Faktiski, lai atrastu figūras laukumu, jums nav nepieciešams tik daudz zināšanu par nenoteikto un noteiktu integrāli. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktais integrālis"vienmēr ietver zīmējuma veidošanu, tik daudz vairāk aktuāls jautājums būs jūsu zināšanas un prasmes zīmēšanā. Šajā sakarā ir lietderīgi atsvaidzināt atmiņu par pamata elementārfunkciju diagrammām un vismaz prast izveidot taisni un hiperbolu.

Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra ierobežota ar asi, taisnas līnijas un intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks, kas nemaina zīmi šajā intervālā. Ļaujiet šim skaitlim atrasties ne mazāk x ass:

Tad līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli. Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme.

No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.

Tas ir, noteikts integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāds definē līkni plaknē, kas atrodas virs ass (tie, kas vēlas, var izveidot zīmējumu), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar laukumu atbilstošā izliektā trapece.

1. piemērs

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmkārt un vissvarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšanas zīmējums. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PA LABI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad- parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):

Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:

Atbilde:

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. IN šajā gadījumā“ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņemtu, teiksim, atbildi: 20 kvadrātveida vienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas nepārprotami neietilpst attiecīgajā figūrā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Ja atrodas izliekta trapece zem ass(vai vismaz ne augstāk dotā ass), tad tās laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Šajā gadījumā:

Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez neviena ģeometriskā nozīme, tad tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet apgabalu plakana figūra, ko ierobežo līnijas , .

Risinājums: Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .

Ja iespējams, labāk neizmantot šo metodi..

Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.

Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Un tagad darba formula: ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar daži nepārtraukta funkcija, tad attēla laukumu, ko ierobežo šo funkciju grafiki un līnijas , var atrast, izmantojot formulu:

Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

4. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Risinājums: Vispirms izveidosim zīmējumu:

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas “kļūme”, ka jāatrod ēnotās figūras laukums. zaļš!

Šis piemērs ir noderīgs arī ar to, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus.

Tiešām:

1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;

2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu

Apskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs analizēsim tipisko un visizplatītāko uzdevumu – kā izmantot noteiktu integrāli, lai aprēķinātu plaknes figūras laukumu. Visbeidzot, tie, kas meklē jēgu augstākajā matemātikā - lai viņi to atrod. Tu nekad nezini. Mums tas dzīvē būs jātuvina lauku kotedžu rajons elementārās funkcijas un atrast tās apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli.

Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:

1) Saprast nenoteikts integrālis vismaz vidējā līmenī. Tādējādi manekeniem vispirms jāizlasa nodarbība Nav.

2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteikto integrāli. Jūs varat izveidot siltas draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem lapā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Faktiski, lai atrastu figūras laukumu, jums nav nepieciešams tik daudz zināšanu par nenoteikto un noteiktu integrāli. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tāpēc jūsu zināšanas un zīmēšanas prasmes būs daudz aktuālāks jautājums. Šajā sakarā ir lietderīgi atsvaidzināt atmiņu par pamata elementārfunkciju diagrammām un vismaz, lai varētu izveidot taisni, parabolu un hiperbolu. To var izdarīt (daudziem tas ir nepieciešams), izmantojot metodiskais materiāls un raksti par grafiku ģeometriskām transformācijām.

Patiesībā, uzdevums atrast apgabalu, izmantojot noteiktu integrāli, ir pazīstams jau no skolas laikiem, un mēs neturēsimies daudz tālāk. skolas mācību programma. Iespējams, šī raksta nemaz nebūtu, bet fakts ir tāds, ka problēma rodas 99 gadījumos no 100, kad students cieš no nīstas skolas un ar entuziasmu apgūst augstākās matemātikas kursu.

Šīs darbnīcas materiāli ir izklāstīti vienkārši, detalizēti un ar minimālu teoriju.

Sāksim ar izliektu trapecveida formu.

Līklīnijas trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo ass, taisnas līnijas un nepārtrauktas funkcijas grafiks intervālā, kas nemaina zīmi šajā intervālā. Ļaujiet šim skaitlim atrasties ne mazāk x ass:

Tad līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli. Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Nodarbībā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri Es teicu, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.

Tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāde nosaka līkni plaknē, kas atrodas virs ass (tie, kas vēlas, var izveidot zīmējumu), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar atbilstošās līknes trapeces laukumu.

1. piemērs

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmais un vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmējuma uzbūve. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PA LABI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam, punktu pa punktam būvniecības tehnika ir atrodama atsauces materiālā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):

Es neēnošu izliekto trapecveida formu, šeit ir skaidrs, par kuru apgabalu mēs runājam. Risinājums turpinās šādi:

Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:

Atbilde:

Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu , atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

2. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , un ass

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass?

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Ja atrodas izliekta trapece zem ass(vai vismaz ne augstāk dotā ass), tad tās laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:

Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinājums: Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, labāk neizmantot šo metodi..

Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Punktu pēc punkta konstruēšanas tehnika dažādiem grafikiem ir detalizēti apskatīta palīdzībā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.

Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Atkārtoju, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noskaidrotas “automātiski”.

Un tagad darba formula: ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar kādu nepārtrauktu funkciju , tad figūras laukumu, ko ierobežo šo funkciju grafiki un līnijas , var atrast, izmantojot formulu:

Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. vienkāršu piemēru Nr. 3) ir īpašs gadījums formulas . Tā kā asi ir norādīta ar vienādojumu, un funkcijas grafiks atrodas ne augstāk cirvji, tad

Un tagad pāris piemēri savam risinājumam

5. piemērs

6. piemērs

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums, tieši tā tavs pazemīgais kalps vairākas reizes izkūpēja. Šeit reāls gadījums no dzīves:

7. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Risinājums: Vispirms izveidosim zīmējumu:

...Eh, zīmējums sanāca švaki, bet viss it kā salasāms.

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas “kļūme”, ka jums ir jāatrod zaļā krāsā iekrāsotais figūras laukums!

Šis piemērs ir noderīgs arī ar to, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:

1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;

2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Atbilde:

Pāriesim pie cita jēgpilna uzdevuma.

8. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā un izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:

No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: .
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir? Var būt ? Bet kur ir garantija, ka zīmējums tapis ar nevainojamu precizitāti, var izrādīties, ka... Vai sakne. Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?

Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.

Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus.
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:


,

Tiešām, .

Tālākais risinājums ir triviāls, galvenais neapjukt aizvietojumos un zīmēs, aprēķini šeit nav no tiem vienkāršākajiem.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.

9. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,

Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.

Sasodīts, es aizmirsu parakstīt grafiku un, atvainojiet, es negribēju pārtaisīt attēlu. Nav zīmēšanas diena, īsi sakot, šodien ir tā diena =)

Lai izveidotu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi (un parasti ir noderīgi zināt visu elementāro funkciju grafiki), kā arī dažas sinusa vērtības, tās var atrast trigonometriskā tabula. Dažos gadījumos (kā šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.

Šeit nav problēmu ar integrācijas ierobežojumiem, tie izriet tieši no nosacījuma: “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:

Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc:

Šajā rakstā jūs uzzināsit, kā, izmantojot integrālos aprēķinus, atrast figūras laukumu, ko ierobežo līnijas. Pirmo reizi ar šādas problēmas formulēšanu sastopamies vidusskolā, kad tikko esam pabeiguši noteikto integrāļu izpēti un ir laiks uzsākt iegūto zināšanu ģeometrisko interpretāciju praksē.

Tātad, kas nepieciešams, lai veiksmīgi atrisinātu figūras laukuma atrašanas problēmu, izmantojot integrāļus:

• Spēja veidot kompetentus rasējumus;
• Spēja atrisināt noteiktu integrāli, izmantojot slavenā formulaŅūtons-Leibnics;
• Iespēja “redzēt” izdevīgāku risinājuma variantu – t.i. saproti, kā vienā vai otrā gadījumā būs ērtāk veikt integrāciju? Pa x asi (OX) vai y asi (OY)?
• Kur mēs būtu bez pareiziem aprēķiniem?) Tas ietver izpratni par to, kā atrisināt cita veida integrāļus, un pareizi veikt skaitliskos aprēķinus.

Algoritms ar līnijām norobežotas figūras laukuma aprēķināšanas problēmas risināšanai:

1. Mēs veidojam zīmējumu. Vēlams to darīt uz rūtainas papīra lapas, lielā mērogā. Šīs funkcijas nosaukumu mēs parakstām ar zīmuli virs katra grafika. Grafiku parakstīšana tiek veikta tikai turpmāko aprēķinu ērtībai. Saņemot vēlamās figūras grafiku, vairumā gadījumu uzreiz būs skaidrs, kuras integrācijas robežas tiks izmantotas. Tā mēs risinām problēmu grafiskā metode. Tomēr gadās, ka robežvērtības ir daļējas vai neracionālas. Tāpēc varat veikt papildu aprēķinus, pārejiet uz otro darbību.

2. Ja integrācijas robežas nav skaidri norādītas, mēs atrodam grafiku krustošanās punktus savā starpā un redzam, vai mūsu grafiskais risinājums ar analītisko.

3. Tālāk jums jāanalizē zīmējums. Atkarībā no tā, kā ir sakārtoti funkciju grafiki, ir dažādas pieejas lai atrastu figūras laukumu. Apsvērsim dažādi piemēri par figūras laukuma atrašanu, izmantojot integrāļus.

3.1. Klasiskākā un vienkāršākā problēmas versija ir tad, kad jāatrod izliektas trapeces laukums. Kas ir izliekta trapece? Šis ir plakans skaitlis, ko ierobežo x ass (y = 0), taisni x = a, x = b un jebkura līkne, kas nepārtraukta intervālā no a pirms tam b. Turklāt šis skaitlis nav negatīvs un atrodas ne zem x ass. Šajā gadījumā līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli, ko aprēķina, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:

1. piemērs y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ar kādām līnijām skaitlis ierobežo? Mums ir parabola y = x2 – 3x + 3, kas atrodas virs ass Ak!, tas nav negatīvs, jo visiem šīs parabolas punktiem ir pozitīvas vērtības. Tālāk dotas taisnas līnijas x = 1 Un x = 3, kas iet paralēli asij OU, ir figūras robežlīnijas kreisajā un labajā pusē. Nu y = 0, tā ir arī x ass, kas ierobežo attēlu no apakšas. Iegūtais skaitlis ir ieēnots, kā redzams attēlā pa kreisi. Šajā gadījumā jūs varat nekavējoties sākt problēmas risināšanu. Pirms mums ir vienkāršs izliektas trapeces piemērs, kuru mēs pēc tam atrisinām, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu.

3.2. Iepriekšējā 3.1. punktā mēs apskatījām gadījumu, kad izliekta trapece atrodas virs x ass. Tagad apsveriet gadījumu, kad problēmas nosacījumi ir vienādi, izņemot to, ka funkcija atrodas zem x ass. Standarta Ņūtona-Leibnica formulai tiek pievienots mīnuss. Tālāk mēs apsvērsim, kā atrisināt šādu problēmu.

2. piemērs . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šajā piemērā mums ir parabola y = x2 + 6x + 2, kas nāk no ass Ak!, taisni x = -4, x = -1, y = 0. Šeit y = 0 ierobežo vēlamo figūru no augšas. Tieša x = -4 Un x = -1šīs ir robežas, kurās tiks aprēķināts noteiktais integrālis. Figūras laukuma atrašanas problēmas risināšanas princips gandrīz pilnībā sakrīt ar piemēru numuru 1. Vienīgā atšķirība ir tā, ka dotā funkcija nav pozitīva, kā arī ir nepārtraukta intervālā [-4; -1] . Ko tu domā, ka nav pozitīvs? Kā redzams no attēla, skaitlim, kas atrodas dotajos x, ir tikai “negatīvas” koordinātas, kas mums ir jāredz un jāatceras, risinot problēmu. Mēs meklējam figūras laukumu, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu, tikai ar mīnusa zīmi sākumā.

Raksts nav pabeigts.

A)

Risinājums.

Pirmais un vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmējuma uzbūve.

Izveidosim zīmējumu:

Vienādojums y=0 iestata “x” asi;

- x=-2 Un x=1 - taisni, paralēli asij OU;

- y=x 2 +2 - parabola, kuras zari vērsti uz augšu, ar virsotni punktā (0;2).

komentēt. Lai konstruētu parabolu, pietiek atrast tās krustošanās punktus ar koordinātu asīm, t.i. liekot x=0 atrodiet krustojumu ar asi OU un attiecīgi izlemjot kvadrātvienādojums, atrodiet krustojumu ar asi Ak .

Parabolas virsotni var atrast, izmantojot formulas:

Varat arī veidot līnijas pa punktam.

Uz intervāla [-2;1] funkcijas grafiks y=x 2 +2 atrodas virs ass Vērsis , Tāpēc:

Atbilde: S =9 kv.m

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā “ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass Ak?

b) Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=-e x , x=1 un koordinātu asis.

Risinājums.

Uztaisīsim zīmējumu.

Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass Ak , tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Atbilde: S=(e-1) kv. vienības" 1,72 kv

Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē.

ar) Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y=2x-x 2, y=-x.

Risinājums.

Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus un taisni To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska.

Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a=0 , integrācijas augšējā robeža b=3 .

Uzbūvējam dotās taisnes: 1. Parabola - virsotne punktā (1;1); asu krustpunkts Ak - punktu (0;0) un (0;2). 2. Taisne - 2. un 4. koordinātu leņķa bisektrise. Un tagad Uzmanību! Ja segmentā [ a;b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) lielāka vai vienāda ar kādu nepārtrauktu funkciju g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu: . Un nav nozīmes tam, kur figūra atrodas - virs ass vai zem ass, bet svarīgi ir tas, kurš grafiks ir AUGSTĀKS (attiecībā pret citu grafiku) un kurš ir APAKS. Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Jūs varat konstruēt līnijas punktu pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla).

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde: S =4,5 kv.m

Iepriekšējā sadaļā, kas veltīta noteikta integrāļa ģeometriskās nozīmes analīzei, mēs saņēmām vairākas formulas līknes trapeces laukuma aprēķināšanai:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nenegatīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nepozitīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] .

Šīs formulas ir piemērojamas, lai atrisinātu vienkāršus uzdevumus. Patiesībā mums bieži būs jāstrādā ar sarežģītākām figūrām. Šajā sakarā mēs šo sadaļu veltīsim algoritmu analīzei, lai aprēķinātu to figūru laukumu, ko ierobežo funkcijas tiešā veidā, t.i. piemēram, y = f(x) vai x = g(y).

Teorēma

Lai funkcijas y = f 1 (x) un y = f 2 (x) ir definētas un nepārtrauktas intervālā [ a ; b ] un f 1 (x) ≤ f 2 (x) jebkurai vērtībai x no [ a ; b ] . Tad formula attēla G laukuma aprēķināšanai, ko ierobežo līnijas x = a, x = b, y = f 1 (x) un y = f 2 (x), izskatīsies šādi: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Līdzīga formula būs piemērojama figūras laukumam, ko ierobežo līnijas y = c, y = d, x = g 1 (y) un x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Pierādījums

Apskatīsim trīs gadījumus, kuriem formula būs derīga.

Pirmajā gadījumā, ņemot vērā laukuma aditivitātes īpašību, sākotnējā attēla G un līknes trapeces G 1 laukumu summa ir vienāda ar attēla G 2 laukumu. Tas nozīmē, ka

Tāpēc S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Pēdējo pāreju varam veikt, izmantojot noteiktā integrāļa trešo īpašību.

Otrajā gadījumā vienādība ir patiesa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:

Ja abas funkcijas ir nepozitīvas, mēs iegūstam: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:

Pāriesim pie apsvēršanas vispārējs gadījums, kad y = f 1 (x) un y = f 2 (x) krustojas ar O x asi.

Mēs apzīmējam krustošanās punktus kā x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie punkti sadala segmentu [a; b ] n daļās x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Tāpēc

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Mēs varam veikt pēdējo pāreju, izmantojot noteiktā integrāļa piekto īpašību.

Ilustrēsim vispārīgo gadījumu grafikā.

Formulu S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x var uzskatīt par pierādītu.

Tagad pāriesim uz tādu figūru laukuma aprēķināšanas piemēru analīzi, kurus ierobežo līnijas y = f (x) un x = g (y).

Mēs sāksim izskatīt jebkuru piemēru, izveidojot grafiku. Attēls ļaus mums attēlot sarežģītas figūras kā vienkāršāku figūru savienības. Ja diagrammu un attēlu veidošana uz tiem rada grūtības, varat izpētīt sadaļu par pamatiem elementāras funkcijas, funkciju grafiku ģeometriskā transformācija, kā arī grafiku konstruēšana funkcijas izpētes laikā.

1. piemērs

Ir nepieciešams noteikt figūras laukumu, ko ierobežo parabola y = - x 2 + 6 x - 5 un taisnes y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Risinājums

Uzzīmēsim līnijas grafikā Dekarta koordinātu sistēmā.

Uz segmenta [ 1 ; 4 ] parabolas y = - x 2 + 6 x - 5 grafiks atrodas virs taisnes y = - 1 3 x - 1 2. Šajā sakarā, lai iegūtu atbildi, mēs izmantojam iepriekš iegūto formulu, kā arī noteiktā integrāļa aprēķināšanas metodi, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Atbilde: S(G) = 13

Apskatīsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x + 2, y = x, x = 7.

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir tikai viena taisna līnija, kas atrodas paralēli x asij. Tas ir x = 7. Tas liek mums pašiem atrast otro integrācijas robežu.

Izveidosim grafiku un uzzīmēsim uz tā uzdevuma formulējumā norādītās līnijas.

Ja grafiks ir mūsu acu priekšā, mēs varam viegli noteikt, ka integrācijas apakšējā robeža būs taisnes y = x grafika un pusparabolas y = x + 2 krustošanās punkta abscisa. Lai atrastu abscisu, mēs izmantojam vienādības:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Izrādās, ka krustojuma punkta abscisa ir x = 2.

Vēršam jūsu uzmanību uz to, ka plkst vispārīgs piemērs zīmējumā taisnes y = x + 2, y = x krustojas punktā (2; 2), tāpēc šādi detalizēti aprēķini var šķist lieki. Mēs šeit esam devuši tik detalizētu risinājumu tikai tāpēc, ka vairāk sarežģīti gadījumi risinājums var nebūt tik acīmredzams. Tas nozīmē, ka vienmēr ir labāk analītiski aprēķināt līniju krustojuma koordinātas.

Uz intervāla [ 2 ; 7] funkcijas y = x grafiks atrodas virs funkcijas y = x + 2 grafika. Lai aprēķinātu laukumu, izmantosim formulu:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Atbilde: S (G) = 59 6

3. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo funkciju y = 1 x un y = - x 2 + 4 x - 2 grafiki.

Risinājums

Uzzīmēsim līnijas grafikā.

Definēsim integrācijas robežas. Lai to izdarītu, mēs nosakām līniju krustošanās punktu koordinātas, pielīdzinot izteiksmes 1 x un - x 2 + 4 x - 2. Ar nosacījumu, ka x nav nulle, vienādība 1 x = - x 2 + 4 x - 2 kļūst ekvivalenta trešās pakāpes vienādojumam - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ar veseliem skaitļiem. Lai atsvaidzinātu atmiņu par šādu vienādojumu risināšanas algoritmu, mēs varam skatīt sadaļu “Kubisko vienādojumu risināšana”.

Šī vienādojuma sakne ir x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Sadalot izteiksmi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ar binomiālu x - 1, iegūstam: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Atlikušās saknes varam atrast no vienādojuma x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Mēs atradām intervālu x ∈ 1; 3 + 13 2, kurā skaitlis G atrodas virs zilās un zem sarkanās līnijas. Tas palīdz mums noteikt figūras laukumu:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Atbilde: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līknes y = x 3, y = - log 2 x + 1 un abscisu ass.

Risinājums

Uzzīmēsim visas līnijas grafikā. Funkcijas y = - log 2 x + 1 grafiku varam iegūt no grafika y = log 2 x, ja to novietojam simetriski ap x asi un pārvietojam par vienu vienību uz augšu. X ass vienādojums ir y = 0.

Atzīmēsim līniju krustošanās punktus.

Kā redzams attēlā, funkciju y = x 3 un y = 0 grafiki krustojas punktā (0; 0). Tas notiek tāpēc, ka x = 0 ir vienīgā reālā vienādojuma x 3 = 0 sakne.

x = 2 ir vienīgā vienādojuma sakne - log 2 x + 1 = 0, tātad funkciju y = - log 2 x + 1 un y = 0 grafiki krustojas punktā (2; 0).

x = 1 ir vienīgā vienādojuma sakne x 3 = - log 2 x + 1 . Šajā sakarā funkciju y = x 3 un y = - log 2 x + 1 grafiki krustojas punktā (1; 1). Pēdējais apgalvojums var nebūt acīmredzams, bet vienādojumam x 3 = - log 2 x + 1 nevar būt vairāk par vienu sakni, jo funkcija y = x 3 stingri palielinās, un funkcija y = - log 2 x + 1 ir stingri samazinās.

Tālākais risinājums ietver vairākas iespējas.

Variants #1

Attēlu G varam iedomāties kā divu līklīniju trapecveida formu summu, kas atrodas virs x ass, no kurām pirmā atrodas zem viduslīnijas uz nogriežņa x ∈ 0; 1, bet otrais atrodas zem sarkanās līnijas uz segmenta x ∈ 1; 2. Tas nozīmē, ka laukums būs vienāds ar S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Variants Nr.2

G attēlu var attēlot kā divu figūru starpību, no kurām pirmā atrodas virs x ass un zem zilās līnijas segmentā x ∈ 0; 2, un otrā starp sarkanajām un zilajām līnijām segmentā x ∈ 1; 2. Tas ļauj mums atrast apgabalu šādi:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Šajā gadījumā, lai atrastu apgabalu, jums būs jāizmanto formula šādā formā: S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktiski līnijas, kas ierobežo figūru, var attēlot kā argumenta y funkcijas.

Atrisināsim vienādojumus y = x 3 un - log 2 x + 1 attiecībā pret x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Mēs iegūstam nepieciešamo platību:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Atbilde: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Risinājums

Ar sarkanu līniju uzzīmējam ar funkciju y = x definēto līniju. Mēs zīmējam līniju y = - 1 2 x + 4 zilā krāsā un līniju y = 2 3 x - 3 melnā krāsā.

Atzīmēsim krustojuma punktus.

Atradīsim funkciju y = x un y = - 1 2 x + 4 grafiku krustpunktus:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Pārbaudiet: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nav Vai vienādojuma risinājums x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ir vienādojuma ⇒ (4; 2) krustošanās punkts i y = x un y = - 1 2 x risinājums. + 4

Atradīsim funkciju y = x un y = 2 3 x - 3 grafiku krustpunktu:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Pārbaudiet: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ir vienādojuma ⇒ (9 ; 3) atrisinājums, punkts a s y = x un y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Vienādojumam nav risinājuma

Atradīsim līniju y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3 krustošanās punktu:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) krustošanās punkts y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3

Metode Nr.1

Iedomāsimies vajadzīgās figūras laukumu kā atsevišķu figūru laukumu summu.

Tad figūras laukums ir:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode Nr.2

Sākotnējās figūras laukumu var attēlot kā divu citu figūru summu.

Pēc tam mēs atrisinām līnijas vienādojumu attiecībā pret x un tikai pēc tam pielietojam figūras laukuma aprēķināšanas formulu.

y = x ⇒ x = y 2 sarkanā līnija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 melnā līnija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tātad apgabals ir:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 g + 9 2 - - 2 g + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kā redzat, vērtības ir vienādas.

Atbilde: S (G) = 11 3

Rezultāti

Lai atrastu figūras laukumu, ko ierobežo noteiktās līnijas, mums plaknē jākonstruē līnijas, jāatrod to krustošanās punkti un jāizmanto formula, lai atrastu laukumu. Šajā sadaļā mēs apskatījām visbiežāk sastopamos uzdevumu variantus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter