પાઠ ની યોજના.
1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.
2. સામગ્રીની રજૂઆત.
3. હોમવર્ક.
4. પાઠનો સારાંશ.
વર્ગો દરમિયાન
I. સંસ્થાકીય ક્ષણ.
II. સામગ્રીની રજૂઆત.
પ્રેરણા.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના વિસ્તરણમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં નવી સંખ્યાઓ (કાલ્પનિક) ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે. આ સંખ્યાઓનો પરિચય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં નકારાત્મક સંખ્યાના મૂળને કાઢવાની અશક્યતાને કારણે છે.
ખ્યાલનો પરિચય જટિલ સંખ્યા.
કાલ્પનિક સંખ્યાઓ, જેની સાથે આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓને પૂરક બનાવીએ છીએ, તે ફોર્મમાં લખાયેલ છે દ્વિ, ક્યાં iએક કાલ્પનિક એકમ છે, અને i 2 = - 1.
આના આધારે, આપણે જટિલ સંખ્યાની નીચેની વ્યાખ્યા મેળવીએ છીએ.
વ્યાખ્યા. જટિલ સંખ્યા એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે a+bi, ક્યાં aઅને b- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. આ કિસ્સામાં, નીચેની શરતો પૂરી થાય છે:
a) બે જટિલ સંખ્યાઓ a 1 + b 1 iઅને a 2 + b 2 iસમાન જો અને માત્ર જો a 1 = a 2, b 1 = b 2.
b) જટિલ સંખ્યાઓનો ઉમેરો નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
બીજગણિત સ્વરૂપજટિલ સંખ્યા.
ફોર્મમાં જટિલ સંખ્યા લખવી a+biજટિલ સંખ્યાનું બીજગણિત સ્વરૂપ કહેવાય છે, જ્યાં એ- વાસ્તવિક ભાગ, દ્વિકાલ્પનિક ભાગ છે, અને b- વાસ્તવિક સંખ્યા.
જટિલ સંખ્યા a+biજો તેના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો શૂન્ય સમાન હોય તો તેને શૂન્યની બરાબર ગણવામાં આવે છે: a = b = 0
જટિલ સંખ્યા a+biખાતે b = 0વાસ્તવિક સંખ્યા સમાન ગણવામાં આવે છે a: a + 0i = a.
જટિલ સંખ્યા a+biખાતે a = 0કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે અને સૂચિત છે દ્વિ: 0 + bi = bi.
બે જટિલ સંખ્યાઓ z = a + biઅને = a – bi, ફક્ત કાલ્પનિક ભાગની નિશાનીમાં ભિન્ન હોય છે, તેને સંયોજક કહેવામાં આવે છે.
બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પરની કામગીરી.
તમે બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પર નીચેની ક્રિયાઓ કરી શકો છો.
1) ઉમેરો.
વ્યાખ્યા. જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો z 1 = a 1 + b 1 iઅને z 2 = a 2 + b 2 iજટિલ સંખ્યા કહેવાય છે z, જેનો વાસ્તવિક ભાગ વાસ્તવિક ભાગોના સરવાળા જેટલો છે z 1અને z 2, અને કાલ્પનિક ભાગ એ સંખ્યાઓના કાલ્પનિક ભાગોનો સરવાળો છે z 1અને z 2, તે જ z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
સંખ્યાઓ z 1અને z 2શબ્દો કહેવાય છે.
જટિલ સંખ્યાઓના ઉમેરણમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
1º. પરિવર્તનશીલતા: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. સહયોગ: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. જટિલ સંખ્યા -a -biજટિલ સંખ્યાની વિરુદ્ધ કહેવાય છે z = a + bi. જટિલ સંખ્યા, જટિલ સંખ્યાની વિરુદ્ધ z, સૂચિત -z. જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો zઅને -zશૂન્યની બરાબર: z + (-z) = 0
ઉદાહરણ 1: ઉમેરો કરો (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) બાદબાકી.
વ્યાખ્યા.જટિલ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરો z 1જટિલ સંખ્યા z 2 z,શું z + z 2 = z 1.
પ્રમેય. જટિલ સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે.
ઉદાહરણ 2: બાદબાકી કરો (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) ગુણાકાર.
વ્યાખ્યા. જટિલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન z 1 =a 1 +b 1 iઅને z 2 =a 2 +b 2 iજટિલ સંખ્યા કહેવાય છે z, સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
સંખ્યાઓ z 1અને z 2પરિબળો કહેવાય છે.
જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:
1º. પરિવર્તનશીલતા: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. સહયોગ: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારની વહેંચણી:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- વાસ્તવિક સંખ્યા.
વ્યવહારમાં, જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એક સરવાળો દ્વારા ગુણાકાર અને વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરવાના નિયમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે.
નીચેના ઉદાહરણમાં, આપણે જટિલ સંખ્યાઓને બે રીતે ગુણાકાર કરવાનું વિચારીશું: નિયમ દ્વારા અને સરવાળાનો સરવાળો દ્વારા ગુણાકાર કરીને.
ઉદાહરણ 3: ગુણાકાર કરો (2 + 3i) (5 – 7i).
