ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભેદભાવ કેવી રીતે શોધવો. આપણે કયા સમીકરણો વિશે વાત કરીશું? ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

ચતુર્ભુજ સમીકરણ - ઉકેલવા માટે સરળ! *ત્યારબાદ "KU" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.મિત્રો, એવું લાગે છે કે ગણિતમાં આવા સમીકરણને ઉકેલવાથી વધુ સરળ કંઈ હોઈ શકે નહીં. પરંતુ કંઈક મને કહ્યું કે ઘણા લોકોને તેની સાથે સમસ્યાઓ છે. યાન્ડેક્સ દર મહિને કેટલી ઓન-ડિમાન્ડ છાપ આપે છે તે જોવાનું મેં નક્કી કર્યું. શું થયું તે અહીં છે, જુઓ:

તેનો અર્થ શું છે? મતલબ કે દર મહિને લગભગ 70,000 લોકો શોધ કરી રહ્યા છે આ માહિતી, આ ઉનાળાને તેની સાથે શું કરવાનું છે, અને વચ્ચે શું થશે શાળા વર્ષ- ત્યાં બમણી વિનંતીઓ હશે. આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે તે છોકરાઓ અને છોકરીઓ જેઓ લાંબા સમય પહેલા શાળામાંથી સ્નાતક થયા છે અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરી રહ્યા છે તેઓ આ માહિતી શોધી રહ્યા છે, અને શાળાના બાળકો પણ તેમની યાદશક્તિને તાજી કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

આ સમીકરણને કેવી રીતે હલ કરવું તે તમને જણાવતી ઘણી બધી સાઇટ્સ હોવા છતાં, મેં સામગ્રીને ફાળો આપવા અને પ્રકાશિત કરવાનું પણ નક્કી કર્યું. પ્રથમ, હું ઇચ્છું છું કે મુલાકાતીઓ આ વિનંતીના આધારે મારી સાઇટ પર આવે; બીજું, અન્ય લેખોમાં, જ્યારે “KU” વિષય આવશે, ત્યારે હું આ લેખની લિંક આપીશ; ત્રીજે સ્થાને, હું તમને તેના ઉકેલ વિશે સામાન્ય રીતે અન્ય સાઇટ્સ પર જણાવવામાં આવે છે તેના કરતાં થોડું વધુ કહીશ. ચાલો, શરુ કરીએ!લેખની સામગ્રી:

ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે:

જ્યાં ગુણાંક a,bઅને c એ મનસ્વી સંખ્યાઓ છે, a≠0 સાથે.

શાળા અભ્યાસક્રમમાં, સામગ્રી નીચેના સ્વરૂપમાં આપવામાં આવે છે - સમીકરણોને ત્રણ વર્ગોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે:

1. તેમની પાસે બે મૂળ છે.

2. *માત્ર એક જ મૂળ છે.

3. તેમની પાસે કોઈ મૂળ નથી. અહીં ખાસ કરીને નોંધવું યોગ્ય છે કે તેમની પાસે વાસ્તવિક મૂળ નથી

મૂળની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે? માત્ર!

અમે ભેદભાવની ગણતરી કરીએ છીએ. આ "ભયંકર" શબ્દની નીચે એક ખૂબ જ સરળ સૂત્ર છે:

મૂળ સૂત્રો નીચે મુજબ છે:

*તમારે આ સૂત્રો હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે.

તમે તરત જ લખી શકો છો અને હલ કરી શકો છો:

ઉદાહરણ:

1. જો D > 0 હોય, તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે.

2. જો D = 0 હોય, તો સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે.

3. જો ડી< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ચાલો સમીકરણ જોઈએ:

દ્વારા આ પ્રસંગે, જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય સમાન હોય છે, ત્યારે શાળા અભ્યાસક્રમ કહે છે કે પરિણામ એક મૂળ છે, અહીં તે નવ બરાબર છે. બધું સાચું છે, એવું છે, પણ...

આ વિચાર કંઈક અંશે ખોટો છે. હકીકતમાં, ત્યાં બે મૂળ છે. હા, હા, આશ્ચર્ય પામશો નહીં, તમને બે સમાન મૂળ મળે છે, અને ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ થવા માટે, તો જવાબમાં બે મૂળ લખવા જોઈએ:

x 1 = 3 x 2 = 3

પરંતુ આ આવું છે - એક નાનું વિષયાંતર. શાળામાં તમે તેને લખી શકો છો અને કહી શકો છો કે એક મૂળ છે.

હવે આગળનું ઉદાહરણ:

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, નું મૂળ નકારાત્મક સંખ્યાકાઢવામાં આવતું નથી, તેથી ઉકેલો આ બાબતેના.

તે સમગ્ર નિર્ણય પ્રક્રિયા છે.

ચતુર્ભુજ કાર્ય.

આ બતાવે છે કે ઉકેલ ભૌમિતિક રીતે કેવો દેખાય છે. આ સમજવું અત્યંત અગત્યનું છે (ભવિષ્યમાં, એક લેખમાં આપણે ચતુર્ભુજ અસમાનતાના ઉકેલનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું).

