અનેક ચલોના કાર્યોની એક્સ્ટ્રીમા. એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી સ્થિતિ. શરતી આત્યંતિક. લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ. સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો.

વ્યાખ્યાન 5.

વ્યાખ્યા 5.1.ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) > f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y) એમ 0.

વ્યાખ્યા 5.2.ડોટ M 0 (x 0, y 0)કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુકાર્યો z = f (x, y),જો f (x o , y o) < f(x,y)બધા પોઈન્ટ માટે (x, y)બિંદુના અમુક પડોશમાંથી એમ 0.

નોંધ 1. મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓકેટલાક ચલોના કાર્યો.

ટીકા 2. કોઈપણ સંખ્યાના ચલોના કાર્ય માટે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

પ્રમેય 5.1 (જરૂરી શરતોઆત્યંતિક). જો M 0 (x 0, y 0)- કાર્યનો અંતિમ બિંદુ z = f (x, y),પછી આ બિંદુએ આ ફંક્શનના પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પુરાવો.

ચાલો વેરીએબલની કિંમત ઠીક કરીએ ખાતે, ગણતરી y = y 0. પછી કાર્ય f (x, y 0)એક ચલનું કાર્ય હશે એક્સ, જેના માટે x = x 0આત્યંતિક બિંદુ છે. તેથી, ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા, અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. આ જ નિવેદન માટે સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

વ્યાખ્યા 5.3.અનેક ચલોના ફંક્શનના ડોમેન સાથે જોડાયેલા પોઈન્ટ કે જેના પર ફંક્શનના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્ય સમાન હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બિંદુઓઆ કાર્ય.

ટિપ્પણી. આમ, અંતિમ બિંદુ માત્ર સ્થિર બિંદુઓ પર પહોંચી શકાય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી કે તે દરેક પર અવલોકન કરવામાં આવે.

પ્રમેય 5.2(એક છેડા માટે પૂરતી શરતો). બિંદુના કેટલાક પડોશમાં દો M 0 (x 0, y 0), જે કાર્યનું સ્થિર બિંદુ છે z = f (x, y),આ ફંક્શનમાં 3જી ઓર્ડર સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે. ચાલો પછી સૂચિત કરીએ:

1) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0મહત્તમ જો એસી-બી² > 0, એ < 0;

2) f(x,y)બિંદુ પર છે એમ 0ન્યૂનતમ જો એસી-બી² > 0, એ > 0;

3) નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ અંતિમ નથી જો એસી-બી² < 0;

4) જો એસી-બી² = 0, વધુ સંશોધનની જરૂર છે.

પુરાવો.

ચાલો ફંક્શન માટે સેકન્ડ ઓર્ડર ટેલર ફોર્મ્યુલા લખીએ f(x,y),યાદ રાખવું કે સ્થિર બિંદુ પર પ્રથમ-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે:

જ્યાં જો સેગમેન્ટ વચ્ચેનો કોણ M 0 M, ક્યાં M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ખાતે), અને O અક્ષ એક્સφ દર્શાવો, પછી Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. આ કિસ્સામાં, ટેલરનું સૂત્ર ફોર્મ લેશે: . ચાલો પછી આપણે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને વિભાજીત અને ગુણાકાર કરી શકીએ એ. અમને મળે છે:

ચાલો હવે ચારનો વિચાર કરીએ શક્ય કેસો:

1) એસી-બી² > 0, એ < 0. Тогда , и પર્યાપ્ત નાના Δρ પર. તેથી, કેટલાક પડોશમાં M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), તે જ એમ 0- મહત્તમ બિંદુ.

2) ચાલો એસી-બી² > 0, A > 0.પછી , અને એમ 0- ન્યૂનતમ બિંદુ.

3) ચાલો એસી-બી² < 0, એ> 0. કિરણ φ = 0 સાથે દલીલોના વધારાને ધ્યાનમાં લો. પછી (5.1) માંથી તે અનુસરે છે , એટલે કે, જ્યારે આ કિરણ સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે કાર્ય વધે છે. જો આપણે એવા કિરણ સાથે આગળ વધીએ કે tg φ 0 = -A/B,તે , તેથી, જ્યારે આ કિરણ સાથે આગળ વધે છે, ત્યારે કાર્ય ઘટે છે. તેથી, સમયગાળો એમ 0આત્યંતિક બિંદુ નથી.

3`) ક્યારે એસી-બી² < 0, એ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

પાછલા એક જેવું જ.

3``) જો એસી-બી² < 0, એ= 0, પછી. જેમાં . પછી પૂરતા પ્રમાણમાં નાના માટે φ અભિવ્યક્તિ 2 બી cosφ + સી sinφ 2 ની નજીક છે IN, એટલે કે, તે સતત ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, પરંતુ બિંદુની નજીકમાં sinφ ચિહ્ન બદલાય છે એમ 0.આનો અર્થ એ છે કે કાર્યની વૃદ્ધિ સ્થિર બિંદુની નજીકમાં ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે, જે તેથી એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ નથી.

4) જો એસી-બી² = 0, અને , , એટલે કે, વૃદ્ધિનું ચિહ્ન 2α 0 ના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. તે જ સમયે, એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વના પ્રશ્નને સ્પષ્ટ કરવા માટે વધુ સંશોધન જરૂરી છે.

ઉદાહરણ. ચાલો ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ શોધીએ z = x² - 2 xy + 2y² + 2 xસ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ . તેથી, સ્થિર બિંદુ (-2,-1) છે. જેમાં A = 2, IN = -2, સાથે= 4. પછી એસી-બી² = 4 > 0, તેથી, સ્થિર બિંદુ પર એક સીમા સુધી પહોંચે છે, એટલે કે ન્યૂનતમ (ત્યારથી એ > 0).

વ્યાખ્યા 5.4.જો કાર્ય દલીલ કરે છે f (x 1 , x 2 ,…, x n)જોડાયેલ વધારાની શરતોતરીકે mસમીકરણો ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (5.2)

જ્યાં ફંક્શન φ i માં સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ હોય છે, તો સમીકરણો (5.2) કહેવાય છે જોડાણ સમીકરણો.

વ્યાખ્યા 5.5.કાર્યની આત્યંતિક f (x 1 , x 2 ,…, x n)જ્યારે શરતો (5.2) પૂરી થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે શરતી અંતિમ.

ટિપ્પણી. અમે બે ચલોના ફંક્શનના શરતી સીમાનું નીચેનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપી શકીએ છીએ: ફંક્શનની દલીલો દો f(x,y)સમીકરણ φ દ્વારા સંબંધિત (x,y)= 0, O પ્લેનમાં કેટલાક વળાંકને વ્યાખ્યાયિત કરે છે xy. આ વળાંકના દરેક બિંદુથી સમતલ O પર લંબરૂપ પુનઃનિર્માણ xyજ્યાં સુધી તે સપાટી સાથે છેદે નહીં z = f (x,y),અમે વળાંક φ ની ઉપરની સપાટી પર પડેલો અવકાશી વળાંક મેળવીએ છીએ (x,y)= 0. કાર્ય પરિણામી વળાંકના અંતિમ બિંદુઓને શોધવાનું છે, જે, અલબત્ત, સામાન્ય કેસફંક્શનના બિનશરતી આત્યંતિક બિંદુઓ સાથે સુસંગત નથી f(x,y).

ચાલો પ્રથમ નીચેની વ્યાખ્યા રજૂ કરીને બે ચલોના કાર્ય માટે શરતી સીમા માટે જરૂરી શરતો નક્કી કરીએ:

વ્યાખ્યા 5.6.કાર્ય L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

જ્યાં λi -કેટલાક સતત છે, કહેવાય છે Lagrange કાર્ય, અને સંખ્યાઓ λi– અનિશ્ચિત લેગ્રેન્જ મલ્ટિપ્લાયર્સ.

