ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳು. ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಂಶಗಳು

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ.

ಆರಂಭದ ಕ್ಷಣ ಕೆ- ನೇ ಆದೇಶ α ಕೆ(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ಕೆ-ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಶಕ್ತಿ, ಅಂದರೆ.

α ಕೆ(X) = ಎಂ(ಎಕ್ಸ್ ಕೆ) (6.8)

ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದಾಗಿ ಸೂತ್ರ (6.8). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರತನ್ನದೇ ಆದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಸೀಮಿತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ

, (6.10)

ಎಲ್ಲಿ f(X) - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣಾ ಸಾಂದ್ರತೆ X.

ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (6.10) ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಹಿಂದೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ- ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ:

ಎಂ(X) = α 1 (X).

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಹೆಚ್.ಎಂ(X) ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣದ ಸ್ವತಃ Xಈ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ ಕೆ- ನೇ ಆದೇಶ μk(X) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಕೇಂದ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ -ನೇ ಶಕ್ತಿ, ಅಂದರೆ.

μk(X) = ಎಂ[(ಹೆಚ್.ಎಂ(X))ಕೆ] (6.11)

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಕೆ-ನೇ ಕ್ರಮವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಕೆವಿಚಲನದ ಪದವಿ.

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ ಕೆಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ ನೇ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

, (6.12)

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ:

(6.13)

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಬದಲಾಗಿ α ಕೆ(X) ಮತ್ತು μk(X) ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ α ಕೆಮತ್ತು μk .

ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಚಲನದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಇದು ಹಿಂದೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಕಾರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ Xಅದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಆದೇಶಗಳ ಕ್ಷಣಗಳು (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣ) ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ: ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಮಟ್ಟ. ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕಾಗಿ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆವಿತರಣೆಗಳು ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು, ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣದ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಇದು ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ X − ಎಂ(X) ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೊತ್ತವು (6.12) ಹಲವಾರು ಜೋಡಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಕಲನದ ಮೇಲೆ ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಬೆಸ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕ್ಷಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಘನದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸರಿಸಲು, ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಘನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ ಎ ಎಸ್ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಘನಕ್ಕೆ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು "ಓರೆತನ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ ಕೆಏನು ಬರುತ್ತದೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಪದಓರೆ - "ಓರೆ".

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿಂದ (ವಿಚಲನಗಳು) ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಡ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ, ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ಗ್ರಾಫ್ (ಕರ್ವ್) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಎಡಕ್ಕೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಬಲ, ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6.1).

ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು, ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಸರಣ. ಈ ಕ್ಷಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಮೌಲ್ಯ, ನಂತರ ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗಿಂತ ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ, "ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್" ಅಥವಾ "ಚೂಪಾದ-ಮೇಲ್ಭಾಗದ" ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮಗಳು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವಿಚಲನದ ವರ್ಗದಿಂದ ಕ್ಷಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಆಯಾಮರಹಿತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: . ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಗುಣಾಂಕವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಯಾವುದೇ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೂ ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ವಿಪರೀತ ಏಕ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ

(6.15)

ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ "ಕಡಿದಾದ" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, "ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್" ಅಥವಾ "ಚೂಪಾದ-ಮೇಲ್ಭಾಗದ" ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ(ಇದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು). ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (6.15) ನೀಡಲಾದ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯದ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತುಂಗದಲ್ಲಿದೆ. ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕರ್ವ್ ಹೆಚ್ಚು ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 6.2).

ನಾವು ಈಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಸ್ಥಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳು - ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷಣಗಳು, ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.). ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ.

ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ sth ಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ರೂಪದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

. (5.7.1)

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ s ನ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದ್ದರೆ.

ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ X ಗೆ, sth ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

. (5.7.2)

ಹಿಂದಿನ n° ನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಸ್ಥಾನದ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೊದಲ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (5.7.1) ಮತ್ತು (5.7.2) ಒಂದಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳು (5.7.1) ಮತ್ತು (5.7.2) ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ (5.6.1) ಮತ್ತು (5.6.2) ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನೇ ಕ್ರಮದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳು:

, (5.7.3)

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಈ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪದವಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು "ಕೇಂದ್ರಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್" ನ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರಲಿ. ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ:

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ಅಕ್ಷರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ

ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಮಧ್ಯಮ, "ಕೇಂದ್ರ" ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ th ಶಕ್ತಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ:

, (5.7.6)

ಮತ್ತು ನಿರಂತರ - ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೂಲಕ

. (5.7.8)

ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣವು ಯಾವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಯಾವುದೇ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

, (5.7.9)

ಏಕೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ. ನಾವು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಮಗ್ರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಬಂಧಗಳು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಅಂತೆಯೇ ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

(5.7.10)

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲ (ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳು) ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು:

. (5.7.11)

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಇತರರ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ಮೊದಲ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ, ನಾವು ನೋಡಿದಂತೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನದು, ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ, ಈ ಉಲ್ಲೇಖ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ. ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು (5.7.11) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

. (5.7.12)

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಯಾವಾಗ ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ.

ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ತೀವ್ರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ, ಇತರ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ, ನಾವು ಅದಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ

ಆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನುಗುಣವಾದ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ವರ್ಗದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು (5.7.13) ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸಹ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

. (5.7.14)

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:

, (5.7.15)

(5.7.16)

ಅಂತೆಯೇ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣವು ಪ್ರಸರಣದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್. "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂಬ ಪದವು "ಪ್ರಸರಣ" ಎಂದರ್ಥ.

ನಾವು ವಿತರಣೆಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದರೆ, ಪ್ರಸರಣವು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ) ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮೂಹಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವರ್ಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ "ಪ್ರಮಾಣಿತ") ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

, (5.7.17)

ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು . ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ x y ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. "ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ" ಪದಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ r.s.o ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಅದರ ಎರಡನೇ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರಗಳ ಎರಡನೆಯದು (5.7.10)). ಹೊಸ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ (ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ: ಅದರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಮಟ್ಟ. ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು ವಿತರಣೆಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ (ಅಥವಾ "ಓರೆತನ") ನಿರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಿತರಣೆಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು (ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ

ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು ಕಾನೂನು ಮತ್ತು ಬೆಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅದೇ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನಿಜ

,

ಇದು ಬೆಸ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣಾ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಬೆಸ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದದ್ದು ಮೂರನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಘನದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೂರನೇ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಘನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ" ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ "ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 5.7.1 ಎರಡು ಅಸಮ್ಮಿತ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಕರ್ವ್ I) ಧನಾತ್ಮಕ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ (); ಇನ್ನೊಂದು (ಕರ್ವ್ II) ಋಣಾತ್ಮಕ ().

ನಾಲ್ಕನೇ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವು "ತಂಪು" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಚಪ್ಪಟೆ-ಮೇಲ್ಭಾಗದ ವಿತರಣೆ. ಈ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಅನುಪಾತದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು (ನಾವು ನಂತರ ವಿವರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ) . ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತುಂಗದಲ್ಲಿರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; ಹೆಚ್ಚು ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್ ಇರುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 5.7.2 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ (ಕರ್ವ್ I), ಧನಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ (ಕರ್ವ್ II) ಜೊತೆಗೆ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ (ಕರ್ವ್ III) ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆ.

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ) ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಹ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಮೊದಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ.

, (5.7.21)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪ್ರಸರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಮೋಡ್, ಮಧ್ಯದ, ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರಸರಣ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ, ಓರೆಯಾಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಅಭ್ಯಾಸ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ - ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು - ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಹಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅಂದಾಜು ವಿವರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವಿತರಣೆಯ ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದು ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವರು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಬದಲಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈವೆಂಟ್ ಕಾಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಾಣಿಸದೇ ಇರಬಹುದು, ಅದರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಈವೆಂಟ್ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಈವೆಂಟ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್). ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (5.6.1) ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (5.7.15):

(ಎರಡನೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಓದುಗರು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಮೂರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೊಡೆತಗಳನ್ನು ಗುರಿಯತ್ತ ಹಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಪ್ರತಿ ಹೊಡೆತವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.4 ಆಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ - ಹಿಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ - ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ, ಪ್ರಸರಣ, r.s.d., ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಾವು ಪರಿಮಾಣದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಆರಂಭದ ಕ್ಷಣ ಕೆ ನೇ ಆದೇಶ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್X X ಕೆ :

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ ಕೆ ನೇ ಆದೇಶ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್Xಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ :

. (5.11)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು

,

,

ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ-ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. X-M[X] ವಿಚಲನದ ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ (ವಿತರಣೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಬೆಸ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ವಿತರಣೆಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷಣ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿತರಣಾ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕೆಲವು ಬೆಸ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. 1 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ 3 ನೇ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಘಟಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು,  3 ಅನ್ನು  3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ ಎ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

. (5.12)

ಅಕ್ಕಿ. 5.1

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದು  3 ಋಣಾತ್ಮಕ ವಿಚಲನಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು M[X] ನ ಎಡಕ್ಕೆ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುಣಾಂಕ A ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪ್ರಸರಣ (2 ನೇ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ) ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಸುತ್ತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಸರಣ, ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಚಪ್ಪಟೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕ್ಷಣ  2 / 2 "ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್" ಅಥವಾ "ತೀಕ್ಷ್ಣ-ಮೇಲ್ಭಾಗದ" ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಡಿ[ X]/ 2 =1. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 4 ನೇ ಆದೇಶದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಪರೀತ ಇ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

. (5.13)

ಎಚ್

ಅಕ್ಕಿ. 5.2

ಇಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು  4 / 4 =3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವಿತರಣೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಕರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಹೆಚ್ಚು "ಉನ್ನತವಾಗಿದೆ"; ವಿತರಣೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಹೆಚ್ಚು "ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್" ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.6. DSV X ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಓರೆ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 5.4

ಪರಿಹಾರ . 4 ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗಿನ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಈಗ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X 2 :

ಎಂ(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಎಂ(X 2) ಹೆಚ್ಚು ಎಂ(X). ಇದು ಏಕೆಂದರೆ ವರ್ಗೀಕರಣದ ನಂತರ ಸಂಭವನೀಯ ಅರ್ಥಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ X 2 ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ X=100 ಪ್ರಮಾಣ X, 10,000 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು; ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಡಿಮೆ (0.01).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆ ಎಂ(X) ಗೆ ಎಂ(X 2) ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು, ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ Xಹಲವಾರು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅಸಂಭವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ನಂತರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ X 2, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ X 3 , X 4, ಇತ್ಯಾದಿ, ಈ ದೊಡ್ಡ, ಆದರೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ "ಪಾತ್ರವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು" ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರಂತರವೂ ಸಹ).

ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣ ಕೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಒಂದು ಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xk:

ವಿ ಕೆ = ಎಂ(X).

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

v 1 = ಎಂ(X),ವಿ 2 = ಎಂ(X 2).

ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರ ಡಿ(X)= ಎಂ(X 2)- [ಎಂ(X)] 2 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಡಿ(X)= ವಿ 2 – . (*)

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳ ಜೊತೆಗೆ Xವಿಚಲನದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ X-M(X).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಆರ್ಡರ್ k ನ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಪರಿಮಾಣದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ(ಹೆಚ್.ಎಂ(X))ಕೆ:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,

ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೋಲಿಕೆ (*) ಮತ್ತು (***), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮೀ 2= ವಿ 2 – .

