В качестве конкретного примера тела, вращающегося вокруг оси, рассмотрим движение маятников.
Физическим маятником называется твердое тело, обладающее горизонтальной осью вращения, вокруг которой оно совершает колебательные движения под действием своего веса (рис. 119).
Положение маятника полностью определяется углом его отклонения от положения равновесия, и поэтому для определения закона движения маятника достаточно найти зависимость этого угла от времени.
Уравнение вида:
называется уравнением (законом) движения маятника. Он зависит от начальных условий, т. е. от угла и угловой скорости Таким образом,
Предельным случаем физического Маятника является математический маятник, представляющий (как указывалось ранее - глава 2, § 3) материальную точку, соединенную с горизонтальной осью, вокруг которой она вращается, жестким невесомым стержнем (рис. 120). Расстояние материальной точки от оси вращения называется длиной математического маятника.
Уравнения движения физического и математического маятников
Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость ху проходила через центр тяжести тела С и совпадала с плоскостью качания маятника, как это показано на чертеже (рис. 119). Ось направим перпендикулярно к плоскости чертежа на нас. Тогда на основании результатов предыдущего параграфа уравнение движения физического маятника запишем в виде:
где через обозначен момент инерции маятника относительно его оси вращения и
Поэтому можно написать:
Активной силой, действующей на маятник, является его вес момент которого относительно оси привеса будет:
где - расстояние от оси вращения маятника до его центра масс С.
Следовательно, приходим к следующему уравнению движения физического маятника:
Так как математический маятник является частным случаем физического, то записанное выше дифференциальное уравнение справедливо и для математического маятника. Если длина математического маятника равна а вес его то момент инерции его относительно оси вращения равен
Так как расстояние центра тяжести математического маятника от оси равно то окончательно дифференциальное уравнение движения математического маятника можно написать в виде:
Приведенная длина физического маятника
Сравнивая уравнения (16.8) и (16.9), можно заключить, что если параметры физического и математического маятников связаны соотношением
то законы движения физического и математического маятников одинаковы (при одинаковых начальных условиях).
Последнее соотношение указывает на ту длину, которую должен иметь математический маятник, чтобы двигаться так же, как соответствующий физический маятник. Эта длина называется приведенной длиной физического маятника. Смысл этого понятия заключается в том, что изучение движения физического маятника можно заменить изучением движения математического маятника, представляющего собой простейшую механическую схему.
Первый интеграл уравнения движения маятника
Уравнения движения физического и математического маятников имеют один и тот же вид, следовательно, уравнение их движения будет
Так как единственной силой, которая учитывается в этом уравнении, будет сила тяжести, принадлежащая потенциальному силовому полю, то имеет место закон сохранения механической энергии.
Последний можно получить простым приемом, именно умножим уравнение (16.10) на тогда
Интегрируя это уравнение, получим
Определяя постоянную интегрирования Си из начальных условий найдем
Решив последнее уравнение относительно получим
Это соотношение представляет собой первый интеграл дифференциального уравнения (16.10).
Определение опорных реакций физического и математического маятников
Первый интеграл уравнений движения позволяет определить опорные реакции маятников. Как указывалось в предыдущем параграфе, реакции опор определяются из уравнений (16.5). В случае физического маятника составляющие активной силы по осям координат и моменты ее относительно осей будут:
Координаты центра масс определяются формулами:
Тогда уравнения для определения реакций опор принимают вид:
Центробежные моменты инерции тела и расстояния между опорами должны быть известны по условиям задачи. Угловое ускорение в и угловая скорость со определяются из уравнений (16.9) и (16.4) в виде:
Таким образом, уравнения (16.12) полностью определяют составляющие опорных реакций физического маятника.
Уравнения (16.12) еще упрощаются, если рассматривать математический маятник. Действительно, так как материальная точка математического маятника расположена в плоскости то Кроме того, так как закреплена одна точка, то Следовательно, уравнения (16.12) обращаются в уравнения вида:
Из уравнений (16.13) с использованием уравнения (16.9) следует, что реакция опоры направлена вдоль нити I (рис. 120). Последнее представляет собой очевидный результат. Следовательно, проектируя составляющие равенств (16.13) на направление нити, найдем уравнение для определения реакции опоры вида (рис. 120):
Подставляя сюда значение и учитывая, что запишем:
Последнее соотношение определяет динамическую реакцию математического маятника. Заметим, что статическая реакция его будет
Качественное исследование характера движения маятника
Первый интеграл уравнения движеиия маятника позволяет провести качественное исследование характера движения его. Именно, запишем этот интеграл (16.11) в виде:
В процессе движения подкоренное выражение должно быть либо положительным, либо обращаться в некоторых точках в нуль. Допустим, что начальные условия таковы, что
В этом случае подкоренное выражение нигде не обращается в нуль. Следовательно, при движении маятник будет пробегать все значения угла и угловая скорость со маятника имеет один и тот же знак, который определяется направлением начальной угловой скорости, или угол будет либо все время возрастать, либо все время убывать, т. е. маятник будет вращаться в одну сторону.
Направления движения будут соответствовать тому или иному знаку в выражении (16.11). Необходимым условием реализации такого движения является наличие начальной угловой скорости, так как из неравенства (16.14) видно, что если то ни при каком начальном угле отклонения получить такое движение маятника невозможно.
Пусть теперь начальные условия таковы, что
В этом случае найдутся два таких значения угла при которых подкоренное выражение обращается в нуль. Пусть они соответствуют углам, определяемым равенством
Причем будет где-то в диапазоне изменения от 0 до . Далее, очевидно, что при
подкоренное выражение (16.11) будет положительным и при сколь угодно мало превышающем оно будет отрицательным.
Следовательно, при движении маятника его угол изменяется в диапазоне:
При угловая скорость маятника обращается в нуль и угол начинает уменьшаться до значения . При этом изменится знак угловой скорости или знак перед радикалом в выражении (16.11). Когда достигает значения угловая скорость маятника вновь обращается в нуль и угол опять начинает увеличиваться до значения
Таким образом, маятник будет совершать колебательные движения
Амплитуда колебаний маятника
При колебательных движениях маятника максимальная величина его отклонения от вертикали называется амплитудой колебания. Она равна которое определяется из равенства
Как следует из последней формулы, амплитуда колебания зависит от начальных данных основных характеристик маятника или его приведенной длины.
В частном случае, когда маятник отклонен от равновесного положения и отпущен без начальной скорости то будет равно , следовательно, амплитуда не зависит от приведенной длины.
Уравнение движения маятника в конечной форме
Пусть начальная скорость маятника равна нулю, тогда первый интеграл уравнения движения его будет:
Интегрируя это уравнение, находим
Будем вести отсчет времени от положения маятника, соответствующего тогда
Преобразуем подынтегральное выражение с помощью формулы:
Тогда получим:
Полученный интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода. Он не может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций.
Обращение эллиптического интеграла (16.15) относительно его верхнего предела представляет уравнение движения маятника:
Это будет хорошо изученная эллиптическая функция Якоби.
Период колебания маятника
Время одного полного колебания маятника называется периодом его колебания. Обозначим его Т. Так как время движения маятника от положения до положения такое же, как время движения от то Т определится формулой:
Сделаем замену переменных, положив
При изменяющихся в пределах от 0 до будет меняться от 0 до . Далее,
и, следовательно,
Последний интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода (значения его даются специальными таблицами).
При подынтегральная функция стремится к единице и .
Приближенные формулы малых колебаний маятника
В случае когда колебания маятника имеют небольшую амплитуду (практически не должно превышать 20°), можно положить
Тогда дифференциальное уравнение движения маятника преобретает вид:
Математический маятник
Введение
Период колебаний
Выводы
Литература
Введение
Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, Стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качением бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.
Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля - не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.
Уравнение движения математического маятника
Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.
Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M t в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения
mW
=F
+N
, (1)
где F
- действующая на точку активная сила, а N
- реакция связи.
Рисунок 1
Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.
Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде
где W есть ускорение точки.
Итак уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
В нашем случае получим в проекции на ось t
,
где m
есть масса маятника.
Так как или , отсюда находим
.
Сокращая на m
и полагая
, (3)
будем окончательно иметь:
,
,
,
. (4)
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол j
и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:
при t
= 0, 
. (5)
Из интеграла энергии:
, (6)
где V
- потенциальная энергия, а h
- постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол jЈj 0 . Значение постоянной h
определяется по начальным данным. Допустим, что угол j 0 мал (j 0 Ј1); тогда угол j будет также мал и можно приближённо положить sinj»j. При этом уравнение (4) примет вид
. (7)
Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид
, (8)
где A
и B
или a
и e суть постоянные интегрирования.
Отсюда сразу находим период (T ) малых колебаний математического маятника (период - промежуток времени, в течении которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)
и 
,
т.к. sin имеет период равный 2p, то wT
=2p Ю
(9)
Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:
. (10)
Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:
j 0 = A , 0 = wB ,
т.е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:
j = j 0 cos wt. (11)
Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как
,
то (4) можно представить в виде
.
Отсюда, умножая обе части уравнение на d
j и интегрируя, получим:
. (12)
Обозначим здесь через j 0 угол максимального отклонения маятника; тогда при j = j 0 будем иметь , откуда C
= w 2 cosj 0 . В результате интеграл (12) даёт:
, (13)
где w определяется равенством (3).
Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения
, (14)
где - работа на перемещении M
0 M
активной силы F
, если учесть, что в нашем случае v
0 =0, и (см. рис.).
Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями +j 0 и -j 0 (|j|Јj 0 , так как ), т.е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:
при t =0, j=0. (15)
Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:
.
Разделяя здесь переменные, будем иметь:
. (16)
, 
,
то
.
Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем.
Колебательное движение - периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.
Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.
Смещение х - отклонение тела от положения равновесия.
Амплитуда А - модуль максимального смещения тела.
Период колебания Т - время одного колебания:
Частота колебания
Число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.
ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:
где x(t) - смещение системы в момент t, A - амплитуда, ω - циклическая частота колебаний.
Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной - время, то получится график колебания х = x(t) - зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях - это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.
Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.
ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:
В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.
При этом полная энергия равна потенциальной энергии:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия. Следовательно:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:
При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:
Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна
Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.
2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.
Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:
Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника
получаем формулу для периода математического маятника:
Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.
Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.
Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.
Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.
Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:
Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:
Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .
Задачи и тесты по теме "Тема 4. "Механика. Колебания и волны"."
- Поперечные и продольные волны. Длина волны
Уроков: 3 Заданий: 9 Тестов: 1
- Звуковые волны. Скорость звука - Механические колебания и волны. Звук 9 класс
Что собой представляет математический маятник?
Из предыдущих уроков вы уже должны знать, что под маятником, как правило, подразумевают тело, которое совершает колебания под действием гравитационного взаимодействия. То есть, можно сказать, что в физике, под этим понятием, принято считать твердое тело, которое под действием силы тяжести совершает колебательные движения, которые происходят вокруг неподвижной точки или оси.
Принцип действия математического маятника
А теперь давайте рассмотрим принцип действия математического маятника и узнаем, в чем он заключается.
Принципом действия математического маятника является то, что при отклонении от положения равновесия материальной точки на незначительный угол a, то есть такой угол, при котором бы выполнялось условие sina=a, то на тело будет действовать сила F = -mgsina = -mga.
Мы с вами видим, что сила F имеет отрицательный показатель, а из этого следует, что знак минус говорит нам о том, что данная сила направлена в ту сторону, которая является противоположной смещению. А так как сила F пропорциональна смещению S, то из этого следует, что под действием такой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания.
Свойства маятника
Если взять любой другой маятник, то у него период колебаний зависит от очень многих факторов. К таким факторам можно отнести:
Во-первых, размер и форму тела;
Во-вторых, расстояние, которое существует между точкой подвеса и центром тяжести;
В-третьих, также и распределение массы тела относительно данной точки.
Вот в связи с этими различными обстоятельствами маятников, определить период висящего тела, довольно таки сложно.
А если брать математический маятник, то он обладает всеми теми свойствами, которые можно доказать с помощью известных физических законов и его период можно легко рассчитать с помощью формулы.
Проведя много различных наблюдений над такими механическими системами, физикам удалось определить такие закономерности, как:
Во-первых, период маятника не зависит от массы груза. То есть, если при одинаковой длине маятника, мы будем к нему подвешивать грузы, которые имеют разную массу, то период их колебаний все равно получится одинаковым, даже если их массы будут иметь довольно таки разительные отличия.
Во-вторых, если мы будем при запуске системы отклонять маятник на небольшие, но при этом разные углы, то его колебания будут иметь одинаковый период, но амплитуды будут разными. При небольших отклонениях от центра равновесия, колебания по своей форме будут иметь почти гармонический характер. То есть, можно сказать, что период такого маятника не зависит от амплитуды колебаний. В переводе с греческого языка такое свойство этой механической системы носит название изохронизма, где «изос» обозначает равный, ну, а «хронос» - это время.
Практическое использование колебаний маятника
Математический маятник для различных исследований используют физики, астрономы, геодезисты и другие научные работники. С помощью такого маятника занимаются поиском полезных ископаемых. Наблюдая за ускорением математического маятника и подсчитав число его колебаний можно найти залежи каменного угля и руды в недрах нашей Земли.
К. Фламмарион, знаменитый французский астроном и естествоиспытатель, утверждал, что с помощью математического маятника ему удалось совершить много важных открытий, среди которых появление Тунгусского метеорита и открытие новой планеты.
В наше время многие экстрасенсы и оккультисты используют такую механическую систему для поиска пропавших людей и пророческих предсказаний.
Определение
Математический маятник - это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.
Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.
Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.
Формула для периода колебаний математического маятника
Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:
где $L$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).
Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:
\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(4\right).\]
Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:
\ \
Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.
Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?\textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:
Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:
Вычислим искомое ускорение:
Ответ. $g=9,81\frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$
Решение. Сделаем рисунок.
1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:
2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:
Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$