પ્રમેય 5.3(શરતી અંતિમ માટે જરૂરી શરતો). ફંક્શનની શરતી સીમા z = f (x, y)જોડાણ સમીકરણની હાજરીમાં φ ( x, y)= 0 લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ પર જ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

પુરાવો. જોડાણ સમીકરણ ગર્ભિત સંબંધને સ્પષ્ટ કરે છે ખાતેથી એક્સ, તેથી અમે તે ધારીશું ખાતેથી એક કાર્ય છે એક્સ: y = y(x).પછી zથી એક જટિલ કાર્ય છે એક્સ, અને તેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: . (5.4) જોડાણ સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે . (5.5)

ચાલો સમાનતા (5.5) ને અમુક સંખ્યા λ વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેને (5.4) માં ઉમેરીએ. અમને મળે છે:

, અથવા

છેલ્લી સમાનતા સ્થિર બિંદુઓ પર સંતુષ્ટ હોવી જોઈએ, જેમાંથી તે નીચે મુજબ છે:

(5.6)

ત્રણ અજાણ્યાઓ માટે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે: x, yઅને λ, અને પ્રથમ બે સમીકરણો લેગ્રેન્જ ફંક્શનના સ્થિર બિંદુ માટે શરતો છે. સિસ્ટમ (5.6) માંથી સહાયક અજ્ઞાત λ ને બાકાત રાખીને, અમે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ છીએ કે જેના પર મૂળ કાર્ય શરતી સીમા ધરાવતું હોઈ શકે છે.

રિમાર્ક 1. પ્રમેય 5.2 સાથે સામ્યતા દ્વારા લેગ્રેન્જ ફંક્શનના બીજા-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરીને શોધી શકાય તેવા બિંદુ પર શરતી અંતિમની હાજરી ચકાસી શકાય છે.

ટિપ્પણી 2. બિંદુઓ કે જેના પર કાર્યની શરતી સીમા સુધી પહોંચી શકાય છે f (x 1 , x 2 ,…, x n)જ્યારે શરતો (5.2) પૂરી થાય છે, ત્યારે તેને સિસ્ટમના ઉકેલો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે (5.7)

ઉદાહરણ. ચાલો ફંક્શનની શરતી સીમા શોધીએ z = xyકે જે આપેલ x + y= 1. ચાલો Lagrange ફંક્શન કંપોઝ કરીએ L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). સિસ્ટમ (5.6) આના જેવો દેખાય છે:

જ્યાં -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. જેમાં L(x,y)ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, તેથી સ્થિર બિંદુ પર L(x,y)મહત્તમ છે અને z = xy -શરતી મહત્તમ.

શરતી આત્યંતિક.

અનેક ચલોના કાર્યની એક્સ્ટ્રીમા

ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિ.

FNP નો સ્થાનિક છેડો

ફંક્શન આપવા દો અને= f(P), РÎDÌR nઅને બિંદુ P 0 દો ( એ 1 , એ 2 , ..., a p) –આંતરિકસેટ ડી બિંદુ.

વ્યાખ્યા 9.4.

1) બિંદુ P 0 કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ કાર્યો અને= f(P), જો આ બિંદુ U(P 0) М D ની પડોશ હોય તો કોઈપણ બિંદુ P( માટે એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x પી)О U(P 0) , Р¹Р 0 , શરત સંતુષ્ટ છે f(P) £ f(પી 0). અર્થ f(P 0) મહત્તમ બિંદુ પર કાર્ય કહેવાય છે કાર્યની મહત્તમ અને નિયુક્ત થયેલ છે f(P0) = મહત્તમ f(પી).

2) બિંદુ P 0 કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ કાર્યો અને= f(P), જો આ બિંદુ U(P 0)Ì D ની પડોશ હોય તો કોઈપણ બિંદુ P( માટે એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x પી)OU(P 0), Р¹Р 0 , શરત સંતુષ્ટ છે f(P)³ f(પી 0). અર્થ f(P 0) લઘુત્તમ બિંદુ પર કાર્ય કહેવાય છે ન્યૂનતમ કાર્ય અને નિયુક્ત થયેલ છે f(P 0) = મિનિટ f(પી).

ફંક્શનના લઘુત્તમ અને મહત્તમ બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ, એક્સ્ટ્રીમા પોઈન્ટ પરના ફંક્શનના મૂલ્યોને કહેવામાં આવે છે કાર્યની અંતિમ

વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ, અસમાનતાઓ f(P) £ f(પી 0) , f(P)³ f(P 0) માત્ર બિંદુ P 0 ના ચોક્કસ પડોશમાં જ સંતુષ્ટ હોવું જોઈએ, અને ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં નહીં, જેનો અર્થ છે કે ફંક્શનમાં એક જ પ્રકારના ઘણા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે છે (કેટલાક મિનિમા, ઘણા મેક્સિમા) . તેથી, ઉપર નિર્ધારિત અંતિમો કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક(સ્થાનિક) ચરમસીમાઓ.

પ્રમેય 9.1 (FNP ના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી સ્થિતિ)

જો કાર્ય અને= f(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ..., x પી) બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવે છે, તો આ બિંદુએ તેના પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ કાં તો શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

પુરાવો.બિંદુ P 0 પર ચાલો ( એ 1 , એ 2 , ..., a p) કાર્ય અને= f(P) પાસે એક્સ્ટ્રીમ છે, ઉદાહરણ તરીકે, મહત્તમ. ચાલો દલીલો ઠીક કરીએ એક્સ 2 , ..., x પી, મૂકવું એક્સ 2 =એ 2 ,..., x પી = a p. પછી અને= f(પી) = f 1 ((એક્સ 1 , એ 2 , ..., a p) એ એક ચલનું કાર્ય છે એક્સ 1 ત્યારથી આ કાર્ય છે એક્સ 1 = એ 1 આત્યંતિક (મહત્તમ), પછી f 1 ¢=0 અથવા જ્યારે અસ્તિત્વમાં નથી એક્સ 1 =એ 1 (એક ચલના કાર્યના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ). પરંતુ, તેનો અર્થ એ છે કે બિંદુ P 0 પર અસ્તિત્વમાં નથી - આત્યંતિક બિંદુ. એ જ રીતે, આપણે અન્ય ચલોના સંદર્ભમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્સને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. સીટીડી.

ફંક્શનના ડોમેનમાં એવા બિંદુઓ કે જેના પર પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સ શૂન્યની બરાબર હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તેને કહેવામાં આવે છે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ આ કાર્ય.

પ્રમેય 9.1 માંથી નીચે મુજબ, FNP ના અંતિમ બિંદુઓ કાર્યના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ વચ્ચે માંગવા જોઈએ. પરંતુ, એક ચલના કાર્ય માટે, દરેક નિર્ણાયક બિંદુ એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી.

પ્રમેય 9.2 (FNP ના અંતિમ ભાગ માટે પૂરતી સ્થિતિ)

P 0 એ ફંક્શનનો નિર્ણાયક બિંદુ છે અને= f(પી) અને આ કાર્યનો બીજો ક્રમ વિભેદક છે. પછી

અને જો ડી 2 u(P 0) > 0 પર , પછી P 0 એક બિંદુ છે ન્યૂનતમકાર્યો અને= f(પી);

b) જો ડી 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка મહત્તમકાર્યો અને= f(પી);

c) જો ડી 2 u(P 0) ચિહ્ન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી, પછી P 0 એ એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી;

અમે પુરાવા વિના આ પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈશું.

નોંધ કરો કે પ્રમેય જ્યારે કેસને ધ્યાનમાં લેતા નથી ડી 2 u(P 0) = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. આનો અર્થ એ છે કે આવી પરિસ્થિતિઓમાં બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે - અમને જરૂર છે વધારાના સંશોધન, ઉદાહરણ તરીકે, આ બિંદુએ કાર્યના વધારાનો અભ્યાસ કરવો.

વધુ વિગતવાર ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં તે સાબિત થાય છે કે, ખાસ કરીને કાર્ય માટે z = f(x,y) બે ચલોનો, જેનો બીજો ક્રમ વિભેદક ફોર્મનો સરવાળો છે

નિર્ણાયક બિંદુ P 0 પર એક્સ્ટ્રીમમની હાજરીનો અભ્યાસ સરળ બનાવી શકાય છે.

