Mājas Pārklāta mēle Ar līnijām norobežota figūra griežas ap asi. Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu

Pārklāta mēle

Ar līnijām norobežota figūra griežas ap asi. Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru ierobežo parabolu diagramma augšpusē. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina – integrands formulā ir kvadrātā: tātad integrālis vienmēr nav negatīvs , kas ir ļoti loģiski.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē jānorāda izmērs – kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 “kubi”. Kāpēc kubiskais vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, varētu būt kubikmetri, varētu būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ielikt lidojošā šķīvī.

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, veidojas rotācijas rezultātā ap figūras asi, ko ierobežo līnijas,

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: zīmējumā attēlosim plakanu figūru, ko ierobežo līnijas ,,,, neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Aprēķināsim apgriezienu ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.

Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar.

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļš. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā tilpumu ar.

Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.

Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu:

1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā rotācijas korpusa tilpums:

Atbilde:

Interesanti, ka iekšā šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:

Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko grāmatā pamanīja Perelmans (cits). Izklaidējoša ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas dzīves laikā izdzer 18 kvadrātmetru lielas telpas šķidruma, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Kopumā PSRS izglītības sistēma patiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, domāšanu un māca meklēt oriģinālus, nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, tas ir pieejams pat humānists. Nē, nevajag smaidīt, ka piedāvāju brīvo laiku, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas,, kur.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi gadījumi notiek joslā, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas : ja arguments tiek dalīts ar diviem: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Tāpat kā apgabala atrašanas problēmai, jums ir nepieciešamas pārliecinātas zīmēšanas prasmes - tas ir gandrīz vissvarīgākais (jo paši integrāļi bieži vien būs viegli). Varat apgūt kompetentas un ātras diagrammu veidošanas metodes mācību materiāli un grafiku ģeometriskās transformācijas. Bet patiesībā jau vairākas reizes stundās esmu runājis par zīmējumu nozīmi.

Kopumā integrālrēķinos ir daudz interesantu pielietojumu, izmantojot noteikts integrālis Jūs varat aprēķināt figūras laukumu, apgriezienu korpusa tilpumu, loka garumu, apgriezienu virsmas laukumu un daudz ko citu. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Ieviests? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā platību. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:

– ap abscisu asi;
– ap ordinātu asi.

Šajā rakstā tiks aplūkoti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, tas rada vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un es jums pastāstīšu, kā atrast apgabalu otrajā veidā - pa asi. Tas nav tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

plakana figūra ap asi

1. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas ap asi.

Risinājums: Tāpat kā apgabala atrašanas problēma, risinājums sākas ar zīmējumu plakana figūra . Tas ir, plaknē ir jākonstruē figūra, ko ierobežo līnijas, un neaizmirstiet, ka vienādojums norāda asi. Kā efektīvāk un ātrāk pabeigt zīmējumu, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Šis ir ķīniešu atgādinājums un tālāk šobrīd Es vairs neapstājos.

Zīmējums šeit ir pavisam vienkāršs:

Vēlamā plakana figūra ir ietonēta zilā krāsā, tā ir tā, kas griežas ap asi, un rotācijas rezultātā tiek iegūts nedaudz olveida lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, bet es esmu pārāk slinks, lai kaut ko precizētu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plaknes figūru ierobežo augšpusē esošās parabolas grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir ļoti loģiski.

Aprēķināsim apgriezienu ķermeņa tilpumu, izmantojot šī formula:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: Attēlosim zīmējumā plakanu figūru, ko ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.

Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar .

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.

Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu:

1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:

Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.

Kopumā PSRS izglītības sistēma patiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, sapratni un māca meklēt oriģinālu. nestandarta risinājumi problēmas. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, tas ir pieejams pat humānists. Nē, nevajag smaidīt, ka piedāvāju brīvo laiku, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi gadījumi notiek joslā, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet grafikus trigonometriskās funkcijas, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments tiek dalīts ar diviem: , tad grafiki tiek izstiepti divas reizes pa asi. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap ordinātu asi ir diezgan biežs viesis. testiem. Pa ceļam tas tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrā metode ir integrācija pa asi, kas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast ienesīgāko risinājumu ceļu. Tam ir arī praktiska dzīves jēga! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām personālu." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

Iesaku visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrajā rindkopā apgūtais materiāls sniegs nenovērtējamu palīdzību dubultintegrāļu aprēķināšanā.

5. piemērs

Dota plakana figūra ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izveidosim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastajā” veidā, par ko tika runāts stundā Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā ;
- segmentā.

Tāpēc:

Kāpēc parastais risinājums šajā gadījumā ir slikts? Pirmkārt, mēs saņēmām divus integrāļus. Otrkārt, integrāļi ir saknes, un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt jūs varat apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav slepkava, taču praksē viss var būt daudz skumjāk, es vienkārši problēmai izvēlējos “labākas” funkcijas.

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Šajā gadījumā segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.

! Piezīme: Jānosaka integrācijas robežas gar asi stingri no apakšas uz augšu!

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.

Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to ar iegūtā rotācijas ķermeņa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.

Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast , nevis vispirms paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.

Atbilde:

Tomēr ne slimīgs tauriņš.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka, pagriežot to pašu plakanu figūru ap asi, jūs dabiski iegūsit pilnīgi atšķirīgu rotācijas korpusu ar atšķirīgu tilpumu.

6. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas un ass.

1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo.
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Interesenti var atrast arī figūras laukumu “parastajā” veidā, tādējādi pārbaudot punktu 1). Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat ap asi plakanu figūru, jūs iegūsit pavisam citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt problēmas).

Pilnīgs risinājums diviem piedāvātajiem uzdevuma punktiem ir stundas beigās.

Jā, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas robežas!

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu, izmantojot noteiktu integrāli?

Turklāt plaknes figūras laukuma atrašana, izmantojot noteiktu integrāli tēmas svarīgākais pielietojums ir aprēķinot apgriezienu ķermeņa tilpumu. Materiāls ir vienkāršs, bet lasītājam jābūt gatavam: jāprot atrisināt nenoteiktie integrāļi vidēju sarežģītību un piemēro Ņūtona-Leibnica formulu noteikts integrālis . Tāpat kā apgabala atrašanas problēmai, jums ir nepieciešamas pārliecinātas zīmēšanas prasmes - tas ir gandrīz vissvarīgākais (jo paši integrāļi bieži vien būs viegli). Jūs varat apgūt kompetentas un ātras diagrammu veidošanas metodes, izmantojot metodisko materiālu . Bet patiesībā jau vairākas reizes stundās esmu runājis par zīmējumu nozīmi. .

Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu; izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt figūras laukumu, rotācijas ķermeņa tilpumu, loka garumu, virsmas laukumu. ķermenis un daudz kas cits. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

– ap x asi; – ap ordinātu asi.

Šajā rakstā tiks aplūkoti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, tas rada vislielākās grūtības, bet patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma , un es jums pastāstīšu, kā atrast apgabalu otrajā veidā - pa asi. Tas nav tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

1. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas ap asi.

Risinājums: Tāpat kā apgabala atrašanas problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir jākonstruē figūra, ko ierobežo līnijas, un neaizmirstiet, ka vienādojums nosaka asi. Kā efektīvāk un ātrāk pabeigt zīmējumu, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu . Šis ir ķīniešu atgādinājums, un šobrīd es nekavēšos tālāk.

Zīmējums šeit ir pavisam vienkāršs:

Vēlamā plakana figūra ir ietonēta zilā krāsā; tā ir tā, kas griežas ap asi. Rotācijas rezultātā tiek iegūts nedaudz olveida lidojošs šķīvītis, kas ir simetrisks pret asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, bet es esmu pārāk slinks, lai meklētu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt rotācijas ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru ierobežo parabolu diagramma augšpusē. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina – funkcija formulā ir kvadrātā: tātad revolūcijas ķermeņa apjoms vienmēr nav negatīvs, kas ir ļoti loģiski.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap līnijas ierobežotas figūras asi,

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: Attēlosim zīmējumā plakanu figūru, ko ierobežo līnijas ,,,, neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.

Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar.

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā tilpumu ar.

Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.

Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:

Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar sējumiem, ko grāmatā pamanīja Perelmans (ne tas viens). Izklaidējoša ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas dzīves laikā izdzer 18 kvadrātmetru lielas telpas šķidruma, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Kopumā PSRS izglītības sistēma patiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, ko viņš sarakstījis tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, domāšanu un māca meklēt oriģinālus, nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, tas ir pieejams pat humānists. Nē, nevajag smaidīt, ka piedāvāju brīvo laiku, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas,, kur.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Lūdzu, ņemiet vērā, ka joslā viss notiek, citiem vārdiem sakot, tiek dotas praktiski gatavas integrācijas robežas. Mēģiniet arī pareizi uzzīmēt trigonometrisko funkciju grafikus; ja arguments tiek dalīts ar diviem: tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Mēģiniet atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām un precīzāk aizpildiet zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Tā ķermeņa tilpuma aprēķins, kas veidojas, pagriežot plakanu figūru ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Pārbaudes darbā diezgan izplatīts viesis ir arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap ordinātu asi. Pa ceļam tas tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrā metode ir integrācija pa asi, kas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast ienesīgāko risinājumu ceļu. Tam ir arī praktiska dzīves jēga! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām personālu." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

5. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas ,,.

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas. 2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izveidosim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastajā” veidā, par ko tika runāts stundā Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu . Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa: – uz segmenta ; - segmentā.

Tāpēc:

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Turklāt segmentā taisne atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.

! Piezīme: ir jāiestata integrācijas ierobežojumi gar asistingri no apakšas uz augšu !

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.

Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar.

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam ar iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.

Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast , nevis vispirms paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.

Nodarbības veids: kombinēts.

Nodarbības mērķis: iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus, izmantojot integrāļus.

Uzdevumi:

nostiprināt prasmi pēc vairākām ģeometriskām figūrām identificēt līknes trapeces un attīstīt prasmi aprēķināt līknes trapeces laukumus;
iepazīties ar trīsdimensiju figūras jēdzienu;
iemācīties aprēķināt apgriezienu ķermeņu tilpumus;
veicināt loģiskās domāšanas attīstību, kompetentu matemātisku runu, precizitāti rasējumu konstruēšanā;
audzināt interesi par mācību priekšmetu, darboties ar matemātiskiem jēdzieniem un tēliem, audzināt gribu, neatkarību un neatlaidību gala rezultāta sasniegšanā.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

Sveicieni no grupas. Paziņojiet studentiem stundas mērķus.

Atspulgs. Mierīga melodija.

– Šodienas stundu es vēlētos sākt ar līdzību. “Reiz dzīvoja kāds gudrs vīrs, kurš visu zināja. Viens vīrietis gribēja pierādīt, ka gudrais nezina visu. Turot tauriņu plaukstās, viņš jautāja: "Saki man, gudrais, kurš tauriņš ir manās rokās: miris vai dzīvs?" Un viņš pats domā: "Ja dzīvais sacīs: es viņu nogalināšu, bet mirušais sacīs: es viņu atlaidīšu." Gudrais, padomājis, atbildēja: "Viss jūsu rokās". (Prezentācija.Slidkalniņš)

– Tāpēc šodien strādāsim auglīgi, apgūsim jaunu zināšanu krājumu, un iegūtās prasmes un iemaņas pielietosim turpmākajā dzīvē un praktiskajā darbībā. "Viss jūsu rokās".

II. Iepriekš pētītā materiāla atkārtošana.

– Atcerēsimies iepriekš pētītā materiāla galvenos punktus. Lai to izdarītu, izpildīsim uzdevumu "Izslēdziet papildu vārdu."(Slidkalniņš.)

(Skolēns dodas uz ID, izmanto dzēšgumiju, lai noņemtu papildu vārdu.)

- Pa labi "Diferenciālis". Mēģiniet nosaukt atlikušos vārdus ar vienu kopīgu vārdu. (Integrālais aprēķins.)

– Atcerēsimies galvenos posmus un jēdzienus, kas saistīti ar integrālrēķinu.

"Matemātikas kopa".

Vingrinājums. Atbrīvojiet spraugas. (Skolēns iznāk un ar pildspalvu uzraksta vajadzīgos vārdus.)

– Vēlāk dzirdēsim abstraktu par integrāļu pielietošanu.

Darbs piezīmju grāmatiņās.

– Ņūtona-Leibnica formulu atvasināja angļu fiziķis Īzaks Ņūtons (1643–1727) un vācu filozofs Gotfrīds Leibnics (1646–1716). Un tas nav pārsteidzoši, jo matemātika ir valoda, kurā runā pati daba.

– Apsvērsim, kā, risinot praktiskie uzdevumi tiek izmantota šī formula.

1. piemērs: Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas

Risinājums: veidosim funkciju grafikus koordinātu plaknē . Atlasīsim figūras apgabalu, kas jāatrod.

III. Jauna materiāla apgūšana.

– Pievērsiet uzmanību ekrānam. Kas ir parādīts pirmajā attēlā? (Slidkalniņš) (Attēls parāda plakanu figūru.)

– Kas ir redzams otrajā attēlā? Vai šī figūra ir plakana? (Slidkalniņš) (Attēls parāda trīsdimensiju figūru.)

- Kosmosā, uz zemes un iekšā Ikdiena Mēs sastopam ne tikai plakanas figūras, bet arī trīsdimensiju figūras, bet kā mēs varam aprēķināt šādu ķermeņu tilpumu? Piemēram, planētas, komētas, meteorīta u.c. tilpums.

– Par apjomu cilvēki domā gan būvējot mājas, gan lejot ūdeni no viena trauka otrā. Bija jāparādās noteikumiem un paņēmieniem apjomu aprēķināšanai; cits jautājums ir tas, cik tie bija precīzi un saprātīgi.

Ziņa no studenta. (Tyurina Vera.)

1612. gads bija ļoti auglīgs Austrijas pilsētas Lincas iedzīvotājiem, kur dzīvoja slavenais astronoms Johanness Keplers, īpaši vīnogām. Cilvēki gatavoja vīna mucas un gribēja uzzināt, kā praktiski noteikt to tilpumus. (2. slaids)

– Tādējādi Keplera aplūkotie darbi lika pamatu veselai pētījumu straumei, kas kulmināciju sasniedza 17. gadsimta pēdējā ceturksnī. dizains I. Ņūtona un G.V. darbos. Diferenciālrēķina un integrāļa aprēķina Leibnics. Kopš tā laika mainīgo matemātika ieņēma vadošo vietu matemātikas zināšanu sistēmā.

– Šodien jūs un es iesaistīsimies šādās praktiskās aktivitātēs, tāpēc

Mūsu nodarbības tēma: “Rotācijas ķermeņu tilpumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli”. (Slidkalniņš)

– Rotācijas ķermeņa definīciju uzzināsiet, izpildot šādu uzdevumu.

"Labirints".

Labirints (grieķu vārds) nozīmē iešanu pazemē. Labirints ir sarežģīts celiņu, eju un savstarpēji savienotu telpu tīkls.

Bet definīcija bija “salauzta”, atstājot norādes bultu veidā.

Vingrinājums. Atrodiet izeju no mulsinošās situācijas un pierakstiet definīciju.

Slidkalniņš. “Kartes instrukcija” Apjomu aprēķināšana.

Izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt konkrēta ķermeņa tilpumu, jo īpaši apgriezienu korpusu.

Apgriezienu ķermenis ir ķermenis, kas iegūts, griežot izliektu trapecveida formu ap tā pamatni (1., 2. att.)

Rotācijas ķermeņa tilpumu aprēķina, izmantojot vienu no formulām:

1. ap VĒRŠA asi.

2. , ja izliektas trapeces rotācija ap op-amp asi.

Katrs skolēns saņem mācību karti. Skolotājs uzsver galvenos punktus.

– Skolotājs skaidro risinājumus piemēriem uz tāfeles.

Apsveriet fragmentu no slavenā pasaka A. S. Puškins “Stāsts par caru Saltānu, viņa krāšņo un vareno varoni princi Gvidonu Saltanoviču un skaisto princesi Gulbi” (4. slaids):

…..
Un piedzēries ziņnesis atnesa
Tajā pašā dienā pasūtījums ir šāds:
"Karalis pavēl saviem bojāriem,
Netērējot laiku,
Un karaliene un pēcnācēji
Slepus iemetiet ūdens bezdibenī."
Nav ko darīt: bojāri,
Uztraucas par suverēnu
Un jaunajai karalienei,
Viņas guļamistabā ieradās pūlis.
Viņi paziņoja karaļa gribu -
Viņai un viņas dēlam ir ļauna daļa,
Mēs skaļi lasām dekrētu,
Un karaliene tajā pašā stundā
Viņi mani ielika mucā ar manu dēlu,
Viņi darvoja un brauca prom
Un viņi mani ielaida okijānā -
Tā pavēlēja cars Saltāns.

Kādam jābūt mucas tilpumam, lai tajā ietilptu karaliene un viņas dēls?

– Apsveriet šādus uzdevumus

1. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap līknes trapeces ordinātu asi, kuru ierobežo līnijas: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Atbilde: 1163 cm 3 .

Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot parabolisko trapecveida formu ap abscisu asi y = , x = 4, y = 0.

IV. Jauna materiāla konsolidācija

Piemērs 2. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido ziedlapas rotācija ap x asi y = x 2, y 2 = x.

Izveidosim funkcijas grafikus. y = x 2, y 2 = x. Grafiks y2 = x konvertēt uz formu y= .

Mums ir V = V 1 – V 2 Aprēķināsim katras funkcijas apjomu

– Tagad apskatīsim Maskavas radiostacijas torni Šabolovkā, kas celts pēc ievērojamā krievu inženiera, goda akadēmiķa V. G. Šuhova projekta. Tas sastāv no daļām - rotācijas hiperboloīdiem. Turklāt katrs no tiem ir izgatavots no taisniem metāla stieņiem, kas savieno blakus esošos apļus (8., 9. att.).

- Apsvērsim problēmu.

Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot hiperbolas lokus ap savu iedomāto asi, kā parādīts attēlā. 8, kur

kubs vienības

Grupu uzdevumi. Skolēni izlozē ar uzdevumiem, zīmē zīmējumus uz Whatman papīra, un viens no grupas pārstāvjiem aizstāv darbu.

1. grupa.

Sist! Sist! Kārtējais trieciens!
Bumba lido vārtos - Bumba!
Un šī ir arbūzu bumba
Zaļš, apaļš, garšīgs.
Paskaties labāk – kāda bumba!
Tas ir izgatavots tikai no apļiem.
Sagrieziet arbūzu aprindās
Un garšo tos.

Atrodiet ierobežotās funkcijas ķermeņa tilpumu, kas iegūts, griežot ap OX asi

Kļūda! Grāmatzīme nav definēta.

– Sakiet, lūdzu, kur mēs šo figūru satiekam?

Māja. uzdevums 1 grupai. CILINDS (slidkalniņš) .

"Cilindrs - kas tas ir?" – jautāju tētim.
Tēvs smējās: cilindrs ir cepure.
Lai būtu pareiza ideja,
Cilindrs, teiksim, ir skārda kanna.
Tvaikoņa caurule - cilindrs,
Arī caurule uz mūsu jumta,

Visas caurules ir līdzīgas cilindram.
Un es sniedzu šādu piemēru -
Kaleidoskops Mana mīlestība,
Tu nevari atraut no viņa acis,
Un tas arī izskatās pēc cilindra.

- Vingrojiet. Mājasdarbs attēlojiet funkciju un aprēķiniet skaļumu.

2. grupa. KONUSS (slidkalniņš).

Mamma teica: Un tagad
Mans stāsts būs par čiekuru.
Zvaigžņu vērotājs augstā cepurē
Skaita zvaigznes visu gadu.
KONUSS - zvaigžņu vērotāja cepure.
Tāds viņš ir. Sapratu? Tieši tā.
Mamma stāvēja pie galda,
Es ieleju eļļu pudelēs.
-Kur ir piltuve? Piltuves nav.
Meklējiet to. Nestāvi malā.
- Mammu, es nekustīšos.
Pastāstiet mums vairāk par konusu.
– Piltuve ir lejkannas konusa formā.
Nāc, atrodi viņu man ātri.
Es nevarēju atrast piltuvi
Bet mamma uztaisīja somu,
Es aptinu kartonu ap pirkstu
Un viņa veikli to nostiprināja ar saspraudi.
Eļļa plūst, mamma priecājas,
Konuss iznāca tieši pareizi.

Vingrinājums. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, griežot ap abscisu asi

Māja. uzdevums 2. grupai. PIRAMĪDA(slidkalniņš).

es redzēju attēlu. Šajā attēlā
Smilšainajā tuksnesī ir PIRAMĪDA.
Piramīdā viss ir neparasts,
Tajā ir sava veida noslēpums un noslēpums.
Un Spasskaya tornis Sarkanajā laukumā
Tas ir ļoti pazīstams gan bērniem, gan pieaugušajiem.
Ja paskatās uz torni, tas izskatās parasts,
Kas tam virsū? Piramīda!

Vingrinājums. Mājas darbs: zīmējiet funkciju un aprēķiniet piramīdas tilpumu

– Mēs aprēķinājām dažādu ķermeņu tilpumus, pamatojoties uz ķermeņu tilpumu pamatformulu, izmantojot integrāli.

Tas ir vēl viens apstiprinājums tam, ka noteiktais integrālis ir zināms pamats matemātikas studijām.

- Nu, tagad mazliet atpūtīsimies.

Atrodi pāri.

Skan matemātiskā domino melodija.

"Ceļš, kuru es pats meklēju, nekad netiks aizmirsts..."

Pētnieciskais darbs. Integrāļa pielietojums ekonomikā un tehnoloģijā.

Pārbaudījumi spēcīgiem skolēniem un matemātiskais futbols.

Matemātikas simulators.

2. Tiek izsaukta dotās funkcijas visu antiatvasinājumu kopa

A) nenoteikts integrālis,

B) funkcija,

B) diferenciācija.

7. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap līknes trapeces abscisu asi, kuru ierobežo līnijas:

D/Z. Aprēķiniet apgriezienu ķermeņu tilpumus.

Atspulgs.

Pārdomu uztveršana formā sinhroni(piecas rindiņas).

1. rindiņa – tēmas nosaukums (viens lietvārds).

2.rinda – tēmas apraksts divos vārdos, divi īpašības vārdi.

3.rindiņa – darbības apraksts šīs tēmas ietvaros trīs vārdos.

4. rinda ir četru vārdu frāze, kas parāda attieksmi pret tēmu (vesels teikums).

5. rinda ir sinonīms, kas atkārto tēmas būtību.

Skaļums.
Noteikta integrāla, integrējama funkcija.
Mēs būvējam, rotējam, aprēķinām.
Ķermenis, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu (ap tās pamatni).
Rotācijas ķermenis (tilpuma ģeometriskais ķermenis).

Secinājums (slidkalniņš).

Noteikts integrālis ir noteikts pamats matemātikas studijām, kas sniedz neaizstājamu ieguldījumu praktisko problēmu risināšanā.
Tēma “Integrāls” uzskatāmi parāda matemātikas un fizikas, bioloģijas, ekonomikas un tehnoloģiju saistību.
Attīstība mūsdienu zinātne nav iedomājams bez integrāļa lietošanas. Šajā sakarā jāsāk to apgūt vidējās speciālās izglītības ietvaros!

Novērtēšana. (Ar komentāriem.)

Lielais Omars Khayyam - matemātiķis, dzejnieks, filozofs. Viņš mudina mūs būt sava likteņa saimniekiem. Klausīsimies fragmentu no viņa darba: