જટિલ સંખ્યાઓ સમીકરણ ઉદાહરણો ઉકેલે છે. સમીકરણો, સમીકરણો અને જટિલ સંખ્યાઓ સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમો

ફેડરલ એજન્સી ફોર એજ્યુકેશન

રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

"વોરોનેઝ સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટી"

એગલેબ્રા અને ભૂમિતિ વિભાગ

જટિલ સંખ્યાઓ

(પસંદ કરેલ કાર્યો)

ગ્રેજ્યુએટ લાયકાતનું કાર્ય

વિશેષતા 050201.65 ગણિત

(વધારાની વિશેષતા 050202.65 કોમ્પ્યુટર સાયન્સ સાથે)

આના દ્વારા પૂર્ણ: 5મા વર્ષના વિદ્યાર્થી

ભૌતિક અને ગાણિતિક

ફેકલ્ટી

વૈજ્ઞાનિક સલાહકાર:

વોરોનેઝ - 2008

1. પરિચય……………………………………………………...…………..…

2. જટિલ સંખ્યાઓ (પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ)

2.1. માં જટિલ સંખ્યાઓ બીજગણિત સ્વરૂપ….……...……….….

2.2. જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન…………..…

2.3. જટિલ સંખ્યાઓનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ

2.4. 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોના ઉકેલ માટે જટિલ સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ………………………………………………………………………

2.5. જટિલ સંખ્યાઓ અને પરિમાણો ………………………………………….

3. નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………….

4. સંદર્ભોની યાદી………………………………………………………

1. પરિચય

ગણિતના કાર્યક્રમમાં શાળા અભ્યાસક્રમસંખ્યા સિદ્ધાંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સેટના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે, પૂર્ણાંકો, તર્કસંગત, અતાર્કિક, એટલે કે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર, જેની છબીઓ સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા ભરે છે. પરંતુ પહેલેથી જ 8મા ધોરણમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો પૂરતો પુરવઠો નથી, નકારાત્મક ભેદભાવ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલે છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાઓની મદદથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સ્ટોકને ફરી ભરવું જરૂરી હતું, જેના માટે વર્ગમૂળ નકારાત્મક સંખ્યાઅર્થ ધરાવે છે.

મારા ગ્રેજ્યુએશન વિષય તરીકે "જટિલ સંખ્યાઓ" વિષય પસંદ કરી રહ્યા છીએ લાયકાતનું કામ, એ છે કે જટિલ સંખ્યાની વિભાવના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા પ્રણાલીઓ વિશે, બીજગણિત અને ભૌમિતિક સામગ્રીની વિશાળ શ્રેણીની સમસ્યાઓના ઉકેલ વિશે, ઉકેલ વિશેના જ્ઞાનને વિસ્તૃત કરે છે. બીજગણિતીય સમીકરણોકોઈપણ ડિગ્રી અને પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા વિશે.

આ થીસીસ 82 સમસ્યાઓના ઉકેલની તપાસ કરે છે.

મુખ્ય વિભાગ "જટિલ સંખ્યાઓ" ના પ્રથમ ભાગમાં સમસ્યાઓના ઉકેલો છે જટિલ સંખ્યાઓબીજગણિત સ્વરૂપમાં, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ માટે જોડાણની ક્રિયા, કાલ્પનિક એકમની શક્તિ, જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને નિષ્કર્ષણ નિયમ પણ જણાવવામાં આવે છે. વર્ગમૂળજટિલ સંખ્યામાંથી.

બીજા ભાગમાં, જટિલ સમતલના બિંદુઓ અથવા વેક્ટરના સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓના ભૌમિતિક અર્થઘટનની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે.

ત્રીજો ભાગ ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પરની કામગીરીની તપાસ કરે છે. ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો છે: Moivre અને જટિલ સંખ્યાના મૂળને કાઢવા.

ચોથો ભાગ 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સમર્પિત છે.

છેલ્લા ભાગમાં સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, “જટિલ સંખ્યાઓ અને પરિમાણો,” અગાઉના ભાગોમાં આપેલી માહિતીનો ઉપયોગ અને એકીકૃત કરવામાં આવે છે. પ્રકરણમાં સમસ્યાઓની શ્રેણી પરિમાણ સાથે સમીકરણો (અસમાનતાઓ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત જટિલ પ્લેનમાં રેખાઓના પરિવારો નક્કી કરવા માટે સમર્પિત છે. કસરતના ભાગમાં તમારે પરિમાણ (ફિલ્ડ C પર) સાથે સમીકરણો ઉકેલવાની જરૂર છે. એવા કાર્યો છે જ્યાં એક જટિલ ચલ વારાફરતી સંખ્યાબંધ શરતોને સંતોષે છે. આ વિભાગમાં સમસ્યાઓ હલ કરવાની એક વિશેષ વિશેષતા એ છે કે તેમાંના ઘણાને પેરામીટર સાથે અતાર્કિક, ત્રિકોણમિતિના બીજા ડિગ્રીના સમીકરણો (અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો) ના ઉકેલમાં ઘટાડી શકાય છે.

