ઘર દૂર કરવું ઘાતાંકીય અસમાનતા ચતુર્ભુજ છે. ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

દૂર કરવું

ઘાતાંકીય અસમાનતા ચતુર્ભુજ છે. ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

આ પાઠમાં આપણે વિવિધ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ જોઈશું અને સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની તકનીકના આધારે તેમને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખીશું.

1. ઘાતાંકીય કાર્યની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો

ચાલો ઘાતાંકીય કાર્યની વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત ગુણધર્મોને યાદ કરીએ. તમામ ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓનો ઉકેલ આ ગુણધર્મો પર આધારિત છે.

ઘાતાંકીય કાર્યફોર્મનું કાર્ય છે, જ્યાં આધાર ડિગ્રી છે અને અહીં x સ્વતંત્ર ચલ છે, દલીલ છે; y એ આશ્રિત ચલ, કાર્ય છે.

ચોખા. 1. ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ

આલેખ વધતા અને ઘટતા ઘાતાંક દર્શાવે છે, અનુક્રમે એક કરતા વધારે અને એક કરતા ઓછા પરંતુ શૂન્ય કરતા વધારે આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્ય દર્શાવે છે.

બંને વણાંકો બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (0;1)

ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો:

ડોમેન: ;

મૂલ્યોની શ્રેણી: ;

કાર્ય એકવિધ છે, સાથે વધે છે, સાથે ઘટે છે.

મોનોટોનિક ફંક્શન તેના દરેક મૂલ્યોને એક દલીલ મૂલ્ય આપેલ લે છે.

જ્યારે, જ્યારે દલીલ માઈનસથી વત્તા અનંત સુધી વધે છે, ત્યારે ફંક્શન શૂન્યથી વધીને વત્તા અનંત સુધી વધે છે, એટલે કે, દલીલના આપેલ મૂલ્યો માટે આપણી પાસે એકવિધ રીતે વધતું કાર્ય છે (). તેનાથી વિપરિત, જ્યારે દલીલ માઈનસથી વત્તા અનંત સુધી વધે છે, ત્યારે ફંક્શન અનંતથી ઘટીને શૂન્ય સમાવિષ્ટ થાય છે, એટલે કે, દલીલના આપેલ મૂલ્યો માટે આપણી પાસે એકવિધ રીતે ઘટતું કાર્ય છે ().

2. સૌથી સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ, ઉકેલ પદ્ધતિ, ઉદાહરણ

ઉપરના આધારે, અમે સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ રજૂ કરીએ છીએ:

અસમાનતાઓ ઉકેલવા માટેની તકનીક:

ડિગ્રીના પાયાને સમાન કરો;

સાચવીને અથવા બદલીને મેટ્રિક્સની સરખામણી કરો વિરોધી ચિહ્નઅસમાનતા.

જટિલ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓના ઉકેલમાં સામાન્ય રીતે તેમને સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ સુધી ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે.

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે છે, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતાનું ચિહ્ન સાચવેલ છે:

ચાલો પરિવર્તન કરીએ જમણી બાજુડિગ્રીના ગુણધર્મો અનુસાર:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા ઓછો છે, અસમાનતાની નિશાની ઉલટાવી જોઈએ:

ચતુર્ભુજ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, અમે અનુરૂપ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ છીએ:

વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂળ શોધીએ છીએ:

પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે.

આમ, અમારી પાસે અસમાનતાનો ઉકેલ છે:

અનુમાન લગાવવું સરળ છે કે જમણી બાજુ શૂન્યના ઘાતાંક સાથે શક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે છે, અસમાનતા ચિહ્ન બદલાતું નથી, અમને મળે છે:

ચાલો આવી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની તકનીકને યાદ કરીએ.

અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને ધ્યાનમાં લો:

અમે વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ:

કાર્યના મૂળ શોધવું:

ફંક્શનમાં એક જ રુટ છે,

અમે સતત ચિહ્નના અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ અને દરેક અંતરાલ પર કાર્યના સંકેતો નક્કી કરીએ છીએ:

ચોખા. 2. ચિહ્નની સ્થિરતાના અંતરાલો

આમ, અમને જવાબ મળ્યો.

જવાબ:

3. પ્રમાણભૂત ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ ઉકેલવી

ચાલો સમાન સૂચકાંકો સાથે અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, પરંતુ વિવિધ પાયા.

ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો પૈકી એક એ છે કે દલીલના કોઈપણ મૂલ્ય માટે તે સખત હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે, જેનો અર્થ છે કે તેને ઘાતાંકીય કાર્યમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. ચાલો આપેલ અસમાનતાને તેની જમણી બાજુએ વિભાજીત કરીએ:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે છે, અસમાનતા ચિહ્ન સાચવેલ છે.

ચાલો ઉકેલ સમજાવીએ:

આકૃતિ 6.3 કાર્યોના આલેખ બતાવે છે અને . દેખીતી રીતે, જ્યારે દલીલ શૂન્ય કરતાં મોટી હોય, ફંક્શનનો ગ્રાફ ઊંચો હોય, ત્યારે આ ફંક્શન મોટું હોય છે. જ્યારે દલીલ મૂલ્યો નકારાત્મક હોય છે, ત્યારે કાર્ય ઓછું થાય છે, તે નાનું હોય છે. જ્યારે દલીલ સમાન હોય છે, ત્યારે કાર્યો સમાન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે આપેલ બિંદુઆપેલ અસમાનતાનો ઉકેલ પણ છે.

ચોખા. 3. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્રણ 4

ચાલો ડિગ્રીના ગુણધર્મો અનુસાર આપેલ અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ:

અહીં કેટલીક સમાન શરતો છે:

ચાલો બંને ભાગોને આમાં વહેંચીએ:

હવે આપણે ઉદાહરણ 4 ની જેમ જ હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ, બંને ભાગોને આના દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે છે, અસમાનતા ચિહ્ન રહે છે:

4. ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન

ઉદાહરણ 6 - અસમાનતાને ગ્રાફિકલી ઉકેલો:

ચાલો ડાબી અને જમણી બાજુના કાર્યો જોઈએ અને તે દરેક માટે ગ્રાફ બનાવીએ.

ફંક્શન ઘાતાંકીય છે અને તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર વધે છે, એટલે કે, દલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે.

ફંક્શન રેખીય છે અને તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર ઘટે છે, એટલે કે, દલીલના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે.

જો આ કાર્યો એકબીજાને છેદે છે, એટલે કે, સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે, તો આવા ઉકેલ અનન્ય છે અને સરળતાથી અનુમાન કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે પૂર્ણાંકો પર પુનરાવર્તિત કરીએ છીએ ()

તે જોવાનું સરળ છે કે આ સિસ્ટમનું મૂળ છે:

આમ, ફંક્શનના ગ્રાફ એક સમાન દલીલ સાથે એક બિંદુ પર છેદે છે.

હવે આપણે જવાબ મેળવવાની જરૂર છે. આપેલ અસમાનતાનો અર્થ એ છે કે ઘાતાંક તેનાથી મોટો અથવા તેની સમાન હોવો જોઈએ રેખીય કાર્ય, એટલે કે, ઉચ્ચ હોવું અથવા તેની સાથે સુસંગત હોવું. જવાબ સ્પષ્ટ છે: (આકૃતિ 6.4)

ચોખા. 4. ઉદાહરણ તરીકે ચિત્ર 6

તેથી, અમે વિવિધ પ્રમાણભૂત ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવા તરફ જોયું. આગળ આપણે વધુ જટિલ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લેવા આગળ વધીએ છીએ.

ગ્રંથસૂચિ

મોર્ડકોવિચ એ.જી. બીજગણિત અને સિદ્ધાંતો ગાણિતિક વિશ્લેષણ. - એમ.: નેમોસીન. મુરાવિન જી.કે., મુરાવિન ઓ.વી. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. - એમ.: બસ્ટર્ડ. કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ. પી. એટ અલ. બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. - એમ.: જ્ઞાન.

ગણિત. md ગણિત-પુનરાવર્તન. કોમ. ડિફુર. kemsu ru

ગૃહ કાર્ય

1. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, નંબર 472, 473;

2. અસમાનતા ઉકેલો:

3. અસમાનતા ઉકેલો.

ચાલો જોઈએ કે ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને કેવી રીતે ઉકેલી શકાય જેમાં વિવિધ આધારો સાથે સત્તાઓ સામેલ છે. આવી અસમાનતાઓનો ઉકેલ અનુરૂપ મુદ્દાઓના ઉકેલ જેવો જ છે.

