ત્યાં 2 ઓર્ડર ઉદાહરણો છે. સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો

સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો સતત ગુણાંક:
(1) .
તેનું નિરાકરણ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે સામાન્ય પદ્ધતિઓર્ડર ઘટાડો.

જો કે, મૂળભૂત સિસ્ટમ તરત જ મેળવવાનું સરળ છે nરેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો અને તેના આધારે સામાન્ય ઉકેલ બનાવો. આ કિસ્સામાં, સમગ્ર ઉકેલ પ્રક્રિયામાં ઘટાડો થાય છે આગામી પગલાં.

અમે ફોર્મમાં સમીકરણ (1) નો ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. અમને મળે છે લાક્ષણિક સમીકરણ :
(2) .
તે n મૂળ ધરાવે છે. અમે સમીકરણ (2) હલ કરીએ છીએ અને તેના મૂળ શોધીએ છીએ. પછી લાક્ષણિક સમીકરણ (2) નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:
(3) .
દરેક મૂળ સમીકરણ (1) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોમાંથી એકને અનુરૂપ છે. પછી સામાન્ય ઉકેલ મૂળ સમીકરણ(1) ફોર્મ ધરાવે છે:
(4) .

વાસ્તવિક મૂળ

ચાલો વાસ્તવિક મૂળને ધ્યાનમાં લઈએ. મૂળને સિંગલ રહેવા દો. એટલે કે, પરિબળ લાક્ષણિક સમીકરણ (3) માં માત્ર એક જ વાર પ્રવેશે છે. પછી આ રુટ ઉકેલને અનુરૂપ છે
.

ચાલો ગુણાકાર p ના બહુવિધ મૂળ હોઈએ. તે જ
. આ કિસ્સામાં, ગુણક p વખત છે:
.
આ બહુવિધ (સમાન) મૂળ મૂળ સમીકરણ (1) ના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
; ; ; ...; .

જટિલ મૂળ

જટિલ મૂળનો વિચાર કરો. ચાલો વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના સંદર્ભમાં જટિલ મૂળને વ્યક્ત કરીએ:
.
મૂળના ગુણાંક વાસ્તવિક હોવાથી, મૂળ ઉપરાંત એક જટિલ સંયોજક મૂળ છે
.

જટિલ મૂળને બહુવિધ થવા દો. પછી મૂળની જોડી બે રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
; .

ચાલો ગુણાકાર p નું બહુવિધ જટિલ મૂળ હોઈએ. પછી જટિલ સંયુક્ત મૂલ્ય એ ગુણાકાર p ના લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ પણ છે અને ગુણક p વખત દાખલ કરે છે:
.
આ 2પમૂળ અનુરૂપ છે 2પરેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ મળી ગયા પછી, અમે સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

સમસ્યા ઉકેલોના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ ઉકેલો:
.

ઉકેલ

.
ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરીએ:
;
;
.

ચાલો આ સમીકરણના મૂળ જોઈએ. અમને ગુણાકાર 2 ના ચાર જટિલ મૂળ મળ્યા છે:
; .
તેઓ મૂળ સમીકરણના ચાર રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
; ; ; .

અમારી પાસે બહુવિધ 3 ના ત્રણ વાસ્તવિક મૂળ પણ છે:
.
તેઓ ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
; ; .

સામાન્ય નિર્ણયમૂળ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:
.

જવાબ આપો

ઉદાહરણ 2

સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ

અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. અમે લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ છીએ:
.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું.
.

અમને બે જટિલ મૂળ મળ્યાં છે:
.
તેઓ બે રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે:
.
સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:
.

ભૌતિકશાસ્ત્રની કેટલીક સમસ્યાઓમાં, પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતી માત્રાઓ વચ્ચે સીધો સંબંધ સ્થાપિત કરવો શક્ય નથી. પરંતુ અભ્યાસ હેઠળના કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતી સમાનતા પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે. આ રીતે તેઓ ઉદભવે છે વિભેદક સમીકરણોઅને અજ્ઞાત કાર્ય શોધવા માટે તેમને હલ કરવાની જરૂર છે.

આ લેખ એવા લોકો માટે બનાવાયેલ છે કે જેઓ વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાની સમસ્યાનો સામનો કરી રહ્યા છે જેમાં અજ્ઞાત કાર્ય એ એક ચલનું કાર્ય છે. સિદ્ધાંતની રચના એવી રીતે કરવામાં આવી છે કે વિભેદક સમીકરણોના શૂન્ય જ્ઞાન સાથે, તમે તમારા કાર્યનો સામનો કરી શકો છો.

