ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನವಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ 
. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಹಂತದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನೀವು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಟಿಕೆಟ್ #29
ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನ
ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗಾಸ್-ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಮಾರ್ಪಾಡು, ಇದು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜು x (k+1) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ (ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ (1.13), (1.14)) ಅದರ ಈಗಾಗಲೇ ಪಡೆದಿರುವ ಘಟಕಗಳು x 1 (k+1) , ...,x i - 1 (k+1) ಅನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ x i (k+1) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + ಡಿಎನ್
ಇಲ್ಲಿ x (0) ಎಂಬುದು ಪರಿಹಾರದ ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು.
ಹೀಗಾಗಿ, (k+1)-th ಅಂದಾಜಿನ i-th ಘಟಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿಖರತೆ ε ಸಾಧಿಸಿದಾಗ ಸೀಡೆಲ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂತ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
ಟಿಕೆಟ್ #30
ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಧಾನ
ತ್ರಿಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ A x = b ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ: A x = b ಅಲ್ಲಿ
A= 
ಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ.
1. ಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ (ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i /, i = 2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i] /, i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. ಹಿಮ್ಮುಖಸ್ವೀಪ್ ವಿಧಾನ (ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು):
| x n = [-c n b n + b n] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1, i = n-1, ..., 1 |
ಟಿಕೆಟ್ #31
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ
ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳುಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಚಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ
f(x)= 0 (*)
ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ
X=φ(x). (**)
ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ f(x). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಹಾಕಬಹುದು
φ(x) = X+bf(x),(***)
ಎಲ್ಲಿ ಬಿ= const, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಮೂಲಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ x 0, ನಂತರ ಹೊಸ ಅಂದಾಜು
x 1=φx(0),
ಆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆ:
x k+1=φ(x k).(****)
ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಲು ಸರಳವಾದ ಮಾನದಂಡ
|x k +1 -x k |<ε.
ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ:
ಬೇರಿನ ಬಳಿ ಇದ್ದರೆ | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.
ಸ್ಥಿರ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ ಬಿಗರಿಷ್ಠ ಒಮ್ಮುಖ ವೇಗವನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ. ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗವನ್ನು ಯಾವಾಗ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ |φ / (x)| = 0. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, (***) ಆಧರಿಸಿ, b = –1/f / (x),ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವು (****) ಹೋಗುತ್ತದೆ x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-ಆ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೇಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. φ(x).
ಟಿಕೆಟ್ #32
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ
ವಿಧಾನದ ಮುಖ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲದ ಬಳಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತವನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವವರೆಗೆ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಅಂದಾಜು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು:
ಇಲ್ಲಿ α ಎಂಬುದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಟಿಕೆಟ್ #33
ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತ ವಿಧಾನ
ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತ ವಿಧಾನವು ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಎರಡು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬೇಕಾದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಹಿಂದಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವು ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವು ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ "ಗೋಲ್ಡನ್ ಅನುಪಾತ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಅಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ [ ಎ,ಬಿ] ಮತ್ತು ಹಾಕಿ ಎ=X 1 , ಬಿ=X 2. ನಾವು ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ X 3 , X 4. ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಿರುವು ಆಗಿರಲಿ f(x 3) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠವು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಾಗ [ X 4 ,ಬಿ] ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು. 
ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಹಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಸ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ X 4. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಳಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಾಕು x 5ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಇರಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗ ಯಾವುದು? ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಉಳಿದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೊರಗಿನ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೂಲಕ ಆರಂಭಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಡಿ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು X 1, X 3ಅಥವಾ X 4, X 2ನಂತರ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ X 3ಮತ್ತು X 4ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಹೊಸ ಉದ್ದದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಡಿ′.
ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಡಿ/ಡಿ′ಅಕ್ಷರ φ:
ಅಂದರೆ, ಮುಂದಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೊಂದಿಸೋಣ. ಆದರೆ
ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತ್ಯಜಿಸಿದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ಉದ್ದ, ಅಂದರೆ
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಇದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ 
.
ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ
.
ಟಿಕೆಟ್ #34
ಕಾರ್ಯಗಳ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್, ಅಂದರೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮತ್ತೊಂದು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾದ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನವು ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಗಣಿತದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ, ಹೆಸರೇ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜಿನಿಂದ ನಂತರದವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು, ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ.
SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
1. ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಮೇಯ: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದ್ವಿತೀಯಕ ಕರ್ಣಗಳ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು), ನಂತರ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ.
2. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ರಾಬಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಸ್ಪೃಶ್ಯವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡದಿರುವವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಗುಣಿಸಿ, ಕಳೆಯಿರಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸೇರಿಸಿ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿ ಅನಾನುಕೂಲ ಗುಣಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ, i * x i ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪದ ಪದಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.
3. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ರೂಪಾಂತರ:
x - =β - +α*x -
ಇದನ್ನು ಹಲವು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ರೀತಿ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ಇತರ ಅಪರಿಚಿತರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ x 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ - x 2, ಮೂರನೆಯಿಂದ - x 3, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, ಆದರೆ i= 1,2,...n
4. ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸತತ ಅಂದಾಜುಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸ್ವತಃ.
x (0) ಎಂಬುದು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು, ನಾವು x (1) ಅನ್ನು ಅದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು x (2) ಅನ್ನು x (1) ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
x (n) = β - +α*x (n-1)
ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವವರೆಗೆ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಗರಿಷ್ಠ |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ:
SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ε=10 -3
ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳು ಮೇಲುಗೈ ಸಾಧಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.
ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
ನಾವು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1, ಅಂದರೆ. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ.
0,3947
ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ x(0) = 0.4762
0,8511
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639
ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಮೀಪಿಸುವವರೆಗೆ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.
x (7) = 0.441091
ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ತೊಡಕಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.
n ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ n ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್:
ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅಜ್ಞಾತ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆ (ಅಂದಾಜು) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ನಂತರ ಆವರ್ತಕ ಗಣಿತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಚಕ್ರವು ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಪರಿಚಿತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಘಟಿಸಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತರ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ.
12. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೂಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಸೂತ್ರ:
13. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುವ ಮಾನದಂಡ:
ಅಜ್ಞಾತ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರತಿ i-th ಘಟಕಕ್ಕೆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಎಂದಿಗೂ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಪರಿಚಿತರ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತದೆ
14. ಮಧ್ಯಂತರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯ F(x) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಮಾನದಂಡ:
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:
ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಅನನುಕೂಲತೆಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
15. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ:
ಈ ವಿಧಾನವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಳವಾದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ:
ಮೂಲಕ್ಕೆ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ತಿಳಿಯಲಿ x = x 0. ಅದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ (2.7) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
, ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
ಇತ್ಯಾದಿ:
. (2.8)
 |
ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ X. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಚಿತ್ರ 2.6 ಒಂದು-ಮಾರ್ಗದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 2.7 ಎರಡು-ಮಾರ್ಗದ ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಾದ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ತ್ವರಿತ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಅಸಹಜ ಮುಕ್ತಾಯದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.
 |
ದ್ವಿಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸೈಕ್ಲಿಂಗ್ ಸಾಧ್ಯ, ಅಂದರೆ, ಅದೇ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ. ಲೂಪಿಂಗ್ ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ.
ಒಂದು-ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ರೂಟ್ ಬಳಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಇಳಿಜಾರು ಚಿಕ್ಕದಾದಷ್ಟೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಉತ್ತಮ. ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಬಳಿಯಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಮೂಲದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:
ಕ್ರಿಯೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (2.1) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2.7) ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು f(x)ಅಂತಹ ಸ್ಥಿತ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿ (2.9) ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (2.1) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2.7) ಪರಿವರ್ತನೆಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು (2.1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ ಬಿಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ X.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ 
ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧದಿಂದ (2.10) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (2.8) ಚಲಿಸೋಣ.
 |
ಸ್ಥಿರದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆ ಬಿಒಮ್ಮುಖ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ (2.9). ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುವ ಮಾನದಂಡವು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (2.2). ಚಿತ್ರ 2.8 ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ವಿಧಾನದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (X ಮತ್ತು Y ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮಾಪಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ).
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಅತ್ಯಧಿಕ ವೇಗವು ಆಗಿರುತ್ತದೆ 
ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರವು (2.11) ನ್ಯೂಟನ್ರ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಸಬ್ರುಟೀನ್ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಟೆರಾಸ್(ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ 2.1).
ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ... ಚಕ್ರದವರೆಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ಸೂತ್ರ (2.2)) ನಿಲ್ಲಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಸೂತ್ರವನ್ನು (2.11) ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದು.
ನೈಟರ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೂಪ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಲೂಪ್ ರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕದ ಆಯ್ಕೆಯು ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಚಾಲನೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಬಿಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಬಿಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ವರೂಪವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೊದಲು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಆಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಕುಣಿಕೆಗಳು (Fig. 2.9). ಅಕ್ಷದ ಮಾಪಕಗಳು Xಮತ್ತು ವೈವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಬಿ ಯ ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಧಾನಗಳ ಹೋಲಿಕೆ
ಪಿಸಿ ಪರದೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಲಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ 2.1).
ಅಕ್ಕಿ. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ PC ಪರದೆಯ ಪ್ರತಿಗಳು.
ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, x 2 -x-6 = 0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರ x 1 = -2 ಮತ್ತು x 2 = 3. ದೋಷ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೂಟ್ ಹುಡುಕಾಟ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು x= 3, ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ದ್ವಿಗುಣ ವಿಧಾನವು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ - 22 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು, ವೇಗವಾದವು b = -0.2 - 5 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ರರ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲ.
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ X= 3 -0.2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಯಿತು. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಬಿಒಮ್ಮುಖದ ದರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮೇಣ ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮೊದಲು ಚಕ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನವಾಗುತ್ತದೆ.
(2.1) ನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.1) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
ಇಲ್ಲಿ g(x) ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ (5.2) ನೇರವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (5.1) ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.2) ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣದ (5.2) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಆಯೋಜಿಸಬಹುದು:
- 1) ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ x ((,) e 5 o (x 0, ಎ)(x* e 5„(x 0, ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ));
- 2) ನಂತರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ
ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು
ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು
ಸರಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ. ಮೊದಲು ನಾವು ith ಅಂದಾಜಿನ ದೋಷವನ್ನು e(i) = x(i) - x* ಎಂದು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ
ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು (5.3) ಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ g(x* + e (/i)) ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ ಇ(ಕೆ>ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ x* ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ (g(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ). x* = g(x*) ಅನ್ನು ಸಹ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ
ಬಿ = (bnm)= I (x*)1 - ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.
ದೋಷದ ಪ್ರಮಾಣ ||e®|| ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು (5.4) ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ (2.16) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಬಳಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ (5.3) ಒಮ್ಮುಖದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 3.1 ವಿವರಿಸಿದೆ.
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖ. ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ (5.3): 
ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ:
ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಗಿಂತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಮಗೆ x' ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. (1.11) ನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. x* e 5 o (x 0, ಎ)ಮತ್ತು ಜಿ(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್
ಎಲ್ಲಾ x e ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ S n (x 0 , a) (ಸಿ(x*) = ಬಿ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ C(x) ನ ಅಂಶಗಳು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ
ಎಲ್ಲಾ x e 5„(x 0, ಎ),ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ (5.5) ಸಹ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಢಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.1 (ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ) ಪರಿಗಣಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಸಮೀಕರಣಗಳು:
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಧ್ಯತೆ (5.2) ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು Xಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮತ್ತು x 2ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ: 
ನಂತರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಯೋಜನೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ x* e 5„((2, 2), 1). ಆರಂಭಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ x (0) = (2,2) ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ? p = CT 5. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.1.
ಕೋಷ್ಟಕ 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
ಒಮ್ಮುಖವು ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು x (1/) ಅನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸರಳವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ C(x) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ B ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗಿದೆ
ಷರತ್ತು (5.5) ಅಥವಾ ಷರತ್ತು (5.6) ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ 5(B) ~ 0.8 ರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಮಾರ್ಪಾಡಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳು x (A+1)ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಬಳಸಬಹುದು (ಟಿ = ಎನ್,..., ಎನ್), ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಈಗಾಗಲೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಘಟಕಗಳು x k^ (/= 1,ಪ - 1) ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ (5.3) ರಚಿತವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು (5.8) ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 5.2 (ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ) ಸಿಸ್ಟಮ್ (5.7) ಗಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ
ಮೊದಲಿನಂತೆ, ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ x (0) = (2, 2) ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ g r = = 10 -5. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 5.2
ಕೋಷ್ಟಕ 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು ಕಾರಣವಾಯಿತು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿತು.