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ:

ಮೀ 3= ವಿ 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

ಮೀ 4= ವಿ 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ.ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವೀಕ್ಷಣಾ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ.ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಅಧ್ಯಾಯ XVII, § 2 ನೋಡಿ).

ಕಾರ್ಯಗಳು

1. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಡಿ(X) = 4,ಡಿ(ವೈ)=3. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 7.

2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ X 5 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: a) X-1; ಬಿ) -2 X;ವಿ) ZH + 6.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ a) 5; ಬಿ) 20; ಸಿ) 45.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಕೇವಲ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: +C ಮತ್ತು -C, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 0.5 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಜೊತೆಗೆ 2 .

4. , ಅದರ ವಿತರಣೆಯ ಕಾನೂನನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು

X	0, 1
ಪ	0, 4	0, 2	0, 15	0, 25

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 67,6404.

5. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯ Xಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: X 1 ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.3 ಮತ್ತು X 2 ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.7, ಮತ್ತು X 2 > x 1 . ಹುಡುಕಿ X 1 ಮತ್ತು X 2, ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಎಂ(X) = 2, 7i ಡಿ(X) =0,21.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ X 1 = 2, X 2 = 3.

6. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X- ಘಟನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎರಡರಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು, ವೇಳೆ ಎಂ(X) = 0, 8.

ಸೂಚನೆ. ಘಟನೆಯ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ದ್ವಿಪದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಎಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 0, 48.

7. ನಾಲ್ಕು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಧನವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸಾಧನದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಹೀಗಿವೆ: ಆರ್ 1 = 0,3; ಆರ್ 2 = 0,4; ಪ 3 = 0,5; ಆರ್ 4 = 0.6. ವಿಫಲವಾದ ಸಾಧನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 1,8; 0,94.

8. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ X- 100 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಈವೆಂಟ್‌ನ ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈವೆಂಟ್ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.7 ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 21.

9. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ(X) = 6.25. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ s( X).

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 2, 5.

10. ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನಿನಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ

X
ಪ	0, 1	0, 5	0, 4

ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 2, 2.

11. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ 9 ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 36 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 4.

12. 16 ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು 10 ಆಗಿದೆ. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪ್ರತಿನಿಧಿ 2,5.

ಅಧ್ಯಾಯ ಒಂಬತ್ತು

ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾನೂನು

ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಟೀಕೆಗಳು

ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಊಹಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ; ಇದು ಅನೇಕ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳು, ಇದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಡವಳಿಕೆಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟದಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕೆಲವರಿಗೆ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ವಿಶಾಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳುಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅದರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ, ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರಣಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅವಕಾಶದಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಹಾದಿಯನ್ನು ಮುಂಗಾಣಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಬೇರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಸರುಕಾನೂನು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಚೆಬಿಶೇವ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸೇರಿವೆ (ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸದ ಇತರ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ). ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ X,ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

X	X 1	X 2	…	x n
ಪ	ಪ 1	ಪ 2	…	ಪಿ ಎನ್

ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿಚಲನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿಸೋಣ e. ಇ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ Xಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಕ್ಕಮಟ್ಟಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಅದು ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿರುವ ಅಂದಾಜು ನೀಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ವಿಚಲನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ e ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ e ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ 1-ಡಿ(X)/ಇ 2 :

ಆರ್(|ಎಕ್ಸ್ -ಎಂ(X)|< e ) 1-ಡಿ(X)/ಇ 2 .

ಪುರಾವೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಘಟನೆಗಳಿಂದ |ಎಕ್ಸ್-ಎಂ(X)|ಮತ್ತು |ಎಕ್ಸ್-ಎಂ(X)| ಇ,ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಆರ್(|ಎಕ್ಸ್ -ಎಂ(X)|< e )+ ಆರ್(|ಎಕ್ಸ್ -ಎಂ(X)| ಇ)= 1.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಆರ್(|ಎಕ್ಸ್ -ಎಂ(X)|< e )= 1- ಆರ್(|ಎಕ್ಸ್ -ಎಂ(X)| ಇ). (*)

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮಸ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ ಆರ್(| ಹೆಚ್.ಎಂ(X)| ಇ).

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ X:

ಡಿ(X)= [X 1 -ಎಂ(X)] 2 ಪ 1 + [X 2 -ಎಂ(X)] 2 ಪ 2 +…+ [x n -M(X)]2pn

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಮೊತ್ತದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ.

ನಾವು ಯಾವ ಆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸೋಣ | x i-ಎಂ(X)|<ಇ(ಉಳಿದ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ | x ಜೆ-ಎಂ(X)| ಇ), ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣವು ಮಾತ್ರ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು. ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಕೆಮೊದಲ ಪದಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ವಿತರಣಾ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು). ಹೀಗಾಗಿ,

ಡಿ(X) [x k + 1 -ಎಂ(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -ಎಂ(X)] 2 p k + z + ... +[x n -M(X)] 2 pn

ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ | x ಜೆ - ಎಂ(X)| ಇ (ಜ = ಕೆ+1, ಕೆ+ 2, ..., ಪ) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ | x ಜೆ - ಎಂ(X)| 2 ಇ 2ನಾವು ಈ ಟೀಕೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ | x ಜೆ - ಎಂ(X)| 2 ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇ 2(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಡಿ(X) ಇ 2 (ಆರ್ ಕೆ+ 1 + ಪಿ ಕೆ + 2 +… + ರ್ ಎನ್). (**)

ಸಂಕಲನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಆರ್ ಕೆ+ 1 + ಪಿ ಕೆ + 2 +… + ರ್ ಎನ್ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ Xಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x k + 1 , x k+ 2 ,....x p,ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ವಿಚಲನವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ | x ಜೆ - ಎಂ(X)| ಇಮೊತ್ತವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ ಕೆ+ 1 + ಪಿ ಕೆ + 2 +… + ರ್ ಎನ್ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ

ಪ(|X - ಎಂ(X)| ಇ)

ಈ ಪರಿಗಣನೆಯು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು (**) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

ಡಿ(X) ಇ 2 ಪಿ(|X - ಎಂ(X)| ಇ),

ಪ(|X - ಎಂ(X)| ಇ)ಡಿ(X) /ಇ 2 (***)

(***) ಅನ್ನು (*) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪ(|X - ಎಂ(X)| <ಇ) 1- ಡಿ(X) /ಇ 2 ,

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒರಟು ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ (ಯಾವುದೇ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದ) ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ ಡಿ(X)> ಇ 2 ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿ(X)/ಇ 2 > 1 ನಂತರ 1 - ಡಿ(X)/ಇ 2 < 0; ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯು ವಿಚಲನದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಹತ್ವವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ. X ವೇಳೆ 1 , X 2 ,..., X n, ...-ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ(ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ C ಅನ್ನು ಮೀರಬಾರದು), ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇ ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ವಿಚಲನವು ಅವುಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ - ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ

=(X 1 +X 2 +…+X ಎನ್)/ಎನ್.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ . ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮೊತ್ತದ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಪದಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎಂ = . (*)

ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಬಲಭಾಗದ (***) ಅನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗೆ (**) ಬದಲಿಸುವುದು (ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದು), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಇಲ್ಲಿಂದ, ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಒಂದನ್ನು ಮೀರಬಾರದು ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವಾಗ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಒಂದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರಸರಣಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎ;ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ, ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ.ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು.

X ವೇಳೆ 1 , X 2 , ..., ಎಚ್ಪಿ...-ಅದೇ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು a, ಮತ್ತು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ e> ಓಹ್, ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಏಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ

ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರ

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವು ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ದೂರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ( ಎಂ(X 1)+ ಎಂ(X 2)+...+ಎಂ(X p))/ಪ(ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಹರಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಅಲ್ಲಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಯಾವ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ವಿಶ್ವಾಸದಿಂದ ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಊಹಿಸಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ(ಯಾರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.ಅದರ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಚಲನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚೆಬಿಶೇವ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್‌ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅವಳು ಆಗುತ್ತಾಳೆ ಒಂದು ಹೊಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆ, ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಗ್ಗೆ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಭೌತವಾದದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು Xiಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್i, ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ Xಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ f(X):

(6ಬಿ)

ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (6 ಬಿ) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವರು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಎಂ(X) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ). ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X. ಇದರ ಆಯಾಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಪ್ರಸರಣ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ Xಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಲಕ್ಷಣಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು Xಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಂ(X) ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಆಯಾಮವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (8) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ (5) ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಾಗಿ (6) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(9)

ಇಲ್ಲಿ ಮೀ = ಎಂ(X).

ಪ್ರಸರಣ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ:

(11)

ಸರಾಸರಿ ಆಯಾಮದಿಂದ ಚದರ ವಿಚಲನಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನಂತೆಯೇ, ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳು. ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಾಗಿ - ವಿತರಣಾ ಕ್ಷಣಗಳು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕೆಲವು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದೇಶದ ಕ್ಷಣ ಕೆಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ X 0 ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ(X–X 0 )ಕೆ. ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಷಣಗಳು X= 0 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

(12)

ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣವು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ:

(13)

ವಿತರಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಷಣಗಳು X= ಮೀಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳುಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

(14)

(7) ರಿಂದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಜೊತೆಗೆಅದರ ವಿತರಣಾ ಕೇಂದ್ರವು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವಿಚಲನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ: X – ಮೀ = (X – ಜೊತೆಗೆ) – (ಮೀ – ಜೊತೆಗೆ).
ಈಗ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಪ್ರಸರಣ- ಇದು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ:

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ. ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ:

(17)

ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ವಿತರಣಾ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಗಳು. ವಿತರಣೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ X= ಮೀ, ನಂತರ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಬೆಸ ಆದೇಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣಗಳಂತೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆಯಾಮರಹಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕ:

(18)

ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ ಗುಣಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆ (18) ಬಲ-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಎಡ-ಬದಿಯ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ಅಕ್ಕಿ. 2. ವಿತರಣಾ ಅಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಯ ವಿಧಗಳು.

ವಿಪರೀತ. ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕೇಂದ್ರ ಕ್ಷಣ:

(19)

ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಸಮೀಪವಿರುವ ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯ ಕಡಿದಾದ (ಪೀಕ್‌ನೆಸ್) ಮಟ್ಟವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ, ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮೌಲ್ಯವು:

(20)

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. ಚಿತ್ರ 3 ವಿವಿಧ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ಇ= 0. ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೊನಚಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಫ್ಲಾಟ್-ಟಾಪ್ ಇರುವವುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಕುರ್ಟೋಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3. ಜೊತೆಗೆ ವಿತರಣಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳುತಂಪು (ಹೆಚ್ಚುವರಿ).

ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮದ ಕ್ಷಣಗಳು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳುಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಫ್ಯಾಷನ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಫ್ಯಾಷನ್ ನಿರಂತರಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2). ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ. ವಿತರಣಾ ರೇಖೆಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಮಾದರಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಮಾದರಿ. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಾರ್ ಮಾದರಿ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಮೋಡ್, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಇದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದರೆ, ಎರಡನೆಯದು ವಿತರಣೆಯ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಸಮ್ಮಿಟ್ರಿಯೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಮ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯಬಲ್ X- ಇದು ಅದರ ಅರ್ಥ ಮೆಹ್, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: ಅಂದರೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿದೆ Xಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಇರುತ್ತದೆ ಮೆಹ್. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಮಧ್ಯಮವಿತರಣಾ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಆಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 2). ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾದರಿ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ, ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಿರೀಕ್ಷೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.