દરેક પ્રકારનું વિભેદક સમીકરણ વિશિષ્ટ ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓના વિગતવાર સ્પષ્ટીકરણો અને ઉકેલો સાથે ઉકેલ પદ્ધતિ સાથે સંકળાયેલું છે. તમારે ફક્ત તમારી સમસ્યાના વિભેદક સમીકરણના પ્રકારને નિર્ધારિત કરવાનું છે, સમાન વિશ્લેષણ કરેલ ઉદાહરણ શોધવું અને સમાન ક્રિયાઓ કરવી.

વિભેદક સમીકરણોને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારે એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સેટ શોધવાની ક્ષમતાની પણ જરૂર પડશે ( અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો) વિવિધ કાર્યો. જો જરૂરી હોય, તો અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે વિભાગનો સંદર્ભ લો.

પ્રથમ, અમે પ્રથમ ક્રમના સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈશું જે ડેરિવેટિવના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય છે, પછી અમે બીજા-ક્રમના ODEs પર આગળ વધીશું, પછી અમે ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો પર ધ્યાન આપીશું અને સિસ્ટમ્સ સાથે સમાપ્ત કરીશું. વિભેદક સમીકરણો.

યાદ કરો કે જો y દલીલ x નું કાર્ય છે.

પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો.

ફોર્મના પ્રથમ ક્રમના સૌથી સરળ વિભેદક સમીકરણો.

ચાલો આવા રીમોટ કંટ્રોલના થોડા ઉદાહરણો લખીએ .

વિભેદક સમીકરણો સમાનતાની બંને બાજુઓને f(x) દ્વારા વિભાજીત કરીને વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, અમે એક સમીકરણ પર પહોંચીએ છીએ જે f(x) ≠ 0 માટે મૂળ સમકક્ષ હશે. આવા ODE ના ઉદાહરણો છે.

જો દલીલ x ના મૂલ્યો હોય કે જેના પર f(x) અને g(x) એક સાથે અદૃશ્ય થઈ જાય, તો વધારાના ઉકેલો દેખાય છે. સમીકરણ માટે વધારાના ઉકેલો આપેલ x આ દલીલ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત કોઈપણ કાર્યો છે. આવા વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો.

સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણો.

સતત ગુણાંક સાથેનું LDE એ વિભેદક સમીકરણનો ખૂબ જ સામાન્ય પ્રકાર છે. તેમનો ઉકેલ ખાસ મુશ્કેલ નથી. પ્રથમ, લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ જોવા મળે છે . વિવિધ p અને q માટે, ત્રણ કિસ્સાઓ શક્ય છે: લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ, વાસ્તવિક અને એકરૂપ હોઈ શકે છે. અથવા જટિલ જોડાણો. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળના મૂલ્યો પર આધાર રાખીને, વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવે છે. , અથવા , અથવા અનુક્રમે.

ઉદાહરણ તરીકે, સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો. તેના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ k 1 = -3 અને k 2 = 0 છે. મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે, તેથી, સતત ગુણાંક સાથે LODE ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે


સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો.

સતત ગુણાંક y સાથે બીજા ક્રમના LDDE નો સામાન્ય ઉકેલ અનુરૂપ LDDE ના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળાના સ્વરૂપમાં માંગવામાં આવે છે. અને મૂળ માટે કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ નથી સજાતીય સમીકરણ, તે જ, . અગાઉનો ફકરો સતત ગુણાંક સાથે સમાન વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે સમર્પિત છે. અને ચોક્કસ ઉકેલ મૂળ સમીકરણની જમણી બાજુએ ફંક્શન f(x) ના ચોક્કસ સ્વરૂપ માટે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દ્વારા અથવા વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

સતત ગુણાંક સાથે બીજા-ક્રમના LDDEs ના ઉદાહરણો તરીકે, અમે આપીએ છીએ


સિદ્ધાંતને સમજવા અને ઉદાહરણોના વિગતવાર ઉકેલોથી પરિચિત થવા માટે, અમે તમને પૃષ્ઠ પર સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણો ઓફર કરીએ છીએ.

રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણો (LODE) અને બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો (LNDEs).

આ પ્રકારના વિભેદક સમીકરણોનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે LODE અને LDDE સતત ગુણાંક સાથે.

ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર LODE નો સામાન્ય ઉકેલ આ સમીકરણના બે રેખીય સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલો y 1 અને y 2 ના રેખીય સંયોજન દ્વારા રજૂ થાય છે, એટલે કે, .

મુખ્ય મુશ્કેલી આ પ્રકારના વિભેદક સમીકરણ માટે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલો શોધવામાં છે. સામાન્ય રીતે, ચોક્કસ ઉકેલો નીચેની સિસ્ટમોમાંથી રેખીય રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે સ્વતંત્ર કાર્યો:


જો કે, ચોક્કસ ઉકેલો હંમેશા આ ફોર્મમાં રજૂ કરવામાં આવતા નથી.

LOD નું ઉદાહરણ છે .

LDDE નો સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવે છે, જ્યાં અનુરૂપ LDDE નો સામાન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે. અમે હમણાં જ તેને શોધવા વિશે વાત કરી છે, પરંતુ તે વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

LNDU નું ઉદાહરણ આપી શકાય .

ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો.

વિભેદક સમીકરણો જે ક્રમમાં ઘટાડો કરવાની મંજૂરી આપે છે.

વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ , જેમાં k-1 ઓર્ડર સુધી ઇચ્છિત ફંક્શન અને તેના ડેરિવેટિવ્સ શામેલ નથી, તેને બદલીને n-k સુધી ઘટાડી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, મૂળ વિભેદક સમીકરણ ઘટાડીને . તેનું સોલ્યુશન p(x) શોધ્યા પછી, તે રિપ્લેસમેન્ટ પર પાછા ફરવાનું રહે છે અને અજ્ઞાત ફંક્શન y નક્કી કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વિભેદક સમીકરણ રિપ્લેસમેન્ટ પછી, તે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ બની જશે, અને તેનો ક્રમ ત્રીજાથી પ્રથમમાં ઘટાડી દેવામાં આવશે.

આ ફકરો ચર્ચા કરશે ખાસ કેસ રેખીય સમીકરણોબીજો ક્રમ, જ્યારે સમીકરણના ગુણાંક સતત હોય છે, એટલે કે, તે સંખ્યાઓ હોય છે. આવા સમીકરણોને સતત ગુણાંકવાળા સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકારના સમીકરણો ખાસ કરીને વ્યાપક એપ્લિકેશન શોધે છે.

1. રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણો

સતત ગુણાંક સાથેનો બીજો ક્રમ

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો

જેમાં ગુણાંક સ્થિર છે. ધારી રહ્યા છીએ કે સમીકરણની તમામ શરતોને વિભાજીત કરીને અને સૂચિત કરો

ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ

જેમ જાણીતું છે, રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, આંશિક ઉકેલોની તેની મૂળભૂત સિસ્ટમને જાણવી પૂરતી છે. ચાલો આપણે બતાવીએ કે સતત ગુણાંક સાથે સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણ માટે આંશિક ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી. અમે ફોર્મમાં આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું

આ ફંક્શનને બે વાર ભેદ કરીને અને સમીકરણ (59) માં સમીકરણને બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ત્યારથી, , ઘટાડીને આપણને સમીકરણ મળે છે

આ સમીકરણમાંથી, k ના તે મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે જેના માટે કાર્ય સમીકરણ (59) નો ઉકેલ હશે.

ગુણાંક k નક્કી કરવા માટે બીજગણિત સમીકરણ (61) ને આ વિભેદક સમીકરણ (59) નું લાક્ષણિક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

લાક્ષણિક સમીકરણ એ બીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ છે અને તેથી તેના બે મૂળ છે. આ મૂળ કાં તો વાસ્તવિક અલગ, વાસ્તવિક અને સમાન અથવા જટિલ સંયોજક હોઈ શકે છે.

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે આ દરેક કેસમાં ચોક્કસ ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શું છે.

1. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે: . આ કિસ્સામાં, ફોર્મ્યુલા (60) નો ઉપયોગ કરીને આપણે બે આંશિક ઉકેલો શોધીએ છીએ:

આ બે વિશિષ્ટ ઉકેલો સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ પર ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે, કારણ કે Wronski નિર્ધારક ક્યાંય અદૃશ્ય થતો નથી:

પરિણામે, સૂત્ર (48) અનુસાર સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

2. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ સમાન છે: . આ કિસ્સામાં, બંને મૂળ વાસ્તવિક હશે. ફોર્મ્યુલા (60) નો ઉપયોગ કરીને, અમે ફક્ત એક ચોક્કસ ઉકેલ મેળવીએ છીએ

ચાલો આપણે બતાવી દઈએ કે બીજો વિશિષ્ટ ઉકેલ, જે પ્રથમ સાથે મળીને મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે, તેનું સ્વરૂપ છે

સૌ પ્રથમ, ચાલો તપાસીએ કે ફંક્શન એ સમીકરણ (59) નો ઉકેલ છે. ખરેખર,

પરંતુ, કારણ કે લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે (61). વધુમાં, વિએટાના પ્રમેય મુજબ, તેથી . પરિણામે, , એટલે કે, કાર્ય એ ખરેખર સમીકરણ (59) નો ઉકેલ છે.

ચાલો હવે બતાવીએ કે મળેલા આંશિક ઉકેલો ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે. ખરેખર,

આમ, આ કિસ્સામાં સજાતીય રેખીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

3. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ જટિલ છે. જેમ જાણીતું છે, વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના ચતુર્ભુજ સમીકરણના જટિલ મૂળ સંયોજિત છે જટિલ સંખ્યાઓ, એટલે કે તેઓ આના જેવા દેખાય છે: . આ કિસ્સામાં, સમીકરણ (59) ના આંશિક ઉકેલો, સૂત્ર (60) અનુસાર, ફોર્મ હશે:

યુલરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને (પ્રકરણ XI, § 5, ફકરો 3 જુઓ), માટેના અભિવ્યક્તિઓ આ રીતે લખી શકાય છે:

આ ઉકેલો વ્યાપક છે. માન્ય ઉકેલો મેળવવા માટે, નવા કાર્યોનો વિચાર કરો

તેઓ ઉકેલોના રેખીય સંયોજનો છે અને તેથી, સમીકરણ (59) (જુઓ § 3, આઇટમ 2, પ્રમેય 1) ના ઉકેલો છે.

તે દર્શાવવું સહેલું છે કે આ ઉકેલો માટે Wronski નિર્ણાયક શૂન્ય છે અને તેથી, ઉકેલો ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

આમ, લાક્ષણિક સમીકરણના જટિલ મૂળના કિસ્સામાં સજાતીય રેખીય વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

નિષ્કર્ષમાં, અમે લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળના પ્રકારને આધારે સમીકરણ (59) ના સામાન્ય ઉકેલ માટે સૂત્રોનું કોષ્ટક રજૂ કરીએ છીએ.

સતત ગુણાંક (PC) સાથે રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો (LNDE-2) ઉકેલવાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો

સ્થિર ગુણાંક $p$ અને $q$ સાથેનો 2જી ક્રમ LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ધરાવે છે, જ્યાં $f\left(x \right)$ એ સતત કાર્ય છે.

PC સાથે LNDU 2 ના સંદર્ભમાં, નીચેના બે નિવેદનો સાચા છે.

ચાલો ધારીએ કે અમુક ફંક્શન $U$ એ અસંગત વિભેદક સમીકરણનું મનસ્વી આંશિક ઉકેલ છે. ચાલો આપણે એમ પણ માની લઈએ કે અમુક ફંક્શન $Y$ એ અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ નો સામાન્ય ઉકેલ (GS) છે. પછી GR LHDE-2 એ દર્શાવેલ ખાનગી અને સામાન્ય ઉકેલોના સરવાળાની બરાબર છે, એટલે કે, $y=U+Y$.

જો 2જી ક્રમની LMDE ની જમણી બાજુ એ કાર્યોનો સરવાળો છે, એટલે કે, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, પછી પહેલા આપણે PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ શોધી શકીએ છીએ જે અનુરૂપ છે દરેક ફંકશન માટે $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, અને તે પછી $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ સ્વરૂપમાં CR LNDU-2 લખો.

પીસી સાથે 2જી ઓર્ડર LPDE નું સોલ્યુશન

તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ LNDU-2 ના એક અથવા બીજા PD $U$ નો પ્રકાર તેની જમણી બાજુના $f\left(x\right)$ ના વિશિષ્ટ સ્વરૂપ પર આધારિત છે. PD LNDU-2 શોધવાના સૌથી સરળ કિસ્સાઓ નીચેના ચાર નિયમોના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવ્યા છે.

નિયમ નંબર 1.

