Noteiktā integrāļa ģeometriskie pielietojumi. Noteikta integrāļa pielietojumi

Lekcijas 8. Pieteikumi noteiktais integrālis.

Integrāļa pielietojums fizikālām problēmām balstās uz integrāļa aditivitātes īpašību attiecībā pret kopu. Tāpēc, izmantojot integrāli, var aprēķināt daudzumus, kas paši kopā ir aditīvi. Piemēram, figūras laukums ir vienāds ar tās daļu laukumu summu. Loka garumam, virsmas laukumam, ķermeņa tilpumam un ķermeņa masai ir vienāda īpašība. Tāpēc visus šos lielumus var aprēķināt, izmantojot noteiktu integrāli.

Lai atrisinātu problēmas, varat izmantot divas metodes: integrālsummu metode un diferenciāļu metode.

Integrālsummu metode atkārto noteikta integrāļa konstruēšanu: tiek konstruēts nodalījums, atzīmēti punkti, tajos tiek aprēķināta funkcija, aprēķināta integrāļa summa un tiek veikta pāreja uz robežu. Šajā metodē galvenās grūtības ir pierādīt, ka limitā rezultāts ir tieši tas, kas ir nepieciešams uzdevumā.

Tiek izmantota diferenciālā metode nenoteikts integrālis un Ņūtona-Leibnica formula. Tiek aprēķināta nosakāmā daudzuma starpība, un pēc tam, integrējot šo diferenciāli, tiek iegūts nepieciešamais daudzums, izmantojot Ņūtona–Leibnica formulu. Šajā metodē galvenā grūtība ir pierādīt, ka ir aprēķināta vajadzīgās vērtības starpība, nevis kaut kas cits.

Plaknes figūru laukumu aprēķins.

1. Attēlu ierobežo Dekarta koordinātu sistēmā definētas funkcijas grafiks.

Mēs nonācām pie noteikta integrāļa jēdziena no izliektas trapeces laukuma problēmas (faktiski izmantojot integrālo summu metodi). Ja funkcijai ir tikai nenegatīvas vērtības, tad laukumu zem funkcijas grafika segmentā var aprēķināt, izmantojot noteiktu integrāli. ievērojiet, tas tāpēc šeit var redzēt arī diferenciāļu metodi.

Bet funkcija var iegūt arī negatīvas vērtības noteiktā segmentā, tad integrālis virs šī segmenta dos negatīvu laukumu, kas ir pretrunā ar apgabala definīciju.

Jūs varat aprēķināt platību, izmantojot formuluS=. Tas ir līdzvērtīgs funkcijas zīmes maiņai tajās jomās, kurās tā iegūst negatīvas vērtības.

Ja jums ir jāaprēķina figūras laukums, kuru augšā ierobežo funkcijas grafiks un zemāk ar funkcijas grafiku, tad jūs varat izmantot formuluS= , jo.

Piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo taisnes x=0, x=2 un funkciju y=x 2, y=x 3 grafiki.

Ņemiet vērā, ka intervālā (0,1) pastāv nevienādība x 2 > x 3, bet x >1 nevienādība x 3 > x 2. Tāpēc

2. Attēlu ierobežo polāro koordinātu sistēmā norādītās funkcijas grafiks.

Ļaujiet, lai funkcijas grafiks ir norādīts polāro koordinātu sistēmā, un mēs vēlamies aprēķināt līknes sektora laukumu, ko ierobežo divi stari, un funkcijas grafiku polāro koordinātu sistēmā.

Šeit var izmantot integrālo summu metodi, aprēķinot līknes sektora laukumu kā elementāro sektoru laukumu summas robežu, kurā funkcijas grafiks tiek aizstāts ar apļveida loku. .

Varat arī izmantot diferenciālo metodi: .

Jūs varat domāt šādi. Aizstājot elementāru līknes sektoru, kas atbilst centrālajam leņķim, ar apļveida sektoru, mēs iegūstam proporciju . No šejienes . Integrējot un izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, mēs iegūstam .

Piemērs. Aprēķināsim apļa laukumu (pārbaudiet formulu). Mēs ticam. Apļa laukums ir .

Piemērs. Aprēķināsim laukumu, ko ierobežo kardioīds .