1 રસ્તો. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
પદ્ધતિ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) વિભાગ.
વ્યાખ્યા. જટિલ સંખ્યાને વિભાજીત કરો z 1જટિલ સંખ્યા સુધી z 2, એટલે આવી જટિલ સંખ્યા શોધવી z, શું z z 2 = z 1.
પ્રમેય.જટિલ સંખ્યાઓનો ભાગ અસ્તિત્વમાં છે અને જો તે અનન્ય છે z 2 ≠ 0 + 0i.
વ્યવહારમાં, જટિલ સંખ્યાઓનો ભાગ અંશ અને છેદને છેદના જોડાણ દ્વારા ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે.
દો z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, પછી
.
નીચેના ઉદાહરણમાં, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભાગાકાર કરીશું અને છેદ સાથે જોડાયેલી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકારનો નિયમ કરીશું.
ઉદાહરણ 4. ભાગ શોધો 
.
5) હકારાત્મક સંપૂર્ણ શક્તિમાં વધારો.
a) કાલ્પનિક એકમની શક્તિઓ.
સમાનતાનો લાભ લેવો i 2 = -1, કાલ્પનિક એકમની કોઈપણ સકારાત્મક પૂર્ણાંક શક્તિને વ્યાખ્યાયિત કરવી સરળ છે. અમારી પાસે:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1વગેરે
આ દર્શાવે છે કે ડિગ્રી મૂલ્યો હું એન, ક્યાં n- એક સકારાત્મક પૂર્ણાંક, સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે કારણ કે સૂચક વધે છે 4 .
તેથી, સંખ્યા વધારવા માટે iસકારાત્મક સંપૂર્ણ શક્તિ માટે, આપણે ઘાતાંકને વડે વિભાજિત કરવું જોઈએ 4 અને બિલ્ડ iએવી શક્તિ માટે કે જેનો ઘાતાંક ભાગ ભાગના બાકીના ભાગ જેટલો હોય.
ઉદાહરણ 5: ગણતરી કરો: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 – i.
b) જટિલ સંખ્યાને ધન પૂર્ણાંક ઘાતમાં વધારવી એ અનુરૂપ શક્તિમાં દ્વિપદી વધારવાના નિયમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે, કારણ કે તે રજૂ કરે છે ખાસ કેસસમાન જટિલ પરિબળોનો ગુણાકાર.
ઉદાહરણ 6: ગણતરી કરો: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
જટિલ સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહનું વિસ્તરણ છે, જે સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. કોઈપણ જટિલ સંખ્યાને ઔપચારિક રકમ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને તે કાલ્પનિક એકમ છે.
જટિલ સંખ્યાને , , સ્વરૂપમાં લખવાને જટિલ સંખ્યાનું બીજગણિત સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે.
જટિલ સંખ્યાઓના ગુણધર્મો. જટિલ સંખ્યાનું ભૌમિતિક અર્થઘટન.
બીજગણિત સ્વરૂપમાં આપેલ જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ:
જેના દ્વારા નિયમો જોઈએ તે જોઈએ અંકગણિત કામગીરીજટિલ સંખ્યાઓ પર.
જો બે જટિલ સંખ્યાઓ α = a + bi અને β = c + di આપવામાં આવે તો
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (અગિયાર)
આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની બે ક્રમબદ્ધ જોડીના સરવાળા અને બાદબાકીની ક્રિયાઓની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે (સૂત્રો (1) અને (3) જુઓ). અમને જટિલ સંખ્યાઓ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો પ્રાપ્ત થયા છે: બે જટિલ સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, આપણે તેમના વાસ્તવિક ભાગોને અલગથી ઉમેરવા જોઈએ અને તે મુજબ, તેમના કાલ્પનિક ભાગો; એક જટિલ સંખ્યામાંથી બીજી બાદબાકી કરવા માટે, અનુક્રમે તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને બાદબાકી કરવી જરૂરી છે.
સંખ્યા – α = – a – bi એ સંખ્યા α = a + bi ની વિરુદ્ધ કહેવાય છે. આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકાર માટેનો નિયમ મેળવવા માટે, અમે સૂત્ર (6) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, એટલે કે, i2 = -1 હકીકત. આ સંબંધને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે શોધીએ છીએ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, એટલે કે.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
આ સૂત્ર સૂત્ર (2) ને અનુરૂપ છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમાંકિત જોડીના ગુણાકારને નિર્ધારિત કરે છે.
નોંધ કરો કે બે જટિલ સંયોજક સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ઉત્પાદન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ખરેખર, જો α = a + bi, = a – bi, તો α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i = 2a, એટલે કે.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
બીજગણિત સ્વરૂપમાં બે જટિલ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરતી વખતે, વ્યક્તિએ અપેક્ષા રાખવી જોઈએ કે ભાગાંક પણ સમાન પ્રકારની સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, એટલે કે α/β = u + vi, જ્યાં u, v R. ચાલો જટિલ સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવા માટેનો નિયમ મેળવીએ. . સંખ્યાઓ α = a + bi, β = c + di આપવામાં આવે છે, અને β ≠ 0, એટલે કે c2 + d2 ≠ 0. છેલ્લી અસમાનતાનો અર્થ એ છે કે c અને d એકસાથે અદૃશ્ય થતા નથી (જ્યારે c = 0 હોય ત્યારે કેસ બાકાત રાખવામાં આવે છે. , d = 0). સૂત્ર (12) અને સમાનતાનું બીજું (13) લાગુ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ:
તેથી, બે જટિલ સંખ્યાઓનો ભાગ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
સૂત્ર (4) ને અનુરૂપ.