જમણો ભાગ LNDU-2 પાસે $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, એટલે કે, તેને ડિગ્રીની બહુપદી કહેવાય છે n$. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) \left(x\right)$ બીજું છે $P_(n) \left(x\right)$, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે જે શૂન્યની બરાબર છે. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક અનિશ્ચિત ગુણાંક (UK) ની પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 2.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left( x\right)$ એ ડિગ્રી $n$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) ) \ left(x\right)$ એ $P_(n) \left(x\right)$ સમાન ડિગ્રીનો બીજો બહુપદી છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે. $\alpha $ ની બરાબર. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 3.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) સ્વરૂપ ધરાવે છે \right) $, જ્યાં $a$, $b$ અને $\beta$ છે જાણીતી સંખ્યાઓ. પછી તેનું PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે. \right )\cdot x^(r) $, જ્યાં $A$ અને $B$ અજ્ઞાત ગુણાંક છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે, જે $i\cdot ની બરાબર છે. \બીટા $. ગુણાંક $A$ અને $B$ બિન-વિનાશક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 4.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)$ છે ડિગ્રી $n$, અને $P_(m) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $m$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $માં માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(s) \left(x\right)$ અને $ R_(s) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $s$ ની બહુપદી છે, $s$ એ મહત્તમ બે સંખ્યાઓ $n$ અને $m$ છે, અને $r$ એ મૂળની સંખ્યા છે અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણનું, $\alpha +i\cdot \beta $ જેટલું. બહુપદી $Q_(s) \left(x\right)$ અને $R_(s) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

NK પદ્ધતિમાં નીચેના નિયમને લાગુ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. અસંગત વિભેદક સમીકરણ LNDU-2 ના આંશિક ઉકેલનો ભાગ છે તેવા બહુપદીના અજાણ્યા ગુણાંક શોધવા માટે, તે જરૂરી છે:

• માં લખેલ PD $U$ ને બદલો સામાન્ય દૃશ્ય, વી ડાબી બાજુ LNDU-2;
• LNDU-2 ની ડાબી બાજુએ, સમાન શક્તિઓ સાથે સરળીકરણ અને જૂથ શબ્દો કરો $x$;
• પરિણામી ઓળખમાં, ડાબી અને જમણી બાજુઓની સમાન શક્તિઓ $x$ સાથે શરતોના ગુણાંકને સમાન બનાવો;
• અજ્ઞાત ગુણાંક માટે રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1

કાર્ય: શોધો અથવા LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD પણ શોધો , $x=0$ માટે $y=6$ અને $x=0$ માટે $y"=1$ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.

અમે અનુરૂપ LOD-2 લખીએ છીએ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

લાક્ષણિક સમીકરણ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. આ મૂળ માન્ય અને અલગ છે. આમ, અનુરૂપ LODE-2 નું OR ફોર્મ ધરાવે છે: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

આ LNDU-2 ની જમણી બાજુ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે. ઘાતાંક $\alpha =3$ ના ગુણાંકને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આ ગુણાંક લાક્ષણિક સમીકરણના કોઈપણ મૂળ સાથે મેળ ખાતો નથી. તેથી, આ LNDU-2 ના PD પાસે $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે.

અમે NC પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને $A$, $B$ ગુણાંક શોધીશું.

અમે ચેક રિપબ્લિકનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

અમને ચેક રિપબ્લિકનું બીજું વ્યુત્પન્ન મળે છે:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

અમે આપેલ NLDE-2 $y""-3\cdot y" માં $y""$, $y"$ અને $y$ ને બદલે $U""$, $U"$ અને $U$ ને બદલીએ છીએ. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ વધુમાં, કારણ કે ઘાતાંક $e^(3\cdot x)$ એક પરિબળ તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે. બધા ઘટકોમાં, પછી તેને અવગણી શકાય છે. અમને મળે છે:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\જમણે)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

અમે પરિણામી સમાનતાની ડાબી બાજુએ ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

અમે NDT પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે: $A=-2$, $B=-1$.

