ನಿರಂತರ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b), ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ:
ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಾವು ಸ್ಥಿರ ಸಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು ಏಕತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಬೇಸ್ (ಬಿ - α) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಸಿ (ಚಿತ್ರ 1) ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. 
ಅಕ್ಕಿ. 1 ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ c ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
ಈಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
1) ಗಾಗಿ 
2) ಗಾಗಿ
3) 0+1+0=1 ಕ್ಕೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, 
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಚಿತ್ರ 2). 
ಅಕ್ಕಿ. 2 ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:
ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಸರಣಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಸಾಧನದ ಸ್ಕೇಲ್ ಡಿವಿಷನ್ ಮೌಲ್ಯವು 0.2 ಆಗಿದೆ. ವಾದ್ಯಗಳ ವಾಚನಗೋಷ್ಠಿಗಳು ಹತ್ತಿರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ದುಂಡಾದವು. ಎಣಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) 0.04 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ; ಬಿ) ದೊಡ್ಡ 0.02
ಪರಿಹಾರ. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೋಷವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪಕ್ಕದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (0; 0.2) ಅಂತಹ ವಿಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (Fig. a). ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಎಡ ಗಡಿಗೆ - 0, ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ - 0.2 ಕಡೆಗೆ ನಡೆಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ 0.04 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ದೋಷವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: 
P = 0.2 + 0.2 = 0.4
ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ದೋಷ ಮೌಲ್ಯವು ಎರಡೂ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ 0.02 ಅನ್ನು ಮೀರಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅದು 0.02 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ 0.18 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರಬಹುದು. 
ನಂತರ ಈ ರೀತಿಯ ದೋಷದ ಸಂಭವನೀಯತೆ:
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಕಳೆದ 50 ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ದೇಶದ ಆರ್ಥಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು (ಯುದ್ಧಗಳು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಕೋಪಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ವಯಸ್ಸಿನ ಪ್ರಕಾರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪದಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ: ಶಾಂತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಇರಬೇಕು ಸಮವಸ್ತ್ರ. ಅಧ್ಯಯನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ದೇಶಕ್ಕೆ ಕೆಳಗಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.
ದೇಶದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರತೆ ಇತ್ತು ಎಂದು ನಂಬಲು ಏನಾದರೂ ಕಾರಣವಿದೆಯೇ?ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಟೇಬಲ್.
| ಗುಂಪುಗಳು | ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯಬಿಂದು, x i | ಪ್ರಮಾಣ, f i | x i * f i | ಸಂಚಿತ ಆವರ್ತನ, ಎಸ್ | |x - x av |*f | (x - x ಸರಾಸರಿ) 2 *f | ಆವರ್ತನ, f i / n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
ತೂಕದ ಸರಾಸರಿ
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂಚಕಗಳು.
ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
R = X ಗರಿಷ್ಠ - X ನಿಮಿಷ
R = 70 - 0 = 70
ಪ್ರಸರಣ- ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸುತ್ತ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆ, ಅಂದರೆ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ವಿಚಲನ).
ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.
ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು 43 ರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ 23.92 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ
ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು.
4. ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಸಾಮಾನ್ಯ ಜನಸಂಖ್ಯೆ
X ನ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು, ಅಂದರೆ. ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ: f(x) = 1/(b-a) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a,b)
ಅಗತ್ಯ:
1. a ಮತ್ತು b ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ - ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು X, ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (* ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ):
2. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f(x) = 1/(b * - a *)
3. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು k = s-3 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ s ಎಂಬುದು ಆರಂಭಿಕ ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ; ಸಣ್ಣ ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಡೆಸಿದರೆ, s ಎಂಬುದು ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಪರಿಹಾರ:
1. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ a * ಮತ್ತು b * ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
2. ಊಹಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
ಉಳಿದ n ಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | ಎನ್ ಐ | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| ಒಟ್ಟು | 1 | 0.0532 |
ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಲಗೈಯಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ ಅದು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ], ಇದು ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಸಾಂದ್ರತೆ [ ಎ, ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಎಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಎ,
ಬಿ]:
. ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
, ಎಲ್ಲಿ 
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ [ ಎ,
ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
n.s.v ವಿತರಣೆಯ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ. Xಕೆಳಗಿನ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಸಾಧ್ಯ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿದೆ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ], ಇದು ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು ಸ್ಟಾಪ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಗಣೆಗಾಗಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯ (ನಿರಂತರವಾದ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಮಧ್ಯಂತರದೊಂದಿಗೆ, ಕಾಯುವ ಅವಧಿಯನ್ನು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ದೋಷ (ಏಕರೂಪವಾಗಿ [-0.5 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ , 0.5 ]) ಮತ್ತು ಇತರರು.
ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎಫ್(X)
ಎ,
ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಹುಡುಕಲಾಗಿದೆ f(X)
ಅವರ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು 
. ಅನುಗುಣವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಫ್(X)
ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದ ವಿಭಾಗ [ ಎ,
ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X
:
.
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ f(X) ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು f(X) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದ ವಿಭಾಗ [ ಎ, ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X :
ನಿರೀಕ್ಷೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ [ ಎ, ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ f(X) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ (ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳ ಪ್ರಕಾರ f(X) ) ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಮತ್ತು ಫ್ಯಾಷನ್ ಡಿ(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ, ಬಿ].
ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ [ ಎ,
ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 
, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೆ ಮಲಗಿದೆ [ ಎ,
ಬಿ]. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ತಿಳಿದಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ [ ಎ,
ಬಿ] ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 
, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೆ ಮಲಗಿದೆ [ ಎ,
ಬಿ], ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ. ಬಸ್ ಮಧ್ಯಂತರವು 10 ನಿಮಿಷಗಳು. ಬಸ್ ನಿಲ್ದಾಣಕ್ಕೆ ಬರುವ ಪ್ರಯಾಣಿಕರು ಬಸ್‌ಗಾಗಿ 3 ನಿಮಿಷಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ ಕಾಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಬಸ್‌ಗಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ಕಾಯುವ ಸಮಯ ಎಷ್ಟು?
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ
ಈ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಾಧಾರಣ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ, ಮಿಲಿಟರಿ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಕಾನೂನಾಗಿದ್ದು, ಇತರ ಹಲವು ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳು (ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ) ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನನ್ನು ಬಳಸಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕೃತಿಯ ಅನೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಯಾವುದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟ್ ಓವರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನು (ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ಕಾನೂನು), ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ:
,
ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಮತ್ತು σ (σ>0 ) ಈ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಗೌಸ್ ನಿಯಮವು ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಉಪಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾಪನ ದೋಷಗಳು, ಶೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ ಗುರಿಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ವಿಚಲನ, ತಯಾರಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ಆಯಾಮಗಳು, ಜನರ ತೂಕ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ, ವಾರ್ಷಿಕ ಮಳೆ, ನವಜಾತ ಶಿಶುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಮತ್ತು σ , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸುವ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಅದರ ವಿಭಕ್ತಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ f(X) ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಇದನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ಕರ್ವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಫಿಗರ್).
ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಮತ್ತು σ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರಕ್ಕೆ. ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು) ಎವಕ್ರರೇಖೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಲಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಡಕ್ಕೆ ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ X. ಅವಲಂಬನೆ σ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ. ಮೇಲಿನ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. σ . ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಮತ್ತು σ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಸಂಭವನೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ). ಮೇಲಿನಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ σ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ X. ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ σ (σ 1 < σ< σ 2 ) ಮತ್ತು ಅದೇ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯ ಎ.
ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಮತ್ತು σ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಂಬ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಎಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ Xಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ M(X)) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ. ಅದೇ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್ ಸಹ ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಇದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ f(X)
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ 
, ನಂತರ ಸಮಗ್ರತೆಯ (ಬದಲಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಂತರ ನಾವು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ σ
2
. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ X, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥ ಎಮತ್ತು σ ಮುಂದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಆರ್.ವಿ. Xಎಮತ್ತು σ ಎ σ.
ಈಗ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಫ್(X)
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ X, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ f(X)
ಮತ್ತು ಸೂತ್ರ 
. ಬದಲಿ ಮಾಡುವಾಗ f(X)
ಫಲಿತಾಂಶವು "ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದ" ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಏನು ಬೇಕಾದರೂ ಮಾಡಬಹುದು ಎಫ್(X),
ಇದು ಈ ಕಾರ್ಯದ ನಿರೂಪಣೆಯಾಗಿದೆ:
,
ಎಲ್ಲಿ F(x)- ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ, ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
.
ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ Xಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಟೇಬಲ್ ಇದೆ F(x)ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ X. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲಕ್ಷಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ: Ф(-х)=−F(x)ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ X.
ಈಗ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ r.v ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. Xನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (α, β) . ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ Р(α< X< β)= ಎಫ್(β) − ಎಫ್(α) . ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ α ಮತ್ತು β ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಎಫ್(X) , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.
ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಆರ್.ವಿ. Xನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು σ , ನಂತರ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ σ. ಅದಕ್ಕೇ ಸರಾಸರಿಈ ಆರ್ವಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಚಲನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದಾಗ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ σ. ಆದರೆ ಇದು ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೊಡ್ಡ ವಿಚಲನಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೆಲವು ವಿಚಲನಗಳು ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿತರಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ Xಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ M(X)=aನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ δ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್(| X− ಎ|<δ ): . ಹೀಗಾಗಿ,
.
ಈ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ δ=3σ, r.v ನ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. X(ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ) ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ವಿಪಥಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ σ (ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ σ ): (ಅರ್ಥ F(3)ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ). ಇದು ಬಹುತೇಕ ಇಲ್ಲಿದೆ 1 ! ನಂತರ ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ (ಮೌಲ್ಯವು ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದೆ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 3σ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 1 −0.997=0.003 , ಇದು ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ 0 . ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಘಟನೆಯು "ಬಹುತೇಕ ಅಸಾಧ್ಯ" − ಬಹಳ ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಸರಾಸರಿ 3 ಸಮಯ ಮೀರಿದೆ 1000 ) ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ "ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ" ಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.
ಮೂರು ಸಿಗ್ಮಾ ನಿಯಮ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರ ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ 3σ.
ನಾವು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒತ್ತಿ ಹೇಳೋಣ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅನೇಕ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚಲಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. 3σ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ
ಉದಾಹರಣೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ 100 ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು Xಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಿಂದ ವಿಚಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ? 1000 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?
ಪರಿಹಾರ. ಈವೆಂಟ್ ಇರಲಿ ಎಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಎಂದರ್ಥ Xಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸರಾಸರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಿಚಲನಗೊಂಡಿದೆ 3σ.ಈಗಷ್ಟೇ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ p=P(A)=0.003.ಅಂತಹ 100 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ನಾವು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಸಂಭವಿಸಿದ ಕನಿಷ್ಟಪಕ್ಷಬಾರಿ, ಅಂದರೆ. ಬಂದಿತು 1 ಮೊದಲು 100 ಒಮ್ಮೆ. ಇದು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎನ್=100 (ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ), ಪು=0.003(ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಒಂದು ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ) q=1− ಪ=0.997 . ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ ಆರ್ 100 (1≤ ಕೆ≤100) . IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿರುದ್ಧ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಆರ್ 100 (0) - ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಒಮ್ಮೆಯೂ ಆಗಲಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ 0 ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ). ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ವಿರುದ್ಧದ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ. ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು (ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಸರಣಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ). ನಲ್ಲಿ 1000 ಅದೇ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಡೆಯಬಹುದು 3σ, ಸಮ: . ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಚಲನವನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸಿನ ಪುರುಷರ ಎತ್ತರವನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ σ . ಸೂಟ್ಗಳ ಯಾವ ಅನುಪಾತ ಕೆಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಯಸ್ಸಿನ ಗುಂಪಿನ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಕೆಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
1 ಎತ್ತರ : 158 − 164 ಸೆಂ 2ಎತ್ತರ : 164 - 170cm 3ಎತ್ತರ : 170 - 176cm 4ಎತ್ತರ : 176 - 182 ಸೆಂ
ಪರಿಹಾರ. ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: a=178,σ=6,ಕೆ=3
. ಆರ್.ವಿ. X
−
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮನುಷ್ಯನ ಎತ್ತರ (ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಮನುಷ್ಯನಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ 3
- ಎತ್ತರ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು F(x)ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ: P(170
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 1958 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬಾಕ್ಸ್, ಮರ್ವಿನ್ ಮುಲ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಜಾರ್ಜ್ ಮಾರ್ಸಾಗ್ಲಿಯಾ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಧಾನ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ 0 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:
Z 0 ಮತ್ತು Z 1 ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, s = u 2 + v 2, ಮತ್ತು u ಮತ್ತು v ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-1, 1) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿ 0 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.< s < 1.
ಅನೇಕ ಜನರು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಯೋಚಿಸದೆ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕರು ತಮ್ಮ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಹ ಅನುಮಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಸಿದ್ಧವಾದ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನರಿದ್ದಾರೆ: “ಈ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ಮತ್ತು ನೀವು ಒಂದೇ ಬಾರಿಗೆ ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಏಕೆ ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ? ” ಮುಂದೆ, ನಾನು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಫ್(x) ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಇದರರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (A, B) ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಬ್ಬಾದ ಪ್ರದೇಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಅಂದಾಜು ನೋಟವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
ಇಲ್ಲಿರುವ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಭವನೀಯತೆ B ಯೊಂದಿಗೆ A ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ.
ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ರವಾನಿಸಿದರೆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಾದವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, sin(x) ಗಾಗಿ ಇದು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್(x) ಇತ್ಯಾದಿ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಜನರೇಟರ್‌ಗಳು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಔಟ್‌ಪುಟ್‌ನಂತೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಾಸಿಯನ್‌ಗೆ:
ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳ ಆಧಾರವು ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, 1) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವಾದವಾಗಿ ರವಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಟ್ಪುಟ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ವಿಭಾಗವು ಹೊಸ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸ್ಮೀಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಮತ್ತೊಂದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮೋಸ ಮಾಡಬೇಕಾಯಿತು.
ಒಂದು ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣೆ (ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ) ಇದೆ, ಇದು k ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ k = 2, ಈ ವಿತರಣೆಯು ಘಾತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಇದರರ್ಥ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ X ಮತ್ತು Y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಿದರೆ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಧ್ರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (r, θ) ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ ನಂತರ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗ (ಮೂಲದಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ) ಘಾತೀಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುವುದು, ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ (ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ). ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಇದು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, θ ಕೋನವು 0 ರಿಂದ 2π ವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ನೀವು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ (ಕೋನವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಲೋಮ ರೂಪಾಂತರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕರೂಪದ ಒಂದರಿಂದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದು ಪೋಲಾರ್ ಬಾಕ್ಸ್-ಮುಲ್ಲರ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ.
ಈಗ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ.
(1)
r ಮತ್ತು θ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, 1) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಎರಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ (ಅವುಗಳನ್ನು u ಮತ್ತು v ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ), ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (v ಎಂದು ಹೇಳೋಣ) ಘಾತೀಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಘಾತೀಯ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಇದರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಹೀಗಿದೆ:
ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ರೂಪಾಂತರವು ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ
ಚಿ-ಚದರ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು λ = 0.5 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ λ, v ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ:
ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು 2π ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ನಾವು r ಮತ್ತು θ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ (1) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(2)
ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಬಳಸಲು ಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ. X ಮತ್ತು Y ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 1 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು 0 ರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಕಾರ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು.
ಆದರೆ ಕೋನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಂತರ, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅದು ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಏಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ?
ಯುನಿಟ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವನ್ನು s ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-1, 1) ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕೋನದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಷರತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
ಲೇಖನದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಅದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ರಚಿತವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ 78.5% ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವುದು. ಹಳೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೊರತೆಯು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ. ಈಗ, ಒಂದು ಪ್ರೊಸೆಸರ್ ಆಜ್ಞೆಯು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಎರಡನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದಾಗ, ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.
ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನನಗೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ:
- ಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಏಕೆ ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ?
- ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಏಕೆ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ಅದರ ಚೌಕದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಡಬಲ್ ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು, ನಾನು ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವವರಿಗೆ, ಈ ಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ:
- ವೆಂಟ್ಜೆಲ್ ಇ.ಎಸ್. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ
- ನಟ್ ಡಿ.ಇ. ಆರ್ಟ್ ಆಫ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್, ಸಂಪುಟ 2
ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಜಾವಾಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:
ಫಂಕ್ಷನ್ Gauss() ( var ಸಿದ್ಧ = ತಪ್ಪು; var ಎರಡನೇ = 0.0; this.next = ಕಾರ್ಯ (ಸರಾಸರಿ, dev) ( ಸರಾಸರಿ = ಸರಾಸರಿ == ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ? 0.0: ಅರ್ಥ; dev = dev == ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ? 1.0: dev; ವೇಳೆ ( this.ready) ( this.ready = ತಪ್ಪು; ಇದು. ಸೆಕೆಂಡ್ * ದೇವ್ + ಅರ್ಥ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ () - 1.0; s = u * u + v * v; ಸರಾಸರಿ ) ) g = ಹೊಸ ಗೌಸ್ (); // ವಸ್ತುವನ್ನು ರಚಿಸಿ a = g.next(); // ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ b = g.next(); // ಎರಡನೇ c = g.next(); // ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ
ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳು ಮೀನ್ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಮತ್ತು ದೇವ್ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇನೆ.