દરેક ભાગમાં સામગ્રીની રજૂઆતનું લક્ષણ એ પ્રારંભિક ઇનપુટ છે સૈદ્ધાંતિક પાયા, અને ત્યારબાદ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેમનો વ્યવહારુ ઉપયોગ.

અંતમાં થીસીસવપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ પ્રસ્તુત છે. તેમાંના મોટા ભાગના સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને પૂરતી વિગતમાં અને સુલભ રીતે રજૂ કરે છે, કેટલીક સમસ્યાઓના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લે છે અને આપે છે. વ્યવહારુ કાર્યોમાટે સ્વતંત્ર નિર્ણય. ખાસ ધ્યાનહું આવા સ્ત્રોતોનો સંદર્ભ લેવા માંગુ છું:

1. ગોર્ડિએન્કો N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. જટિલ સંખ્યાઓ અને તેમના કાર્યક્રમો: પાઠ્યપુસ્તક. . સામગ્રી શિક્ષણ સહાયપ્રવચનો અને વ્યવહારુ કસરતોના રૂપમાં પ્રસ્તુત.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. પ્રાથમિક ગણિતની પસંદગીની સમસ્યાઓ અને પ્રમેય. અંકગણિત અને બીજગણિત. પુસ્તકમાં બીજગણિત, અંકગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંતને લગતી 320 સમસ્યાઓ છે. આ કાર્યો પ્રમાણભૂત શાળાના કાર્યો કરતાં પ્રકૃતિમાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે.

2. જટિલ સંખ્યાઓ (પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ)

2.1. બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની ઘણી સમસ્યાઓનો ઉકેલ બીજગણિતીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે આવે છે, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો

,

જ્યાં a0, a1, …, an વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તેથી, બીજગણિત સમીકરણોનો અભ્યાસ એમાંથી એક છે જટિલ મુદ્દાઓગણિતમાં. ઉદાહરણ તરીકે, સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ નકારાત્મક ભેદભાવ કરનાર. આવું સૌથી સરળ સમીકરણ એ સમીકરણ છે

.

આ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવવા માટે, તેમાં સમીકરણનું મૂળ ઉમેરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને વિસ્તૃત કરવો જરૂરી છે.

.

ચાલો આ રુટને વડે દર્શાવીએ

. આમ, વ્યાખ્યા દ્વારા, અથવા,

તેથી,

. કાલ્પનિક એકમ કહેવાય છે. તેની મદદથી અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડીની મદદથી, ફોર્મની અભિવ્યક્તિ સંકલિત કરવામાં આવે છે.

પરિણામી અભિવ્યક્તિને જટિલ સંખ્યાઓ કહેવાતી કારણ કે તેમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગો હતા.

તેથી, જટિલ સંખ્યાઓ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે

, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને ચોક્કસ પ્રતીક છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે. સંખ્યાને જટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા તેનો કાલ્પનિક ભાગ છે. પ્રતીકો , તેમને દર્શાવવા માટે વપરાય છે.

ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને તેથી, જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય છે.

ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ

કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે. ફોર્મની બે જટિલ સંખ્યાઓ અને જો તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય તો સમાન હોવાનું કહેવાય છે, એટલે કે. જો સમાનતા , .

જટિલ સંખ્યાઓનું બીજગણિતીય સંકેત તેમના પર બીજગણિતના સામાન્ય નિયમો અનુસાર કામગીરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, તમારે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ સમજવાની જરૂર છે. આ સમીક્ષા લેખનો મુખ્ય ધ્યેય જટિલ સંખ્યાઓ શું છે તે સમજાવવાનો છે અને જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની મૂળભૂત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ રજૂ કરવાનો છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાને ફોર્મની સંખ્યા કહેવામાં આવશે z = a + bi, ક્યાં a, b- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેને અનુક્રમે જટિલ સંખ્યાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો કહેવામાં આવે છે અને સૂચિત કરે છે a = Re(z), b=Im(z).
iકાલ્પનિક એકમ કહેવાય છે. i 2 = -1. ખાસ કરીને, કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાને જટિલ ગણી શકાય: a = a + 0i, જ્યાં a વાસ્તવિક છે. જો a = 0અને b ≠ 0, તો પછી સંખ્યા સામાન્ય રીતે કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે.

હવે જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ રજૂ કરીએ.
બે જટિલ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો z 1 = a 1 + b 1 iઅને z 2 = a 2 + b 2 i.

ચાલો વિચાર કરીએ z = a + bi.

જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને વિસ્તૃત કરે છે, જે બદલામાં સમૂહને વિસ્તૃત કરે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓવગેરે રોકાણની આ સાંકળ આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે: N – પૂર્ણાંક, Z - પૂર્ણાંકો, Q - તર્કસંગત, R - વાસ્તવિક, C - જટિલ.

જટિલ સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ

બીજગણિત સંકેત.

જટિલ સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો z = a + bi, જટિલ સંખ્યા લખવાના આ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે બીજગણિત. અમે અગાઉના વિભાગમાં રેકોર્ડિંગના આ સ્વરૂપની વિગતવાર ચર્ચા કરી છે. નીચેના વિઝ્યુઅલ ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે

ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ.

આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે સંખ્યા z = a + biઅલગ રીતે લખી શકાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, તેથી z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવાય છે. જટિલ સંખ્યાની આ રજૂઆત કહેવાય છે ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ. સંકેતનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ ક્યારેક ખૂબ અનુકૂળ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જટિલ સંખ્યાને પૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, એટલે કે, જો z = rcos(φ) + rsin(φ)i, તે z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, આ સૂત્ર કહેવાય છે મોઇવરનું સૂત્ર.

નિદર્શન સ્વરૂપ.

ચાલો વિચાર કરીએ z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યા, તેને બીજા સ્વરૂપમાં લખો z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, છેલ્લી સમાનતા યુલરના સૂત્રને અનુસરે છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએ નવો ગણવેશજટિલ સંખ્યા સંકેત: z = re iφ, જેને કહેવામાં આવે છે સૂચક. સંકેતનું આ સ્વરૂપ જટિલ સંખ્યાને પાવરમાં વધારવા માટે પણ ખૂબ અનુકૂળ છે: z n = r n e inφ, અહીં nપૂર્ણાંક જરૂરી નથી, પરંતુ એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. નોટેશનના આ સ્વરૂપનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે.

ઉચ્ચ બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય

ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + x + 1 = 0 છે. દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે અને તેના કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, પરંતુ તે તારણ આપે છે કે આ સમીકરણ બે અલગ અલગ જટિલ મૂળ ધરાવે છે. તેથી, ઉચ્ચ બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે ડિગ્રી n ના કોઈપણ બહુપદીમાં ઓછામાં ઓછું એક જટિલ મૂળ હોય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે ડિગ્રી n ની કોઈપણ બહુપદીમાં બરાબર n જટિલ મૂળ હોય છે, તેમની ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા. આ પ્રમેય ગણિતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે અને તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ પ્રમેયનો એક સરળ પરિણામ એ છે કે ત્યાં બરાબર n છે વિવિધ મૂળએકતાની ડિગ્રી.

મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યો

આ વિભાગ મુખ્ય પ્રકારોને આવરી લેશે સરળ કાર્યોજટિલ સંખ્યાઓ માટે. પરંપરાગત રીતે, જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને નીચેની શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

• જટિલ સંખ્યાઓ પર સરળ અંકગણિત કામગીરી કરવી.
• જટિલ સંખ્યાઓમાં બહુપદીના મૂળ શોધવા.
• જટિલ સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારવી.
• જટિલ સંખ્યાઓમાંથી મૂળ કાઢવા.
• અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવો.

હવે વિચાર કરીએ સામાન્ય તકનીકોઆ સમસ્યાઓના ઉકેલો.

જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની સૌથી સરળ અંકગણિત ક્રિયાઓ પ્રથમ વિભાગમાં વર્ણવેલ નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ જો જટિલ સંખ્યાઓ ત્રિકોણમિતિ અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, તો આ કિસ્સામાં તમે તેમને બીજગણિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો અને જાણીતા નિયમો અનુસાર કામગીરી કરી શકો છો.

બહુપદીના મૂળ શોધવાનું સામાન્ય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે નીચે આવે છે. ધારો કે આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જો તેનો ભેદભાવ બિન-નકારાત્મક હોય, તો તેના મૂળ વાસ્તવિક હશે અને જાણીતા સૂત્ર અનુસાર શોધી શકાય છે. જો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, એટલે કે, D = -1∙a 2, ક્યાં aચોક્કસ સંખ્યા છે, તો પછી ભેદભાવકર્તાને તરીકે રજૂ કરી શકાય છે D = (ia) 2, તેથી √D = i|a|, અને પછી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો જાણીતું સૂત્રચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે.