અમારી સમસ્યા માટે PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ આના જેવો દેખાય છે: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

અમારી સમસ્યા માટે OR $y=Y+U$ આના જેવો દેખાય છે: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતા PD શોધવા માટે, અમે OP નું વ્યુત્પન્ન $y"$ શોધીએ છીએ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

અમે $y$ અને $y"$ માં બદલીએ છીએ પ્રારંભિક શરતો $y=6$ માટે $x=0$ અને $y"=1$ $x=0$ માટે:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

ચાલો તેને હલ કરીએ. અમે ક્રેમરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $C_(1) $ શોધીએ છીએ, અને $C_(2) $ અમે પ્રથમ સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ બિગિન(એરે)(સીસી) (1) અને (1) \\ (-3) અને (6) \ એન્ડ(એરે)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\જમણે)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

આમ, આ વિભેદક સમીકરણના PDનું સ્વરૂપ છે: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

અહીં આપણે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે લેગ્રેન્જ સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ લાગુ કરીશું. વિગતવાર વર્ણનમનસ્વી હુકમના સમીકરણો ઉકેલવા માટેની આ પદ્ધતિ પૃષ્ઠ પર વર્ણવેલ છે
લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ >>> દ્વારા ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ.

ઉદાહરણ 1

લેગ્રેન્જ સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્થિર ગુણાંક સાથે બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણને ઉકેલો:
(1)

ઉકેલ

પ્રથમ આપણે સજાતીય વિભેદક સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:
(2)

આ બીજા ક્રમનું સમીકરણ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું:
.
બહુવિધ મૂળ:. મૂળભૂત સિસ્ટમસમીકરણ (2) ના ઉકેલો ફોર્મ ધરાવે છે:
(3) .
અહીંથી આપણે સજાતીય સમીકરણ (2) નો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ:
(4) .

સ્થિરાંકોમાં ફેરફાર સી 1 અને સી 2 . એટલે કે, અમે (4) માં સ્થિરાંકોને કાર્યો સાથે બદલીએ છીએ:
.
અમે ફોર્મમાં મૂળ સમીકરણ (1) નો ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ:
(5) .

વ્યુત્પન્ન શોધવું:
.
ચાલો કાર્યો અને સમીકરણને જોડીએ:
(6) .
પછી
.

અમે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
.
મૂળ સમીકરણ (1) માં અવેજી કરો:
(1) ;



.
સજાતીય સમીકરણ (2) હોવાથી અને સંતોષે છે, છેલ્લી ત્રણ પંક્તિઓના દરેક કૉલમમાંના શબ્દોનો સરવાળો શૂન્ય આપે છે અને અગાઉનું સમીકરણ આ સ્વરૂપ લે છે:
(7) .
અહીં .

સમીકરણ (6) સાથે મળીને આપણે કાર્યો નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ અને:
(6) :
(7) .

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ (6-7). ચાલો કાર્યો માટે સમીકરણો લખીએ અને:
.
અમે તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ:
;
.

અમે ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ (6-7) હલ કરીએ છીએ. અમે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ:

.
ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
;
.

તેથી, અમને કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ મળ્યા:
;
.
ચાલો એકીકૃત કરીએ (મૂળને એકીકૃત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ જુઓ). અવેજી બનાવવી
; ; ; .

.
.

;
.

જવાબ આપો

ઉદાહરણ 2

લેગ્રેન્જ સ્થિરાંકોની વિવિધતાની પદ્ધતિ દ્વારા વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો:
(8)

ઉકેલ

પગલું 1. સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવું

અમે સજાતીય વિભેદક સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

(9)
અમે ફોર્મમાં ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ. અમે લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ છીએ:

આ સમીકરણ જટિલ મૂળ ધરાવે છે:
.
આ મૂળને અનુરૂપ ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:
(10) .
સજાતીય સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ (9):
(11) .

પગલું 2. સ્થિરાંકોની ભિન્નતા - સ્થિરાંકોને ફંક્શન્સ સાથે બદલવી

હવે આપણે સ્થિરાંકો C બદલીએ છીએ 1 અને સી 2 . એટલે કે, અમે (11) માં સ્થિરાંકોને કાર્યો સાથે બદલીએ છીએ:
.
અમે ફોર્મમાં મૂળ સમીકરણ (8) નો ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ:
(12) .

આગળ, ઉકેલની પ્રગતિ ઉદાહરણ 1 જેવી જ છે. અમે પહોંચીએ છીએ આગામી સિસ્ટમકાર્યો નક્કી કરવા માટેના સમીકરણો અને:
(13) :
(14) .
અહીં .

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

ચાલો આ સિસ્ટમને હલ કરીએ. ચાલો ફંક્શન માટે સમીકરણો લખીએ અને:
.
ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
;
.

અમે ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ (13-14) હલ કરીએ છીએ. સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક:

.
ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:
;
.

.
ત્યારથી, લઘુગણક ચિહ્ન હેઠળ મોડ્યુલસ ચિહ્ન અવગણી શકાય છે. આનાથી અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો:
.
પછી
.

મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:


.