ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳು(ಇದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ). ನಾವು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ:

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ವಸ್ತುವಿನ (ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ) ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಖಚಿತತೆಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ.

ಸಂಭವನೀಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿವಸ್ತುವಿನ (ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ) ವರ್ತನೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಂಶಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆ. ಇಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿಅನಿಶ್ಚಿತತೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಆಗಿರುವಾಗ, "ಸ್ವಸ್ಥ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು" ನಿರೂಪಿಸುವ ಕೆಲವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಇವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಅನುಭವದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು "ಅನುಕೂಲಕರ", "ಹಾನಿಕರವಲ್ಲದ" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಡಚಣೆಗಳು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲದ" ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಸಹ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗಡಿಯಾರವನ್ನು ನಡೆಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು (ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮಾಪನಾಂಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಿದ ಕೆಲಸ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ - "ಗಡಿಯಾರದಂತೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ") ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ (ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದು, ಹಿಂದುಳಿಯುವುದು, ನಿಲ್ಲಿಸುವುದು). ಆದರೆ ಈ ಅಡಚಣೆಗಳು ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವವರೆಗೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಏನಾದರೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ ಎಸ್(ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನ, ಅಂತಹ ಸಾಧನಗಳ ಗುಂಪು, ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ - ಯಂತ್ರ, ಸೈಟ್, ಕಾರ್ಯಾಗಾರ, ಉದ್ಯಮ, ಉದ್ಯಮ, ಇತ್ಯಾದಿ). ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎಸ್ಸೋರಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಅದು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ (ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ), ಮೇಲಾಗಿ, ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 1. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್- ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಯಂತ್ರ ವಿಭಾಗ). ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ ಯಂತ್ರಗಳು ಕೆಟ್ಟು ಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದುರಸ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ.

2. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ವಿಮಾನ. ಗೊಂದಲದ ಅಂಶಗಳು - ಹವಾಮಾನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಸಿಬ್ಬಂದಿ ದೋಷಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ, ಪರಿಣಾಮಗಳು - ಬಂಪಿನೆಸ್, ಫ್ಲೈಟ್ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯ ಉಲ್ಲಂಘನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಟಿ 0 ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಟಿ 0 ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ತಲುಪಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

t 0 ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರಲಿ ಎಸ್ 0 ವರ್ತಮಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸಿದ ಎಲ್ಲವೂ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಟಿ<ಟಿ 0 (ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಇತಿಹಾಸ). ನಾವು ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದೇ (ಊಹಿಸಬಹುದೇ) ಅಂದರೆ. ಯಾವಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಟಿ>ಟಿ 0 ? ನಿಖರವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಸ್ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ 1 ಅಥವಾ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಸ್ 0, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಸ್- ವಾಯು ಯುದ್ಧದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವ ವಿಮಾನಗಳ ಗುಂಪು. ಅವಕಾಶ x- "ಕೆಂಪು" ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ವೈ- "ನೀಲಿ" ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೊತ್ತಿಗೆ ಟಿ 0 ಉಳಿದಿರುವ (ಗುಂಡು ಹಾರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ) ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ - x 0 ,ವೈ 0 ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯು "ಕೆಂಪು" ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಯಾವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿತ್ತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಟಿ 0, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಹೊಡೆದುರುಳಿಸಿದವರು ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ಸತ್ತರು ಟಿ 0 ವಿಮಾನಗಳು.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಶುದ್ಧ ರೂಪಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ "ಪೂರ್ವ ಇತಿಹಾಸ" ದ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ).

