Метод Множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). К сожалению, при практическом применении метода могут встретиться значительные вычислительные трудности, сужающие область его использования. Мы рассматриваем здесь метод Лагранжа главным образом потому, что он является аппаратом, активно используемым для обоснования различных современных численных методов, широко применяемых на практике. Что же касается функции Лагранжа и множителей Лагранжа, то они играют самостоятельную и исключительно важную роль в теории и приложениях не только математического программирования.
Рассмотрим классическую задачу оптимизации
max (min) z=f(x) (7.20)
Эта задача выделяется из задачи (7.18), (7.19) тем, что среди ограничений (7.21) нет неравенств, нет условий неотрицательности переменных, их дискретности, и функции f(x) и непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.
Классический подход к решению задачи (7.20), (7.21) дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка х*,доставляющая функции f(x)локальный экстремум на множестве точек, удовлетворяющих ограничениям (7.21) (для задачи выпуклого программирования найденная точка х*в соответствии с теоремой 7.6 будет одновременно и точкой глобального экстремума).
Предположим, что в точке х* функция (7.20) имеет локальный условный экстремум и ранг матрицы равен . Тогда необходимые условия запишутся в виде:
(7.22)
есть функция Лагранжа; - множители Лагранжа.
Существуют также и достаточные условия, при выполнении которых решение системы уравнений (7.22) определяет точку экстремума функции f(x). Этот вопрос решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа. Однако достаточные условия представляют главным образом теоретический интерес.
Можно указать следующий порядок решения задачи (7.20), (7.21) методом множителей Лагранжа:
1) составить функцию Лагранжа (7.23);
2) найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным 
и приравнять их нулю. Тем самым будет получена система (7.22), состоящая из уравнений. Решить полученную систему (если это окажется возможным!) и найти таким образом все стационарные точки функции Лагранжа;
3) из стационарных точек, взятых без координат , выбрать точки, в которых функция f(x) имеет условные локальные экстремумы при наличии ограничений (7.21). Этот выбор осуществляется, например, с применением достаточных условий локального экстремума. Часто исследование упрощается, если использовать конкретные условия задачи.
Пример 7.3 . Найти оптимальное распределение ограниченного ресурса в a ед. между n потребителями, если прибыль, получаемая при выделении j-му потребителю x j единиц ресурса, вычисляется по формуле .
Решение. Математическая модель задачи имеет следующий вид:
Составляем функцию Лагранжа:
.
Находим частные производные функции Лагранжа и приравниваем их нулю:
Решая эту систему уравнений, получаем:
Таким образом, если j-му потребителю будет выделено ед. ресурса, то суммарная прибыль достигнет максимальной величины и составит ден. ед.
Мы рассмотрелиметод Лагранжа применительно к классической задаче оптимизации. Можно обобщить этот метод на случай, когда переменные неотрицательны и некоторые ограничения заданы в форме неравенств. Однако это обобщение имеет преимущественно теоретическое значение и не приводит к конкретным вычислительным алгоритмам.
В заключение дадим множителям Лагранжа экономическую интерпретацию. Для этого обратимся к простейшей классической задаче оптимизации
max (min) z =f (x 1 , х 2); (7.24)
𝜑(x 1 , х 2)=b. (7.25)
Предположим, что условный экстремум достигается в точке . Соответствующее экстремальное значение функции f (x )
Допустим, что в ограничениях (7.25) величина b
может меняться, тогда координаты точки экстремума, а следовательно, и экстремальное значение f*
функции f
(x
) станут величинами, зависящими от b
, т. е. 
,
, а поэтому производная функции (7.24)
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)
.
Существует три способа решения этого уравнения:
- метод вариации постоянной (Лагранжа).
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение:
(1)
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные - умножаем на dx
,
делим на y
:
Интегрируем:
Интеграл по y
- табличный :
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1
,
которую включим в C
:
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1)
в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
(1)
;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2)
:
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решить уравнение
Решение
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные :
Потенцируем:
Заменим постоянную e C
на C
и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C
на функцию от x
:
C → u(x)
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Метод Лагранжа. |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Найти полином означает определить значения его коэффициента 
. Для этого используя условие интерполяции можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Определитель этой СЛАУ принято называть определителем Вандермонда. Определитель Вандермонда не равен нулю при для , то есть в том случае, когда в интерполяционной таблице нет совпадающих узлов. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, можно утверждать, что СЛАУ имеет решение и это решение единственно. Решив СЛАУ и определив неизвестные коэффициенты можно построить интерполяционный полином .
Полином, удовлетворяющий условиям интерполяции, при интерполяции методом Лагранжа строится в виде линейной комбинации многочленов n-ой степени:
Многочлены принято называть базисными многочленами. Для того, чтобы многочлен Лагранжа удовлетворял условиям интерполяции крайне важно, чтобы для его базисных многочленов выполнялись следующие условия:
для 
.
В случае если эти условия выполняются, то для любого имеем:
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, выполнение заданных условий для базисных многочленов означает, что выполняются и условия интерполяции.
Определим вид базисных многочленов исходя из наложенных на них ограничений.
1-е условие: при .
2-е условие: .
Окончательно для базисного многочлена можно записать:
Тогда, подставляя полученное выражение для базисных многочленов в исходный полином, получаем окончательный вид многочлена Лагранжа:
Частная форма многочлена Лагранжа при принято называть формулой линейной интерполяции:
.
Многочлен Лагранжа взятый при принято называть формулой квадратичной интерполяции:
Метод Лагранжа. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Лагранжа." 2017, 2018.
Линейные ДУ. Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным. Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее... .
Определение. ДУ наз-ся однород-м, если ф-я может быть представлена, как ф-я отнош-я своих аргументов Пример. Ф-я наз-ся однородной ф-й измерения если Примеры: 1) - 1-й порядок однородности. 2) - 2-й порядок однородности. 3) - нулевой порядок однородности (просто однородная... .
Задачи на экстремум имеют большое значение в экономических расчетах. Это вычисление, например, максимумов дохода, прибыли, минимума издержек в зависимости от нескольких переменных: ресурсов, производственных фондов и т.д. Теория нахождения экстремумов функций... .
3. 2. 1. ДУ с разделяющимися переменными С.Р. 3. В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или...
ЛАГРАНЖА МЕТОД
Метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов, указанный в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Пусть дана
от ппеременных х 0 , x
1 ,..., х п
.
с коэффициентами из поля k
характеристики Требуется привести эту форму к канонич. виду
при помощи невырожденного линейного преобразования переменных. Л. м. состоит в следующем. Можно считать, что не все коэффициенты формы (1) равны нулю.
Поэтому возможны два случая.
1) При некотором g,
диагональный Тогда
где форма f 1 (х).не содержит переменную x g .
2) Если же все 
но
то
где форма f 2 (х).не содержит двух переменных x g
и x h .
Формы, стоящие под знаками квадратов в (4), линейно независимы. Применением преобразований вида (3) и (4) форма (1) после конечного числа шагов приводится к сумме квадратов линейно независимых линейных форм. С помощью частных производных формулы (3) и (4) можно записать в виде
Лит.
: Г а н т м а х е р Ф. Р.,
Теория матриц, 2 изд., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968. И. В. Проскуряков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в других словарях:
Лагранжа метод - Лагранжа метод — метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, λ*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по… … Экономико-математический словарь
Лагранжа метод
- Метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, ?*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по xi и?i . См. Лагранжиан. }