(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

અમે સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીનું જૂથ કરીએ છીએ. અસમાનતાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર તેમને અલગ કરવું વધુ અનુકૂળ છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

શક્તિઓની દરેક જોડીમાંથી આપણે કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ લઈએ છીએ - નાના ઘાતાંક સાથેની શક્તિ. સામાન્ય અવયવને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવાનો અર્થ છે કે દરેક પદને આ પરિબળ વડે વિભાજીત કરવું. સમાન પાયા સાથે ડિગ્રીને વિભાજિત કરતી વખતે, અમે આધારને સમાન છોડીએ છીએ અને ઘાતાંક બાદ કરીએ છીએ:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

તમે તરત જ 20 (20=4∙5) વડે ભાગી શકો છો, પરંતુ પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે બે તબક્કામાં વિભાજન તમને સંભવિત ભૂલોને ટાળવા દે છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

આધાર 2/5 હોવાથી<1, показательная функция

ઘટે છે, તેથી ઘાત વચ્ચેની અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાય છે:

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ અસમાનતાને હલ કરીએ. અસમાનતાની ડાબી બાજુના ફંક્શનના શૂન્ય x1=-1 છે; x2=2. અમે તેમને નંબર લાઇન પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ.

ચિહ્ન તપાસવા માટે, શૂન્ય લો: 0²-0-2=-2, જે અંતરાલમાં શૂન્ય છે, તેમાં "-" મૂકો. અમે બાકીના ચિહ્નોને ચેકરબોર્ડ પેટર્નમાં ગોઠવીએ છીએ. અમે અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા છીએ જેમાં ડાબી બાજુ શૂન્ય કરતાં ઓછી છે, અમે "-" ચિહ્ન સાથે અંતરાલ પસંદ કરીએ છીએ.

જવાબ: x ∈ (-1; 2).

આ પ્રકારની અસમાનતાનો એક પ્રકાર એ છે કે તમામ શક્તિઓ સમાન પાયા ધરાવે છે, પરંતુ ઘાતાંકમાં x ના ગુણાંકમાં અલગ છે.

ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસમાંથી સૌથી નીચા ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી મૂકીએ છીએ

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

અમે ઘાતાંકીય અસમાનતા પર પહોંચ્યા. આધાર 7>1 થી, કાર્ય

વધે છે, સૂચકો વચ્ચેની અસમાનતાની નિશાની બદલાતી નથી:

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ અસમાનતાને ઉકેલવા માટે, અમે બધી શરતો પર ખસેડીએ છીએ ડાબી બાજુઅને અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડો કરો

મોટાભાગની ગાણિતિક સમસ્યાઓને એક યા બીજી રીતે ઉકેલવામાં સંખ્યાત્મક, બીજગણિત અથવા કાર્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન સામેલ છે. ઉપરોક્ત ખાસ કરીને નિર્ણયને લાગુ પડે છે. ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સંસ્કરણોમાં, આ પ્રકારની સમસ્યામાં, ખાસ કરીને, કાર્ય C3 શામેલ છે. C3 કાર્યોને હલ કરવાનું શીખવું એ માત્ર યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સફળતાપૂર્વક પાસ કરવાના હેતુ માટે જ નહીં, પરંતુ હાઇસ્કૂલમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે આ કૌશલ્ય ઉપયોગી થશે તે કારણોસર પણ મહત્વપૂર્ણ છે.

C3 કાર્યો પૂર્ણ કરતી વખતે, તમારે નક્કી કરવું પડશે જુદા જુદા પ્રકારોસમીકરણો અને અસમાનતાઓ. તેમાંથી તર્કસંગત, અતાર્કિક, ઘાતાંકીય, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ, સમાવિષ્ટ મોડ્યુલો છે ( સંપૂર્ણ મૂલ્યો), તેમજ સંયુક્ત. આ લેખ ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાના મુખ્ય પ્રકારો તેમજ ચર્ચા કરે છે વિવિધ પદ્ધતિઓતેમના નિર્ણયો. C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓને સમર્પિત લેખોમાં “” વિભાગમાં અન્ય પ્રકારના સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવા વિશે વાંચો. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પોગણિત.

આપણે ચોક્કસ વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ, ગણિતના શિક્ષક તરીકે, હું તમને કેટલીક સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી પર બ્રશ કરવાનું સૂચન કરું છું જેની અમને જરૂર પડશે.

ઘાતાંકીય કાર્ય

ઘાતાંકીય કાર્ય શું છે?

ફોર્મનું કાર્ય y = a x, ક્યાં a> 0 અને a≠ 1 કહેવાય છે ઘાતાંકીય કાર્ય.

પાયાની ઘાતાંકીય કાર્યના ગુણધર્મો y = a x:

ઘાતાંકીય કાર્યનો આલેખ

ઘાતાંકીય કાર્યનો ગ્રાફ છે ઘાત:

ઘાતાંકીય કાર્યોનો આલેખ (ઘાતાંકો)

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા

સૂચકસમીકરણો કહેવાય છે જેમાં અજ્ઞાત ચલ અમુક શક્તિઓના ઘાતાંકમાં જ જોવા મળે છે.

ઉકેલો માટે ઘાતાંકીય સમીકરણોતમારે નીચેના સરળ પ્રમેયને જાણવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે:

પ્રમેય 1.ઘાતાંકીય સમીકરણ a f(x) = a g(x) (જ્યાં a > 0, a≠ 1) સમીકરણની સમકક્ષ છે f(x) = g(x).

વધુમાં, મૂળભૂત સૂત્રો અને ડિગ્રી સાથેની કામગીરીને યાદ રાખવા માટે તે ઉપયોગી છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે ઉપરોક્ત સૂત્રો અને અવેજીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પછી સમીકરણ બને છે:

પરિણામી ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ હકારાત્મક છે:

Title="QuickLaTeX.com દ્વારા પ્રસ્તુત">!}

મતલબ કે આ સમીકરણના બે મૂળ છે. અમે તેમને શોધીએ છીએ:

રિવર્સ અવેજી તરફ આગળ વધતાં, અમને મળે છે:

બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં સખત રીતે હકારાત્મક છે. ચાલો બીજો હલ કરીએ:

પ્રમેય 1 માં શું કહેવામાં આવ્યું હતું તે ધ્યાનમાં લેતા, અમે સમાન સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ: x= 3. આ કાર્યનો જવાબ હશે.

જવાબ: x = 3.

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:સમીકરણમાં અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી પર કોઈ નિયંત્રણો નથી, કારણ કે આમૂલ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્ય માટે અર્થપૂર્ણ છે x(ઘાતાંકીય કાર્ય y = 9 4 -xહકારાત્મક અને શૂન્યની બરાબર નથી).

અમે દ્વારા સમીકરણ હલ કરીએ છીએ સમકક્ષ પરિવર્તનોશક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને:

છેલ્લું સંક્રમણ પ્રમેય 1 અનુસાર કરવામાં આવ્યું હતું.

જવાબ:x= 6.

ઉદાહરણ 3.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:બંને ભાગો મૂળ સમીકરણ 0.2 વડે ભાગી શકાય છે x. આ સંક્રમણ સમકક્ષ હશે, કારણ કે આ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્ય માટે શૂન્ય કરતાં મોટી છે x(ઘાતાંકીય કાર્ય તેની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં સખત રીતે હકારાત્મક છે). પછી સમીકરણ ફોર્મ લે છે:

જવાબ: x = 0.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે લેખની શરૂઆતમાં આપેલ સત્તાઓના વિભાજન અને ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સમકક્ષ રૂપાંતરણોના માધ્યમથી પ્રાથમિક સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ:

સમીકરણની બંને બાજુઓને 4 વડે વિભાજીત કરવી x, અગાઉના ઉદાહરણની જેમ, એક સમકક્ષ રૂપાંતર છે, કારણ કે આ અભિવ્યક્તિ કોઈપણ મૂલ્યો માટે શૂન્યની બરાબર નથી x.

જવાબ: x = 0.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:કાર્ય y = 3x, સમીકરણની ડાબી બાજુએ ઊભા રહીને, વધી રહ્યું છે. કાર્ય y = —xસમીકરણની જમણી બાજુનું -2/3 ઘટી રહ્યું છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આ ફંક્શનના ગ્રાફ એકબીજાને છેદે છે, તો વધુમાં વધુ એક બિંદુએ. IN આ બાબતેઅનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નથી કે આલેખ બિંદુ પર છેદે છે x= -1. ત્યાં કોઈ અન્ય મૂળ હશે નહીં.

જવાબ: x = -1.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણ ઉકેલો:

ઉકેલ:અમે સમકક્ષ રૂપાંતરણો દ્વારા સમીકરણને સરળ બનાવીએ છીએ, દરેક જગ્યાએ ધ્યાનમાં રાખીને કે ઘાતાંકીય કાર્ય કોઈપણ મૂલ્ય માટે શૂન્ય કરતાં સખત રીતે વધારે છે xઅને લેખની શરૂઆતમાં આપેલ સત્તાઓના ઉત્પાદન અને ભાગની ગણતરી માટેના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને:

જવાબ: x = 2.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

સૂચકઅસમાનતા કહેવાય છે જેમાં અજ્ઞાત ચલ માત્ર અમુક શક્તિઓના ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે.

ઉકેલો માટે ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનીચેના પ્રમેયનું જ્ઞાન જરૂરી છે:

પ્રમેય 2.જો a> 1, પછી અસમાનતા a f(x) > a g(x) એ સમાન અર્થની અસમાનતાની સમકક્ષ છે: f(x) > g(x). જો 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) વિરુદ્ધ અર્થ સાથે અસમાનતાની સમકક્ષ છે: f(x) < g(x).