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯ ರಾಜ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ ಎಸ್ 1 ,ಎಸ್ 2, ... ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿವರ್ತನೆಯು "ಜಂಪ್ನಲ್ಲಿ" ಬಹುತೇಕ ತಕ್ಷಣವೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ವಿಭಾಗ) ಎಸ್ಎರಡು ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷಣಸಮಯ ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು (ವಿಫಲಗೊಳ್ಳಬಹುದು), ಅದರ ನಂತರ ಘಟಕದ ದುರಸ್ತಿ ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಜ್ಞಾತ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

ಎಸ್ 0 - ಎರಡೂ ಯಂತ್ರಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿವೆ;

ಎಸ್ 1 - ಮೊದಲ ಯಂತ್ರವನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ;

ಎಸ್ 2 - ಎರಡನೇ ಯಂತ್ರವನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಮೊದಲನೆಯದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ;

ಎಸ್ 3 - ಎರಡೂ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಎಸ್ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಂತ್ರವು ವಿಫಲವಾದಾಗ ಅಥವಾ ದುರಸ್ತಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಬಹುತೇಕ ತಕ್ಷಣವೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ - ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್. ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಆರ್ಕ್ಗಳು ​​- ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು

ಚಿತ್ರ.1. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಗ್ರಾಫ್

ರಾಜ್ಯ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ರಾಜ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ. ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಸ್ 0 ಇಂಚು ಎಸ್ 3 ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಂತ್ರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಯಂತ್ರಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ನಂತರ ವಿಕಸನ t (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ t)ಹಿಂದಿನ ವಿಕಾಸದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ t (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ t), ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ "ಭವಿಷ್ಯ" ತಿಳಿದಿರುವ "ವರ್ತಮಾನ" ದೊಂದಿಗೆ "ಭೂತ" ವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ವೆಂಟ್ಜೆಲ್): ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ "ಭವಿಷ್ಯ" ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ "ಭೂತಕಾಲದಲ್ಲಿ" "ವರ್ತಮಾನದ" ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ).

ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ YouTube

1 / 3

ಉಪನ್ಯಾಸ 15: ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಪಳಿಗಳ ಮೂಲ

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾದರಿ

ಉಪಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು

ಕಥೆ

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಎ. ಎ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ರೂಪಿಸಿದರು, ಅವರು 1907 ರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಲಂಬಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೊತ್ತಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ. ಈ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಚೈನ್ ಥಿಯರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರಂತರ ಸಮಯದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಹಾಕಿದರು.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ

ಅವಕಾಶ (Ω , F , P) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (\ ಒಮೆಗಾ ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಳ (F t , t ∈ T) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))ಕೆಲವು (ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ) ಸೆಟ್ ಮೇಲೆ ಟಿ (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಟಿ); ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ (S , S) (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ (S,(\mathcal (S))))- ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ X = (X t , t ∈ T) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X=(X_(t),\ t\in T)), ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಇದ್ದರೆ A ∈ S (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ A\in (\mathcal (S)))ಮತ್ತು s, t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

P (X t ∈ A | F s) = P (X t ∈ A | X s) .

(\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s))=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಶೋಧನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್-ಟೈಮ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳಿಗಾಗಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಎಸ್ (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ ಎಸ್) ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು T = N (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ T=\mathbb (N) )

, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು:.

P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 , X n - 2 = x n - 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x 1 n) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\dots , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1)))

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನ ನಂತರ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟರೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ X ಒಂದು ಘಟಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ - ಎಡಕ್ಕೆ. ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡ್ ನಂತರ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ("ವಾಕಿಂಗ್") ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯ (t=0, 1, 2, ...) ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ರಾಜ್ಯಗಳ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರಸ್ತುತ (ಪ್ರಸ್ತುತ) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ ಬಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ) .

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ -ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ನಂತರ t ಅದರ ವಿಕಸನವು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ವಿಕಾಸದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲಟಿ,

ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್; ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಎ.ಎ.ಮಾರ್ಕೊವ್ ರೂಪಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗಾಗಲೇ L. ಬ್ಯಾಚಲಿಯರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಅನ್ನು M. ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಗ್ರಹಿಸಬಹುದು, ಇದು N. ವೀನರ್ (N. ವೀನರ್, 1923) ರ ಸಂಶೋಧನೆಯ ನಂತರ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಪಡೆದ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಸಮಯದ ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಹಾಕಿದರು.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಆಸ್ತಿ. M. ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಿ ಟಿ -ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಉಪವಿಭಾಗ ಲೆಟ್ ಎನ್.ಟಿ(ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎನ್.ಟಿ).ಇಲ್ಲಿ s-ಬೀಜಗಣಿತವಿದೆ X(s).at ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎನ್.ಟಿ(ಕ್ರಮವಾಗಿ ಎನ್.ಟಿ) ಕ್ಷಣ t ವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಕಸನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಘಟನೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ (t ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) . ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು X(t) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು (ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ) ಮಾರ್ಕೊವ್ ಆಸ್ತಿಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ:

ಅಥವಾ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಅದೇ ಏನು

M. p., ಇದಕ್ಕಾಗಿ T ಅನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಸರಣಿ(ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಂತರದ ಪದವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ E ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ) . ಎಣಿಕೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, M. ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಣಿ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ವೀನರ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಕರಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಸೂತ್ರಗಳು (1) ಮತ್ತು (2) ತಿಳಿದಿರುವ "ವರ್ತಮಾನ" ನೀಡಿದ "ಭೂತ" ಮತ್ತು "ಭವಿಷ್ಯದ" ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ತತ್ವದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ M. ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಾಗ (1) ಅಥವಾ (2), ವಿಭಿನ್ನವಾದವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಅಳವಡಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ನೋಡಿ,).

ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ:

a) ಅಲ್ಲಿ s-ಬೀಜಗಣಿತವು E ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಒಂದು-ಬಿಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ;

ಬಿ) s-ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಕುಟುಂಬದೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಹವು

ವಿ) ("") x t =xಟಿ(w) , ಯಾವುದೇ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು

d) ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು s-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಯ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ವೇಳೆ ಮತ್ತು

ಹೆಸರುಗಳ ಸೆಟ್ (ಮುಕ್ತಾಯವಲ್ಲದ) ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇಳೆ -ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇಲ್ಲಿ ಏನೇ ಇರಲಿ - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಘಟನೆಗಳ ಸ್ಥಳ, - ಹಂತದ ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ರಾಜ್ಯದ ಸ್ಥಳ, P( s, x, t, V)- ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯಅಥವಾ X(t) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ . E ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಇ,ನಂತರ M. p. ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ವಾಡಿಕೆ ಇ.ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, M. p ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ x s = x.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯ P( s, x;ಟಿ, ವಿ), ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ M. ಸ್ಥಳದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, E ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗ ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಉತ್ತರವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇ.ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವಕಾಶ ಇ -ಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ

ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎಲ್ಲಿ
a ಬಿಂದುವಿನ ಇ-ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ X.ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು (ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪಥಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು). ನಿರಂತರ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು (ನೋಡಿ,) ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಏಕರೂಪದ (ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ವಸ್ತುಗಳು a) - d) ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ s ಮತ್ತು u ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಈಗ 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ಜಾಗದ W ನ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ಅಂತಹ ವಿಷಯ ಇತ್ತು (w) ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, s-ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎನ್,ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ W ನಲ್ಲಿನ ಚಿಕ್ಕ s-ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮಯ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳು q ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಟಿ, ಇದು ಒಕ್ಕೂಟದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ, ಛೇದನ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯವಕಲನ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ

ಹೆಸರುಗಳ ಸೆಟ್ (ಅಂತ್ಯಗೊಳಿಸದ) ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೇಳೆ - ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

X(t) ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ P( ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿ, ಎಕ್ಸ್, ವಿ), ಮತ್ತು, ವಿಶೇಷ ಕಾಯ್ದಿರಿಸುವಿಕೆಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ (4) ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು (4) ಯಾವಾಗಲೂ ಅಡಿಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ s-ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಅಡಿಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ m ("ಆರಂಭಿಕ") ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನತೆ ನೀಡಿದ ಅಳತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ

ಎಂ.ಪಿ. ಪ್ರತಿ t>0 ಗೆ ಕಾರ್ಯವು s-ಬೀಜಗಣಿತ ಇರುವಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದದನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದರೆ ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು

ಬೋರೆಲ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು . ಬಲ ನಿರಂತರ ಸಂಸದರು ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ (ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಏಕರೂಪದ ಸಂಸದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ.ಮೀ ಅಳತೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಿ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಕ್ಷಣ,ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಎಫ್ ಟಿ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎಫ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಎಕ್ಸ್(ಟಿ) ಯ ವಿಕಸನದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಷಣ t ವರೆಗಿನ ಘಟನೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ನಂಬಿಕೆಗಾಗಿ

ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ M. Xnaz. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (s.m.p.), ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಕ್ಷಣ m ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ

(ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಆಸ್ತಿ) ಸೆಟ್ W t ನಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. (5) ಪರಿಶೀಲಿಸುವಾಗ, ಫಾರ್ಮ್ನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು S. m ಜಾಗವು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ನಿರಂತರ ಫೆಲ್ಲರ್ M. ಜಾಗ ಇ.ಎಂ.ಪಿ. ಫಂಕ್ಷನ್ ವೇಳೆ ಫೆಲ್ಲರ್ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

f ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಬೌಂಡ್ ಆಗಿರುವಾಗಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಜೊತೆಗೆ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ. m.p. ಕೆಲವು ಉಪವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಪಿ( ಟಿ, ಎಕ್ಸ್, ವಿ), ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇ,ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಿರಂತರ:

ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯ U ಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳು ನಿರಂತರವಾದ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳು P( ಟಿ, ಎಕ್ಸ್, ವಿ) ಪ್ರಮಾಣಿತ M. p ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. X,ಅಂದರೆ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ. m.p., ಇದಕ್ಕಾಗಿ

ಮತ್ತು - ಬಹುಶಃ ಅನೇಕರ ಮೇಲೆ a Pmarkov ಕ್ಷಣಗಳು ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.ಆಗಾಗ್ಗೆ ದೈಹಿಕ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉದ್ದದ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸರಳ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಪಥಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು (ನೋಡಿ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ). ಈ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟ, ಮುರಿದ ಸಂಸದರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿವರ್ತನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಎಂ.ಪಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವಿರಲಿ ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ಷರತ್ತುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಗಣಿಸಿ). ಹೊಸ ಪಥ x ಟಿ(w) ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ) ಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ ಅಡಿಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಿ ಎಂದು ಕರೆದರು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುವ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ (o.m.p.), z ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುವ (ಅಥವಾ ಕೊಲ್ಲುವ) ಮೂಲಕ ಅದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. z ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರಾಮದ ಕ್ಷಣ, ಅಥವಾ ಜೀವನದ ಸಮಯ, ಒ. m.p. ಹೊಸ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ s-ಬೀಜಗಣಿತದ ಕುರುಹು ಇದೆ ಇ.ಪರಿವರ್ತನೆ ಕಾರ್ಯ ಒ. m.p. ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು X(t) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಅದು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸದ MP ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಮುರಿಯುವಿಕೆಯ ಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ m.p. m.p ಅನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು .ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಸದರು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ರೀತಿಯ. ಪರಿವರ್ತನೆ p(ಗಳು, x, t, y) ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ನ ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ನೇರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

ಕಾರ್ಯ p( s, x, t, y).ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (6) - (7), ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮೊದಲ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ (6) - (7). ಸಮಯ-ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ L( s, x)= ಎಲ್(x) ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರು M. p. (ನೋಡಿ ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್).

ಗಣಿತ. ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ(1) ಲೆಟ್ - ಗಣಿತ. ಅಳತೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷೆ ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ರು ಸಮೀಕರಣ (6) ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿ

ಅಂತೆಯೇ, ಕಾರ್ಯ

ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ರು ಸಮೀಕರಣ

ಮತ್ತು ಷರತ್ತು ಮತ್ತು 2 ( ಟಿ, ಎಕ್ಸ್) = 0.