β = c + di સંખ્યા માટે પરિણામી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે તેની વ્યસ્ત સંખ્યા β-1 = 1/β શોધી શકો છો. ફોર્મ્યુલા (14) માં a = 1, b = 0 ધારીને, આપણે મેળવીએ છીએ
આ સૂત્ર શૂન્ય સિવાયની આપેલ જટિલ સંખ્યાના વ્યસ્તને નિર્ધારિત કરે છે; આ સંખ્યા પણ જટિલ છે.
ઉદાહરણ તરીકે: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પરની કામગીરી.
55. જટિલ સંખ્યાની દલીલ. જટિલ સંખ્યા (વ્યુત્પત્તિ) લખવાનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ.
Arg.com.numbers. - વાસ્તવિક X અક્ષની હકારાત્મક દિશા અને આપેલ સંખ્યાને રજૂ કરતા વેક્ટર વચ્ચે.
ત્રિકોણ સૂત્ર. સંખ્યાઓ: ,
જટિલ સંખ્યા લખવાનું બીજગણિત સ્વરૂપ......................................... ........................................ | |||
જટિલ સંખ્યાઓનો સમતલ ................................................ ........................................................ ............................ | |||
જટિલ સંયોજક સંખ્યાઓ................................................ .................................................................... .................................... | |||
બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ ................................................... .......... | |||
જટિલ સંખ્યાઓનો ઉમેરો................................................ ........................................................... ................ | |||
જટિલ સંખ્યાઓની બાદબાકી................................................. .................................................................... ..................... | |||
જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર ................................................. ..................................................................... ................. | |||
જટિલ સંખ્યાઓનું વિભાજન ................................................ .......................................................... ................... | |||
જટિલ સંખ્યા લખવાનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ................................................ ........... | |||
ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓ........................................ ........ | |||
જટિલ સંખ્યાઓનો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવો................................................. ........ | |||
જટિલ સંખ્યાઓને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં વિભાજિત કરવી................................................. ........... | |||
જટિલ સંખ્યાને ધન પૂર્ણાંક ઘાતમાં વધારવી.................................. ........... | |||
જટિલ સંખ્યામાંથી સકારાત્મક પૂર્ણાંક ડિગ્રીનું મૂળ કાઢવું...................................... | |||
જટિલ સંખ્યાને તર્કસંગત શક્તિમાં વધારવી.................................................. ..................... | |||
જટિલ શ્રેણી................................................ ................................................... ........................................ | |||
જટિલ સંખ્યા શ્રેણી................................................ .................................................................... .................................... | |||
જટિલ વિમાનમાં પાવર સિરીઝ ................................................ ........................................ | |||
ડબલ સાઇડેડ પાવર શ્રેણીજટિલ વિમાનમાં ................................................... ..... | |||
જટિલ ચલના કાર્યો................................................ ........................................................ | |||
મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યો................................................ .......................................................... . | |||
યુલરના સૂત્રો................................................ ................................................... ........................................ | |||
જટિલ સંખ્યાને રજૂ કરવાનું ઘાતાંકીય સ્વરૂપ................................................ ...................... | |||
ત્રિકોણમિતિ અને હાયપરબોલિક વિધેયો વચ્ચેનો સંબંધ................................. | |||
લઘુગણક કાર્ય................................................ ................................................... ........... | |||
સામાન્ય ઘાતાંકીય અને સામાન્ય શક્તિ કાર્યો................................................ ........................ | |||
જટિલ ચલના કાર્યોનો ભેદ........................................ ........... | |||
કોચી-રીમેનની શરતો ................................................. ..................................................... ........................... | |||
વ્યુત્પન્નની ગણતરી માટેના સૂત્રો................................................ ........................................................ | |||
ડિફરન્સિએશન ઑપરેશનની પ્રોપર્ટીઝ................................................. ........................................................ ... | |||