ઉદાહરણ 7.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:ચાલો મૂળ અસમાનતાને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ:

ચાલો આ અસમાનતાની બંને બાજુઓને 3 2 વડે વિભાજીત કરીએ x, આ કિસ્સામાં (કાર્યની હકારાત્મકતાને કારણે y= 3 2x) અસમાનતા ચિહ્ન બદલાશે નહીં:

ચાલો અવેજીનો ઉપયોગ કરીએ:

પછી અસમાનતા ફોર્મ લેશે:

તેથી, અસમાનતાનો ઉકેલ એ અંતરાલ છે:

વિપરીત અવેજીમાં આગળ વધતાં, આપણને મળે છે:

ઘાતાંકીય કાર્યની હકારાત્મકતાને લીધે, ડાબી અસમાનતા આપોઆપ સંતુષ્ટ થાય છે. લઘુગણકની જાણીતી મિલકતનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમકક્ષ અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ છીએ:

ડિગ્રીનો આધાર એક કરતાં મોટી સંખ્યા હોવાથી, સમકક્ષ (પ્રમેય 2 દ્વારા) એ નીચેની અસમાનતામાં સંક્રમણ છે:

તેથી, અમે આખરે મેળવીએ છીએ જવાબ:

ઉદાહરણ 8.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:શક્તિઓના ગુણાકાર અને વિભાજનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ:

આ અવેજીને ધ્યાનમાં લેતા, અસમાનતા આ સ્વરૂપ લે છે:

અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને 7 વડે ગુણાકાર કરવાથી, આપણે નીચેની સમકક્ષ અસમાનતા મેળવીએ છીએ:

તેથી, ચલના નીચેના મૂલ્યો અસમાનતાને સંતોષે છે t:

પછી, વિપરીત અવેજી તરફ આગળ વધતાં, આપણને મળે છે:

અહીં ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા વધારે હોવાથી, અસમાનતામાં સંક્રમણ સમકક્ષ હશે (પ્રમેય 2 દ્વારા):

આખરે આપણને મળે છે જવાબ:

ઉદાહરણ 9.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:

અમે અભિવ્યક્તિ દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજીત કરીએ છીએ:

તે હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે (ઘાતાંકીય કાર્યની સકારાત્મકતાને કારણે), તેથી અસમાનતા ચિહ્ન બદલવાની જરૂર નથી. અમને મળે છે:

ટી અંતરાલમાં સ્થિત છે:

વિપરીત અવેજીમાં આગળ વધતા, અમે શોધીએ છીએ કે મૂળ અસમાનતા બે કિસ્સાઓમાં વિભાજિત થાય છે:

ઘાતાંકીય કાર્યની હકારાત્મકતાને કારણે પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી. ચાલો બીજો હલ કરીએ:

ઉદાહરણ 10.અસમાનતા ઉકેલો:

ઉકેલ:

પેરાબોલાની શાખાઓ y = 2x+2-x 2 ને નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, તેથી તે તેના શિરોબિંદુ પર પહોંચતા મૂલ્ય દ્વારા ઉપરથી મર્યાદિત છે:

પેરાબોલાની શાખાઓ y = x 2 -2xસૂચકમાં +2 ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે તેના શિરોબિંદુ પર પહોંચે છે તે મૂલ્ય દ્વારા તે નીચેથી મર્યાદિત છે:

તે જ સમયે, ફંક્શન પણ નીચેથી બંધાયેલું છે y = 3 x 2 -2x+2, જે સમીકરણની જમણી બાજુએ છે. તેણી તેના લક્ષ્યને પ્રાપ્ત કરે છે સૌથી નીચું મૂલ્યઘાતાંકમાં પેરાબોલાના સમાન બિંદુ પર, અને આ મૂલ્ય 3 1 = 3 ની બરાબર છે. તેથી, મૂળ અસમાનતા ફક્ત ત્યારે જ સાચી હોઈ શકે છે જો ડાબી બાજુનું કાર્ય અને જમણી બાજુનું કાર્ય 3 ની બરાબર મૂલ્ય લે. તે જ બિંદુ પર (છેદન દ્વારા આ કાર્યોના મૂલ્યોની શ્રેણી ફક્ત આ સંખ્યા છે). આ સ્થિતિ એક તબક્કે સંતોષાય છે x = 1.

જવાબ: x= 1.

નક્કી કરવાનું શીખવા માટે ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ,તેને હલ કરવામાં સતત તાલીમ આપવી જરૂરી છે. આ મુશ્કેલ કાર્યમાં વિવિધ વસ્તુઓ તમને મદદ કરી શકે છે. પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકાઓ, પ્રાથમિક ગણિતમાં સમસ્યા પુસ્તકો, સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનો સંગ્રહ, શાળામાં ગણિતના વર્ગો, તેમજ વ્યક્તિગત સત્રોવ્યાવસાયિક શિક્ષક સાથે. હું તમને તમારી તૈયારીમાં સફળતા અને પરીક્ષામાં ઉત્તમ પરિણામોની શુભેચ્છા પાઠવું છું.

સેર્ગેઈ વેલેરીવિચ

P.S. પ્રિય મહેમાનો! કૃપા કરીને ટિપ્પણીઓમાં તમારા સમીકરણોને ઉકેલવા માટે વિનંતીઓ લખશો નહીં. કમનસીબે, મારી પાસે આ માટે બિલકુલ સમય નથી. આવા સંદેશાઓ કાઢી નાખવામાં આવશે. કૃપા કરીને લેખ વાંચો. કદાચ તેમાં તમને એવા પ્રશ્નોના જવાબો મળશે જે તમને તમારા કાર્યને તમારા પોતાના પર હલ કરવાની મંજૂરી આપતા નથી.

ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ તે છે જેમાં અજ્ઞાત ઘાતાંકમાં સમાયેલ છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવાથી ઘણીવાર સમીકરણ a x = a b ઉકેલવામાં આવે છે, જ્યાં a > 0, a ≠ 1, x અજ્ઞાત છે. આ સમીકરણમાં એક જ મૂળ x = b છે, કારણ કે નીચેનું પ્રમેય સાચું છે:

પ્રમેય. જો a > 0, a ≠ 1 અને a x 1 = a x 2, તો x 1 = x 2.

ચાલો ધ્યાનમાં લીધેલા નિવેદનને સાબિત કરીએ.

ચાલો ધારીએ કે સમાનતા x 1 = x 2 ધરાવતું નથી, એટલે કે. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, પછી ઘાતાંકીય કાર્ય y = a x વધે છે અને તેથી અસમાનતા a x 1 સંતોષવી આવશ્યક છે< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. બંને કિસ્સાઓમાં અમને શરત a x 1 = a x 2 નો વિરોધાભાસ પ્રાપ્ત થયો છે.

ચાલો ઘણી સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

સમીકરણ 4 ∙ 2 x = 1 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 સ્વરૂપમાં સમીકરણ લખીએ, જેમાંથી આપણને x + 2 = 0 મળે છે, એટલે કે. x = -2.

જવાબ આપો. x = -2.

સમીકરણ 2 3x ∙ 3 x = 576 ઉકેલો.

ઉકેલ.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 થી, સમીકરણ 8 x ∙ 3 x = 24 2 અથવા 24 x = 24 2 તરીકે લખી શકાય.

અહીંથી આપણને x = 2 મળે છે.

જવાબ આપો. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.

ડાબી બાજુના કૌંસમાંથી સામાન્ય અવયવ 3 x - 2 લેવાથી, આપણને 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 મળે છે.

જ્યાંથી 3 x - 2 = 1, એટલે કે x – 2 = 0, x = 2.

જવાબ આપો. x = 2.

સમીકરણ 3 x = 7 x ઉકેલો.

ઉકેલ.

7 x ≠ 0 થી, સમીકરણ 3 x /7 x = 1 તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાંથી (3/7) x = 1, x = 0.

જવાબ આપો. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ.

3 x = a ને બદલવાથી આ સમીકરણ ઘટે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ a 2 – 4a – 45 = 0.

આ સમીકરણને ઉકેલતા, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ: a 1 = 9, અને 2 = -5, જ્યાંથી 3 x = 9, 3 x = -5.

સમીકરણ 3 x = 9 માં મૂળ 2 છે, અને સમીકરણ 3 x = -5 માં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકતું નથી.

જવાબ આપો. x = 2.

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવાથી ઘણીવાર અસમાનતાઓ a x > a b અથવા xને ઉકેલવામાં આવે છે< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ જોઈએ.

અસમાનતા 3 x ઉકેલો< 81.

ઉકેલ.

ચાલો અસમાનતાને 3 x સ્વરૂપમાં લખીએ< 3 4 . Так как 3 >1, પછી કાર્ય y = 3 x વધી રહ્યું છે.

તેથી, એક્સ માટે< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

આમ, એક્સ પર< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 એક્સ< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

જવાબ આપો. એક્સ< 4.

અસમાનતા 16 x +4 x – 2 > 0 ઉકેલો.

