Diploma

Ang mga kasanayan sa pananaliksik ay maaaring nahahati sa pangkalahatan at tiyak. Ang pangkalahatang mga kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad na nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga problema sa mga parameter, ay kinabibilangan ng: ang kakayahang makita sa likod ng isang naibigay na equation na may isang parameter ng iba't ibang klase ng mga equation, na nailalarawan sa pamamagitan ng karaniwang pagkakaroon ng bilang at uri ng mga ugat; kakayahang makabisado ang analytical at graphic-analytical na pamamaraan....

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may parameter bilang paraan ng pagbuo ng mga kasanayan sa pananaliksik ng mga mag-aaral sa mga baitang 7-9 (sanaysay, coursework, diploma, pagsusulit)

Graduate work

Ptungkol sa paksa: Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may parameter bilang paraan ng pagbuo ng pananaliksik kakayahan ng mga mag-aaral sa grade 7-9

Ang pag-unlad ng mga kakayahan sa malikhaing pag-iisip ay imposible sa labas ng mga sitwasyon ng problema, samakatuwid ang mga hindi karaniwang gawain ay partikular na kahalagahan sa pag-aaral. Kasama rin dito ang mga gawain na naglalaman ng isang parameter. Ang nilalaman ng matematika ng mga problemang ito ay hindi lalampas sa saklaw ng programa, gayunpaman, ang paglutas sa mga ito, bilang panuntunan, ay nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral.

Bago ang reporma ng edukasyon sa matematika ng paaralan noong dekada 60, ang kurikulum ng paaralan at mga aklat-aralin ay may mga espesyal na seksyon: ang pag-aaral ng mga linear at quadratic na equation, ang pag-aaral ng mga sistema ng linear equation. Kung saan ang gawain ay pag-aralan ang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at mga sistema depende sa anumang mga kondisyon o parameter.

Ang programa ay kasalukuyang hindi naglalaman ng mga partikular na sanggunian sa mga pag-aaral o mga parameter sa mga equation o hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit ang mga ito ay tiyak na isa sa mga epektibong paraan ng matematika na tumutulong sa paglutas ng problema sa pagbuo ng isang intelektwal na personalidad na itinakda ng programa. Upang maalis ang kontradiksyon na ito, naging kinakailangan na lumikha ng isang elektibong kurso sa paksang "Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter." Ito ang tiyak na tumutukoy sa kaugnayan ng gawaing ito.

Ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay mahusay na materyal para sa tunay na gawaing pananaliksik, ngunit ang kurikulum ng paaralan ay hindi kasama ang mga problema sa mga parameter bilang isang hiwalay na paksa.

Ang paglutas ng karamihan sa mga problema sa isang kurso sa matematika ng paaralan ay naglalayong mapaunlad sa mga mag-aaral ang mga katangian tulad ng karunungan sa mga patakaran at mga algorithm ng pagkilos alinsunod sa kasalukuyang mga programa, at ang kakayahang magsagawa ng pangunahing pananaliksik.

Ang pananaliksik sa agham ay nangangahulugan ng pag-aaral ng isang bagay upang matukoy ang mga pattern ng paglitaw, pag-unlad, at pagbabago nito. Sa proseso ng pananaliksik, ginagamit ang naipon na karanasan, umiiral na kaalaman, pati na rin ang mga pamamaraan at pamamaraan ng pag-aaral ng mga bagay. Ang resulta ng pananaliksik ay dapat na ang pagkuha ng bagong kaalaman. Sa proseso ng pananaliksik na pang-edukasyon, ang kaalaman at karanasan na naipon ng mag-aaral sa pag-aaral ng mga bagay sa matematika ay synthesized.

Kapag inilapat sa mga parametric equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang mga sumusunod na kasanayan sa pananaliksik ay maaaring makilala:

1) Ang kakayahang ipahayag sa pamamagitan ng isang parameter ang mga kundisyon para sa isang ibinigay na parametric equation na kabilang sa isang partikular na klase ng mga equation;

2) Ang kakayahang matukoy ang uri ng equation at ipahiwatig ang uri ng mga coefficient depende sa mga parameter;

3) Ang kakayahang ipahayag sa pamamagitan ng mga parameter, ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng mga solusyon sa isang parametric equation;

4) Sa kaso ng pagkakaroon ng mga ugat (mga solusyon), maipahayag ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang partikular na bilang ng mga ugat (mga solusyon);

5) Ang kakayahang ipahayag ang mga ugat ng parametric equation (mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay) sa pamamagitan ng mga parameter.

Ang likas na katangian ng pag-unlad ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay tinutukoy ng kanilang kakayahang ipatupad ang maraming uri ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral:

Pag-unlad ng ilang mga algorithm ng pag-iisip, Kakayahang matukoy ang presensya at bilang ng mga ugat (sa isang equation, system);

Paglutas ng mga pamilya ng mga equation na bunga nito;

Pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa pa;

Paghahanap ng domain ng kahulugan ng isang equation;

Pag-uulit ng isang malaking dami ng mga formula kapag naglutas;

Kaalaman sa mga angkop na paraan ng solusyon;

Malawak na paggamit ng verbal at graphic na argumentasyon;

Pag-unlad ng graphic na kultura ng mga mag-aaral;

Ang lahat ng nasa itaas ay nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang pangangailangang pag-aralan ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kursong matematika ng paaralan.

Sa kasalukuyan, ang klase ng mga problema sa mga parameter ay hindi pa malinaw na naisasagawa sa pamamaraan. Ang kaugnayan ng pagpili ng paksa ng elective course na "Quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter" ay tinutukoy ng kahalagahan ng paksang "Quadratic trinomial at mga katangian nito" sa kurso ng matematika ng paaralan at, sa parehong oras, sa pamamagitan ng kakulangan ng oras upang isaalang-alang ang mga problemang nauugnay sa pag-aaral ng isang quadratic trinomial na naglalaman ng isang parameter.

Sa aming trabaho, nais naming ipakita na ang mga problema sa parameter ay hindi dapat maging isang mahirap na karagdagan sa pangunahing materyal na pinag-aaralan, na kung saan ang mga may kakayahang bata lamang ang maaaring makabisado, ngunit maaari at dapat gamitin sa isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon, na magpapayaman sa pag-aaral gamit ang mga bagong pamamaraan. at mga ideya at tulungan ang mga mag-aaral na paunlarin ang kanilang pag-iisip.

Ang layunin ng gawain ay pag-aralan ang lugar ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kursong algebra para sa mga baitang 7–9, upang bumuo ng isang elektibong kurso na "Quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter" at mga rekomendasyong metodolohikal para sa pagpapatupad nito.

Ang layunin ng pag-aaral ay ang proseso ng pagtuturo ng matematika sa mga baitang 7–9 ng isang sekondaryang paaralan.

Ang paksa ng pananaliksik ay ang nilalaman, mga form, pamamaraan at paraan ng paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa isang sekondaryang paaralan, na tinitiyak ang pagbuo ng isang elective na kurso na "Quadratic equation at inequalities na may isang parameter."

Ang hypothesis ng pananaliksik ay ang elective course na ito ay makakatulong sa pagbibigay ng mas malalim na pag-aaral ng nilalaman ng seksyon ng matematika na "Equation and Inequalities with Parameter", alisin ang mga pagkakaiba sa mga kinakailangan sa matematika para sa paghahanda ng mga nagtapos sa paaralan at mga aplikante sa unibersidad, at palawakin ang mga pagkakataon para sa pag-unlad ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral, kung sa proseso ng pag-aaral nito ang mga sumusunod ay gagamitin:

· pagsasaalang-alang ng mga graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga parisukat na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter gamit ang gawain ng mga mag-aaral sa literatura na pang-edukasyon;

· paglutas ng mga problema sa pag-aaral ng isang quadratic trinomial na naglalaman ng isang parameter, gamit ang pagpipigil sa sarili ng mga mag-aaral at kontrol sa isa't isa;

· mga talahanayan para sa pagbubuod ng materyal sa mga paksang "Sign of the roots of a square trinomial", "location of a parabola relative to the abscissa axis";

· paggamit ng iba't ibang pamamaraan para sa pagtatasa ng mga resulta ng pagkatuto at isang pinagsama-samang sistema ng punto;

· pag-aaral ng lahat ng mga paksa ng kurso, na nagbibigay ng pagkakataon sa mag-aaral na makapag-iisa na makahanap ng paraan upang malutas ang problema.

Alinsunod sa layunin, bagay, paksa at hypothesis ng pag-aaral, ang mga sumusunod na layunin ng pananaliksik ay iniharap:

· isaalang-alang ang mga pangkalahatang probisyon para sa pag-aaral ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa mga baitang 7–9;

· Bumuo ng isang elektibong kurso sa algebra “Quadratic equation and inequalities with a parameter” at isang pamamaraan para sa pagpapatupad nito.

Ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginamit sa panahon ng pag-aaral:

· pagsusuri sa panitikan;

· pagsusuri ng karanasan sa pagbuo ng mga elektibong kurso.

Kabanata 1. Mga tampok na sikolohikal at pedagogical nag-aaral Mga paksa « Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter" sa kurso ng algebra 7−9 klase

§ 1. Mga katangiang nauugnay sa edad, pisyolohikal at sikolohikalmga benepisyo ng mga mag-aaral sa mga baitang 7–9

Ang edad sa gitnang paaralan (pagbibinata) ay nailalarawan sa pamamagitan ng mabilis na paglaki at pag-unlad ng buong organismo. Mayroong isang masinsinang paglaki ng katawan sa haba (sa mga lalaki ay may pagtaas ng 6-10 sentimetro bawat taon, at sa mga batang babae hanggang sa 6-8 sentimetro). Ang ossification ng balangkas ay nagpapatuloy, ang mga buto ay nakakakuha ng pagkalastiko at katigasan, at ang lakas ng kalamnan ay tumataas. Gayunpaman, ang pag-unlad ng mga panloob na organo ay nangyayari nang hindi pantay, ang paglago ng mga daluyan ng dugo ay nahuhuli sa paglago ng puso, na maaaring maging sanhi ng pagkagambala sa ritmo ng aktibidad nito at pagtaas ng rate ng puso. Ang pulmonary apparatus ay bubuo, ang paghinga ay nagiging mabilis sa edad na ito. Ang dami ng utak ay lumalapit sa utak ng isang may sapat na gulang na tao. Ang kontrol ng cerebral cortex sa mga instinct at emosyon ay nagpapabuti. Gayunpaman, ang mga proseso ng paggulo ay nananaig pa rin sa mga proseso ng pagsugpo. Ang pagtaas ng aktibidad ng mga nag-uugnay na mga hibla ay nagsisimula.

Sa edad na ito, nangyayari ang pagdadalaga. Ang aktibidad ng mga glandula ng endocrine, lalo na ang mga glandula ng kasarian, ay tumataas. Lumilitaw ang mga pangalawang sekswal na katangian. Ang katawan ng binatilyo ay nagpapakita ng higit na pagkapagod dahil sa mga kapansin-pansing pagbabago dito. Ang pang-unawa ng isang tinedyer ay mas nakatuon, organisado at planado kaysa sa isang mas batang mag-aaral. Ang saloobin ng tinedyer sa naobserbahang bagay ay napakahalaga. Ang atensyon ay kusang-loob, pumipili. Ang isang tinedyer ay maaaring tumuon sa kawili-wiling materyal sa loob ng mahabang panahon. Ang pagsasaulo ng mga konsepto, na direktang nauugnay sa pag-unawa, pagsusuri at sistematisasyon ng impormasyon, ay nauuna. Ang pagbibinata ay nailalarawan sa pamamagitan ng kritikal na pag-iisip. Ang mga mag-aaral sa edad na ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas malaking pangangailangan sa impormasyong ibinigay. Ang kakayahan para sa abstract na pag-iisip ay nagpapabuti. Ang pagpapahayag ng mga emosyon sa mga tinedyer ay kadalasang medyo marahas. Lalong malakas ang galit. Ang edad na ito ay lubos na nailalarawan sa pamamagitan ng katigasan ng ulo, pagkamakasarili, pag-iwas sa sarili, ang kalubhaan ng mga damdamin, at mga salungatan sa iba. Ang mga pagpapakitang ito ay nagpapahintulot sa mga guro at psychologist na pag-usapan ang krisis ng pagdadalaga. Ang pagbuo ng pagkakakilanlan ay nangangailangan ng isang tao na muling pag-isipan ang kanyang mga koneksyon sa iba, ang kanyang lugar sa iba pang mga tao. Sa panahon ng pagdadalaga, nagaganap ang masinsinang moral at panlipunang pagbuo ng personalidad. Ang proseso ng pagbuo ng mga moral na mithiin at moral na paniniwala ay isinasagawa. Madalas silang may hindi matatag, kontradiksyon na karakter.

Ang komunikasyon ng mga tinedyer sa mga may sapat na gulang ay naiiba nang malaki sa komunikasyon ng mga mas batang mag-aaral. Madalas na hindi itinuturing ng mga teenager ang mga nasa hustong gulang bilang posibleng mga kasosyo para sa libreng komunikasyon; itinuturing nila ang mga nasa hustong gulang bilang pinagmumulan ng organisasyon at suporta para sa kanilang buhay, at ang paggana ng organisasyon ng mga nasa hustong gulang ay itinuturing ng mga kabataan na kadalasang mahigpit at nagre-regulate lamang.

Nababawasan ang bilang ng mga tanong na tinutugunan sa mga guro. Ang mga tanong na itinanong ay nauugnay, una sa lahat, sa organisasyon at nilalaman ng mga aktibidad sa buhay ng mga kabataan sa mga kaso kung saan hindi nila magagawa nang walang nauugnay na impormasyon at mga tagubilin mula sa mga nasa hustong gulang. Ang bilang ng mga isyu sa etika ay nabawasan. Kung ikukumpara sa nakaraang edad, ang awtoridad ng guro bilang tagapagdala ng mga pamantayan sa lipunan at isang posibleng katulong sa paglutas ng mga kumplikadong problema sa buhay ay makabuluhang nabawasan.

§ 2. Mga katangian ng edad ng mga aktibidad na pang-edukasyon

Ang pagtuturo ay ang pangunahing aktibidad para sa isang tinedyer. Ang aktibidad na pang-edukasyon ng isang tinedyer ay may sariling mga paghihirap at kontradiksyon, ngunit mayroon ding mga pakinabang na maaari at dapat umasa ang isang guro. Ang malaking bentahe ng isang tinedyer ay ang kanyang kahandaan para sa lahat ng uri ng mga aktibidad na pang-edukasyon, na ginagawa siyang isang may sapat na gulang sa kanyang sariling mga mata. Siya ay naaakit sa pamamagitan ng mga independiyenteng anyo ng pag-aayos ng mga aralin sa silid-aralan, kumplikadong materyal na pang-edukasyon, at ang pagkakataong independiyenteng bumuo ng kanyang aktibidad sa pag-iisip sa labas ng paaralan. Gayunpaman, hindi alam ng tinedyer kung paano mapagtanto ang kahandaang ito, dahil hindi niya alam kung paano magsagawa ng mga bagong anyo ng aktibidad na pang-edukasyon.

Ang isang tinedyer ay emosyonal na tumugon sa isang bagong akademikong paksa, at para sa ilan ang reaksyong ito ay mabilis na nawawala. Kadalasan nababawasan din ang kanilang pangkalahatang interes sa pag-aaral at paaralan. Tulad ng ipinakita ng sikolohikal na pananaliksik, ang pangunahing dahilan ay nakasalalay sa kakulangan ng pag-unlad ng mga kasanayan sa pag-aaral sa mga mag-aaral, na hindi ginagawang posible upang masiyahan ang kasalukuyang pangangailangan ng edad - ang pangangailangan para sa pagpapatibay sa sarili.

Ang isa sa mga paraan upang madagdagan ang pagiging epektibo ng pag-aaral ay ang may layunin na pagbuo ng mga motibo sa pag-aaral. Ito ay direktang nauugnay sa kasiyahan ng umiiral na mga pangangailangan ng edad. Isa sa mga pangangailangang ito ay cognitive. Kapag ito ay nasiyahan, siya ay nagkakaroon ng matatag na mga interes sa pag-iisip, na tumutukoy sa kanyang positibong saloobin sa mga paksang pang-akademiko. Ang mga tinedyer ay labis na naaakit ng pagkakataong palawakin, pagyamanin ang kanilang kaalaman, tumagos sa kakanyahan ng mga phenomena na pinag-aaralan, at magtatag ng mga ugnayang sanhi-at-bunga. Nakakaranas sila ng malaking emosyonal na kasiyahan mula sa mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pagkabigong matugunan ang mga pangangailangang nagbibigay-malay at mga interes na nagbibigay-malay ay nagdudulot hindi lamang ng isang estado ng pagkabagot at kawalang-interes, ngunit kung minsan ay isang matinding negatibong saloobin sa "hindi kawili-wiling mga paksa." Sa kasong ito, parehong mahalaga ang nilalaman at ang proseso, pamamaraan, at pamamaraan ng pagkuha ng kaalaman.

Ang mga interes ng mga kabataan ay naiiba sa direksyon ng kanilang aktibidad sa pag-iisip. Mas gusto ng ilang mga mag-aaral ang mapaglarawang materyal, naaakit sila ng mga indibidwal na katotohanan, ang iba ay nagsisikap na maunawaan ang kakanyahan ng mga phenomena na pinag-aaralan, ipaliwanag ang mga ito mula sa punto ng view ng teorya, ang iba ay mas aktibo sa paggamit ng kaalaman sa mga praktikal na aktibidad, ang iba - sa malikhaing , mga aktibidad sa pananaliksik. 15]

Kasama ng mga interes na nagbibigay-malay, ang pag-unawa sa kahalagahan ng kaalaman ay mahalaga para sa isang positibong saloobin ng mga kabataan sa pag-aaral. Napakahalaga para sa kanila na matanto at maunawaan ang mahalagang kahalagahan ng kaalaman at, higit sa lahat, ang kahalagahan nito para sa personal na pag-unlad. Gustung-gusto ng isang tinedyer ang maraming mga paksang pang-edukasyon dahil natutugunan ng mga ito ang kanyang mga pangangailangan bilang isang komprehensibong binuo na tao. Ang mga paniniwala at interes, na pinagsama-sama, ay lumilikha ng mas mataas na emosyonal na tono sa mga kabataan at tinutukoy ang kanilang aktibong saloobin sa pag-aaral.

Kung hindi nakikita ng isang tinedyer ang napakahalagang kahalagahan ng kaalaman, maaari siyang magkaroon ng negatibong paniniwala at negatibong saloobin sa mga kasalukuyang paksang pang-akademiko. Ang pinakamahalagang kahalagahan kapag ang mga tinedyer ay may negatibong saloobin sa pag-aaral ay ang kanilang kamalayan at karanasan sa pagkabigo sa pag-master ng ilang mga akademikong paksa. Ang takot sa pagkabigo, takot sa pagkatalo kung minsan ay humahantong sa mga tinedyer na maghanap ng mga kapani-paniwalang dahilan upang hindi pumasok sa paaralan o umalis sa klase. Ang emosyonal na kagalingan ng isang tinedyer ay higit na nakasalalay sa pagtatasa ng kanyang mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga nasa hustong gulang. Kadalasan ang kahulugan ng pagtatasa para sa isang tinedyer ay ang pagnanais na makamit ang tagumpay sa proseso ng edukasyon at sa gayon ay makakuha ng tiwala sa kanilang mga kakayahan at kakayahan. Ito ay dahil sa isang nangingibabaw na pangangailangan ng edad bilang ang pangangailangan na mapagtanto at suriin ang sarili bilang isang tao, ang mga kalakasan at kahinaan ng isang tao. Ipinakikita ng pananaliksik na sa panahon ng pagdadalaga na ang pagpapahalaga sa sarili ay gumaganap ng isang nangingibabaw na papel. Napakahalaga para sa emosyonal na kapakanan ng isang tinedyer na ang pagtatasa at pagpapahalaga sa sarili ay nag-tutugma. Kung hindi, lumilitaw ang panloob at kung minsan ay panlabas na salungatan.

Sa gitnang baitang, ang mga mag-aaral ay nagsisimulang mag-aral at makabisado ang mga pangunahing kaalaman sa agham. Ang mga mag-aaral ay kailangang makabisado ng malaking halaga ng kaalaman. Ang materyal na pinagkadalubhasaan, sa isang banda, ay nangangailangan ng isang mas mataas na antas ng pang-edukasyon, nagbibigay-malay at aktibidad ng kaisipan kaysa dati, at sa kabilang banda, ay naglalayong sa kanilang pag-unlad. Ang mga mag-aaral ay dapat na makabisado ang sistema ng mga pang-agham na konsepto at termino, samakatuwid ang mga bagong akademikong paksa ay gumagawa ng mga bagong kahilingan sa mga pamamaraan ng pagkuha ng kaalaman at naglalayong bumuo ng mas mataas na antas ng katalinuhan - teoretikal, pormal, mapanimdim na pag-iisip. Ang ganitong uri ng pag-iisip ay tipikal para sa pagdadalaga, ngunit nagsisimula itong umunlad sa mga nakababatang tinedyer.

Ano ang bago sa pag-unlad ng pag-iisip ng isang tinedyer ay nakasalalay sa kanyang saloobin sa mga gawaing intelektwal bilang mga nangangailangan ng kanilang paunang solusyon sa pag-iisip. Ang kakayahang gumana nang may mga hypotheses sa paglutas ng mga intelektwal na problema ay ang pinakamahalagang pagkuha ng isang tinedyer sa pagsusuri ng katotohanan. Ang pag-iisip ng haka-haka ay isang natatanging kasangkapan ng pang-agham na pangangatwiran, kaya naman tinawag itong mapanimdim na pag-iisip. Bagaman ang asimilasyon ng mga konseptong pang-agham sa paaralan mismo ay lumilikha ng isang bilang ng mga layunin na kondisyon para sa pagbuo ng teoretikal na pag-iisip sa mga mag-aaral, gayunpaman, hindi ito nabuo sa lahat: ang iba't ibang mga mag-aaral ay maaaring may iba't ibang antas at kalidad ng aktwal na pagbuo nito.

Ang teoretikal na pag-iisip ay maaaring mabuo hindi lamang sa pamamagitan ng pag-master ng kaalaman sa paaralan. Ang pagsasalita ay nagiging kontrolado at mapapamahalaan, at sa ilang personal na makabuluhang mga sitwasyon, ang mga kabataan ay lalo na nagsisikap na magsalita nang maganda at tama. Sa proseso at bilang isang resulta ng asimilasyon ng mga konseptong pang-agham, ang mga bagong nilalaman ng pag-iisip, mga bagong anyo ng intelektwal na aktibidad ay nilikha. Ang isang makabuluhang tagapagpahiwatig ng hindi sapat na asimilasyon ng teoretikal na kaalaman ay ang kawalan ng kakayahan ng isang tinedyer na malutas ang mga problema na nangangailangan ng paggamit ng kaalamang ito.

Ang gitnang lugar ay nagsisimulang sakupin ng pagsusuri ng nilalaman ng materyal, ang pagka-orihinal nito at panloob na lohika. Ang ilang mga tinedyer ay nailalarawan sa pamamagitan ng kakayahang umangkop sa pagpili ng mga paraan upang matuto, ang iba ay mas gusto ang isang paraan, at ang ilan ay nagsisikap na ayusin at lohikal na iproseso ang anumang materyal. Ang kakayahang lohikal na magproseso ng materyal ay madalas na umuunlad nang kusang sa mga kabataan. Hindi lamang ang pagganap sa akademiko, lalim at lakas ng kaalaman, kundi pati na rin ang posibilidad ng karagdagang pag-unlad ng katalinuhan at kakayahan ng tinedyer ay nakasalalay dito.

§ 3. Organisasyon ng mga aktibidad na pang-edukasyonkatangian ng mga mag-aaral sa grade 7–9

Ang pag-oorganisa ng mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga kabataan ay ang pinakamahalaga at kumplikadong gawain. Ang isang estudyante sa gitnang paaralan ay lubos na may kakayahang maunawaan ang mga argumento ng isang guro o magulang at sumasang-ayon sa mga makatwirang argumento. Gayunpaman, dahil sa mga kakaibang katangian ng pag-iisip sa edad na ito, ang isang tinedyer ay hindi na masisiyahan sa proseso ng pakikipag-usap ng impormasyon sa isang handa, kumpletong anyo. Gusto niyang suriin ang kanilang pagiging maaasahan, upang matiyak na tama ang kanyang mga paghatol. Ang mga pagtatalo sa mga guro, magulang, at kaibigan ay isang katangian ng edad na ito. Ang kanilang mahalagang papel ay pinapayagan ka nilang makipagpalitan ng mga opinyon sa isang paksa, suriin ang katotohanan ng iyong mga pananaw at pangkalahatang tinatanggap na mga pananaw, at ipahayag ang iyong sarili. Sa partikular, sa pagtuturo, ang pagpapakilala ng mga gawaing nakabatay sa problema ay may malaking epekto. Ang mga pundasyon ng diskarteng ito sa pagtuturo ay binuo noong 60s at 70s ng 20th century ng mga domestic teacher. Ang batayan ng lahat ng mga aksyon sa diskarte na nakabatay sa problema ay ang kamalayan ng kakulangan ng kaalaman upang malutas ang mga tiyak na problema at ang paglutas ng mga kontradiksyon. Sa modernong mga kondisyon, ang diskarte na ito ay dapat ipatupad sa konteksto ng antas ng mga nakamit ng modernong agham at ang mga gawain ng pagsasapanlipunan ng mga mag-aaral.

Mahalagang hikayatin ang independiyenteng pag-iisip, ang mag-aaral na nagpapahayag ng kanyang sariling pananaw, ang kakayahang maghambing, maghanap ng mga karaniwan at natatanging katangian, i-highlight ang pangunahing bagay, magtatag ng mga ugnayang sanhi-at-bunga, at gumawa ng mga konklusyon.

Para sa isang tinedyer, ang kawili-wili at kamangha-manghang impormasyon na nagpapasigla sa kanyang imahinasyon at nagpapaisip sa kanya ay magiging napakahalaga. Ang isang mahusay na epekto ay nakakamit sa pamamagitan ng pana-panahong pagbabago ng mga uri ng mga aktibidad - hindi lamang sa klase, kundi pati na rin kapag naghahanda ng takdang-aralin. Ang iba't ibang uri ng trabaho ay maaaring maging isang napaka-epektibong paraan ng pagtaas ng atensyon at isang mahalagang paraan upang maiwasan ang pangkalahatang pisikal na pagkapagod, na nauugnay kapwa sa pagkarga sa edukasyon at sa pangkalahatang proseso ng radikal na muling pagsasaayos ng katawan sa panahon ng pagdadalaga. 20]

Bago pag-aralan ang mga nauugnay na seksyon ng kurikulum ng paaralan, ang mga mag-aaral ay kadalasang mayroon nang ilang pang-araw-araw na ideya at konsepto na nagpapahintulot sa kanila na mag-navigate nang maayos sa pang-araw-araw na pagsasanay. Ang sitwasyong ito, sa mga kaso kung saan ang kanilang pansin ay hindi partikular na iginuhit sa koneksyon ng kaalaman na nakuha nila sa praktikal na buhay, ay nag-aalis sa maraming mga mag-aaral ng pangangailangan na makakuha at mag-assimilate ng bagong kaalaman, dahil ang huli ay walang praktikal na kahulugan para sa kanila.

Ang mga mithiin sa moral at moral na paniniwala ng mga kabataan ay nabuo sa ilalim ng impluwensya ng maraming mga kadahilanan, lalo na, ang pagpapalakas ng potensyal na pang-edukasyon ng pag-aaral. Sa paglutas ng mga kumplikadong problema sa buhay, higit na pansin ang dapat bayaran sa mga hindi direktang pamamaraan ng pag-impluwensya sa kamalayan ng mga kabataan: hindi paglalahad ng isang handa na moral na katotohanan, ngunit humahantong dito, at hindi pagpapahayag ng mga kategoryang paghatol na maaaring malasahan ng mga kabataan na may poot.

§ 4. Pananaliksik sa edukasyon sa sistema ng mga pangunahing kinakailangan para sa nilalaman ng edukasyon sa matematika at ang antas ng paghahanda ng mga mag-aaral

Ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay mahusay na materyal para sa tunay na gawaing pananaliksik. Ngunit ang kurikulum ng paaralan ay hindi kasama ang mga problema sa mga parameter bilang isang hiwalay na paksa.

Suriin natin ang iba't ibang mga seksyon ng pamantayang pang-edukasyon ng mga paaralang Ruso mula sa punto ng view ng pagkilala sa mga isyu na may kaugnayan sa pag-aaral upang malutas ang mga problema sa mga parameter.

Ang pag-aaral ng materyal ng programa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral sa elementarya na "makakuha ng paunang pag-unawa sa isang problema sa mga parameter na maaaring bawasan sa linear at quadratic" at matutunan kung paano bumuo ng mga graph ng mga function at tuklasin ang lokasyon ng mga graph na ito sa coordinate plane depende sa mga halaga ng mga parameter na kasama sa formula.

Ang linya ng "function" ay hindi binanggit ang salitang "parameter" ngunit sinasabi na ang mga mag-aaral ay may pagkakataon na "organisahin at bumuo ng kaalaman sa pag-andar; bumuo ng isang graphic na kultura, matutong "magbasa" ng mga graph nang matatas, sumasalamin sa mga katangian ng isang function sa isang graph."

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa mga aklat-aralin sa paaralan sa algebra ng mga pangkat ng mga may-akda gaya ng: Alimov Sh. A. et al., Makarychev Yu. N. et al., Mordkovich A. G. et al., napag-isipan namin na ang mga problema sa mga parameter sa mga aklat-aralin na ito ay binigyan ng kaunting atensyon. Sa mga aklat-aralin para sa ika-7 baitang mayroong ilang mga halimbawa sa pag-aaral ng tanong ng bilang ng mga ugat ng isang linear na equation, sa pag-aaral ng dependence ng lokasyon ng graph ng isang linear function na y = kh at y = kh + b depende sa mga halaga ng k. Sa mga aklat-aralin para sa mga baitang 8-9, sa mga seksyon tulad ng "Mga problema para sa ekstrakurikular na gawain" o "Pag-uulit na pagsasanay", 2-3 gawain ang ibinibigay para sa pag-aaral ng mga ugat sa quadratic at biquadratic equation na may mga parameter, ang lokasyon ng graph ng isang quadratic function depende sa mga halaga ng mga parameter.

Sa programa sa matematika para sa mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral, ang paliwanag na tala ay nagsasabi na "ang seksyon na "Mga kinakailangan para sa paghahanda sa matematika ng mga mag-aaral" ay nagtatakda ng tinatayang dami ng kaalaman, kasanayan at kakayahan na dapat makabisado ng mga mag-aaral. Ang saklaw na ito, siyempre, ay kinabibilangan ng mga kaalaman, kakayahan at kasanayan, ang ipinag-uutos na pagkuha kung saan ang lahat ng mga mag-aaral ay ibinibigay ng mga kinakailangan ng programa ng pangkalahatang edukasyon sa paaralan; gayunpaman, ang ibang, mas mataas na kalidad ng kanilang pagbuo ay iminungkahi. Ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng kakayahang lutasin ang mga problema ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa kinakailangang antas ng pagiging kumplikado, tumpak at may kakayahang bumalangkas ng mga teoretikal na prinsipyo na kanilang pinag-aralan at ipakita ang kanilang sariling pangangatwiran kapag nilutas ang mga problema...”

Suriin natin ang ilang mga aklat-aralin para sa mga mag-aaral na may advanced na pag-aaral ng matematika.

Ang pagbubuo ng mga naturang problema at ang kanilang mga solusyon ay hindi lalampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan, ngunit ang mga paghihirap na kinakaharap ng mga mag-aaral ay ipinaliwanag, una, sa pamamagitan ng pagkakaroon ng isang parameter, at pangalawa, sa pamamagitan ng pagsasanga ng solusyon at mga sagot. Gayunpaman, ang kasanayan sa paglutas ng mga problema sa mga parameter ay kapaki-pakinabang para sa pagbuo at pagpapalakas ng kakayahan para sa independiyenteng lohikal na pag-iisip at para sa pagpapayaman ng kultura ng matematika.

Sa pangkalahatang mga klase sa edukasyon sa paaralan, bilang isang patakaran, ang hindi gaanong pansin ay binabayaran sa mga naturang gawain. Dahil ang paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay, marahil, ang pinakamahirap na seksyon ng isang kurso sa elementarya na matematika, halos hindi ipinapayong ituro ang paglutas ng mga naturang problema na may mga parameter sa masa ng mga mag-aaral, ngunit malakas na mga mag-aaral na nagpapakita ng interes, hilig at kakayahan sa matematika, na nagsusumikap na kumilos nang nakapag-iisa, nagtuturo Ito ay tiyak na kinakailangan upang malutas ang mga naturang problema. Samakatuwid, kasama ang mga tradisyunal na linya ng nilalaman-methodological ng kurso sa matematika ng paaralan bilang functional, numerical, geometric, ang linya ng mga equation at ang linya ng magkaparehong pagbabago, ang linya ng mga parameter ay dapat ding kumuha ng isang tiyak na posisyon. Ang nilalaman ng materyal at ang mga kinakailangan para sa mga mag-aaral sa paksang "mga problema sa mga parameter" ay dapat, siyempre, matukoy ng antas ng paghahanda sa matematika ng buong klase sa kabuuan at bawat indibidwal.

Dapat tumulong ang guro na matugunan ang mga pangangailangan at kahilingan ng mga mag-aaral na nagpapakita ng interes, kakayahan at kakayahan sa paksa. Sa mga isyu ng interes ng mga mag-aaral, maaaring ayusin ang mga konsultasyon, club, karagdagang klase at elective. Ito ay ganap na nalalapat sa isyu ng mga problema sa mga parameter.

§ 5. Pananaliksik sa pang-edukasyon sa istraktura ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral

Sa ngayon, ang isyu ng paghahanda ng isang mag-aaral na nagsusumikap na kumilos nang nakapag-iisa, lampas sa mga kinakailangan ng guro, na hindi nililimitahan ang saklaw ng kanyang mga interes at aktibong pananaliksik sa materyal na pang-edukasyon na inaalok sa kanya, na nakakaalam kung paano ipakita at argueably ipagtanggol ang kanyang solusyon sa isang partikular na problema, na nakakaalam kung paano tukuyin o, sa kabaligtaran, gawing pangkalahatan ang resulta na isinasaalang-alang, tukuyin ang sanhi-at-epekto na mga relasyon, atbp. -mga bata sa edad, suriin ang problema ng pamamahala sa proseso ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral, pagbuo at pagbuo ng kanilang mga kasanayan upang independiyenteng makakuha ng kaalaman, ilapat ang kaalaman, lagyang muli at sistematiko ito, ang problema ng pagtaas ng aktibidad ng aktibidad ng nagbibigay-malay ng mga mag-aaral (L.S. Vygotsky, P. Ya. Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L. Rubinstein, L.M. Friedman, atbp.).

Kasama sa pamamaraan ng pananaliksik sa pagtuturo ang dalawang pamamaraan ng pananaliksik: pang-edukasyon at pang-agham.

Ang paglutas ng isang makabuluhang bahagi ng mga problema ng isang kurso sa matematika ng paaralan ay ipinapalagay na ang mga mag-aaral ay nakabuo ng mga katangian tulad ng karunungan sa mga panuntunan at algorithm ng mga aksyon alinsunod sa kasalukuyang mga programa, at ang kakayahang magsagawa ng pangunahing pananaliksik. Ang pananaliksik sa agham ay nangangahulugan ng pag-aaral ng isang bagay upang matukoy ang mga pattern ng paglitaw nito at pag-unlad ng pagbabago. Sa proseso ng pananaliksik, ang naipon na nakaraang karanasan, umiiral na kaalaman, pati na rin ang mga pamamaraan at pamamaraan (mga pamamaraan) ng pag-aaral ng mga bagay ay ginagamit. Ang resulta ng pananaliksik ay dapat na ang pagkuha ng bagong siyentipikong kaalaman.

Sa aplikasyon sa proseso ng pagtuturo ng matematika sa sekondaryang paaralan, mahalagang tandaan ang mga sumusunod: ang mga pangunahing bahagi ng pananaliksik na pang-edukasyon ay kinabibilangan ng pagbabalangkas ng isang problema sa pananaliksik, kamalayan sa mga layunin nito, paunang pagsusuri ng magagamit na impormasyon sa isyung isinasaalang-alang, kundisyon at pamamaraan para sa paglutas ng mga problemang malapit sa suliranin ng pananaliksik, pagmumungkahi at pagbabalangkas ng mga panimulang hypotheses, pagsusuri at paglalahat ng mga resulta na nakuha sa panahon ng pag-aaral, pagpapatunay ng paunang hypothesis batay sa mga nakuhang katotohanan, panghuling pagbabalangkas ng mga bagong resulta, pattern, katangian , pagpapasiya ng lugar ng nahanap na solusyon sa problemang ibinabanta sa sistema ng umiiral na kaalaman. Ang pangunahing lugar sa mga bagay ng pananaliksik na pang-edukasyon ay inookupahan ng mga konsepto at ugnayan ng kurso sa matematika ng paaralan, sa proseso ng pag-aaral kung saan ang mga pattern ng kanilang pagbabago at pagbabago, ang mga kondisyon para sa kanilang pagpapatupad, pagiging natatangi, atbp.

Ang mga seryosong potensyal sa pagbuo ng mga kasanayan sa pananaliksik tulad ng kakayahang may layuning obserbahan, ihambing, isulong, patunayan o pabulaanan ang isang hypothesis, ang kakayahang mag-generalize, atbp., ay may mga gawain sa pagbuo sa isang kursong geometry, mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa isang kurso sa algebra, ang tinatawag na mga dynamic na problema, sa proseso ng paglutas kung saan ang mga mag-aaral ay nakakabisado sa mga pangunahing pamamaraan ng aktibidad ng kaisipan: pagsusuri, synthesis (pagsusuri sa pamamagitan ng synthesis, synthesis sa pamamagitan ng pagsusuri), generalization, detalye, atbp., sadyang nagmamasid sa pagbabago ng mga bagay , naglalagay at nagbubuo ng hypothesis tungkol sa mga katangian ng mga bagay na isinasaalang-alang, sinusubok ang iniharap na hypothesis, tinutukoy ang lugar ng natutunan na resulta sa sistema ng dating nakuhang kaalaman, ang praktikal na kahalagahan nito. Ang organisasyon ng pananaliksik na pang-edukasyon ng guro ay may tiyak na kahalagahan. Mga pamamaraan ng pagtuturo ng aktibidad sa pag-iisip, ang kakayahang magsagawa ng mga elemento ng pananaliksik - ang mga layuning ito ay patuloy na nakakaakit ng pansin ng guro, na naghihikayat sa kanya na makahanap ng mga sagot sa maraming mga tanong na pamamaraan na may kaugnayan sa paglutas ng problemang isinasaalang-alang.

Ang pag-aaral ng maraming mga isyu ng programa ay nagbibigay ng mahusay na mga pagkakataon upang lumikha ng isang mas holistic at kumpletong larawan na nauugnay sa pagsasaalang-alang ng isang partikular na problema.

Sa proseso ng pananaliksik na pang-edukasyon, ang kaalaman at karanasan na naipon ng mag-aaral sa pag-aaral ng mga bagay sa matematika ay synthesized. Ang mapagpasyang kahalagahan sa pag-oorganisa ng pananaliksik na pang-edukasyon ng isang mag-aaral ay ang pag-akit sa kanyang atensyon (una nang hindi kusang-loob, at pagkatapos ay kusang-loob), na lumilikha ng mga kondisyon para sa pagmamasid: pagtiyak ng malalim na kamalayan, ang kinakailangang saloobin ng mag-aaral sa trabaho, ang bagay ng pag-aaral ("https:/ /site", 9).

Sa pagtuturo ng matematika sa paaralan, mayroong dalawang malapit na magkakaugnay na antas ng pananaliksik na pang-edukasyon: empirical at teoretikal. Ang una ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagmamasid sa mga indibidwal na katotohanan, ang kanilang pag-uuri, at ang pagtatatag ng isang lohikal na koneksyon sa pagitan nila, na mapapatunayan ng karanasan. Ang teoretikal na antas ng pananaliksik na pang-edukasyon ay naiiba sa bilang isang resulta ang mag-aaral ay bumalangkas ng mga pangkalahatang batas sa matematika, na batay sa hindi lamang mga bagong katotohanan, kundi pati na rin ang mga nakuha sa antas ng empirikal ay mas malalim na binibigyang kahulugan.

Ang pagsasagawa ng pananaliksik na pang-edukasyon ay nangangailangan ng mag-aaral na gumamit ng parehong mga partikular na pamamaraan, katangian lamang para sa matematika, at pangkalahatan; pagsusuri, synthesis, induction, deduction, atbp., na ginagamit sa pag-aaral ng mga bagay at phenomena ng iba't ibang disiplina ng paaralan.

Ang organisasyon ng pananaliksik na pang-edukasyon ng guro ay may tiyak na kahalagahan. Sa aplikasyon sa proseso ng pagtuturo ng matematika sa sekondaryang paaralan, mahalagang tandaan ang mga sumusunod: ang mga pangunahing bahagi ng pananaliksik na pang-edukasyon ay kinabibilangan ng pagbabalangkas ng isang problema sa pananaliksik, kamalayan sa mga layunin nito, paunang pagsusuri ng magagamit na impormasyon sa isyung isinasaalang-alang, kundisyon at pamamaraan para sa paglutas ng mga problemang malapit sa suliranin ng pananaliksik, pagmumungkahi at pagbabalangkas ng paunang hypothesis, pagsusuri at paglalahat ng mga resultang nakuha sa panahon ng pag-aaral, pagpapatunay ng paunang hypothesis batay sa mga katotohanang nakuha, ang panghuling pagbabalangkas ng mga bagong resulta, mga pattern, pag-aari, pagpapasiya ng lugar ng nahanap na solusyon sa problemang ibinabanta sa sistema ng umiiral na kaalaman. Ang pangunahing lugar sa mga bagay ng pananaliksik na pang-edukasyon ay inookupahan ng mga konsepto at ugnayan ng kurso sa matematika ng paaralan, sa proseso ng pag-aaral kung saan ang mga pattern ng kanilang pagbabago at pagbabago, ang mga kondisyon para sa kanilang pagpapatupad, pagiging natatangi, atbp.

Angkop para sa pananaliksik na pang-edukasyon ay materyal na nauugnay sa pag-aaral ng mga function na pinag-aralan sa kursong algebra. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang isang linear function.

Takdang-Aralin: Suriin ang isang linear na function para sa even at odd. Hint: Isaalang-alang ang mga sumusunod na kaso:

2) a = 0 at b? 0;

3) a? 0 at b = 0;

4) a? 0 at b? 0.

Bilang resulta ng pananaliksik, punan ang talahanayan, na nagpapahiwatig ng resulta na nakuha sa intersection ng kaukulang hilera at haligi.

Bilang resulta ng solusyon, dapat matanggap ng mga mag-aaral ang sumusunod na talahanayan:

	pantay at kakaiba
	kakaiba	hindi kahit na o kakaiba

Ang simetrya nito ay nagdudulot ng pakiramdam ng kasiyahan at kumpiyansa sa kawastuhan ng pagpuno.

Ang pagbuo ng mga pamamaraan ng aktibidad ng kaisipan ay gumaganap ng isang makabuluhang papel kapwa sa pangkalahatang pag-unlad ng mga mag-aaral at upang maitanim sa kanila ang mga kasanayan sa pagsasagawa ng pananaliksik na pang-edukasyon (sa pangkalahatan o sa mga fragment).

Ang resulta ng pananaliksik na pang-edukasyon ay subjective na bagong kaalaman tungkol sa mga katangian ng bagay (relasyon) na isinasaalang-alang at ang kanilang mga praktikal na aplikasyon. Ang mga pag-aari na ito ay maaaring isama o hindi sa isang high school math curriculum. Mahalagang tandaan na ang pagiging bago ng resulta ng aktibidad ng isang mag-aaral ay tinutukoy kapwa sa pamamagitan ng likas na katangian ng paghahanap para sa isang paraan upang maisagawa ang aktibidad, ang paraan ng aktibidad mismo, at ang lugar ng resulta na nakuha sa sistema ng kaalaman. ng estudyanteng iyon.

Ang pamamaraan ng pagtuturo ng matematika gamit ang pang-edukasyon na pananaliksik ay tinatawag na pananaliksik, hindi alintana kung ang pamamaraan ng pananaliksik na pang-edukasyon ay ipinatupad nang buo o sa mga fragment.

Kapag ipinapatupad ang bawat yugto ng pananaliksik na pang-edukasyon, ang mga elemento ng parehong gumaganap at malikhaing aktibidad ay kinakailangang naroroon. Ito ay pinakamalinaw na naobserbahan sa kaso ng isang mag-aaral na independiyenteng nagsasagawa ng isang partikular na pag-aaral. Gayundin, sa panahon ng pananaliksik na pang-edukasyon, ang ilang mga yugto ay maaaring ipatupad ng guro, ang iba ay ng mag-aaral mismo. Ang antas ng kalayaan ay nakasalalay sa maraming mga kadahilanan, lalo na, sa antas ng pagbuo, ang kakayahang mag-obserba ng isang partikular na bagay (proseso), ang kakayahang ituon ang pansin ng isang tao sa parehong paksa, kung minsan sa loob ng mahabang panahon, ang kakayahang mag makita ang isang problema, malinaw at malinaw na bumalangkas, ang kakayahang makahanap at gumamit ng angkop (kung minsan ay hindi inaasahang) mga asosasyon, ang kakayahang mag-concentrate na pag-aralan ang umiiral na kaalaman upang mapili ang kinakailangang impormasyon, atbp.

Imposible ring labis na timbangin ang impluwensya ng imahinasyon, intuwisyon, inspirasyon, kakayahan (at marahil talento o henyo) ng isang mag-aaral sa tagumpay ng kanyang mga aktibidad sa pananaliksik.

§ 6 . Pananaliksik sa sistema ng mga pamamaraan ng pagtuturo

Mahigit sa isang dosenang pangunahing pag-aaral ang nakatuon sa mga pamamaraan ng pagtuturo, kung saan nakasalalay ang malaking tagumpay ng gawain ng guro at ng paaralan sa kabuuan. At, sa kabila nito, ang problema ng mga pamamaraan ng pagtuturo, kapwa sa teorya ng pagtuturo at sa pagsasanay sa pedagogical, ay nananatiling napaka-kaugnay. Ang konsepto ng pamamaraan ng pagtuturo ay medyo kumplikado. Ito ay dahil sa pambihirang kumplikado ng proseso na nilalayon ng kategoryang ito na ipakita. Itinuturing ng maraming may-akda ang paraan ng pagtuturo bilang isang paraan ng pag-oorganisa ng mga aktibidad na pang-edukasyon at nagbibigay-malay ng mga mag-aaral.

Ang salitang "pamamaraan" ay nagmula sa Greek at isinalin sa Russian ay nangangahulugang pananaliksik, pamamaraan. "Ang pamamaraan - sa pinaka-pangkalahatang kahulugan - ay isang paraan ng pagkamit ng isang layunin, isang tiyak na paraan ng pag-order ng aktibidad." Malinaw na sa proseso ng pag-aaral ang pamamaraan ay gumaganap bilang isang koneksyon sa pagitan ng mga aktibidad ng guro at mga mag-aaral upang makamit ang ilang mga layunin sa edukasyon. Mula sa puntong ito, ang bawat pamamaraan ng pagtuturo ay organikong kasama ang gawaing pagtuturo ng guro (pagtatanghal, pagpapaliwanag ng materyal na pinag-aaralan) at ang organisasyon ng aktibong pang-edukasyon at nagbibigay-malay na aktibidad ng mga mag-aaral. Kaya, ang konsepto ng pamamaraan ng pagtuturo ay sumasalamin sa:

1. Mga pamamaraan ng pagtuturo ng gawain ng guro at mga pamamaraan ng gawaing pang-edukasyon ng mga mag-aaral sa kanilang pagkakaugnay.

2. Ang mga detalye ng kanilang trabaho upang makamit ang iba't ibang layunin sa pag-aaral. Kaya, ang mga pamamaraan ng pagtuturo ay mga paraan ng magkasanib na aktibidad sa pagitan ng guro at mag-aaral na naglalayong lutasin ang mga problema sa pag-aaral, iyon ay, mga gawaing didaktiko.

Iyon ay, ang mga pamamaraan ng pagtuturo ay dapat na maunawaan bilang mga pamamaraan ng gawaing pagtuturo ng guro at ang organisasyon ng mga aktibidad na pang-edukasyon at nagbibigay-malay ng mga mag-aaral upang malutas ang iba't ibang mga gawaing didaktiko na naglalayong mastering ang materyal na pinag-aaralan. Ang isa sa mga matinding problema ng modernong didactics ay ang problema ng pag-uuri ng mga pamamaraan ng pagtuturo. Sa kasalukuyan ay walang iisang punto ng pananaw sa isyung ito. Dahil sa katotohanan na ang iba't ibang mga may-akda ay nakabatay sa paghahati ng mga pamamaraan ng pagtuturo sa mga grupo at mga subgroup sa iba't ibang pamantayan, mayroong isang bilang ng mga pag-uuri. Ngunit noong dekada 20 sa pedagogy ng Sobyet ay nagkaroon ng isang pakikibaka laban sa mga pamamaraan ng eskolastiko na pagtuturo at mekanikal na pag-aaral ng pag-uulat na umunlad sa lumang paaralan at isang paghahanap ay ginawa para sa mga pamamaraan na matiyak ang mulat, aktibo at malikhaing pagkuha ng kaalaman ng mga mag-aaral. Sa mga taong iyon na binuo ng guro na si B.V. Vieviatsky ang posisyon na maaari lamang magkaroon ng dalawang pamamaraan sa pagtuturo: ang pamamaraan ng pananaliksik at ang pamamaraan ng yari na kaalaman. Ang pamamaraan ng yari na kaalaman, natural, ay pinuna. Ang pamamaraan ng pananaliksik, ang kakanyahan ng kung saan pinakuluan sa katotohanan na ang mga mag-aaral ay dapat na matutunan ang lahat sa batayan ng pagmamasid at pagsusuri ng mga phenomena na pinag-aaralan, nang nakapag-iisa na lumalapit sa mga kinakailangang konklusyon, ay kinikilala bilang ang pinakamahalagang paraan ng pagtuturo. Ang parehong paraan ng pananaliksik sa silid-aralan ay maaaring hindi mailapat sa lahat ng mga paksa.

Gayundin, ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay ang paghahati-hati ng guro ng isang problemadong problema sa mga subproblema, at ang mga mag-aaral ay nagsasagawa ng mga indibidwal na hakbang upang mahanap ang solusyon nito. Ang bawat hakbang ay nagsasangkot ng malikhaing aktibidad, ngunit wala pang holistic na solusyon sa problema. Sa panahon ng pagsasaliksik, pinagkadalubhasaan ng mga mag-aaral ang mga pamamaraan ng kaalamang siyentipiko at nagkakaroon ng karanasan sa mga aktibidad sa pananaliksik. Ang aktibidad ng mga mag-aaral na sinanay gamit ang pamamaraang ito ay upang makabisado ang mga pamamaraan ng independiyenteng pagpapakita ng mga problema, paghahanap ng mga paraan upang malutas ang mga ito, mga gawain sa pagsasaliksik, paglalagay at pagbuo ng mga problema na ipinakita ng mga guro sa kanila.

Mapapansin din na ang sikolohiya ay nagtatatag ng ilang mga pattern na may developmental psychology. Bago ka magsimulang magtrabaho kasama ang mga mag-aaral gamit ang mga pamamaraan, kailangan mong lubusang pag-aralan ang mga pamamaraan ng pag-aaral ng kanilang sikolohiya sa pag-unlad. Ang pagiging pamilyar sa mga pamamaraang ito ay maaaring maging praktikal na benepisyo nang direkta sa mga tagapag-ayos ng prosesong ito, dahil ang mga pamamaraang ito ay angkop hindi lamang para sa sariling siyentipikong pananaliksik, kundi pati na rin para sa pag-aayos ng isang malalim na pag-aaral ng mga bata para sa praktikal na mga layuning pang-edukasyon. Ang isang indibidwal na diskarte sa pagsasanay at edukasyon ay ipinapalagay ang mahusay na kaalaman at pag-unawa sa mga indibidwal na sikolohikal na katangian ng mga mag-aaral at ang pagiging natatangi ng kanilang personalidad. Dahil dito, kailangan ng guro na makabisado ang kakayahang mag-aral ng mga mag-aaral, upang hindi makita ang isang kulay-abo, homogenous na masa ng mag-aaral, ngunit isang kolektibo kung saan ang lahat ay isang bagay na espesyal, indibidwal, natatangi. Ang ganitong pag-aaral ay gawain ng bawat guro, ngunit kailangan pa rin itong maayos.

Ang isa sa mga pangunahing pamamaraan ng organisasyon ay ang pamamaraan ng pagmamasid. Siyempre, ang psyche ay hindi maaaring obserbahan nang direkta. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng hindi direktang kaalaman sa mga indibidwal na katangian ng psyche ng tao sa pamamagitan ng pag-aaral ng kanyang pag-uugali. Iyon ay, dito kinakailangan na hatulan ang mag-aaral sa pamamagitan ng mga indibidwal na katangian (kilos, gawa, pananalita, hitsura, atbp.), Ang kalagayan ng kaisipan ng mag-aaral (mga proseso ng pang-unawa, memorya, pag-iisip, imahinasyon, atbp.), At sa pamamagitan ng kanyang mga ugali, ugali, ugali. Ang lahat ng ito ay kinakailangan para sa mag-aaral kung saan nagtatrabaho ang guro gamit ang pamamaraan ng pananaliksik sa pagtuturo kapag nagsasagawa ng ilang mga gawain.

Ang paglutas ng isang makabuluhang bahagi ng mga problema ng isang kurso sa matematika ng paaralan ay ipinapalagay na ang mga mag-aaral ay nakabuo ng mga katangian tulad ng karunungan sa mga patakaran at mga algorithm ng pagkilos alinsunod sa kasalukuyang mga programa, at ang kakayahang magsagawa ng pangunahing pananaliksik. Ang pananaliksik sa agham ay nangangahulugan ng pag-aaral ng isang bagay upang matukoy ang mga pattern ng paglitaw, pag-unlad, at pagbabago nito. Sa proseso ng pananaliksik, ang naipon na nakaraang karanasan, umiiral na kaalaman, pati na rin ang mga pamamaraan at pamamaraan (mga pamamaraan) ng pag-aaral ng mga bagay ay ginagamit. Ang resulta ng pananaliksik ay dapat na ang pagkuha ng bagong siyentipikong kaalaman. Mga pamamaraan ng pagtuturo ng aktibidad sa pag-iisip, ang kakayahang magsagawa ng mga elemento ng pananaliksik - ang mga layuning ito ay patuloy na nakakaakit ng pansin ng guro, na naghihikayat sa kanya na makahanap ng mga sagot sa maraming mga tanong na pamamaraan na may kaugnayan sa paglutas ng problemang isinasaalang-alang. Ang pag-aaral ng maraming isyu ng programa ay nagbibigay ng mahusay na mga pagkakataon upang lumikha ng isang mas holistic at kumpletong larawan na nauugnay sa pagsasaalang-alang ng isang partikular na gawain. Ang pamamaraan ng pananaliksik sa pagtuturo ng matematika ay natural na umaangkop sa pag-uuri ng mga pamamaraan ng pagtuturo depende sa likas na katangian ng mga aktibidad ng mga mag-aaral at ang antas ng kanilang kalayaan sa pag-iisip. Upang matagumpay na ayusin ang aktibidad ng pananaliksik ng isang mag-aaral, dapat na maunawaan at isaalang-alang ng guro ang kanyang mga personal na katangian at ang mga tampok na pamamaraan ng ganitong uri ng aktibidad, pati na rin ang antas ng kasanayan ng mag-aaral sa materyal ng kursong pinag-aralan. Imposibleng palakihin ang impluwensya ng imahinasyon, intuwisyon, inspirasyon, at kakayahan ng isang mag-aaral sa tagumpay ng kanyang mga aktibidad sa pananaliksik.

Ang mga anyo ng mga gawain sa pamamaraan ng pananaliksik ay maaaring magkakaiba. Ang mga ito ay maaaring mga gawain na maaaring mabilis na malutas sa klase at sa bahay, o mga gawain na nangangailangan ng isang buong aralin. Karamihan sa mga takdang-aralin sa pananaliksik ay dapat na maliliit na takdang-aralin sa paghahanap na nangangailangan ng pagkumpleto ng lahat o karamihan sa mga hakbang ng proseso ng pananaliksik. Ang kanilang kumpletong solusyon ay titiyakin na ang pamamaraan ng pananaliksik ay natutupad ang mga tungkulin nito. Ang mga yugto ng proseso ng pananaliksik ay ang mga sumusunod:

1 May layuning pagmamasid at paghahambing ng mga katotohanan at penomena.

Pagkilala sa mga hindi kilalang phenomena na dapat imbestigahan.

Paunang pagsusuri ng magagamit na impormasyon sa isyung isinasaalang-alang.

4. Proposisyon at pagbabalangkas ng isang hypothesis.

5. Pagbubuo ng isang plano sa pananaliksik.

Pagpapatupad ng plano, paglilinaw ng mga koneksyon ng hindi pangkaraniwang bagay na pinag-aaralan sa iba.

Pagbubuo ng mga bagong resulta, pattern, katangian, pagpapasiya ng lugar ng nahanap na solusyon sa nakatalagang pananaliksik sa sistema ng umiiral na kaalaman.

Sinusuri ang nahanap na solusyon.

Mga praktikal na konklusyon tungkol sa posibleng aplikasyon ng bagong kaalaman.

§ 7 . Kakayahang magsaliksik sa mga sistemamayroon tayong espesyal na kaalaman

Ang kasanayan ay ang sinasadyang paggamit ng kaalaman at kasanayan ng mag-aaral upang magsagawa ng mga kumplikadong aksyon sa iba't ibang mga kondisyon, ibig sabihin, upang malutas ang mga nauugnay na problema, dahil ang pagpapatupad ng bawat kumplikadong aksyon ay kumikilos para sa mag-aaral bilang solusyon sa problema.

Ang mga kasanayan sa pananaliksik ay maaaring nahahati sa pangkalahatan at tiyak. Ang pangkalahatang mga kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad na nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga problema sa mga parameter, ay kinabibilangan ng: ang kakayahang makita sa likod ng isang naibigay na equation na may isang parameter ng iba't ibang klase ng mga equation, na nailalarawan sa pamamagitan ng karaniwang pagkakaroon ng bilang at uri ng mga ugat; kakayahang gumamit ng analytical at graphic-analytical na pamamaraan.

Ang mga espesyal na kasanayan sa pananaliksik ay kinabibilangan ng mga kasanayan na nabuo at binuo sa proseso ng paglutas ng isang partikular na klase ng mga problema.

Kapag nilulutas ang mga linear equation na naglalaman ng isang parameter, ang mga sumusunod na espesyal na kasanayan ay nabuo:

§ Ang kakayahang tukuyin ang mga espesyal na halaga ng parameter kung saan ang isang ibinigay na linear equation ay mayroong:

Isang ugat;

Isang walang katapusang bilang ng mga ugat;

3) Walang mga ugat;

Kakayahang bigyang-kahulugan ang sagot sa wika ng orihinal na gawain. Ang mga espesyal na kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad na nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang parameter, ay kinabibilangan ng:

§ Ang kakayahang makita ang koepisyent ng hindi alam at ang libreng termino bilang isang function ng parameter;

§ Ang kakayahang tukuyin ang mga espesyal na halaga ng parameter kung saan ang isang naibigay na linear na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroon bilang isang solusyon:

1) Pagitan;

2) Walang mga solusyon;

§ Kakayahang bigyang-kahulugan ang sagot sa wika ng orihinal na gawain. Ang mga espesyal na kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad nito ay nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga quadratic equation na naglalaman ng isang parameter, kasama ang:

§ Ang kakayahang tukuyin ang isang espesyal na halaga ng isang parameter kung saan ang nangungunang koepisyent ay nagiging zero, ibig sabihin, ang equation ay nagiging linear at upang makahanap ng solusyon sa resultang equation para sa natukoy na mga espesyal na halaga ng parameter;

§ Kakayahang lutasin ang tanong ng presensya at bilang ng mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation depende sa tanda ng discriminant;

§ Kakayahang ipahayag ang mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng isang parameter (kung magagamit);

Kabilang sa mga espesyal na kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad nito ay nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga fractional-rational equation na naglalaman ng isang parameter na maaaring bawasan sa mga quadratic, kasama ang:

§ Kakayahang bawasan ang isang fractional rational equation na naglalaman ng isang parameter sa isang quadratic equation na naglalaman ng isang parameter.

Ang mga espesyal na kasanayan sa pananaliksik, ang pagbuo at pag-unlad na nangyayari sa proseso ng paglutas ng mga quadratic na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang parameter, ay kinabibilangan ng:

§ Ang kakayahang tukuyin ang isang espesyal na halaga ng isang parameter kung saan ang nangungunang koepisyent ay nagiging zero, iyon ay, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging linear at upang makahanap ng maraming mga solusyon sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay para sa mga espesyal na halaga ng parameter;

§ Kakayahang ipahayag ang hanay ng mga solusyon sa isang quadratic inequality sa pamamagitan ng isang parameter.

Nakalista sa ibaba ang mga kasanayang pang-edukasyon na isinasalin sa pagtuturo at pananaliksik, pati na rin ang mga kasanayan sa pananaliksik.

6−7 baitang:

- mabilis na gumamit ng lumang kaalaman sa sitwasyon ng pagkuha ng mga bago;

- malayang ilipat ang isang kumplikadong mga aksyon sa pag-iisip mula sa isang materyal patungo sa isa pa, mula sa isang paksa patungo sa isa pa;

ipamahagi ang nakuha na kaalaman sa isang malaking hanay ng mga bagay;

pagsamahin ang proseso ng "pagbagsak" at "paglalahad" ng kaalaman;

sadyang ibuod ang mga ideya ng teksto sa pamamagitan ng pagbibigay-diin sa mga pangunahing kaisipan sa mga bahagi at bahagi nito;

sistematisahin at pag-uri-uriin ang impormasyon;

— ihambing ang impormasyon sa mga sistema ng mga katangian, na nagbibigay-diin sa pagkakatulad at pagkakaiba;

- maiugnay ang simbolikong wika sa nakasulat at pasalitang pananalita;

— pag-aralan at magplano ng mga pamamaraan para sa hinaharap na gawain;

"ikonekta" nang mabilis at malaya ang mga bahagi ng bagong kaalaman;

maipahayag nang maikli ang mga pangunahing kaisipan at katotohanan ng teksto;

- makakuha ng bagong kaalaman sa pamamagitan ng paglipat mula sa kaalamang bumubuo ng sistema patungo sa tiyak sa tulong ng mga diagram, talahanayan, tala, atbp.;

gumamit ng iba't ibang anyo ng pag-record sa panahon ng mahabang proseso ng pakikinig;

pumili ng pinakamainam na solusyon;

patunayan o pabulaanan gamit ang magkakaugnay na pamamaraan;

- gumamit ng iba't ibang uri ng pagsusuri at synthesis;

- isaalang-alang ang problema mula sa iba't ibang mga punto ng view;

— magpahayag ng paghatol sa anyo ng isang algorithm ng mga kaisipan.

Ang edukasyon sa matematika sa mga proseso ng pagbuo ng pag-iisip o pag-unlad ng kaisipan ng mga mag-aaral ay dapat at binibigyan ng isang espesyal na lugar, dahil ang paraan ng pagtuturo ng matematika ay pinaka-epektibong nakakaimpluwensya sa marami sa mga pangunahing sangkap ng holistic na personalidad at, higit sa lahat, pag-iisip.

Kaya, ang espesyal na pansin ay binabayaran sa pag-unlad ng pag-iisip ng mag-aaral, dahil tiyak na ito ang konektado sa lahat ng iba pang mga pag-andar ng kaisipan: imahinasyon, kakayahang umangkop ng isip, lawak at lalim ng pag-iisip, atbp. Tandaan natin na, kapag isinasaalang-alang ang pag-unlad ng pag-iisip sa konteksto ng pag-aaral na nakasentro sa mag-aaral, dapat tandaan na ang isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapatupad ng naturang pag-unlad ay ang indibidwalisasyon ng pag-aaral. Ito ay nagsisiguro na ang mga katangian ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral ng iba't ibang kategorya ay isinasaalang-alang.

Ang landas sa pagkamalikhain ay indibidwal. Kasabay nito, ang lahat ng mga mag-aaral sa proseso ng pag-aaral ng matematika ay dapat madama ang pagiging malikhain nito, maging pamilyar sa proseso ng pag-aaral ng matematika na may ilang mga kasanayan sa malikhaing aktibidad na kakailanganin nila sa kanilang hinaharap na buhay at mga aktibidad. Upang malutas ang kumplikadong problemang ito, ang pagtuturo ng matematika ay dapat na nakabalangkas upang ang mag-aaral ay madalas na naghahanap ng mga bagong kumbinasyon, nagbabago ng mga bagay, phenomena, proseso ng realidad, at naghahanap ng hindi kilalang koneksyon sa pagitan ng mga bagay.

Ang isang mahusay na paraan upang ipakilala ang mga mag-aaral sa malikhaing aktibidad kapag nagtuturo ng matematika ay independiyenteng gawain sa lahat ng anyo at pagpapakita nito. Napakapangunahin sa bagay na ito ay ang pahayag ng Academician P. L. Kapitsa na ang kalayaan ay isa sa mga pinakapangunahing katangian ng isang malikhaing personalidad, dahil ang paglilinang ng mga malikhaing kakayahan sa isang tao ay batay sa pag-unlad ng malayang pag-iisip.

Ang antas ng paghahanda ng mga mag-aaral at mga grupo ng pag-aaral para sa independiyenteng aktibidad ng malikhaing ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagsagot sa mga sumusunod na tanong:

Gaano kabisang magagamit ng mga mag-aaral ang mga tala, sangguniang tala, at magbasa ng mga diagram at iba't ibang uri ng mga talahanayan?

Alam ba ng mga mag-aaral kung paano obhetibong suriin ang mga iminungkahing ideya kapag nilulutas ng guro ang isang problemang problema, at isinasaalang-alang ang posibilidad ng kanilang aplikasyon? 3) Gaano kabilis lumipat ang mga mag-aaral mula sa isang paraan ng paglutas ng problema patungo sa isa pa? 4) Suriin ang pagiging epektibo ng pag-orient sa mga mag-aaral sa panahon ng aralin sa pag-aayos ng sarili ng malayang gawain; 5) Tuklasin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magmodelo at malutas ang mga problema nang may kakayahang umangkop.

Kabanata 2. Pagsusuri ng pamamaraan ng paksang "Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter" at pagbuo ng isang elective na kurso "Mga parisukat na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter"

§ 1. Tungkulin At lugar parametric mga equation At hindi pagkakapantay-pantay sa pagbuo pananaliksik kasanayanika-aaral

Sa kabila ng katotohanan na ang kurikulum sa matematika ng sekondaryang paaralan ay hindi tahasang binanggit ang mga problema sa mga parameter, magiging isang pagkakamali na sabihin na ang isyu ng paglutas ng mga problema sa mga parameter ay hindi natugunan sa anumang paraan sa kursong matematika ng paaralan. Sapat na upang alalahanin ang mga equation ng paaralan: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, kung saan ang a, b, c, k ay hindi hihigit sa mga parameter. Ngunit sa loob ng balangkas ng kurso sa paaralan, ang pansin ay hindi nakatuon sa gayong konsepto, ang parameter, kung paano ito naiiba sa hindi alam.

Ipinapakita ng karanasan na ang mga problema sa mga parameter ay ang pinaka-kumplikadong seksyon ng elementarya na matematika sa lohikal at teknikal na mga termino, bagaman mula sa isang pormal na pananaw ang nilalaman ng matematika ng mga naturang problema ay hindi lalampas sa mga limitasyon ng mga programa. Ito ay sanhi ng iba't ibang mga punto ng view sa parameter. Sa isang banda, ang isang parameter ay maaaring ituring bilang isang variable, na kung saan ay itinuturing na isang pare-pareho ang halaga kapag nilutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay; sa kabilang banda, ang isang parameter ay isang dami na ang numerical na halaga ay hindi ibinigay, ngunit dapat ituring na kilala, at ang parameter ay maaaring kumuha ng mga di-makatwirang halaga, ibig sabihin, ang parameter, bilang isang nakapirming ngunit hindi kilalang numero, ay may dalawahang katangian. Una, pinahihintulutan ng ipinapalagay na pagkakakilala ang parameter na ituring bilang isang numero, at pangalawa, ang antas ng kalayaan ay nalilimitahan ng hindi alam nito.

Sa bawat isa sa mga paglalarawan ng likas na katangian ng mga parameter, mayroong kawalan ng katiyakan - sa anong mga yugto ng solusyon ang parameter ay maaaring ituring bilang isang pare-pareho at kapag ito ay gumaganap ng papel ng isang variable. Ang lahat ng mga salungat na katangian ng parameter ay maaaring maging sanhi ng isang tiyak na sikolohikal na hadlang sa mga mag-aaral sa pinakadulo simula ng kanilang kakilala.

Sa pagsasaalang-alang na ito, sa paunang yugto ng pagkilala sa parameter, napaka-kapaki-pakinabang na gumamit ng isang visual at graphical na interpretasyon ng mga resulta na nakuha nang madalas hangga't maaari. Hindi lamang nito pinapayagan ang mga mag-aaral na malampasan ang natural na kawalan ng katiyakan ng parameter, ngunit binibigyan din nito ang guro ng pagkakataon, sa parallel, bilang propaedeutics, upang turuan ang mga mag-aaral na gumamit ng mga graphical na pamamaraan ng patunay kapag nilutas ang mga problema. Hindi rin natin dapat kalimutan na ang paggamit ng hindi bababa sa eskematiko na mga graphic na paglalarawan sa ilang mga kaso ay nakakatulong upang matukoy ang direksyon ng pananaliksik, at kung minsan ay nagbibigay-daan sa atin na agad na piliin ang susi sa paglutas ng isang problema. Sa katunayan, para sa ilang uri ng mga problema, kahit na ang isang primitive na pagguhit, malayo sa isang tunay na graph, ay ginagawang posible upang maiwasan ang iba't ibang uri ng mga error at makakuha ng sagot sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mas simpleng paraan.

Ang paglutas ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan ay ang pinakamahirap na bahagi ng mga aktibidad ng mga mag-aaral kapag nag-aaral ng matematika at ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang paglutas ng mga problema ay nangangailangan ng medyo mataas na antas ng pag-unlad ng katalinuhan ng pinakamataas na antas, i.e. teoretikal, pormal at mapanimdim na pag-iisip, at tulad nito pag-iisip, gaya ng nabanggit na, na umuunlad pa rin sa panahon ng pagdadalaga.

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng estado

Sekondaryang pangkalahatang edukasyon sa rehiyon ng Samara

School No. 2 na pinangalanan. V. Maskina riles Art. Klyavlino

Klyavlinsky munisipal na distrito

Rehiyon ng Samara

«Mga Equation

At

hindi pagkakapantay-pantay

may mga parameter"

pagtuturo

Klyavlino

Pagtuturo

"Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter" para sa mga mag-aaral sa baitang 10–11

ang manwal na ito ay isang appendix sa programa ng elective course na "Equation and inequalities with parameters", na pumasa sa isang panlabas na pagsusuri (ang siyentipiko at methodological expert council ng Ministri ng Edukasyon at Agham ng rehiyon ng Samara na may petsang Disyembre 19, 2008 ay inirerekomenda para sa gamitin sa mga institusyong pang-edukasyon ng rehiyon ng Samara)

Mga may-akda

Romadanova Irina Vladimirovna

guro ng matematika sa Klyavlinskaya Secondary Educational Institution

School No. 2 na pinangalanan. V. Maskina, distrito ng Klyavlinsky, rehiyon ng Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Panimula……………………………………………………………3-4

Mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter……………..4-7

Mga parisukat na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter……………7-9

Fractional-rational equation na may mga parameter……………..10-11

Mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter……11-13

Trigonometric equation at inequalities na may mga parameter.14-15

Exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter………16-17

Logarithmic equation at inequalities na may mga parameter......16-18

Mga layunin ng Pinag-isang Estado ng Pagsusulit………………………………………………………………...18-20

Mga gawain para sa malayang gawain……………………………………21-28

Panimula.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter.

Kung sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay ang ilang mga coefficient ay hindi binibigyan ng mga partikular na halaga ng numero, ngunit itinalaga ng mga titik, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na mga parameter, at ang equation o hindi pagkakapantay-pantay mismo parametric.

Upang malutas ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter kailangan mong:

Pumili espesyal na kahulugan- ito ang halaga ng parameter kung saan o kapag dumadaan kung saan nagbabago ang solusyon ng equation o hindi pagkakapantay-pantay.

Tukuyin mga wastong halaga– ito ang mga halaga ng parameter kung saan may katuturan ang equation o hindi pagkakapantay-pantay.

Ang paglutas ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter ay nangangahulugang:

1) matukoy kung anong mga halaga ng parameter ang umiiral na mga solusyon;

2) para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, hanapin ang kaukulang hanay ng mga solusyon.

Maaari mong lutasin ang isang equation na may isang parameter gamit ang mga sumusunod na pamamaraan: analytical o graphical.

Paraan ng analitikal nagsasangkot ng gawain ng pag-aaral ng isang equation sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilang mga kaso, wala sa mga ito ang maaaring makaligtaan.

Ang paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ng bawat uri gamit ang isang analytical na pamamaraan ay nagsasangkot ng isang detalyadong pagsusuri ng sitwasyon at pare-parehong pananaliksik, kung saan ang pangangailangan ay lumitaw. "maingat sa paghawak" may parameter.

Paraan ng graphic nagsasangkot ng pagbuo ng isang graph ng equation, kung saan matutukoy ng isa kung paano nakakaapekto ang pagbabago sa parameter sa solusyon ng equation, ayon sa pagkakabanggit. Ang graph kung minsan ay nagbibigay-daan sa iyo na analytically bumalangkas ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa paglutas ng problema. Ang pamamaraan ng graphical na solusyon ay lalong epektibo kapag kailangan mong itatag kung gaano karaming mga ugat ang mayroon ang isang equation na depende sa isang parameter at may walang alinlangan na kalamangan na makita ito nang malinaw.

§ 1. Mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Linear equation A x = b , nakasulat sa pangkalahatang anyo, ay maaaring ituring bilang isang equation na may mga parameter, kung saan x – hindi kilala , a , b - mga pagpipilian. Para sa equation na ito, ang espesyal o control value ng parameter ay ang isa kung saan nagiging zero ang coefficient ng hindi alam.

Kapag nilulutas ang isang linear equation na may isang parameter, ang mga kaso ay isinasaalang-alang kapag ang parameter ay katumbas ng espesyal na halaga nito at naiiba mula dito.

Espesyal na halaga ng parameter a ay ang halaga A = 0.

b = 0 ay isang espesyal na halaga ng parameter b .

Sa b ¹ 0 ang equation ay walang mga solusyon.

Sa b = 0 ang equation ay kukuha ng anyo: 0x = 0. Ang solusyon sa equation na ito ay anumang tunay na numero.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ah > b At palakol < b (a ≠ 0) ay tinatawag na linear inequalities. Set ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ah >b– pagitan

(; +), Kung a > 0 , At (-;) , Kung A< 0 . Katulad din para sa hindi pagkakapantay-pantay

Oh< b hanay ng mga solusyon - pagitan(-;), Kung a > 0, At (; +), Kung A< 0.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation palakol = 5

Solusyon: Ito ay isang linear equation.

Kung a = 0, pagkatapos ay ang equation 0 × x = 5 walang solusyon.

Kung A¹ 0, x =- solusyon ng equation.

Sagot: sa A¹ 0, x=

para sa a = 0 walang solusyon.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation palakol – 6 = 2a – 3x.

Solusyon: Ito ay isang linear equation, palakol – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Muling pagsusulat ng equation bilang (a+3)x = 2(a+3), isaalang-alang ang dalawang kaso:

a= -3 At A¹ -3.

Kung a= -3, pagkatapos ay anumang tunay na numero X ay ang ugat ng equation (1). Kung A¹ -3 , ang equation (1) ay may iisang ugat x = 2.

Sagot: Sa a = -3, x R ; sa A ¹ -3, x = 2.

Halimbawa 3. Sa anong mga halaga ng parameter A kabilang sa mga ugat ng equation

2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 may mga ugat pa 1 ?

Solusyon: Lutasin natin ang equation 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0– linear na equation

2(a - 2) x = a 2 – 4a +4

2(a - 2) x = (a – 2) 2

Sa a = 2 paglutas ng equation 0x = 0 ay anumang numero, kabilang ang isang mas mataas sa 1.

Sa A¹ 2 x =
. Sa pamamagitan ng kondisyon x > 1, yan ay
>1, at >4.

Sagot: Sa A (2) U (4;∞).

Halimbawa 4 . Para sa bawat halaga ng parameter A hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation ah=8.

Solusyon. palakol = 8– linear na equation.

y = a– pamilya ng mga pahalang na linya;

y = - Ang graph ay isang hyperbola. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na ito.

Sagot: Kung a =0, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon. Kung isang ≠ 0, kung gayon ang equation ay may isang solusyon.

Halimbawa 5 . Gamit ang mga graph, alamin kung gaano karaming mga ugat mayroon ang equation:

|x| = ah – 1.

y =| x | ,

y = ah – 1– ang graph ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (0;-1).

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function na ito.

Sagot: Kailan |a|>1- isang ugat

sa | isang|≤1 – walang ugat ang equation.

Halimbawa 6 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay palakol + 4 > 2x + a 2

Solusyon : palakol + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >A 2 – 4. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso.

Sagot. x > a + 2 sa a > 2; X<а + 2, sa A< 2; sa a=2 walang solusyon.

§ 2. Quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay

Quadratic equation ay isang equation ng form Oh ² + b x + c = 0 , saan a≠ 0,

A, b , Kasama - mga pagpipilian.

Upang malutas ang mga quadratic equation na may isang parameter, maaari mong gamitin ang mga karaniwang pamamaraan ng solusyon gamit ang mga sumusunod na formula:

1 ) discriminant ng isang quadratic equation: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Quadratic inequalities ay tinatawag

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (3) ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (1) at ang equation , a X 2 + b x + c = 0. Ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4) ay matatagpuan nang katulad.

Kung ang discriminant ng isang quadratic trinomial a X 2 + b x + c ay mas mababa sa zero, pagkatapos para sa isang > 0 ang trinomial ay positibo para sa lahat ng x R.

Kung ang isang quadratic trinomial ay may mga ugat (x 1 < х 2 ), pagkatapos para sa isang > 0 ito ay positibo sa set(-; x 2 )
(X 2; +) at negatibo sa pagitan

(x 1; x 2 ). Kung ang< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) at negatibo para sa lahat ng x (-; x 1 )
(X 2; +).

Halimbawa 1. Lutasin ang equation ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Ito ay isang quadratic equation

Solusyon: Espesyal na kahulugan a = 0.

Sa a = 0 nakakakuha tayo ng linear equation 2x – 4 = 0. Ito ay may iisang ugat x = 2.

Sa isang ≠ 0. Hanapin natin ang discriminant.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Kung a = -1, yun D = 0 - isang ugat.

Hanapin natin ang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, yan ay x² -4x + 4 = 0, hanapin natin yan x=2.

Kung isang ≠ - 1, Iyon D >0 . Gamit ang root formula na nakukuha natin:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Sagot: Sa a=0 at a= -1 ang equation ay may isang ugat x = 2; sa a ≠ 0 at

A ≠ - 1 equation ay may dalawang ugatX 1 =2, x 2 =-.

Halimbawa 2. Hanapin ang bilang ng mga ugat ng equation na ito x²-2x-8-a=0 depende sa mga halaga ng parameter A.

Solusyon. Isulat muli natin ang equation na ito sa anyo x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- ang graph ay isang parabola;

y =a- isang pamilya ng mga pahalang na linya.

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function.

Sagot: Kailan A<-9 , ang equation ay walang mga solusyon; kapag a=-9, ang equation ay may isang solusyon; sa a>-9, ang equation ay may dalawang solusyon.

Halimbawa 3. sa ano A hindi pagkakapantay-pantay (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 humahawak para sa lahat ng mga halaga ng x?

Solusyon. Ang isang quadratic trinomial ay positibo para sa lahat ng mga halaga ng x kung

a-3 > 0 at D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, kung saan ito sumusunod naa > 6 .

Sagot.a > 6

§ 3. Fractional rational equation na may parameter,

mababawasan sa linear

Ang proseso ng paglutas ng mga fractional equation ay isinasagawa ayon sa karaniwang pamamaraan: ang fraction ay pinalitan ng isang integer sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng karaniwang denominator ng kaliwa at kanang panig nito. Pagkatapos kung saan ang buong equation ay malulutas, hindi kasama ang mga extraneous na ugat, iyon ay, mga numero na nagiging zero ang denominator.

Sa kaso ng mga equation na may parameter, ang problemang ito ay mas kumplikado. Dito, upang "tanggalin" ang mga extraneous na ugat, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng parameter na nagiging zero ang karaniwang denominator, iyon ay, upang malutas ang kaukulang mga equation para sa parameter.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation
= 0

Solusyon: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Sagot: Sa a ≠ - 2, x=a

Sa a = -2 walang mga ugat.

Halimbawa 2 . Lutasin ang equation
-
=
(1)

Ito ay isang fractional rational equation

Solusyon: Ibig sabihin a = 0 ay espesyal. Sa a = 0 ang equation ay walang kahulugan at samakatuwid ay walang mga ugat. Kung a ≠ 0, pagkatapos pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo ang equation ay kukuha ng anyo: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- quadratic equation.

Hanapin natin ang discriminant = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, hanapin ang mga ugat ng equationX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

Kapag lumipat mula sa equation (1) hanggang sa equation (2), lumawak ang domain ng kahulugan ng equation (1), na maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Samakatuwid, kailangan ang pagpapatunay.

Pagsusulit. Ibukod natin sa mga nahanap na halaga X ang mga kung saan

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

Kung X 1 +1=0, yan ay (a+1) + 1= 0, Iyon a= -2. kaya,

sa a= -2 , X 1 -

Kung X 1 +2=0, yan ay (a+1)+2=0, yun a = - 3. Kaya, kapag a = - 3, x 1 - extraneous na ugat ng equation. (1).

Kung X 2 +1=0, yan ay (a – 3) + 1= 0, Iyon a = 2. Kaya, kapag a = 2 x 2 - extraneous root ng equation (1).

Kung X 2 +2=0, yan ay ( a – 3) + 2 = 0, yun a=1. Kaya, kapag a = 1,

X 2 - extraneous na ugat ng equation (1).

Alinsunod dito, kapag a = - 3 nakukuha namin x = - 3 – 3 = -6;

sa a = - 2 x = -2 – 3= - 5;

sa a = 1 x =1 + 1= 2;

sa a = 2 x = 2+1 = 3.

Maaari mong isulat ang sagot.

Sagot: 1) kung a= -3, yun x= -6; 2) kung a= -2, Iyon x= -5; 3) kung a= 0, pagkatapos ay walang mga ugat; 4) kung a= 1, Iyon x=2; 5) kung a=2, Iyon x=3; 6) kung a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, pagkatapos x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng root sign ay tinatawag hindi makatwiran.

Ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay bumababa sa paglipat mula sa isang hindi makatwiran patungo sa isang makatuwirang equation sa pamamagitan ng pagpapalawak ng magkabilang panig ng equation o pagpapalit ng isang variable. Kapag ang magkabilang panig ng equation ay itinaas sa pantay na kapangyarihan, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat. Samakatuwid, kapag ginagamit ang pamamaraang ito, dapat mong suriin ang lahat ng mga ugat na natagpuan sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation, na isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa mga halaga ng parameter.

Equation ng form
=g (x) ay katumbas ng sistema

Ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≥ 0 ay sumusunod mula sa equation na f (x) = g 2 (x).

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, gagamitin namin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo:

≤ g(x)


≥g(x)

Halimbawa 1. Lutasin ang equation
= x + 1 (3)

Ito ay isang hindi makatwirang equation

Solusyon: Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang arithmetic root, ang equation (3) ay katumbas ng system
.

Sa a = 2 ang unang equation ng system ay may anyo 0 x = 5, ibig sabihin, wala itong mga solusyon.

Sa a≠ 2 x=
. Alamin natin kung anong mga halagaA nahanap na halagaX natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantayx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

saan isang ≤ o a > 2.

Sagot: Sa a≤, a > 2 x=
, sa < а ≤ 2 ang equation ay walang mga solusyon.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation
= a (Appendix 4)

Solusyon. y =

y = a– isang pamilya ng mga pahalang na linya.

Bumuo tayo ng mga graph ng mga function.

Sagot: sa A<0 - walang mga solusyon;

sa A≥ 0 - isang solusyon.

Halimbawa 3 . Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay(a+1)
<1.

Solusyon. O.D.Z. x ≤ 2. Kung a+1 ≤0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga X. Kung a+1>0, Iyon

(a+1)
<1.

<

saan X (2-
2

Sagot. X (- ;2sa a (-;-1, X (2-
2

sa A (-1;+).

§ 5. Trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Narito ang mga formula para sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Kung >1, pagkatapos ay ang mga equation (1) at (2) ay walang mga solusyon.

tan x = a
x= arctan a + πn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, a R

Para sa bawat karaniwang hindi pagkakapantay-pantay ipinapahiwatig namin ang hanay ng mga solusyon:

1. kasalanan x > a
arcsin a + 2 πn Z,

sa a <-1, x R ; sa a ≥ 1, walang solusyon.

2. . kasalanan x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

para sa a≤-1, walang mga solusyon; para sa isang > 1,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn , n Z ,

sa A<-1, x R ; sa a ≥ 1 , walang mga solusyon.

4. kasi x arccos a+ 2 πnZ,

sa a≤-1 , walang solusyon; saa > 1, x R

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Halimbawa 1. Hanapin A, kung saan may solusyon ang equation na ito:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form

Saos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, paglutas nito bilang isang parisukat, nakukuha namin cosx = 5-A At cosx = -a-1.

Ang equation cosx = 5- A may ibinigay na mga solusyon -1≤ 5-A ≤1
4≤ A≤ 6, at Eq. cosx = - a-1 ibinigay -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Sagot. A -2; 0
4; 6

Halimbawa 2. sa ano bmayroong tulad na ang hindi pagkakapantay-pantay
+ b> 0 hold para sa lahat ng x ≠πn , n Z .

Solusyon. Ilagay natin A= 0. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa b >0. Ipakita natin ngayon na walang b ≤0 ang nakakatugon sa mga kondisyon ng problema. Sa katunayan, ito ay sapat na upang ilagay ang x = π /2, Kung A <0, и х = - π /2 sa A ≥0.

Sagot.b>0

§ 6. Exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay

1. Equation h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) sa h(x) > 0 ay katumbas ng isang koleksyon ng dalawang sistema
At

2. Sa espesyal na kaso (h (x)= a ) ang equation A f(x) = A g(x) sa A> 0, ay katumbas ng isang koleksyon ng dalawang sistema

At

3. Equation A f(x) = b , saan A > 0, a ≠1, b>0, katumbas ng equation

f (x )= log a b . Nangyayari A=1 ay isinasaalang-alang nang hiwalay.

Ang solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities ay batay sa power property. Hindi pagkakapantay-pantay ng anyof(a x ) > 0 gamit ang variable na pagbabagot= a x bumababa sa paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
at pagkatapos ay sa paglutas ng kaukulang simpleng exponential inequalities.

Kapag nilulutas ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang idagdag ang mga ugat ng kaukulang equation sa hanay ng mga solusyon sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Tulad ng sa paglutas ng mga equation sa lahat ng mga halimbawa na naglalaman ng expression A f (x), ipinapalagay namin A> 0. Kaso A= 1 ay isinasaalang-alang nang hiwalay.

Halimbawa 1 . sa ano A equation 8 x =
may positive roots lang?

Solusyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang exponential function na may base na mas malaki kaysa sa isa, mayroon tayong x>0
8 X >1

>1

>0, saan galinga (1,5;4).

Sagot. a (1,5;4).

Halimbawa 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay a 2 ∙2 x > a

Solusyon. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso:

1. A< 0 . Dahil ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo at ang kanang bahagi ay negatibo, ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa anumang x R.

2. a=0. Walang mga solusyon.

3. A > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > -log 2 a

Sagot. X R sa A > 0; walang solusyon para sa a =0; X (- log 2 a; +) saa> 0 .

§ 7. Logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay

Maglahad tayo ng ilang katumbas na ginamit sa paglutas logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

1. Ang equation log f (x) g (x) = log f (x) h (x) ay katumbas ng system

Sa partikular, kung A >0, A≠1, pagkatapos

log a g(x)=log a h(x)

2. Ang equation log a g(x)=b
g(x)=a b ( A >0, isang ≠ 1, g(x) >0).

3. Hindi pagkakapantay-pantay log f ( x ) g (x) ≤ log f ( x ) h(x) ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:
At

Kung ang, b ay mga numero, a >0, a ≠1, pagkatapos

log a f(x) ≤ b

log a f(x)>b

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

Solusyon. Hanapin natin ang ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Ibahin ang anyo ng equation

log x – 2 = 4 – log a x
log x + log a x– 6 = 0, kung saan log a x = - 3

x = A-3 at log a x = 2
x = A 2. Kondisyon x = A 4
A – 3 = A 4 o A 2 = A 4 ay hindi ginaganap sa ODZ.

Sagot: x = A-3, x = A 2 sa A (0; 1)
(1; ).

Halimbawa 2 . Hanapin ang pinakamalaking halaga A, kung saan ang equation

2 log -
+ a = 0 ay may mga solusyon.

Solusyon. Gagawa tayo ng kapalit
= tat nakakakuha tayo ng quadratic equation 2t 2 – t + a = 0. Paglutas, nahanap naminD = 1-8 a . Isaalang-alang natin D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

Sa A = may ugat ang quadratic equationt= >0.

Sagot. A =

Halimbawa 3 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantaylog(x 2 – 2 x + a ) > - 3

Solusyon. Solusyonan natin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Mga ugat ng square trinomals x 1,2 = 1 ±
kanilang 3,4 = 1 ±
.

Mga halaga ng kritikal na parameter: A= 1 at A= 9.

Hayaang X 1 at X 2 ang mga hanay ng mga solusyon sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon

X 1
X 2 = X – solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Sa 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), saA> 1 X 1 = (-;+).

Sa 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), saA≥9 X 2 – walang solusyon.

Isaalang-alang natin ang tatlong kaso:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 X – walang solusyon.

Mga layunin ng Pinag-isang State Exam

Mataas na antas C1, C2

Halimbawa 1. Hanapin ang lahat ng mga halaga R, kung saan ang equation

R ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 ay may hindi bababa sa isang ugat.

Solusyon. Ibahin natin ang equation

R ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx =t, t
,t 0.

- p+2t+ p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Hayaan f(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Hanapin natin ang hanay ng mga halaga ng functionf(x) sa


. sa / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

Sa t
, E(f) =
,

Sa t
, E(f) =
, ibig sabihin, kapag t


, E(f) =
.

Sa Equation 3t 2 – 2 t 3 = p (kaya ang ibinigay) ay may kahit isang ugat na kailangan at sapatp E(f), yan ay p
.

Sagot.
.

Halimbawa 2.

Sa anong mga halaga ng parameterA ang equation log
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 ay may eksaktong isang ugat?

Solusyon. Ibahin natin ang equation sa isang katumbas nito:

4x 2 – 4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.

Tandaan na kung ang isang tiyak na numero x ay ang ugat ng nagresultang equation, kung gayon ang numero - x ay ang ugat din ng equation na ito. Sa kondisyon, hindi ito magagawa, kaya ang tanging ugat ay ang numero 0.

Hahanapin natin A.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Pagsusulit.

1) a 1 = 1. Pagkatapos ang equation ay ganito ang hitsura:log
(4 x 2 +4) =2. Solusyonan natin ito

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 ang tanging ugat.

2) a 2 = 3. Ang equation ay mukhang:log
(4 x 2 +4) =2
x = 0 ang tanging ugat.

Sagot. 1; 3

Mataas na antas C4, C5

Halimbawa 3. Hanapin ang lahat ng mga halaga R, kung saan ang equation

x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 ay may mga integer na ugat at ang mga ugat na ito ay mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Solusyon. Hayaan ang x 1, X 2 – integer na mga ugat ng equation x 2 – (R + 3)x + 1= 0. Pagkatapos, ayon sa pormula ni Vieta, ang mga equalities x 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Produkto ng dalawang integer x 1 , X 2 maaaring katumbas ng isa lamang sa dalawang kaso: x 1 = x 2 = 1 o x 1 = x 2 = - 1. Kung x 1 = x 2 = 1, pagkataposR + 3 = 1+1 = 2
R = - 1; kung x 1 = x 2 = - 1, pagkataposR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Suriin natin kung ang mga ugat ng equation x 2 – (R + 3)x + 1= 0 sa mga inilarawang kaso ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Para sa okasyonR = - 1, x 1 = x 2 = 1 mayroon kami

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – totoo; para sa okasyon R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 mayroon tayong (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – tama. Kaya, ang mga kondisyon ng problema ay nasiyahan lamang R= - 1 at R = - 5.

Sagot.R 1 = - 1 at R 2 = - 5.

Halimbawa 4. Hanapin ang lahat ng positibong halaga ng parameter A, kung saan ang numero 1 ay kabilang sa domain ng kahulugan ng function

sa = (A
- A
).

klase: 11

Mga layunin:

Pang-edukasyon:

• i-systematize at gawing pangkalahatan ang kaalaman tungkol sa paglutas ng equation na may parameter;
• ipakita ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation.

Pag-unlad: palawakin at palalimin ang pag-aaral ng iba't ibang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may parameter.

Pang-edukasyon: ipakita ang kahalagahan ng dependence ng sagot sa isang problema sa isang parameter sa napiling halaga ng parameter.

Mga pamamaraan ng pagtuturo na ginamit - ang kanilang aplikasyon.

• Nagpapaliwanag at naglalarawan.
• Paglalahat, pagkakatulad at paghahambing.
• UDE – paglikha ng mga pangunahing gawain, pagkakatulad ng mga larawan sa isang eroplano.
• Pinagsama - algebra mapping at geometric na interpretasyon, mga slide.

Pagbuo ng pangkalahatang mga kasanayan sa edukasyon:

• Pagkilala sa mahahalagang katangian ng mga bagay na pinag-aaralan;
• Pag-unlad ng mga praktikal na kasanayan;
• Mga pamamaraan na ginamit upang makipagtulungan sa madla: magtrabaho sa mode ng pag-uusap;
• Sikolohikal na aspeto ng aralin;
• Lumilikha ng komportableng kapaligiran sa pagtatrabaho;
• Paghihikayat ng aktibong diyalogo.

Sa panahon ng mga klase

Panimula. Pambungad na talumpati ng guro.

Ang mga equation ay naging karaniwang bahagi ng USE entrance exam na mga opsyon.

Ang mga equation na may isang parameter ay nagdudulot ng malubhang lohikal na paghihirap.
Ang bawat naturang equation ay mahalagang isang maikling bersyon ng isang pamilya ng mga equation. Malinaw na imposibleng isulat ang bawat equation mula sa isang walang katapusang pamilya, ngunit gayunpaman, ang bawat isa sa kanila ay dapat malutas. Samakatuwid, mayroong pangangailangan na isaalang-alang ang sistema ng mga konsepto at maghanap ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may mga parameter (linear, rational, atbp.)

Hayaang ibigay ang equation na F(x;a) = 0. Kung bibigyan natin ang parameter ng ilang nakapirming halaga, kung gayon ang equation na ito ay maaaring ituring bilang isang "ordinaryong" equation na may isang variable.

Itakda natin ang gawain: Alamin kung ano ang maaaring sitwasyon sa napiling halaga ng parameter?

Paggawa kasama ang mga mag-aaral sa isang dialogue mode.

Ibalangkas natin ang mga pangunahing problema:

1. Itatag ang mga pangunahing konsepto ng mga equation na may mga parameter.
2. Para sa bawat uri ng mga equation sa isang kurso sa matematika ng paaralan, magtatag ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga katumbas na equation na may mga parameter - pareho para sa isa at dalawang parameter.
3. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-aaral ng mga equation.
4. Ano ang pagpapasiya ng bilang ng mga ugat ng mga equation.
5. Paghahanap ng karaniwang ugat ng dalawang equation - ano ang kakanyahan nito?
6. Mga geometric na interpretasyon.

akoyugto - paglutas ng unang problema.

Pakikipagtulungan sa mga mag-aaral nang interactive.

Anong mga tanong ang itatanong mo sa iyong sarili upang magtatag ng mga pangunahing konsepto?

Ano ang problema sa isang parameter? Ano ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng parameter? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng problema sa isang parameter? Ilang uri ng problema sa mga parameter ang mayroon? Ano ang kailangang isaalang-alang kapag nilutas ang mga ito?

Lumilitaw ang slide at buod - Ang isang gawain na may isang parameter ay isang hanay ng mga gawain, ang bawat isa ay nakuha mula sa isang kundisyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang tiyak na halaga ng parameter. - Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng parameter ay ang hanay ng mga halaga ng parameter, ang pagpapalit nito ay nagreresulta sa isang gawain na may katuturan. - Ang paglutas ng problema sa isang parameter ay nangangahulugan, para sa anumang tinatanggap na halaga ng parameter, paghahanap ng hanay ng lahat ng mga solusyon sa isang ibinigay na problema. - Isasaalang-alang namin ang mga problema sa dalawang pangunahing uri ng mga parameter. Sa mga problema ng uri I, kinakailangan upang malutas ang problema para sa bawat halaga ng parameter. Upang gawin ito kailangan mo: hatiin ang ODZ ng parameter sa mga bahagi, sa bawat isa kung saan malulutas ang problema sa parehong paraan; lutasin ang problema sa bawat isa sa mga resultang bahagi. Sa mga problema ng uri II, kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan natutugunan ang ilang partikular na kundisyon. - Ang sagot sa isang problema sa isang parameter ay isang paglalarawan ng hanay ng mga sagot sa mga problema na nakuha para sa mga tiyak na halaga ng parameter.

Halimbawa.

1) Lutasin ang equation a (a – 1) = a – 1.

Solusyon. Mayroon kaming bago sa amin ng isang linear equation na may katuturan para sa lahat ng pinahihintulutang halaga ng a. Lutasin natin ito "gaya ng dati": hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng coefficient ng hindi alam. Ngunit laging posible ba ang paghahati?

Hindi mo maaaring hatiin sa zero. Kakailanganin nating isaalang-alang nang hiwalay ang kaso kapag ang coefficient ng hindi alam ay katumbas ng o. Nakukuha namin:

Sagot: 1) kung a 0, a 1, kung gayon x = ;

2) kung a = 1, kung gayon ang x ay anumang numero;

3) kung a = 0, kung gayon walang mga ugat.

2) Lutasin ang equation (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0.

Solusyon. Isaalang-alang natin ang dalawang kaso:

Isaalang-alang ang discriminant: D = (2a – 1) 2 – (a – 1)(4a + 3) = - 3a + 4.

Kung a, kung gayon x 1.2 = .

Sagot: 1) kung a > , kung gayon walang mga ugat;

2) kung a = 1, kung gayon x = - 3.5;

3) kung a at a1, kung gayon x 1.2 = .

IIyugto - paglutas ng pangalawang problema.

Isaalang-alang natin ang isang paraan upang pag-uri-uriin ang mga bahagyang equation gamit ang isang modelo ng pangkalahatang solusyon.
May lalabas na slide.

Halimbawa. Sa isang rational equation function f 1 (a) = ay isang pangkalahatang solusyon para sa mga halaga ng parameter kung saan . Dahil ang

pangkalahatang solusyon ng equation sa A f1 = ).

Ang function na f 2 (a) = ay isang pangkalahatang solusyon sa equation sa set A f2 = .
Bumuo tayo ng isang modelo ng mga pangkalahatang solusyon sa sumusunod na anyo

Sa modelo, itinatampok namin ang lahat ng uri ng mga partial equation: ; ; .

Kaya, ang mga pangunahing konsepto ng mga equation na may mga parameter ay isinasaalang-alang gamit ang mga halimbawa: ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga; domain; pangkalahatang solusyon; kontrolin ang mga halaga ng mga parameter; mga uri ng partial equation.

Batay sa ipinakilalang mga parameter, tinukoy namin ang isang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng anumang equation F(a;x) = 0 na may parameter a (para sa kaso ng dalawang parameter ang scheme ay magkatulad):

• ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng parameter at ang saklaw ng kahulugan ay itinatag;
• natutukoy ang mga halaga ng kontrol ng parameter, na naghahati sa rehiyon ng mga pinahihintulutang halaga ng parameter sa mga rehiyon ng pagkakapareho ng mga bahagyang equation;
• para sa mga halaga ng kontrol ng parameter, ang kaukulang mga partial equation ay pinag-aralan nang hiwalay;
• pangkalahatang solusyon x = f 1 (a), ..., f k (a) ng equation F(a;x) = 0 ay matatagpuan sa kaukulang set A f1, ......, A fk ng mga halaga ng parameter ;
• isang modelo ng mga pangkalahatang solusyon at mga halaga ng parameter ng kontrol ay pinagsama-sama sa sumusunod na form (sa slide);

• kinikilala ng modelo ang mga agwat ng mga halaga ng parameter na may magkaparehong mga solusyon (mga lugar ng pagkakapareho);
• para sa mga halaga ng kontrol ng parameter at mga napiling lugar ng pagkakapareho, ang mga katangian ng lahat ng mga uri ng mga partikular na solusyon ay naitala.

Stage III - mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-aaral ng mga equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa uri 2 na mga parameter.

Lalo na karaniwan ang mga problemang kinasasangkutan ng lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag nilulutas ang mga ito, gumagana nang maayos ang mga graphic na ilustrasyon. Ang lokasyon ng mga ugat na nauugnay sa ibinigay na mga punto ng eroplano ay tinutukoy ng direksyon ng mga sanga ng kaukulang parabola, ang mga coordinate ng vertex, pati na rin ang mga halaga sa mga ibinigay na punto.

Halimbawa.

1) Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 ay may dalawang ugat, ang isa ay mas malaki sa 1 at ang iba pang mas mababa sa 1?

Solusyon. Hayaan ang f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. Dahil ang isang 2 + a + 1 >0, pagkatapos ay para sa quadratic function na f(x) ang kondisyon ng problema maaaring matupad lamang sa ilalim ng kondisyong f (x)< 1.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Sagot: -2 - < а < - 2 + .

2) Sa anong mga halaga ng parameterm mga ugat ng equation (m – 1)x 2 – 2mx +m + 3 = 0 positibo?

Solusyon. Hayaan ang f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 pagkatapos:

1) kung m = 1, kung gayon -2x + 4 = 0, x = 2 - ang ugat ay positibo;

2) kung m 1, pagkatapos gamit ang figure maaari mong makuha ang mga sumusunod na relasyon:

Isaalang-alang natin ang 2 kaso:

1) kung 1.5 m > 0, pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay 2 at 3 ng huling sistema ay nakuha namin na m > 1, i.e. sa wakas 1.5 m > 1;

2) kung m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 makuha natin ang m-1 na iyon< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Sagot: m (-; -3)

IVyugto - isaalang-alang ang gawain ng pagtatatag ng bilang ng mga ugat ng equation.

Halimbawa 1. Sa anong mga halaga ng parameter, at ang equation 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 ay walang mga ugat.

Solusyon. Hayaan ang y = cosх, kung gayon ang orihinal na equation ay kukuha ng anyong 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0, ang mga ugat nito ay y 1 = a, y 2 = 4.5. Ang equation na cosх = 4.5 ay walang mga ugat, at ang equation na cosх = a ay walang mga ugat kung > 1.

Sagot: (- ; -1) (1; ).

Halimbawa 2. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation walang ugat.

Solusyon. Ang equation na ito ay katumbas ng system: .

Ang equation ay walang solusyon sa dalawang kaso: a = at

Halimbawa 3 . Sa anong mga halaga ng parameter a ginagawa ang equation may iisang solusyon?

Solusyon. Ang solusyon sa equation ay maaari lamang maging kakaiba kung x = 0. Kung x = 0, pagkatapos ay isang 2 -1 = 0, at a = 1.

Isaalang-alang natin ang 2 kaso:

1) kung a = 1, pagkatapos x 2 - = 0 – tatlong ugat;

2). Kung a = -1, kung gayon ang x 2 + = 0, x = 0 ang tanging ugat.

Halimbawa 4. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay may 2 ugat?

Solusyon. Ang equation na ito ay katumbas ng system: . Alamin natin kapag ang quadratic equation x 2 – x – a = 0 ay may 2 non-negative na ugat.

Ang resultang equation ay may dalawang ugat kung 1+ 4a > 0; non-negative sila kung

0 > a > - .

Sagot: (- ; 0] .

Sa maraming mga kaso, kapag nagtatatag ng bilang ng mga ugat ng isang equation, mahalaga ang simetrya.

Vyugto - paghahanap ng karaniwang ugat ng dalawang equation.

Halimbawa 1. Sa anong mga halaga ng parameter a ang mga equation na x 2 + 3x + 7a -21 =0 at x 2 +6x +5a -6 =0 ay may isang karaniwang ugat?

Solusyon. Ibukod natin ang parameter a mula sa resultang system. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa -5, ang pangalawa sa 7, at idagdag ang mga resulta. Nakukuha namin ang: 2x 2 + 27x +63 = 0, ang mga ugat nito ay x 1 = -3, x 2 = -10.5. Ipalit natin ang mga ugat sa isa sa mga equation at hanapin ang halaga ng parameter a.

Sagot: 3 at – 8.25.

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation x 2 – ax + 2 = 0 at 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 katumbas?

Solusyon. Tulad ng alam mo, ang mga equation ay katumbas kung marami sa kanilang mga ugat ay nag-tutugma. Isaalang-alang natin ang 2 kaso.

1) Ang mga equation ay walang mga ugat (ang hanay ng mga ugat ay walang laman). Pagkatapos ang kanilang mga diskriminasyon ay negatibo:

Ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay walang solusyon.

2) Ang mga equation ay may mga karaniwang ugat. Pagkatapos

Dahil dito, ang mga equation na ito ay maaaring magkaroon ng mga karaniwang ugat lamang kapag a = 3 o a = .

Suriin ito sa iyong sarili!

VIyugto - mga geometric na interpretasyon.

Ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay maaaring gawing mas madali ang paggamit ng mga graph.

Halimbawa 1 . Lutasin ang equation depende sa parameter a: .

Solusyon. Malinaw na para sa isang 0:

Ang lahat ba ng mga ugat ay angkop? Upang malaman, i-plot natin ang function na a =.
Ang bilang ng mga ugat ay makikita sa figure:

1. kung ang< 0, то корней нет;
2. kung a = 0 at a > 0, kung gayon mayroong 2 ugat.

Hanapin natin ang mga ugat na ito.

Kapag ang a = 0 ay nakukuha natin ang x 2 – 2x – 3 = 0 at x 1 = -1, x 2 = 3; para sa a > 4 ito ang mga ugat ng equation x 2 – 2x – 3 – a = 0.

Kung 0< а < 4 – все 4 корня подходят.

Kung a = 4 – tatlong ugat:
Sagot: 1) kung a< 0, то корней нет;

2) kung a = 0, kung gayon x 1 = -1, x 2 = 3;

3) kung 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) kung a = 4, kung gayon x 1 = 1; x 2.3 = 1;

5) kung a > 4, kung gayon x 1,2 = 1.

Halimbawa 2 . Para sa anong mga halaga ng a ang equation ay may higit sa dalawang ugat?

Solusyon. Kung papalitan natin ang x = 0 sa orihinal na equation, makakakuha tayo ng 6 = 6, na nangangahulugan na ang x = 0 ay isang solusyon sa equation para sa anumang a.

Hayaan ngayon x 0, pagkatapos ay maaari naming isulat . Alamin natin ang mga palatandaan ng mga ekspresyong 2x + 3 at 2x – 3.

Palawakin natin ang mga modyul: a = (1)

Sa eroplanong x0a gagawa tayo ng isang set ng mga puntos (x;a), ang mga coordinate na kung saan ay nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayan (1).

Kung a = 0, kung gayon ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon sa pagitan; para sa iba pang mga halaga ng a, ang bilang ng mga solusyon sa equation ay hindi lalampas sa dalawa.

Sagot: a = 0.

Kontrol sa pagsubok

1 opsyon	Opsyon 2
1) Lutasin ang equation: 0 x = a Mga sagot	1) Lutasin ang equation: a x = a. Mga sagot: a) para sa isang ≠ 0, x = 1, para sa a = 0, x R b) para sa a = 0, x R, para sa isang ≠ 0 walang mga ugat c) para sa a = 0 walang mga ugat, para sa isang ≠ x =
2) Lutasin ang equation: (в – 2) x = 5 + в. Mga sagot:	2) Lutasin ang equation (b + 1) x = 3 – b. Mga sagot: a) para sa β = 2 walang mga ugat; para sa β ≠2, x = ; b) para sa β = -2 walang mga ugat, para sa β ≠-2 x = c) para sa β = -1 walang mga ugat, para sa isang ≠ - 1
3) Para sa anong mga halaga ng parameter c ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon? c (c + 1) x = c 2 – 1. Sagot: a) na may c = -1, x R, ; Chaplygin V.F., Chaplygina N.B. Mga problema sa mga parameter sa algebra at pagsusuri, 1998.

Elective course lesson

sa paksang ito: "Paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter"

(Aral ng paglalahat at pag-uulit)

Target: 1. Ulitin at gawing pangkalahatan ang kaalaman ng mga mag-aaral sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter; pagsamahin ang kakayahang mag-aplay ng kaalaman sa paglutas ng mga tiyak na gawain; 2. Bumuo ng lohikal na pag-iisip; 3. Linangin ang atensyon at kawastuhan.

Plano ng aralin: I. Sandaling pang-organisasyon______________________________2 min.

II. Pag-update ng pangunahing kaalaman:

1. Pag-uulit________________________________3 min.
2. Oral na gawain________________________________3 min.
3. Paggawa gamit ang mga card (sa panahon ng 1 at 2)

III. Solusyon ng mga pagsasanay_________________________________22 min.

IY. Pagpapatupad ng pagsusulit______________________________8 min.

Y. Pagbubuod, pagtatakda ng takdang-aralin__2 min.

Sa panahon ng mga klase:

ako. Oras ng pag-aayos.

Guro: - Hello guys. Nakakatuwang makita kayong lahat, nagsisimula na tayo sa ating aralin. Ngayon sa aralin ang aming layunin ay ulitin at isabuhay ang mga kaalaman, kasanayan at kakayahan na nakuha sa mga nakaraang aralin habang pinag-aaralan ang paksang ito.

II . Pag-update ng pangunahing kaalaman:

1) Pag-uulit.

Guro: - Kaya, ulitin natin.

Ano ang tawag sa linear equation na may mga parameter?

Anong mga kaso ang isinaalang-alang namin kapag nilulutas ang mga naturang equation?

Magbigay ng mga halimbawa ng linear equation na may mga parameter.

Magbigay ng mga halimbawa ng linear inequalities na may mga parameter.

2) Oral na gawain.

Gawain: Dalhin ang equation na ito sa linear form.

Sa desk:

a) 3a x – 1 =2 x;

b) 2+5 x = 5a x;

c) 2 x – 4 = a x + 1.

3) Magtrabaho gamit ang mga card.

III . Solusyon ng mga pagsasanay.

Ehersisyo 1. Lutasin ang equation na may parameter A.

3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.

Ang gawain ay nakumpleto sa pisara at sa mga kuwaderno.

Gawain 2. Sa anong halaga a, tuwid na linya y = 7ax + 9, dumadaan

t. A(-3;2) ?

Ang gawain ay nakumpleto nang nakapag-iisa sa board ng isang mag-aaral. Ang iba ay gumagana sa mga notebook, pagkatapos ay suriin sa board.

Pisikal na edukasyon saglit lang.

Gawain 3. Sa anong halaga a, equation 3(ax – a) = x – 1 ay mayroon

Walang katapusang maraming solusyon?

Hinihiling sa mga mag-aaral na lutasin ang gawaing ito nang nakapag-iisa sa kanilang mga kuwaderno. Pagkatapos ay suriin ang mga sagot.

Gawain 4. Sa anong halaga ng parameter A , ang kabuuan ng mga ugat ng equation

2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 katumbas ng 1?

Ang gawain ay nakumpleto sa pamamagitan ng pagkomento mula sa lugar.

Gawain 5. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang parameter R :

р(5х – 2)

Ang gawaing ito ay nakumpleto sa pisara at sa mga kuwaderno.

IY. Pagpapatupad ng pagsusulit.

Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga indibidwal na sheet na may mga gawain:

1) Ay ang equation6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7 linear?

A) oo; b) hindi; c) maaaring bawasan sa linear

2) Equation (2ax + 1)a = 5a – 1 nabawasan sa anyo ng isang linear equation

A) hindi; b) oo;

3) Sa anong halaga ng parameter at ang tuwid na linya na y = ax – 3 ay dumadaan

T. A(-2;9) ?

A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.

4) Sa ano ang equation na 2ax + 1 = x may ugat na katumbas ng -1?

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.

5) Kung ang quadratic equation ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 depende sa

A) mga halaga sa ; b) mga halaga ng a; c) mga halaga -v/a;

d) walang solusyon.

MGA SAGOT SA PAGSUSULIT: V; A; V; V; b.

YII. Pagbubuod ng aralin. Pagtatakda ng takdang-aralin.

Guro: - Ngayon sa aralin ay inulit namin at pinagsama ang kaalaman na nakuha sa mga nakaraang aralin, nagsasanay ng mga kinakailangang kasanayan kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga gawain. Sa tingin ko ay ginawa mo ang isang mahusay na trabaho, mahusay na ginawa.

Bilang karagdagan sa mga marka na itinalaga para sa aralin, maaari mong suriin ang gawain ng ilang iba pang mga mag-aaral sa aralin.

Guro : - Isulat ang iyong takdang-aralin:

Sa desk:

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: x² - 2ax + 4 > 0.

Tapos na ang lesson.

Kagawaran ng Edukasyon ng Rehiyon ng Vladimir

Kagawaran ng Edukasyon ng Sudogodsky District

Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

"Sekondaryang paaralan ng Moshok"

« Solusyon mga equation At hindi pagkakapantay-pantay Sa parameter»

Binuo ni: Gavrilova G.V.

guro sa matematika

institusyong pang-edukasyon sa munisipyo "Moshokskaya average"

komprehensibong paaralan"

taong 2009

Paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter

Paliwanag na tala
Ang konsepto ng parameter ay isang matematikal na konsepto na kadalasang ginagamit sa matematika ng paaralan at mga kaugnay na disiplina.

Ika-7 baitang - kapag nag-aaral ng isang linear function at isang linear equation na may isang variable.

Ika-8 baitang - kapag nag-aaral ng mga quadratic equation.

Ang pangkalahatang kurikulum ng edukasyon ng kurso sa matematika ng paaralan ay hindi nagbibigay ng solusyon sa mga problema sa mga parameter, at sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad at Unified State Exam sa matematika ay may mga problema sa mga parameter, ang solusyon kung saan nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral. na may mga parameter ay may diagnostic at prognostic na halaga, na nagbibigay-daan sa iyo upang subukan ang kaalaman sa mga pangunahing seksyon ng kurso sa matematika ng paaralan, antas ng lohikal na pag-iisip, mga kasanayan sa paunang pananaliksik.

Ang pangunahing layunin ng kurso ay upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga pangkalahatang diskarte sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, upang ihanda ang mga mag-aaral sa paraang matagumpay nilang makayanan ang mga problema na naglalaman ng mga parameter sa kapaligiran ng isang mapagkumpitensyang pagsusulit.

Lutasin ang isang equation, tukuyin ang bilang ng mga solusyon, siyasatin ang isang equation, hanapin ang mga positibong ugat, patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon, atbp. - lahat ng ito ay mga opsyon para sa mga parametric na halimbawa. Samakatuwid, imposibleng magbigay ng mga pangkalahatang tagubilin para sa paglutas ng mga halimbawa; sinusuri ng kursong ito ang iba't ibang mga halimbawa na may mga solusyon. Ang materyal ng kurso ay ipinakita ayon sa sumusunod na pamamaraan: impormasyon sa background, mga halimbawa na may mga solusyon, mga halimbawa para sa independiyenteng trabaho, mga halimbawa para sa pagtukoy ng tagumpay ng pag-master ng materyal.

Ang paglutas ng mga gawain na may mga parameter ay nakakatulong sa pagbuo ng mga kasanayan sa pananaliksik at pag-unlad ng intelektwal.

Mga layunin ng kurso:

I-systematize ang kaalaman na nakuha ng mga mag-aaral sa grade 7 at 8 kapag nilulutas ang mga linear at quadratic equation at inequalities;

Kilalanin at paunlarin ang kanilang mga kakayahan sa matematika;

Lumikha ng isang holistic na pag-unawa sa paglutas ng mga linear equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter;

Lumikha ng isang holistic na pag-unawa sa paglutas ng mga quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter;

Upang palalimin ang kaalaman sa matematika, na nagbibigay para sa pagbuo ng napapanatiling interes ng mga mag-aaral sa paksa;

• 
  magbigay ng paghahanda para sa mga propesyonal na aktibidad na nangangailangan ng mataas na kultura ng matematika.

Pang-edukasyon at pampakay na plano

№ p/p	Paksa	Qty oras	Mga aktibidad
1.			Workshop
2.	Paunang impormasyon tungkol sa mga gawain na may parameter.		Seminar
3.	Paglutas ng mga linear equation na naglalaman ng mga parameter.
4.	Paglutas ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter.		gawaing pananaliksik; pagsasanay sa kasanayan; pansariling gawain.
5.	Quadratic equation. Ang teorama ni Vieta.	3	gawaing pananaliksik; pagsasanay sa kasanayan; pansariling gawain.
6.	Matagumpay na pagkumpleto ng kurso	1	Huling pagsusulit

Paksa 1. Paglutas ng mga linear na equation at inequalities, quadratic equation at inequalities, paglutas ng mga problema gamit ang Vieta's theorem.
Paksa 2. Paunang impormasyon tungkol sa mga gawain na may parameter.

Ang konsepto ng isang parameter. Ano ang ibig sabihin ng "malutas ang isang problema sa isang parameter"? Mga pangunahing uri ng mga problema sa isang parameter. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation na may parameter.
Paksa 4. Paglutas ng mga linear inequalities na naglalaman ng mga parameter.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear inequalities na may parameter.

Paksa 5. Quadratic equation. Ang teorama ni Vieta.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation na may parameter.

Didactic na materyal para sa elective course

"Paglutas ng mga Equation at

hindi pagkakapantay-pantay sa parameter"
Paksa 1. Mga halimbawa para sa paksang ito.
Paksa 2. Mga halimbawa kung saan nakatagpo na ng mga parameter ang mga mag-aaral:

Direktang proporsyonalidad function: y = kx (x at y ay mga variable; k ay isang parameter, k ≠ 0);

Inverse proportionality function: y = k / x (x at y ay mga variable, k ay isang parameter, k ≠ 0)

Linear function: y = kh + b (x at y ay mga variable; k at b ay mga parameter);

Linear equation: ax + b = 0 (x ay isang variable; a at b ay mga parameter);

Quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 (x ay isang variable; a, b at c ay mga parameter,

Ano ang isang parameter?

Kung sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay ang ilang mga coefficient ay pinalitan hindi ng mga tiyak na halaga ng numero, ngunit itinalaga ng mga titik, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na mga parameter, at ang equation o hindi pagkakapantay-pantay ay parametric.

Ang mga parameter ay karaniwang tinutukoy ng mga unang titik ng alpabetong Latin: a, b, c, ... o a 1, a 2, a 3, ..., at hindi alam ng mga huling titik ng alpabetong Latin x, y, z, ... Ang mga pagtatalaga na ito ay hindi sapilitan, ngunit kung sa kondisyon ay hindi ipinahiwatig kung aling mga titik ang mga parameter at kung saan ay hindi kilala -

mi, pagkatapos ay ginagamit ang mga sumusunod na notasyon.

Halimbawa, lutasin ang equation (4x – ax)a = 6x – 10. Narito ang x ay ang hindi alam at ang a ay ang parameter.

Ano ang ibig sabihin ng "malutas ang isang problema sa isang parameter"?

Ang paglutas ng problema sa isang parameter ay nangangahulugan, para sa bawat halaga ng parameter a, hanapin ang halagang x na nakakatugon sa problemang ito, i.e. depende sa tanong sa problema.

Ang paglutas ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter ay nangangahulugang:

Tukuyin kung anong mga halaga ng parameter ang umiiral na mga solusyon;

Para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, hanapin ang kaukulang hanay ng mga solusyon.

Ano ang mga pangunahing uri ng mga problema sa isang parameter?
Uri 1. Mga equation, mga hindi pagkakapantay-pantay na dapat lutasin alinman para sa anumang halaga ng parameter o para sa mga halaga ng parameter na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay. Ang ganitong uri ng gawain ay pangunahing kapag pinagkadalubhasaan ang paksang "Mga problema sa mga parameter."

Uri 2. Mga equation, mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter.

Uri 3. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang mga tinukoy na equation at hindi pagkakapantay-pantay ay may isang naibigay na bilang ng mga solusyon (sa partikular, wala sila o may walang katapusang bilang ng mga solusyon). Ang mga problema ng uri 3 ay sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng mga problema ng uri 2.

Uri 4. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay kung saan, para sa mga kinakailangang halaga ng parameter, ang hanay ng mga solusyon ay nakakatugon sa ibinigay na mga kondisyon sa domain ng kahulugan.

Halimbawa, hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan:

1) ang equation ay nasiyahan para sa anumang halaga ng variable mula sa isang ibinigay na pagitan;

2) ang hanay ng mga solusyon sa unang equation ay isang subset ng hanay ng mga solusyon sa pangalawang equation, atbp.

Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa isang parameter.
Paraan 1. (analytical) Ang pamamaraang ito ay ang tinatawag na direktang solusyon, na inuulit ang mga karaniwang pamamaraan ng paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter.

Paraan 2. (graphical) Depende sa gawain, ang mga graph sa coordinate plane (x; y) o sa coordinate plane (x; a) ay isinasaalang-alang.

Paraan 3. (pagpasya patungkol sa isang parameter) Kapag nilutas gamit ang paraang ito, ang mga variable na x at a ay ipinapalagay na pantay, at ang variable na may kinalaman sa kung saan ang analytical na solusyon ay itinuturing na mas simple ay pinili. Pagkatapos ng natural na pagpapasimple, bumalik tayo sa orihinal na kahulugan ng mga variable na x at a at kumpletuhin ang solusyon.

Magkomento. Ang isang mahalagang hakbang sa paglutas ng mga problema sa mga parameter ay ang pagsulat ng sagot. Nalalapat ito lalo na sa mga halimbawang iyon kung saan ang solusyon ay tila "sanga" depende sa mga halaga ng parameter. Sa ganitong mga kaso, ang pagbuo ng isang tugon ay isang koleksyon ng mga dati nang nakuhang resulta. At dito napakahalaga na huwag kalimutang ipakita sa sagot ang lahat ng mga yugto ng solusyon.

Tingnan natin ang mga halimbawa. 2.1. Paghambingin ang -a at 5a.

Solusyon. Kinakailangang isaalang-alang ang tatlong kaso: kung isang 5a;

kung a = 0, kung gayon –a = 5a;

kung a > 0, kung gayon –a

Sagot. Kapag ang isang 5a; sa a = 0, –a = 5a; para sa isang > 0, -a

1. 
   Lutasin ang equation ax = 1.

Solusyon. Kung a = 0, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

Kung a ≠ 0, x = 1 / a.

Sagot. Para sa a = 0 walang mga solusyon; para sa isang ≠ 0, x = 1 / a.

1. 
   Ihambing sa at – 7c.
2. 
   Lutasin ang equation na cx = 10

Paksa 3.

Linear na equation

Mga equation ng form

kung saan ang a, b ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero, at ang x ay isang hindi kilala, na tinatawag na isang linear equation na may kinalaman sa x.

Scheme para sa pag-aaral ng linear equation (1).

1. Kung ang a ≠ 0, b ay anumang tunay na numero. Ang equation ay may natatanging solusyon x = b/a.

2. Kung a=0, b=0, ang equation ay kukuha ng anyong 0 ∙ x = 0, ang solusyon sa equation ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

3. Kung a=0, b ≠ 0, kung gayon ang equation na 0 ∙ x = b ay walang mga solusyon.

Magkomento. Kung ang linear equation ay hindi ipinakita sa form (1), kailangan mo munang dalhin ito sa form (1) at pagkatapos ay isagawa ang pag-aaral.
Mga halimbawa. 3.1 Lutasin ang equation (a -3)x = b+2a

Ang equation ay nakasulat bilang (1).

Solusyon: Kung a≠ 3, ang equation ay may solusyon na x = b+2a/ a-3 para sa alinmang b.

Nangangahulugan ito na ang tanging halaga ng a kung saan maaaring walang mga solusyon sa equation ay a = 3. Sa kasong ito, ang equation (a -3)x = b+2a ay kumukuha ng anyo

0 ∙ x = b+6. (2)

Kung β≠ - 6, kung gayon ang equation (2) ay walang mga solusyon.

Kung β = - 6, kung gayon ang anumang x ay isang solusyon sa (2).

Dahil dito, ang β = - 6 ay ang tanging halaga ng parameter β kung saan ang equation (1) ay may solusyon para sa anumang a (x=2 para sa isang ≠3 at x ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero para sa a=3).

Sagot: b = -6.

3.2. Lutasin ang equation na 3(x-2a) = 4(1-x).

3.3. Lutasin ang equation na 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Lutasin ang equation (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Lutasin ang equation x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Pansariling gawain.

Pagpipilian 1. Lutasin ang mga equation: a) input + 2 = - 1;

b) (a – 1)x = a – 2;

c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.

Pagpipilian 2. Lutasin ang mga equation: a) – 8 = sa + 1;

b) (a + 1)x = a – 1;

c) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Paksa 4.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may parameter

Mga hindi pagkakapantay-pantay

ah > sa, ah
kung saan ang a, b ay mga expression depende sa mga parameter, at ang x ay ang hindi alam, ay tinatawag na linear inequalities na may mga parameter.

Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga halaga ng parameter.

Scheme para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay aX > c.

1. 
   Kung a > 0, x > b/a.
2. 
   Kung ang
3. 
   Kung a = 0, ang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyong 0 ∙ x > b. Para sa β ≥ 0 ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon; sa

Ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga diagram para sa paglutas ng iba pang mga hindi pagkakapantay-pantay sa kanilang sarili.
Mga halimbawa. 4.1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay a(3x-1)>3x – 2.

Solusyon: a(3x-1)>3x – 2, na nangangahulugang 3x(a-1)>a-2.

Isaalang-alang natin ang tatlong kaso.

1. 
   a=1, ang solusyon 0 ∙ x > -1 ay anumang tunay na numero.
2. 
   a>1, 3x(a-1)>a-2, na nangangahulugang x>a-2/3 (a-1).
3. 
   at ang a-2 ay nangangahulugang x

Sagot: x > a-2/3 (a-1) para sa a>1; x Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. 4.2. (a – 1)x > a 2 – 1.

1. 
   2ax +5 > a+10x .
2. 
   (a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
3. 
   X 2 + ax +1 > 0.

Pansariling gawain.

Opsyon 1. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;

b) 3x-a > ah – 2.

Opsyon 2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;

b) akh-2v
Paksa 5.

Quadratic equation na naglalaman ng mga parameter. Ang teorama ni Vieta.

Equation ng form

ax 2 +in + c = 0, (1)

kung saan ang a, b, c ay mga expression depende sa mga parameter, ang a ≠ 0, x ay isang hindi alam, na tinatawag na quadratic equation na may mga parameter.
Scheme para sa pag-aaral ng quadratic equation (1).

1. 
   Kung a = 0, mayroon tayong linear equation inx + c = 0.
2. 
   Kung ang a ≠ 0 at ang discriminant ng equation D = 2 – 4ac
3. 
   Kung ang isang ≠ 0 at D = 0, kung gayon ang equation ay may isang natatanging solusyon x = - B / 2a o, gaya ng sinasabi din nila, nagtutugma ang mga ugat x 1 = x 2 = - B / 2a.
4. 
   Kung ang isang ≠ 0 at D > 0, kung gayon ang equation ay may dalawang magkaibang ugat X 1.2 = (- V ± √D) / 2a

Mga halimbawa. 5.1. Para sa lahat ng mga halaga ng parameter a, lutasin ang equation

(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.

Solusyon. 1. a – 1 = 0, ibig sabihin. a = 1. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo -2x + 3 = 0, x = 3/2.

2. a ≠ 1. Hanapin natin ang discriminant ng equation D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.

Ang mga sumusunod na kaso ay posible: a) D 8, a > 2. Ang equation ay wala

b) D = 0, ibig sabihin. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Ang equation ay may isa

ugat x = a / (a ​​​​– 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

c) D > 0, ibig sabihin. -4a + 8 > 0.4a

ugat x 1.2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a ​​​​– 1)

Sagot. Kapag a = 1 x = 3 / 2;

kapag a =2 x = 2;

para sa isang > 2 walang mga ugat;

Para sa lahat ng mga halaga ng parameter, lutasin ang mga equation:

1. 
   palakol 2 + 3palakol – a – 2 = 0;
2. 
   palakol 2 +6x – 6 = 0;
3. 
   sa 2 – (sa + 1)x +1 = 0;
4. 
   (b + 1)x 2 – 2x + 1 – b = 0.

Pansariling gawain.

Pagpipilian 1. Lutasin ang equation ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.

Pagpipilian 2. Lutasin ang equation na a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Mga gawain.

1. 
   . Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang quadratic equation

(a -1)x 2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat; walang mga ugat; may isang ugat.

Solusyon. Ang equation na ito ay parisukat ayon sa kundisyon, ibig sabihin

a – 1 ≠ 0, ibig sabihin. a ≠ 1. Hanapin natin ang discriminant D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =

4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).

Mayroon kaming: 1) Para sa isang ≠ 1 at D > 0, i.e. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 ang equation ay may dalawa

iba't ibang ugat.

2) Para sa isang ≠ 1 at D

3) Para sa isang ≠ 1 at D = 0, ibig sabihin. a = - 4 / 5 ang equation ay may isang ugat.

Sagot. Kung a > - 4 / 5 at a ≠ 1, ang equation ay may dalawang magkaibang ugat;

kung a = - 4 / 5, ang equation ay may isang ugat.

1. 
   .Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 ay may natatanging solusyon?
2. 
   .Para sa anong mga halaga ng parameter a walang solusyon ang equation (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0?
3. 
   .Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 ay may dalawang magkaibang ugat?

Pansariling gawain.

Opsyon 1. Hanapin ang lahat ng value ng parameter A, kung saan ang quadratic equation (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat; walang mga ugat; may isang ugat.

Opsyon 2.. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang quadratic equation (1 – A)X 2 +4X– Ang 3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat; walang mga ugat; may isang ugat.
Ang teorama ni Vieta.

Ang mga sumusunod na theorems ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema na kinasasangkutan ng mga quadratic equation na naglalaman ng mga parameter.

Ang teorama ni Vieta. Kung x 1, x 2 ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0, a≠0, kung gayon x 1 + x 2 = - B / a at x 1 ∙ x 2 = C / a.
Teorama 1. Upang ang mga ugat ng square trinomial ax 2 + bx + c ay maging totoo at magkaroon ng parehong mga palatandaan, ito ay kinakailangan at sapat upang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon: D = sa 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.

Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging positibo kung x 1 + x 2 = - B /a > 0, at ang parehong mga ugat ay magiging negatibo kung x 1 + x 2 = - B /a
Teorama 2. Upang ang mga ugat ng square trinomial ax 2 + bx + c ay maging totoo at parehong di-negatibo o parehong hindi positibo, ito ay kinakailangan at sapat upang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon: D = sa 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.

Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging hindi negatibo kung x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, at ang parehong mga ugat ay magiging hindi positibo kung x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.

Teorama 3. Upang ang mga ugat ng quadratic trinomial ax 2 + bx + c ay maging totoo at magkaroon ng iba't ibang mga palatandaan, ito ay kinakailangan at sapat upang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon: x 1 ∙ x 2 = C /aSa kasong ito, ang kondisyon D = Awtomatikong nasisiyahan ang b 2 – 4ac > 0.
Tandaan. Ang mga teorema na ito ay may mahalagang papel sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga palatandaan ng mga ugat ng equation na ax 2 + bx + c = 0.

Mga kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)

x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)

(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)

(5)

5.10.

(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?

Solusyon. Ang equation ay quadratic, na nangangahulugang isang ≠ 1. Sa pamamagitan ng teorem ni Vieta mayroon tayong

x 1 + x 2 = 2a / (a ​​​​– 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a ​​​​– 1).

Kalkulahin natin ang discriminant D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.

a) Ayon sa Theorem 1, ang equation ay may positibong mga ugat kung

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, ibig sabihin. (a + 1) / (a ​​​​– 1) > 0, 2a / (a ​​​​– 1) > 0.

Kaya naman isang є (-1; 0).

b) Ayon sa Theorem 1, ang equation ay may mga negatibong ugat kung

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a ​​​​– 1)

Kaya naman isang є (0; 1).

c) Ayon sa Theorem 3, ang equation ay may mga ugat ng iba't ibang mga palatandaan kung x 1 x 2

(a + 1) / (a ​​​​- 1) Sagot. a) para sa isang є (-1; 0) ang equation ay may mga positibong ugat;

b) para sa isang є (0; 1) ang equation ay may mga negatibong ugat;

c) para sa isang є (-1; 1) ang equation ay may mga ugat ng iba't ibang mga palatandaan.
5.11. Sa anong mga halaga ng parameter a ang quadratic equation

(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 ay mayroong: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?

5. 12. Nang hindi nalulutas ang equation na 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, hanapin ang x 1 -1 + x 2 -1, kung saan ang x 1, x 2 ay ang mga ugat ng equation.

5.13. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 ay may mga ugat na ang kabuuan ng mga parisukat ay 4.

Pagsusulit.
Pagpipilian 1. 1. Lutasin ang equation (a 2 + 4a)x = 2a + 8.

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (sa + 1)x ≥ (sa 2 – 1).

3. Sa anong mga halaga ng parameter a ginagawa ang equation

x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?

Pagpipilian 2. 1. Lutasin ang equation (a 2 – 2a)x = 3a.

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (a + 2)x ≤ a 2 – 4.

3. Sa anong mga halaga ng parameter sa equation

x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?

Panitikan.

1. 
   V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. Ch.: ChSU Publishing House, 2004. – 175 p.
2. 
   Yastrebinsky G.A. Mga problema sa mga parameter. M.: Edukasyon, 1986, - 128 p.
3. 
   Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Teksbuk para sa 10 – 11 baitang ng sekondaryang paaralan. M.: Edukasyon, 1991. – 351 p.
4. 
   T. Peskova. Unang pagpapakilala sa mga parameter sa mga equation. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 36, 1999.
5. 
   T. Kosyakova. Paglutas ng mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter. Ika-9 na grado Pang-edukasyon at metodolohikal na pahayagan na "Mathematics". No. 25 - 26, No. 27 - 28. 2004.
6. 
   T. Gorshenina. Mga problema sa isang parameter. ika-8 baitang Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 16. 2004.
7. 
   Sh. Tsyganov. Mga parisukat na trinomyal at mga parameter. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 5. 1999.
8. 
   S. Nedelyaeva. Mga tampok ng paglutas ng mga problema sa isang parameter. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 34. 1999.

9. V.V. Mga problema sa Elbow sa mga parameter. Mga linear at quadratic na equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema. Manwal na pang-edukasyon at pamamaraan. Moscow 2005.