તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરી. તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો (પદ્ધતિગત વિકાસ)

પછી a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.

શૂન્ય ઉમેરવાથી સંખ્યા બદલાતી નથી, પરંતુ વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા માટે આપણી પાસે છે: a + 0 = a, a + (- a) = 0.

તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણાકારમાં પણ વિનિમયાત્મક અને સહયોગી ગુણધર્મો હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો a, b અને c કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે, તો ab - ba, a(bc) - (ab)c.

1 વડે ગુણાકાર કરવાથી તર્કસંગત સંખ્યા બદલાતી નથી, પરંતુ સંખ્યાનો ગુણાંક અને તેનો વ્યસ્ત 1 બરાબર છે.

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા માટે અમારી પાસે છે:

એ) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.

1190. અનુકૂળ ગણતરી ક્રમ પસંદ કર્યા પછી, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

1191. ગુણાકાર ab = ba ના વિનિમયાત્મક ગુણધર્મને શબ્દોમાં બનાવો અને તેને તપાસો જ્યારે:

1192. a(bc)=(ab)c ગુણાકારની સહયોગી મિલકતને શબ્દોમાં બનાવો અને તેને તપાસો જ્યારે:

1193. અનુકૂળ ગણતરી ક્રમ પસંદ કરીને, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

1194. જો તમે ગુણાકાર કરશો તો તમને કઈ સંખ્યા (ધન કે નકારાત્મક) મળશે:

a) એક નકારાત્મક સંખ્યા અને બે હકારાત્મક સંખ્યાઓ;
b) બે નકારાત્મક અને એક હકારાત્મક સંખ્યા;
c) 7 નકારાત્મક અને ઘણી હકારાત્મક સંખ્યાઓ;
ડી) 20 નકારાત્મક અને ઘણા હકારાત્મક? એક નિષ્કર્ષ દોરો.

1195. ઉત્પાદનની નિશાની નક્કી કરો:

a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.

એ) બી જિમવિટ્યા, કોલ્યા, પેટ્યા, સેરિઓઝા અને મેક્સિમ ભેગા થયા (ફિગ. 91, એ). તે બહાર આવ્યું છે કે દરેક છોકરાઓ ફક્ત બે અન્યને જાણતા હતા. કોણ કોને જાણે? (ગ્રાફની ધારનો અર્થ થાય છે "અમે એકબીજાને જાણીએ છીએ.")

b) એક પરિવારના ભાઈઓ અને બહેનો યાર્ડમાં ચાલી રહ્યા છે. આમાંથી કયા બાળકો છોકરાઓ છે અને કયા છોકરીઓ છે (ફિગ. 91, બી)? (ગ્રાફની ડોટેડ કિનારીઓનો અર્થ થાય છે "હું એક બહેન છું," અને નક્કર ધારોનો અર્થ છે "હું એક ભાઈ છું.")

1205. ગણતરી કરો:

1206. સરખામણી કરો:

a) 2 3 અને 3 2; b) (-2) 3 અને (-3) 2; c) 1 3 અને 1 2; d) (-1) 3 અને (-1) 2.

1207. રાઉન્ડ 5.2853 થી હજારમા; પહેલાં સોમું; દસમા સુધી; એકમો સુધી.

1208. સમસ્યા હલ કરો:

1) એક મોટરસાઇકલ સવાર સાઇકલ સવારને પકડે છે. હવે તેમની વચ્ચે 23.4 કિમી છે. મોટરસાઇકલ સવારની ઝડપ સાઇકલ સવારની ઝડપ કરતાં 3.6 ગણી છે. સાઇકલ ચલાવનાર અને મોટરસાઇકલ ચાલકની ઝડપ શોધો જો તે જાણીતું હોય કે મોટરસાઇકલ સવાર એક કલાકમાં સાઇકલ સવારને પકડી લેશે.
2) એક કાર બસ સાથે ઝડપાઈ રહી છે. હવે તેમની વચ્ચે 18 કિ.મી. બસની સ્પીડ પેસેન્જર કાર જેટલી જ હોય ​​છે. બસ અને કારની સ્પીડ શોધો જો ખબર હોય કે કાર એક કલાકમાં બસ સાથે પકડશે.

1209. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).

સાથે તમારી ગણતરીઓ તપાસો માઇક્રો કેલ્ક્યુલેટર.
1210. અનુકૂળ ગણતરી ક્રમ પસંદ કર્યા પછી, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:

1211. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

1212. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

1213. આ પગલાં અનુસરો:

1214. વિદ્યાર્થીઓને 2.5 ટન ભંગારની ધાતુ એકત્ર કરવાનું કાર્ય સોંપવામાં આવ્યું હતું. તેઓએ 3.2 ટન સ્ક્રેપ મેટલ એકત્ર કર્યું. વિદ્યાર્થીઓએ કેટલા ટકાથી કાર્ય પૂર્ણ કર્યું અને કેટલા ટકાથી તેઓ કાર્યને ઓળંગી ગયા?

1215. કારે 240 કિમીની મુસાફરી કરી. તેમાંથી, 180 કિમી તે દેશના રસ્તા પર અને બાકીનો રસ્તો હાઇવે સાથે ચાલ્યો. દેશના રસ્તાના દર 10 કિમી માટે ગેસોલિનનો વપરાશ 1.6 લિટર હતો, અને હાઇવે પર - 25% ઓછો. દર 10 કિમીની મુસાફરી માટે સરેરાશ કેટલા લિટર ગેસોલિનનો વપરાશ થયો હતો?

1216. ગામ છોડીને, સાઇકલ સવારે પુલ પર એક રાહદારીને તે જ દિશામાં ચાલતો જોયો અને 12 મિનિટ પછી તેની સાથે પકડાયો. જો સાયકલ સવારની ઝડપ 15 કિમી/કલાક હોય અને ગામથી પુલનું અંતર 1 કિમી 800 મીટર હોય તો રાહદારીની ઝડપ શોધો?

1217. આ પગલાં અનુસરો:

a) - 4.8 3.7 - 2.9 8.7 - 2.6 5.3 + 6.2 1.9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3.5 0.23 - 3.5 (- 0.64) + 0.87 (- 2.5).

લોકો, જેમ તમે જાણો છો, ધીમે ધીમે તર્કસંગત સંખ્યાઓથી પરિચિત થયા. શરૂઆતમાં, વસ્તુઓની ગણતરી કરતી વખતે, કુદરતી સંખ્યાઓ ઊભી થઈ. શરૂઆતમાં તેમાંના થોડા હતા. આમ, તાજેતરમાં સુધી, ટોરેસ સ્ટ્રેટ (ન્યુ ગિનીને ઑસ્ટ્રેલિયાથી અલગ પાડતા) માં આવેલા ટાપુઓના વતનીઓ પાસે તેમની ભાષામાં ફક્ત બે નંબરોના નામ હતા: "ઉરાપુન" (એક) અને "ઓકાઝ" (બે). ટાપુવાસીઓએ આ રીતે ગણતરી કરી: “ઓકાઝા-ઉરાપુન” (ત્રણ), “ઓકાઝા-ઓકાઝા” (ચાર), વગેરે. મૂળ વતનીઓ બધા નંબરો કહે છે, સાતથી શરૂ થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે “ઘણા”.

વૈજ્ઞાનિકો માને છે કે સેંકડો માટેનો શબ્દ 7,000 વર્ષ પહેલાં, હજારો માટે - 6,000 વર્ષ પહેલાં અને 5,000 વર્ષ પહેલાં દેખાયો હતો. પ્રાચીન ઇજીપ્ટઅને માં પ્રાચીન બેબીલોનવિશાળ સંખ્યાઓ માટે નામો દેખાય છે - એક મિલિયન સુધી. પરંતુ લાંબા સમય સુધી સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી મર્યાદિત માનવામાં આવતી હતી: લોકો માનતા હતા કે ત્યાં સૌથી મોટી સંખ્યા છે.

મહાન પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) વિશાળ સંખ્યાઓનું વર્ણન કરવા માટે એક માર્ગ સાથે આવ્યા હતા. આર્કિમિડીઝ નામ આપી શકે તેવી સૌથી મોટી સંખ્યા તેના માટે એટલી મોટી હતી ડિજિટલ રેકોર્ડિંગપૃથ્વીથી સૂર્યના અંતર કરતાં બે હજાર ગણા લાંબા રિબનની જરૂર પડશે.

પરંતુ તેઓ હજુ સુધી આટલી મોટી સંખ્યા લખી શક્યા ન હતા. છઠ્ઠી સદીમાં ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ પછી જ આ શક્ય બન્યું. શૂન્ય નંબરની શોધ કરવામાં આવી હતી અને તે સંખ્યાના દશાંશ સ્થાનોમાં એકમની ગેરહાજરી દર્શાવવાનું શરૂ કર્યું હતું.

બગાડને વિભાજીત કરતી વખતે અને પછીથી મૂલ્યોને માપતી વખતે, અને અન્ય સમાન કિસ્સાઓમાં, લોકોને "તૂટેલી સંખ્યાઓ" રજૂ કરવાની જરૂરિયાતનો સામનો કરવો પડ્યો - સામાન્ય અપૂર્ણાંક. મધ્ય યુગમાં અપૂર્ણાંક પરની કામગીરીને સૌથી વધુ ગણવામાં આવતી હતી જટિલ વિસ્તારગણિત. આજની તારીખે, જર્મનો એવી વ્યક્તિ વિશે કહે છે જે પોતાને મુશ્કેલ પરિસ્થિતિમાં શોધે છે કે તે "અપૂર્ણાંકમાં પડ્યો."

અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, દશાંશની શોધ કરવામાં આવી હતી અપૂર્ણાંક. યુરોપમાં તેઓ X585 માં ડચ ગણિતશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયર સિમોન સ્ટીવિન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા.

અપૂર્ણાંક કરતાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ પાછળથી દેખાઈ. ઘણા સમય સુધીઆવી સંખ્યાઓને "અસ્તિત્વહીન", "ખોટી" માનવામાં આવતી હતી, મુખ્યત્વે એ હકીકતને કારણે કે હકારાત્મક અને માટે સ્વીકૃત અર્થઘટન નકારાત્મક સંખ્યાઓ"મિલકત - દેવું" મૂંઝવણ તરફ દોરી ગયું: તમે "મિલકત" અથવા "દેવું" ઉમેરી અથવા બાદ કરી શકો છો, પરંતુ "મિલકત" અને "દેવું" ના ઉત્પાદન અથવા ભાગને કેવી રીતે સમજવું?

જો કે, આવી શંકાઓ અને ગૂંચવણો હોવા છતાં, 3જી સદીમાં હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટેના નિયમોની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફેન્ટસ (સ્વરૂપમાં: "જેની બાદબાકી કરવામાં આવે છે, જે ઉમેરવામાં આવે છે તેનાથી ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તે સબટ્રાહેન્ડ આપે છે; જે સબટ્રાહેન્ડ દ્વારા બાદ કરવામાં આવે છે તે ઉમેરે છે," વગેરે), અને બાદમાં ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી ભાસ્કર (XII સદી) "મિલકત", "દેવું" ("બે મિલકત અથવા બે દેવાનું ઉત્પાદન મિલકત છે; મિલકત અને દેવુંનું ઉત્પાદન દેવું છે." સમાન નિયમ વિભાજનને લાગુ પડે છે) માં સમાન નિયમો દર્શાવ્યા છે.

એવું જાણવા મળ્યું હતું કે ઋણ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓના ગુણધર્મ સકારાત્મક સંખ્યાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળા અને ગુણાકારમાં વિનિમયાત્મક ગુણધર્મ હોય છે) સમાન હોય છે. અને છેલ્લે, છેલ્લી સદીની શરૂઆતથી, નકારાત્મક સંખ્યાઓ સકારાત્મક સંખ્યાઓની સમાન બની ગઈ છે.

પાછળથી, ગણિતમાં નવી સંખ્યાઓ દેખાઈ - અતાર્કિક, જટિલ અને અન્ય. તમે હાઇસ્કૂલમાં તેમના વિશે શીખો છો.

N.Ya.Vilenkin, A.S. ચેસ્નોકોવ, S.I. શ્વાર્ટ્સબર્ડ, વી.આઈ. ઝોખોવ, ધોરણ 6 માટે ગણિત, ઉચ્ચ શાળા માટે પાઠ્યપુસ્તક

6ઠ્ઠા ધોરણના ગણિત વિષય માટે કેલેન્ડર યોજના અનુસાર પુસ્તકો અને પાઠ્યપુસ્તકો ડાઉનલોડ કરો, શાળાના બાળકો માટે ઑનલાઇન મદદ

પાઠ સામગ્રી પાઠ નોંધોસહાયક ફ્રેમ પાઠ પ્રસ્તુતિ પ્રવેગક પદ્ધતિઓ ઇન્ટરેક્ટિવ તકનીકો પ્રેક્ટિસ કરો કાર્યો અને કસરતો સ્વ-પરીક્ષણ વર્કશોપ, તાલીમ, કેસ, ક્વેસ્ટ્સ હોમવર્ક ચર્ચા પ્રશ્નો વિદ્યાર્થીઓના રેટરિકલ પ્રશ્નો ચિત્રો ઓડિયો, વિડિયો ક્લિપ્સ અને મલ્ટીમીડિયાફોટોગ્રાફ્સ, ચિત્રો, ગ્રાફિક્સ, કોષ્ટકો, આકૃતિઓ, રમૂજ, ટુચકાઓ, ટુચકાઓ, કોમિક્સ, દૃષ્ટાંતો, કહેવતો, ક્રોસવર્ડ્સ, અવતરણો ઍડ-ઑન્સ અમૂર્તજિજ્ઞાસુ ક્રિબ્સ પાઠ્યપુસ્તકો માટે લેખોની યુક્તિઓ મૂળભૂત અને અન્ય શબ્દોનો વધારાનો શબ્દકોશ પાઠ્યપુસ્તકો અને પાઠ સુધારવાપાઠ્યપુસ્તકમાં ભૂલો સુધારવીપાઠ્યપુસ્તકમાં એક ટુકડો અપડેટ કરવો, પાઠમાં નવીનતાના તત્વો, જૂના જ્ઞાનને નવા સાથે બદલીને માત્ર શિક્ષકો માટે સંપૂર્ણ પાઠ કૅલેન્ડર યોજનાએક વર્ષ માટે માર્ગદર્શિકાચર્ચા કાર્યક્રમો સંકલિત પાઠ

સંખ્યાઓની વિભાવના એ એબ્સ્ટ્રેક્શન્સનો સંદર્ભ આપે છે જે માત્રાત્મક દૃષ્ટિકોણથી ઑબ્જેક્ટને લાક્ષણિકતા આપે છે. આદિમ સમાજમાં પણ, લોકોને વસ્તુઓની ગણતરી કરવાની જરૂર હતી, તેથી સંખ્યાત્મક સંકેતો દેખાયા. પાછળથી તેઓ વિજ્ઞાન તરીકે ગણિતનો આધાર બન્યા.

ગાણિતિક વિભાવનાઓ સાથે કામ કરવા માટે, સૌ પ્રથમ, ત્યાં કયા પ્રકારની સંખ્યાઓ છે તેની કલ્પના કરવી જરૂરી છે. સંખ્યાઓના ઘણા મુખ્ય પ્રકારો છે. આ:

1. નેચરલ - જે વસ્તુઓની સંખ્યા કરતી વખતે આપણને મળે છે (તેમની કુદરતી ગણતરી). તેમનો સમૂહ એન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

2. પૂર્ણાંકો (તેમનો સમૂહ Z અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). આમાં કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધીઓ, નકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે.

3. તર્કસંગત સંખ્યાઓ (અક્ષર Q). આ તે છે જેને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જેનો અંશ સંપૂર્ણ સંખ્યા સમાન છે, અને છેદ કુદરતી સંખ્યા સમાન છે. બધા સંપૂર્ણ અને તર્કસંગત તરીકે વર્ગીકૃત છે.

4. વાસ્તવિક (તેઓ અક્ષર આર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે). તેમાં તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. દ્વારા તર્કસંગત સંખ્યાઓમાંથી મેળવેલ સંખ્યાઓ વિવિધ કામગીરી(લોગરીધમની ગણતરી કરવી, રુટ કાઢવા), જે પોતે તર્કસંગત નથી.

આમ, સૂચિબદ્ધ સમૂહોમાંથી કોઈપણ નીચેનાનો સબસેટ છે. આ થીસીસ કહેવાતા સ્વરૂપમાં એક આકૃતિ દ્વારા સચિત્ર છે. યુલર વર્તુળો. ડિઝાઇનમાં ઘણા કેન્દ્રિત અંડાકારનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી દરેક બીજાની અંદર સ્થિત છે. આંતરિક, સૌથી નાનું અંડાકાર (વિસ્તાર) સમૂહને સૂચવે છે કુદરતી સંખ્યાઓ. તે સંપૂર્ણ રીતે સમાવિષ્ટ છે અને તેમાં પૂર્ણાંકોના સમૂહનું પ્રતીક ધરાવતો પ્રદેશનો સમાવેશ થાય છે, જે બદલામાં, તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં સમાયેલ છે. બાહ્ય, સૌથી મોટું અંડાકાર, જેમાં અન્ય તમામનો સમાવેશ થાય છે, તે એરે સૂચવે છે

આ લેખમાં આપણે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ, તેમના ગુણધર્મો અને લક્ષણો જોઈશું. પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, બધી હાલની સંખ્યાઓ (સકારાત્મક, તેમજ નકારાત્મક અને શૂન્ય) તેમની છે. તર્કસંગત સંખ્યાઓ નીચેના ગુણધર્મો સાથે અનંત શ્રેણી બનાવે છે:

આ સમૂહ ક્રમાંકિત છે, એટલે કે, આ શ્રેણીમાંથી સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી લઈને, આપણે હંમેશા શોધી શકીએ છીએ કે કયો મોટો છે;

આવી સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી લઈને, અમે હંમેશા તેમની વચ્ચે ઓછામાં ઓછી એક વધુ મૂકી શકીએ છીએ, અને પરિણામે, તેમની એક સંપૂર્ણ શ્રેણી - આમ, તર્કસંગત સંખ્યાઓ અનંત શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે;

આવી સંખ્યાઓ પર તમામ ચાર અંકગણિત કામગીરી શક્ય છે, તેમનું પરિણામ હંમેશા ચોક્કસ સંખ્યા (તર્કસંગત પણ) હોય છે; અપવાદ એ 0 (શૂન્ય) દ્વારા વિભાજન છે - તે અશક્ય છે;

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ અપૂર્ણાંક કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક હોઈ શકે છે.

તર્કસંગત સમૂહની બે સંખ્યાઓની તુલના કરવા માટે, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે:

શૂન્ય કરતાં મોટી કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા;

કોઈપણ નકારાત્મક સંખ્યા હંમેશા શૂન્ય કરતા ઓછી હોય છે;

બે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓની સરખામણી કરતી વખતે, જેનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (મોડ્યુલસ) નાનું છે તે વધારે છે.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામગીરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?

સમાન ચિહ્ન ધરાવતી આવી બે સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના સંપૂર્ણ મૂલ્યો ઉમેરવાની અને તેમને સરવાળાની સામે મૂકવાની જરૂર છે. સામાન્ય ચિહ્ન. સાથે નંબરો ઉમેરવા માટે વિવિધ ચિહ્નોવ્યક્તિએ મોટા મૂલ્યમાંથી નાનાને બાદબાકી કરવી જોઈએ અને જેની સંપૂર્ણ કિંમત વધારે છે તેની નિશાની મૂકવી જોઈએ.

એક તર્કસંગત સંખ્યાને બીજામાંથી બાદ કરવા માટે, તે પ્રથમ સંખ્યામાં બીજાની વિરુદ્ધ ઉમેરવા માટે પૂરતું છે. બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેમના મૂલ્યોને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે સંપૂર્ણ મૂલ્યો. જો પરિબળ સમાન ચિન્હ ધરાવતા હોય તો પ્રાપ્ત પરિણામ સકારાત્મક હશે અને જો તેઓ અલગ હશે તો નકારાત્મક હશે.

વિભાજન એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે, એટલે કે, નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો ભાગ જોવા મળે છે, અને જો ડિવિડન્ડ અને વિભાજકના ચિહ્નો એકસરખા હોય તો પરિણામ "+" ચિહ્ન દ્વારા આગળ આવે છે, અને જો "-" ચિહ્ન તેઓ મેળ ખાતા નથી.

તર્કસંગત સંખ્યાઓની શક્તિઓ એકબીજાની સમાન હોય તેવા ઘણા પરિબળોના ઉત્પાદન જેવી લાગે છે.

આ લેખ એક વિહંગાવલોકન પ્રદાન કરે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે કામગીરીના ગુણધર્મો. પ્રથમ, મૂળભૂત ગુણધર્મો કે જેના પર અન્ય તમામ મિલકતો આધારિત છે તેની જાહેરાત કરવામાં આવે છે. આ પછી, તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓના અન્ય વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતા ગુણધર્મો આપવામાં આવે છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

ચાલો યાદી કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો(a, b અને c એ મનસ્વી તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે):

• ઉમેરાની વિનિમયાત્મક મિલકત a+b=b+a.
• ઉમેરાની સંયુક્ત મિલકત (a+b)+c=a+(b+c) .
• ઉમેરા દ્વારા તટસ્થ તત્વનું અસ્તિત્વ - શૂન્ય, જેમાં કોઈપણ સંખ્યા સાથે ઉમેરાથી આ સંખ્યા બદલાતી નથી, એટલે કે a+0=a.
• દરેક તર્કસંગત સંખ્યા a માટે એક વિરોધી સંખ્યા છે −a જેમ કે a+(−a)=0.
• તર્કસંગત સંખ્યાઓના ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત a·b=b·a.
• ગુણાકારની સંયુક્ત મિલકત (a·b)·c=a·(b·c) .
• ગુણાકાર માટે તટસ્થ તત્વનું અસ્તિત્વ એ એકમ છે, ગુણાકાર જેના દ્વારા કોઈપણ સંખ્યા આ સંખ્યાને બદલી શકતી નથી, એટલે કે a·1=a.
• દરેક બિન-શૂન્ય તર્કસંગત સંખ્યા a માટે એક વ્યસ્ત સંખ્યા a −1 હોય છે જેમ કે a·a −1 =1.
• છેલ્લે, તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ગુણાકાર એ સરવાળાની તુલનામાં ગુણાકારના વિતરક ગુણધર્મ દ્વારા સંબંધિત છે: a·(b+c)=a·b+a·c.

તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓની સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મો મૂળભૂત છે, કારણ કે અન્ય તમામ ગુણધર્મો તેમાંથી મેળવી શકાય છે.

અન્ય મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો

તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથેની ક્રિયાઓના નવ સૂચિબદ્ધ મૂળભૂત ગુણધર્મો ઉપરાંત, ત્યાં ઘણી બધી વ્યાપક રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી ગુણધર્મો છે. ચાલો તેમને આપીએ ટૂંકી સમીક્ષા.

ચાલો ગુણધર્મથી શરૂઆત કરીએ, જે અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે a·(−b)=-(a·b)અથવા ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકતના આધારે (-a) b=-(a b). વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાનો નિયમ આ ગુણધર્મમાંથી સીધો જ અનુસરે છે; તેનો પુરાવો પણ આ લેખમાં આપવામાં આવ્યો છે. આ ગુણધર્મ નિયમ સમજાવે છે "વત્તાનો ગુણાકાર ઓછા વડે માઈનસ છે અને બાદબાકી વત્તા વડે ગુણાકાર માઈનસ છે."

અહીં નીચેની મિલકત છે: (−a)·(−b)=a·b. આ નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાનો નિયમ સૂચવે છે; આ લેખમાં તમને ઉપરોક્ત સમાનતાનો પુરાવો પણ મળશે. આ ગુણધર્મ ગુણાકારના નિયમને અનુરૂપ છે “માઈનસ ગુણ્યા ઓછા વત્તા છે.”

નિઃશંકપણે, મનસ્વી તર્કસંગત સંખ્યા a ને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું યોગ્ય છે: a·0=0અથવા 0 એ = 0. ચાલો આ મિલકત સાબિત કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ તર્કસંગત d માટે 0=d+(−d), પછી a·0=a·(d+(−d)) . વિતરણ ગુણધર્મ પરિણામી અભિવ્યક્તિને a·d+a·(−d) તરીકે ફરીથી લખવાની પરવાનગી આપે છે અને ત્યારથી a·(−d)=-(a·d) , પછી a·d+a·(−d)=a·d+(-(a·d)). તેથી આપણે બે વિરોધી સંખ્યાઓના સરવાળા પર આવ્યા, a·d અને −(ad·d), તેમનો સરવાળો શૂન્ય આપે છે, જે સમાનતા a·0=0 સાબિત કરે છે.

એ નોંધવું સહેલું છે કે ઉપર આપણે ફક્ત સરવાળો અને ગુણાકારના ગુણધર્મો જ સૂચિબદ્ધ કર્યા છે, જ્યારે બાદબાકી અને ભાગાકારના ગુણધર્મો વિશે એક પણ શબ્દ કહેવામાં આવ્યો નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ પર, બાદબાકી અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ અનુક્રમે ઉમેરા અને ગુણાકારના વ્યસ્ત તરીકે ઉલ્લેખિત છે. એટલે કે, તફાવત a−b એ a+(−b) નો સરવાળો છે, અને ભાગાંક a:b એ ઉત્પાદન a·b−1 (b≠0) છે.

બાદબાકી અને ભાગાકારની આ વ્યાખ્યાઓ, તેમજ સરવાળો અને ગુણાકારના મૂળભૂત ગુણધર્મોને જોતાં, તમે તર્કસંગત સંખ્યાઓ સાથે ક્રિયાઓના કોઈપણ ગુણધર્મોને સાબિત કરી શકો છો.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો બાદબાકીની સાપેક્ષમાં ગુણાકારની વિતરણ ગુણધર્મ સાબિત કરીએ: a·(b−c)=a·b−a·c. સમાનતાઓની નીચેની સાંકળ ધરાવે છે: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(-(a·c))=a·b−a·c, જે સાબિતી છે.

હોશિયાર વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કોપીરાઈટ

બધા હકો અમારી પાસે રાખેલા છે.
કૉપિરાઇટ કાયદા દ્વારા સુરક્ષિત. આંતરિક સામગ્રી સહિત www.site નો કોઈ ભાગ નથી અને બાહ્ય ડિઝાઇન, કૉપિરાઇટ ધારકની પૂર્વ લેખિત પરવાનગી વિના કોઈપણ સ્વરૂપમાં પુનઃઉત્પાદિત અથવા ઉપયોગમાં લઈ શકાશે નહીં.

આ પાઠ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સરવાળા અને બાદબાકીને આવરી લે છે. વિષય જટિલ તરીકે વર્ગીકૃત થયેલ છે. અહીં અગાઉ હસ્તગત જ્ઞાનના સમગ્ર શસ્ત્રાગારનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

પૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો પણ તર્કસંગત સંખ્યાઓને લાગુ પડે છે. યાદ કરો કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં a -આ અપૂર્ણાંકનો અંશ છે, bઅપૂર્ણાંકનો છેદ છે. જેમાં, bશૂન્ય ન હોવું જોઈએ.

આ પાઠમાં, આપણે એક સામાન્ય શબ્દસમૂહ દ્વારા અપૂર્ણાંક અને મિશ્રિત સંખ્યાઓને વધુને વધુ કહીશું - તર્કસંગત સંખ્યાઓ.

પાઠ નેવિગેશન:

ઉદાહરણ 1.અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ. અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે અભિવ્યક્તિમાં આપેલ વત્તા ઓપરેશન સાઇન છે અને તે અપૂર્ણાંક પર લાગુ પડતું નથી. આ અપૂર્ણાંકનું પોતાનું વત્તા ચિહ્ન છે, જે તે લખાયેલું ન હોવાને કારણે અદ્રશ્ય છે. પરંતુ અમે તેને સ્પષ્ટતા માટે લખીશું:

આ વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરવાની જરૂર છે, અને પરિણામી જવાબ પહેલાં જેનું મોડ્યુલ મોટું છે તે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકો. અને કયું મોડ્યુલસ મોટું છે અને કયું નાનું છે તે સમજવા માટે, તમારે આ અપૂર્ણાંકોની ગણતરી કરતા પહેલા તેની મોડ્યુલીની સરખામણી કરવાની જરૂર છે:

તર્કસંગત સંખ્યાનું મોડ્યુલસ પરિમેય સંખ્યાના મોડ્યુલસ કરતા વધારે છે. તેથી, અમે માંથી બાદબાકી કરી. અમને જવાબ મળ્યો. પછી, આ અપૂર્ણાંકને 2 થી ઘટાડીને, અમને અંતિમ જવાબ મળ્યો.

કેટલીક આદિમ ક્રિયાઓ, જેમ કે કૌંસમાં સંખ્યાઓ મૂકવા અને મોડ્યુલો ઉમેરવા, છોડી શકાય છે. આ ઉદાહરણ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:

ઉદાહરણ 2.અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ. અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે તર્કસંગત સંખ્યાઓ વચ્ચેની બાદબાકી એ ક્રિયાની નિશાની છે અને તે અપૂર્ણાંકને લાગુ પડતી નથી. આ અપૂર્ણાંકનું પોતાનું વત્તા ચિહ્ન છે, જે તે લખાયેલું ન હોવાને કારણે અદ્રશ્ય છે. પરંતુ અમે તેને સ્પષ્ટતા માટે લખીશું:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ. ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે આ કરવા માટે તમારે સબટ્રેહેન્ડની વિરુદ્ધની સંખ્યાને મિન્યુએન્ડમાં ઉમેરવાની જરૂર છે:

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના મોડ્યુલો ઉમેરવાની અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકવાની જરૂર છે:

નૉૅધ.દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને કૌંસમાં બંધ કરવી જરૂરી નથી. તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં કયા ચિહ્નો છે તે સ્પષ્ટપણે જોવા માટે, આ સુવિધા માટે કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3.અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

આ અભિવ્યક્તિમાં, અપૂર્ણાંકમાં વિવિધ છેદ હોય છે. અમારું કાર્ય સરળ બનાવવા માટે, ચાલો આ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ. અમે આ કેવી રીતે કરવું તે વિશે વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં. જો તમને મુશ્કેલીઓનો અનુભવ થાય, તો પાઠનું પુનરાવર્તન કરવાની ખાતરી કરો.

અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડ્યા પછી, અભિવ્યક્તિ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

આ વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. અમે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરીએ છીએ, અને પરિણામી જવાબ પહેલાં અમે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ જેનું મોડ્યુલ મોટું છે:

ચાલો આ ઉદાહરણનો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

ઉદાહરણ 4.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો આ અભિવ્યક્તિની નીચે પ્રમાણે ગણતરી કરીએ: પરિમેય સંખ્યાઓ ઉમેરો અને, પછી પરિણામી પરિણામમાંથી પરિમેય સંખ્યાને બાદ કરો.

પ્રથમ ક્રિયા:

બીજી ક્રિયા:

ઉદાહરણ 5. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

ચાલો પૂર્ણાંક −1 ને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ, અને મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ:

અમે વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. અમે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરીએ છીએ, અને પરિણામી જવાબ પહેલાં અમે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ જેનું મોડ્યુલ મોટું છે:

અમને જવાબ મળ્યો.

બીજો ઉપાય છે. તેમાં આખા ભાગોને અલગથી એકસાથે મૂકવાનો સમાવેશ થાય છે.

તેથી, ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિ પર પાછા આવીએ:

ચાલો દરેક સંખ્યાને કૌંસમાં બંધ કરીએ. આ કરવા માટે, મિશ્રિત સંખ્યા અસ્થાયી છે:

ચાલો પૂર્ણાંક ભાગોની ગણતરી કરીએ:

(−1) + (+2) = 1

મુખ્ય અભિવ્યક્તિમાં, (−1) + (+2) ને બદલે, આપણે પરિણામી એકમ લખીએ છીએ:

પરિણામી અભિવ્યક્તિ છે. આ કરવા માટે, એકમ અને અપૂર્ણાંકને એકસાથે લખો:

ચાલો આ રીતે ટૂંકમાં ઉકેલ લખીએ:

ઉદાહરણ 6.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ. ચાલો બાકીનાને બદલ્યા વિના ફરીથી લખીએ:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

ચાલો આ ઉદાહરણનો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

ઉદાહરણ 7.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો પૂર્ણાંક −5 ને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરીએ, અને મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો આ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ. તેઓ સામાન્ય સંપ્રદાયમાં ઘટાડા પછી, તેઓ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આ સંખ્યાઓના મોડ્યુલ ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ:

આમ, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય છે.

ચાલો આ ઉદાહરણને બીજી રીતે હલ કરીએ. ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિ પર પાછા જઈએ:

ચાલો મિશ્રિત સંખ્યાને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં લખીએ. ચાલો બાકીના ફેરફારો વિના ફરીથી લખીએ:

અમે દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ છીએ:

ચાલો પૂર્ણાંક ભાગોની ગણતરી કરીએ:

મુખ્ય અભિવ્યક્તિમાં, પરિણામી સંખ્યા −7 લખવાને બદલે

અભિવ્યક્તિ એ મિશ્ર સંખ્યા લખવાનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ છે. અંતિમ જવાબ બનાવવા માટે અમે સંખ્યા −7 અને અપૂર્ણાંકને એકસાથે લખીએ છીએ:

ચાલો આ ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

ઉદાહરણ 8.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

અમે દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ છીએ:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આ સંખ્યાઓના મોડ્યુલ ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ:

તેથી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય છે

આ ઉદાહરણ બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે. તેમાં સંપૂર્ણ અને અપૂર્ણાંક ભાગોને અલગથી ઉમેરવાનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો મૂળ અભિવ્યક્તિ પર પાછા જઈએ:

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આ સંખ્યાઓના મોડ્યુલ ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ. પરંતુ આ વખતે આપણે આખા ભાગો ઉમેરીશું (−1 અને −2), બંને અપૂર્ણાંક અને

ચાલો આ ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

ઉદાહરણ 9.અભિવ્યક્તિ અભિવ્યક્તિઓ શોધો

ચાલો મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો એક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્ન સાથે કૌંસમાં જોડીએ. કૌંસમાં તર્કસંગત સંખ્યા મૂકવાની જરૂર નથી, કારણ કે તે પહેલેથી જ કૌંસમાં છે:

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આ સંખ્યાઓના મોડ્યુલ ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ:

તેથી અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય છે

હવે આ જ ઉદાહરણને બીજી રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ, એટલે કે પૂર્ણાંકો ઉમેરીને અને અપૂર્ણાંક ભાગોઅલગ.

આ વખતે, ટૂંકો ઉકેલ મેળવવા માટે, ચાલો અમુક પગલાંઓ છોડવાનો પ્રયાસ કરીએ, જેમ કે વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં મિશ્ર સંખ્યા લખવી અને બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલવી:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંક ભાગોને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડવામાં આવ્યા છે.

ઉદાહરણ 10.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

પરિણામી અભિવ્યક્તિમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોતી નથી, જે ભૂલોનું મુખ્ય કારણ છે. અને ત્યાં કોઈ નકારાત્મક સંખ્યાઓ ન હોવાથી, આપણે સબટ્રાહેન્ડની સામે વત્તા દૂર કરી શકીએ છીએ અને કૌંસને પણ દૂર કરી શકીએ છીએ:

પરિણામ એ એક સરળ અભિવ્યક્તિ છે જેની ગણતરી કરવી સરળ છે. ચાલો તેને આપણા માટે અનુકૂળ કોઈપણ રીતે ગણતરી કરીએ:

ઉદાહરણ 11.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

આ વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. ચાલો આપણે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરીએ, અને પરિણામી જવાબ પહેલા આપણે જેનું મોડ્યુલ મોટું છે તે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ:

ઉદાહરણ 12.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

અભિવ્યક્તિમાં અનેક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. અનુસાર, સૌ પ્રથમ તમારે કૌંસમાં પગલાં ભરવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, અમે અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી અમે પ્રાપ્ત પરિણામો ઉમેરીએ છીએ.

પ્રથમ ક્રિયા:

બીજી ક્રિયા:

ત્રીજી ક્રિયા:

જવાબ:અભિવ્યક્તિ મૂલ્ય બરાબર

ઉદાહરણ 13.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્ન સાથે કૌંસમાં મૂકીએ. કૌંસમાં તર્કસંગત સંખ્યા મૂકવાની જરૂર નથી, કારણ કે તે પહેલેથી જ કૌંસમાં છે:

ચાલો આ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ. તેઓ સામાન્ય સંપ્રદાયમાં ઘટાડા પછી, તેઓ નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

અમે વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આપણે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરીએ, અને પરિણામી જવાબ પહેલા આપણે જેનું મોડ્યુલ મોટું છે તે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ:

આમ, અભિવ્યક્તિનો અર્થ બરાબર

ચાલો દશાંશને સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ, જે તર્કસંગત સંખ્યાઓ પણ છે અને તે ધન કે નકારાત્મક હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 14.અભિવ્યક્તિ −3.2 + 4.3 ની કિંમત શોધો

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ. અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે અભિવ્યક્તિમાં આપેલ વત્તા એ ઓપરેશન ચિહ્ન છે અને તે દશાંશ અપૂર્ણાંક 4.3 પર લાગુ પડતું નથી. આ દશાંશ અપૂર્ણાંકનું પોતાનું વત્તા ચિહ્ન છે, જે તે લખાયેલું ન હોવાને કારણે અદ્રશ્ય છે. પરંતુ અમે તેને સ્પષ્ટતા માટે લખીશું:

(−3,2) + (+4,3)

આ વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદબાકી કરવાની જરૂર છે અને પરિણામી જવાબ પહેલાં જેનું મોડ્યુલ મોટું છે તે તર્કસંગત સંખ્યા મૂકો. અને કયું મોડ્યુલ મોટું છે અને કયું નાનું છે તે સમજવા માટે, તમારે આ દશાંશ અપૂર્ણાંકના મોડ્યુલોની ગણતરી કરતા પહેલા તેની સરખામણી કરવાની જરૂર છે:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

નંબર 4.3 નું મોડ્યુલસ −3.2 નંબરના મોડ્યુલસ કરતા વધારે છે, તેથી આપણે 4.3 માંથી 3.2 બાદ કરીએ છીએ. અમને જવાબ 1.1 મળ્યો. જવાબ સકારાત્મક છે, કારણ કે જેનું મોડ્યુલસ વધારે છે તે તર્કસંગત સંખ્યાના ચિહ્ન દ્વારા જવાબ પહેલા હોવો જોઈએ. અને નંબર 4.3 નું મોડ્યુલસ −3.2 નંબરના મોડ્યુલસ કરતા વધારે છે

આમ, અભિવ્યક્તિ −3.2 + (+4.3) ની કિંમત 1.1 છે

−3,2 + (+4,3) = 1,1

ઉદાહરણ 15. 3.5 + (−8.3) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

આ વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, આપણે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાનાને બાદ કરીએ છીએ અને જવાબ આપતા પહેલા આપણે તર્કસંગત સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ છીએ જેનું મોડ્યુલ મોટું છે:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

આમ, 3.5 + (−8.3) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય −4.8 છે

આ ઉદાહરણ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:

3,5 + (−8,3) = −4,8

ઉદાહરણ 16.અભિવ્યક્તિની કિંમત −7.2 + (−3.11) શોધો

આ નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટે, તમારે તેમના મોડ્યુલો ઉમેરવાની અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકવાની જરૂર છે.

તમે મોડ્યુલો સાથે એન્ટ્રીને છોડી શકો છો જેથી અભિવ્યક્તિમાં ગડબડ ન થાય:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

આમ, −7.2 + (−3.11) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય −10.31 છે.

આ ઉદાહરણ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

ઉદાહરણ 17.અભિવ્યક્તિની કિંમત −0.48 + (−2.7) શોધો

આ નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો છે. ચાલો તેમના મોડ્યુલો ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ. તમે મોડ્યુલો સાથે એન્ટ્રીને છોડી શકો છો જેથી અભિવ્યક્તિમાં ગડબડ ન થાય:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

ઉદાહરણ 18.−4.9 − 5.9 અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ. અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ કે બાદબાકી, જે તર્કસંગત સંખ્યાઓ −4.9 અને 5.9 વચ્ચે સ્થિત છે, તે એક ઓપરેશન સાઇન છે અને તે 5.9 નંબર સાથે સંબંધિત નથી. આ તર્કસંગત સંખ્યાનું પોતાનું વત્તા ચિહ્ન છે, જે તે લખાયેલ ન હોવાને કારણે અદ્રશ્ય છે. પરંતુ અમે તેને સ્પષ્ટતા માટે લખીશું:

(−4,9) − (+5,9)

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

(−4,9) + (−5,9)

અમે નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો તેમના મોડ્યુલો ઉમેરીએ અને પરિણામી જવાબની સામે માઈનસ મૂકીએ:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

આમ, અભિવ્યક્તિ −4.9 − 5.9 નું મૂલ્ય −10.8 છે

−4,9 − 5,9 = −10,8

ઉદાહરણ 19.અભિવ્યક્તિ 7 − 9.3 ની કિંમત શોધો

ચાલો દરેક સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં મૂકીએ.

(+7) − (+9,3)

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

આમ, અભિવ્યક્તિ 7 − 9.3 નું મૂલ્ય −2.3 છે

ચાલો આ ઉદાહરણનો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

7 − 9,3 = −2,3

ઉદાહરણ 20.−0.25 − (−1.2) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો બાદબાકીને સરવાળા સાથે બદલીએ:

−0,25 + (+1,2)

અમે વિવિધ ચિહ્નો સાથે તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ઉમેરો મેળવ્યો. ચાલો આપણે મોટા મોડ્યુલમાંથી નાના મોડ્યુલને બાદ કરીએ, અને જવાબ પહેલા આપણે જેનું મોડ્યુલ મોટું છે તે સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકીએ:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

ચાલો આ ઉદાહરણનો ઉકેલ ટૂંકમાં લખીએ:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

ઉદાહરણ 21.−3.5 + (4.1 − 7.1) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરીએ, પછી પરિણામી જવાબને −3.5 નંબર સાથે ઉમેરીએ

પ્રથમ ક્રિયા:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

બીજી ક્રિયા:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

જવાબ:−3.5 + (4.1 − 7.1) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય −6.5 છે.

ઉદાહરણ 22.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)

ચાલો કૌંસમાં પગલાંઓ કરીએ. પછી પ્રથમ કૌંસ ચલાવવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યામાંથી, બીજા કૌંસને ચલાવવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યાને બાદ કરો:

પ્રથમ ક્રિયા:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

બીજી ક્રિયા:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

ત્રીજું કાર્ય

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

જવાબ:અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) 6 છે.

ઉદાહરણ 23.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

ચાલો દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને તેના ચિહ્નો સાથે કૌંસમાં બંધ કરીએ

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં સરવાળા સાથે બાદબાકીને બદલીએ:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

અભિવ્યક્તિમાં અનેક પદોનો સમાવેશ થાય છે. ઉમેરાના સંયુક્ત કાયદા અનુસાર, જો અભિવ્યક્તિમાં અનેક પદો હોય, તો સરવાળો ક્રિયાઓના ક્રમ પર આધારિત રહેશે નહીં. આનો અર્થ એ છે કે શરતો કોઈપણ ક્રમમાં ઉમેરી શકાય છે.

ચાલો વ્હીલને પુનઃશોધ ન કરીએ, પરંતુ તે દેખાય તે ક્રમમાં ડાબેથી જમણે તમામ શરતો ઉમેરો:

પ્રથમ ક્રિયા:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

બીજી ક્રિયા:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

ત્રીજી ક્રિયા:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

જવાબ:અભિવ્યક્તિ −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 ની કિંમત 1 છે.

ઉદાહરણ 24.અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

ચાલો અનુવાદ કરીએ દશાંશ−1.8 મિશ્ર સંખ્યામાં. ચાલો બાકીનાને બદલ્યા વિના ફરીથી લખીએ: