સંબંધના મહત્વ વિશે નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે, એટલે કે. મોડેલને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે.

જોડી કરેલ રીગ્રેસન મોડેલ માટે

.

રેખીય રીગ્રેશનમાં, સમગ્ર સમીકરણનું જ નહીં, પરંતુ તેના વ્યક્તિગત ગુણાંકનું પણ સામાન્ય રીતે મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, દરેક પરિમાણની પ્રમાણભૂત ભૂલ નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિમાણોના રીગ્રેસન ગુણાંકની માનક ભૂલો સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

, (7.8)

(7.9)

આંકડાકીય પેકેજોમાં રીગ્રેસન મોડલની ગણતરીના પરિણામોમાં નિયમ તરીકે, ફોર્મ્યુલા (7.8,7.9) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરાયેલ રીગ્રેસન ગુણાંક અથવા પ્રમાણભૂત વિચલનોની પ્રમાણભૂત ભૂલો આપવામાં આવે છે.

રીગ્રેસન ગુણાંકની રુટ સરેરાશ ચોરસ ભૂલોના આધારે, આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેની સામાન્ય યોજનાનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણાંકોનું મહત્વ તપાસવામાં આવે છે.

મુખ્ય પૂર્વધારણા એ છે કે "સાચું" રીગ્રેસન ગુણાંક શૂન્યથી મામૂલી રીતે અલગ છે. આ કિસ્સામાં વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા એ વિપરીત પૂર્વધારણા છે, એટલે કે, "સાચું" રીગ્રેસન પરિમાણ શૂન્યની બરાબર નથી. આ પૂર્વધારણાનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે ટી-જે આંકડા ધરાવે છે t- વિદ્યાર્થી વિતરણ:

પછી ગણતરી કરેલ મૂલ્યો ટી-આંકડાઓની તુલના નિર્ણાયક મૂલ્યો સાથે કરવામાં આવે છે ટી-વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકો પરથી નિર્ધારિત આંકડા. નિર્ણાયક મૂલ્યમહત્વના સ્તરના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે α અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે સમાન છે (n-k-1), n ​​-અવલોકનોની સંખ્યા, k- સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા. રેખીય જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસનના કિસ્સામાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે (પી- 2). એક્સેલ પેકેજમાં બિલ્ટ-ઇન ફંક્શન STUDARCOVER નો ઉપયોગ કરીને કમ્પ્યુટર પર જટિલ મૂલ્યની ગણતરી પણ કરી શકાય છે.

જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય ટી-આંકડાઓ જટિલ કરતાં વધુ છે, પછી મુખ્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને એવું માનવામાં આવે છે કે સંભાવના સાથે (1-α)"સાચું" રીગ્રેશન ગુણાંક શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, જે સંબંધિત ચલોની રેખીય અવલંબનના અસ્તિત્વની આંકડાકીય પુષ્ટિ છે.

જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય ટી-આંકડાઓ નિર્ણાયક કરતાં ઓછા છે, તો પછી મુખ્ય પૂર્વધારણાને નકારવાનું કોઈ કારણ નથી, એટલે કે "સાચા" રીગ્રેસન ગુણાંક મહત્વના સ્તરે શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ નથી. α . આ કિસ્સામાં, આ ગુણાંકને અનુરૂપ પરિબળને મોડેલમાંથી બાકાત રાખવું જોઈએ.

રીગ્રેસન ગુણાંકનું મહત્વ વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધીને સ્થાપિત કરી શકાય છે. રીગ્રેસન પરિમાણો માટે વિશ્વાસ અંતરાલ aઅને bનીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત:

,

,

જ્યાં મહત્વના સ્તર માટે વિદ્યાર્થી વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે α અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા (પી- 2) જોડી રીગ્રેસન માટે.

કારણ કે ઇકોનોમેટ્રિક અભ્યાસોમાં રીગ્રેસન ગુણાંક સ્પષ્ટ આર્થિક અર્થઘટન ધરાવે છે, વિશ્વાસ અંતરાલોમાં શૂન્ય હોવું જોઈએ નહીં. રીગ્રેશન ગુણાંકના સાચા મૂલ્યમાં શૂન્ય સહિત સકારાત્મક અને નકારાત્મક મૂલ્યો એક સાથે હોઈ શકતા નથી, અન્યથા ગુણાંકને આર્થિક રીતે અર્થઘટન કરતી વખતે આપણે વિરોધાભાસી પરિણામો મેળવીએ છીએ, જે કેસ હોઈ શકતો નથી. આમ, જો પરિણામી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શૂન્યને આવરી લેતો નથી તો ગુણાંક નોંધપાત્ર છે.

ઉદાહરણ 7.4.ઉદાહરણ 7.1 મુજબ:

a) વેચાણ પરના નફાની અવલંબનનું એક જોડી લીનિયર રીગ્રેશન મોડલ બનાવો વેચાણ કિંમતડેટા પ્રોસેસિંગ સોફ્ટવેરનો ઉપયોગ કરીને.

b) સમગ્ર ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરો F-ખાતે ફિશર માપદંડ α=0.05.

c) ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન મોડેલ ગુણાંકના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરો t- ખાતે વિદ્યાર્થીની પરીક્ષા α=0.05અને α=0.1.

રીગ્રેશન વિશ્લેષણ હાથ ધરવા માટે અમે પ્રમાણભૂત ઓફિસ સોફ્ટવેરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. એક્સેલ પ્રોગ્રામ. અમે વિશ્લેષણ પેકેજ સેટિંગ્સ (ફિગ. 7.5) ના રીગ્રેશન ટૂલનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન મોડેલ બનાવીશું, જે નીચે પ્રમાણે લોન્ચ કરવામાં આવ્યું છે:

સેવા ડેટા વિશ્લેષણREGRESSIONOK.



ફિગ.7.5. રીગ્રેશન ટૂલનો ઉપયોગ કરીને

રીગ્રેશન ડાયલોગ બોક્સમાં, ઇનપુટ અંતરાલ Y ફીલ્ડમાં, તમારે આશ્રિત ચલ ધરાવતા કોષોની શ્રેણીનું સરનામું દાખલ કરવું આવશ્યક છે. ઇનપુટ અંતરાલ X ફીલ્ડમાં, તમારે સ્વતંત્ર ચલોની કિંમતો ધરાવતી એક અથવા વધુ શ્રેણીઓના સરનામાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. જો કૉલમ હેડર પણ પસંદ કરેલ હોય તો પ્રથમ લાઇનમાં લેબલ્સ ચેકબોક્સ સક્રિય પર સેટ છે. ફિગ માં. 7.6. રીગ્રેશન ટૂલનો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેશન મોડલની ગણતરી કરવા માટે સ્ક્રીન ફોર્મ બતાવે છે.



ચોખા. 7.6. નો ઉપયોગ કરીને જોડી પ્રમાણે રીગ્રેસન મોડેલ બનાવવું

રીગ્રેશન ટૂલ

રીગ્રેશન ટૂલના પરિણામે, નીચેનો રીગ્રેશન એનાલિસિસ પ્રોટોકોલ જનરેટ થાય છે (ફિગ. 7.7).



ચોખા. 7.7. રીગ્રેશન એનાલિસિસ પ્રોટોકોલ

વેચાણ કિંમત પર વેચાણમાંથી નફાની અવલંબન માટેનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

અમે ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન સમીકરણના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરીશું F-ફિશરની કસોટી. અર્થ F-અમે EXCEL પ્રોટોકોલ (ફિગ. 7.7.) માં "વિવિધતાના વિશ્લેષણ" કોષ્ટકમાંથી ફિશર માપદંડ લઈશું. અંદાજિત મૂલ્ય F-માપદંડ 53.372. કોષ્ટક મૂલ્ય F-મહત્વના સ્તરે માપદંડ α=0.05અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા 4.964 છે. કારણ કે , પછી સમીકરણ નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે.

ગણતરી કરેલ મૂલ્યો tરીગ્રેસન સમીકરણના ગુણાંક માટે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટ પરિણામ કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવી છે (ફિગ. 7.7). કોષ્ટક મૂલ્ય t- મહત્વના સ્તરે વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ α=0.05અને સ્વતંત્રતાની 10 ડિગ્રી 2.228 છે. રીગ્રેસન ગુણાંક માટે a, તેથી ગુણાંક aનોંધપાત્ર નથી. રીગ્રેસન ગુણાંક માટે b, તેથી, ગુણાંક bનોંધપાત્ર