சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தின் மோனோமியல் பல்லுறுப்புக்கோவை. மோனோமியல் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவை

முந்தைய அத்தியாயங்களில் ஐந்து செயல்கள் பற்றி விவாதிக்கப்பட்டது பகுத்தறிவு எண்கள்: கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் விரிவுபடுத்துதல்.

இந்த அத்தியாயத்தில் இந்த ஐந்து செயல்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கப்பட்ட இயற்கணித வெளிப்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். அத்தகைய வெளிப்பாடுகள் அனைத்தும் பகுத்தறிவு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 1. கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் விரிவுபடுத்துதல் ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்கள் மற்றும் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்பட்ட எண்களால் ஆன இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் பகுத்தறிவு என அழைக்கப்படுகின்றன.

பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

2. முழு எண் மற்றும் பின்னம் வெளிப்பாடுகள்.

பின்வரும் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளைக் கவனியுங்கள்:

இயற்கணிதத்தில் பல்வேறு வெளிப்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, ​​​​எழுத்துக்களால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண்களில் செய்யப்பட வேண்டிய செயல்களுக்கு முக்கிய கவனம் செலுத்தப்படுகிறது.

இந்த வெளிப்பாடுகளில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது எழுத்துக்களால் நியமிக்கப்பட்ட எண்களால் வகுத்தல் செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இத்தகைய வெளிப்பாடுகள் முழு எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரண்டாவது வெளிப்பாடு எண்ணால் குறிக்கப்பட்ட எண் 4 ஆல் வகுத்தல் செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் முதலில் 5 ஐ 4 ஆல் வகுத்து, இந்த இரண்டாவது வெளிப்பாட்டை இப்படி எழுதலாம்:

வெளிப்பாடு

முழுமையும் கூட; அதை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்

இறுதியாக, மூன்றாவது வெளிப்பாடு கடிதம் மூலம் எழுதப்பட்ட எண் மூலம் வகுத்தல் கொண்டுள்ளது. (இந்த வெளிப்பாடு ஒரு எழுத்தைப் பிரிப்பதாகவும் கூறப்படுகிறது.) அத்தகைய வெளிப்பாடுகள் பின்ன வெளிப்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பகுதி வெளிப்பாடுகளின் கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள்:

வரையறை 2. ஒரு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு ஒரு முழு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அது ஒரு நேரடி வெளிப்பாடு மூலம் ஒரு வகுப்பைக் கொண்டிருக்கவில்லை.

வரையறை 3. ஒரு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடு ஒரு எழுத்து வெளிப்பாடு மூலம் வகுத்தால் அது பின்னம் எனப்படும்.

சுருக்கமாக, இதைச் சொல்லலாம்: பகுத்தறிவு இயற்கணித வெளிப்பாடுஇது ஒரு முழு எண் அல்லது பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு எழுத்து வகுப்பி உள்ளதா அல்லது இல்லையா என்பதைப் பொறுத்து.

3. மோனோமியல்.

முழு எண் வெளிப்பாடுகளில், எளிமையானது பெருக்கல் மற்றும் அதிவேகத்தின் செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக:

இத்தகைய வெளிப்பாடுகள் மோனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 4. பெருக்கல் மற்றும் அதிவேகத்தின் செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்ட ஒரு இயற்கணித வெளிப்பாடு ஒரு மோனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, ஒரு மோனோமியல் என்பது ஒரு எண் காரணி மற்றும் எழுத்துக்களின் தயாரிப்பு ஆகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட சக்திக்கு எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன.

குறிப்பு. எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் என்பதால் சிறப்பு வழக்குபெருக்கல் (உதாரணமாக, ஒரு மோனோமியலில் ஒரே ஒரு செயலை மட்டுமே கொண்டுள்ளது என்று சொல்லக்கூடிய வடிவத்தில் எழுதலாம் - பெருக்கல்.

ஒரே ஒரு எழுத்தைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு மோனோமியலாகக் கருதப்படுகிறது.

இலக்கங்களில் எழுதப்பட்ட எந்தவொரு தனிப்பட்ட எண்ணும் ஒரு மோனோமியலாகக் கருதப்படுகிறது.

படிவத்தின் வெளிப்பாடு ஒரு மோனோமியலாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் அதில் வகுத்தல் இருந்தாலும், வகுத்தல் 4 ஐ ஒரு எண் காரணியாகக் கூறலாம் மற்றும் வெளிப்பாட்டை இப்படி எழுதலாம்:

4. பல்லுறுப்புக்கோவை.

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் அறிகுறிகளால் இணைக்கப்பட்ட பல மோனோமியல்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும் புதிய இயற்கணித வெளிப்பாட்டை உருவாக்குகின்றன.

உதாரணமாக:

கழித்தலை எப்போதும் கூட்டல் மூலம் மாற்றலாம் என்பதும், கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கிய எந்த வெளிப்பாடும் இயற்கணிதத் தொகை என்பதும் எங்களுக்கு முன்பே தெரியும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

வரையறை 5. பல மோனோமியல்களின் இயற்கணிதத் தொகை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் ஒவ்வொரு மோனோமியலும் அதன் உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இரண்டு சொற்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பைனோமியல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது; மூன்று சொற்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ட்ரினோமியல், முதலியன எனப்படும்.

இருசொற்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

முக்கோணங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதப்படுகிறது: இது ஒரு சொல்லைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

குறிப்பு. மோனோமியல்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடுகளைப் படித்த பிறகு, எந்தவொரு முழு இயற்கணித வெளிப்பாட்டையும் மோனோமியல்களின் இயற்கணிதத் தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் (குறிப்பாக, ஒரு மோனோமியலைப் பெறலாம்). எனவே, ஒவ்வொரு முழு வெளிப்பாடு, போன்ற

பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதப்படுகிறது. மோனோமியல்களின் இயற்கணிதத் தொகையானது சாதாரண (சாதாரண) என்று அழைக்கப்படும், இது முழு இயற்கணித வெளிப்பாட்டின் எளிய வடிவமாகும். இந்த எளிய வடிவத்துடன் நாம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் படிக்கத் தொடங்குவோம்.

பகுதியளவு பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகள், போன்றவை

19. பார்முலாவை எடுத்துக் கொள்வோம்

நாம் இதைப் படிக்கிறோம்: "a மற்றும் b எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு." இந்த சூத்திரத்தில் a என்ற எண்ணை பூஜ்ஜியத்துடன் மாற்றலாம்; பின்னர் அவள் திரும்புவாள்

0 - b அல்லது வெறும் -b இல்.

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து b ஐக் கழிப்பது என்பது, தொடர்புடைய எண்களைக் கழிப்பது பற்றி நமக்குத் தெரிந்தபடி, எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட எண்ணை பூஜ்ஜியத்துடன் சேர்ப்பது. எனவே, வெளிப்பாடு -b எண்ணின் தலைகீழ் அடையாளமாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். உதாரணமாக, b = +5 என்றால், –b = –5; b = –4 என்றால், –b = +4, முதலியன. நாம் +a என்ற வெளிப்பாட்டை எழுதினால், அது எண்ணுக்கு சமமான எண்ணாக புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். a = +5 எனில், +a = +5; a = –4 எனில், +a = 4, முதலியன.

எனவே சூத்திரம்

விளைவு வேறுபாடு இல்லாமல் அல்லது அர்த்தத்தில் நாம் புரிந்து கொள்ள முடியும்

அல்லது அர்த்தத்தில்

எனவே, நாம் எப்போதும் கழித்தலைக் கூட்டல் மூலம் மாற்றலாம் மற்றும் எந்த வேறுபாட்டையும் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:
a – b என்பது a மற்றும் (–b) எண்களின் கூட்டுத்தொகை
x – y என்பது x மற்றும் (–y) எண்களின் கூட்டுத்தொகை
–a – b என்பது (–a) மற்றும் (–b) போன்ற எண்களின் கூட்டுத்தொகை.

எண்கணிதத்தின் பார்வையில், பல கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் நடைபெறும் சூத்திரங்கள், எடுத்துக்காட்டாக,

a – b + c + d – e – f,

நாம் இப்போது, ​​இயற்கணிதத்தின் பார்வையில், ஒரு தொகையாக மட்டுமே புரிந்து கொள்ள முடியும், அதாவது:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

எனவே, இத்தகைய வெளிப்பாடுகளை "இயற்கணிதத் தொகை" என்று அழைப்பது வழக்கம்.

20. சில இயற்கணிதத் தொகையை எடுத்துக் கொள்வோம்

a – b – c அல்லது –3bc² + 2ab – 4a²b, போன்றவை.

இந்த வெளிப்பாடுகளை பெயரால் அழைப்பது வழக்கம் பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் இந்த வார்த்தை "தொகை" அல்லது "இயற்கணித தொகை" என்ற வார்த்தையை மாற்றுகிறது. அது எங்களுக்குத் தெரியும்

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) போன்றவை.

தனித்தனியாக, ஒவ்வொரு வார்த்தையும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் பல்லுறுப்புக்கோவை

மூன்று சொற்களைக் கொண்டுள்ளது: (+a), (-b) மற்றும் (+c).

இரண்டாவது பல்லுறுப்புக்கோவை

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

நான்கு சொற்களைக் கொண்டுள்ளது: (–abc), (–3bc²), (+2ab) மற்றும் (–4a²b).

தொகைகளை எந்த வரிசையிலும் மறுசீரமைக்க முடியும்:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

ஒரு தொகையின் இந்த சொத்தை இப்போது வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளை எந்த வரிசையிலும் மறுசீரமைக்க முடியும். இது பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மேலே செய்யப்பட்டது –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, மேலும், (+2ab) என்ற சொல் இப்போது முன்னால் இருக்கும் வகையில். இது வெளிப்பாட்டை ஓரளவு எளிமையாக்குவதை சாத்தியமாக்கியது: நீங்கள் + குறியை முன்னால் எழுத வேண்டியதில்லை. நிச்சயமாக, அத்தகைய மறுசீரமைப்புகள் உடனடியாக செய்யப்பட வேண்டும், முதலில் (மேலே உள்ளவாறு) அடைப்புக்குறிக்குள் ஒவ்வொரு சொல்லையும் இணைக்காமல்.

மற்றொரு உதாரணம்:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் முதல் சொல் முதலில் (+1) - அலகுக்கு முன் + குறி குறிக்கப்பட்டது; இந்த உறுப்பினரை முதல் இடத்தைத் தவிர வேறு இடத்திற்கு நகர்த்தும்போது (மேலே அதை கடைசி இடத்திற்கு நகர்த்தினோம்), பிறகு இந்த + அடையாளத்தைத் தவிர்க்க முடியாது.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளை மறுசீரமைப்பதன் மூலம், நாங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையை அடைந்தோம் என்பதை நாம் கவனிக்கலாம்: முதலில் a என்ற எழுத்துடன் 4 வது சக்தி, அடுத்த இடத்தில் a எழுத்துடன் கூடிய சொல் 3 வது சக்திக்கு, பின்னர் a என்ற எழுத்துடன் 3 வது சக்தி 2 வது பட்டம் வரும், பின்னர் - a முதல் 1 வது பட்டம் மற்றும், இறுதியாக, a எழுத்து இல்லாத ஒரு சொல்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளின் இந்த ஏற்பாடு "பல்பக்கோவையானது a எழுத்தின் இறங்கு அதிகாரங்களில் அமைக்கப்பட்டிருக்கிறது" என்ற வார்த்தைகளால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த ஏற்பாட்டின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

3x 5 – 2ax 3 + b (x என்ற எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில்)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (அ எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில்)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (பி எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில்)
4x 4 - 3x 3 + 2x 3 (x என்ற எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில்).

தலைகீழ் "ஏறும் டிகிரி" ஏற்பாடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட கடிதத்தின் அளவு படிப்படியாக அதிகரிக்கிறது, மேலும் 1 வது காலப்பகுதியில் இந்த கடிதம் இல்லை, அல்லது மற்ற சொற்களுடன் ஒப்பிடும்போது இது மிகக் குறைந்த பட்டம் கொண்டது. முந்தைய உதாரணங்களில் இரண்டாவதாக, இங்கே பல்லுறுப்புக்கோவையானது b என்ற எழுத்தின் ஏறுவரிசையில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறலாம். இங்கே உதாரணங்கள்:
3 - 2a + 3a 2 - 4a 3 (எழுத்தின் ஏறுவரிசைகளில்);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (x என்ற எழுத்தின் ஏறுவரிசையில்);
கோடாரி 2 - bx 3 + cx 5 - dx 6 (எக்ஸ் என்ற எழுத்தின் ஏறுவரிசையில்);
a 3 - 2ab + b 2 (எழுத்து b அல்லது a எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில்);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (x என்ற எழுத்தின் இறங்கு சக்திகளில் அல்லது y எழுத்தின் ஏறுவரிசைகளில்).

21. இரண்டு சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை அழைக்கப்படுகிறது இருவகை(உதாரணமாக, 3a + 2b), சுமார் மூன்று சொற்கள் - ஒரு முக்கோணம் (உதாரணமாக, 2a² - 3ab + 4b²), முதலியன. ஒரு சொல்லின் கூட்டுத்தொகையைப் பற்றி பேசலாம் (மற்றொரு சொல் பூஜ்யம்), அல்லது ஒரு ஒரு சொல்லைப் பற்றிய பல்லுறுப்புக்கோவை. பின்னர், நிச்சயமாக, "பாலினோமியல்" என்ற பெயர் பொருத்தமற்றது மற்றும் "மோனோமியல்" என்ற பெயர் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொல், தனித்தனியாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், ஒரு மோனோமியல் ஆகும். எளிமையான மோனோமியல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ஏபி; ab²; –3abc; முதலியன

மேலே எழுதப்பட்ட அனைத்து மோனோமியல்களும் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் தயாரிப்புகளாகும், மேலும் அவற்றில் பெரும்பாலானவை எண் காரணி மற்றும் அகரவரிசை இரண்டையும் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, மோனோமியல் –3abc ஒரு எண் காரணி –3 மற்றும் எழுத்து காரணிகள் a, b மற்றும் c; மோனோமியல் 4x³ இல் ஒரு எண் காரணி +4 (+ அடையாளம் மறைமுகமாக உள்ளது) மற்றும் ஒரு நேரடி காரணி x³, முதலியன உள்ளன. பின்வருவன போன்ற பல எண் காரணிகளுடன் (மேலும் அகரவரிசைப்படியும்) ஒரு மோனோமியலை எழுத வேண்டும்.

,

எண் காரணிகள் அருகில் இருக்கும் வகையில் காரணிகளை மறுசீரமைப்பது மிகவும் வசதியானது, அதாவது.

,

இந்த எண் காரணிகளை பெருக்கி பெறவும்

–4a²bc² (புள்ளிகள், பெருக்கல் அறிகுறிகள் தவிர்க்கப்பட்டன).

பெரும்பான்மையான சந்தர்ப்பங்களில், எண் காரணியை முன்னால் எழுதுவது வழக்கம். அவர்கள் எழுதுகிறார்கள்:

4a, 4 அல்ல
–3a²b, a²(–3)b அல்ல

ஒரு மோனோமியலின் எண் காரணி ஒரு குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு எண் காரணி ஒரு மோனோமியலில் எழுதப்படவில்லை என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, ab, நீங்கள் அதை எப்போதும் குறிக்கலாம். உண்மையில்

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, போன்றவை.

எனவே, a², ab, ab² ஆகிய மோனோமியல்கள் ஒவ்வொன்றும் 1 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளன (இன்னும் துல்லியமாக: +1). நாம் மோனோமியல்கள் –ab, –a², –ab² போன்றவற்றை எழுதினால், அவை –1 இன் குணகத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

22. பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் மோனோமியல்களின் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள்.

(a + b)² + 3(a – b)² ... இந்த சூத்திரம் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை வெளிப்படுத்துகிறது: முதலாவது a மற்றும் b எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம், இரண்டாவது எண்ணின் பெருக்கமாகும். அதே எண்களின் வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தால் 3. எனவே, இந்த சூத்திரம் ஒரு இருபக்கமாக அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும்: முதல் சொல் (a + b)² மற்றும் இரண்டாவது 3(a - b)². (a + b)² என்ற வெளிப்பாட்டை நாம் தனித்தனியாக எடுத்துக் கொண்டால், முந்தைய ஒன்றின் அடிப்படையில், அது ஒரு மோனோமியலாகக் கருதப்பட வேண்டும், மேலும் அதன் குணகம் = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... ஒரு முக்கோணமாக அங்கீகரிக்கப்பட வேண்டும் (மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை): முதல் சொல் a(b – 1 ) மற்றும் அதன் குணகம் = +1 , இரண்டாவது சொல் –b(a – 1), அதன் குணகம் = –1, மூன்றாவது சொல் –(a – 1)(b – 1), அதன் குணகம் = – 1.

சில நேரங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்களின் எண்ணிக்கை செயற்கையாக குறைக்கப்படுகிறது. எனவே முக்கோணம்

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பைனோமியலாகக் கருதப்படலாம், மற்றும் a + b, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சொல்லாக (ஒரு சொல்) கருதப்படுகிறது. இதை தெளிவுபடுத்த, அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தவும்:

பின்னர் (a + b) என்ற சொல் +1 இன் மறைமுகமான குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது

[உண்மையில் (a + b) = (+1)(a + b)].

மோனோமியல் -இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு எண், ஒரு எழுத்து அல்லது ஒரு எழுத்தின் சக்தி.

உதாரணமாக, 3a 2 பி 4 ,பி டி 3 , – 17 a b c- மோனோமியல்கள்.

ஒருமைஅல்லது ஒற்றை எழுத்தை ஒரு ஒற்றை எழுத்தாகவும் கருதலாம். மோனோமியலில் உள்ள எந்தக் காரணியும் அழைக்கப்படுகிறது குணகம்.பெரும்பாலும் குணகம் மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது எண் காரணி.மோனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒத்த, அவை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அல்லது குணகங்களில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. எனவே, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மோனோமியல்கள் ஒரே எழுத்துக்கள் அல்லது அவற்றின் சக்திகளைக் கொண்டிருந்தால், அவையும் ஒத்ததாக இருக்கும்.

ஒரு மோனோமியலின் சக்திஅதன் அனைத்து எழுத்துக்களின் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.

மோனோமியல்கள் சேர்த்தல்.மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகையில் ஒரே மாதிரியானவை இருந்தால், தொகையை மேலும் குறைக்கலாம் எளிய பார்வை:

ஒரு x 3 ஒய் 2 – 5 பி 3 x 3 ஒய் 2 +c 5 x 3 ஒய் 2 = (a – 5 b 3 +c 5 )x 3 ஒய் 2 .

இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒத்த உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவருகிறது . இங்கு செய்யப்படும் செயல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது அடைப்புக்குறி.

மோனோமியல்களை பெருக்குதல். ஒரே எழுத்துக்கள் அல்லது எண் குணகங்களின் சக்திகளைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே பல மோனோமியல்களின் தயாரிப்பு எளிமைப்படுத்தப்படும். இந்த வழக்கில், அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, மேலும் எண் குணகங்கள் பெருக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு: 5 ஒரு x 3 z 8 (– 7a 3 x 3 ஒய் 2 ) = –35 ஏ 4 x 6 ஒய் 2 z 8 .

மோனோமியல்களின் பிரிவு. ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பி ஒரே எழுத்துக்கள் அல்லது எண் குணகங்களின் சில சக்திகளைக் கொண்டிருந்தால், இரண்டு மோனோமியல்களின் பகுதியை எளிதாக்கலாம். இந்த வழக்கில், வகுப்பியின் அடுக்கு ஈவுத்தொகையின் அடுக்குகளிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது, மேலும் ஈவுத்தொகையின் எண் குணகம் வகுப்பியின் எண் குணகத்தால் வகுக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு: 35 ஏ 4 x 3 z 9: 7 ஒரு x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

பல்லுறுப்புக்கோவைமோனோமியல்களின் இயற்கணிதத் தொகை. பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மோனோமியல்களின் சக்திகளில் மிகப் பெரியது.

இரண்டு சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை பைனோமியல் என்றும், மூன்று சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை முக்கோணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.. மோனோமியல்கள் பொதுவாக பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் சிறப்பு நிகழ்வாகக் கருதப்படுகின்றன - அவை ஒரு உறுப்பினரைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகக் கருதப்படுகின்றன.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் நிலையான வடிவத்தின் மோனோமியல்கள் மற்றும் அவர்களிடையே ஒத்த உறுப்பினர்கள் இல்லை என்றால், அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

Зab-а 2 +b-2аb + 5b என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை நிலையான வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம்.

இதைச் செய்ய, இதே போன்ற சொற்களைக் கொடுத்தால் போதும், அதாவது இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்கள்: Зab – а 2 + b - 2аb + 5b_ = ab - а 2 + 6b.

நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு மாறியைக் கொண்டிருந்தால், அதன் விதிமுறைகள் பொதுவாக அதன் அதிகாரங்களின் இறங்கு வரிசையில் அமைக்கப்பட்டிருக்கும். இந்த வழக்கில், பல்லுறுப்புக்கோவையின் இலவச சொல், அதாவது ஒரு எழுத்தைக் கொண்டிருக்காத சொல், கடைசி இடத்தில் வைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, பல்லுறுப்புக்கோவை 5x 2 + 1 - x 3 + 4x பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: -x 3 + 5x 2 + 4x - 1.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் மாறி தோன்றும் மிகப்பெரிய அடுக்கு 3 ஆகும். அவர்கள் -x 3 + - 5x 2 + 4x - 1 - மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை.

தொகைகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பெருக்குதல்.எந்தவொரு வெளிப்பாட்டின் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை இந்த வெளிப்பாட்டின் மூலம் ஒவ்வொரு சொற்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

7 ஆம் வகுப்பில், அல்ஜீப்ரா பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக மாணவர்களுக்கு புதிய கருத்துகள் மற்றும் தலைப்புகள் அறிமுகப்படுத்தப்படும். கணிதம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கவர்ச்சிகரமான தளம் அவர்களுக்கு புதிய கதவுகள் திறக்கின்றன. இதில் மோனோமியல்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பற்றிய ஆய்வும், அவற்றின் பயன்பாடும் அடங்கும்.

அது என்ன?

முதலில், கருத்துகளைப் புரிந்துகொள்வோம். கணிதத்தில் பல குறிப்பிட்ட வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, அவற்றில் பல அவற்றின் சொந்த நிலையான பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன. இந்த வார்த்தைகளில் ஒன்று மோனோமியல். இது எண்கள், மாறிகள் ஆகியவற்றின் விளைபொருளைக் கொண்ட ஒரு கணிதச் சொல்லாகும், இவை ஒவ்வொன்றும் தயாரிப்பில் ஓரளவிற்கு தோன்றலாம். பல்லுறுப்புக்கோவை,வரையறையின்படி, இது மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் இயற்கணித வெளிப்பாடு ஆகும். அடிக்கடி கொண்டு வர வேண்டிய நிலை உள்ளது ஏகத்துவஅதன் நிலையான வடிவத்திற்கு. இதைச் செய்ய, நீங்கள் மோனோமியலில் உள்ள அனைத்து எண் காரணிகளையும் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை முதல் இடத்தில் வைக்க வேண்டும். பின்னர் ஒரே எழுத்துத் தளத்தைக் கொண்ட அனைத்து சக்திகளையும் பெருக்கவும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகிறது, இது ஒரு எண் காரணி மற்றும் பல்வேறு மாறிகளின் சக்திகளால் ஆனது.

பள்ளங்கள்

முதல் பார்வையில், ஆபத்தான சிக்கலான எதுவும் இல்லை என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் நவீன பள்ளி மாணவர்களுக்கு படத்தை மறைக்கக்கூடிய பல சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பெரிய எண்ணிக்கையிலான பொருட்கள் பள்ளி பாடத்திட்டம், படிப்பு நேரத்தின் மொத்த பற்றாக்குறை, பல குழந்தைகளின் மனிதாபிமான மனப்பான்மை, அத்துடன் அடிப்படை சோர்வு ஆகியவை புதிய விஷயங்களைக் கற்றுக்கொள்வதை மிகவும் கடினமாக்கும். ஒரு குழந்தை, எதையாவது புரிந்து கொள்ளாமல், ஆசிரியரிடம் கேட்க வெட்கப்படுகிறாள் அல்லது பயப்படுகிறாள், ஆனால் அவனால் தலைப்பை சொந்தமாக மாஸ்டர் செய்ய முடியவில்லை, மேலும் சிரமங்கள் தொடங்குகின்றன.

சிக்கலைத் தீர்ப்பது

இந்த சிக்கல்களைத் தவிர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. முதலாவதாக, பள்ளி மாணவர்களின் பெற்றோர்கள் தங்கள் குழந்தை பொதுவாக திட்டத்தை எவ்வாறு சமாளிக்கிறது மற்றும் குறிப்பாக விவாதிக்கப்பட்ட தலைப்புகளில் கவனம் செலுத்த வேண்டும். இது குழந்தையின் மீது கடுமையான மேற்பார்வை அல்லது கட்டுப்பாட்டின் வடிவத்தை எடுக்கக்கூடாது, ஆனால் கற்றலுக்கான பொறுப்பான மற்றும் தீவிரமான அணுகுமுறையை உருவாக்குவதே குறிக்கோளாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு முக்கியமானது நம்பிக்கையான உறவு, ஆனால் பயம் அல்ல.

பள்ளியில் மிகவும் பொதுவான சூழ்நிலை என்னவென்றால், ஒரு குழந்தை ஒரு புதிய தலைப்பை முழுமையாக புரிந்து கொள்ளவில்லை, வகுப்பு தோழர்களின் ஏளனம் மற்றும் ஆசிரியரின் மறுப்புக்கு பயப்படுகிறார், எனவே அவரது தயக்கத்தைப் பற்றி அமைதியாக இருக்க விரும்புகிறார். துரதிருஷ்டவசமாக, ஆசிரியர்களுடனான உறவுகளும் வேறுபடுகின்றன, நடைமுறையில் காண்பிக்கப்படுவது போல, எல்லா ஆசிரியர்களும் குழந்தைகளுக்கான அணுகுமுறையைக் கண்டறிய முடியாது. மற்றும் பல வெளியேறும் விருப்பங்கள் உள்ளன:

• வருகை கூடுதல் வகுப்புகள்பள்ளியில், ஏதேனும் இருந்தால்;
• ஒரு ஆசிரியருடன் பாடங்கள்;
• சிறப்பு கல்வி ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தி இணையம் வழியாக பயிற்சி.

முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், நேரம் மற்றும் நிதி ஆதாரங்களில் தீமைகள் உள்ளன, குறிப்பாக பயிற்சிக்கு வரும்போது. மூன்றாவது வசதியானது, ஏனெனில் இந்த பயிற்சி விருப்பம்:

• இலவசம்;
• நீங்கள் எந்த வசதியான நேரத்திலும் படிக்கலாம்;
• மாணவருக்கு உளவியல் அசௌகரியம், ஏளன பயம் போன்றவை இல்லை.
• முதல் முறையாக ஏதாவது தெளிவாக இல்லை என்றால், நீங்கள் எப்போதும் வீடியோ பாடத்தை மீண்டும் பார்க்கலாம்.

சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி நேர்மறையான அம்சங்கள்இங்கே இன்னும் நிறைய உள்ளது, எனவே பெற்றோர்கள் தங்கள் குழந்தைக்கு கூடுதல் நடவடிக்கைகளுக்கு அத்தகைய விருப்பத்தை வழங்க முடியும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். முதலில் மாணவர் இந்த திட்டத்தை ஆர்வத்துடன் ஏற்றுக்கொள்ள மாட்டார், ஆனால் அதை முயற்சித்த பிறகு, அவர் அதன் நன்மைகளைப் பாராட்டுவார். ஆண்டுதோறும் பள்ளியில் பாடங்களில் சுமை அதிகரிக்கிறது, 7 ஆம் வகுப்பில் இது ஏற்கனவே மிகவும் தீவிரமானது.

எங்கள் ஆன்லைன் ஆதாரத்தில், ஒரு குழந்தை தனக்கு கடினமாக இருக்கும் ஒரு தலைப்பில் ஒரு பாடத்தை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும், எடுத்துக்காட்டாக, “பல்கோப்பு. நிலையான வடிவத்திற்கு குறைப்பு." அதைப் புரிந்துகொண்டால், அவர் மேலும் விஷயங்களை மிகவும் எளிமையாகவும் எளிதாகவும் புரிந்து கொள்ள முடியும்.

- பல்லுறுப்புக்கோவைகள். இந்தக் கட்டுரையில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றிய அனைத்து ஆரம்ப மற்றும் தேவையான தகவல்களையும் கோடிட்டுக் காட்டுவோம். இவற்றில், முதலாவதாக, பல்லுறுப்புக்கோவையின் வரையறைகள், குறிப்பாக, கட்டற்ற சொல் மற்றும் ஒத்த சொற்களின் வரையறைகள் ஆகியவை அடங்கும். இரண்டாவதாக, நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் நாம் வாழ்வோம், அதனுடன் தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம் மற்றும் அவற்றின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம். இறுதியாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பட்டத்தின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம், அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கண்டுபிடித்து, பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதிமுறைகளின் குணகங்களைப் பற்றி பேசுவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் அதன் விதிமுறைகள் - வரையறைகள் மற்றும் உதாரணங்கள்

தரம் 7 இல், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மோனோமியல்களுக்குப் பிறகு உடனடியாகப் படிக்கப்படுகின்றன, இது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது பல்லுறுப்புக்கோவை வரையறைமோனோமியல் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவை என்றால் என்ன என்பதை விளக்க இந்த வரையறையை வழங்குவோம்.

வரையறை.

பல்லுறுப்புக்கோவைமோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை; ஒரு மோனோமியல் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிறப்பு வழக்காகக் கருதப்படுகிறது.

எழுதப்பட்ட வரையறையானது, நீங்கள் விரும்பும் பல சொற்களஞ்சியங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்க அனுமதிக்கிறது. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12, முதலியவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று. ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். மேலும், வரையறையின்படி, 1+x, a 2 +b 2 மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விவரிக்கும் வசதிக்காக, பல்லுறுப்புக்கோவைச் சொல்லின் வரையறை அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

வரையறை.

பல்லுறுப்புக்கோவை விதிமுறைகள்ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தொகுதி மோனோமியல்கள்.

எடுத்துக்காட்டாக, பல்லுறுப்புக்கோவை 3 x 4 -2 x y+3-y 3 நான்கு சொற்களைக் கொண்டுள்ளது: 3 x 4 , -2 x y , 3 மற்றும் −y 3 . ஒரு மோனோமியல் என்பது ஒரு சொல்லைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கருதப்படுகிறது.

வரையறை.

இரண்டு மற்றும் மூன்று சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சிறப்புப் பெயர்களைக் கொண்டுள்ளன - இருவகைமற்றும் முக்கோணம்முறையே.

எனவே x+y என்பது இருசொல், மற்றும் 2 x 3 q−q x x x+7 b என்பது முக்கோணம்.

பள்ளியில், நாம் அடிக்கடி வேலை செய்ய வேண்டும் நேரியல் ஈருறுப்பு a x+b , இங்கு a மற்றும் b என்பது சில எண்கள் மற்றும் x என்பது ஒரு மாறி, அத்துடன் c இருபடி முக்கோணம் a·x 2 +b·x+c, இதில் a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் x என்பது ஒரு மாறி. நேரியல் இருபக்கங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே உள்ளன: x+1 , x 7,2−4 , மற்றும் இங்கே உதாரணங்கள் சதுர முக்கோணங்கள்: x 2 +3 x−5 மற்றும் .

அவற்றின் குறியீட்டில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒத்த சொற்களைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1+5 x−3+y+2 x என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையில் 1 மற்றும் −3, அதே போல் 5 x மற்றும் 2 x ஆகியவை ஒத்த சொற்களாகும். அவர்கள் தங்கள் சொந்த சிறப்புப் பெயரைக் கொண்டுள்ளனர் - ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்கள்.

வரையறை.

பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்கள்பல்லுறுப்புக்கோவையில் இதே போன்ற சொற்கள் அழைக்கப்படுகின்றன.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், 1 மற்றும் −3, அதே போல் ஜோடி 5 x மற்றும் 2 x ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒத்த சொற்களாகும். ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளில், அவற்றின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த ஒத்த சொற்களைக் குறைக்கலாம்.

நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை

பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, மோனோமியல்களைப் போலவே, நிலையான வடிவம் என்று அழைக்கப்படும். அதற்குரிய வரையறைக்கு குரல் கொடுப்போம்.

அடிப்படையில் இந்த வரையறை, நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் உதாரணங்களை நாம் கொடுக்கலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவைகள் 3 x 2 -x y+1 மற்றும் நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்டது. மேலும் 5+3 x 2 -x 2 +2 x z மற்றும் x+x y 3 x z 2 +3 z ஆகிய வெளிப்பாடுகள் நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்ல, ஏனெனில் அவற்றில் முதலாவது 3 x 2 மற்றும் −x 2 போன்ற சொற்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது - ஒரு மோனோமியல் x·y 3 ·x·z 2, இதன் வடிவம் நிலையான ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது.

தேவைப்பட்டால், நீங்கள் எப்போதும் பல்லுறுப்புக்கோவையை நிலையான வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் தொடர்புடைய மற்றொரு கருத்து ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் இலவச காலத்தின் கருத்தாகும்.

வரையறை.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் இலவச சொல்எழுத்துப் பகுதி இல்லாமல் நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், அது இலவச உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 5 என்பது பல்லுறுப்புக்கோவை x 2 z+5 இன் இலவச சொல், ஆனால் பல்லுறுப்புக்கோவை 7 a+4 a b+b 3 க்கு இலவச சொல் இல்லை.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பட்டம் - அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

மற்றொரு முக்கியமான அதனுடன் கூடிய வரையறை