ચાલો સૂચિત કરીએ , . ચાલો નિર્ણાયક કંપોઝ કરીએ

.

બહાર વળે:

ડી 2 z> બિંદુ P 0 પર 0, એટલે કે. P 0 - ન્યૂનતમ બિંદુ, જો એ(P 0) > 0 અને D(P 0) > 0;

ડી 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если એ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

જો D(P 0)< 0, то ડી 2 zબિંદુ P 0 ની નજીકમાં તે ચિહ્ન બદલે છે અને બિંદુ P 0 પર કોઈ અંતિમ નથી;

જો D(Р 0) = 0 હોય, તો નિર્ણાયક બિંદુ Р 0 ની નજીકમાં કાર્યનો વધારાનો અભ્યાસ પણ જરૂરી છે.

આમ, કાર્ય માટે z = f(x,yબે ચલોમાંથી ) એક્સ્ટ્રીમમ શોધવા માટે અમારી પાસે નીચેનું અલ્ગોરિધમ છે (ચાલો તેને "એલ્ગોરિધમ D" કહીએ)

1) વ્યાખ્યા D(નું ડોમેન શોધો f) કાર્યો.

2) નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે. ડી થી પોઈન્ટ( f), જેના માટે અને શૂન્ય સમાન છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

3) દરેક નિર્ણાયક બિંદુ P 0 પર, એક્સ્ટ્રીમમ માટે પૂરતી શરતો તપાસો. આ કરવા માટે, શોધો , જ્યાં , , અને D(P 0) અને ગણતરી કરો એ(P 0).પછી:

જો D(P 0) >0, તો બિંદુ P 0 પર એક સીમા છે, અને જો એ(P 0) > 0 – પછી આ ન્યૂનતમ છે, અને જો એ(પૃષ્ઠ 0)< 0 – максимум;

જો D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

જો D(P 0) = 0 હોય, તો વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

4) મળેલા અંતિમ બિંદુઓ પર, કાર્યની કિંમતની ગણતરી કરો.

ઉદાહરણ 1.

કાર્યની સીમા શોધો z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

ઉકેલ.આ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સમગ્ર કોઓર્ડિનેટ પ્લેન છે. ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ.

, , Þ P 0 (0,0), .

ચાલો તપાસ કરીએ કે એક્સ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો પૂરી થાય છે કે કેમ. અમે શોધીશું

6એક્સ, = -3, = 48ખાતેઅને = 288xy – 9.

પછી D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(P 1) = 36-9>0 - બિંદુ P 1 પર એક સીમા છે, અને ત્યારથી એ(P 1) = 3 >0, તો પછી આ એક્સ્ટ્રીમમ ન્યૂનતમ છે. તેથી મિ z=z(P 1) = .

ઉદાહરણ 2.

કાર્યની સીમા શોધો .

ઉકેલ: D( f) =R 2 . નિર્ણાયક મુદ્દાઓ: ; જ્યારે અસ્તિત્વમાં નથી ખાતે= 0, જેનો અર્થ થાય છે P 0 (0,0) એ આ કાર્યનો નિર્ણાયક બિંદુ છે.

2, = 0, = , = , પરંતુ D(P 0) વ્યાખ્યાયિત નથી, તેથી તેની નિશાનીનો અભ્યાસ કરવો અશક્ય છે.

આ જ કારણસર, પ્રમેય 9.2 ને સીધી રીતે લાગુ કરવું અશક્ય છે - ડી 2 zઆ બિંદુએ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો ફંક્શનના વધારાને ધ્યાનમાં લઈએ f(x, y) બિંદુ P 0 પર. જો ડી f =f(પી) - f(P 0)>0 "P, તો P 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે, પરંતુ જો D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

અમારા કિસ્સામાં અમારી પાસે છે

ડી f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

ખાતે ડી x= 0.1 અને ડી y= -0.008 આપણને ડી મળે છે f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 અને ડી y= 0.001 ડી f= 0.01 + 0.1 > 0, એટલે કે. બિંદુ P 0 ની નજીકમાં કોઈપણ સ્થિતિ D સંતુષ્ટ નથી f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) અને તેથી P 0 એ મહત્તમ બિંદુ નથી), અને શરત D નથી f>0 (એટલે ​​કે f(x, y) > f(0, 0) અને પછી P 0 એ ન્યૂનતમ બિંદુ નથી). આનો અર્થ એ છે કે, એક્સ્ટ્રીમમની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, આ ફંક્શનમાં કોઈ સીમા નથી.

શરતી આત્યંતિક.

ફંક્શનની ગણવામાં આવેલ સીમા કહેવાય છે બિનશરતી, કારણ કે ફંક્શન દલીલો પર કોઈ નિયંત્રણો (શરતો) લાદવામાં આવતા નથી.

વ્યાખ્યા 9.2.કાર્યની આત્યંતિક અને = f(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પી), તેની દલીલો શરત હેઠળ મળી એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પીસમીકરણો સંતોષો j 1 ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પી) = 0, …, j ટી(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પી) = 0, જ્યાં P ( એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પી) ઓ ડી( f), કહેવાય છે શરતી અંતિમ .

સમીકરણો જે k(એક્સ 1 , એક્સ 2 , ... , x પી) = 0 , k = 1, 2,..., m, ને બોલાવ્યા હતા જોડાણ સમીકરણો.

ચાલો કાર્યો જોઈએ z = f(x,y) બે ચલો. જો જોડાણ સમીકરણ એક છે, એટલે કે. , તો પછી કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ શોધવાનો અર્થ એ છે કે એક્સ્ટ્રીમમને ફંક્શનની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં નહીં, પરંતુ D(માં આવેલા કેટલાક વળાંક પર શોધવામાં આવે છે. f) (એટલે ​​​​કે, તે સપાટીના સૌથી ઉંચા અથવા નીચા બિંદુઓ નથી જે માંગવામાં આવે છે z = f(x,y), અને સિલિન્ડર સાથે આ સપાટીના આંતરછેદના બિંદુઓમાંથી સૌથી વધુ અથવા સૌથી નીચા બિંદુઓ, ફિગ. 5).

ફંક્શનની શરતી સીમા z = f(x,yબે ચલોમાંથી ) નીચેની રીતે શોધી શકાય છે( દૂર કરવાની પદ્ધતિ). સમીકરણમાંથી, ચલોમાંના એકને બીજાના ફંક્શન તરીકે વ્યક્ત કરો (ઉદાહરણ તરીકે, લખો ) અને, ચલના આ મૂલ્યને ફંક્શનમાં બદલીને, બાદમાંને એક ચલના ફંક્શન તરીકે લખો. ). એક ચલના પરિણામી કાર્યની સીમા શોધો.

વ્યાખ્યા 1: ફંક્શનને બિંદુ પર સ્થાનિક મહત્તમ હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો< 0.

વ્યાખ્યા2: કાર્યને બિંદુ પર લઘુત્તમ સ્થાનિક હોવાનું કહેવાય છે જો બિંદુની પડોશી હોય જેમ કે કોઈપણ બિંદુ માટે એમકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (x, y)અસમાનતા ધરાવે છે: . આ કિસ્સામાં, એટલે કે, કાર્યનો વધારો > 0.

વ્યાખ્યા 3: સ્થાનિક લઘુત્તમ અને મહત્તમના બિંદુઓને કહેવામાં આવે છે આત્યંતિક બિંદુઓ.

શરતી ચરમસીમાઓ

જ્યારે ઘણા ચલોના કાર્યની આત્યંતિકતા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે ઘણીવાર કહેવાતા સંબંધિત સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે શરતી અંતિમ.આ ખ્યાલને બે ચલોના કાર્યના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે.

એક ફંક્શન અને લીટી આપવા દો એલસપાટી પર 0xy. કાર્ય લાઇન પર મેળવવાનું છે એલઆવા બિંદુ શોધો P(x, y),જેમાં ફંક્શનનું મૂલ્ય રેખા પરના બિંદુઓ પર આ ફંક્શનના મૂલ્યોની તુલનામાં સૌથી મોટું અથવા નાનું હોય છે એલ, બિંદુની નજીક સ્થિત છે પી. આવા બિંદુઓ પીને બોલાવ્યા હતા શરતી આત્યંતિક બિંદુઓલાઇન પર કાર્યો એલ. સામાન્ય એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટથી વિપરીત, શરતી આત્યંતિક બિંદુ પર ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના ફંક્શનના મૂલ્યો સાથે તેના પડોશના તમામ બિંદુઓ પર નહીં, પરંતુ ફક્ત તે જ સાથે કરવામાં આવે છે જે રેખા પર આવેલા હોય છે. એલ.

તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે સામાન્ય ચરમસીમાનો મુદ્દો (તેઓ પણ કહે છે બિનશરતી અંતિમ) આ બિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા માટે શરતી અંતિમ બિંદુ પણ છે. વાતચીત, અલબત્ત, સાચી નથી: શરતી આત્યંતિક બિંદુ સામાન્ય અંતિમ બિંદુ ન હોઈ શકે. મેં જે કહ્યું તે એક સરળ ઉદાહરણ સાથે સમજાવું. કાર્યનો ગ્રાફ ઉપલા ગોળાર્ધ (પરિશિષ્ટ 3 (ફિગ. 3)) છે.

આ કાર્ય મૂળ પર મહત્તમ છે; શિરોબિંદુ તેને અનુરૂપ છે એમગોળાર્ધ જો રેખા એલબિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક રેખા છે એઅને IN(તેનું સમીકરણ x+y-1=0), પછી તે ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે આ રેખાના બિંદુઓ માટે ઉચ્ચતમ મૂલ્યબિંદુઓ વચ્ચે મધ્યમાં આવેલા બિંદુ પર કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે એઅને INઆ લાઇન પર ફંક્શનના શરતી આત્યંતિક (મહત્તમ) નું બિંદુ છે; તે ગોળાર્ધ પરના પોઈન્ટ M 1 ને અનુરૂપ છે, અને આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અહીં કોઈ સામાન્ય અંતિમની વાત કરી શકાતી નથી.

નોંધ કરો કે બંધ પ્રદેશમાં ફંક્શનના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના મૂલ્યો શોધવાની સમસ્યાના અંતિમ ભાગમાં, આપણે આ પ્રદેશની સીમા પર ફંક્શનના આત્યંતિક મૂલ્યો શોધવા પડશે, એટલે કે. અમુક લાઇન પર, અને ત્યાંથી શરતી આત્યંતિક સમસ્યા હલ કરો.

ચાલો હવે Z= f(x, y) ફંક્શનના કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રામમ પોઈન્ટ માટે વ્યવહારુ શોધ તરફ આગળ વધીએ, જો કે x અને y ચલ સમીકરણ (x, y) = 0 દ્વારા સંબંધિત છે. અમે આ સંબંધને કહીશું જોડાણ સમીકરણ. જો કપ્લીંગ સમીકરણમાંથી y ને x: y=(x) ના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય, તો આપણે એક ચલ Z= f(x, (x)) = Ф(x) નું કાર્ય મેળવીએ છીએ.

મૂલ્ય x કે જેના પર આ ફંક્શન એક્સ્ટ્રીમમ સુધી પહોંચે છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, અને પછી કનેક્શન સમીકરણ પરથી અનુરૂપ y મૂલ્યો નક્કી કર્યા પછી, અમે શરતી સીમાના ઇચ્છિત બિંદુઓ મેળવીએ છીએ.

તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, સંબંધ સમીકરણ x+y-1=0 પરથી આપણી પાસે y=1-x છે. અહીંથી

તે તપાસવું સરળ છે કે z તેની મહત્તમ x = 0.5 પર પહોંચે છે; પરંતુ પછી જોડાણ સમીકરણ y = 0.5 થી, અને આપણને ભૌમિતિક વિચારણાઓમાંથી મળેલ બિંદુ P બરાબર મળે છે.

જ્યારે કનેક્શન સમીકરણ રજૂ કરી શકાય ત્યારે પણ શરતી સીમાની સમસ્યા ખૂબ જ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે પેરામેટ્રિક સમીકરણો x=x(t), y=y(t). x અને y માટેના અભિવ્યક્તિઓને માં બદલીને આ કાર્ય, આપણે ફરી એક ચલના ફંક્શનની સીમા શોધવાની સમસ્યા પર આવીએ છીએ.

જો કપ્લીંગ સમીકરણ કરતાં વધુ હોય જટિલ દેખાવઅને અમે કાં તો એક ચલને બીજાના સંદર્ભમાં સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં અસમર્થ છીએ, અથવા તેને પેરામેટ્રિક સમીકરણો સાથે બદલી શકીએ છીએ, તો શરતી સીમા શોધવાનું કાર્ય વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે. અમે એમ માનવાનું ચાલુ રાખીશું કે ફંક્શન z= f(x, y) ની અભિવ્યક્તિમાં ચલ (x, y) = 0. ફંક્શન z= f(x, y) નું કુલ વ્યુત્પન્ન સમાન છે:

જ્યાં વ્યુત્પન્ન y` ગર્ભિત કાર્યના તફાવતના નિયમનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. શરતી સીમાના બિંદુઓ પર, મળી આવેલ કુલ વ્યુત્પન્ન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ; આ x અને y ને લગતું એક સમીકરણ આપે છે. કારણ કે તેઓએ જોડાણ સમીકરણને પણ સંતોષવું આવશ્યક છે, અમને બે અજ્ઞાત સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણને પ્રમાણના રૂપમાં લખીને અને નવી સહાયક અજ્ઞાત રજૂ કરીને આ સિસ્ટમને વધુ અનુકૂળમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

(સામે માઈનસ ચિહ્ન સુવિધા માટે છે). આ સમાનતાઓમાંથી નીચેની સિસ્ટમમાં જવાનું સરળ છે:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

જે, જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે મળીને, અજાણ્યા x, y અને સાથે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવે છે.

આ સમીકરણો (*) નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને યાદ રાખવા માટે સૌથી સરળ છે: એવા બિંદુઓ શોધવા માટે કે જે કાર્યના શરતી સીમાના બિંદુઓ હોઈ શકે.

Z= f(x, y) જોડાણ સમીકરણ (x, y) = 0 સાથે, તમારે સહાયક કાર્ય બનાવવાની જરૂર છે

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

ક્યાં અમુક સ્થિર છે, અને આ કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો બનાવો.

સમીકરણોની સૂચવેલ સિસ્ટમ, નિયમ તરીકે, ફક્ત જરૂરી શરતો પ્રદાન કરે છે, એટલે કે. મૂલ્યોની દરેક જોડી x અને y જે આ સિસ્ટમને સંતોષે છે તે આવશ્યકપણે શરતી અંતિમ બિંદુ નથી. હું શરતી અંતિમ બિંદુઓ માટે પૂરતી શરતો આપીશ નહીં; ઘણી વાર સમસ્યાની વિશિષ્ટ સામગ્રી પોતે જ સૂચવે છે કે શોધાયેલ બિંદુ શું છે. શરતી સીમા પર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વર્ણવેલ તકનીકને લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ફંક્શન z - /(x, y) ને અમુક ડોમેન D માં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને Mo(xo, Vo) ને આ ડોમેનનો આંતરિક બિંદુ બનવા દો. વ્યાખ્યા. જો ત્યાં એવી સંખ્યા હોય કે જે તમામ પરિસ્થિતિઓને સંતોષવા માટે અસમાનતા સાચી હોય, તો બિંદુ Mo(xo, y) ફંક્શન f(x, y) નો સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ કહેવાય છે; જો બધા Dx, Du માટે, શરતો સંતોષતા હોય તો | પછી બિંદુ Mo(xo,yo) ને પાતળો સ્થાનિક લઘુત્તમ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુ M0(x0, y0) એ ફંક્શન f(x, y) ના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બિંદુનો એક બિંદુ છે જો ત્યાં A/o(x0, y0) બિંદુની 6-પડોશી અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે બિલકુલ આના પોઈન્ટ M(x, y) ને પાડોશમાં, ફંક્શનની વૃદ્ધિ તેની નિશાની જાળવી રાખે છે. ઉદાહરણો. 1. કાર્ય બિંદુ માટે - ન્યૂનતમ બિંદુ (ફિગ. 17). 2. કાર્ય માટે, બિંદુ 0(0,0) એ મહત્તમ બિંદુ છે (ફિગ. 18). 3. ફંક્શન માટે, બિંદુ 0(0,0) એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. 4 વાસ્તવમાં, બિંદુ 0(0, 0) ની પડોશી છે, ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિજ્યા j નું વર્તુળ (ફિગ. 19 જુઓ), જેમાંથી કોઈપણ બિંદુએ, બિંદુ 0(0,0) થી અલગ હોય છે, ફંક્શનનું મૂલ્ય /(x,y) 1 કરતા ઓછું = અમે કડક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ફંક્શનના માત્ર પોઈન્ટને ધ્યાનમાં લઈશું જ્યારે કેટલાક પંચર થયેલ 6-પડોશમાંથી તમામ પોઈન્ટ M(x) y) માટે કડક અસમાનતા અથવા કડક અસમાનતા સંતોષાય છે. બિંદુ Mq ના. મહત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય મહત્તમ કહેવાય છે, અને લઘુત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું મૂલ્ય આ કાર્યનું લઘુત્તમ કહેવાય છે. ફંક્શનના મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે, અને ફંક્શનના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટને તેની એક્સ્ટ્રીમા કહેવામાં આવે છે. પ્રમેય 11 (એક અંતિમ માટે જરૂરી સ્થિતિ). જો એક્સ્ટ્રીમમ ફંક્શન અનેકનું કાર્ય છે વેરીએબલ્સ કન્સેપ્ટઅનેક ચલોના કાર્યની સીમા. એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સતત ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો બિંદુ પર એક સીમા ધરાવે છે પછી આ બિંદુએ દરેક આંશિક વ્યુત્પન્ન u કાં તો અદૃશ્ય થઈ જાય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. કાર્ય z = f(x) y) ને બિંદુ M0(x0, yо) પર એક્સ્ટ્રીમમ રાખવા દો. ચાલો ચલ y ની કિંમત yo આપીએ. પછી ફંક્શન z = /(x, y) એ એક ચલનું ફંક્શન હશે x\ કારણ કે x = xo પર તેની એક સીમા છે (મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ, ફિગ. 20), પછી તેનું વ્યુત્પન્ન x = “o, | (*o,l>)" શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. એ જ રીતે, અમને ખાતરી છે કે) કાં તો શૂન્યની બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. જે ​​બિંદુઓ પર = 0 અને χ = 0 અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે. ફંક્શનના બિંદુઓ જે $£ = φ = 0 છે તે પ્રમેય 11 માટે માત્ર જરૂરી શરતો વ્યક્ત કરે છે, જેનું ઉદાહરણ પૂરતું નથી. 20 ડેરિવેટિવ્સ જે અદૃશ્ય થઈ જાય છે, પરંતુ આ ફંક્શન સ્ટ્રમના ઇમ્વેટ પર પાતળું છે. મનસ્વી રીતે બિંદુ 0(0,0) ની નજીક, અને તેના માટે નકારાત્મક મૂલ્યો જેથી કરીને બિંદુઓ (0, y) પર મનસ્વી રીતે નાના માટે નિર્દેશિત પ્રકારનો બિંદુ 0(0,0) ને મિનિમેક્સ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. ફિગ. 21) નીચે પ્રમાણે પ્રમેય 12 (બે ચલોના ફંક્શનની સીમા માટે પર્યાપ્ત સ્થિતિઓ) Mo(x, y) ને સ્થિર બિંદુ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે ફંક્શન f(x, y), અને બિંદુ / ના અમુક પડોશમાં, પોઈન્ટ Mo સહિત, ફંક્શન /(r, y) બીજા ક્રમ સુધી સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવે છે. પછી." બિંદુ Mo(xo, V0) પર ફંક્શન /(xo, y) પાસે એક્સ્ટ્રીમમ નથી જો D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>ફંક્શન f(x, y) ની સીમા અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે કે ન પણ હોય. આ કિસ્સામાં, વધુ સંશોધન જરૂરી છે. m ચાલો આપણે પ્રમેયના વિધાન 1) અને 2) સાબિત કરવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીએ. ચાલો ફંક્શન /(i, y): ક્યાં માટે સેકન્ડ-ઓર્ડર ટેલર ફોર્મ્યુલા લખીએ. શરત મુજબ, તે સ્પષ્ટ છે કે વૃદ્ધિ D/ નું ચિહ્ન (1) ની જમણી બાજુએ ત્રિપદીના ચિહ્ન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે, બીજા વિભેદક d2f ની નિશાની. ચાલો તેને સંક્ષિપ્તતા માટે સૂચવીએ. પછી સમાનતા (l) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય: ચાલો MQ(so, V0) બિંદુ પર આપણી પાસે છે... કારણ કે, શરત દ્વારા, ફંક્શન f(s, y) ના બીજા-ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ સતત છે, પછી અસમાનતા (3) બિંદુ M0(s0,yo) ના અમુક પડોશમાં પણ રહેશે. જો સ્થિતિ સંતોષાય છે (બિંદુ А/0 પર, અને સાતત્યના આધારે વ્યુત્પન્ન /,z(s,y) બિંદુ Af0 ના અમુક પડોશમાં તેનું ચિહ્ન જાળવી રાખશે. પ્રદેશમાં જ્યાં А Ф 0, અમારી પાસે છે આનાથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જો બિંદુ M0(x0) y0 ની અમુક પડોશમાં ЛС - В2 > 0 હોય, તો ત્રિકોણીય AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 બિંદુ પર A ના ચિહ્ન સાથે એકરુપ થાય છે (તેથી , V0) (તેમજ C ના ચિહ્ન સાથે, કારણ કે AC - B2 > 0 A અને C માટે અલગ અલગ ચિહ્નો હોઈ શકતા નથી). બિંદુ (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) પર સરવાળા AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 નું ચિહ્ન તફાવતની નિશાની નક્કી કરે છે, તેથી અમે નીચેના નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: જો કાર્ય /(s,y) માટે સ્થિર બિંદુ (s0, V0) સ્થિતિ, પછી પૂરતા પ્રમાણમાં નાના માટે || અસમાનતા સંતોષાશે. આમ, બિંદુ (sq, V0) પર ફંક્શન /(s, y) મહત્તમ છે. જો સ્થિતિ સ્થિર બિંદુ (s0, y0) પર સંતુષ્ટ હોય, તો પછી બધા પર્યાપ્ત નાના માટે |Dr| અને |ડુ| અસમાનતા સાચી છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ (so,yo) પર ફંક્શન /(s, y) ન્યૂનતમ છે. ઉદાહરણો. 1. એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો 4 એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી શરતોનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ u શોધીએ છીએ અને તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ. અમે જ્યાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ - એક સ્થિર બિંદુ. ચાલો હવે પ્રમેય 12 નો ઉપયોગ કરીએ. આપણી પાસે છે આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ Ml પર એક્સ્ટ્રીમમ છે. કારણ કે આ ન્યૂનતમ છે. જો આપણે ફંક્શન r ને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ, તો તે જોવાનું સરળ છે જમણો ભાગ(“) ન્યૂનતમ હશે જ્યારે આ કાર્યનું સંપૂર્ણ લઘુત્તમ હશે. 2. એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનની તપાસ કરો. કારણ કે, પ્રમેય 12 ના આધારે, બિંદુ M પર કોઈ સીમા નથી. * 3. ફંક્શનની સીમાની તપાસ કરો. સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ, તેથી બિંદુ સ્થિર છે. આગળ, આપણી પાસે છે કે પ્રમેય 12 એક્સ્ટ્રીમમની હાજરી અથવા ગેરહાજરી વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ આપતું નથી. ચાલો આ રીતે કરીએ. બિંદુથી અલગ તમામ બિંદુઓ વિશેના કાર્ય માટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અને બિંદુ A/o(0,0) ફંક્શન r પાસે ચોક્કસ લઘુત્તમ છે. સમાન ગણતરીઓ દ્વારા આપણે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે બિંદુ પર ફંક્શનની મહત્તમ છે, પરંતુ ફંક્શનમાં બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ નથી. બિંદુ પર n સ્વતંત્ર ચલોના ફંક્શનને ફંક્શનનો સ્થિર બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો પ્રમેય 13 (એકસ્ટ્રીમ માટે પૂરતી શરતો સુધી). ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ફાઇન Mt(xi...) ની કેટલીક પડોશમાં બીજા ક્રમના સતત આંશિક ડેરિવેટિવ્સ ધરાવો, જે એક સ્થિર ફાઇન ફંક્શન છે જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (ફાઇનમાં f ફંક્શનનો બીજો તફાવત ધન છે. ચોક્કસ (નકારાત્મક નિશ્ચિત), ફંક્શન f નો ન્યૂનતમ બિંદુ (અનુક્રમે, દંડ મહત્તમ) દંડ છે, જો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (4) સાઇન-વૈકલ્પિક છે, તો તે સ્થાપિત કરવા માટે ફાઇન LG0 માં કોઈ સીમા નથી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (4) સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચોક્કસ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 15.2 ની શરતી અંતિમ નિશ્ચિતતા માટે તમે સિલ્વેસ્ટર માપદંડનો ઉપયોગ કરી શકો છો સ્થાનિક ચરમસીમાઓ જ્યારે ફંક્શનની દલીલો કોઈપણ વધારાની શરતોથી બંધાયેલી નથી ત્યારે તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનમાં ફંક્શન. આવા ચરમસીમાને બિનશરતી કહેવામાં આવે છે. જો કે, ઘણીવાર કહેવાતા શરતી ચરમસીમા શોધવાની સમસ્યાઓ હોય છે. D ડોમેનમાં ફંક્શન z = /(x, y) ને વ્યાખ્યાયિત કરવા દો. ચાલો ધારીએ કે આ ડોમેનમાં વળાંક L આપવામાં આવ્યો છે, અને આપણે ફંકશન f(x> y) ની સીમા શોધવાની જરૂર છે માત્ર તેમાંથી તેના મૂલ્યો કે જે વળાંક L ના બિંદુઓને અનુરૂપ છે. સમાન છેડાને વળાંક L પરના કાર્ય z = f(x) y) ની શરતી છેડા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા તેઓ કહે છે કે વળાંક L પર પડેલા બિંદુ પર , ફંક્શન f(x, y) માં શરતી મહત્તમ (ન્યૂનતમ) હોય છે જો અસમાનતા બધા બિંદુઓ M (s, y) y) વળાંક L પર સંતુષ્ટ હોય, જે M0(x0, V0) બિંદુના અમુક પડોશ સાથે સંબંધિત હોય અને અલગ બિંદુ M0 થી (જો વળાંક L સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો વળાંક પર ફંક્શન r - f(x,y) ની શરતી સીમા શોધવાની સમસ્યા! નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: x ની સીમા શોધો = /(z, y) પ્રદેશ D ​​માં, પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આમ, જ્યારે ફંક્શન z = y ની શરતી સીમા શોધવામાં આવે છે, ત્યારે વાઇલ્ડબીસ્ટની દલીલોને હવે સ્વતંત્ર ચલ તરીકે ગણી શકાય નહીં: તેઓ એકબીજા સાથે સંબંધિત છે. સંબંધ y) = 0, જેને જોડાણ સમીકરણ કહેવાય છે. બિનશરતી અને શરતી સીમા વચ્ચેના તફાવતને સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં ફંક્શનની બિનશરતી મહત્તમ (ફિગ. 23) એક સમાન છે અને બિંદુ (0,0) પર પ્રાપ્ત થાય છે. તે બિંદુ M ને અનુરૂપ છે - pvvboloid નું શિરોબિંદુ ચાલો જોડાણ સમીકરણ y = j ઉમેરીએ. પછી શરતી મહત્તમ તે દેખીતી રીતે તેની બરાબર હશે (o,|), અને તે બોલના શિરોબિંદુ Afj ને અનુરૂપ છે, જે પ્લેન y = j સાથે બોલની છેદન રેખા છે. બિનશરતી mvximum ના કિસ્સામાં, અમારી પાસે સપાટીની તમામ vpplicvt વચ્ચે mvximum અરજી છે * = 1 - l;2 ~ y1; summvv શરતી - માત્ર vllikvt બિંદુઓ વચ્ચે pvraboloidv, સીધી રેખા y = j ના બિંદુ* ને અનુરૂપ, xOy પ્લેન નહીં. હાજરી અને જોડાણમાં ફંક્શનની શરતી સીમા શોધવા માટેની એક પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે. કનેક્શન સમીકરણ y) - O y ને દલીલ xના અનન્ય વિભેદક કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ: ફંક્શનમાં y ને બદલે ફંક્શનને બદલીને, અમે એક દલીલનું ફંક્શન મેળવીએ છીએ જેમાં કનેક્શનની સ્થિતિ પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. ફંક્શનની (બિનશરતી) સીમા એ ઇચ્છિત શરતી અંતિમ છે. ઉદાહરણ. શરત હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો અનેક વેરિયેબલ્સના ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ ઘણા ચલોના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમની વિભાવના. એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સતત ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો A કનેક્શન સમીકરણ (2") માંથી આપણને y = 1-x મળે છે. આ મૂલ્ય y ને (V) માં બદલીને, આપણે એક દલીલ x નું કાર્ય મેળવીએ છીએ: ચાલો આપણે તેને અંતિમ ભાગ માટે તપાસીએ: જ્યાંથી x = 1 એ નિર્ણાયક બિંદુ છે; , જેથી તે ફંક્શન r (ફિગ. 24) ની શરતી લઘુત્તમ પ્રદાન કરે. ચાલો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમ સમસ્યાને હલ કરવાની બીજી રીત સૂચવીએ, જેને લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિ કહેવાય છે. કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શનનો કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ હોય છે. ધ્યાનમાં લેતા કે આપણે મેળવીએ છીએ કે xq બિંદુ પર ફંક્શન /(r, ip(x)) ના x સંબંધમાં વ્યુત્પન્ન એ શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ અથવા, જે આની સમકક્ષ છે, f(x, y) નો તફાવત બિંદુ Mo" O શૂન્યની બરાબર હોવો જોઈએ ) કનેક્શન સમીકરણમાંથી આપણી પાસે છે (5) છેલ્લી સમાનતાને હજુ સુધી અનિર્ધારિત સંખ્યાત્મક પરિબળ A વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને સમાનતા સાથે પદ દ્વારા પદ ઉમેરીએ છીએ (4), આપણી પાસે હશે (અમે ધારીએ છીએ કે ) પછી, dx ની મનસ્વીતાને લીધે, અમે સમાનતાઓ મેળવીએ છીએ (6) અને (7) ફંક્શનના એક બિંદુ પર જરૂરી શરતો વ્યક્ત કરીએ છીએ જેને લેગ્રેન્જ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે ફંક્શન /(x, y), જો, આવશ્યકપણે લેગ્રેન્જ ફંક્શનનો એક સ્થિર બિંદુ છે જ્યાં A એ ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ગુણાંક છે અહીંથી આપણે શરતી એક્સ્ટ્રીમા શોધવા માટે એક નિયમ મેળવીએ છીએ: પોઈન્ટ શોધવા માટે કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શનની ફંક્શનલ સીમા: 1) અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ, 2) આ ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સ અને Uને શૂન્ય સાથે સરખાવીને અને પરિણામી સમીકરણોમાં કનેક્શન સમીકરણ ઉમેરીને, આપણે ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. જેમાંથી આપણે A ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ અને x, y સંભવિત અંતિમ બિંદુઓનું સંકલન કરીએ છીએ. શરતી સીમાના અસ્તિત્વ અને પ્રકૃતિનો પ્રશ્ન x0, V0, A ના મૂલ્યોની માનવામાં આવતી સિસ્ટમ માટે લેગ્રેન્જ ફંક્શનના બીજા વિભેદકની નિશાનીના અભ્યાસના આધારે ઉકેલવામાં આવે છે, જો કે (8) માંથી મેળવેલ જો , પછી બિંદુ (x0, V0) પર ફંક્શન /(x, y ) ની શરતી મહત્તમ છે; જો d2F > 0 - તો શરતી લઘુત્તમ. ખાસ કરીને, જો સ્થિર બિંદુ (xo, J/o) પર F(x, y) ફંક્શન માટે નિર્ણાયક D હકારાત્મક હોય, તો બિંદુ (®o, V0) પર ફંક્શન f( ની શરતી મહત્તમ હોય છે. x, y), જો અને કાર્યનું શરતી લઘુત્તમ /(x, y), જો ઉદાહરણ. ચાલો આપણે પાછલા ઉદાહરણની શરતો તરફ ફરીએ: x + y = 1 એવી શરત હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો. આપણે લેગ્રેન્જ ગુણક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીશું. માં લેગ્રેન્જ ફંક્શન આ બાબતે ફોર્મ ધરાવે છે સ્થિર બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે સિસ્ટમના પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી, અમે તે x = y મેળવીએ છીએ. પછી સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણ (કનેક્શન સમીકરણ) માંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે x - y = j એ સંભવિત અંતિમ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે. આ કિસ્સામાં (તે દર્શાવેલ છે કે A = -1. આમ, લેગ્રેન્જ ફંક્શન એ ફંક્શનનો શરતી લઘુત્તમ બિંદુ છે * = x2 + y2 શરત હેઠળ લેગ્રેન્જ ફંક્શન માટે કોઈ બિનશરતી સીમા નથી. p(x, y) )નો અર્થ હજી સુધી કનેક્શનની હાજરીમાં ફંક્શન /(x, y) માટે શરતી સીમાની ગેરહાજરીનો અર્થ નથી ઉદાહરણ: શરત y 4 હેઠળ ફંક્શનની સીમા શોધો અમે લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ છીએ અને તેના માટે સિસ્ટમ લખીએ છીએ A અને સંભવિત અંતિમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનું નિર્ધારણ: પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આપણે x + y = 0 મેળવીએ છીએ અને આપણે સિસ્ટમ પર આવીએ છીએ જ્યાંથી x = y = A = 0. આમ, અનુરૂપ લેગ્રેન્જ ફંક્શન બિંદુ પર ફોર્મ ધરાવે છે. (0,0), ફંક્શન F(x, y; 0) માં બિનશરતી સીમા નથી, જો કે, y = x જ્યારે ખરેખર, આ કિસ્સામાં r = x2 હોય છે. અહીંથી તે સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ (0,0) પર એક શરતી લઘુત્તમ છે "લૅગ્રેન્જ ગુણકની પદ્ધતિ કોઈપણ સંખ્યાની દલીલોના ફંક્શનના કેસમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. ચાલો હાજરીમાં ફંક્શનના અંતિમ ભાગને જોઈએ. કનેક્શન સમીકરણો ચાલો લેગ્રેન્જ ફંક્શન કંપોઝ કરીએ જ્યાં અચોક્કસ અવયવ છે. ફંક્શન F ના તમામ પ્રથમ ક્રમના આંશિક ડેરિવેટિવ્સને શૂન્યની સમાન કરીને અને પરિણામી સમીકરણોમાં કનેક્શન સમીકરણો (9) ઉમેરીને, અમે n + m સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જેમાંથી આપણે Ab A3 |..., at અને x કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ \) x2). » કન્ડિશનલ એક્સ્ટ્રીમમના સંભવિત બિંદુઓનો xn. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જે બિંદુઓ મળે છે તે વાસ્તવમાં શરતી સીમાના બિંદુઓ છે કે કેમ તે પ્રશ્ન ઘણીવાર ભૌતિક અથવા ભૌમિતિક પ્રકૃતિની વિચારણાઓના આધારે ઉકેલી શકાય છે. 15.3. સતત વિધેયોના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો z = /(x, y) ફંક્શનનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવા માટે જરૂરી છે, અમુક બંધ મર્યાદિત ડોમેન ડીમાં સતત. પ્રમેય 3 દ્વારા, આ ડોમેનમાં એક બિંદુ (xo, V0) છે કે જેના પર ફંક્શન સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય લે છે. જો બિંદુ (xo, y0) પ્રદેશ D ​​ની અંદર આવેલો છે, તો પછી કાર્ય / તેમાં મહત્તમ (લઘુત્તમ) છે, તેથી આ કિસ્સામાં અમને રસનો મુદ્દો ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓમાં સમાયેલ છે /(x, y). જો કે, કાર્ય /(x, y) પ્રદેશની સીમા પર તેના સૌથી મોટા (નાના) મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે. તેથી, મર્યાદિત બંધ વિસ્તાર 2 માં ફંક્શન z = /(x, y) દ્વારા લેવામાં આવેલું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે આ વિસ્તારની અંદર પ્રાપ્ત કરેલ કાર્યના તમામ મહત્તમ (ન્યૂનતમ) શોધવાની જરૂર છે, તેમજ આ વિસ્તારની સરહદમાં કાર્યનું સૌથી મોટું (નાનું) મૂલ્ય. આ બધી સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી (નાની) 27 પ્રદેશમાં ફંક્શન z = /(x,y) ની ઇચ્છિત સૌથી મોટી (નાની) કિંમત હશે. ચાલો આપણે બતાવીએ કે ડિફરન્સિએબલ ફંક્શનના કિસ્સામાં આ કેવી રીતે થાય છે. Prmmr. પ્રદેશ 4 ના કાર્યની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો. આપણે D પ્રદેશની અંદર ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે અહીંથી x = y « 0 મેળવીએ છીએ બિંદુ 0 (0,0) એ ફંક્શન xનું નિર્ણાયક બિંદુ છે. કારણ કે હવે આપણે D પ્રદેશની સીમા Г પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધીએ. સીમાના ભાગ પર આપણી પાસે છે કે y = 0 એ નિર્ણાયક બિંદુ છે, અને ત્યારથી = આ બિંદુએ ફંક્શન z = 1 + y2 ની લઘુત્તમ બરાબર એક છે. સેગમેન્ટના છેડે Г", પોઈન્ટ પર (, આપણી પાસે છે. સમપ્રમાણતાની વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સીમાના અન્ય ભાગો માટે સમાન પરિણામો મેળવીએ છીએ. અંતે આપણે મેળવીએ છીએ: સૌથી નાનું મૂલ્યકાર્ય z = x2+y2 પ્રદેશમાં "B શૂન્ય બરાબર છે અને તે પ્રદેશના આંતરિક બિંદુ 0(0, 0) પર પ્રાપ્ત થાય છે, અને આ કાર્યનું મહત્તમ મૂલ્ય, બે જેટલું, ચાર બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે. ઓફ ધ બાઉન્ડ્રી (ફિગ. 25) ફિગ. 25 એક્સરસાઇઝ ફંક્શન્સની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો: ફંક્શનની લેવલ લાઇન્સ બનાવો: 9 ત્રણ સ્વતંત્ર ચલોના ફંક્શનની લેવલ સરફેસ શોધો: ફંક્શન્સની મર્યાદાની ગણતરી કરો: ફંક્શન્સ અને તેમના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો સંપૂર્ણ તફાવતો : જટિલ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો: 3 J. ઘણા ચલોના ફંક્શનનું એક્સ્ટ્રીમમ શોધો ઘણા ચલોના ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમનો ખ્યાલ. એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો કન્ડીશનલ એક્સ્ટ્રીમમ સતત કાર્યોના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો 34. બે ચલો, શોધો અને કાર્યોના જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: 35. જટિલના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે ચલોનું ફંક્શન, શોધો |J અને ફંક્શન્સ: અસ્પષ્ટ રીતે આપેલ jj ફંક્શન્સ શોધો: 40. સીધી રેખા x = 3 સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુ પર સ્પર્શક વળાંકનો કોણીય ગુણાંક શોધો. 41. બિંદુઓ શોધો કે જેના પર સ્પર્શક છે વળાંક xનો ઓક્સ અક્ષની સમાંતર છે. . નીચેની સમસ્યાઓમાં, શોધો અને T: સ્પર્શક સમતલ અને સપાટીના સામાન્ય સમીકરણો લખો: 49. સપાટી x2 + 2y2 + 3z2 = 21, સમતલ x + 4y ની સમાંતર સપાટીના સ્પર્શક સમતલોના સમીકરણો લખો. + 6z = 0. ટેલર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણના પ્રથમ ત્રણ કે ચાર પદો શોધો : 50. y બિંદુની નજીકમાં (0, 0). ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, એક્સ્ટ્રીમમ માટે નીચેના કાર્યોની તપાસ કરો:). બે ચલોના ફંક્શનની સીમા માટે પૂરતી શરતોનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનની સીમાની તપાસ કરો: 84. બંધ વર્તુળમાં ફંક્શન z = x2 - y2 ની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો 85. સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધો x = 0, y = 0, x + y = b દ્વારા બંધાયેલ ત્રિકોણમાં * = x2y(4-x-y) ફંક્શનનું. 88. સૌથી નાની સપાટી ધરાવતા લંબચોરસ ખુલ્લા પૂલના પરિમાણો નક્કી કરો, જો કે તેનું પ્રમાણ V ની બરાબર હોય. 87. કુલ સપાટી 5 જોતાં મહત્તમ વોલ્યુમ ધરાવતા લંબચોરસ સમાંતરના પરિમાણો શોધો. જવાબો 1. અને | તેની બાજુઓ સહિત x રેખાખંડો દ્વારા રચાયેલ ચોરસ. 3. કેન્દ્રિત રિંગ્સનું કુટુંબ 2= 0,1,2,... .4. સીધી રેખાઓ પરના બિંદુઓ સિવાય સમગ્ર વિમાન. પેરાબોલા y = -x? ઉપર સ્થિત પ્લેનનો ભાગ. 8. વર્તુળ x ના બિંદુઓ. સીધી રેખાઓ સિવાય સમગ્ર સમતલ x આમૂલ અભિવ્યક્તિ બે કેસોમાં બિન-નકારાત્મક છે j * ^ અથવા j x ^ ^ જે અનુક્રમે અસમાનતાઓની અનંત શ્રેણીની સમકક્ષ છે, વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર શેડ ચોરસ છે (ફિગ. 26); l જે અનંત શ્રેણીની સમકક્ષ છે કાર્ય પોઈન્ટમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. a) સીધી રેખાની સમાંતર સીધી રેખાઓ x b) મૂળમાં કેન્દ્ર સાથે કેન્દ્રિત વર્તુળો. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .પ્લેન xc. 13. પ્રિમ - ઓઝ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણના સિંગલ-કેવિટી હાઇપરબોલોઇડ્સ; જ્યારે અને ઓઝ અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણના બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ્સ હોય, ત્યારે સપાટીના બંને પરિવારો શંકુ દ્વારા અલગ પડે છે; ત્યાં કોઈ મર્યાદા નથી, b) 0. 18. ચાલો y = kxt પછી z lim z = -2 સેટ કરીએ, તેથી બિંદુ (0,0) પર આપેલ કાર્યની કોઈ મર્યાદા નથી. 19. a) બિંદુ (0,0); b) બિંદુ (0,0). 20. a) બ્રેક લાઇન - વર્તુળ x2 + y2 = 1; b) વિરામ રેખા એ સીધી રેખા y = x છે. 21. a) બ્રેક લાઇન્સ - ઓક્સ અને ઓયની અક્ષો સંકલન કરો; b) 0 (ખાલી સેટ). 22. બધા બિંદુઓ (m, n), જ્યાં અને n પૂર્ણાંકો છે

બે ચલોના કાર્યોની સીમા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો.બિંદુને કાર્યનો લઘુત્તમ (મહત્તમ) બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે અને અસમાનતાને સંતોષે (અનુક્રમે, મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે.

એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ. જો એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ પર ફંક્શનમાં પ્રથમ આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ હોય, તો તે આ બિંદુએ અદૃશ્ય થઈ જાય છે. તે અનુસરે છે કે આવા ફંક્શનના અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે, વ્યક્તિએ સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવી જોઈએ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ સિસ્ટમને સંતોષે છે તેને કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચે મહત્તમ પોઈન્ટ, ન્યૂનતમ પોઈન્ટ અને એવા પોઈન્ટ પણ હોઈ શકે છે જે એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ નથી.

નિર્ણાયક બિંદુઓના સમૂહમાંથી આત્યંતિક બિંદુઓને ઓળખવા માટે પૂરતી આત્યંતિક પરિસ્થિતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે અને તે નીચે સૂચિબદ્ધ છે.

ક્રિટિકલ પોઈન્ટ પર ફંક્શનને સતત બીજા આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ રહેવા દો. જો આ બિંદુએ

શરત પછી તે ન્યૂનતમ બિંદુ છે અને જો નિર્ણાયક બિંદુ પર મહત્તમ બિંદુ છે તો તે અંતિમ બિંદુ નથી. આ કિસ્સામાં, નિર્ણાયક બિંદુની પ્રકૃતિનો વધુ સૂક્ષ્મ અભ્યાસ જરૂરી છે, જે આ કિસ્સામાં આત્યંતિક બિંદુ હોઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે.

ત્રણ ચલોના કાર્યોની એક્સ્ટ્રીમા.ત્રણ ચલોના કાર્યના કિસ્સામાં, એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટની વ્યાખ્યાઓ બે ચલોના કાર્ય માટે અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓનું શાબ્દિક પુનરાવર્તન કરે છે. અમે એક્સ્ટ્રીમમ માટે ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવાની પ્રક્રિયાને પ્રસ્તુત કરવા માટે અમારી જાતને મર્યાદિત કરીએ છીએ. સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા જોઈએ, અને પછી દરેક નિર્ણાયક બિંદુઓ પર મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જોઈએ.

જો ત્રણેય જથ્થાઓ હકારાત્મક હોય, તો પ્રશ્નમાં નિર્ણાયક બિંદુ લઘુત્તમ બિંદુ છે; જો પછી આ નિર્ણાયક બિંદુ મહત્તમ બિંદુ છે.

બે ચલોના કાર્યની શરતી સીમા.બિંદુને ફંક્શનનો શરતી લઘુત્તમ (મહત્તમ) બિંદુ કહેવામાં આવે છે જો કે ત્યાં બિંદુની પડોશી હોય કે જેના પર કાર્ય વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને જેમાં (અનુક્રમે) તમામ બિંદુઓ માટે કે જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે

શરતી એક્સ્ટ્રીમમ પોઈન્ટ શોધવા માટે, Lagrange ફંક્શનનો ઉપયોગ કરો

જ્યાં સંખ્યાને લેગ્રેન્જ ગુણક કહેવાય છે. ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવી

લેગ્રેન્જ ફંક્શનના નિર્ણાયક બિંદુઓ (તેમજ સહાયક પરિબળ A નું મૂલ્ય) શોધો. આ નિર્ણાયક બિંદુઓ પર એક શરતી અંતિમ હોઈ શકે છે. ઉપરોક્ત સિસ્ટમ એક્સ્ટ્રીમમ માટે માત્ર જરૂરી શરતો પૂરી પાડે છે, પરંતુ પર્યાપ્ત નથી: તે પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સંતુષ્ટ થઈ શકે છે જે શરતી સીમાના બિંદુઓ નથી. જો કે, સમસ્યાના સારને આધારે, નિર્ણાયક બિંદુની પ્રકૃતિ નક્કી કરવી ઘણીવાર શક્ય છે.

અનેક ચલોના કાર્યની શરતી સીમા.ચાલો ચલોના કાર્યને એ શરત હેઠળ ધ્યાનમાં લઈએ કે તેઓ સમીકરણો દ્વારા સંબંધિત છે