આ ફોર્મનું કાર્ય છે:

જ્યાં x અને y ચલ છે

a, b, c – આપેલ સંખ્યાઓ, a ≠ 0 સાથે

આલેખ એક પેરાબોલા છે:

એટલે કે, તે તારણ આપે છે કે શૂન્ય સમાન “y” સાથેના ચતુર્ભુજ સમીકરણને ઉકેલવાથી, આપણે x અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ છીએ. આમાંના બે બિંદુઓ હોઈ શકે છે (ભેદભાવ કરનાર સકારાત્મક છે), એક (ભેદભાવ શૂન્ય છે) અને કોઈ નહીં (ભેદભાવ કરનાર નકારાત્મક છે). વિશે વિગતો ચતુર્ભુજ કાર્ય તમે જોઈ શકો છોઇન્ના ફેલ્ડમેન દ્વારા લેખ.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

ઉદાહરણ 1: ઉકેલો 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

જવાબ: x 1 = 8 x 2 = –12

*તે તરત જ છોડી દેવું શક્ય હતું અને જમણી બાજુસમીકરણને 2 વડે વિભાજીત કરો, એટલે કે તેને સરળ બનાવો. ગણતરીઓ સરળ બનશે.

ઉદાહરણ 2: નક્કી કરો x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

અમને જાણવા મળ્યું કે x 1 = 11 અને x 2 = 11

જવાબમાં x = 11 લખવું માન્ય છે.

જવાબ: x = 11

ઉદાહરણ 3: નક્કી કરો x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ભેદભાવ નકારાત્મક છે, વાસ્તવિક સંખ્યામાં કોઈ ઉકેલ નથી.

જવાબ: કોઈ ઉકેલ નથી

ભેદભાવ કરનાર નકારાત્મક છે. ત્યાં એક ઉકેલ છે!

જ્યારે નકારાત્મક ભેદભાવ પ્રાપ્ત થાય છે ત્યારે અમે અહીં સમીકરણ ઉકેલવા વિશે વાત કરીશું. શું તમે વિશે કંઈ જાણો છો જટિલ સંખ્યાઓ? તેઓ શા માટે અને ક્યાં ઉદભવ્યા અને ગણિતમાં તેમની વિશિષ્ટ ભૂમિકા અને આવશ્યકતા શું છે તે વિશે હું અહીં વિગતવાર નહીં જઈશ; આ એક મોટા અલગ લેખ માટેનો વિષય છે.

જટિલ સંખ્યાનો ખ્યાલ.

થોડો સિદ્ધાંત.

જટિલ સંખ્યા z એ ફોર્મની સંખ્યા છે

z = a + bi

જ્યાં a અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, i કહેવાતા કાલ્પનિક એકમ છે.

a+bi – આ એક સિંગલ નંબર છે, કોઈ ઉમેરો નથી.

કાલ્પનિક એકમ માઈનસ વનના મૂળ સમાન છે:

હવે સમીકરણ ધ્યાનમાં લો:

આપણને બે સંયોજક મૂળ મળે છે.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ.

ચાલો ખાસ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ, આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ગુણાંક “b” અથવા “c” શૂન્યની બરાબર હોય (અથવા બંને શૂન્યની બરાબર હોય). તેઓ કોઈપણ ભેદભાવ વિના સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

કેસ 1. ગુણાંક b = 0.

સમીકરણ બને છે:

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

ઉદાહરણ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

કેસ 2. ગુણાંક c = 0.

સમીકરણ બને છે:

ચાલો પરિવર્તિત કરીએ અને પરિબળ કરીએ:

*ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્યની બરાબર હોય.

ઉદાહરણ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 અથવા x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

કેસ 3. ગુણાંક b = 0 અને c = 0.

અહીં તે સ્પષ્ટ છે કે સમીકરણનો ઉકેલ હંમેશા x = 0 હશે.

ગુણાંકના ઉપયોગી ગુણધર્મો અને દાખલાઓ.

એવા ગુણધર્મો છે જે તમને મોટા ગુણાંક સાથે સમીકરણો ઉકેલવા દે છે.

એx 2 + bx+ c=0 સમાનતા ધરાવે છે

a + b+ c = 0,તે

- જો સમીકરણના ગુણાંક માટે એx 2 + bx+ c=0 સમાનતા ધરાવે છે

a+ c =b, તે

આ ગુણધર્મો ચોક્કસ પ્રકારના સમીકરણને ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.

ઉદાહરણ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

મતભેદનો સરવાળો 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, જેનો અર્થ થાય છે

ઉદાહરણ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

સમાનતા ધરાવે છે a+ c =b, અર્થ

ગુણાંકની નિયમિતતા.

1. જો સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 માં ગુણાંક “b” બરાબર છે (a 2 +1), અને ગુણાંક “c” સંખ્યાત્મક રીતે ગુણાંક “a” ની બરાબર છે, તો તેના મૂળ સમાન છે

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

ઉદાહરણ. સમીકરણ 6x 2 + 37x + 6 = 0 ધ્યાનમાં લો.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. જો સમીકરણ ax 2 – bx + c = 0 માં ગુણાંક “b” બરાબર છે (a 2 +1), અને ગુણાંક “c” સંખ્યાત્મક રીતે ગુણાંક “a” ની બરાબર છે, તો તેના મૂળ સમાન છે

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

ઉદાહરણ. સમીકરણ 15x 2 –226x +15 = 0 ધ્યાનમાં લો.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. જો Eq માં. ax 2 + bx – c = 0 ગુણાંક “b” સમાન છે (a 2 – 1), અને ગુણાંક “c” સંખ્યાત્મક રીતે ગુણાંક "a" ની બરાબર છે, પછી તેના મૂળ સમાન છે

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

ઉદાહરણ. 17x 2 +288x – 17 = 0 સમીકરણને ધ્યાનમાં લો.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. જો સમીકરણ ax 2 – bx – c = 0 માં ગુણાંક “b” બરાબર છે (a 2 – 1), અને ગુણાંક c સંખ્યાત્મક રીતે ગુણાંક “a” ની બરાબર છે, તો તેના મૂળ સમાન છે

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

ઉદાહરણ. 10x 2 – 99x –10 = 0 સમીકરણને ધ્યાનમાં લો.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

વિયેટાનું પ્રમેય.

વિયેટાના પ્રમેયનું નામ પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ફ્રાન્કોઈસ વિએટાના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તેના ગુણાંકના સંદર્ભમાં મનસ્વી KU ના મૂળના સરવાળા અને ઉત્પાદનને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

કુલ મળીને, નંબર 14 માત્ર 5 અને 9 આપે છે. આ મૂળ છે. ચોક્કસ કૌશલ્ય સાથે, પ્રસ્તુત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તમે ઘણા ચતુર્ભુજ સમીકરણોને મૌખિક રીતે તરત જ હલ કરી શકો છો.

વિયેટાનું પ્રમેય, વધુમાં. અનુકૂળ કારણ કે હલ કર્યા પછી ચતુર્ભુજ સમીકરણપરિણામી મૂળને સામાન્ય રીતે (ભેદભાવ દ્વારા) ચકાસી શકાય છે. હું હંમેશા આ કરવાની ભલામણ કરું છું.

પરિવહન પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ સાથે, ગુણાંક "a" ને મુક્ત શબ્દ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, જાણે તેને "ફેંકવામાં આવે છે", તેથી જ તેને કહેવામાં આવે છે "ટ્રાન્સફર" પદ્ધતિ.આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ સરળતાથી શોધી શકાય છે અને સૌથી અગત્યનું, જ્યારે ભેદભાવ ચોક્કસ ચોરસ હોય.

જો એ± b+c≠ 0, પછી ટ્રાન્સફર તકનીકનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

2એક્સ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => એક્સ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

સમીકરણ (2) માં વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તે નક્કી કરવું સરળ છે કે x 1 = 10 x 2 = 1

સમીકરણના પરિણામી મૂળને 2 વડે વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે (કેમ કે બેને x 2 માંથી "ફેંકવામાં" આવ્યા હતા), અમને મળે છે

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

તર્ક શું છે? જુઓ શું થઈ રહ્યું છે.

સમીકરણો (1) અને (2) ના ભેદભાવ સમાન છે:

જો તમે સમીકરણોના મૂળને જોશો, તો તમને માત્ર વિવિધ છેદ મળશે, અને પરિણામ ચોક્કસપણે x 2 ના ગુણાંક પર આધારિત છે:

બીજા (સંશોધિત)માં મૂળ છે જે 2 ગણા મોટા છે.

તેથી, અમે પરિણામને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.

*જો આપણે ત્રણને ફરીથી રોલ કરીએ, તો આપણે પરિણામને 3 વડે ભાગીશું, વગેરે.

જવાબ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ચો. ur-ie અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા.

હું તમને તેના મહત્વ વિશે સંક્ષિપ્તમાં કહીશ - તમારે ઝડપથી અને વિચાર્યા વિના નિર્ણય લેવામાં સક્ષમ હોવા જોઈએ, તમારે મૂળ અને ભેદભાવના સૂત્રોને હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન કાર્યોમાં સમાવિષ્ટ ઘણી સમસ્યાઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણ (ભૌમિતિક સમીકરણો શામેલ છે) ઉકેલવા માટે ઉકળે છે.

નોંધનીય કંઈક!

1. સમીકરણ લખવાનું સ્વરૂપ "ગર્ભિત" હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની એન્ટ્રી શક્ય છે:

15+ 9x 2 - 45x = 0 અથવા 15x+42+9x 2 - 45x=0 અથવા 15 -5x+10x 2 = 0.

તમારે તેને લાવવાની જરૂર છે પ્રમાણભૂત દૃશ્ય(જેથી નક્કી કરતી વખતે મૂંઝવણમાં ન આવે).

2. યાદ રાખો કે x એ અજ્ઞાત જથ્થો છે અને તે અન્ય કોઈપણ અક્ષર - t, q, p, h અને અન્ય દ્વારા સૂચવી શકાય છે.

આ લેખમાં આપણે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ઉકેલવા વિશે જોઈશું.

પરંતુ પ્રથમ, ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ કે કયા સમીકરણોને ચતુર્ભુજ કહેવાય છે. ax 2 + bx + c = 0 ફોર્મનું સમીકરણ, જ્યાં x એ ચલ છે, અને ગુણાંક a, b અને c કેટલીક સંખ્યાઓ છે, અને a ≠ 0, કહેવાય છે ચોરસ. જેમ આપણે જોઈએ છીએ, x 2 માટે ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી, અને તેથી x અથવા મુક્ત પદ માટેના ગુણાંક શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે, આ કિસ્સામાં આપણને અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે.

ત્રણ પ્રકારના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે:

1) જો b = 0, c ≠ 0, તો ax 2 + c = 0;

2) જો b ≠ 0, c = 0, તો ax 2 + bx = 0;

3) જો b = 0, c = 0, તો ax 2 = 0.

• ચાલો આકૃતિ કેવી રીતે ઉકેલવી ફોર્મ ax 2 + c = 0 ના સમીકરણો.

સમીકરણ ઉકેલવા માટે, આપણે મુક્ત શબ્દ c ને સમીકરણની જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ, આપણને મળે છે

ax 2 = -s. a ≠ 0 થી, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને a દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, પછી x 2 = ‒c/a.

જો ‒с/а > 0, તો સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે

x = ±√(–c/a) .

જો -c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

ચાલો ઉદાહરણો સાથે સમજવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે આવા સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ 2x 2 ‒ 32 = 0 ઉકેલો.

જવાબ: x 1 = - 4, x 2 = 4.

ઉદાહરણ 2. 2x 2 + 8 = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

જવાબ: સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

• ચાલો તેને કેવી રીતે હલ કરવું તે શોધી કાઢીએ ફોર્મ ax 2 + bx = 0 ના સમીકરણો.

સમીકરણ ax 2 + bx = 0 ને ઉકેલવા માટે, ચાલો તેને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ, એટલે કે, કૌંસમાંથી x લો, આપણને x(ax + b) = 0 મળે છે. જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ સમાન હોય તો ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે. શૂન્ય સુધી. પછી કાં તો x = 0, અથવા ax + b = 0. સમીકરણ ax + b = 0 ઉકેલવાથી, આપણને ax = - b મળે છે, જ્યાંથી x = - b/a. ફોર્મ ax 2 + bx = 0 ના સમીકરણમાં હંમેશા બે મૂળ x 1 = 0 અને x 2 = ‒ b/a હોય છે. ડાયાગ્રામમાં આ પ્રકારના સમીકરણોનો ઉકેલ કેવો દેખાય છે તે જુઓ.

ચાલો એક વિશિષ્ટ ઉદાહરણ સાથે આપણા જ્ઞાનને એકીકૃત કરીએ.

ઉદાહરણ 3. 3x 2 ‒ 12x = 0 સમીકરણ ઉકેલો.

x(3x - 12) = 0

x= 0 અથવા 3x – 12 = 0

જવાબ: x 1 = 0, x 2 = 4.

• ત્રીજા પ્રકાર ax 2 = 0 ના સમીકરણોખૂબ જ સરળ રીતે ઉકેલવામાં આવે છે.

જો ax 2 = 0, તો x 2 = 0. સમીકરણમાં બે સમાન મૂળ x 1 = 0, x 2 = 0 છે.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ડાયાગ્રામ જોઈએ.

ચાલો ઉદાહરણ 4 ઉકેલતી વખતે ખાતરી કરીએ કે આ પ્રકારના સમીકરણો ખૂબ જ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

ઉદાહરણ 4.સમીકરણ 7x 2 = 0 ઉકેલો.

જવાબ: x 1, 2 = 0.

તે હંમેશા તરત જ સ્પષ્ટ થતું નથી કે આપણે કયા પ્રકારનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરવાનું છે. નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 5.સમીકરણ ઉકેલો

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને સામાન્ય છેદ વડે ગુણાકાર કરીએ, એટલે કે 30 વડે

ચાલો તેને કાપી નાખીએ

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

ચાલો કૌંસ ખોલીએ

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

ચાલો સમાન આપીએ

ચાલો 99 ને સમીકરણની ડાબી બાજુથી જમણી તરફ લઈ જઈએ, ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલીએ

જવાબ: કોઈ મૂળ નથી.

અમે જોયું કે કેવી રીતે અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલાય છે. હું આશા રાખું છું કે હવે તમને આવા કાર્યોમાં કોઈ મુશ્કેલી નહીં પડે. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરતી વખતે સાવચેત રહો, તો તમે સફળ થશો.

જો તમને આ વિષય પર પ્રશ્નો હોય, તો મારા પાઠ માટે સાઇન અપ કરો, અમે સાથે મળીને ઊભી થતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરીશું.

વેબસાઇટ, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, સ્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિનોમી માટે \(3x^2+2x-7\), ભેદભાવ \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) સમાન હશે. અને ત્રિનોમી માટે \(x^2-5x+11\), તે \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) બરાબર હશે.

ભેદભાવકર્તાને \(D\) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અને તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર ઉકેલમાં થાય છે. ઉપરાંત, ભેદભાવના મૂલ્ય દ્વારા, તમે સમજી શકો છો કે ગ્રાફ લગભગ કેવો દેખાય છે (નીચે જુઓ).

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ભેદભાવ અને મૂળ

ભેદભાવ મૂલ્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે:
- જો \(D\) ધન છે, તો સમીકરણના બે મૂળ હશે;
- જો \(D\) શૂન્યની બરાબર હોય તો - ત્યાં માત્ર એક જ મૂળ છે;
- જો \(D\) નકારાત્મક હોય, તો ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

આને શીખવવાની જરૂર નથી, આવા નિષ્કર્ષ પર આવવું મુશ્કેલ નથી, ફક્ત એ જાણીને કે ભેદભાવ કરનાર પાસેથી (એટલે ​​​​કે, \(\sqrt(D)\) એ ચતુર્ભુજના મૂળની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં શામેલ છે. સમીકરણ: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) અને \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) ચાલો દરેક કેસની વધુ વિગતો જોઈએ.

જો ભેદભાવ હકારાત્મક છે

આ કિસ્સામાં, તેનું મૂળ અમુક ધન સંખ્યા છે, જેનો અર્થ થાય છે \(x_(1)\) અને \(x_(2)\) નો અર્થ અલગ અલગ હશે, કારણ કે પ્રથમ સૂત્ર \(\sqrt(D)\ ) ઉમેરવામાં આવે છે, અને બીજામાં તે બાદબાકી થાય છે. અને આપણી પાસે બે અલગ અલગ મૂળ છે.

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો \(x^2+2x-3=0\)
ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

જો ભેદભાવ શૂન્ય છે

જો ભેદભાવ શૂન્ય હોય તો કેટલા મૂળ હશે? ચાલો કારણ આપીએ.

મૂળ સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) અને \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . અને જો ભેદભાવ શૂન્ય હોય તો તેનું મૂળ પણ શૂન્ય છે. પછી તે તારણ આપે છે:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

એટલે કે, સમીકરણના મૂળના મૂલ્યો સમાન હશે, કારણ કે શૂન્ય ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાથી કંઈપણ બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો \(x^2-4x+4=0\)
ઉકેલ :

\(x^2-4x+4=0\)		અમે ગુણાંક લખીએ છીએ:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવની ગણતરી કરીએ છીએ \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		સમીકરણનું મૂળ શોધવું
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		અમને બે સરખા મૂળ મળ્યા છે, તેથી તેમને અલગથી લખવાનો કોઈ અર્થ નથી - અમે તેમને એક તરીકે લખીએ છીએ.

જવાબ આપો : \(x=2\)

ચતુર્ભુજ સમીકરણ સમસ્યાઓનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમઅને યુનિવર્સિટીઓમાં. તેનો અર્થ a*x^2 + b*x + c = 0 સ્વરૂપના સમીકરણો છે, જ્યાં x-ચલ, a, b, c – સ્થિરાંકો; a<>0 કાર્ય સમીકરણના મૂળ શોધવાનું છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભૌમિતિક અર્થ

ચતુર્ભુજ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલો (મૂળ) એ એબ્સીસા (x) અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓ છે. તે નીચે મુજબ છે કે ત્યાં ત્રણ સંભવિત કિસ્સાઓ છે:
1) પેરાબોલામાં એબ્સીસા અક્ષ સાથે આંતરછેદના કોઈ બિંદુ નથી. આનો અર્થ એ છે કે તે ઉપરના પ્લેનમાં શાખાઓ સાથે અથવા નીચે શાખાઓ સાથે છે. આવા કિસ્સાઓમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી (તેના બે જટિલ મૂળ છે).

2) પેરાબોલામાં ઓક્સ અક્ષ સાથે આંતરછેદનો એક બિંદુ છે. આવા બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે, અને તેના પરનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ તેનું લઘુત્તમ અથવા મહત્તમ મૂલ્ય મેળવે છે. આ કિસ્સામાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં એક વાસ્તવિક મૂળ (અથવા બે સમાન મૂળ) છે.

3) છેલ્લો કિસ્સો વ્યવહારમાં વધુ રસપ્રદ છે - એબ્સીસા અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના બે બિંદુઓ છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના બે વાસ્તવિક મૂળ છે.

ચલોની શક્તિઓના ગુણાંકના વિશ્લેષણના આધારે, પેરાબોલાના પ્લેસમેન્ટ વિશે રસપ્રદ તારણો દોરી શકાય છે.

1) જો ગુણાંક a શૂન્ય કરતા વધારે હોય, તો પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે; જો તે નકારાત્મક હોય, તો પેરાબોલાની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે.

2) જો ગુણાંક b શૂન્ય કરતા વધારે હોય, તો પેરાબોલાના શિરોબિંદુ ડાબા અર્ધ-વિમાનમાં આવેલું છે, જો તે નકારાત્મક મૂલ્ય લે છે, તો જમણી બાજુએ.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણમાંથી સ્થિરાંક સ્થાનાંતરિત કરીએ

સમાન ચિહ્ન માટે, આપણને અભિવ્યક્તિ મળે છે

બંને બાજુઓને 4a વડે ગુણાકાર કરો

બાકી મેળવવા માટે સંપૂર્ણ ચોરસબંને બાજુએ b^2 ઉમેરો અને રૂપાંતરણ કરો

અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ભેદભાવ અને મૂળ માટેનું સૂત્ર

ભેદભાવ એ આમૂલ અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય છે. જો તે હકારાત્મક હોય, તો સમીકરણના બે વાસ્તવિક મૂળ હોય છે, જે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે. જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય હોય, ત્યારે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં એક ઉકેલ (બે એકરૂપ મૂળ) હોય છે, જે D = 0 માટે ઉપરના સૂત્રમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય છે. નકારાત્મક ભેદભાવત્યાં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ સમીકરણો નથી. જો કે, ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલો જટિલ સમતલમાં જોવા મળે છે, અને તેમના મૂલ્યની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

વિયેટાનું પ્રમેય

ચાલો એક ચતુર્ભુજ સમીકરણના બે મૂળને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેના આધારે ચતુર્ભુજ સમીકરણ બનાવીએ. વિયેટાનું પ્રમેય પોતે સરળતાથી સંકેત પરથી અનુસરે છે: જો આપણી પાસે ફોર્મનું ચતુર્ભુજ સમીકરણ હોય પછી તેના મૂળનો સરવાળો ગુણાંક p માંથી લેવામાં આવે છે વિરોધી ચિહ્ન, અને સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દ q જેટલું છે. ઉપરોક્તનું સૂત્રિક નિરૂપણ આના જેવું દેખાશે જો શાસ્ત્રીય સમીકરણમાં સ્થિર a નોનશૂન્ય હોય, તો તમારે તેના દ્વારા સમગ્ર સમીકરણને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, અને પછી વિએટાનું પ્રમેય લાગુ કરો.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ શેડ્યૂલને ફેક્ટરિંગ

કાર્યને સેટ થવા દો: ચતુર્ભુજ સમીકરણને પરિબળ કરો. આ કરવા માટે, આપણે પહેલા સમીકરણ હલ કરીએ (મૂળ શોધો). આગળ, આપણે ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે વિસ્તરણ સૂત્રમાં મળેલા મૂળને બદલીએ છીએ. આ સમસ્યા હલ કરશે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ સમસ્યાઓ

કાર્ય 1. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધો

x^2-26x+120=0 .

ઉકેલ: ગુણાંક લખો અને તેમને ભેદભાવ સૂત્રમાં બદલો

આ મૂલ્યનું મૂળ 14 છે, તે કેલ્ક્યુલેટર દ્વારા શોધવાનું સરળ છે, અથવા વારંવાર ઉપયોગ સાથે યાદ રાખવું, જો કે, સગવડ માટે, લેખના અંતે હું તમને સંખ્યાઓના વર્ગોની સૂચિ આપીશ જે ઘણીવાર આવી શકે છે. આવી સમસ્યાઓ.
અમે રુટ ફોર્મ્યુલામાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ

અને અમે મેળવીએ છીએ

કાર્ય 2. સમીકરણ ઉકેલો

2x 2 +x-3=0.

ઉકેલ: અમારી પાસે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, ગુણાંક લખો અને ભેદભાવ શોધો


દ્વારા જાણીતા સૂત્રોચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા

કાર્ય 3. સમીકરણ ઉકેલો

9x 2 -12x+4=0.

ઉકેલ: આપણી પાસે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. ભેદભાવ કરનારને નક્કી કરવું

અમને એક કેસ મળ્યો જ્યાં મૂળ એકરૂપ છે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મૂળના મૂલ્યો શોધો

કાર્ય 4. સમીકરણ ઉકેલો

x^2+x-6=0 .

ઉકેલ: એવા કિસ્સામાં જ્યાં x માટે નાના ગુણાંક હોય, વિયેટાના પ્રમેયને લાગુ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. તેની સ્થિતિ દ્વારા આપણે બે સમીકરણો મેળવીએ છીએ

બીજી શરતમાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે ઉત્પાદન -6 બરાબર હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે મૂળમાંથી એક નકારાત્મક છે. અમારી પાસે નીચેના સંભવિત ઉકેલોની જોડી છે (-3;2), (3;-2) . પ્રથમ શરતને ધ્યાનમાં લેતા, અમે ઉકેલોની બીજી જોડીને નકારીએ છીએ.
સમીકરણના મૂળ સમાન છે

સમસ્યા 5. જો તેની પરિમિતિ 18 સેમી હોય અને તેનો વિસ્તાર 77 સેમી 2 હોય તો તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ: લંબચોરસની અડધી પરિમિતિ તેની બાજુની બાજુઓના સરવાળા જેટલી હોય છે. ચાલો x ને મોટી બાજુ તરીકે દર્શાવીએ, તો 18-x તેની નાની બાજુ છે. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ આ લંબાઈના ઉત્પાદન જેટલું છે:
x(18-x)=77;
અથવા
x 2 -18x+77=0.
ચાલો સમીકરણનો ભેદભાવ શોધીએ

સમીકરણના મૂળની ગણતરી

જો x=11,તે 18's=7,વિરુદ્ધ પણ સાચું છે (જો x=7, તો 21's=9).

સમસ્યા 6. ચતુર્ભુજ સમીકરણ 10x 2 -11x+3=0 નો અવયવ કરો.

ઉકેલ: ચાલો સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરીએ, આ કરવા માટે આપણે ભેદભાવ શોધીએ છીએ

અમે રુટ ફોર્મ્યુલામાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ અને ગણતરી કરીએ છીએ

અમે મૂળ દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણને વિઘટિત કરવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ

કૌંસ ખોલીને આપણે એક ઓળખ મેળવીએ છીએ.

પરિમાણ સાથે ચતુર્ભુજ સમીકરણ

ઉદાહરણ 1. કયા પરિમાણના મૂલ્યો પર એ,શું સમીકરણ (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 નું એક મૂળ છે?

ઉકેલ: મૂલ્ય a=3 ની સીધી અવેજીમાં આપણે જોઈએ છીએ કે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. આગળ, આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીશું કે શૂન્ય ભેદભાવ સાથે સમીકરણમાં ગુણાકાર 2 નું એક મૂળ છે. ચાલો ભેદભાવ લખીએ

ચાલો તેને સરળ બનાવીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ

અમે પરિમાણ a ના સંદર્ભમાં એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મેળવ્યું છે, જેનો ઉકેલ વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી મેળવી શકાય છે. મૂળનો સરવાળો 7 છે, અને તેમનું ઉત્પાદન 12 છે. સરળ શોધ દ્વારા આપણે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે સંખ્યાઓ 3,4 સમીકરણના મૂળ હશે. અમે ગણતરીની શરૂઆતમાં a=3 ઉકેલને નકારી કાઢ્યો હોવાથી, એકમાત્ર સાચો હશે - a=4.આમ, a=4 માટે સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 2. કયા પરિમાણના મૂલ્યો પર એ,સમીકરણ a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0એક કરતાં વધુ મૂળ છે?

ઉકેલ: ચાલો પહેલા એકવચન બિંદુઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તેઓ a=0 અને a=-3 મૂલ્યો હશે. જ્યારે a=0, સમીકરણ ફોર્મ 6x-9=0 માં સરળ બનશે; x=3/2 અને ત્યાં એક રુટ હશે. a= -3 માટે આપણે 0=0 ઓળખ મેળવીએ છીએ.
ચાલો ભેદભાવની ગણતરી કરીએ

અને તેનું મૂલ્ય શોધો કે જેના પર તે હકારાત્મક છે

પ્રથમ શરતથી આપણને a>3 મળે છે. બીજા માટે, આપણે સમીકરણના ભેદભાવ અને મૂળ શોધીએ છીએ


ચાલો અંતરાલ નક્કી કરીએ જ્યાં ફંક્શન હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. બિંદુ a=0 ને બદલીને આપણને મળે છે 3>0 . તેથી, અંતરાલ (-3;1/3) ની બહાર કાર્ય નકારાત્મક છે. બિંદુ ભૂલશો નહીં a=0,જે બાકાત રાખવું જોઈએ કારણ કે તે મૂળ સમીકરણએક મૂળ ધરાવે છે.
પરિણામે, અમે બે અંતરાલો મેળવીએ છીએ જે સમસ્યાની શરતોને સંતોષે છે

વ્યવહારમાં ઘણા સમાન કાર્યો હશે, કાર્યોને જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો અને પરસ્પર વિશિષ્ટ હોય તેવી પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેવાનું ભૂલશો નહીં. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેના સૂત્રોનો સારી રીતે અભ્યાસ કરો; વિવિધ સમસ્યાઓ અને વિજ્ઞાનમાં ગણતરીમાં તેમની ઘણી વાર જરૂર પડે છે.

ભેદભાવ, ચતુર્ભુજ સમીકરણોની જેમ, 8મા ધોરણમાં બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરે છે. તમે ભેદભાવ દ્વારા અને વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલી શકો છો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો, તેમજ ભેદભાવપૂર્ણ સૂત્રોનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ, વાસ્તવિક શિક્ષણમાં ઘણી વસ્તુઓની જેમ, શાળાના બાળકોને અસફળ રીતે શીખવવામાં આવે છે. તેથી તેઓ પાસ થાય છે શાળા વર્ષ, ગ્રેડ 9-11 માં શિક્ષણ બદલે છે " ઉચ્ચ શિક્ષણ"અને દરેક ફરી જોઈ રહ્યા છે - "ચતુર્ભુજ સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું?", "સમીકરણના મૂળ કેવી રીતે શોધવું?", "ભેદભાવ કેવી રીતે શોધવો?" અને...

ભેદભાવપૂર્ણ સૂત્ર

ચતુર્ભુજ સમીકરણ a*x^2+bx+c=0 નો ભેદભાવ D એ D=b^2–4*a*c બરાબર છે.
ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ (ઉકેલ) ભેદભાવ (D) ના સંકેત પર આધાર રાખે છે:
D>0 - સમીકરણમાં 2 જુદા જુદા વાસ્તવિક મૂળ છે;
D=0 - સમીકરણમાં 1 રુટ છે (2 મેળ ખાતા મૂળ):
ડી<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
ભેદભાવની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર એકદમ સરળ છે, તેથી ઘણી વેબસાઇટ્સ ઑનલાઇન ભેદભાવ કેલ્ક્યુલેટર ઓફર કરે છે. અમે હજી સુધી આ પ્રકારની સ્ક્રિપ્ટો શોધી નથી, તેથી જો કોઈને આનો અમલ કેવી રીતે કરવો તે ખબર હોય, તો કૃપા કરીને અમને ઇમેઇલ દ્વારા લખો આ ઇમેઇલ સરનામું સ્પામબોટ્સથી સુરક્ષિત છે. તેને જોવા માટે તમારી પાસે JavaScript સક્ષમ હોવી જોઈએ. .

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર:

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ શોધીએ છીએ
જો ચોરસ ચલના ગુણાંકને જોડી દેવામાં આવે, તો ભેદભાવની નહીં, પરંતુ તેના ચોથા ભાગની ગણતરી કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
આવા કિસ્સાઓમાં, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળ જોવા મળે છે

મૂળ શોધવાનો બીજો રસ્તો વિએટાનો પ્રમેય છે.

પ્રમેય માત્ર ચતુર્ભુજ સમીકરણો માટે જ નહીં, પણ બહુપદી માટે પણ ઘડવામાં આવે છે. તમે આને વિકિપીડિયા અથવા અન્ય ઇલેક્ટ્રોનિક સંસાધનો પર વાંચી શકો છો. જો કે, સરળ બનાવવા માટે, ચાલો તે ભાગને ધ્યાનમાં લઈએ જે ઉપરોક્ત ચતુર્ભુજ સમીકરણોથી સંબંધિત છે, એટલે કે, ફોર્મના સમીકરણો (a=1)
વિયેટાના સૂત્રોનો સાર એ છે કે સમીકરણના મૂળનો સરવાળો ચલના ગુણાંક જેટલો છે, જે વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે. સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન મફત શબ્દ સમાન છે. વિયેટાનું પ્રમેય સૂત્રોમાં લખી શકાય છે.
વિએટાના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ એકદમ સરળ છે. ચાલો સરળ અવયવો દ્વારા ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખીએ
જેમ તમે જોઈ શકો છો, બુદ્ધિશાળી બધું એક જ સમયે સરળ છે. જ્યારે મૂળના મોડ્યુલસમાં તફાવત અથવા મૂળના મોડ્યુલીમાં તફાવત 1, 2 હોય ત્યારે વિએટાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો અસરકારક છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના સમીકરણો, વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, મૂળ ધરાવે છે




સમીકરણ 4 સુધી, વિશ્લેષણ આના જેવું દેખાવું જોઈએ. સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન 6 છે, તેથી મૂળ મૂલ્યો (1, 6) અને (2, 3) અથવા વિરોધી ચિહ્નો સાથે જોડી હોઈ શકે છે. મૂળનો સરવાળો 7 (વિરોધી ચિહ્ન સાથેના ચલનો ગુણાંક) છે. અહીંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલો x=2 છે; x=3.
વિએટા સૂત્રોને પરિપૂર્ણ કરવા માટે તેમના ચિહ્નને સમાયોજિત કરીને, મુક્ત શબ્દના વિભાજકો વચ્ચેના સમીકરણના મૂળને પસંદ કરવાનું સરળ છે. શરૂઆતમાં, આ કરવું મુશ્કેલ લાગે છે, પરંતુ સંખ્યાબંધ ચતુર્ભુજ સમીકરણો પર અભ્યાસ સાથે, આ તકનીક ભેદભાવની ગણતરી કરવા અને શાસ્ત્રીય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવા કરતાં વધુ અસરકારક સાબિત થશે.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભેદભાવ અને સમીકરણના ઉકેલો શોધવાની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવાનો શાળા સિદ્ધાંત વ્યવહારિક અર્થથી વંચિત છે - "શા માટે શાળાના બાળકોને ચતુર્ભુજ સમીકરણની જરૂર છે?", "ભેદભાવનો ભૌતિક અર્થ શું છે?"

ચાલો તેને આકૃતિ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ ભેદભાવ કરનાર શું વર્ણવે છે?

બીજગણિત કોર્સમાં તેઓ ફંક્શનનો અભ્યાસ કરે છે, ફંક્શન્સનો અભ્યાસ કરવા માટેની સ્કીમ્સ અને ફંક્શનનો ગ્રાફ રચે છે. તમામ કાર્યોમાં, પેરાબોલા એક મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે, જેનું સમીકરણ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.
તેથી ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ભૌતિક અર્થ પેરાબોલાના શૂન્ય છે, એટલે કે, એબ્સીસા અક્ષ Ox સાથે ફંક્શનના ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ
હું તમને નીચે વર્ણવેલ પેરાબોલાસના ગુણધર્મોને યાદ રાખવા માટે કહું છું. પરીક્ષાઓ, કસોટીઓ અથવા પ્રવેશ પરીક્ષાઓ લેવાનો સમય આવશે અને તમે સંદર્ભ સામગ્રી માટે આભારી હશો. સ્ક્વેર્ડ ચલનું ચિહ્ન ગ્રાફ પરના પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જશે કે કેમ તેને અનુરૂપ છે (a>0),

અથવા નીચે શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા (a<0) .

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ મૂળની વચ્ચે આવેલું છે

ભેદભાવ કરનારનો ભૌતિક અર્થ:

જો ભેદભાવ શૂન્ય (D>0) કરતા વધારે હોય તો પેરાબોલામાં ઓક્સ અક્ષ સાથે આંતરછેદના બે બિંદુઓ હોય છે.
જો ભેદભાવ શૂન્ય (D=0) હોય તો શિરોબિંદુ પરનો પેરાબોલા x-અક્ષને સ્પર્શે છે.
અને છેલ્લો કેસ, જ્યારે ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો હોય (ડી<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો