Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengar tentang Teorema Terakhir Fermat - mungkin inilah satu-satunya soal matematika yang begitu dikenal luas dan menjadi legenda nyata. Hal ini disebutkan dalam banyak buku dan film, dan konteks utama dari hampir semua penyebutan adalah ketidakmungkinan membuktikan teorema tersebut.
Ya, teorema ini sangat terkenal dan, dalam arti tertentu, telah menjadi "berhala" yang dipuja oleh ahli matematika amatir dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa buktinya telah ditemukan, dan ini terjadi pada tahun 1995. Tapi hal pertama yang pertama.
Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, pada intinya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.
Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...
Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah soal yang sangat sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang duduk di bangku kelas 5 SMA, namun tidak semua ahli matematika profesional dapat memahami pembuktiannya. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?
Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku apa pun, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun di kaki-kakinya.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari nilai C dan lebih tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.
Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna
Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.
Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.
Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2): 
Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) - itu tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:
Namun matematikawan Prancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan antusias mempelajari persamaan umum x n + y n = z n. Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”
Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.
Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti Teorema terakhir Fermat praktis telah berakhir.
Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...
Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.
Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.
Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.
Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...
Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:
Sayang. . . . . . . .
Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi para ahli matematika metode pembuktian baru. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.
Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.
Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.
Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.
Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama-Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.
Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.
Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.
“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?
Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.
Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!
Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...
sumber
Kuliah 6. Penerapan turunan untuk mempelajari fungsi
Jika fungsinya F(X) mempunyai turunan pada setiap titik ruas [ A, B], maka perilakunya dapat dipelajari dengan menggunakan turunannya F"(X).
Mari kita lihat teorema dasar kalkulus diferensial yang mendasari penerapan turunan.
teorema Fermat
Dalil(Peternakan) ( tentang persamaan turunan dengan nol ). Jika fungsi f(X), terdiferensiasi pada intervalnya (A, B) dan mencapai nilai terbesar atau terkecilnya di titik c є ( A, B), maka turunan fungsi pada titik ini adalah nol, yaitu. F"(Dengan) = 0.
Bukti. Biarkan fungsinya F(X) terdiferensialkan pada interval ( A, B) dan pada intinya X = Dengan mengambil nilai terbesar M pada Dengan є ( A, B) (Gbr. 1), mis.
F(Dengan) ≥ F(X) atau F(X) – F(C) ≤ 0 atau F(s +Δ X) – F(Dengan) ≤ 0.
Turunan F"(X) pada titik X = Dengan: .
Jika X> C, Δ X> 0 (yaitu Δ X→ 0 di sebelah kanan titik Dengan), Itu 
dan maka dari itu F"(Dengan) ≤ 0.
Jika X< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 di sebelah kiri titik Dengan), Itu 
, dari situlah berikut ini F"(Dengan) ≥ 0.
Dengan syarat F(X) dapat dibedakan pada intinya Dengan, oleh karena itu, batasnya di X→ Dengan tidak bergantung pada pilihan arah pendekatan argumentasi X ke titik Dengan, yaitu. .
Kami memperoleh sistem yang mengikutinya F"(Dengan) = 0.
Dalam hal F(Dengan) = T(itu. F(X) tepat sasaran Dengan nilai terkecil), buktinya serupa. Teorema tersebut telah terbukti.
Arti geometris dari teorema Fermat: pada titik nilai terbesar atau terkecil yang dicapai dalam interval tersebut, garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan sumbu x.
Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut Teorema Terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematika Prancis yang brilian, Pierre Fermat, sifatnya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa saja yang berpendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a pangkat n + b pangkat n = c pangkat n tidak memiliki solusi alami (yaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir biasa berjuang mencari solusi selama lebih dari tiga setengah abad.
Kenapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mencari tahu...
Apakah ada banyak teorema yang terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Intinya di sini adalah Teorema Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kompleksitas pembuktian. Teorema Terakhir Fermat adalah soal yang sangat sulit, namun rumusannya dapat dipahami oleh siapa saja yang duduk di bangku kelas 5 SMA, namun tidak semua ahli matematika profesional dapat memahami pembuktiannya. Baik dalam fisika, kimia, biologi, maupun matematika, tidak ada satu masalah pun yang dapat dirumuskan dengan begitu sederhana, namun tetap tidak terpecahkan begitu lama. 2. Terdiri dari apa?
Mari kita mulai dengan celana Pythagoras, kata-katanya sangat sederhana - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui sejak kecil, “Celana Pythagoras sama di semua sisi.” Soalnya terlihat sangat sederhana karena didasarkan pada pernyataan matematika yang diketahui semua orang - teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku apa pun, luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun di kaki-kakinya.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mendirikan persaudaraan Pythagoras. Penganut Pythagoras, antara lain, mempelajari bilangan bulat kembar tiga yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahwa ada banyak sekali tripel Pythagoras dan memperoleh rumus umum untuk mencarinya. Mereka mungkin mencoba mencari nilai C dan lebih tinggi. Yakin bahwa ini tidak berhasil, kaum Pythagoras meninggalkan upaya sia-sia mereka. Anggota persaudaraan lebih banyak filsuf dan estetika daripada ahli matematika.
Artinya, mudah untuk memilih sekumpulan bilangan yang memenuhi persamaan x²+y²=z² secara sempurna
Mulai dari 3, 4, 5 – memang seorang siswa SMP paham bahwa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Dan seterusnya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan serupa x³+y³=z³? Mungkin ada angka seperti itu juga?
Dan seterusnya (Gbr. 1).
Jadi, ternyata TIDAK. Di sinilah triknya dimulai. Kesederhanaan tampak jelas, karena sulit untuk membuktikan bukan keberadaan sesuatu, melainkan ketidakhadirannya. Ketika Anda perlu membuktikan bahwa ada solusi, Anda dapat dan harus menyajikan solusi tersebut.
Membuktikan ketidakhadiran lebih sulit: misalnya, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak memiliki solusi. Taruh dia di genangan air? mudah: bam - dan ini dia, solusinya! (berikan solusi). Dan itu saja, lawannya dikalahkan. Bagaimana cara membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: “Saya belum menemukan solusi seperti itu”? Atau mungkin kamu sedang tidak dalam keadaan sehat? Bagaimana jika mereka ada, hanya sangat besar, sangat besar, sehingga bahkan komputer yang sangat kuat pun masih belum memiliki kekuatan yang cukup? Inilah yang sulit.
Hal ini dapat ditunjukkan secara visual seperti ini: jika Anda mengambil dua kotak dengan ukuran yang sesuai dan membongkarnya menjadi kotak satuan, maka dari kumpulan kotak satuan ini Anda mendapatkan kotak ketiga (Gbr. 2):
Tapi mari kita lakukan hal yang sama dengan dimensi ketiga (Gbr. 3) – ini tidak berhasil. Kubusnya tidak cukup, atau masih ada kubus tambahan yang tersisa:
Namun matematikawan Perancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan antusias mempelajari persamaan umum x n +y n =zn . Dan akhirnya saya menyimpulkan: untuk n>2 tidak ada solusi bilangan bulat. Bukti Fermat hilang dan tidak dapat diperbaiki lagi. Naskahnya terbakar! Yang tersisa hanyalah pernyataannya dalam Aritmatika Diophantus: “Saya telah menemukan bukti yang sungguh menakjubkan dari proposisi ini, namun margin di sini terlalu sempit untuk memuatnya.”
Sebenarnya teorema tanpa pembuktian disebut hipotesis. Namun Fermat memiliki reputasi tidak pernah melakukan kesalahan. Meski dia tidak meninggalkan bukti pernyataannya, hal itu kemudian dikonfirmasi. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Dengan demikian, hipotesis ahli matematika Perancis tercatat dalam sejarah sebagai Teorema Terakhir Fermat.
Setelah Fermat, pemikir besar seperti Leonhard Euler bekerja mencari bukti (pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan tahun 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 para ahli matematika melihat dan percaya bahwa epik tiga abad dalam mencari bukti Teorema terakhir Fermat praktis telah berakhir.
Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa membuktikan teorema Fermat hanya untuk n sederhana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk komposit n, pembuktiannya tetap valid. Tapi bilangan prima itu jumlahnya tak terhingga...
Pada tahun 1825, dengan menggunakan metode Sophie Germain, matematikawan wanita, Dirichlet dan Legendre secara independen membuktikan teorema n=5. Pada tahun 1839, dengan menggunakan metode yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorema untuk n=7. Lambat laun teorema tersebut terbukti untuk hampir semua n kurang dari seratus.
Terakhir, matematikawan Jerman Ernst Kummer, dalam penelitiannya yang brilian, menunjukkan bahwa teorema tersebut secara umum tidak dapat dibuktikan dengan menggunakan metode matematika abad ke-19. Hadiah dari Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, yang didirikan pada tahun 1847 untuk pembuktian teorema Fermat, tetap tidak diberikan.
Pada tahun 1907, industrialis kaya Jerman Paul Wolfskehl memutuskan untuk bunuh diri karena cinta tak berbalas. Layaknya orang Jerman sejati, ia menetapkan tanggal dan waktu bunuh diri: tepat tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat surat wasiat dan menulis surat kepada teman dan kerabatnya. Segalanya berakhir sebelum tengah malam. Harus dikatakan bahwa Paul tertarik pada matematika. Karena tidak punya pekerjaan lain, dia pergi ke perpustakaan dan mulai membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba dia merasa Kummer telah melakukan kesalahan dalam penalarannya. Wolfskel mulai menganalisis bagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Kesenjangan dalam pembuktian telah terisi. Dan alasan untuk bunuh diri sekarang tampak sangat konyol. Paul merobek surat perpisahannya dan menulis ulang surat wasiatnya.
Dia segera meninggal karena sebab alamiah. Ahli waris cukup terkejut: 100.000 mark (lebih dari 1.000.000 pound sterling saat ini) ditransfer ke rekening Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan kompetisi untuk Hadiah Wolfskehl. 100.000 nilai diberikan kepada orang yang membuktikan teorema Fermat. Tidak ada pfennig yang diberikan karena menyangkal teorema tersebut...
Kebanyakan matematikawan profesional menganggap pencarian bukti Teorema Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas menolak membuang waktu untuk latihan yang tidak berguna tersebut. Tapi para amatir bersenang-senang. Beberapa minggu setelah pengumuman tersebut, banyak “bukti” melanda Universitas Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggung jawab menganalisis bukti yang dikirimkan, membagikan kartu kepada murid-muridnya:
Sayang. . . . . . . .
Terima kasih telah mengirimkan saya naskah dengan bukti Teorema Terakhir Fermat. Kesalahan pertama ada di halaman...sebaris... . Oleh karena itu, seluruh bukti kehilangan keabsahannya.
Profesor E.M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, dengan mengandalkan temuan Gödel, membuktikan tidak terpecahkannya salah satu dari dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorema Terakhir Fermat juga tidak dapat diputuskan?! Namun para fanatik Teorema Besar sejati tidak kecewa sama sekali. Munculnya komputer tiba-tiba memberi para ahli matematika metode pembuktian baru. Setelah Perang Dunia II, tim pemrogram dan matematikawan membuktikan Teorema Terakhir Fermat untuk semua nilai n hingga 500, lalu hingga 1.000, dan kemudian hingga 10.000.
Pada tahun 1980an, Samuel Wagstaff menaikkan batas menjadi 25.000, dan pada tahun 1990an, ahli matematika menyatakan bahwa Teorema Terakhir Fermat benar untuk semua nilai n hingga 4 juta. Namun jika Anda mengurangi satu triliun triliun pun dari tak terhingga, jumlahnya tidak akan menjadi lebih kecil. Matematikawan tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorema Besar berarti membuktikannya untuk SEMUA n yang menuju tak terhingga.
Pada tahun 1954, dua teman matematikawan muda Jepang mulai meneliti bentuk modular. Bentuk-bentuk ini menghasilkan rangkaian angka, masing-masing dengan rangkaiannya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan deret tersebut dengan deret yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka cocok! Tapi bentuk modular adalah objek geometris, dan persamaan elips adalah aljabar. Tidak ada hubungan yang pernah ditemukan antara objek-objek berbeda tersebut.
Namun, setelah pengujian yang cermat, teman-teman mengajukan hipotesis: setiap persamaan elips memiliki kembaran - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi landasan seluruh arah matematika, namun hingga hipotesis Taniyama-Shimura terbukti, seluruh bangunan bisa runtuh kapan saja.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahwa solusi persamaan Fermat, jika ada, dapat dimasukkan ke dalam persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahwa persamaan hipotetis ini tidak ada tandingannya di dunia modular. Mulai sekarang, Teorema Terakhir Fermat terkait erat dengan dugaan Taniyama – Shimura. Setelah membuktikan bahwa setiap kurva elips bersifat modular, kami menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan elips dengan solusi persamaan Fermat, dan Teorema Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Namun selama tiga puluh tahun hipotesis Taniyama-Shimura tidak dapat dibuktikan, dan harapan untuk berhasil pun semakin berkurang.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona oleh matematika. Ketika dia mempelajari Teorema Besar, dia menyadari bahwa dia tidak bisa menyerah begitu saja. Sebagai anak sekolah, pelajar, dan mahasiswa pascasarjana, dia mempersiapkan diri untuk tugas ini.
Setelah mengetahui temuan Ken Ribet, Wiles langsung membuktikan dugaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja dalam isolasi dan kerahasiaan total. “Saya menyadari bahwa segala sesuatu yang berhubungan dengan Teorema Terakhir Fermat menimbulkan terlalu banyak minat... Terlalu banyak penonton jelas mengganggu pencapaian tujuan.” Kerja keras selama tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan pembuktian dugaan Taniyama – Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mempresentasikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat (Wiles membaca makalah sensasionalnya di sebuah konferensi di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), yang pengerjaannya berlangsung lebih dari tujuh tahun.
Sementara hype terus berlanjut di media, upaya serius mulai memverifikasi bukti. Setiap bukti harus diperiksa secara cermat sebelum bukti tersebut dapat dianggap teliti dan akurat. Wiles menghabiskan musim panas yang gelisah menunggu masukan dari pengulas, berharap dia bisa mendapatkan persetujuan mereka. Pada akhir bulan Agustus, para ahli menemukan bahwa putusan tersebut tidak memiliki dasar yang cukup.
Ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan ahli teori bilangan terkenal Richard Taylor, dan pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang telah dikoreksi dan diperluas. Yang paling menakjubkan adalah karya ini memakan sebanyak 130 (!) halaman di jurnal matematika “Annals of Mathematics”. Namun ceritanya juga tidak berakhir di situ - titik akhir baru tercapai pada tahun berikutnya, 1995, ketika versi pembuktian final dan "ideal", dari sudut pandang matematis, diterbitkan.
“...setengah menit setelah dimulainya jamuan makan malam di hari ulang tahunnya, saya memberikan Nadya naskah bukti lengkapnya” (Andrew Wales). Bukankah saya sudah mengatakan bahwa matematikawan adalah orang yang aneh?
Kali ini buktinya tidak diragukan lagi. Dua artikel menjadi sasaran analisis yang paling cermat dan diterbitkan pada Mei 1995 di Annals of Mathematics.
Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada anggapan di masyarakat bahwa Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang puas bahwa Teorema Besar memerlukan solusi sepanjang 130 halaman!
Oleh karena itu, sekarang upaya banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dicurahkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa kemana-mana...