વિશ્લેષણાત્મક કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના ગુણધર્મ........................................ | |||
જટિલ ચલના કાર્યનું તેના વાસ્તવિક અથવા કાલ્પનિકમાંથી પુનર્નિર્માણ |
|||
પદ્ધતિ નંબર 1. કર્વ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને................................................. ...... ....... | |||
પદ્ધતિ નંબર 2. કોચી-રીમેન શરતોનો સીધો ઉપયોગ................................ | |||
પદ્ધતિ નંબર 3. માંગેલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન દ્વારા...................................... ........................ | |||
જટિલ ચલના કાર્યોનું એકીકરણ ................................................ ........... | |||
ઇન્ટિગ્રલ કોચી ફોર્મ્યુલા................................................ ..................................................... .............. | |||
ટેલર અને લોરેન્ટ શ્રેણીમાં કાર્યોનું વિસ્તરણ.................................................. .......................................... | |||
જટિલ ચલના કાર્યના શૂન્ય અને એકવચન બિંદુઓ.................................. ............ | |||
જટિલ ચલના કાર્યના શૂન્ય................................................. .......................................... | |||
જટિલ ચલના કાર્યના અલગ એકવચન બિંદુઓ................................. | |||
14.3 જટિલ ચલના કાર્યના એકવચન બિંદુ તરીકે અનંત પરનો એક બિંદુ
કપાત .................................................... ........................................................ ..................................................... ... | |||
અંતિમ બિંદુ પર કપાત ................................................ ...................................................... ............ | |||
અનંત પરના બિંદુ પર ફંક્શનના અવશેષો.................................. ........... ............... | |||
અવશેષોનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણાંકોની ગણતરી................................. ....................................... | |||
સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો ................................................... ..................................................................... ........................................... | |||
સાહિત્ય ................................................ ................................................................ ...................................................... | |||
વિષય અનુક્રમણિકા................................................ ................................................................ ...................... | |||
પ્રસ્તાવના
પરીક્ષા અથવા મોડ્યુલ સર્ટિફિકેશનના સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક ભાગો માટે તૈયારી કરતી વખતે સમય અને પ્રયત્નોનું યોગ્ય રીતે વિતરણ કરવું ખૂબ મુશ્કેલ છે, ખાસ કરીને કારણ કે સત્ર દરમિયાન હંમેશા પૂરતો સમય નથી. અને પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, દરેક જણ આનો સામનો કરી શકશે નહીં. પરિણામે, પરીક્ષા દરમિયાન, કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ યોગ્ય રીતે સમસ્યાઓ હલ કરે છે, પરંતુ સૌથી સરળ જવાબ આપવા માટે તેમને મુશ્કેલ લાગે છે સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓ, જ્યારે અન્ય પ્રમેય ઘડી શકે છે, પરંતુ તેને લાગુ કરી શકતા નથી.
કોર્સમાં પરીક્ષાની તૈયારી કરવા માટેની આ માર્ગદર્શિકા "કોમ્પ્લેક્સ વેરીએબલના થિયરી ઓફ ફંક્શન્સ" (TFCP) એ આ વિરોધાભાસને ઉકેલવાનો અને કોર્સની સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક સામગ્રીની એક સાથે પુનરાવર્તનની ખાતરી કરવાનો પ્રયાસ છે. સિદ્ધાંત "અભ્યાસ વિના સિદ્ધાંત મૃત છે, સિદ્ધાંત વિના અભ્યાસ અંધ છે" દ્વારા માર્ગદર્શન આપવામાં આવે છે, તેમાં વ્યાખ્યાઓ અને ફોર્મ્યુલેશનના સ્તરે અભ્યાસક્રમની બંને સૈદ્ધાંતિક જોગવાઈઓ, તેમજ આપેલ દરેક સૈદ્ધાંતિક સ્થિતિના ઉપયોગને સમજાવતા ઉદાહરણો છે, અને ત્યાંથી સુવિધા આપે છે. તેની યાદ અને સમજ.
સૂચિત હેતુ પદ્ધતિસરની ભલામણો- વિદ્યાર્થીને મૂળભૂત સ્તરે પરીક્ષાની તૈયારી કરવામાં મદદ કરો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક વિસ્તૃત કાર્યકારી સંદર્ભ પુસ્તકનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે જેમાં TFKP કોર્સમાં વર્ગોમાં ઉપયોગમાં લેવાતા મુખ્ય મુદ્દાઓ અને પ્રદર્શન કરતી વખતે જરૂરી છે. ગૃહ કાર્યઅને નિયંત્રણ ઘટનાઓ માટે તૈયારી. ઉપરાંત સ્વતંત્ર કાર્યવિદ્યાર્થીઓ, આ ઈલેક્ટ્રોનિક શૈક્ષણિક પ્રકાશનનો ઉપયોગ વર્ગો આયોજિત કરતી વખતે થઈ શકે છે ઇન્ટરેક્ટિવ ફોર્મઇલેક્ટ્રોનિક બોર્ડનો ઉપયોગ કરીને અથવા ડિસ્ટન્સ લર્નિંગ સિસ્ટમમાં પ્લેસમેન્ટ માટે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આ કાર્ય પાઠ્યપુસ્તકો અથવા વ્યાખ્યાન નોંધોને બદલતું નથી. સામગ્રીના ગહન અભ્યાસ માટે, MSTU દ્વારા પ્રકાશિત સંબંધિત વિભાગોનો સંદર્ભ લેવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. એન.ઇ. બૌમન મૂળભૂત પાઠ્યપુસ્તક.
માર્ગદર્શિકાના અંતે ભલામણ કરેલ સાહિત્યની સૂચિ અને વિષય અનુક્રમણિકા છે, જેમાં ટેક્સ્ટમાં પ્રકાશિત થયેલ દરેક વસ્તુનો સમાવેશ થાય છે. બોલ્ડ ઇટાલિકશરતો અનુક્રમણિકામાં એવા વિભાગોની હાયપરલિંકનો સમાવેશ થાય છે જેમાં આ શરતોને સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત અથવા વર્ણવવામાં આવે છે અને જ્યાં તેમના ઉપયોગને સમજાવવા માટે ઉદાહરણો આપવામાં આવે છે.