3 Attēlu ierobežo parametriski definētas funkcijas grafiks.

Funkciju var norādīt parametriski formā . Mēs izmantojam formulu S= , aizstājot tajā integrācijas robežas ar jauno mainīgo. . Parasti, aprēķinot integrāli, tiek izolēti tie apgabali, kuros integrānda funkcijai ir noteikta zīme, un tiek ņemts vērā atbilstošs laukums ar vienu vai otru zīmi.

Piemērs. Aprēķiniet elipses aptverto laukumu.

Izmantojot elipses simetriju, mēs aprēķinām elipses ceturtdaļas laukumu, kas atrodas pirmajā kvadrantā. Šajā kvadrantā. Tāpēc .

Ķermeņu tilpumu aprēķins.

1. Ķermeņu tilpumu aprēķins no paralēlo griezumu laukumiem.

Jāaprēķina noteikta ķermeņa V tilpums no zināmajiem šī ķermeņa šķērsgriezuma laukumiem ar plaknēm, kas ir perpendikulāras taisnei OX, kas novilkta caur jebkuru taisnes nogriežņa OX punktu x.

Pielietosim diferenciāļu metodi. Uzskatot elementāro tilpumu virs segmenta kā taisna apļveida cilindra tilpumu ar pamatnes laukumu un augstumu, mēs iegūstam . Integrējot un pielietojot Ņūtona-Leibnica formulu, iegūstam

2. Rotācijas ķermeņu tilpumu aprēķins.

Lai ir jāaprēķina VĒRSIS.

Tad .

Tāpat apgriezienu ķermeņa tilpums ap asiOY, ja funkcija ir dota formā , var aprēķināt, izmantojot formulu .

Ja funkcija ir norādīta formā un ir nepieciešams noteikt rotācijas ķermeņa tilpumu ap asiOY, tad tilpuma aprēķināšanas formulu var iegūt šādi.

Pārejot uz diferenciāli un neievērojot kvadrātiskos nosacījumus, mums ir . Integrējot un piemērojot Ņūtona-Leibnica formulu, mums ir .

Piemērs. Aprēķiniet sfēras tilpumu.

Piemērs. Aprēķiniet taisnā riņķveida konusa tilpumu, ko ierobežo virsma un plakne.

Aprēķināsim tilpumu kā rotācijas ķermeņa tilpumu, veidojas rotācijas rezultātā ap OZ asi taisnleņķa trīsstūris OXZ plaknē, kuras kājas atrodas uz OZ ass un taisne z = H, un hipotenūza atrodas uz līnijas.

Izsakot x ar z, mēs iegūstam .

Loka garuma aprēķins.

Lai iegūtu formulas loka garuma aprēķināšanai, atcerieties 1. semestrī iegūtās formulas loka garuma diferenciālam.

Ja loks ir nepārtraukti diferencējamas funkcijas grafiks, loka garuma starpību var aprēķināt, izmantojot formulu

. Tāpēc

Ja vienmērīgs loks ir norādīts parametriski, Tas

. Tāpēc .

Ja loks norādīts polāro koordinātu sistēmā, Tas

. Tāpēc .

Piemērs. Aprēķināt funkcijas grafika loka garumu, . .

Iesniegsim dažus noteiktā integrāļa lietojumus.

Plakanas figūras laukuma aprēķināšana

Izliektas trapeces laukums, ko ierobežo līkne (kur
), taisni
,
un segmentu
cirvji
, aprēķina pēc formulas

.

Figūras laukums, ko ierobežo līknes
Un
(Kur
) taisni
Un
aprēķina pēc formulas

.

Ja līkni uzrāda parametru vienādojumi
, tad izliektas trapeces laukums, ko šī līkne ierobežo taisnas līnijas
,
un segmentu
cirvji
, aprēķina pēc formulas

,

Kur Un tiek noteikti no vienādojumiem
,
, A
plkst
.

Līklīnijas sektora laukums, ko ierobežo līkne, kas norādīta polārajās koordinātēs ar vienādojumu
un divi polārie rādiusi
,
(
), tiek atrasts pēc formulas

.

Piemērs 1.27. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo parabola
un taisni
(1.1. attēls).