ઉદાહરણ. ચાલો ઉપર જે ઉલ્લેખ કર્યો છે તેના પર પાછા જઈએ. ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + x + 1 = 0 .
ભેદભાવ કરનાર - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
હવે આપણે સરળતાથી મૂળ શોધી શકીએ છીએ:

જટિલ સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારવી ઘણી રીતે કરી શકાય છે. જો તમારે બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાને નાની શક્તિ (2 અથવા 3) સુધી વધારવાની જરૂર હોય, તો તમે આ સીધા ગુણાકાર દ્વારા કરી શકો છો, પરંતુ જો શક્તિ મોટી હોય (સમસ્યાઓમાં તે ઘણી વખત ઘણી મોટી હોય છે), તો તમારે આ સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો અને પહેલાથી જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ. z = 1 + i ને ધ્યાનમાં લો અને તેને દસમા ઘાતમાં વધારો.
ચાલો z ને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખીએ: z = √2 e iπ/4.
પછી z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
ચાલો બીજગણિત સ્વરૂપ પર પાછા આવીએ: z 10 = -32i.

જટિલ સંખ્યાઓમાંથી મૂળ કાઢવા એ ઘાતીકરણની વ્યસ્ત ક્રિયા છે અને તેથી તે સમાન રીતે કરવામાં આવે છે. મૂળ કાઢવા માટે, સંખ્યા લખવાના ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ. ચાલો એકતાની ડિગ્રી 3 ના બધા મૂળ શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ z 3 = 1 ના તમામ મૂળ શોધીશું, આપણે ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં મૂળ શોધીશું.
ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ: r 3 e 3iφ = 1 અથવા r 3 e 3iφ = e 0 .
તેથી: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, તેથી φ = 2πk/3.
વિવિધ મૂળ φ = 0, 2π/3, 4π/3 પર મેળવવામાં આવે છે.
તેથી 1, e i2π/3, e i4π/3 મૂળ છે.
અથવા બીજગણિત સ્વરૂપમાં:

છેલ્લા પ્રકારની સમસ્યાઓમાં વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે અને તેમને હલ કરવા માટે કોઈ સામાન્ય પદ્ધતિઓ નથી. ચાલો આવા કાર્યનું એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ:

રકમ શોધો sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

જો કે આ સમસ્યાની રચનામાં જટિલ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ તેની મદદથી તેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. તેને હલ કરવા માટે, નીચેની રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:


જો આપણે હવે આ રજૂઆતને સરવાળામાં બદલીએ, તો સમસ્યા સામાન્ય ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો કરવા માટે ઘટી જાય છે.

નિષ્કર્ષ

જટિલ સંખ્યાઓનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, આ સમીક્ષા લેખ જટિલ સંખ્યાઓ પર મૂળભૂત કામગીરીની તપાસ કરે છે, વિવિધ પ્રકારની પ્રમાણભૂત સમસ્યાઓનું વર્ણન કરે છે અને ટૂંકમાં વર્ણન કરે છે. સામાન્ય પદ્ધતિઓતેમના ઉકેલો, જટિલ સંખ્યાઓની ક્ષમતાઓના વધુ વિગતવાર અભ્યાસ માટે, વિશિષ્ટ સાહિત્યનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

સાહિત્ય

આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેઓ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો નીચેની સમસ્યા હલ કરીએ:

ગણતરી કરો \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] જો \

સૌ પ્રથમ, ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે એક સંખ્યા બીજગણિત સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, બીજી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં. તેને સરળ બનાવવાની અને નીચેના ફોર્મમાં લાવવાની જરૂર છે

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

અભિવ્યક્તિ \ કહે છે કે સૌ પ્રથમ આપણે મોઇવર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને 10મી ઘાત સુધી ગુણાકાર અને વધારો કરીએ છીએ. આ સૂત્ર જટિલ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ માટે ઘડવામાં આવ્યું છે. અમને મળે છે:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

જટિલ સંખ્યાઓને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવાના નિયમોને અનુસરીને, અમે નીચે મુજબ કરીએ છીએ:

અમારા કિસ્સામાં:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

અપૂર્ણાંક \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ને સાચો બનાવતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આપણે 4 વળાંકને "ટ્વિસ્ટ" કરી શકીએ છીએ \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

જવાબ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

આ સમીકરણને બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે, જે બીજગણિત સ્વરૂપમાં 2જી સંખ્યા લાવવા માટે ઉકળે છે, પછી બીજગણિત સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરે છે, પરિણામને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરે છે અને મોઇવરનું સૂત્ર લાગુ કરે છે:

હું જટિલ સંખ્યાઓ સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઓનલાઈન ક્યાં ઉકેલી શકું?

તમે અમારી વેબસાઇટ https://site પર સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો. મફત ઓનલાઈન સોલ્વર તમને કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણોને સેકન્ડોની બાબતમાં ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે વિડિઓ સૂચનાઓ પણ જોઈ શકો છો અને અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખી શકો છો. અને જો તમને હજુ પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથ http://vk.com/pocketteacher માં પૂછી શકો છો. અમારા જૂથમાં જોડાઓ, અમે તમને મદદ કરવામાં હંમેશા ખુશ છીએ.