મેન્યુઅલ MSTU ની તમામ ફેકલ્ટીના 2જા વર્ષના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે. એન.ઇ. બૌમન.
1. જટિલ સંખ્યા લખવાનું બીજગણિતીય સ્વરૂપ
z = x + iy ફોર્મનું નોટેશન, જ્યાં x,y વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, i એક કાલ્પનિક એકમ છે (એટલે કે i 2 = −1)
જટિલ સંખ્યા z લખવાનું બીજગણિત સ્વરૂપ કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં, x એ જટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ કહેવાય છે અને તે Re z (x = Re z) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, y એ જટિલ સંખ્યાનો કાલ્પનિક ભાગ કહેવાય છે અને Im z (y = Im z) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ. જટિલ સંખ્યા z = 4− 3i માં વાસ્તવિક ભાગ Rez = 4 અને કાલ્પનિક ભાગ Imz = −3 છે.
2. જટિલ નંબર પ્લેન
IN જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતો ગણવામાં આવે છેજટિલ નંબર પ્લેન, જે જટિલ સંખ્યાઓ z, w, વગેરે દર્શાવતા અક્ષરો દ્વારા અથવા ઉપયોગ કરીને સૂચવવામાં આવે છે.
જટિલ પ્લેનની આડી ધરી કહેવામાં આવે છે વાસ્તવિક ધરી, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ z = x + 0i = x તેના પર મૂકવામાં આવે છે.
જટિલ પ્લેનની ઊભી અક્ષને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે;
3. જટિલ સંયોજક સંખ્યાઓ
નંબરો z = x + iy અને z = x − iy કહેવાય છે જટિલ જોડાણ. જટિલ પ્લેન પર તેઓ એવા બિંદુઓને અનુરૂપ છે જે વાસ્તવિક અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે.
4. બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરી
4.1 જટિલ સંખ્યાઓનો ઉમેરો
બે જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો | z 1= x 1+ iy 1 | અને z 2 = x 2 + iy 2 એ જટિલ સંખ્યા કહેવાય છે |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | કામગીરી | વધુમાં |
||||||||||
જટિલ સંખ્યાઓ બીજગણિત દ્વિપદીના ઉમેરા જેવી જ છે. | |||||||||||||
ઉદાહરણ. બે જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો z 1 = 3+ 7i અને z 2 | = −1 +2 i | જટિલ સંખ્યા હશે |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
દેખીતી રીતે, | એક વ્યાપક રીતે સરવાળો | જોડાણ | છે | વાસ્તવિક | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 જટિલ સંખ્યાઓની બાદબાકી | |||||||||||||
બે જટિલ સંખ્યાઓનો તફાવત z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | કહેવાય છે | વ્યાપક |
||||||||||
સંખ્યા z 1− z 2 = (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
ઉદાહરણ. બે જટિલ સંખ્યાઓનો તફાવત | z 1 =3 −4 i | અને z 2 | = −1 +2 i | એક વ્યાપક હશે |
|||||||||
સંખ્યા z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
તફાવત દ્વારા | જટિલ જોડાણ | છે | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy = 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર | |||||||||||||
બે જટિલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન | z 1= x 1+ iy 1 | અને z 2= x 2+ iy 2 | જટિલ કહેવાય છે |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
આમ, જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારનું કાર્ય બીજગણિત દ્વિપદીના ગુણાકારની ક્રિયા જેવું જ છે, એ હકીકતને ધ્યાનમાં રાખીને કે i 2 = −1.
પેજ 2 માંથી 3
જટિલ સંખ્યાનું બીજગણિતીય સ્વરૂપ.
જટિલ સંખ્યાઓના સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર.
આપણે જટિલ સંખ્યાના બીજગણિતીય સ્વરૂપથી પહેલેથી જ પરિચિત થઈ ગયા છીએ - આ જટિલ સંખ્યાનું બીજગણિત સ્વરૂપ છે. શા માટે આપણે ફોર્મ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ? હકીકત એ છે કે જટિલ સંખ્યાઓના ત્રિકોણમિતિ અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપો પણ છે, જેની ચર્ચા આગામી ફકરામાં કરવામાં આવશે.
જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરી ખાસ કરીને મુશ્કેલ નથી અને તે સામાન્ય બીજગણિત કરતા ઘણી અલગ નથી.
જટિલ સંખ્યાઓનો ઉમેરો
ઉદાહરણ 1
બે જટિલ સંખ્યાઓ ઉમેરો,
બે જટિલ સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો ઉમેરવાની જરૂર છે:
સરળ, તે નથી? ક્રિયા એટલી સ્પષ્ટ છે કે તેને વધારાની ટિપ્પણીઓની જરૂર નથી.
આ સરળ રીતે તમે કોઈપણ શબ્દોનો સરવાળો શોધી શકો છો: વાસ્તવિક ભાગોનો સરવાળો કરો અને કાલ્પનિક ભાગોનો સરવાળો કરો.
