Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx . Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно , если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна.

Функция
элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при
, как требует условие.

То же справедливо для функции
, и при
она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка
. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке
;

б) если да, то совпадает ли
со значениями пределов слева и справа.

По условию, если
, то
. Поэтому
.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точке
функция непрерывна . Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку
.

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число
или
. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же
и
отвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения
и
равноправны, то же касается обозначений
и
(и справедливо для любой точки, а не только для
). Дальше для краткости применяются обозначения вида
;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим . В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию
.

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке
. Проверим:

Пределы слева и справа равны, но в самой точке
функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что
– точкаустранимого разрыва .

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки
функцию, значение которой при
равно –5, или просто указать, что
, чтобы вся функция
стала непрерывной.

Ответ: точка
– точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

Пределы слева и справа различны:
. Независимо от того, определена ли функция при
(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка
–точка неустранимого разрыва 1-го рода .

В точке
происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка

Замечание 2. Вместо
и
обычно пишут
и
соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и
,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке
;

б) на графике 1-й функции точка
«закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка
, где обрывается график
, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция
?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций
,
инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точке
или (и) в точке
, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и
,

причём точка
не представляет интереса для функции
, а точка
– для функции
.

1-й шаг. Проверяем точку
и функцию
(индекс не пишем):

Пределы совпадают. По условию,
(если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точке
функция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку
и функцию
:

Поскольку
, точка
– точка разрыва 1-го рода, и значение
(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки
, где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции
.

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку
:

а)
, поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;

б) (
– чётная функция).

Пределы совпадают, но при
функция по условию не определена, и получается, что
– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку
:

а)
;

б)
– значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ:
– точка устранимого разрыва,
– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция
?

Функция
определена при
, поэтому условие
превращается в условие
.

С другой стороны, функция
определена при
, т.е. при
. Значит, условие
превращается в условие
.

Получается, что должно выполняться условие
, и область определения всей функции – отрезок
.

Сами по себе функции
и
элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при
.

Остаётся проверить, что происходит в точке
:

а)
;

Поскольку
, смотрим, определена ли функция в точке
. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке
и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если » в определении функции для краткости пропущено):

1) а)
б)
в)
г)

2) а)
б)
в)
г)

3) а)
б)
в)
г)

4) а)
б)
в)
г)

Пример 7. Пусть
. Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
, а на участке
строим горизонтальную прямую
. При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»), и
.

НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Пример 8. Пусть
. На участке
строим прямую
, для чего находим
и
. Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при
и
функция по условию не определена.

На участке
и
обводим осьOX (на ней
), однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а)
б)
в)

2 а)
б)
в)

3) а)
б)
в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0 называется точкой разрыва функции f(x) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода , если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва , если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода , если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

• Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
  , а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ».
• Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
  Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций »
• Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »

Примеры

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

График функции y = 4 1/(x+2) .

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

График заданной функции.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
; .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Приложение

Пределы онлайн на сайт для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала. Как найти предел онлайн, используя наш ресурс? Это сделать очень просто, достаточно всего лишь правильно записать исходную функцию с переменной x, выбрать из селектора нужную бесконечность и нажать кнопку "Решение". В случае, когда предел функции должен быть вычислен в некоторой точке x, то вам нужно указать числовое значение этой самой точки. Ответ на решение предела получите в считанные секунды, другими словами - мгновенно. Однако, если вы укажете некорректные данные, то сервис автоматически сообщим вам об ошибке. Исправите введенную ранее функцию и получите верное решение предела. Для решения пределов применяются все возможные приемы, особенно часто используется метод Лопиталя, так как он универсален и приводит к ответу быстрее, чем другие способы вычисления предела функции. Интересно рассматривать примеры, в которых присутствует модуль. Кстати, по правилам нашего ресурса, модуль обозначается классической в математике вертикальной чертой "|" или Abs(f(x)) от латинского absolute. Часто решение предела требуется для вычисления суммы числовой последовательности. Как всем известно, нужно всего лишь правильно выразить частичную сумму исследуемой последовательности, а дальше все гораздо проще, благодаря нашему бесплатному сервису сайт, так как вычисление предела от частичной суммы это и есть итоговая сумма числовой последовательности. Вообще-то говоря, теория предельного перехода - это основное понятие всего математического анализа. Все базируется именно на предельных переходах, то есть решение пределов заложено в основу науки математического анализа. В интегрировании также применяется предельный переход, когда интеграл по теории представляется суммой неограниченного числа площадей. Где присутствует неограниченное число чего-либо, то есть стремление количества объектов к бесконечности, то всегда вступает в силу теория предельных переходов, а в общепринятом виде это решение знакомых всем пределов. Решение пределов онлайн на сайте сайт - это уникальный сервис для получения точного и мгновенного ответа в режиме реального времени. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Не редко, а мы бы даже сказали очень часто, у студентов возникает вопрос решения пределов онлайн при изучении математического анализа. Задаваясь вопросом о решении предела онлайн с подробным решением исключительно в особых случаях, становится ясно, что не справиться со сложной задачей без применения вычислительного калькулятора пределов. Решение пределов нашим сервисом - залог точности и простоты.. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится. Решение пределов онлайн для пользователей становится легким ответом при том условии, что они знают как решить предел онлайн с помощью сайт. Будем сосредоточенны и не позволим ошибкам доставлять нам неприятности в виде неудовлетворительных оценок. Как всякое решение пределов онлайн, ваша задача будет представлена в удобном и понятном виде, с подробным решением, с соблюдением всех норм и правил получения решения. Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. Тут пределы функции рассматриваются только в точках, предельных для области определения функции, означая, что в каждой окрестности данной точки есть точки из области определения этой самой функции. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения и это доказывается решением предела: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция. При этом сами границы интервала в область определения не входят. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки - частный случай такой базы множеств. Решение пределов онлайн с подробным решением производится в реальном времени и применяя формулы в явно заданном виде.. Вы сможете сэкономить время, а главное деньги, так как мы не просим за это вознаграждение. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и решение этого предела равно значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной в такой точке. На нашем сайте решение пределов доступно онлайн двадцать четыре часа в сутки каждый день и каждую минуту.. Использовать калькулятор пределов очень важно и главное применять его каждый раз, как только понадобится проверка знаний. Студентам явная польза от всего этого функционала. Вычислить предел, используя и применяя только теорию, не всегда получится так просто, как говорят опытные студенты математических факультетов ВУЗов страны. Факт остается фактом при наличии цели. Обычно найденное решение пределов неприменимо локально для постановки задач. Ликовать станет студент, как только обнаружит для себя калькулятор пределов онлайн в интернете и в бесплатном доступе, и не только для одного себя, но для всех желающих. Назначение стоит расценивать как математику, в общем, её понимании. Если запросить в Интернете, как найти предел онлайн подробно, то масса появляющихся в результате запроса сайтов не помогут так, как это сделаем именно мы. Разность сторон приумножается эквивалентности происшествия. Исконно законный предел функции необходимо определять их постановки самой математической задачи. Гамильтон был прав, однако стоит учитывать и высказывания современников. Отнюдь вычисление пределов онлайн не такая сложная задача, как кому-то может показаться на первый взгляд.. Чтобы не сломать истинность непоколебимых теорий. Возвращаясь к начальной ситуации, вычислить предел необходимо быстро, качественно и в аккуратно оформленном виде. Разве возможно было бы сделать иначе? Такой подход очевиден и оправдан. Калькулятор пределов создан для увеличения знаний, улучшения качества написания домашнего задания и подъему общего настроения среди учащихся, так будет правильно для них. Просто надо мыслить как можно быстрее и будет разум торжествовать. Явно сказать про пределы онлайн интерполяционными терминами очень изысканное занятие для профессионалов своего ремесла. Прогнозируем отношение системы внеплановых разностей в точках пространства. И вновь задача сводится к неопределенности, исходя из того, что предел функции существует на бесконечности и в некой окрестности локальной точки на заданной оси абсцисс после аффинного преобразования начального выражения. Легче будет анализировать восхождение точек на плоскости и на вершине пространства. В общем положении вещей не сказано про вывод математической формула, как в натуре, так и в теории, чтобы калькулятор пределов онлайн использовался по назначению в этом смысле. Без определения предела онлайн считаю затруднительным дальнейшие вычисления в области исследования криволинейного пространства. Было бы не легче с точки зрения нахождения истинного правильного ответа. Разве невозможно вычислить предел, если заданная точка в пространстве является неопределенной заранее? Опровергнем наличие ответов за областью исследования. Про решение пределов можно рассуждать с точки зрения математического анализа как начало исследования последовательности точек на оси. Может быть неуместным сам факт действия вычислений. Числа представимы в виде бесконечной последовательности и отождествлены начальной записи после того, как мы решили предел онлайн подробно согласно теории. Как раз обосновано в пользу наилучшего значения. Результат предела функции, как явная ошибка неправильно поставленной задачи, может исказить представление о реальном механическом процессе неустойчивой системы. Возможность выразить значение прямо в область взглядов. Сопоставив онлайн пределу аналогичную запись одностороннего предельного значения, лучше избежать выражения в явном виде по формулам приведения. Кроме начала пропорционального выполнения задания. Полином разложим после того, как удастся вычислить предел односторонний и записать его на бесконечности. Простые размышления приводят в математическом анализе к истинному результату. Простое решение пределов зачастую сводится к иной степени равенства исполняемых противолежащих математических иллюстраций. Линии и числа Фибоначчи расшифровали калькулятор пределов онлайн, в зависимости от этого можно заказать непредельное вычисление и может быть сложность отступит на задний план. Идет процесс развертывания графика на плоскости в срезе трехмерного пространства. Это и привило к потребности различных взглядов на сложную математическую задачу. Однако результат не заставит себя ждать. Однако, происходящий процесс реализации восходящего произведения, искажает пространство линий и записывает онлайн предел для ознакомления с постановкой задачей. Естественность протекания процесса накапливания задач обуславливает потребность в знаниях всех областей математических дисциплин. Отличный калькулятор пределов станет незаменимым инструментом в руках умелых студентов и они по достоинству оценят все его преимущества перед аналогами цифрового прогресса. В школах для чего-то пределы онлайн называют не так, как в институтах. Вырастет значение функции от изменения аргумента. Еще Лопиталь говорил - предел функции найти это лишь полдела, надо задачу довести до логического завершения и представить ответ в развернутом виде. Реальности адекватно присутствие фактов по делу. С пределом онлайн связаны исторически важные аспекты математических дисциплин и составляют основу изучения теории чисел. Кодировка страницы в математических формулах доступна на клиентском языке в браузере. Как бы вычислить предел допустимым законным методом, не заставив функцию видоизменяться по направлению оси абсцисс. Вообще реальность пространства зависит не только от выпуклости функции или её вогнутости. Исключите из задачи все неизвестные и решение пределов сведет к наименьшим затратам имеющихся у вас математических ресурсов. Решение постановочной задачи исправит функционал на все сто процентов. Происходящее математическое ожидание выявит предел онлайн подробно относительно отклонения от наименьшего значимого особенного отношения. Прошло дня три после принятого математического решения в пользу науки. Это действительно полезное занятие. Без причины отсутствия предела онлайн будет означать расхождение в общем подходе к решению ситуационных проблем. Лучшее название одностороннего предела с неопределенностью 0/0 будет востребовано в будущем. Ресурс может быть не только красивым и хорошим, но также и полезным, когда сможет вычислить предел за вас. Великий ученый, будучи студентом, исследовал функции для написания научной работы. Прошло десять лет. Перед разными нюансами стоит однозначно прокомментировать математическое ожидание в пользу того, что предел функции заимствует расхождение принципалов. На заказанную контрольную работу откликнулись. В математике исключительную позицию в обучении занимает, как ни странно, исследование онлайн предела с взаимообразными сторонними отношениями. Как в обычных случаях и бывает. Можно ничего не воспроизводить. Проанализировав подходы изучения студентов к математическим теориям, мы основательно оставим решение пределов на пост завершающий этап. В этом заключается смысл нижесказанного, исследуйте текст. Преломление однозначно определяет математическое выражение как суть полученной информации. предел онлайн есть суть в определении истинного положения математической системы относительности разнонаправленных векторов. В этом смысле разумею выразить собственное мнение. Как в прошлой задаче. Отличительный предел онлайн подробно распространяет свое влияние на математический взгляд последовательного изучения программного анализа в области исследования. В разрезе с теорией, математика нечто высшее, чем просто наука. Лояльность подтверждается действиями. Не остается возможным намеренно прервать цепочку последовательных чисел, начинающих свое движение вверх, если некорректно вычислить предел. Двусторонняя поверхность выражена в натуральном виде во всю величину. За возможностью исследовать математический анализ предел функции заключает последовательность функционального ряда как эпсилон-окрестность в заданной точке. В знак отличия от теории функций, не исключены погрешности в вычислениях, однако это предусмотрено ситуацией. Деление по пределу онлайн задачи можно расписать функцию переменного расхождения для быстрого произведения нелинейной системы трехмерного пространства. Тривиальный случай заложен в основу функционирования. Не надо быть студентом, чтобы проанализировать данный случай. Совокупность моментов происходящего вычисления, изначально решение пределов определяет как функционирование всей целостной системы прогресса вдоль оси ординат на множественных значениях чисел. Берем за базовую величину как можно наименьшее математическое значение. Вывод очевиден. Расстояние между плоскостями поможет расшириться в теории онлайн пределов, поскольку применение метода расходящегося вычисления приполярного аспекта значимости не несет в себе заложенного смысла. Отличный выбор, если калькулятор пределов расположен на сервере, это можно принимать как есть без искажения значимости поверхностного изменения площадей, а то выше станет задача о линейности. Полный математический анализ выявил неустойчивость системы наряду с её описанием в области наименьшей окрестности точки. Как любой предел функции по оси пересечения ординат и абсцисс, можно заключить числовые значения объектов в некоторую минимальную окрестность по распределению функциональности процесса исследования. Распишем задачу по пунктам. Идет разделение по этапам написания. Академические заявления, что вычислить предел реально сложно или совсем не совсем просто, подкрепляются анализом математических взглядов всех без исключения студентов и аспирантов. Возможные промежуточные результаты не заставят себя ожидать долгое время. Указанный выше предел онлайн подробно исследуют абсолютный минимум системной разности объектов, за которыми линейность пространства математики искажается. Большую по площади сегментацию площади не используют студенты для вычисления множественного разногласия после записи калькулятора пределов онлайн по вычитаниям. После начала запретим студентам пересмотреть задачи на исследование пространственного окружения в математике. Раз уже предел функции мы находили, то давайте построим график её исследования на плоскости. Выделим оси ординат особым цветом и покажем направление линий. Устойчивость есть. Неопределенность присутствует долгое время на протяжении написания ответа. Вычислить предел функции в точке просто проанализировав разность пределов на бесконечности при начальных условиях. Этот способ известен не каждому пользователю. Нужен математический анализ. Решение пределов накапливает опыт в умах поколений на многие год в вперед. Не усложнять процесс невозможно. За его вывод отвечают студенты всех поколений. Может начать изменяться все вышесказанное при отсутствии закрепляющего аргумента по позиции функций около некоторой точки, отстающей от калькуляторов пределов по разности мощности вычисления. Проведем исследование функции для получения результирующего ответа. Вывод не очевиден. Исключив из общего числа неявно заданные функции после преобразования математических выражений, останется последний шаг, чтобы правильно и с высокой точностью найти пределы онлайн. Положено на проверку приемлемость выданного решения. Процесс продолжается. Локировать последовательность в изоляции от функций и, применив свой колоссальный опыт, математики должны вычислить предел за обоснованием правильности направления в исследовании. Не нужен такому результату теоретический подъем. Изменить пропорцию чисел внутри некоторой окрестности не нулевой точки на оси абсцисс в сторону калькулятор пределов онлайн изменчивый пространственный угол наклона под написанный задачей в математике. Свяжем две области в пространстве. Разногласия решебников по поводу того как предел функции набирает свойства односторонних значений в пространстве, не может остаться без внимания усиленных подконтрольных выступлений студентов. Направление в математике предел онлайн занял одну из наименьших оспариваемых позиций по поводу неопределенности в вычислениях этих самых пределов. Выучить наизусть студенту поможет на ранней ступени науки калькулятор пределов онлайн за высотой треугольников равнобедренных и кубов со стороной в три радиуса окружности. Оставим на совести учеников решение пределов в исследовании функционирующей математической ослабляемой системы со стороны плоскости исследования. На теории чисел взгляд студента неоднозначен. Каждому свое мнение присуще. Правильное направление в изучении математики поможет вычислить предел в истинном смысле, как это заведено в ВУЗах продвинутых стран. Котангенс в математике вычисляется как калькулятор пределов и есть отношение двух других элементарных тригонометрических функций, а именно косинуса и синуса от аргумента. В этом заключено решение пополам сегментов. Другой подход навряд ли решит ситуацию в пользу прошлого момента. Можно долго говорить, как предел онлайн подробно решать без осмысления очень сложно и бесполезно, однако такой подход склонен к наращиванию внутренней дисциплины студентов в лучшую сторону.

Практическая работа №3

Исследование функции на непрерывность

Цель работы: Развивать и совершенствовать умение определять непрерывность функции, находить точки разрыва функции, закрепить навык вычисления пределов

Средства обучения: учебник Математика стр.62-71, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: фронтальная.

Справочный материал

Определение : Функция f (x ) называется непрерывной в т. х0 если:

1)существует значение функции в точке f (x 0)

2)существует конечный предел в точке х0

3)предел равен значению функции в точке х0

Определение : Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Определение : Если в какой-либо точке х0 функция у = f (x ) не является непрерывной, то точка х0 называется точкой разрыва этой функции, а функция у = f (x ) называется разрывной в этой точке.

Точки разрыва 1 рода

Точка х=1 точка устранимого разрыва

=1 =-1

Точки разрыва 2 рода

Порядок работы:

Задание 1.

а) у=х2+3 в точке х=-2 Решение: y (-2)=(-2)2+3=7 , функция непрерывна в точке х=-2

б) у=в точке х=2 Решение: , функция непрерывна в точке х=2

Задание 2.

решение

Функция неопределенна в точке х=2, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=2:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image027_20.gif" width="93" height="29 src=">, т. к. односторонние пределы конечны и равны, то точка х=2 точка разрыва 1 рода (точка устранимого разрыва)

решение

Построим график функции:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image030_17.gif" width="89" height="29 src=">.gif" width="36" height="41">

решение

Функция неопределенна в точке х=-1, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=-1:

https://pandia.ru/text/79/377/images/image035_13.gif" width="111" height="41 src="> т. к. нет ни одного конечного предела, то точка х=-1 точка разрыва 2 рода.

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 3. Исходя из определения непрерывной функции, докажите непрерывность данных функций в указанных точках

а) у=2х2+1 в точке х=1

б) у=в точке х=-1

Задание 4. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и определите их тип.

Контрольные вопросы:

Понятие непрерывности функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Типы точек разрыва функции. Примеры.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5» -верное выполнение заданий 3(а, б), 4(а, б,в)

«4»- верное выполнение любых 4-х примеров части самостоятельно.

«3»- выполнение заданий 1(а, б), 2(а, б,в)

Основные источники :

Григорьев. М., Академия, 2013.

Богомолов: учеб. Для сузов. -М.: Дрофа, 2009. -395с.

Дополнительные источники

Бугров С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. Высшая школа 1990

Математический анализ в вопросах и задачах. Высшая школа 1987

Говоров П. Т. Сборник конкурсных задач по математике. Академия 2000

Высшая математика в упражнениях и задачах. Академия 2001

Пехлецкий И. Д .Математика. Академия 2001

Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. Академия 2004

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Введите выражение функции

Вычислить предел

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0