ઉકેલ.

ચાલો 4 x = t સૂચવીએ, પછી આપણે ચતુર્ભુજ અસમાનતા t2 + t – 2 > 0 મેળવીએ છીએ.

આ અસમાનતા ટી માટે ધરાવે છે< -2 и при t > 1.

t = 4 x હોવાથી, આપણને બે અસમાનતા 4 x મળે છે< -2, 4 х > 1.

પ્રથમ અસમાનતાનો કોઈ ઉકેલ નથી, કારણ કે તમામ x € R માટે 4 x > 0.

આપણે બીજી અસમાનતા 4 x > 4 0 ફોર્મમાં લખીએ છીએ, જ્યાંથી x > 0.

જવાબ આપો. x > 0.

ગ્રાફિકલી સમીકરણ (1/3) x = x – 2/3 ઉકેલો.

ઉકેલ.

1) ચાલો ફંક્શન y = (1/3) x અને y = x – 2/3 ના ગ્રાફ બનાવીએ.

2) અમારી આકૃતિના આધારે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે ગણવામાં આવેલ કાર્યોના આલેખ એબ્સીસા x ≈ 1 સાથે બિંદુ પર છેદે છે. તપાસ કરવાથી સાબિત થાય છે કે

x = 1 આ સમીકરણનું મૂળ છે:

(1/3) 1 = 1/3 અને 1 – 2/3 = 1/3.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે સમીકરણના મૂળમાંથી એક શોધી કાઢ્યું છે.

3) ચાલો અન્ય મૂળ શોધીએ અથવા સાબિત કરીએ કે ત્યાં કોઈ નથી. ફંક્શન (1/3) x ઘટી રહ્યું છે, અને ફંક્શન y = x – 2/3 વધી રહ્યું છે. તેથી, x > 1 માટે, પ્રથમ કાર્યના મૂલ્યો 1/3 કરતા ઓછા છે, અને બીજા - 1/3 કરતા વધુ; x પર< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 અને x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

જવાબ આપો. x = 1.

નોંધ કરો કે આ સમસ્યાના ઉકેલમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે અસમાનતા (1/3) x > x – 2/3 x માટે સંતુષ્ટ છે< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ઘણા લોકો માને છે કે ઘાતાંકીય અસમાનતા કંઈક જટિલ અને અગમ્ય છે. અને તેમને હલ કરવાનું શીખવું એ લગભગ એક મહાન કળા છે, જેને ફક્ત પસંદ કરેલા લોકો જ સમજી શકે છે...

સંપૂર્ણ નોનસેન્સ! ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ સરળ છે. અને તેઓ હંમેશા સરળ રીતે ઉકેલાય છે. સારું, લગભગ હંમેશા. :)

આજે આપણે આ વિષયને અંદર અને બહાર જોઈશું. જેઓ શાળાના ગણિતના આ વિભાગને સમજવા માંડ્યા છે તેમના માટે આ પાઠ ખૂબ જ ઉપયોગી થશે. સાથે શરૂઆત કરીએ સરળ કાર્યોઅને અમે વધુ જટિલ મુદ્દાઓ પર આગળ વધીશું. આજે કોઈ સખત મહેનત થશે નહીં, પરંતુ તમે જે વાંચવા જઈ રહ્યા છો તે તમામ પ્રકારના પરીક્ષણો અને પરીક્ષણો પરની મોટાભાગની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે પૂરતું હશે. સ્વતંત્ર કાર્ય. અને તમારી આ પરીક્ષા પર પણ.

હંમેશની જેમ, ચાલો વ્યાખ્યા સાથે પ્રારંભ કરીએ. ઘાતાંકીય અસમાનતા એ કોઈપણ અસમાનતા છે જેમાં ઘાતાંકીય કાર્ય હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે હંમેશા ફોર્મની અસમાનતામાં ઘટાડી શકાય છે

\[(a)^(x)) \gt b\]

જ્યાં $b$ ની ભૂમિકા સામાન્ય સંખ્યા અથવા કદાચ કંઈક અઘરી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણો? હા, કૃપા કરીને:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ ક્વાડ ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\અંત(સંરેખિત)\]

મને લાગે છે કે અર્થ સ્પષ્ટ છે: એક ઘાતાંકીય કાર્ય $((a)^(x))$ છે, તેની સરખામણી કંઈક સાથે કરવામાં આવે છે, અને પછી $x$ શોધવા માટે કહેવામાં આવે છે. વિશેષ રીતે ક્લિનિકલ કેસોચલ $x$ ને બદલે તેઓ અમુક ફંક્શન $f\left(x \right)$ મૂકી શકે છે અને તેથી અસમાનતાને થોડી જટિલ બનાવી શકે છે. :)

અલબત્ત, કેટલાક કિસ્સાઓમાં અસમાનતા વધુ ગંભીર દેખાઈ શકે છે. દાખ્લા તરીકે:

\[(9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

અથવા તો આ:

સામાન્ય રીતે, આવી અસમાનતાઓની જટિલતા ઘણી અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ અંતે તેઓ હજુ પણ સરળ બાંધકામ $((a)^(x)) \gt b$ સુધી ઘટાડે છે. અને અમે કોઈક રીતે આવા બાંધકામને શોધી કાઢીશું (ખાસ કરીને ક્લિનિકલ કેસોમાં, જ્યારે કંઈ ધ્યાનમાં ન આવે, ત્યારે લોગરીધમ્સ અમને મદદ કરશે). તેથી, હવે અમે તમને શીખવીશું કે આવા સરળ બાંધકામોને કેવી રીતે હલ કરવું.

સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનું નિરાકરણ

ચાલો કંઈક ખૂબ જ સરળ ધ્યાનમાં લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

\[(2)^(x)) \gt 4\]

દેખીતી રીતે, જમણી બાજુની સંખ્યા બેની શક્તિ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે: $4=((2)^(2))$. આમ, મૂળ અસમાનતાને ખૂબ અનુકૂળ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે:

\[(2)^(x) \gt ((2)^(2))\]

અને હવે $x \gt 2$ નો જવાબ મેળવવા માટે મારા હાથને સત્તાના પાયામાં બેને "પારવા" માટે ખંજવાળ આવે છે. પરંતુ કંઈપણ પાર કરતા પહેલા, ચાલો બે શક્તિઓને યાદ કરીએ:

\[(2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, કરતાં મોટી સંખ્યાઘાતાંકમાં છે, આઉટપુટ નંબર જેટલો મોટો છે. "આભાર, કેપ!" - વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક બૂમ પાડશે. શું તે કોઈ અલગ છે? કમનસીબે, તે થાય છે. દાખ્લા તરીકે:

\[(\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2)) \ જમણે))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \જમણે))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

અહીં, પણ, બધું તાર્કિક છે: ડિગ્રી જેટલી વધારે છે, 0.5 સંખ્યાને વધુ વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે (એટલે કે, અડધા ભાગમાં વિભાજિત). આમ, સંખ્યાઓનો પરિણામી ક્રમ ઘટી રહ્યો છે, અને પ્રથમ અને બીજા ક્રમ વચ્ચેનો તફાવત ફક્ત આધારમાં છે:

જો ડિગ્રીનો આધાર $a \gt 1$ હોય, તો જેમ જેમ ઘાતાંક $n$ વધે છે તેમ તેમ $(a)^(n))$ પણ વધશે;
અને તેનાથી વિપરિત, જો $0 \lt a \lt 1$, તો જેમ જેમ ઘાતાંક $n$ વધે છે તેમ તેમ $((a)^(n))$ ની સંખ્યા ઘટશે.

આ હકીકતોનો સારાંશ આપતાં, અમે સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિધાન મેળવીએ છીએ જેના પર ઘાતાંકીય અસમાનતાઓનો સંપૂર્ણ ઉકેલ આધારિત છે:

જો $a \gt 1$, તો અસમાનતા $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ એ અસમાનતા $x \gt n$ની સમકક્ષ છે. જો $0 \lt a \lt 1$, તો અસમાનતા $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ એ અસમાનતા $x \lt n$ની સમકક્ષ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આધાર એક કરતા વધારે હોય, તો તમે તેને ખાલી દૂર કરી શકો છો - અસમાનતા ચિહ્ન બદલાશે નહીં. અને જો આધાર એક કરતા ઓછો હોય, તો તેને પણ દૂર કરી શકાય છે, પરંતુ તે જ સમયે તમારે અસમાનતાની નિશાની બદલવી પડશે.

કૃપા કરીને નોંધો કે અમે $a=1$ અને $a\le 0$ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લીધા નથી. કારણ કે આ કિસ્સાઓમાં અનિશ્ચિતતા ઊભી થાય છે. ચાલો કહીએ કે $((1)^(x)) \gt 3$ ફોર્મની અસમાનતાને કેવી રીતે હલ કરવી? કોઈપણ શક્તિ માટે એક ફરીથી એક આપશે - આપણને ત્રણ અથવા વધુ ક્યારેય નહીં મળે. તે. ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી.

નકારાત્મક કારણો સાથે બધું વધુ રસપ્રદ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો:

\[(\left(-2 \જમણે))^(x)) \gt 4\]

પ્રથમ નજરમાં, બધું સરળ છે:

ખરું ને? પણ ના! સોલ્યુશન ખોટો છે તેની ખાતરી કરવા માટે $x$ ને બદલે બે બે સમ અને બે બેકી સંખ્યાઓ બદલવા માટે પૂરતું છે. જરા જોઈ લો:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ચિહ્નો વૈકલ્પિક છે. પરંતુ અપૂર્ણાંક શક્તિઓ અને અન્ય નોનસેન્સ પણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (માઈનસ બેથી સાતની ઘાત)ની ગણતરી કેવી રીતે કરશો? કોઈ રસ્તો નથી!

તેથી, નિશ્ચિતતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે તમામ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓમાં (અને સમીકરણો, માર્ગ દ્વારા પણ) $1\ne a \gt 0$. અને પછી બધું ખૂબ જ સરળ રીતે હલ થાય છે:

\[(a)^(x) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \જમણે), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \જમણે). \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

સામાન્ય રીતે, મુખ્ય નિયમ ફરી એકવાર યાદ રાખો: જો ઘાતાંકીય સમીકરણમાં આધાર એક કરતા વધારે હોય, તો તમે તેને ખાલી દૂર કરી શકો છો; અને જો આધાર એક કરતા ઓછો હોય, તો તેને પણ દૂર કરી શકાય છે, પરંતુ અસમાનતાની નિશાની બદલાઈ જશે.

ઉકેલોના ઉદાહરણો

તેથી, ચાલો કેટલીક સરળ ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ જોઈએ:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\અંત(સંરેખિત)\]

તમામ કિસ્સાઓમાં પ્રાથમિક કાર્ય સમાન છે: અસમાનતાઓને સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. આ બરાબર છે જે હવે આપણે દરેક અસમાનતા સાથે કરીશું, અને તે જ સમયે આપણે ડિગ્રી અને ઘાતાંકીય કાર્યોના ગુણધર્મોનું પુનરાવર્તન કરીશું. તો, ચાલો જઈએ!

\[(2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

તમે અહીં શું કરી શકો? ઠીક છે, ડાબી બાજુ અમારી પાસે પહેલેથી જ એક સૂચક અભિવ્યક્તિ છે - કંઈપણ બદલવાની જરૂર નથી. પરંતુ જમણી બાજુએ એક પ્રકારનો વાહિયાત છે: અપૂર્ણાંક, અને છેદમાં મૂળ પણ!

જો કે, ચાલો અપૂર્ણાંક અને શક્તિઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો યાદ રાખીએ:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\અંત(સંરેખિત)\]

તેનો અર્થ શું છે? પ્રથમ, આપણે અપૂર્ણાંકને તેની સાથે પાવરમાં ફેરવીને સરળતાથી છૂટકારો મેળવી શકીએ છીએ નકારાત્મક સૂચક. અને બીજું, છેદનું મૂળ હોવાથી, તેને શક્તિમાં ફેરવવું સરસ રહેશે - આ વખતે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે.

ચાલો આ ક્રિયાઓને અનુક્રમે અસમાનતાની જમણી બાજુએ લાગુ કરીએ અને જોઈએ કે શું થાય છે:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac( 1)(3)) \જમણે))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

ભૂલશો નહીં કે જ્યારે કોઈ ડિગ્રીને પાવરમાં વધારતા હોય, ત્યારે આ ડિગ્રીના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે. અને સામાન્ય રીતે, ઘાતાંકીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ સાથે કામ કરતી વખતે, શક્તિઓ સાથે કામ કરવા માટે ઓછામાં ઓછા સરળ નિયમો જાણવું એકદમ જરૂરી છે:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))((a)^(y))=((a)^(x-y)); \\ & ((\ડાબે(((a)^(x)) \જમણે))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

ખરેખર, છેલ્લો નિયમઅમે હમણાં જ તેને લાગુ કર્યું. તેથી, અમારી મૂળ અસમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[(2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

હવે અમે આધાર પર બે છૂટકારો મેળવીએ છીએ. 2 > 1 થી, અસમાનતા ચિહ્ન સમાન રહેશે:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

તે ઉકેલ છે! મુખ્ય મુશ્કેલી ઘાતાંકીય કાર્યમાં બિલકુલ નથી, પરંતુ મૂળ અભિવ્યક્તિના સક્ષમ પરિવર્તનમાં છે: તમારે કાળજીપૂર્વક અને ઝડપથી તેને તેના સરળ સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે.

બીજી અસમાનતા ધ્યાનમાં લો:

\[(0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

તો તો. દશાંશ અપૂર્ણાંક અહીં અમારી રાહ જુએ છે. મેં ઘણી વાર કહ્યું છે તેમ, શક્તિઓ સાથેના કોઈપણ અભિવ્યક્તિમાં તમારે દશાંશથી છૂટકારો મેળવવો જોઈએ - ઝડપી અને સરળ ઉકેલ જોવાનો આ એક માત્ર રસ્તો છે. અહીં આપણે છુટકારો મેળવીશું:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right)^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \જમણે))^(2)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

અહીં ફરીથી આપણી પાસે સૌથી સરળ અસમાનતા છે, અને તે પણ 1/10 ના આધાર સાથે, એટલે કે. એક કરતાં ઓછું. ઠીક છે, અમે પાયાને દૂર કરીએ છીએ, એક સાથે ચિહ્નને "ઓછા" થી "વધુ" માં બદલીએ છીએ, અને અમને મળે છે:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અમને અંતિમ જવાબ મળ્યો: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જવાબ ચોક્કસપણે એક સમૂહ છે, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં $x \lt -1$ ફોર્મનું નિર્માણ નથી. કારણ કે ઔપચારિક રીતે, આવા બાંધકામ એ બિલકુલ સેટ નથી, પરંતુ $x$ ચલના સંદર્ભમાં અસમાનતા છે. હા, તે ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ તે જવાબ નથી!

મહત્વપૂર્ણ નોંધ. આ અસમાનતા બીજી રીતે ઉકેલી શકાય છે - બંને બાજુઓને એક કરતા વધુ આધાર ધરાવતી શક્તિમાં ઘટાડીને. જરા જોઈ લો:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right)^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

આવા રૂપાંતર પછી, આપણે ફરીથી ઘાતાંકીય અસમાનતા મેળવીશું, પરંતુ 10 > 1 ના આધાર સાથે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે ફક્ત દસને પાર કરી શકીએ છીએ - અસમાનતાની નિશાની બદલાશે નહીં. અમને મળે છે:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જવાબ બરાબર એ જ હતો. તે જ સમયે, અમે ચિહ્ન બદલવાની અને સામાન્ય રીતે કોઈપણ નિયમો યાદ રાખવાની જરૂરિયાતથી પોતાને બચાવ્યા. :)

\[(2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

જો કે, આ તમને ડરવા ન દો. સૂચકાંકોમાં શું છે તે મહત્વનું નથી, અસમાનતાને હલ કરવા માટેની તકનીક પોતે જ રહે છે. તેથી, ચાલો પહેલા નોંધીએ કે 16 = 2 4. ચાલો આ હકીકતને ધ્યાનમાં લઈને મૂળ અસમાનતાને ફરીથી લખીએ:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(સંરેખિત)\]

હુરે! અમને સામાન્ય ચતુર્ભુજ અસમાનતા મળી! ચિહ્ન ક્યાંય બદલાયું નથી, કારણ કે આધાર બે છે - એક કરતાં મોટી સંખ્યા.

સંખ્યા રેખા પરના કાર્યના શૂન્ય

અમે $f\left(x \right)=(x)^(2))-7x+10$ ફંક્શનના ચિહ્નોને ગોઠવીએ છીએ - દેખીતી રીતે, તેનો ગ્રાફ ઉપરની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા હશે, તેથી ત્યાં "પ્લીસસ" હશે "બાજુઓ પર. અમે એવા પ્રદેશમાં રસ ધરાવીએ છીએ જ્યાં કાર્ય શૂન્ય કરતા ઓછું છે, એટલે કે. $x\in \left(2;5 \right)$ એ મૂળ સમસ્યાનો જવાબ છે.

છેલ્લે, બીજી અસમાનતા ધ્યાનમાં લો:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

ફરીથી આપણે આધાર પર દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે ઘાતાંકીય કાર્ય જોઈએ છીએ. ચાલો આ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \જમણે))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \જમણે)))\end(align)\]

આ કિસ્સામાં, અમે અગાઉ આપેલી ટિપ્પણીનો ઉપયોગ કર્યો - અમે અમારા વધુ ઉકેલને સરળ બનાવવા માટે આધારને નંબર 5 > 1 સુધી ઘટાડી દીધો. ચાલો જમણી બાજુ સાથે તે જ કરીએ:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left((5)^(-1)) \ જમણે))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ચાલો બંને પરિવર્તનોને ધ્યાનમાં લઈને મૂળ અસમાનતાને ફરીથી લખીએ:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \જમણે)))\ge ((5)^(-2))\]

બંને બાજુના પાયા સમાન છે અને એક કરતા વધારે છે. જમણી અને ડાબી બાજુએ કોઈ અન્ય શબ્દો નથી, તેથી આપણે ફક્ત પાંચને "પાંચ" કરીએ છીએ અને ખૂબ જ સરળ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -(x)^(2))\ge -2+1; \\ & -(x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(સંરેખિત)\]

આ તે છે જ્યાં તમારે વધુ સાવચેત રહેવાની જરૂર છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ખાલી કાઢવાનું પસંદ કરે છે વર્ગમૂળઅસમાનતાની બંને બાજુઓ અને $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ જેવું કંઈક લખો. કોઈ પણ સંજોગોમાં તમારે આવું કરવું જોઈએ નહીં, કારણ કે ચોક્કસ ચોરસનું મૂળ છે મોડ્યુલ, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં મૂળ ચલ:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

જો કે, મોડ્યુલો સાથે કામ કરવું એ સૌથી સુખદ અનુભવ નથી, ખરું ને? તેથી અમે કામ કરીશું નહીં. તેના બદલે, અમે ફક્ત તમામ શરતોને ડાબી બાજુએ ખસેડીએ છીએ અને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\અંત(સંરેખિત)$

અમે ફરીથી સંખ્યા રેખા પર પ્રાપ્ત બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીએ છીએ અને ચિહ્નો જોઈએ છીએ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: બિંદુઓ શેડમાં છે

અમે બિન-કડક અસમાનતાને હલ કરી રહ્યા હોવાથી, ગ્રાફ પરના તમામ બિંદુઓ શેડમાં છે. તેથી, જવાબ હશે: $x\in \left[ -1;1 \right]$ એ અંતરાલ નથી, પરંતુ એક સેગમેન્ટ છે.

સામાન્ય રીતે, હું એ નોંધવા માંગુ છું કે ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ વિશે કંઈ જટિલ નથી. અમે આજે કરેલા તમામ પરિવર્તનોનો અર્થ એક સરળ અલ્ગોરિધમમાં નીચે આવે છે:

તે આધાર શોધો કે જેના પર આપણે બધી ડિગ્રીઓ ઘટાડીશું;
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ફોર્મની અસમાનતા મેળવવા માટે કાળજીપૂર્વક પરિવર્તન કરો. અલબત્ત, $x$ અને $n$ ચલોને બદલે ઘણું બધું હોઈ શકે છે જટિલ કાર્યો, પરંતુ અર્થ બદલાશે નહીં;
ડિગ્રીના પાયાને પાર કરો. આ કિસ્સામાં, અસમાનતા ચિહ્ન બદલાઈ શકે છે જો આધાર $a \lt 1$ હોય.

હકીકતમાં, આવી બધી અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે આ એક સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમ છે. અને બાકીનું બધું તેઓ તમને આ વિષય પર કહેશે તે માત્ર ચોક્કસ તકનીકો અને યુક્તિઓ છે જે પરિવર્તનને સરળ અને ઝડપી બનાવશે. અમે હવે આમાંની એક તકનીક વિશે વાત કરીશું. :)

તર્કસંગત પદ્ધતિ

ચાલો અસમાનતાના બીજા સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \જમણે))^((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ડાબે(\frac(1)(3) \જમણે))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \જમણે))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

તો તેમનામાં ખાસ શું છે? તેઓ પ્રકાશ છે. જોકે, રોકો! શું સંખ્યા π ને અમુક ઘાત સુધી વધારી છે? શું બકવાસ?

$2\sqrt(3)-3$ ને પાવરમાં કેવી રીતે વધારવો? અથવા $3-2\sqrt(2)$? સમસ્યા લેખકોએ દેખીતી રીતે કામ પર બેસતા પહેલા ખૂબ હોથોર્ન પીધું. :)

હકીકતમાં, આ કાર્યો વિશે ડરામણી કંઈ નથી. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: ઘાતાંકીય કાર્ય એ $((a)^(x))$ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે, જ્યાં આધાર $a$ એ એક સિવાયની કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા છે. સંખ્યા π હકારાત્મક છે - આપણે તે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ. $2\sqrt(3)-3$ અને $3-2\sqrt(2)$ પણ સકારાત્મક છે - જો તમે તેમની સરખામણી શૂન્ય સાથે કરો છો તો આ જોવાનું સરળ છે.

તે તારણ આપે છે કે આ બધી "ભયાનક" અસમાનતાઓ ઉપર ચર્ચા કરેલ સરળ મુદ્દાઓથી અલગ નથી? અને શું તેઓ એ જ રીતે ઉકેલાય છે? હા, તે બિલકુલ સાચું છે. જો કે, તેમના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, હું એક તકનીકને ધ્યાનમાં લેવા માંગુ છું જે સ્વતંત્ર કાર્ય અને પરીક્ષાઓમાં સમય બચાવે છે. અમે રેશનલાઇઝેશનની પદ્ધતિ વિશે વાત કરીશું. તેથી, ધ્યાન:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ફોર્મની કોઈપણ ઘાતાંકીય અસમાનતા એ અસમાનતા $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ ની સમકક્ષ છે. અધિકાર) \gt 0 $.

તે આખી પદ્ધતિ છે. :) શું તમે વિચાર્યું હતું કે કોઈક પ્રકારની બીજી રમત હશે? આવું કંઈ નથી! પરંતુ આ સાદી હકીકત, એક લીટીમાં શાબ્દિક રીતે લખવામાં આવે છે, તે આપણા કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે. જરા જોઈ લો:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( -1 \right) \gt 0 \\\end(મેટ્રિક્સ)\]

તેથી ત્યાં કોઈ વધુ ઘાતાંકીય કાર્યો નથી! અને તમારે યાદ રાખવાની જરૂર નથી કે ચિહ્ન બદલાય છે કે નહીં. પરંતુ તે ઉદભવે છે નવી સમસ્યા: વાહિયાત ગુણક \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( -1 \right)\] સાથે શું કરવું? અમને ખબર નથી કે આ બધું શું છે ખરી કિંમતસંખ્યાઓ π. જો કે, કેપ્ટન સ્પષ્ટ સંકેત આપે છે:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\અંદાજે 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text()- 1\gt 3-1=2\]

સામાન્ય રીતે, π નું ચોક્કસ મૂલ્ય ખરેખર આપણને ચિંતિત કરતું નથી - આપણા માટે તે સમજવું જ મહત્વપૂર્ણ છે કે કોઈપણ કિસ્સામાં $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. આ એક સકારાત્મક સ્થિરાંક છે, અને આપણે તેના દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( -1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -(x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ચોક્કસ ક્ષણે અમારે માઈનસ વનથી વિભાજન કરવું પડ્યું - અને અસમાનતાની નિશાની બદલાઈ ગઈ. અંતે, મેં વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો વિસ્તાર કર્યો - તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળ $((x)_(1))=5$ અને $((x)_(2))=-1$ સમાન છે. . પછી બધું નક્કી થાય છે શાસ્ત્રીય પદ્ધતિઅંતરાલો:

અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાનું નિરાકરણ

મૂળ અસમાનતા કડક હોવાને કારણે તમામ મુદ્દાઓ દૂર કરવામાં આવે છે. અમને નકારાત્મક મૂલ્યોવાળા પ્રદેશમાં રસ છે, તેથી જવાબ છે $x\in \left(-1;5 \right)$. એ જ ઉકેલ છે. :)

ચાલો આગળના કાર્ય પર આગળ વધીએ:

\[(\left(2\sqrt(3)-3 \જમણે))^((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

અહીં બધું સામાન્ય રીતે સરળ છે, કારણ કે જમણી બાજુએ એક એકમ છે. અને આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે એક એ શૂન્ય ઘાત સુધી વધેલી કોઈપણ સંખ્યા છે. જો આ સંખ્યા ડાબી બાજુના આધાર પર અતાર્કિક અભિવ્યક્તિ હોય તો પણ:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \જમણે))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right))^(0)); \\\અંત(સંરેખિત)\]

સારું, ચાલો તર્કસંગત કરીએ:

\[\begin(align) & \left((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

જે બાકી છે તે ચિહ્નો શોધવાનું છે. પરિબળ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$માં $x$ ચલ નથી - તે માત્ર એક અચલ છે, અને આપણે તેની નિશાની શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, નીચેનાની નોંધ લો:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \જમણે)=0 \\\અંત(મેટ્રિક્સ)\]

તે તારણ આપે છે કે બીજું પરિબળ માત્ર એક સ્થિર નથી, પરંતુ નકારાત્મક સતત છે! અને જ્યારે તેના દ્વારા વિભાજન કરવામાં આવે છે, ત્યારે મૂળ અસમાનતાની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાય છે:

\[\begin(align) & \left((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \જમણે) \gt 0. \\\end(align)\]

હવે બધું સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થઈ ગયું છે. મૂળ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જમણી બાજુએ ઉભા છે: $((x)_(1))=0$ અને $((x)_(2))=2$. અમે તેમને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ અને $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ફંક્શનના ચિહ્નો જોઈએ છીએ:

જ્યારે આપણે બાજુના અંતરાલોમાં રસ ધરાવીએ છીએ

અમને વત્તા ચિહ્ન સાથે ચિહ્નિત અંતરાલોમાં રસ છે. જે બાકી છે તે જવાબ લખવાનું છે:

ચાલો આગળના ઉદાહરણ પર જઈએ:

\[(\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \ જમણે))^(16-x))\]

ઠીક છે, અહીં બધું સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ છે: પાયામાં સમાન સંખ્યાની શક્તિઓ હોય છે. તેથી, હું બધું ટૂંકમાં લખીશ:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) \frac(1)(3)=(3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left((3)^(-1)) \જમણે))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \જમણે))^(16-x)) \\\end(મેટ્રિક્સ)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ડાબે(16-x \જમણે))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -(x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -(x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિવર્તન પ્રક્રિયા દરમિયાન અમારે વડે ગુણાકાર કરવો પડ્યો હતો નકારાત્મક સંખ્યા, તેથી અસમાનતાની નિશાની બદલાઈ ગઈ છે. ખૂબ જ અંતમાં, મેં ફરીથી વિયેટાના પ્રમેયને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીના પરિબળ માટે લાગુ કર્યું. પરિણામે, જવાબ નીચે મુજબ હશે: $x\in \left(-8;4 \right)$ - કોઈપણ વ્યક્તિ સંખ્યા રેખા દોરીને, બિંદુઓને ચિહ્નિત કરીને અને ચિહ્નો ગણીને આને ચકાસી શકે છે. દરમિયાન, અમે અમારા "સેટ" થી છેલ્લી અસમાનતા તરફ આગળ વધીશું:

\[(\left(3-2\sqrt(2) \જમણે))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પાયા પર ફરીથી એક અતાર્કિક સંખ્યા છે, અને જમણી બાજુએ ફરીથી એકમ છે. તેથી, અમે અમારી ઘાતાંકીય અસમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ છીએ:

\[(\left(3-2\sqrt(2) \જમણે))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ જમણે))^(0))\]

અમે તર્કસંગતતા લાગુ કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

જો કે, તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે $1-\sqrt(2) \lt 0$, કારણ કે $\sqrt(2)\અંદાજે 1,4... \gt 1$. તેથી, બીજું પરિબળ ફરીથી નકારાત્મક સ્થિરાંક છે, જેમાં અસમાનતાની બંને બાજુઓ વિભાજિત કરી શકાય છે:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\અંત(મેટ્રિક્સ)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

બીજા આધાર પર ખસેડો

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને હલ કરતી વખતે એક અલગ સમસ્યા એ "સાચા" આધારની શોધ છે. કમનસીબે, તે હંમેશા કોઈ કાર્ય પર પ્રથમ નજરમાં સ્પષ્ટ હોતું નથી કે આધાર તરીકે શું લેવું અને આ આધારની ડિગ્રી અનુસાર શું કરવું.

પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં: અહીં કોઈ જાદુ અથવા "ગુપ્ત" તકનીક નથી. ગણિતમાં, કોઈપણ કૌશલ્ય કે જેને અલ્ગોરિધમાઇઝ કરી શકાતું નથી તે અભ્યાસ દ્વારા સરળતાથી વિકસાવી શકાય છે. પરંતુ આ માટે તમારે સમસ્યાઓ હલ કરવી પડશે વિવિધ સ્તરોમુશ્કેલીઓ. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \જમણે))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ અંત(સંરેખિત કરો)\]

મુશ્કેલ? ડરામણી? ડામર પર ચિકન મારવા કરતાં તે સરળ છે! ચાલો પ્રયત્ન કરીએ. પ્રથમ અસમાનતા:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

સારું, મને લાગે છે કે અહીં બધું સ્પષ્ટ છે:

અમે મૂળ અસમાનતાને ફરીથી લખીએ છીએ, દરેક વસ્તુને બે આધાર પર ઘટાડીએ છીએ:

\[(2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

હા, હા, તમે તે સાચું સાંભળ્યું: મેં હમણાં જ ઉપર વર્ણવેલ તર્કસંગત પદ્ધતિ લાગુ કરી છે. હવે આપણે કાળજીપૂર્વક કામ કરવાની જરૂર છે: આપણી પાસે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત અસમાનતા છે (આ તે છે જે છેદમાં ચલ ધરાવે છે), તેથી કોઈ પણ વસ્તુને શૂન્ય સાથે સરખાવતા પહેલા, આપણે દરેક વસ્તુને સામાન્ય છેદ પર લાવવાની અને સતત પરિબળથી છૂટકારો મેળવવાની જરૂર છે. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

હવે અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઅંતરાલો અંશ શૂન્ય: $x=\pm 4$. જ્યારે $x=0$ હોય ત્યારે જ છેદ શૂન્ય પર જાય છે. કુલ ત્રણ બિંદુઓ છે જેને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે (બધા પોઈન્ટ પિન આઉટ છે કારણ કે અસમાનતાનું ચિહ્ન કડક છે). અમને મળે છે:

વધુ મુશ્કેલ કેસ: ત્રણ મૂળ

જેમ તમે અનુમાન કરી શકો છો, શેડિંગ તે અંતરાલોને ચિહ્નિત કરે છે કે જેના પર ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિ નકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. તેથી, અંતિમ જવાબમાં એક સાથે બે અંતરાલો શામેલ હશે:

અંતરાલોનો છેડો જવાબમાં સમાવેલ નથી કારણ કે મૂળ અસમાનતા કડક હતી. આ જવાબની વધુ ચકાસણીની જરૂર નથી. આ સંદર્ભમાં, ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ લઘુગણક કરતાં ઘણી સરળ છે: કોઈ ODZ નથી, કોઈ નિયંત્રણો નથી, વગેરે.

ચાલો આગળના કાર્ય પર આગળ વધીએ:

\[(\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

અહીં પણ કોઈ સમસ્યા નથી, કારણ કે આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, તેથી સમગ્ર અસમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\શરૂ(સંરેખિત કરો) અને ((\left(((3)^(-1)) \જમણે))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \જમણે) \જમણે. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ત્રીજી પંક્તિમાં મેં નજીવી બાબતો પર સમય બગાડવાનું નક્કી કર્યું અને તરત જ બધું (-2) દ્વારા વિભાજીત કરવાનું નક્કી કર્યું. મિનુલ પ્રથમ કૌંસમાં ગયો (હવે દરેક જગ્યાએ પ્લીસસ છે), અને સતત પરિબળ સાથે બે ઘટાડી દેવામાં આવ્યા. સ્વતંત્ર અને પર વાસ્તવિક ડિસ્પ્લે તૈયાર કરતી વખતે તમારે આ બરાબર કરવું જોઈએ પરીક્ષણો- દરેક ક્રિયા અને પરિવર્તનનું વર્ણન કરવાની જરૂર નથી.

આગળ, અંતરાલોની જાણીતી પદ્ધતિ અમલમાં આવે છે. અંશ શૂન્ય: પરંતુ ત્યાં કોઈ નથી. કારણ કે ભેદભાવ કરનાર નકારાત્મક હશે. બદલામાં, છેદ ત્યારે જ રીસેટ થાય છે જ્યારે $x=0$ - છેલ્લી વખતની જેમ. ઠીક છે, તે સ્પષ્ટ છે કે $x=0$ ની જમણી બાજુએ અપૂર્ણાંક હકારાત્મક મૂલ્યો લેશે, અને ડાબી બાજુ - નકારાત્મક. અમને નકારાત્મક મૂલ્યોમાં રસ હોવાથી, અંતિમ જવાબ છે: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[(\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

ઘાતાંકીય અસમાનતાઓમાં દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે તમારે શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે: તેમાંથી છુટકારો મેળવો, તેમને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરો. અહીં અમે અનુવાદ કરીશું:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ડાબે(\frac(4)(25) \જમણે))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=(\left(\ frac(25) (4)\જમણે))^(x)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

તો ઘાતાંકીય કાર્યોના પાયામાં આપણને શું મળ્યું? અને અમને બે પરસ્પર વ્યસ્ત સંખ્યાઓ મળી:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4)) \ જમણે))^(x))=((\left((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right)^(x))=((\ ડાબે(\frac(4)(25) \જમણે))^(-x))\]

આમ, મૂળ અસમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\શરૂ(સંરેખિત કરો) અને ((\left(\frac(4)(25) \જમણે))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \જમણે)) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \જમણે))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \જમણે))^(0) ). \\\અંત(સંરેખિત)\]

અલબત્ત, જ્યારે સમાન આધાર સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે, જે બીજી લાઇનમાં થયું છે. વધુમાં, અમે આધાર 4/25 માં પાવર તરીકે જમણી બાજુના એકમનું પ્રતિનિધિત્વ કર્યું છે. જે બાકી છે તે તર્કસંગત બનાવવાનું છે:

\[(\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \જમણે))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

નોંધ કરો કે $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, એટલે કે. બીજું પરિબળ એ નકારાત્મક સ્થિરાંક છે, અને જ્યારે તેના દ્વારા વિભાજન કરવામાં આવે છે, ત્યારે અસમાનતાનું ચિહ્ન બદલાશે:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

છેલ્લે, વર્તમાન "સેટ" માંથી છેલ્લી અસમાનતા:

\[(\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

સૈદ્ધાંતિક રીતે, અહીં ઉકેલનો વિચાર પણ સ્પષ્ટ છે: અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ તમામ ઘાતાંકીય કાર્યોને બેઝ "3" સુધી ઘટાડવું આવશ્યક છે. પરંતુ આ માટે તમારે મૂળ અને શક્તિઓ સાથે થોડું ટિંકર કરવું પડશે:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

આ હકીકતોને ધ્યાનમાં રાખીને, મૂળ અસમાનતાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\શરૂઆત(સંરેખિત કરો) અને ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\જમણે))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

ગણતરીઓની 2જી અને 3જી લાઇન પર ધ્યાન આપો: અસમાનતા સાથે કંઈપણ કરતા પહેલા, તેને તે સ્વરૂપમાં લાવવાની ખાતરી કરો જેના વિશે આપણે પાઠની શરૂઆતથી જ વાત કરી છે: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. જ્યાં સુધી તમારી પાસે ડાબી કે જમણી બાજુએ કેટલાક ડાબા હાથના પરિબળો, વધારાના સ્થિરાંકો વગેરે છે, કોઈ તર્કસંગતીકરણ અથવા મેદાનનું "ક્રોસિંગ આઉટ" કરી શકાતું નથી! આ સરળ હકીકતને સમજવામાં નિષ્ફળતાને કારણે અસંખ્ય કાર્યો ખોટી રીતે પૂર્ણ થયા છે. જ્યારે આપણે ઘાતાંકીય અને લઘુગણક અસમાનતાઓનું વિશ્લેષણ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ ત્યારે હું મારી જાતને મારા વિદ્યાર્થીઓ સાથે આ સમસ્યાનું સતત નિરીક્ષણ કરું છું.

પરંતુ ચાલો આપણા કાર્ય પર પાછા આવીએ. ચાલો આ વખતે તર્કસંગતતા વિના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો યાદ રાખીએ: ડિગ્રીનો આધાર એક કરતા મોટો છે, તેથી ત્રિવિધને સરળતાથી પાર કરી શકાય છે - અસમાનતા ચિહ્ન બદલાશે નહીં. અમને મળે છે:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

બસ એટલું જ. અંતિમ જવાબ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

સ્થિર અભિવ્યક્તિને અલગ કરીને અને ચલને બદલીને

નિષ્કર્ષમાં, હું વધુ ચાર ઘાતાંકીય અસમાનતાઓને ઉકેલવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું, જે તૈયારી વિનાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પહેલેથી જ ખૂબ મુશ્કેલ છે. તેમની સાથે સામનો કરવા માટે, તમારે ડિગ્રી સાથે કામ કરવાના નિયમો યાદ રાખવાની જરૂર છે. ખાસ કરીને, સામાન્ય પરિબળોને કૌંસની બહાર મૂકવું.

પરંતુ સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે કૌંસમાંથી બરાબર શું લઈ શકાય તે સમજવાનું શીખવું. આવી અભિવ્યક્તિને સ્થિર કહેવામાં આવે છે - તેને નવા ચલ દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે અને આમ ઘાતાંકીય કાર્યથી છૂટકારો મેળવી શકાય છે. તેથી, ચાલો કાર્યો જોઈએ:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ડાબે(0.5 \જમણે))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\અંત(સંરેખિત)\]

ચાલો પહેલી પંક્તિથી શરૂઆત કરીએ. ચાલો આ અસમાનતાને અલગથી લખીએ:

\[(5)^(x+2))+(5)^(x+1))\ge 6\]

નોંધ કરો કે $((5)^(x+2))=(5)^(x+1+1))=(5)^(x+1))\cdot 5$, તેથી જમણી બાજુ બાજુ ફરીથી લખી શકાય છે:

નોંધ કરો કે અસમાનતામાં $((5)^(x+1))$ સિવાય અન્ય કોઈ ઘાતાંકીય કાર્યો નથી. અને સામાન્ય રીતે, ચલ $x$ બીજે ક્યાંય દેખાતું નથી, તેથી ચાલો એક નવું ચલ રજૂ કરીએ: $((5)^(x+1))=t$. અમને નીચેનું બાંધકામ મળે છે:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

અમે મૂળ ચલ ($t=((5)^(x+1))$ પર પાછા ફરીએ છીએ, અને તે જ સમયે યાદ રાખો કે 1=5 0 . અમારી પાસે:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

તે ઉકેલ છે! જવાબ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. ચાલો બીજી અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ:

\[(3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

અહીં બધું સરખું છે. નોંધ કરો કે $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . પછી ડાબી બાજુ ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \જમણે). \\\અંત(સંરેખિત)\]

વાસ્તવિક પરીક્ષણો અને સ્વતંત્ર કાર્ય માટે તમારે લગભગ આ રીતે ઉકેલ તૈયાર કરવાની જરૂર છે.

સારું, ચાલો કંઈક વધુ જટિલ પ્રયાસ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, અહીં અસમાનતા છે:

\[((25)^(x+1.5))-(5)^(2x+2)) \gt 2500\]

અહીં શું સમસ્યા છે? સૌ પ્રથમ, ડાબી બાજુના ઘાતાંકીય કાર્યોના પાયા અલગ છે: 5 અને 25. જો કે, 25 = 5 2, તેથી પ્રથમ પદને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(સંરેખિત કરો) )\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પહેલા તો અમે દરેક વસ્તુને સમાન આધાર પર લાવ્યા છીએ, અને પછી અમે નોંધ્યું છે કે પ્રથમ શબ્દ સરળતાથી બીજામાં ઘટાડી શકાય છે - તમારે ફક્ત ઘાતાંકને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે. હવે તમે સુરક્ષિત રીતે નવું ચલ રજૂ કરી શકો છો: $((5)^(2x+2))=t$, અને સમગ્ર અસમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=(5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

અને ફરીથી, કોઈ મુશ્કેલીઓ નથી! અંતિમ જવાબ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. ચાલો આજના પાઠમાં અંતિમ અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ:

\[(\left(0.5 \જમણે))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

તમારે પ્રથમ વસ્તુ પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, અલબત્ત, દશાંશપ્રથમ ડિગ્રીના આધાર પર. તેમાંથી છૂટકારો મેળવવો જરૂરી છે, અને તે જ સમયે તમામ ઘાતાંકીય કાર્યોને સમાન આધાર પર લાવો - નંબર "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\ ડાબે(((2)^(-1)) \જમણે))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left((2)^(4)) \right)^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(સંરેખિત)\]

સરસ, અમે પહેલું પગલું ભર્યું છે-બધું એક જ પાયા તરફ દોરી ગયું છે. હવે તમારે સ્થિર અભિવ્યક્તિ પસંદ કરવાની જરૂર છે. નોંધ કરો કે $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. જો આપણે નવું ચલ રજૂ કરીએ છીએ $((2)^(4x+6))=t$, તો મૂળ અસમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\અંત(સંરેખિત)\]

સ્વાભાવિક રીતે, પ્રશ્ન ઊભો થઈ શકે છે: આપણે તે 256 = 2 8 કેવી રીતે શોધ્યું? કમનસીબે, અહીં તમારે ફક્ત બેની શક્તિઓ (અને તે જ સમયે ત્રણ અને પાંચની શક્તિઓ) જાણવાની જરૂર છે. સારું, અથવા પરિણામ ન મળે ત્યાં સુધી 256 ને 2 વડે વિભાજિત કરો (તમે ભાગી શકો છો, કારણ કે 256 એક સમાન સંખ્યા છે). તે આના જેવું કંઈક દેખાશે:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\end(align) )\]

આ જ ત્રણ સાથે સાચું છે (નંબર 9, 27, 81 અને 243 તેની ડિગ્રી છે), અને સાત સાથે (નંબર 49 અને 343 પણ યાદ રાખવું સરસ રહેશે). સારું, પાંચમાં "સુંદર" ડિગ્રી પણ છે જે તમારે જાણવાની જરૂર છે:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અલબત્ત, જો તમે ઈચ્છો તો, આ બધી સંખ્યાઓને એક બીજા દ્વારા ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને તમારા મગજમાં પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે. જો કે, જ્યારે તમારે ઘણી ઘાતાંકીય અસમાનતાઓ ઉકેલવાની હોય છે, અને દરેક આગલી એક પાછલી એક કરતાં વધુ મુશ્કેલ હોય છે, તો પછી તમે જે છેલ્લી વસ્તુ વિશે વિચારવા માંગો છો તે અમુક સંખ્યાઓની શક્તિઓ છે. અને આ અર્થમાં, આ સમસ્યાઓ "શાસ્ત્રીય" અસમાનતાઓ કરતાં વધુ જટિલ છે જે અંતરાલ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલાય છે.

મને આશા છે કે આ પાઠ તમને આ વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરશે. જો કંઈક અસ્પષ્ટ હોય, તો ટિપ્પણીઓમાં પૂછો. અને પછીના પાઠમાં મળીશું. :)