જટિલ સંખ્યાઓ માટે, પ્રથમ વર્ગનો નિયમ માન્ય છે: 
- શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી રકમ બદલાતી નથી.
જટિલ સંખ્યાઓની બાદબાકી
ઉદાહરણ 2
જટિલ સંખ્યાઓ અને જો , વચ્ચેનો તફાવત શોધો
ક્રિયા ઉમેરા જેવી જ છે, એકમાત્ર વિશિષ્ટતા એ છે કે સબટ્રાહેન્ડ કૌંસમાં મૂકવો જોઈએ, અને પછી કૌંસને ચિહ્નના ફેરફાર સાથે પ્રમાણભૂત રીતે ખોલવા જોઈએ:
પરિણામ ગૂંચવણભર્યું ન હોવું જોઈએ, પરિણામી સંખ્યામાં બે નહીં, ત્રણ ભાગો છે. ફક્ત વાસ્તવિક ભાગ સંયોજન છે: . સ્પષ્ટતા માટે, જવાબ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે: .
ચાલો બીજા તફાવતની ગણતરી કરીએ:
અહીં વાસ્તવિક ભાગ પણ સંયુક્ત છે:
કોઈપણ અલ્પોક્તિ ટાળવા માટે, હું આપીશ ટૂંકું ઉદાહરણ"ખરાબ" કાલ્પનિક ભાગ સાથે: . અહીં તમે લાંબા સમય સુધી કૌંસ વિના કરી શકતા નથી.
જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર
તમને પ્રખ્યાત સમાનતાનો પરિચય કરાવવાનો સમય આવી ગયો છે:
ઉદાહરણ 3
જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાંક શોધો,
દેખીતી રીતે, કાર્ય આના જેવું લખવું જોઈએ:
આ શું સૂચવે છે? તે બહુપદીના ગુણાકારના નિયમ અનુસાર કૌંસ ખોલવાની વિનંતી કરે છે. કે તમારે શું કરવાની જરૂર છે! તમામ બીજગણિત કામગીરી તમને પરિચિત છે, મુખ્ય વસ્તુ તે યાદ રાખવાની છે અને સાવચેત રહો.
ચાલો, બહુપદીના ગુણાકાર માટે શાળાના નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ: બહુપદીને બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના પ્રત્યેક પદને બીજી બહુપદીના દરેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
હું તેને વિગતવાર લખીશ:
હું આશા રાખું છું કે તે દરેકને તે સ્પષ્ટ હતું
ધ્યાન, અને ફરીથી ધ્યાન, મોટાભાગે ચિહ્નોમાં ભૂલો કરવામાં આવે છે.
સરવાળાની જેમ, જટિલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન વિનિમયક્ષમ છે, એટલે કે, સમાનતા સાચી છે: .
IN શૈક્ષણિક સાહિત્યઅને ઇન્ટરનેટ પર જટિલ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનની ગણતરી માટે વિશેષ સૂત્ર શોધવાનું સરળ છે. જો તમે ઇચ્છો તો તેનો ઉપયોગ કરો, પરંતુ મને લાગે છે કે બહુપદીના ગુણાકાર સાથેનો અભિગમ વધુ સાર્વત્રિક અને સ્પષ્ટ છે. હું ફોર્મ્યુલા આપીશ નહીં, મને લાગે છે કે તેમાં આ બાબતે- આ તમારા માથાને લાકડાંઈ નો વહેરથી ભરે છે.
જટિલ સંખ્યાઓનું વિભાજન
ઉદાહરણ 4
જટિલ સંખ્યાઓ આપેલ છે, . ભાગલાકાર શોધો.
ચાલો એક ભાગ બનાવીએ:
સંખ્યાઓનું વિભાજન હાથ ધરવામાં આવે છે છેદ અને અંશનો ગુણાકાર છેદની સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા.
ચાલો દાઢીવાળા સૂત્રને યાદ કરીએ અને આપણા છેદને જોઈએ: . છેદ પહેલાથી જ ધરાવે છે, તેથી આ કિસ્સામાં સંયોજિત અભિવ્યક્તિ છે, એટલે કે
નિયમ અનુસાર, છેદનો ગુણાકાર , અને, જેથી કરીને કંઈપણ બદલાય નહીં, અંશને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે:
હું તેને વિગતવાર લખીશ:
મેં એક "સારું" ઉદાહરણ પસંદ કર્યું: જો તમે "શરૂઆતથી" બે સંખ્યાઓ લો છો, તો પછી વિભાજનના પરિણામે તમને લગભગ હંમેશા અપૂર્ણાંક મળશે, કંઈક આના જેવું .
કેટલાક કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતા પહેલા, તેને સરળ બનાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓના ભાગને ધ્યાનમાં લો: . ભાગાકાર કરતા પહેલા, આપણે બિનજરૂરી બાદબાકીથી છુટકારો મેળવીએ છીએ: અંશ અને છેદમાં આપણે કૌંસમાંથી બાદબાકીને બહાર કાઢીએ છીએ અને આ ઓછા ઓછા કરીએ છીએ: 
. જેઓ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ કરે છે, તેમના માટે અહીં સાચો જવાબ છે:
ભાગ્યે જ, પરંતુ નીચેના કાર્ય થાય છે:
ઉદાહરણ 5
જટિલ સંખ્યા આપવામાં આવી છે. આ સંખ્યાને બીજગણિત સ્વરૂપમાં (એટલે કે ફોર્મમાં) લખો.
ટેકનિક સમાન છે - અમે છેદ અને અંશને છેદ સાથે સંયોજિત અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચાલો ફરીથી ફોર્મ્યુલા જોઈએ. છેદ પહેલાથી જ ધરાવે છે, તેથી છેદ અને અંશને સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, એટલે કે, આના દ્વારા:
વ્યવહારમાં, તેઓ સરળતાથી એક અત્યાધુનિક ઉદાહરણ પ્રદાન કરી શકે છે જ્યાં તમારે જટિલ સંખ્યાઓ સાથે ઘણી ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે. ગભરાટ નહીં: સાવચેત રહો, બીજગણિતના નિયમોનું પાલન કરો, સામાન્ય બીજગણિત પ્રક્રિયા, અને તે યાદ રાખો.
જટિલ સંખ્યાનું ત્રિકોણમિતિ અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપ
આ ફકરામાં વધુ છે અમે વાત કરીશુંજટિલ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ વિશે. માં નિદર્શન સ્વરૂપ વ્યવહારુ કાર્યોઘણી ઓછી વાર થાય છે. હું ડાઉનલોડ કરવાની ભલામણ કરું છું અને, જો શક્ય હોય તો, ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો છાપવા, પદ્ધતિસરની સામગ્રીપૃષ્ઠ પર મળી શકે છે ગાણિતિક સૂત્રોઅને કોષ્ટકો. તમે ટેબલ વિના દૂર જઈ શકતા નથી.
કોઈપણ જટિલ સંખ્યા (શૂન્ય સિવાય) ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: 
, તે ક્યાં છે જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ, એ - જટિલ સંખ્યાની દલીલ. ચાલો ભાગી ન જઈએ, બધું લાગે તે કરતાં સરળ છે.
ચાલો જટિલ સમતલ પરની સંખ્યા રજૂ કરીએ. સ્પષ્ટતા અને સ્પષ્ટતાની સરળતા માટે, અમે તેને પ્રથમ સંકલન ચતુર્થાંશમાં મૂકીશું, એટલે કે. અમે માનીએ છીએ કે:
જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસજટિલ વિમાનમાં મૂળથી સંબંધિત બિંદુ સુધીનું અંતર છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, મોડ્યુલ લંબાઈ છેત્રિજ્યા વેક્ટર, જે ડ્રોઇંગમાં લાલ રંગમાં દર્શાવેલ છે.
જટિલ સંખ્યાના મોડ્યુલસને સામાન્ય રીતે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે: અથવા
પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, જટિલ સંખ્યાના મોડ્યુલસને શોધવા માટેનું સૂત્ર મેળવવું સરળ છે: . આ સૂત્રવાજબી કોઈપણ માટેઅર્થ થાય છે "a" અને "be".
નૉૅધ: જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ ખ્યાલનું સામાન્યીકરણ છે વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ, બિંદુથી મૂળ સુધીના અંતર તરીકે.
જટિલ સંખ્યાની દલીલકહેવાય છે ખૂણોવચ્ચે હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષવાસ્તવિક અક્ષ અને ત્રિજ્યા વેક્ટર મૂળથી સંબંધિત બિંદુ તરફ દોરવામાં આવે છે. દલીલ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી એકવચન: .
પ્રશ્નમાં સિદ્ધાંત વાસ્તવમાં સમાન છે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ, જ્યાં ધ્રુવીય ત્રિજ્યા અને ધ્રુવીય કોણ વિશિષ્ટ રીતે બિંદુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
જટિલ સંખ્યાની દલીલ પ્રમાણભૂત રીતે સૂચવવામાં આવે છે: અથવા
ભૌમિતિક વિચારણાઓથી, અમે દલીલ શોધવા માટે નીચેના સૂત્ર મેળવીએ છીએ:
. ધ્યાન આપો!આ સૂત્ર ફક્ત જમણા અડધા પ્લેનમાં જ કામ કરે છે! જો જટિલ સંખ્યા 1 લી અથવા 4 થી સંકલન ચતુર્થાંશમાં સ્થિત ન હોય, તો સૂત્ર સહેજ અલગ હશે. અમે આ કેસોનું પણ વિશ્લેષણ કરીશું.
પરંતુ પ્રથમ, ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણો જોઈએ જ્યારે જટિલ સંખ્યાઓ સંકલન અક્ષો પર સ્થિત હોય.
ઉદાહરણ 7
ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:
હકીકતમાં, કાર્ય મૌખિક છે. સ્પષ્ટતા માટે, હું જટિલ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપને ફરીથી લખીશ: 
ચાલો નિશ્ચિતપણે યાદ રાખીએ, મોડ્યુલ - લંબાઈ(જે હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે), દલીલ છે ખૂણો.
1) ચાલો સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. ચાલો તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક ગણતરી: .
તે સ્પષ્ટ છે કે (સંખ્યા વાસ્તવિક હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ પર સીધી રહે છે). તેથી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં સંખ્યા છે: 
.
વિપરીત તપાસ ક્રિયા દિવસની જેમ સ્પષ્ટ છે:
2) ચાલો સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. ચાલો તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક ગણતરી: .
દેખીતી રીતે (અથવા 90 ડિગ્રી). ડ્રોઇંગમાં, ખૂણો લાલ રંગમાં દર્શાવેલ છે. તેથી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં સંખ્યા છે: 
.
મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, સંખ્યાનું બીજગણિત સ્વરૂપ પાછું મેળવવું સરળ છે (તે જ સમયે તપાસ કરતી વખતે):
3) ચાલો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં સંખ્યા રજૂ કરીએ. ચાલો તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક ગણતરી: .
દેખીતી રીતે (અથવા 180 ડિગ્રી). ડ્રોઇંગમાં, ખૂણો વાદળી રંગમાં દર્શાવેલ છે. તેથી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં સંખ્યા છે: 
.
પરીક્ષા:
4) અને ચોથો રસપ્રદ કેસ. ચાલો સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. ચાલો તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ શોધીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે. ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ઔપચારિક ગણતરી: .
દલીલ બે રીતે લખી શકાય છે: પ્રથમ માર્ગ: (270 ડિગ્રી), અને તે મુજબ: 
. પરીક્ષા:
જો કે, નીચેના નિયમ વધુ પ્રમાણભૂત છે: જો કોણ 180 ડિગ્રી કરતા વધારે હોય, પછી તે માઈનસ ચિહ્ન અને કોણની વિરુદ્ધ દિશા ("સ્ક્રોલિંગ") સાથે લખાયેલ છે: (માઈનસ 90 ડિગ્રી), કોણ ડ્રોઇંગમાં ચિહ્નિત થયેલ છે લીલા. તે જોવાનું સરળ છે અને તે સમાન કોણ છે.
આમ, પ્રવેશ ફોર્મ લે છે: 
ધ્યાન આપો!કોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે કોસાઈનની સમાનતા, સાઈનની વિષમતાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ નહીં અને સંકેતને વધુ "સરળ" બનાવવો જોઈએ:
માર્ગ દ્વારા, તે યાદ રાખવું ઉપયોગી છે દેખાવઅને ત્રિકોણમિતિ અને વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગુણધર્મો, સંદર્ભ સામગ્રી પૃષ્ઠના છેલ્લા ફકરામાં છે મુખ્ય ના ગ્રાફ અને ગુણધર્મો પ્રાથમિક કાર્યો . અને જટિલ સંખ્યાઓ ખૂબ સરળ રીતે શીખવામાં આવશે!
સૌથી સરળ ઉદાહરણોની રચનામાં, વ્યક્તિએ લખવું જોઈએ: "તે સ્પષ્ટ છે કે મોડ્યુલ સમાન છે... તે સ્પષ્ટ છે કે દલીલ સમાન છે...". આ ખરેખર સ્પષ્ટ અને મૌખિક રીતે ઉકેલવા માટે સરળ છે.
ચાલો વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ. મેં પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, મોડ્યુલ સાથે કોઈ સમસ્યા નથી, તમારે હંમેશા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. પરંતુ દલીલ શોધવા માટેના સૂત્રો અલગ હશે, તે સંખ્યા કયા સંકલન ક્વાર્ટરમાં છે તેના પર નિર્ભર છે. આ કિસ્સામાં, ત્રણ વિકલ્પો શક્ય છે (તેને તમારી નોટબુકમાં કૉપિ કરવા માટે ઉપયોગી છે):
1) જો (1 લી અને 4 થી કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર, અથવા જમણું હાફ-પ્લેન), તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલ શોધવી આવશ્યક છે.
2) જો (2જી સંકલન ક્વાર્ટર), તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલ શોધવી આવશ્યક છે 
.
3) જો (3જી સંકલન ક્વાર્ટર), તો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલ શોધવી આવશ્યક છે 
.
ઉદાહરણ 8
જટિલ સંખ્યાઓને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરો: , , , .
ત્યાં તૈયાર ફોર્મ્યુલા હોવાથી, ચિત્ર પૂર્ણ કરવું જરૂરી નથી. પરંતુ ત્યાં એક મુદ્દો છે: જ્યારે તમને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં સંખ્યા દર્શાવવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે કોઈપણ રીતે ચિત્રકામ કરવું વધુ સારું છે. હકીકત એ છે કે ડ્રોઇંગ વિનાનો ઉકેલ ઘણીવાર શિક્ષકો દ્વારા નકારવામાં આવે છે, ડ્રોઇંગની ગેરહાજરી એ બાદબાકી અને નિષ્ફળતાનું ગંભીર કારણ છે.
અરે, મેં સો વર્ષથી હાથથી કંઈ દોર્યું નથી, અહીં તમે જાઓ:
હંમેશની જેમ, તે થોડું ગંદું બહાર આવ્યું =)
હું સંખ્યાઓ રજૂ કરીશ અને જટિલ સ્વરૂપમાં, પ્રથમ અને ત્રીજો નંબર સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે હશે.
ચાલો સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. ચાલો તેનું મોડ્યુલસ અને દલીલ શોધીએ.