ಇದು ಮೊದಲು ಗಡಿಯನ್ನು ತಲುಪುವ ಕ್ಷಣವಾಗಿರಲಿ dDಪ್ರದೇಶ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪಥ ನಂತರ, ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ

ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ cp ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್‌ಗಾಗಿ 1 ನೇ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ. 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ s, fಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ರು,ರೇಖೀಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು (9) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೂ ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ

ಕೆಲವು ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ

ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದಾಗ (ಡೆಲ್ ಬಿ( s, x) = 0 ).ಅಥವಾ dDಸಾಕಷ್ಟು "ಉತ್ತಮ" ಅಲ್ಲ; ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳು (9), (10) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಪರೇಟರ್‌ಗೆ ನಿಯಮಿತ ಗಡಿ ಬಿಂದುವಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಎಲ್ಸಂಭವನೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಡಿಯ ನಿಯಮಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳು (9), (10) ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (8), (11) ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (6), (7) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ಸಂಸದರನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ವಿಧಾನ ಸ್ಥಾಪಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು,ಅಳತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ಬದಲಾವಣೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶವು ಸೂತ್ರಗಳು (9), (10) ಜೊತೆಗೆ ಸಮೀಕರಣ (8) ಗಾಗಿ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಪರಿಹಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಸ್ಟೊಕಾಸ್ಟಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ b(ನ ಅವನತಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಲ್ಲದ ಕಾರಣ s, x), ಅದುಅಂಡಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ಷೀಣಿಸಲು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. N. M. ಕ್ರೈಲೋವ್ ಮತ್ತು N. N. ಬೊಗೊಲ್ಯುಬೊವ್ ಅವರ ಸರಾಸರಿ ತತ್ವವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ (9) ಅಂಡಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕೆಲವು ಕಷ್ಟಕರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) 2 ನೇ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಾಗಿ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸರಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಮಯ-ಸಮರೂಪದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (L s ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ), ಗುಣಾಕಾರ ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವು MP ಯ ಸ್ಥಾಯಿ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್‌ಗಳಿಗೆ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಆರ್. 3. ಖಾಸ್ಮಿನ್ಸ್ಕಿ.

ಲಿಟ್.: ಮಾರ್ಕೋವ್ A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society of Kazan University", 1906, vol. 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "ಆನ್. ಸೈಂಟ್. ಎಕೋಲ್ ನಾರ್ಮ್, ಸೂಪರ್.", 1900, ವಿ. 17, ಪು. 21-86; ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ A.N., "ಮ್ಯಾಥ್. ಆನ್.", 1931, Bd 104, S. 415-458; ರುಸ್ ಅನುವಾದ - "ಉಸ್ಪೆಖಿ ಮಾತೆಮತಿಚೆಸ್ಕಿಖ್ ನೌಕ್", 1938, ಶತಮಾನ. 5, ಪು. 5-41; ಝುನ್ ಕೈ-ಲೈ, ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿಗಳು, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ, M., 1964; ಆರ್ ಇ 1 1 ಇ ಆರ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ., "ಆನ್. ಮ್ಯಾಥ್.", 1954, ವಿ. 60, ಪು. 417-36; ಡೈಂಕಿನ್ ಇ.ಬಿ., ಯುಷ್ಕೆವಿಚ್ ಎ.ಎ., "ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು," 1956, ಸಂಪುಟ 1, ಶತಮಾನ. 1, ಪು. 149-55; Xant J.-A., ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ, M., 1962; ಡಿಇಎಲ್ ಎಲ್ ಎ ಎಸ್ ಎಚ್ ಇ ಆರ್ ಐ ಕೆ., ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಫ್ರೆಂಚ್, M., 1975 ರಿಂದ; ಡೈಂಕ್ ಮತ್ತು E.V., ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯ, M., 1959; ಅವನನ್ನು, ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು, M., 1963; G ಮತ್ತು h man I. I., S k o r o x o d A. V., ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಪುಟ 2, M., 1973; ಫ್ರೈಡ್ಲಿನ್ M.I., ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ: ವಿಜ್ಞಾನದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, . - ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ. 1966, ಎಂ., 1967, ಪು. 7-58; X a s minskiy R. 3., "ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು," 1963, ಸಂಪುಟ 8, ಇನ್

(\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s))=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )- ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಅಥವಾ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ X(t), ಇದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು: ಸಂಭವನೀಯತೆ P(x,t) t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x(t) x ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ P(x2, t2½x1t1) ಅದು... ... ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿಘಂಟು

(\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s))=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )- ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಅಥವಾ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ X(t), ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು: ಸಂಭವನೀಯತೆ P(x,t) t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ x(t) x ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ P(x2 , t2? x1t1) ಅಂದರೆ x ನಲ್ಲಿ t = t1... ... ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುವಾದಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವಿನ ಕೊಳೆತ, ಅಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಪರಮಾಣುವಿನ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಾದಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ದೊಡ್ಡ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ - ಮಾರ್ಕೊವೊ ಪ್ರೊಸೆಸಸ್ ಸ್ಟೇಟಸ್ ಟಿ ಸ್ರಿಟಿಸ್ ಆಟೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಆಟಿಟಿಕ್ಮೆನ್ಸ್: ಇಂಗ್ಲೀಷ್. ಮಾರ್ಕೊವ್ಪ್ರೊಸೆಸ್ ವೋಕ್. ಮಾರ್ಕೊವ್ಪ್ರೊಜೆಸ್, ಮೀ ರುಸ್. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಮೀ; ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಮೀ ಪ್ರಾಂಕ್. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್, ಮೀ … ಆಟೋಮ್ಯಾಟಿಕೋಸ್ ಟರ್ಮಿನ್ ಝೋಡಿನಾಸ್

ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ- ಮಾರ್ಕೊವೊ ವೈಕ್ಸ್‌ಮಾಸ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಟಿ ಸ್ರೈಟಿಸ್ ಫಿಜಿಕಾ ಅಟಿಟಿಕ್‌ಮೆನ್ಸ್: ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ; ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ವೋಕ್. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರೊಜೆß, ಮೀ; ಮಾರ್ಕೋವ್ಸ್ಚರ್ ಪ್ರೊಜೆß, ಮೀ ರುಸ್. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಮೀ; ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ಮೀ ಪ್ರಾಂಕ್. ಪ್ರೊಸೆಸಸ್ ಡಿ ಮಾರ್ಕೋಫ್, ಮೀ; ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್, m;... … ಫಿಜಿಕೋಸ್ ಟರ್ಮಿನ್ ಝೋಡಿನಾಸ್

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವಿನ ಕೊಳೆತ, ಅಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಪರಮಾಣುವಿನ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಾದಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (ನೋಡಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ). ಕಾಂತೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುವಿನ ಕೊಳೆತ. ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಹೋನ್ನತ ಸಂಶೋಧನೆಯನ್ನು 1906 ರಲ್ಲಿ ರಷ್ಯಾದ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಎ.ಎ. ಮಾರ್ಕೊವ್.

ವಿನಂತಿಗಳ ಹರಿವಿನ ವಿಷದ ಸ್ವಭಾವದ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಸೇವಾ ಸಮಯದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದ್ದು, ಕ್ಯೂಯಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅವು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ.

ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ) ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣಕ್ಕೂ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡುತ್ತದೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬಂದಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬಿಂದುವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಯದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವು ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ಅಲ್ಲಿಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡ್ ನಂತರ, ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕೋಟ್ ಆಫ್ ಆರ್ಮ್ಸ್ ಹೊರಬಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಡಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಚುಕ್ಕೆಯು ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಕೆಂಡಿನ ನಂತರ, ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಎಸೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, "ವಾಕಿಂಗ್") ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ರಾಜ್ಯಗಳ

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 19.7.1.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ - ಮೂಲದ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಘಟಕ. ಸಮಯದ ಒಂದು ಘಟಕದ ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಾನಗಳು 1/2 ಮತ್ತು 1/2 ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ; ಎರಡು ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ - , , ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ 1/4, ½, 1/4 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೇಗೆ ತಲುಪಿತು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ವಿಧಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಭಾಗಗಳು) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಬಾಳಿಕೆ ಹೊಂದಿರುವ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನವಿದೆ. ಈ ಅಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಸಾಧನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ; ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾನೂನಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ತಕ್ಷಣವೇ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪತ್ತೆಯಾದ ದೋಷಯುಕ್ತ ಅಂಶವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೊಸದರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಧನವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಲು (ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲು) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶ ) ಮತ್ತು (ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶವು ವಿಫಲವಾದರೆ).

