ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖ

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಆನ್ಲೈನ್ ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರಗಳುಬಹಳ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ. ನಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಗೌಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಇತರ, ಉಚಿತವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರ: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 34 34 34 34 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 739 85 85 85 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 353 349 340 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 739 85 85 85 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಆನ್ಲೈನ್ ​​ವಿಧಾನಗಾಸ್ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

1. ನಾವು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
2. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದುಳಿದ ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು. ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಶೇಷ ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುವುದು. ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಇರುವದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.
3. ಗೌಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ಸಾಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ಬಲಭಾಗದ(ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರ ಕಾಲಮ್) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಯಾವುದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ, "ಅತ್ಯಂತ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರ" ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ವೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ, ಇದನ್ನು ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಅಪರಿಚಿತರು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಂತೆಯೇ) ಅಥವಾ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಹತ್ತಿರ (ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ - ಸರಳವಾಗಿ ನೇರವಾದ ಸ್ಟ್ರೋಕ್). ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆ ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ , ನಂತರ ಕೇವಲ ರಿವರ್ಸ್), ಇದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ವೈಮತ್ತು X, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿದೆ X .

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿಧಾನದ ಅನುಕೂಲಗಳು:

1. ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನದಂತೆ ತೊಡಕಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ;
2. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ಧಾರ(ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ), ಆದರೆ ಕ್ರಾಮರ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು;
3. ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ);
4. ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಶಾಲಾ) ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ - ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ (ತ್ರಿಕೋನ, ಹಂತ) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸರಳತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಶ್ಲಾಘಿಸಬಹುದು, ನಾವು ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ತ್ವರಿತ ನಿರ್ಧಾರಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ zಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವೈ:

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ - zಮತ್ತು ವೈ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ X:

ಹಿಂದಿನ ಹಂತಗಳಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಂತಹ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟವೂ ಅಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ಶಾಲೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಾವು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ರಮೇಣ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಆಗಿ ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಅನಿಮೇಷನ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಹಜವಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾಡಬಹುದು:

1. ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ (ಈ ಲೇಖನದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ);
2. ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಅನುಪಾತದ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು;
3. ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ "ಶೂನ್ಯ" ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ;
4. ಯಾವುದೇ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸಿ;
5. ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಶಾಲಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಪರಿಹಾರಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೊದಲು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ನಂತರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ವಿಭಜಿಸುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ (ಏಕತೆಯಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು) ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:

ಹೊಸ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ Xಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಕ), ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ - ಮೊದಲ ಸಾಲು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಕ ).

ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ

ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದ್ದರೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ X :

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯಿರಿ:

ಈಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ವೈ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ).

ನಮ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮೀಕರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ನಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನವಾದ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಮ್ಮ ಡೆಮೊ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಆಗುವವರೆಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ನಾವು "ಕೊನೆಯಿಂದ" ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ z:
.
ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ವೈ:

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ X:

ಉತ್ತರ: ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ .

: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಪಾಠದ ಐದನೇ ಭಾಗದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ, ತದನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ನಮ್ಮ ಡೆಮೊ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈಗ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕೆಲಸ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಈಗ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿಜವಾದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು , ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಈಗ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ. ನಾವು ವಿಸ್ತೃತ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊನೆಯ ನಿರ್ಧಾರನಾವು "ಕೊನೆಯಿಂದ" ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು "x ನಾಲ್ಕನೇ" ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

,

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯ ಪರ್ಯಾಯ

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ

,

ನಾವು "x ಫಸ್ಟ್" ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ .

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನೈಜ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ - ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು - ಮಿಶ್ರಣಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವೆಚ್ಚ ಅಥವಾ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತ್ವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸರಕುಗಳುಉತ್ಪನ್ನ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಾಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ಮಿಶ್ರಲೋಹದ ಮೂರು ತುಣುಕುಗಳು ಒಟ್ಟು 150 ಕೆಜಿ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹವು 60% ತಾಮ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - 30%, ಮೂರನೆಯದು - 10%. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮಿಶ್ರಲೋಹಕ್ಕಿಂತ 28.4 ಕೆಜಿ ಕಡಿಮೆ ತಾಮ್ರವಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮಿಶ್ರಲೋಹದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ 6.2 ಕೆಜಿ ಕಡಿಮೆ ತಾಮ್ರವಿದೆ. ಮಿಶ್ರಲೋಹದ ಪ್ರತಿ ತುಂಡಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಗಮನ, ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ. ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ) ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ), ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ:

ನೇರ ನಡೆ ಮುಗಿದಿದೆ. ನಾವು ವಿಸ್ತರಿತ ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಕೊನೆಯಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ -

ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ ಇದನ್ನು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲು ಕೇವಲ 15 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು ಎಂಬ ಅಂಶವು ಗಾಸ್ ಅವರ ವಿಧಾನದ ಸರಳತೆಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಅವರ ಹೆಸರಿನ ವಿಧಾನದ ಜೊತೆಗೆ, "ನಮಗೆ ನಂಬಲಾಗದ ಮತ್ತು ಅಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದು ತೋರುವದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ನಾವು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು" ಎಂಬ ಮಾತು ಗೌಸ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ - ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂಚನೆಗಳುಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು.

ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣ, ನಂತರ ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ. ನಾವು ಈಗ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಎನ್ಜೊತೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎನ್ಅಸ್ಥಿರ.

ಗೌಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ

ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ (ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವುದು, ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು), ಫಾರ್ಮ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ

ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು "ಅತಿಯಾದವು" ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ಪರಿಹಾರ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಟ್ಟವು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಲು, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು , ನಂತರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: . ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೌಲ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: .

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೆರಡೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ, ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು

ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ ನಂತರ, ಫಾರ್ಮ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಿಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ), ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಈಗ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ.

ಈಗ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಇದು ಹಲವಾರು ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

• ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ;
• ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.

ಲೇಖನದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅವಲೋಕನ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಸಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಾವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳು.

n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ p ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (p n ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ):

ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಮತ್ತು ಅವು ಉಚಿತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕರೂಪದ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ವೈವಿಧ್ಯಮಯ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ SLAU ನ ನಿರ್ಧಾರ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

SLAE ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಶ್ಚಿತ. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿಶ್ಚಿತ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಸಮನ್ವಯ ರೂಪ, ಅದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ
.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಾಖಲೆಗಳು ಅಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - SLAE ಯ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾಲಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, - ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು (n+1) ನೇ ಕಾಲಮ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಉಳಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿಂದ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ,

ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ, ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿಯಾಗದ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ನಾವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮಗಳು

• ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ,
• ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ (ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,
• ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ,

ನಂತರ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ (ಅಥವಾ, ಮೂಲದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ:

• ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ T ಯ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆ k ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ವಿವರಣೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಲ್ಲ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ? .

ಕೆಲವರು ಹಾಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎಡಬದಿಮೊದಲು, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ - ಬಲಕ್ಕೆ, ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 1 =1 ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 2 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x 2 = 2 ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:

ಇತರರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು.

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಈಗ ನಾವು x 2 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 3 =3 ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಚಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸರಿ?

ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ (ಮೊದಲ x 1, ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 2) ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಉಳಿದಿರುವವರೆಗೆ ನಾವು ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ಅನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ. ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೇರ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ. ಮುಗಿದ ನಂತರ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಈಗ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮ.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 2 ಮತ್ತು x 3 ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x 1 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕೆಲವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, SLAU ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಇಲ್ಲ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಮುಂದೆ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾವು x 1 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು. ಮುಖ್ಯ ಮಾತೃಕೆಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು , ನಂತರ ನೀವು x 1 ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು (ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ).

ನೀವು ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿವರಿಸೋಣ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ n ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರ , ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು .

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 ಅನ್ನು ಇತರ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ , ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, n ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಾವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ . ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು . ಹೀಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಈ ಕ್ಷಣದಿಂದ ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, x n ನ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x n-1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 1 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಗುಣಾಂಕ a 11 ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಮತ್ತು :

ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ನಾವು x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಹೋಗೋಣ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು :

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ :

ನೀವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ರಿವರ್ಸ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ,
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ,
ಎರಡನೆಯದರಿಂದ,
ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗುರುತುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಇದು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಪ್ರತಿ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅದು ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ಇದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು :

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ :

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು

ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಿದ ನಂತರ ಮೊದಲು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಇದು ಹಿಂದೆ ತಿರುಗುವ ಸಮಯ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವಿಲೋಮವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕರ್ಣವಾಯಿತು, ಅಂದರೆ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು

ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೊನೆಯದರಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ , ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ:

ಈಗ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಾಲುಗಳ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸೋಣ:

ರಿವರ್ಸ್ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಸೂಚನೆ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದಂತೆ ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ದಶಮಾಂಶಗಳುಗೆ ಹೋಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪದನಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (x 1, x 2, x 3 ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ x, y, z). ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ y ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಇದು ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ).

ಹಿಮ್ಮುಖ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ,
ಉಪಾಂತ್ಯದಿಂದ


ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಉತ್ತರ:

X = 10, y = 5, z = -20.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಚದರ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ನಮಗೆ ಹೇಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ) ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ SLAE ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಗುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಪ್ರಮುಖ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ). ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: "ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು"?

ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇವುಗಳು x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಿಖಿತ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರ x 1, x 4 ಮತ್ತು x 5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಪರಿಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:

ಇದರ ನಂತರ, ನಮ್ಮ SLAE ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಎಲ್ಲಿ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗಗಳು, ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

ಈಗ ನಾವು y ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡೋಣ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ SLAE ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾದ x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ವೇರಿಯಬಲ್ z ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು:

1. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ;
2. ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು;
3. ಯಾವುದೇ i-th ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ j-th ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸೇರಿಸುವುದು.

ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸದಿದ್ದರೆ ವೇರಿಯಬಲ್ x i ಅನ್ನು ಉಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಅರ್ಥವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಆರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸೋಣ. 1 ರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ x i ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
2. ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ x i ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರರಿಂದ ಕಳೆಯೋಣ. ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ x i ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ;
3. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ (ವಿರಳವಾಗಿ, ಆದರೆ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 = 0), ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ದಾಟುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ;
4. ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ n ಎನ್ನುವುದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು "ಸಂಸ್ಕರಣೆ" ಗಾಗಿ ಹೊಸ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0 = 8), ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಹಂತಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಬಹುಶಃ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ) ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಒಂದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅನುಮತಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ:

1. ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ;
2. ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಸಮೀಕರಣಗಳು. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಅಷ್ಟೇ! ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ! ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೀವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಬೋಧಕರನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಹಂತಗಳ ವಿವರಣೆ:

1. ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ - ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
2. ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (-1) ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (-3) ಭಾಗಿಸಿ - ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 1 ರ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ;
3. ನಾವು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ನಾವು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
4. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
5. ನಾವು ಅನುಮೋದಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಮೂಲ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಯಾವಾಗ ಬೇಕು? ನೀವು k ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ (k ಎಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣಗಳು l< k , может быть две:

1. Lth ಹಂತದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (l + 1). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಒಳ್ಳೆಯದು, ಏಕೆಂದರೆ ... ಅಧಿಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ - ಕೆಲವು ಹಂತಗಳ ಹಿಂದೆಯೂ ಸಹ.
2. l ನೇ ಹಂತದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯು ಅಸಂಗತತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, l ನೇ ಹಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉಳಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ - ಇವೆಲ್ಲವೂ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿಯೇ ದಾಟಿದೆ.

ಹಂತಗಳ ವಿವರಣೆ:

1. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಮತ್ತು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ - ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
2. ಎರಡನೆಯಿಂದ 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ - ನಾವು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0 = -5 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ:

ಹಂತಗಳ ವಿವರಣೆ:

1. ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ (ಎರಡರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ) ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ;
2. ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (-1) ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ;
3. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ - ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ x 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ;
4. x 3 ಮತ್ತು x 4 ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಉತ್ತರ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳು (x 1 ಮತ್ತು x 2) ಮತ್ತು ಎರಡು ಉಚಿತವಾದವುಗಳು (x 3 ಮತ್ತು x 4).