	Risinājums. Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu , . Kur , . Tad pēc formulas (1.6) mums ir .

Plaknes līknes loka garuma aprēķināšana

Ja līkne
segmentā
- gluda (tas ir, atvasinājums
nepārtraukts), tad šīs līknes atbilstošā loka garums tiek atrasts pēc formulas

.

Norādot līkni parametriski
(
- nepārtraukti diferencējamas funkcijas) līknes loka garums, kas atbilst monotoniskām parametra izmaiņām no pirms tam , aprēķina pēc formulas

Piemērs 1.28. Aprēķiniet līknes loka garumu
,
,
.

Risinājums. Atradīsim atvasinājumus attiecībā uz parametru :
,
. Tad no formulas (1.7) iegūstam

.

2. Vairāku mainīgo funkciju diferenciālrēķins

Ļaujiet katram sakārtotajam skaitļu pārim
no kāda apgabala
atbilst noteiktam skaitlim
. Tad sauca divu mainīgo funkciju Un ,
-neatkarīgi mainīgie vai argumenti ,
-definīcijas joma funkcijas un komplektu visas funkciju vērtības - tā vērtību diapazons un apzīmē
.

Ģeometriski funkcijas definīcijas apgabals parasti attēlo kādu plaknes daļu
, ko ierobežo līnijas, kas var piederēt vai nepiederēt šim apgabalam.

Piemērs 2.1. Atrodiet definīcijas domēnu
funkcijas
.

	Risinājums.Šī funkcija ir definēta šajos plaknes punktos , kurā , vai . Plaknes punkti, kuriem , veido reģiona robežu . Vienādojums definē parabolu (2.1. att.; tā kā parabola nepieder pie apgabala , tad tas ir attēlots ar punktētu līniju). Turklāt ir viegli tieši pārbaudīt, vai punkti, kuriem , kas atrodas virs parabolas. Novads ir atvērts un to var norādīt, izmantojot nevienādību sistēmu:

Ja mainīgais dod kādu pieaugumu
, A atstāt nemainīgu, tad funkcija
saņems piemaksu
, zvanīja privāts funkcijas pieaugums pēc mainīgā :

Tāpat, ja mainīgais saņem pieaugumu
, A paliek nemainīga, tad funkcija
saņems piemaksu
, zvanīja privāts funkcijas pieaugums pēc mainīgā :

Ja ir ierobežojumi:

,

,

viņus sauc funkcijas daļēji atvasinājumi
pēc mainīgajiem Un attiecīgi.

Piezīme 2.1. Līdzīgi tiek noteikti jebkura skaita neatkarīgu mainīgo funkciju daļējie atvasinājumi.

Piezīme 2.2. Tā kā daļējais atvasinājums attiecībā uz jebkuru mainīgo ir atvasinājums attiecībā pret šo mainīgo, ja pārējie mainīgie ir nemainīgi, tad visi viena mainīgā funkciju diferencēšanas noteikumi ir piemērojami, lai atrastu daļējus atvasinājumus no jebkura mainīgā skaita.

Piemērs 2.2.
.

Risinājums. Mēs atradām:

,

.

Piemērs 2.3. Atrast funkcijas daļējos atvasinājumus
.

Risinājums. Mēs atradām:

,

,

.

Pilns funkcijas pieaugums
sauc par atšķirību

Pilnas funkcijas pieauguma galvenā daļa
, lineāri atkarīgs no neatkarīgo mainīgo pieauguma
Un
,sauc par funkcijas kopējo diferenciāli un ir norādīts
. Ja funkcijai ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad kopējā diferenciāle pastāv un ir vienāda ar

,

Kur
,
- neatkarīgi mainīgo patvaļīgi pieaugumi, ko sauc par to diferenciāļiem.

Līdzīgi trīs mainīgo funkcijai
kopējā starpība ir dota ar

.

Ļaujiet funkcijai
ir punktā
pirmās kārtas daļējie atvasinājumi attiecībā uz visiem mainīgajiem. Tad tiek izsaukts vektors gradients funkcijas
punktā
un ir norādīts
vai
.

Piezīme 2.3. Simbols
tiek saukts par Hamiltona operatoru un tiek izrunāts kā "nambla".

Piemērs 2.4. Atrodiet funkcijas gradientu punktā
.

Risinājums. Atradīsim daļējos atvasinājumus:

,
,

un aprēķināt to vērtības punktā
:

,
,
.

Tāpēc
.

Atvasinājums funkcijas
punktā
vektora virzienā
sauc par koeficienta robežu
plkst
:

, Kur
.

Ja funkcija
ir diferencējams, tad atvasinājumu noteiktā virzienā aprēķina pēc formulas:

,

Kur ,- leņķi, kas ir vektors formas ar cirvjiem
Un
attiecīgi.

Trīs mainīgo funkcijas gadījumā
virziena atvasinājums tiek definēts līdzīgi. Atbilstošā formula ir

,

Kur
- vektora virziena kosinusus .

Piemērs 2.5. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
punktā
vektora virzienā
, Kur
.

Risinājums. Atradīsim vektoru
un tā virziena kosinusus:

,
,
,
.

Aprēķināsim daļējo atvasinājumu vērtības punktā
:

,
,
;
,
,
.

Aizvietojot ar (2.1), iegūstam

.

Otrās kārtas daļēji atvasinājumi tiek saukti par daļējiem atvasinājumiem, kas ņemti no pirmās kārtas daļējiem atvasinājumiem:

,

,

,

Daļēji atvasinājumi
,
tiek saukti sajaukts . Jaukto atvasinājumu vērtības ir vienādas tajos punktos, kuros šie atvasinājumi ir nepārtraukti.

Piemērs 2.6. Atrast funkcijas otrās kārtas daļējos atvasinājumus
.

Risinājums. Vispirms aprēķināsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus:

,
.

Atšķirot tos vēlreiz, mēs iegūstam:

,
,

,
.

Salīdzinot pēdējos izteicienus, mēs to redzam
.

Piemērs 2.7. Pierādiet, ka funkcija
apmierina Laplasa vienādojumu

.

Risinājums. Mēs atradām:

,
.

,
.

.

Punkts
sauca vietējais maksimālais punkts (minimums ) funkcijas
, ja par visiem punktiem
, atšķirīgs no
un piederība pietiekami mazai tās apkārtnei, nevienlīdzība

(
).

Funkcijas maksimumu vai minimumu sauc par to ekstremitāte . Tiek izsaukts punkts, kurā tiek sasniegts funkcijas galējais punkts funkcijas galējais punkts .

Teorēma 2.1 (Nepieciešamie nosacījumi ekstrēmam ). Ja punkts
ir funkcijas galējais punkts
, vai vismaz viens no šiem atvasinājumiem nepastāv.

Tiek izsaukti punkti, kuriem šie nosacījumi ir izpildīti stacionārs vai kritisks . Ekstrēma punkti vienmēr ir stacionāri, bet nekustīgs punkts var nebūt galējais punkts. Lai stacionārs punkts būtu galējības punkts, ir jāizpilda pietiekami ekstrēma nosacījumi.

Vispirms ieviesīsim šādu apzīmējumu :

,
,
,
.

Teorēma 2.2 (Pietiekami apstākļi ekstrēmam ). Ļaujiet funkcijai
divreiz diferencējams punkta tuvumā
un periods
funkcijai ir nekustīgs
. Pēc tam:

1.Ja
, tad norādiet
ir funkcijas un
būs maksimālais punkts plkst
(
)un minimālais punkts plkst
(
).

2.Ja
, tad punktā

nav nekādas galējības.

3.Ja
, tad ekstrēms var pastāvēt un var nebūt.

Piemērs 2.8. Pārbaudiet ekstremitātes funkciju
.

Risinājums. Kopš gada šajā gadījumā vienmēr pastāv pirmās kārtas daļējie atvasinājumi, tad, lai atrastu stacionārus (kritiskos) punktus, mēs atrisinām sistēmu:

,
,

kur
,
,
,
. Tādējādi mēs saņēmām divus stacionārus punktus:
,
.

,
,
.

Par punktu
mēs iegūstam:, tas ir, šajā punktā nav ekstrēma. Par punktu
mēs iegūstam: un
, tātad

šajā brīdī šī funkcija sasniedz vietējo minimumu: .

Līklīnijas trapeces laukums, ko augšpusē ierobežo funkcijas grafiks y=f(x), pa kreisi un pa labi - taisni x=a Un x=b attiecīgi no apakšas - ass Vērsis, aprēķina pēc formulas

Līklīnijas trapeces laukums, ko labajā pusē ierobežo funkcijas grafiks x=φ(y), augšā un apakšā - taisni y=d Un y=c attiecīgi pa kreisi - ass Oy:

Līklīnijas figūras laukums, ko augšpusē ierobežo funkcijas grafiks y 2 = f 2 (x), zemāk - funkciju grafiks y 1 = f 1 (x), pa kreisi un pa labi - taisni x=a Un x=b:

Līklīnijas figūras laukums, ko kreisajā un labajā pusē ierobežo funkciju grafiki x 1 =φ 1 (y) Un x 2 = φ 2 (y), augšā un apakšā - taisni y=d Un y=c attiecīgi:

Apskatīsim gadījumu, kad līnija, kas ierobežo līknes trapecveida formu no augšas, ir dota ar parametru vienādojumiem x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Kur α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β) = b. Šie vienādojumi definē kādu funkciju y=f(x) segmentā [ a, b]. Izliektas trapeces laukumu aprēķina, izmantojot formulu

Pāriesim pie jauna mainīgā x = φ 1 (t), Tad dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), tāpēc \begin(displaymath)

Laukums polārajās koordinātēs

Apsveriet izliektu sektoru OAB, ko ierobežo līnija, kas dots ar vienādojumu ρ=ρ(φ) polārajās koordinātēs divi stari O.A. Un O.B., par kuru φ=α , φ=β .

Nozari sadalīsim elementārajās nozarēs OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n = B). Apzīmēsim ar Δφk leņķis starp stariem OM k-1 Un OM k, veidojot leņķus ar polāro asi φ k-1 Un φk attiecīgi. Katrs no elementārajiem sektoriem OM k-1 M k aizstāt to ar apļveida sektoru ar rādiusu ρ k = ρ(φ" k), Kur φ" k- leņķa vērtība φ no intervāla [ φ k-1 , φ k] un centrālais leņķis Δφk. Pēdējā sektora laukumu izsaka ar formulu .

izsaka “pakāpju” sektora laukumu, kas aptuveni aizstāj konkrēto sektoru OAB.

Nozares apgabals OAB tiek saukta par “pakāpju” sektora laukuma robežu n → ∞ Un λ=maks. Δφ k → 0:

Jo , Tas

Līknes loka garums

Ļaujiet uz segmentu [ a, b] tiek dota diferencējama funkcija y=f(x), kura grafiks ir loks. Līnijas segments [ a, b] sadalīsim to daļās n daļas ar punktiem x 1, x 2, …, xn-1. Šie punkti atbildīs punktiem M 1, M 2, …, Mn-1 lokiem, savienojam tos ar lauztu līniju, ko sauc par lauztu līniju, kas ierakstīta lokā. Šīs pārtrauktās līnijas perimetrs tiks apzīmēts ar s n, tas ir

Definīcija. Līnijas loka garums ir tajā ierakstītās lauztās līnijas perimetra robeža, kad saišu skaits M k-1 M k palielinās uz nenoteiktu laiku, un lielākā no tiem garums mēdz būt nulle:

kur λ ir lielākās saites garums.

Mēs skaitīsim loka garumu no kāda punkta, piemēram, A. Ļaujiet pie punkta M(x,y) loka garums ir s, un punktā M"(x+Δ x,y+Δy) loka garums ir s+Δs, kur,i>Δs ir loka garums. No trīsstūra MNM" atrodiet akorda garumu: .

No ģeometriskiem apsvērumiem izriet, ka

tas ir, bezgalīgi mazs līnijas loks un akords, kas to aptver, ir līdzvērtīgi.

Pārveidosim formulu, kas izsaka akorda garumu:

Pārejot uz robežu šajā vienādībā, iegūstam funkcijas atvasinājuma formulu s=s(x):

no kuras atrodam

Šī formula izsaka plaknes līknes loka diferenciāli, un tai ir vienkārša ģeometriskā nozīme : izsaka Pitagora teorēmu bezgalīgi mazam trīsstūrim MTN (ds=MT, ).

Telpiskās līknes loka diferenciāli nosaka pēc formulas

Apsveriet ar parametru vienādojumu definētas telpiskās līnijas loku

Kur α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - argumenta diferencējamās funkcijas t, Tas

Integrējot šo vienādību intervālā [ α, β ], mēs iegūstam formulu šīs līnijas loka garuma aprēķināšanai

Ja līnija atrodas plaknē Oxy, Tas z=0 visu priekšā t∈[α, β], Tāpēc

Gadījumā, ja vienādojums ir dots plakanai līnijai y=f(x) (a≤x≤b), Kur f(x) ir diferencējama funkcija, pēdējā formula iegūst formu

Ļaujiet plaknes taisnei dot vienādojumu ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) polārajās koordinātēs. Šajā gadījumā mums ir parametru vienādojumi līnijas x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, kur par parametru tiek ņemts polārais leņķis φ . Tāpēc ka

tad formula, kas izsaka līnijas loka garumu ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) polārajās koordinātēs ir šāda forma

Ķermeņa apjoms

Atradīsim ķermeņa tilpumu, ja ir zināms jebkura šī ķermeņa šķērsgriezuma laukums, kas ir perpendikulārs noteiktam virzienam.

Sadalīsim šo ķermeni elementārajos slāņos ar plaknēm, kas ir perpendikulāras asij Vērsis un definēti ar vienādojumiem x=konst. Par jebkuru fiksētu x∈ zināms apgabals S=S(x)šķērsgriezums dots ķermenis.

Elementārais slānis nogriezts ar plaknēm x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), nomainiet to ar cilindru ar augstumu Δx k =x k -x k-1 un bāzes platība S(ξ k), ξ k ∈.

Norādītā elementārā cilindra tilpumu izsaka ar formulu Δv k =E(ξ k)Δx k. Apkoposim visus šādus produktus

kas ir noteiktas funkcijas integrālsumma S=S(x) segmentā [ a, b]. Tas izsaka pakāpienveida korpusa tilpumu, kas sastāv no elementāriem cilindriem un aptuveni aizstāj šo korpusu.

Dotā ķermeņa tilpums ir norādītā pakāpienveida ķermeņa tilpuma robeža pie λ→0 , Kur λ - lielākā no elementārajiem segmentiem garums Δxk. Apzīmēsim ar V dotā ķermeņa tilpums, pēc definīcijas

Citā pusē,

Tāpēc ķermeņa tilpums atbilstoši dotajam šķērsgriezumi aprēķina pēc formulas

Ja ķermenis veidojas, griežoties ap asi Vērsis izliekta trapece, ko augšpusē ierobežo nepārtrauktas līnijas loks y=f(x), Kur a≤x≤b, Tas S(x)=πf 2 (x) un pēdējai formulai ir šāda forma:

komentēt. Ķermeņa tilpums, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu, kuru labajā pusē ierobežo funkcijas grafiks x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), ap asi Oy aprēķina pēc formulas

Rotācijas virsmas laukums

Apsveriet virsmu, kas iegūta, pagriežot līnijas loku y=f(x) (a≤x≤b) ap asi Vērsis(pieņemsim, ka funkcija y=f(x) ir nepārtraukts atvasinājums). Vērtības fiksēšana x∈, mēs piešķirsim funkcijas argumenta pieaugumu dx, kas atbilst “elementāram gredzenam”, kas iegūts, pagriežot elementāro loku Δl. Aizstāsim šo “gredzenu” ar cilindrisku gredzenu - ķermeņa sānu virsmu, ko veido taisnstūra rotācija ar pamatni, kas vienāda ar loka diferenciāli dl, un augstums h=f(x). Nogriežot pēdējo gredzenu un atlokot to, mēs iegūstam sloksni ar platumu dl un garums 2πg, Kur y=f(x).

Tāpēc virsmas laukuma starpību izsaka ar formulu

Šī formula izsaka virsmas laukumu, kas iegūts, pagriežot līnijas loku y=f(x) (a≤x≤b) ap asi Vērsis.