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ರಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಕೆಲಸದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ,

ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶವು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ,

ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶವು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ದುರಸ್ತಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. 19.7.2.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ (ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ). ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯ-ಮುಕ್ತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವು ಸೂಚಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ವೈಫಲ್ಯದ ಕ್ಷಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ (ಅದನ್ನು ವಿತರಿಸಿದಾಗ) ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಬಿಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ "ಪೂರ್ವ ಇತಿಹಾಸ" ವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ (ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶವು ದೋಷಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ) ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ದುರಸ್ತಿ ಸಮಯವು ಸಹ ಸೂಚಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದುರಸ್ತಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ದುರಸ್ತಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ ಮತ್ತು ಉಳಿದ (ಸೇವೆಯ) ಅಂಶಗಳನ್ನು ತಲುಪಿಸಿದಾಗ ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿದೆ.

ಅಂಶದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ದುರಸ್ತಿ ಸಮಯದ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಶದ ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಇತರ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಒಂದು ಅವಧಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಶವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅಂಶವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಸಮಯದ ಹಿಂದೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಹಿಂದಿನ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ದುರಸ್ತಿ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ; ಇದು ಸೂಚಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಉಳಿದ ದುರಸ್ತಿ ಸಮಯವು ಅದು ಯಾವಾಗ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮತ್ತೆ ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರಂತರ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಯು ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಾಯಿ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಸಮಯವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅದರಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಹಿಂದಿನ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಮಯದೊಳಗೆ ಬಿಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಎಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆದಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಬಾರದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ಘಾತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಬೇಕು.

ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ರಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾರ್ಕೋವಿಯನ್ ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಳವಾದ ಸರತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಾತಾವರಣದ ಒತ್ತಡ ಅಥವಾ ಆ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ತಾಪಮಾನವು ಸಮಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಣೆಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸ್ಥಾಯೀಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಅದು ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಿತಿಯಾದೃಚ್ಛಿಕಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಬದಲಾದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ (ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದು), ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ಗ್ರಾಹಕರ ಸಂಖ್ಯೆ, ದಿನದಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ನಿರಂತರ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಿನದಲ್ಲಿ ಗಾಳಿಯ ಉಷ್ಣತೆಯು ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹಠಾತ್ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸುಗಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ನಾವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ರಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಪಳಿಗಳು.

ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಜಿ(ಟಿ) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ ಜಿ(ಟಿ), ಅಂದರೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳು, - ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಇ 0 , ಇ 1 , ಇ 2 , … . ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯಿಂದ 0, 1, 2,... ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಜಿ(ಟಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಜೊತೆಗೆಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದಸಮಯ, ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ, ಪೂರ್ವ-ನಿಶ್ಚಿತ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಟಿ 0 , ಟಿ 1 , ಟಿ 2 , … . ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆನಿರಂತರ ಜೊತೆಸಮಯ. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರಚನೆಯು ಅದರ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗಬಹುದಾದಾಗ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು (ಸಿಸ್ಟಮ್) ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ. ನಂತರ ಈ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ರಾಜ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಬಹುದು ಇ iಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಟಿ i .

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳ (ಅಥವಾ ರಾಜ್ಯಗಳು) ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳು ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರಿತ ಚಾಪಗಳು ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ. ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಬಂದಿದ್ದರೆ ಇ iಕೇವಲ ಒಂದು ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಸಾಧ್ಯ ಇ ಜ, ನಂತರ ಈ ಸತ್ಯವು ಶೃಂಗದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಆರ್ಕ್ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಇ iಮೇಲಕ್ಕೆ ಇ ಜ(ಚಿತ್ರ 1, ಎ). ಚಿತ್ರ 1, b ಮತ್ತು 1, c ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಒಂದು ರಾಜ್ಯದಿಂದ ಹಲವಾರು ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ರಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಒಂದು ರಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಗಳು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ.