ફેડરલ એજન્સી ફોર એજ્યુકેશન

રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા

ઉચ્ચ વ્યાવસાયિક શિક્ષણ

"વોરોનેઝ સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટી"

એગલેબ્રા અને ભૂમિતિ વિભાગ

જટિલ સંખ્યાઓ

(પસંદ કરેલ કાર્યો)

ગ્રેજ્યુએટ લાયકાતનું કાર્ય

વિશેષતા 050201.65 ગણિત

(વધારાની વિશેષતા 050202.65 કોમ્પ્યુટર સાયન્સ સાથે)

આના દ્વારા પૂર્ણ: 5મા વર્ષના વિદ્યાર્થી

ભૌતિક અને ગાણિતિક

ફેકલ્ટી

વૈજ્ઞાનિક સલાહકાર:

વોરોનેઝ - 2008

1. પરિચય……………………………………………………...…………..…

2. જટિલ સંખ્યાઓ (પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ)

2.1. માં જટિલ સંખ્યાઓ બીજગણિત સ્વરૂપ….……...……….….

2.2. જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન…………..…

2.3. જટિલ સંખ્યાઓનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ

2.4. 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોના ઉકેલ માટે જટિલ સંખ્યાઓના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ………………………………………………………………………

2.5. જટિલ સંખ્યાઓ અને પરિમાણો ………………………………………….

3. નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………….

4. સંદર્ભોની યાદી………………………………………………………

1. પરિચય

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, સંખ્યા સિદ્ધાંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પૂર્ણાંકો, તર્કસંગત, અતાર્કિક, એટલે કે સમૂહોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર, જેની છબીઓ સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા ભરે છે. પરંતુ પહેલેથી જ 8મા ધોરણમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો પૂરતો પુરવઠો નથી, નકારાત્મક ભેદભાવ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલે છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાઓની મદદથી વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સ્ટોકને ફરી ભરવું જરૂરી હતું, જેના માટે વર્ગમૂળથી નકારાત્મક સંખ્યાઅર્થ ધરાવે છે.

મારા ગ્રેજ્યુએશન વિષય તરીકે "જટિલ સંખ્યાઓ" વિષય પસંદ કરી રહ્યા છીએ લાયકાતનું કામ, એ છે કે જટિલ સંખ્યાની વિભાવના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા પ્રણાલીઓ વિશે, બીજગણિત અને ભૌમિતિક સામગ્રીની વિશાળ શ્રેણીની સમસ્યાઓના ઉકેલ વિશે, ઉકેલ વિશેના જ્ઞાનને વિસ્તૃત કરે છે. બીજગણિતીય સમીકરણોકોઈપણ ડિગ્રી અને પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા વિશે.

આ થીસીસ 82 સમસ્યાઓના ઉકેલની તપાસ કરે છે.

મુખ્ય વિભાગ "જટિલ સંખ્યાઓ" ના પ્રથમ ભાગમાં સમસ્યાઓના ઉકેલો છે જટિલ સંખ્યાઓબીજગણિત સ્વરૂપમાં, સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ માટે જોડાણની ક્રિયા, કાલ્પનિક એકમની શક્તિ, જટિલ સંખ્યાના મોડ્યુલસને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને વર્ગમૂળ કાઢવાનો નિયમ એક જટિલ સંખ્યા પણ દર્શાવેલ છે.

બીજા ભાગમાં, જટિલ સમતલના બિંદુઓ અથવા વેક્ટરના સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓના ભૌમિતિક અર્થઘટન પરની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે.

ત્રીજો ભાગ ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ પરની કામગીરીની તપાસ કરે છે. ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો છે: Moivre અને જટિલ સંખ્યાના મૂળને કાઢવા.

ચોથો ભાગ 3 જી અને 4 થી ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સમર્પિત છે.

છેલ્લા ભાગમાં સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, "જટિલ સંખ્યાઓ અને પરિમાણો," અગાઉના ભાગોમાં આપેલી માહિતીનો ઉપયોગ અને એકીકૃત કરવામાં આવે છે. પ્રકરણમાં સમસ્યાઓની શ્રેણી પરિમાણ સાથે સમીકરણો (અસમાનતાઓ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત જટિલ પ્લેનમાં રેખાઓના પરિવારો નક્કી કરવા માટે સમર્પિત છે. કસરતના ભાગમાં તમારે પરિમાણ (ફિલ્ડ C પર) સાથે સમીકરણો ઉકેલવાની જરૂર છે. એવા કાર્યો છે જ્યાં એક જટિલ ચલ વારાફરતી સંખ્યાબંધ શરતોને સંતોષે છે. આ વિભાગમાં સમસ્યાઓ હલ કરવાની એક વિશેષ વિશેષતા એ છે કે તેમાંના ઘણાને પેરામીટર સાથે અતાર્કિક, ત્રિકોણમિતિના બીજા ડિગ્રીના સમીકરણો (અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો) ના ઉકેલમાં ઘટાડી શકાય છે.

દરેક ભાગમાં સામગ્રીની રજૂઆતનું લક્ષણ એ પ્રારંભિક ઇનપુટ છે સૈદ્ધાંતિક પાયા, અને ત્યારબાદ સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં તેમનો વ્યવહારુ ઉપયોગ.

અંતમાં થીસીસવપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ પ્રસ્તુત છે. તેમાંના મોટા ભાગના સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને પૂરતી વિગતમાં અને સુલભ રીતે રજૂ કરે છે, કેટલીક સમસ્યાઓના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લે છે અને આપે છે. વ્યવહારુ કાર્યોમાટે સ્વતંત્ર નિર્ણય. ખાસ ધ્યાનહું આવા સ્ત્રોતોનો સંદર્ભ લેવા માંગુ છું:

1. ગોર્ડિએન્કો N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. જટિલ સંખ્યાઓ અને તેમના કાર્યક્રમો: પાઠ્યપુસ્તક. . સામગ્રી શિક્ષણ સહાયપ્રવચનો અને વ્યવહારુ કસરતોના રૂપમાં પ્રસ્તુત.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. પ્રાથમિક ગણિતની પસંદગીની સમસ્યાઓ અને પ્રમેય. અંકગણિત અને બીજગણિત. પુસ્તકમાં બીજગણિત, અંકગણિત અને સંખ્યા સિદ્ધાંતને લગતી 320 સમસ્યાઓ છે. આ કાર્યો પ્રમાણભૂત શાળાના કાર્યો કરતાં પ્રકૃતિમાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે.

2. જટિલ સંખ્યાઓ (પસંદ કરેલી સમસ્યાઓ)

2.1. બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાઓ

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રની ઘણી સમસ્યાઓનો ઉકેલ બીજગણિતીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે આવે છે, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો

,

જ્યાં a0, a1, …, an વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તેથી, બીજગણિત સમીકરણોનો અભ્યાસ એમાંથી એક છે જટિલ મુદ્દાઓગણિતમાં. ઉદાહરણ તરીકે, સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ નકારાત્મક ભેદભાવ. આવું સૌથી સરળ સમીકરણ એ સમીકરણ છે

.

આ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવવા માટે, તેમાં સમીકરણનું મૂળ ઉમેરીને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને વિસ્તૃત કરવો જરૂરી છે.

.

ચાલો આ રુટને વડે દર્શાવીએ

. આમ, વ્યાખ્યા દ્વારા, અથવા,

તેથી,

. કાલ્પનિક એકમ કહેવાય છે. તેની મદદથી અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડીની મદદથી, ફોર્મની અભિવ્યક્તિ સંકલિત કરવામાં આવે છે.

પરિણામી અભિવ્યક્તિને જટિલ સંખ્યાઓ કહેવાતી કારણ કે તેમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગો હતા.

તેથી, જટિલ સંખ્યાઓ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે

, અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને ચોક્કસ પ્રતીક છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે. સંખ્યાને જટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા તેનો કાલ્પનિક ભાગ છે. પ્રતીકો , તેમને દર્શાવવા માટે વપરાય છે.

ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને તેથી, જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય છે.

ફોર્મની જટિલ સંખ્યાઓ

કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે. ફોર્મની બે જટિલ સંખ્યાઓ અને જો તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય તો સમાન હોવાનું કહેવાય છે, એટલે કે. જો સમાનતા , .

જટિલ સંખ્યાઓનું બીજગણિતીય સંકેત બીજગણિતના સામાન્ય નિયમો અનુસાર તેમના પર કામગીરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેઓ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો નીચેની સમસ્યા હલ કરીએ:

ગણતરી કરો \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] જો \

સૌ પ્રથમ, ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે એક સંખ્યા બીજગણિત સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, બીજી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં. તેને સરળ બનાવવાની અને નીચેના ફોર્મમાં લાવવાની જરૂર છે

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

અભિવ્યક્તિ \ કહે છે કે સૌ પ્રથમ આપણે મોઇવર ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને 10મી ઘાત સુધી ગુણાકાર અને વધારો કરીએ છીએ. આ સૂત્ર જટિલ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ માટે ઘડવામાં આવ્યું છે. અમને મળે છે:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

જટિલ સંખ્યાઓને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવાના નિયમોને અનુસરીને, અમે નીચે મુજબ કરીએ છીએ:

અમારા કિસ્સામાં:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

અપૂર્ણાંક \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ને સાચો બનાવતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આપણે 4 વળાંકને "ટ્વિસ્ટ" કરી શકીએ છીએ \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

જવાબ: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

આ સમીકરણને બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે, જે બીજગણિત સ્વરૂપમાં 2જી સંખ્યા લાવવા માટે ઉકળે છે, પછી બીજગણિત સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરે છે, પરિણામને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરે છે અને મોઇવરનું સૂત્ર લાગુ કરે છે:

હું જટિલ સંખ્યાઓ સાથેના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઓનલાઈન ક્યાં ઉકેલી શકું?

તમે અમારી વેબસાઇટ https://site પર સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો. મફત ઓનલાઈન સોલ્વર તમને કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણોને સેકન્ડોની બાબતમાં ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે વિડિઓ સૂચનાઓ પણ જોઈ શકો છો અને અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે શીખી શકો છો. અને જો તમને હજુ પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથ http://vk.com/pocketteacher માં પૂછી શકો છો. અમારા જૂથમાં જોડાઓ, અમે તમને મદદ કરવામાં હંમેશા ખુશ છીએ.

જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, તમારે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ સમજવાની જરૂર છે. આ સમીક્ષા લેખનો મુખ્ય ધ્યેય જટિલ સંખ્યાઓ શું છે તે સમજાવવાનો છે અને જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની મૂળભૂત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ રજૂ કરવાનો છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાને ફોર્મની સંખ્યા કહેવામાં આવશે z = a + bi, ક્યાં a, b- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેને અનુક્રમે જટિલ સંખ્યાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો કહેવામાં આવે છે અને સૂચિત કરે છે a = Re(z), b=Im(z).
iકાલ્પનિક એકમ કહેવાય છે. i 2 = -1. ખાસ કરીને, કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાને જટિલ ગણી શકાય: a = a + 0i, જ્યાં a વાસ્તવિક છે. જો a = 0અને b ≠ 0, તો પછી સંખ્યા સામાન્ય રીતે કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે.

હવે જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ રજૂ કરીએ.
બે જટિલ સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો z 1 = a 1 + b 1 iઅને z 2 = a 2 + b 2 i.

ચાલો વિચાર કરીએ z = a + bi.

જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહને વિસ્તૃત કરે છે, જે બદલામાં સમૂહને વિસ્તૃત કરે છે તર્કસંગત સંખ્યાઓવગેરે રોકાણની આ સાંકળ આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે: N – પૂર્ણાંક, Z - પૂર્ણાંકો, Q - તર્કસંગત, R - વાસ્તવિક, C - જટિલ.

જટિલ સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ

બીજગણિત સંકેત.

જટિલ સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો z = a + bi, જટિલ સંખ્યા લખવાના આ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે બીજગણિત. અમે અગાઉના વિભાગમાં રેકોર્ડિંગના આ સ્વરૂપની વિગતવાર ચર્ચા કરી છે. નીચેના વિઝ્યુઅલ ડ્રોઇંગનો ઉપયોગ ઘણી વાર થાય છે

ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ.

આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે સંખ્યા z = a + biઅલગ રીતે લખી શકાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, તેથી z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવાય છે. જટિલ સંખ્યાની આ રજૂઆત કહેવાય છે ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ. સંકેતનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ ક્યારેક ખૂબ અનુકૂળ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જટિલ સંખ્યાને પૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવા માટે તેનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, એટલે કે, જો z = rcos(φ) + rsin(φ)i, તે z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, આ સૂત્ર કહેવાય છે મોઇવરનું સૂત્ર.

નિદર્શન સ્વરૂપ.

ચાલો વિચાર કરીએ z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યા, તેને બીજા સ્વરૂપમાં લખો z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, છેલ્લી સમાનતા યુલરના સૂત્રને અનુસરે છે, તેથી આપણે મેળવીએ છીએ નવો ગણવેશજટિલ સંખ્યા સંકેત: z = re iφ, જેને કહેવામાં આવે છે સૂચક. સંકેતનું આ સ્વરૂપ જટિલ સંખ્યાને પાવરમાં વધારવા માટે પણ ખૂબ અનુકૂળ છે: z n = r n e inφ, અહીં nપૂર્ણાંક જરૂરી નથી, પરંતુ એક મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે. નોટેશનના આ સ્વરૂપનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે.

ઉચ્ચ બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય

ચાલો કલ્પના કરીએ કે આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 + x + 1 = 0 છે. દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો ભેદભાવ નકારાત્મક છે અને તેના કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, પરંતુ તે તારણ આપે છે કે આ સમીકરણ બે અલગ અલગ જટિલ મૂળ ધરાવે છે. તેથી, ઉચ્ચ બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે ડિગ્રી n ના કોઈપણ બહુપદીમાં ઓછામાં ઓછું એક જટિલ મૂળ હોય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે ડિગ્રી n ની કોઈપણ બહુપદીમાં બરાબર n જટિલ મૂળ હોય છે, તેમની ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા. આ પ્રમેય ગણિતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ છે અને તેનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ પ્રમેયનો એક સરળ પરિણામ એ છે કે ત્યાં બરાબર n છે વિવિધ મૂળએકતાની ડિગ્રી.

મુખ્ય પ્રકારનાં કાર્યો

આ વિભાગ મુખ્ય પ્રકારોને આવરી લેશે સરળ કાર્યોજટિલ સંખ્યાઓ માટે. પરંપરાગત રીતે, જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓને નીચેની શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.

• જટિલ સંખ્યાઓ પર સરળ અંકગણિત કામગીરી કરવી.
• જટિલ સંખ્યાઓમાં બહુપદીના મૂળ શોધવા.
• જટિલ સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારવી.
• જટિલ સંખ્યાઓમાંથી મૂળ કાઢવા.
• અન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવો.

હવે વિચાર કરીએ સામાન્ય તકનીકોઆ સમસ્યાઓના ઉકેલો.

જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની સૌથી સરળ અંકગણિત ક્રિયાઓ પ્રથમ વિભાગમાં વર્ણવેલ નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે, પરંતુ જો જટિલ સંખ્યાઓ ત્રિકોણમિતિ અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, તો આ કિસ્સામાં તમે તેમને બીજગણિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકો છો અને જાણીતા નિયમો અનુસાર કામગીરી કરી શકો છો.

બહુપદીના મૂળ શોધવાનું સામાન્ય રીતે મૂળ શોધવામાં આવે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ. ધારો કે આપણી પાસે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જો તેનો ભેદભાવ બિન-નકારાત્મક હોય, તો તેના મૂળ વાસ્તવિક હશે અને જાણીતા સૂત્ર અનુસાર શોધી શકાય છે. જો ભેદભાવ નકારાત્મક છે, એટલે કે, D = -1∙a 2, ક્યાં aચોક્કસ સંખ્યા છે, તો પછી ભેદભાવકર્તાને તરીકે રજૂ કરી શકાય છે D = (ia) 2, તેથી √D = i|a|, અને પછી તમે ઉપયોગ કરી શકો છો જાણીતું સૂત્રચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે.

ઉદાહરણ. ચાલો ઉપર દર્શાવેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ પર પાછા જઈએ x 2 + x + 1 = 0.
ભેદભાવ કરનાર - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
હવે આપણે સરળતાથી મૂળ શોધી શકીએ છીએ:

જટિલ સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારવી ઘણી રીતે કરી શકાય છે. જો તમારે બીજગણિત સ્વરૂપમાં જટિલ સંખ્યાને નાની શક્તિ (2 અથવા 3) સુધી વધારવાની જરૂર હોય, તો તમે આ સીધા ગુણાકાર દ્વારા કરી શકો છો, પરંતુ જો શક્તિ મોટી હોય (સમસ્યાઓમાં તે ઘણી વખત ઘણી મોટી હોય છે), તો તમારે આ સંખ્યાને ત્રિકોણમિતિ અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો અને પહેલાથી જાણીતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરો.

ઉદાહરણ. z = 1 + i ને ધ્યાનમાં લો અને તેને દસમા ઘાતમાં વધારો.
ચાલો z ને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખીએ: z = √2 e iπ/4.
પછી z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
ચાલો બીજગણિત સ્વરૂપ પર પાછા આવીએ: z 10 = -32i.

જટિલ સંખ્યાઓમાંથી મૂળ કાઢવા એ ઘાતીકરણની વ્યસ્ત ક્રિયા છે અને તેથી તે સમાન રીતે કરવામાં આવે છે. મૂળ કાઢવા માટે, સંખ્યા લખવાના ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ. ચાલો એકતાની ડિગ્રી 3 ના બધા મૂળ શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે સમીકરણ z 3 = 1 ના તમામ મૂળ શોધીશું, આપણે ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં મૂળ શોધીશું.
ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ: r 3 e 3iφ = 1 અથવા r 3 e 3iφ = e 0 .
તેથી: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, તેથી φ = 2πk/3.
વિવિધ મૂળ φ = 0, 2π/3, 4π/3 પર મેળવવામાં આવે છે.
તેથી 1, e i2π/3, e i4π/3 મૂળ છે.
અથવા બીજગણિત સ્વરૂપમાં:

છેલ્લા પ્રકારની સમસ્યાઓમાં વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે અને તેમને હલ કરવા માટે કોઈ સામાન્ય પદ્ધતિઓ નથી. ચાલો આવા કાર્યનું એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ:

રકમ શોધો sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

જો કે આ સમસ્યાની રચનામાં જટિલ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ તેની મદદથી તેને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. તેને હલ કરવા માટે, નીચેની રજૂઆતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:


જો આપણે હવે આ રજૂઆતને સરવાળામાં બદલીએ, તો સમસ્યા સામાન્ય ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો કરવા માટે ઘટી જાય છે.

નિષ્કર્ષ

જટિલ સંખ્યાઓનો ગણિતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, આ સમીક્ષા લેખ જટિલ સંખ્યાઓ પર મૂળભૂત કામગીરીની તપાસ કરે છે, વિવિધ પ્રકારની પ્રમાણભૂત સમસ્યાઓનું વર્ણન કરે છે અને ટૂંકમાં વર્ણન કરે છે. સામાન્ય પદ્ધતિઓતેમના ઉકેલો, જટિલ સંખ્યાઓની ક્ષમતાઓના વધુ વિગતવાર અભ્યાસ માટે, વિશિષ્ટ સાહિત્યનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

સાહિત્ય

સમીકરણો, સમીકરણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમો
જટિલ સંખ્યાઓ સાથે

આજે વર્ગમાં આપણે જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની લાક્ષણિક ક્રિયાઓની પ્રેક્ટિસ કરીશું, અને આ સંખ્યાઓ ધરાવતા સમીકરણો, સમીકરણો અને સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવાની તકનીકમાં પણ નિપુણતા મેળવીશું. આ વર્કશોપ એ પાઠનો સિલસિલો છે, અને તેથી જો તમે વિષયમાં સારી રીતે વાકેફ નથી, તો કૃપા કરીને ઉપરની લિંકને અનુસરો. સારું, વધુ તૈયાર વાચકો માટે હું સૂચન કરું છું કે તમે તરત જ ગરમ થઈ જાઓ:

ઉદાહરણ 1

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો , જો . ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં પરિણામનું પ્રતિનિધિત્વ કરો અને તેને જટિલ પ્લેન પર પ્લોટ કરો.

ઉકેલ: તેથી, તમારે અપૂર્ણાંકને "ભયંકર" અપૂર્ણાંકમાં બદલવાની જરૂર છે, સરળીકરણો હાથ ધરવા અને પરિણામને કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે જટિલ સંખ્યા વી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ . વત્તા એક ચિત્ર.

નિર્ણયને ઔપચારિક બનાવવાની શ્રેષ્ઠ રીત કઈ છે? "સુસંસ્કૃત" સાથે બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિતેને પગલું દ્વારા સમજવું વધુ સારું છે. પ્રથમ, ધ્યાન ઓછું વિચલિત થાય છે, અને બીજું, જો કાર્ય સ્વીકારવામાં ન આવે, તો ભૂલ શોધવાનું વધુ સરળ બનશે.

1) પ્રથમ, ચાલો અંશને સરળ બનાવીએ. ચાલો તેમાં મૂલ્યને બદલીએ, કૌંસ ખોલીએ અને હેરસ્ટાઇલને ઠીક કરીએ:

...હા, આવા ક્વાસિમોડો જટિલ સંખ્યાઓમાંથી આવ્યા છે...

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે પરિવર્તન દરમિયાન, સંપૂર્ણપણે સરળ વસ્તુઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - બહુપદીના ગુણાકારનો નિયમ અને સમાનતા જે પહેલાથી જ મામૂલી બની ગઈ છે. મુખ્ય વસ્તુ સાવચેત રહેવાની છે અને ચિહ્નો દ્વારા મૂંઝવણમાં ન આવવાની છે.

2) હવે છેદ આવે છે. તો પછી:

તે કયા અસામાન્ય અર્થઘટનમાં વપરાય છે તેના પર ધ્યાન આપો ચોરસ સરવાળો સૂત્ર . વૈકલ્પિક રીતે, તમે અહીં ફરીથી ગોઠવણી કરી શકો છો સબફોર્મ્યુલા પરિણામો સ્વાભાવિક રીતે સમાન હશે.

3) અને અંતે, સમગ્ર અભિવ્યક્તિ. તો પછી:

અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, છેદના સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો. તે જ સમયે, એપ્લિકેશનના હેતુઓ માટે ચોરસ તફાવત સૂત્રો પ્રથમ જોઈએ (અને પહેલેથી જ આવશ્યક છે!)નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગને બીજા સ્થાને મૂકો:

અને હવે મુખ્ય નિયમ:

અમે કોઈ ઉતાવળમાં નથી! તેને સુરક્ષિત વગાડવું અને વધારાનું પગલું ભરવું વધુ સારું છે.
અભિવ્યક્તિઓ, સમીકરણો અને જટિલ સંખ્યાઓ સાથેની સિસ્ટમોમાં, અહંકારી મૌખિક ગણતરીઓ ક્યારેય કરતાં વધુ ભરપૂર!

અંતિમ પગલામાં સારો ઘટાડો થયો હતો અને તે માત્ર એક મહાન સંકેત છે.

નૉૅધ : કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અહીં જટિલ સંખ્યા 50 દ્વારા જટિલ સંખ્યાનું વિભાજન થયું છે (તે યાદ રાખો). હું અત્યાર સુધી આ ઉપદ્રવ વિશે મૌન છું, અને અમે તેના વિશે થોડી વાર પછી વાત કરીશું.

ચાલો પત્ર વડે આપણી સિદ્ધિ દર્શાવીએ

ચાલો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપે મેળવેલ પરિણામ રજૂ કરીએ. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અહીં તમે ડ્રોઇંગ વિના કરી શકો છો, પરંતુ તે જરૂરી હોવાથી, તે હમણાં કરવું કંઈક વધુ તર્કસંગત છે:

ચાલો જટિલ સંખ્યાના મોડ્યુલસની ગણતરી કરીએ:

જો તમે 1 એકમના સ્કેલ પર દોરો. = 1 સેમી (2 નોટબુક કોષો), પછી પ્રાપ્ત મૂલ્ય નિયમિત શાસકનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ચકાસી શકાય છે.

ચાલો એક દલીલ શોધીએ. નંબર 2જી કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટરમાં સ્થિત હોવાથી, પછી:

કોણ સરળતાથી પ્રોટ્રેક્ટર સાથે ચકાસી શકાય છે. આ ડ્રોઇંગનો અસંદિગ્ધ ફાયદો છે.

આમ: – ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં જરૂરી સંખ્યા.

ચાલો તપાસીએ:
, જે ચકાસવાની જરૂર હતી.

સાઈન અને કોસાઈનનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા મૂલ્યો શોધવાનું અનુકૂળ છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક .

જવાબ આપો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમાન ઉદાહરણ:

ઉદાહરણ 2

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો , ક્યાં . જટિલ સમતલ પર પરિણામી સંખ્યા દોરો અને તેને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખો.

ટ્યુટોરિયલ્સ ન છોડવાનો પ્રયાસ કરો. તેઓ સરળ લાગે છે, પરંતુ તાલીમ વિના, "ખાંડમાં પ્રવેશવું" માત્ર સરળ નથી, પણ ખૂબ જ સરળ છે. તેથી, અમે "તેના પર અમારા હાથ મેળવીએ છીએ."

ઘણીવાર સમસ્યામાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય છે:

ઉદાહરણ 3

ગણતરી કરો જો,

ઉકેલ: સૌ પ્રથમ, ચાલો મૂળ સ્થિતિ પર ધ્યાન આપીએ - એક સંખ્યા બીજગણિતમાં રજૂ કરવામાં આવી છે, અને બીજી ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં, અને તે પણ ડિગ્રી સાથે. ચાલો તરત જ તેને વધુ પરિચિત સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ: .

ગણતરીઓ કયા સ્વરૂપમાં થવી જોઈએ? અભિવ્યક્તિમાં દેખીતી રીતે પ્રથમ ગુણાકાર અને 10મી ઘાત સુધી આગળ વધારવાનો સમાવેશ થાય છે મોઇવરનું સૂત્ર , જે જટિલ સંખ્યાના ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ માટે ઘડવામાં આવે છે. તેથી પ્રથમ નંબરને કન્વર્ટ કરવું વધુ તાર્કિક લાગે છે. ચાલો તેનું મોડ્યુલ અને દલીલ શોધીએ:

જટિલ સંખ્યાઓને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવા માટે અમે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
તો પછી

અપૂર્ણાંકને સાચો બનાવીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આપણે 4 વળાંકને "ટ્વિસ્ટ" કરી શકીએ છીએ (ખુશ.):

બીજો ઉકેલ 2જી સંખ્યાને બીજગણિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવી છે , બીજગણિત સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરો, પરિણામને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો અને મોઇવરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ત્યાં એક "વધારાની" ક્રિયા છે. જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ નિર્ણય સાથે અનુસરી શકે છે અને ખાતરી કરી શકે છે કે પરિણામો સમાન છે.

શરત અંતિમ જટિલ સંખ્યાના સ્વરૂપ વિશે કશું કહેતી નથી, તેથી:

જવાબ આપો:

પરંતુ "સુંદરતા માટે" અથવા માંગ પર, પરિણામ બીજગણિત સ્વરૂપમાં કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી:

પોતાના પર:

ઉદાહરણ 4

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો

અહીં આપણે યાદ રાખવાની જરૂર છે ડિગ્રી સાથે ક્રિયાઓ , જોકે એક ઉપયોગી નિયમતે મેન્યુઅલમાં નથી, તે અહીં છે: .

અને એક વધુ મહત્વની નોંધ: ઉદાહરણ બે શૈલીમાં ઉકેલી શકાય છે. પ્રથમ વિકલ્પ સાથે કામ કરવાનો છે બેસંખ્યાઓ અને અપૂર્ણાંક સાથે ઠીક છે. બીજો વિકલ્પ દરેક સંખ્યાને આ રીતે રજૂ કરવાનો છે બે સંખ્યાઓનો ભાગ: અને ચાર માળની રચનાથી છુટકારો મેળવો . ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી, તમે કેવી રીતે નક્કી કરો છો તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, પરંતુ એક નોંધપાત્ર તફાવત છે! કૃપા કરીને કાળજીપૂર્વક વિચારો:
જટિલ સંખ્યા છે;
બે જટિલ સંખ્યાઓ ( અને ) નું અવશેષ છે, પરંતુ સંદર્ભના આધારે, તમે આ પણ કહી શકો છો: બે જટિલ સંખ્યાઓના અવશેષ તરીકે રજૂ કરાયેલ સંખ્યા.

ઝડપી ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

અભિવ્યક્તિઓ સારી છે, પરંતુ સમીકરણો વધુ સારા છે:

જટિલ ગુણાંક સાથેના સમીકરણો

તેઓ કેવી રીતે અલગ છે "સામાન્ય" સમીકરણો? મતભેદ =)

ઉપરોક્ત ટિપ્પણીના પ્રકાશમાં, ચાલો આ ઉદાહરણથી શરૂઆત કરીએ:

ઉદાહરણ 5

સમીકરણ ઉકેલો

અને તાત્કાલિક પ્રસ્તાવના "હીલ્સ પર ગરમ": શરૂઆતમાં જમણો ભાગસમીકરણ બે જટિલ સંખ્યાઓ (અને 13) ના અવશેષ તરીકે સ્થિત છે, અને તેથી સંખ્યા સાથે સ્થિતિને ફરીથી લખવાનું ખરાબ સ્વરૂપ હશે (જોકે આનાથી ભૂલ થશે નહીં). આ તફાવત, માર્ગ દ્વારા, અપૂર્ણાંકમાં વધુ સ્પષ્ટ રીતે દેખાય છે - જો, પ્રમાણમાં કહીએ તો, આ મૂલ્ય મુખ્યત્વે તરીકે સમજવામાં આવે છે સમીકરણનું "સંપૂર્ણ" જટિલ મૂળ, અને સંખ્યાના વિભાજક તરીકે નહીં, અને ખાસ કરીને સંખ્યાના ભાગ તરીકે નહીં!

ઉકેલ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, પગલું દ્વારા પણ ગોઠવી શકાય છે, પરંતુ માં આ બાબતેરમત મીણબત્તી વર્થ નથી. પ્રારંભિક કાર્ય એ દરેક વસ્તુને સરળ બનાવવાનું છે જેમાં અજ્ઞાત "z" શામેલ નથી, પરિણામે સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટે છે:

અમે વિશ્વાસપૂર્વક મધ્યમ અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવીએ છીએ:

અમે પરિણામને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ અને તફાવત શોધીએ છીએ:

નૉૅધ : અને ફરીથી હું તમારું ધ્યાન અર્થપૂર્ણ મુદ્દા તરફ દોરું છું - અહીં આપણે સંખ્યામાંથી સંખ્યાને બાદ કરી નથી, પરંતુ અપૂર્ણાંકોને સામાન્ય છેદ પર લાવ્યા છે! એ નોંધવું જોઇએ કે પહેલાથી જ હલ કરવાની પ્રગતિમાં તે સંખ્યાઓ સાથે કામ કરવા માટે પ્રતિબંધિત નથી: જો કે, વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં આ શૈલી ઉપયોગી કરતાં વધુ હાનિકારક છે =)

પ્રમાણના નિયમ અનુસાર, અમે "zet" વ્યક્ત કરીએ છીએ:

હવે તમે ફરીથી સંયોજક દ્વારા ભાગાકાર અને ગુણાકાર કરી શકો છો, પરંતુ અંશ અને છેદમાં શંકાસ્પદ સમાન સંખ્યાઓ આગળની ચાલ સૂચવે છે:

જવાબ આપો:

તપાસવા માટે, ચાલો પરિણામી મૂલ્યને આમાં બદલીએ ડાબી બાજુ મૂળ સમીકરણઅને ચાલો કેટલાક સરળીકરણ કરીએ:

– મૂળ સમીકરણની જમણી બાજુ પ્રાપ્ત થાય છે, આમ મૂળ યોગ્ય રીતે મળી આવે છે.

...હવે, હવે... હું તમારા માટે કંઈક વધુ રસપ્રદ શોધીશ... અહીં તમે જાઓ:

ઉદાહરણ 6

સમીકરણ ઉકેલો

આ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટાડે છે, જેનો અર્થ છે કે તે રેખીય છે. મને લાગે છે કે સંકેત સ્પષ્ટ છે - તેના માટે જાઓ!

અલબત્ત... તમે તેના વિના કેવી રીતે જીવી શકો:

જટિલ ગુણાંક સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ

પાઠ પર ડમી માટે જટિલ સંખ્યાઓ આપણે શીખ્યા કે વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં સંયોજક જટિલ મૂળ હોઈ શકે છે, જેના પછી એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શા માટે, હકીકતમાં, ગુણાંક પોતે જ જટિલ હોઈ શકતા નથી? મને ઘડવા દો સામાન્ય કેસ:

મનસ્વી જટિલ ગુણાંક સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ (જેમાંથી 1 અથવા 2 અથવા ત્રણેય, ખાસ કરીને, માન્ય હોઈ શકે છે)તે છે બે અને માત્ર બેજટિલ મૂળ (કદાચ એક અથવા બંને માન્ય છે). તે જ સમયે, મૂળ (બંને વાસ્તવિક અને બિન-શૂન્ય કાલ્પનિક ભાગ સાથે)એકરૂપ થઈ શકે છે (ગુણાકાર હોઈ શકે છે).

જટિલ ગુણાંક સાથેનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ સમાન યોજનાનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે "શાળા" સમીકરણ , ગણતરી તકનીકમાં કેટલાક તફાવતો સાથે:

ઉદાહરણ 7

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધો

ઉકેલ: કાલ્પનિક એકમ પ્રથમ આવે છે, અને, સૈદ્ધાંતિક રીતે, તમે તેનાથી છુટકારો મેળવી શકો છો (બંને બાજુએ ગુણાકાર કરીને)જો કે, આની કોઈ ખાસ જરૂર નથી.

સગવડ માટે, અમે ગુણાંક લખીએ છીએ:

ચાલો મફત સભ્યની "માઈનસ" ગુમાવીએ નહીં! ...તે દરેકને સ્પષ્ટ ન હોઈ શકે - હું સમીકરણ ફરીથી લખીશ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ :

ચાલો ભેદભાવની ગણતરી કરીએ:

અને અહીં મુખ્ય અવરોધ છે:

અરજી સામાન્ય સૂત્રમૂળ નિષ્કર્ષણ (લેખનો છેલ્લો ફકરો જુઓ ડમી માટે જટિલ સંખ્યાઓ ) આમૂલ જટિલ સંખ્યા દલીલ સાથે સંકળાયેલ ગંભીર મુશ્કેલીઓ દ્વારા જટિલ (તમારા માટે જુઓ). પણ બીજી, “બીજગણિત” રીત છે! અમે ફોર્મમાં રુટ શોધીશું:

ચાલો બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ:

બે જટિલ સંખ્યાઓ સમાન છે જો તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય. આમ, આપણને મળે છે નીચેની સિસ્ટમ:

સિસ્ટમ પસંદ કરીને ઉકેલવા માટે સરળ છે (એક વધુ સંપૂર્ણ રીત એ છે કે 2જી સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરો - 1લામાં અવેજી કરો, દ્વિપક્ષીય સમીકરણ મેળવો અને ઉકેલો). એમ ધારી રહ્યા છીએ કે સમસ્યાનો લેખક કોઈ રાક્ષસ નથી, અમે પૂર્વધારણા આગળ મૂકીએ છીએ અને તે પૂર્ણાંક છે. 1લા સમીકરણ પરથી તે "x" ને અનુસરે છે મોડ્યુલો "Y" કરતાં વધુ. વધુમાં, સકારાત્મક ઉત્પાદન અમને કહે છે કે અજાણ્યાઓ સમાન નિશાની છે. ઉપરના આધારે, અને 2જી સમીકરણ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીને, અમે તેની સાથે મેળ ખાતી તમામ જોડી લખીએ છીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમનું 1મું સમીકરણ છેલ્લી બે જોડી દ્વારા સંતુષ્ટ છે, આમ:

મધ્યવર્તી તપાસ નુકસાન કરશે નહીં:

જે તપાસવાની જરૂર હતી.

તમે "કાર્યકારી" રુટ તરીકે પસંદ કરી શકો છો કોઈપણઅર્થ તે સ્પષ્ટ છે કે "વિપક્ષ" વિના સંસ્કરણ લેવું વધુ સારું છે:

અમે મૂળ શોધીએ છીએ, ભૂલતા નથી, માર્ગ દ્વારા, તે:

જવાબ આપો:

ચાલો તપાસીએ કે મળેલા મૂળ સમીકરણને સંતોષે છે કે કેમ :

1) ચાલો અવેજી કરીએ:

સાચી સમાનતા.

2) ચાલો અવેજી કરીએ:

સાચી સમાનતા.

આમ, ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો.

અમે હમણાં જ ચર્ચા કરેલી સમસ્યાના આધારે:

ઉદાહરણ 8

સમીકરણના મૂળ શોધો

એ નોંધવું જોઈએ કે નું વર્ગમૂળ સંપૂર્ણ જટિલસામાન્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ સરળતાથી કાઢી શકાય છે , ક્યાં , તેથી બંને પદ્ધતિઓ નમૂનામાં બતાવવામાં આવી છે. બીજી ઉપયોગી ટિપ્પણી એ હકીકતની ચિંતા કરે છે કે સ્થિરના મૂળના પ્રારંભિક નિષ્કર્ષણથી ઉકેલને બિલકુલ સરળ બનાવતું નથી.

હવે તમે આરામ કરી શકો છો - આ ઉદાહરણમાં તમે સહેજ ડરથી દૂર થઈ જશો :)

ઉદાહરણ 9

સમીકરણ ઉકેલો અને તપાસો

પાઠના અંતે ઉકેલો અને જવાબો.

લેખનો અંતિમ ફકરો સમર્પિત છે

જટિલ સંખ્યાઓ સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમ

ચાલો આરામ કરીએ અને... તણાવમાં ન આવીએ =) ચાલો સૌથી સરળ કેસને ધ્યાનમાં લઈએ - બેની સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોબે અજાણ્યાઓ સાથે:

ઉદાહરણ 10

સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો. બીજગણિત અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં જવાબ રજૂ કરો, ચિત્રમાં મૂળ દર્શાવો.

ઉકેલ: શરત પોતે સૂચવે છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે, એટલે કે, આપણે બે નંબરો શોધવાની જરૂર છે જે સંતોષે છે દરેક નેસિસ્ટમનું સમીકરણ.

સિસ્ટમ ખરેખર "બાલિશ" રીતે ઉકેલી શકાય છે (એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો ) , જો કે તેનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે ક્રેમરના સૂત્રો . ચાલો ગણતરી કરીએ મુખ્ય નિર્ણાયકસિસ્ટમો

, જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે.

હું પુનરાવર્તિત કરું છું કે તમારો સમય કાઢવો અને શક્ય તેટલી વધુ વિગતવાર પગલાં લખવું વધુ સારું છે:

અમે અંશ અને છેદને કાલ્પનિક એકમ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 1 લી મૂળ મેળવીએ છીએ:

તેવી જ રીતે:

અનુરૂપ જમણી બાજુઓ મેળવવામાં આવે છે, વગેરે.

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

ચાલો મૂળને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. આ કરવા માટે, તમારે તેમના મોડ્યુલો અને દલીલો શોધવાની જરૂર છે:

1) - "બે" ના આર્કટેન્જેન્ટની "નબળી" ગણતરી કરવામાં આવે છે, તેથી અમે તેને આ રીતે છોડીએ છીએ: