Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса г, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит внес, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Рис. 124 Рис. 125
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ε 0 , т. е.
(81.1)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равнасумме напряженностей E полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому
Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi/ε0. Следовательно,
(81.2)
Формула (81.2) выражаеттеорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.
Рассмотрим поле точечного заряда $q$, найдем поток вектора напряжённости ($\overrightarrow{E}$) через замкнутую поверхность $S$. Будем считать, что заряд находится внутри поверхности. Поток вектора напряженности через любую поверхность равен количеству линий вектора напряженности, которые выходят наружу (начинаются на заряде, если $q>0$) или количеству линий $\overrightarrow{E}$входящих внутрь, если $q \[Ф_E=\frac{q}{{\varepsilon }_0}\ \left(1\right),\]
где знак потока совпадает со знаком заряда.
Теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме
Допустим, что внутри поверхности S находится N точечных зарядов, величины $q_1,q_2,\dots q_N.$ Из принципа суперпозиции мы знаем, что результирующая напряженность поля всех N зарядов может быть найдена как сумма напряженностей полей, которые создаются каждым из зарядов, то есть:
Следовательно, для потока системы точечных зарядов можно записать:
Используем формулу (1), получаем, что:
\[Ф_E=\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }\left(4\right).\]
Уравнение (4) значит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, которые находятся внутри данной поверхности, деленой на электрическую постоянную. Это теорема Остроградского - Гаусса в интегральной форме. Данная теорема является следствием закона Кулона. Значение данной теоремы заключается в том, что она позволяет довольно просто вычислять электрические поля при различных распределениях зарядов.
Как следствие теоремы Остроградского - Гаусса надо сказать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$) через замкнутую поверхность в случае при котором заряды находятся вне данной поверхности, равен нулю.
В том случае, когда можно не учитывать дискретность зарядов используют понятие объемной плотности заряда ($\rho $), если заряд распределен по объему. Она определена как:
\[\rho =\frac{dq}{dV}\left(5\right),\]
где $dq$ - заряд, который можно считать точечным, $dV$ -- малый объем. (Относительно $dV$ необходимо сделать следующее замечание. Данный объем мал настолько, чтобы плотность заряда в нем можно было считать постоянной, но достаточно велик, чтобы не начала проявляться дискретность заряда). Суммарный заряд, который находится в полости, можно найти как:
\[\sum\limits^N_{i=1}{q_i\ }=\int\limits_V{\rho dV}\left(6\right).\]
В таком случае формулу (4) перепишем в виде:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(7\right).\]
Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме
Используя формулу Остроградского - Гаусса для любого поля векторной природы, с помощью которой осуществляется переход от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по объему:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{a}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{a}dV\ \left(8\right),\]
где $\overrightarrow{a}-$вектор поля (в нашем случае это $\overrightarrow{E}$), $div\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{a}=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}$ -- дивергенция вектора $\overrightarrow{a}$ в точке с координатами (x,y,z), которая отображает векторное поле на скалярное. $\overrightarrow{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$ - оператор набла. (В нашем случае будет $div\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\nabla }\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}$) -- дивергенция вектора напряженности. Следуя вышесказанному, формулу (6) перепишем как:
\[\oint\limits_S{\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int\nolimits_V{div}}\overrightarrow{E}dV=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV}\left(9\right).\]
Равенства в уравнении (9) выполняются для любого объема, а это осуществимо только, если функции, которые находятся в подынтегральных выражениях, равны в каждой токе пространства, то есть мы можем записать, что:
Выражение (10) -- теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме. Трактовка ее такова: заряды являются источниками электрического поля. Если $div\overrightarrow{E}>0$, то в этих точках поля (заряды положительные) мы имеем источники поля, если $div\overrightarrow{E}
Задание: Заряд равномерно распределен по объему, в этом объеме выделена кубическая поверхность, со стороной b. Она вписана в сферу. Найдите отношение потоков вектора напряженности сквозь эти поверхности.
Согласно теореме Гаусса поток ($Ф_E$) вектора напряженности $\overrightarrow{E}$ через замкнутую поверхность при равномерном распределении заряда по объему равен:
\[Ф_E=\frac{1}{{\varepsilon }_0}Q=\frac{1}{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{\rho dV=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\int\limits_V{dV}=\frac{\rho V}{{\varepsilon }_0}}\left(1.1\right).\]
Следовательно, нам необходимо определить объемы куба и шара, если шар описать вокруг этого куба. Для начала, объем куба ($V_k$) если сторона его b равен:
Найдем объем шара ($V_{sh}$) по формуле:
где $D$ -- диаметр шара и (так как шар описан вокруг куба), главная диагональ куба. Следовательно, нам необходимо выразить диагональ куба через его сторону. Это легко сделать, если использовать теорему Пифагора. Для вычисления диагонали куба, например, (1,5) нам сначала необходимо найти диагональ квадрата (нижнего основания куба) (1,6). Длина диагонали (1,6) равна:
В таком случает длина диагонали (1,5) равна:
\[{D=D}_{15}=\sqrt{b^2+{(\sqrt{b^2+b^2\ \ \ })}^2}=b\sqrt{3}\ \left(1.5\right).\]
Подставим в (1.3) найденный диаметр шара, получим:
Теперь мы можем найти потоки вектора напряженности через поверхность куба, она равна:
\[Ф_{Ek}=\frac{\rho V_k}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho b^3}{{\varepsilon }_0}\left(1.7\right),\]
через поверхность шара:
\[Ф_{Esh}=\frac{\rho V_{sh}}{{\varepsilon }_0}=\frac{\rho }{{\varepsilon }_0}\frac{\sqrt{3}}{2}\pi b^3\ \left(1.8\right).\]
Найдем отношение $\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}$:
\[\frac{Ф_{Esh}}{Ф_{Ek}}=\frac{\frac{с}{\varepsilon_0}\frac{\sqrt{3}}{2} \pi b^3}{\frac{сb^3}{\varepsilon_0}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{3}\ \approx 2,7\left(1.9\right).\]
Ответ: Поток через поверхность шара в 2,7 раза больше.
Задание: Докажите, что заряд проводника располагается на его поверхности.
Используем для доказательства теорему Гаусса. Выделим в проводнике замкнутую поверхность произвольной формы около поверхности проводника (рис.2).
Допустим, что заряды внутри проводника есть, запишем с теорему Остроградского - Гаусса для дивергенции поля имеем для любой точки поверхности S:
где $\rho -плотность\ $внутреннего заряда. Однако поля внутри проводника нет, то есть $\overrightarrow{E}=0$, следовательно, $div\overrightarrow{E}=0\to \rho =0$. Теорема Остроградского - Гаусса в дифференциальной форме локальна, то есть, она записана для точки поля, мы специальным образом точку не выбирали, следовательно, плотность заряда равна нулю в любой точке поля внутри проводника.
Обращение - это слово или словосочетание, называющее лицо (реже - предмет), к которому обращена речь.
1. Обращение может выражаться однословно и неоднословно.
Однословное обращение бывает выражено существительным или любой частью речи в функции существительного в именительного падежа, неоднословное обращение может включать зависимые от этого существительного слова или междометие о:
Например:
Дорогая внучка , почему ты мне стала редко звонить?
Ожидающие рейс из Сочи , пройдите в зону прилета.
Опять я ваш, о юные друзья ! (название элегии А. С. Пушкина).
2. Обращение может быть выражено существительным, стоящим в форме косвенного падежа, если оно обозначает признак предмета или лица, к которому обращена речь.
Например: Эй, в шляпе , вы крайний?
Обращения могут быть выражены особыми, описательными оборотами, которые выделяются как обычные обращения-наименования: – Эй, на шаланде ! – сказал Рег (Грин); – Эй, кто там покрепче , давай сюда, к воротам (П. Капица).
3. Личные местоимения ты и вы, как правило, не выступают в роли обращений: они выполняют функцию подлежащего, если при них имеются глаголы-сказуемые.
Например: Если вы, читатель , любите осень, то знаете, что осенью вода в реках приобретает от холода яркий синий цвет (Пауст.) – обращением является читатель , а местоимение вы сочетается с глаголом вы любите .
Местоимения ты , вы могут принимать функцию обращения в следующих случаях:
а) в конструкциях с обособленным определением или определительной придаточной частью: Вы, третья с краю , с копной на лбу, я вас не знаю. Я вас – люблю! (Возн.); Вы , чьи широкие шинели напоминали паруса, чьи шпоры весело звенели и голоса, и чьи глаза, как бриллианты, на сердце оставляли след, – очаровательные франты минувших лет (Цв.);
б) при самостоятельном употреблении, обычно с междометиями эй, ну, эх и др.: Эх, вы, бабы, бабы ! Садовые у вас головы (Крут.); – Эх, вы ! И не противно вам сидеть рядом с Чебухайкой? – бросает он на ходу (Крут.); Цыц, ты ! Она тебе больше не слуга (М. Г.); – У него голова болит, – с сердцем посочувствовал Баев. – Эх-х... вы. Жители ! (Шукш.);
в) в составе других обращений: Милый друг ты мой , не стыдись... (Фад.); Милая ты моя (Шукш.).
Обращение грамматически не связано с предложением, не является членом предложения.
Знаки препинания при обращениях
1. Обращения обычно выделяются (или отделяются) запятыми, а при особой эмоциональной нагрузке – восклицательным знаком, стоящим после обращения.
Например: Поздравляю, товарищи , с благополучным прибытием (Пауст.)
– Не ходи, Володя , – проговорил Родион (Ч.).
Прощай же, пора, моя радость ! Я спрыгну сейчас, проводник (Паст.). Стихни, ветер . Не лай, водяное стекло (Ес.). Прозрейте, товарищ зрячий , у озера в стоке вод (Возн.).
Звательная интонация усиливается, если обращение помещается в конце предложения.
Например:
– Здравствуйте, братцы ! - сказал он (Ч.);
Прощай, пора окраин ! Жизнь – смена пепелищ (Возн.).
2. Несколько обращений разделяются запятыми или восклицательными знаками.
Например: «Милая моя, дорогая, мучение мое, тоска моя », – прочитала она (Ч.); Прощай, мое счастье, мое недолгое счастье ! (Купр.); Пролетарий! Бедный брат. .. Когда ты получишь сие письмо, я уже буду на отлете (Ч.).
Обращения, соединенные союзом и , не разделяются запятой.
Например: Рыдайте, кабацкие скрипки и арфы (Возн).
3. Если после обращения имеется определение или приложение, то оно обособляется; такое определение воспринимается как второе обращение.
Например: Дедушка, миленький , где же ты был ? (Расп.);Миллер, голубчик, встаньте. На берегу огни ! (Пауст.).
4. Части расчлененного обращения выделяются отдельно, каждая сама по себе.
Например: Услышь меня, хорошая , услышь меня, красивая, заря моя вечерняя, любовь неугасимая ! (Ис.); О, пренебрегнутые мои , благодарю и целую вас, руки Родины, робости, дружбы, семьи (Паст.).
5. Если обращение заканчивает вопросительное предложение, то после него ставится вопросительный знак.
Например: Слышите, Дмитрий Петрович ? Я приеду к вам в Москву (Ч.); Когда же наконец будет Кара-Ада, капитан ? (Пауст.); Что с вами, синий свитерок ? (Возн.); Ты молилась ли на ночь, береза ? Вы молились ли на ночь, запрокинутые озера Сенеж, Свитязь и Нарочь ? Вы молились ли на ночь, соборы Покрова и Успенья ? (Возн.).
6. Частицы о, ах, а и др., стоящие перед обращениями, от них не отделяются.
Например: О мой милый , мой нежный, прекрасный сад ! (Ч.).
– Прош , а Прош !– позвал Прохор Абрамович (Плат.).
Ах Надя, Наденька , мы были б счастливы... (Ок.).
О вихрь , общупай все глуби и дупла (Паст.).
О грозди возмездья ! Взвил залпом на Запад – я пепел незваного гостя! (Возн.).
О юность, феникс, дурочка , весь в пламени диплом! (Возн.).
О любимые сердцем обманы, заблужденья младенческих лет ! В день, когда зеленеют поляны, мне от вас избавления нет (Забол.).
7. Если же перед обращением оказывается междометие (в отличие от частицы оно акцентируется), то оно отделяется запятой или восклицательным знаком.
Например:
– Ах, милая Надя , – начал Саша свой обычный послеобеденный разговор (Ч.);
– Эй, три осьмушки под резьбу, иди возьми болт! – С того дня Захара Павловича звали прозвищем «Три Осьмушки под Резьбу» (Плат.). В качестве междометия может выступать и слово о (в значении ах ): О, моя утраченная свежесть, буйство глаз и половодье чувств (Ес.).
Междометие (как призыв к вниманию) может и само выступать в качестве обращения.
Например: Эй , берегись! Устроишь замыкание! (Возн.).
– Эй , поосторожней там! – крикнул Степаха (Крут.).
Куда? Ты что? Эй! (Шукш.).
8. После обращения, представляющего собой отдельное вокативное предложение (Предложение-обращение, т. е. односоставное предложение, в котором главным и единственным членом является название лица - адресата речи), ставится многоточие или восклицательный знак – одиночный или в сочетании с многоточием.
Например: – Миллер ! – прошептал Шацкий (Пауст.); Аня, Аня! (Ч.); – Петь !.. – Лялька опять в окне (Шукш.);
– Мать... А мать ! – позвал он старуху свою (Шукш.); – Братишки ... – сказал он тихо, и голос его сорвался (Пауст.).
Обращением называют слово или несколько слов, которыми в прямой речи определяют того, кому она адресована. Это - самостоятельный компонент, с точки зрения синтаксиса не являющийся членом предложения. А предложения, содержащие такой компонент, называют осложненными. Обращения подчеркиваются в устной речи интонацией, а в письменной - с помощью пунктуации.
Инструкция
В письменной форме обращения чаще всего подчеркиваются с помощью знаков препинания - отделяйте их от остального текста предложения запятыми. Одно или несколько слов обращения могут стоять как в начале предложения, так и в его конце или в середине. В последнем случае обрамляйте обращение запятыми с обеих сторон. Если слова, образующие обращение, стоят в начале предложения, то кроме запятой для их выделения иногда используется и восклицательный знак.
В устной речи чаще всего требуется выделять обращение - делайте после него короткую паузу, а следующий за ним текст, отделенный запятой, произносите так, как будто это начало нового предложения. следите за тем, чтобы интонационно обращение не выделялось на фоне произношения слов, стоящих за запятой - такое интонационное подчеркивание уместно лишь в том случае, когда все предложение состоит только из однословного либо многословного обращения с восклицательным знаком на конце.
При синтаксическом разборе предложения не подчеркивайте обращение никакой линией. Выделять подчеркиванием следует только члены предложения, а обращения, как и вводные слова, с точки зрения грамматики русского языка с предложением не связаны, не являются его членами и не включаются в синтаксическую схему зависимостей членов в предложении. Но все же проконсультируйтесь со своим преподавателем, так как многие из них требуют каким-либо способом обозначать обращения - например, помещая над ними надпись «обращение», заключая в квадратные скобки или используя другие способы.
