Terminā “kvadrātvienādojums” atslēgas vārds ir “kvadrātvienādojums”. Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti jāietver mainīgais (tas pats x) kvadrātā, un tajā nedrīkst būt x līdz trešajai (vai lielākai) pakāpei.
Daudzu vienādojumu risinājums ir precīzs kvadrātvienādojumi.
Mācīsimies noteikt, ka šis ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits vienādojums.
1. piemērs.
Atbrīvosimies no saucēja un reiziināsim katru vienādojuma biedru ar
Pārvietosim visu uz kreiso pusi un sakārtosim terminus dilstošā X pakāpju secībā
Tagad mēs varam ar pārliecību teikt, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!
2. piemērs.
Reiziniet kreiso un labo pusi ar:
Šis vienādojums, lai gan sākotnēji tajā bija, nav kvadrātisks!
3. piemērs.
Sareizināsim visu ar:
Baisi? Ceturtā un otrā pakāpe... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:
4. piemērs.
Šķiet, ka tā ir, bet paskatīsimies tuvāk. Pārvietosim visu uz kreiso pusi:
Redziet, tas ir samazināts – un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!
Tagad mēģiniet pats noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātvienādojumi un kuri nav:
Piemēri:
Atbildes:
- kvadrāts;
- kvadrāts;
- nav kvadrātveida;
- nav kvadrātveida;
- nav kvadrātveida;
- kvadrāts;
- nav kvadrātveida;
- kvadrāts.
Matemātiķi visus kvadrātvienādojumus parasti iedala šādos veidos:
- Pilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins c nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgiem kvadrātvienādojumiem ir dota- tie ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)
- Nepilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:
Tie ir nepilnīgi, jo tiem trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā!!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrātvienādojums, bet gan kāds cits vienādojums.
Kāpēc viņi izdomāja šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrātā, un labi. Šo iedalījumu nosaka risināšanas metodes. Apskatīsim katru no tiem sīkāk.
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana
Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai – tie ir daudz vienkāršāki!
Pastāv nepilnu kvadrātvienādojumu veidi:
- , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
- , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
- , šajā vienādojumā koeficients un brīvais termins ir vienādi.
1. i. Jo mēs zinām, kā iegūt Kvadrātsakne, tad izteiksim no šī vienādojuma
Izteiciens var būt gan negatīvs, gan pozitīvs. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu.
Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir zināt un vienmēr atcerēties, ka mazāk nevar būt.
Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.
5. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Tagad atliek tikai izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Galu galā, jūs atceraties, kā iegūt saknes?
Atbilde:
Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!!!
6. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Atbilde:
7. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums
nav sakņu!
Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi izdomāja īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:
Atbilde:
Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav nekādu ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:
Tādējādi
Šim vienādojumam ir divas saknes.
Atbilde:
Vienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:
Šeit mēs iztiksim no piemēriem.
Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana
Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma vienādojums, kur
Pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā šie.
Atcerieties, Jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.
Citas metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, taču, ja rodas problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.
1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.
Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.
Ja, tad vienādojumam ir sakne. Īpaša uzmanība sper soli. Diskriminants () norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
- Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.
9. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes.
3. darbība.
Atbilde:
10. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.
Atbilde:
11. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.
2. darbība.
Mēs atrodam diskriminantu:
Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim iegūt diskriminanta sakni. Vienādojumam nav sakņu.
Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.
Atbilde: nav sakņu
2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.
Ja atceraties, ir vienādojuma veids, ko sauc par reducētu (kad koeficients a ir vienāds ar):
Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:
Sakņu summa dota kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.
12. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo .
Vienādojuma sakņu summa ir vienāda, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:
Un produkts ir vienāds ar:
Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Atbilde: ; .
13. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Atbilde:
14. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Atbilde:
Kvadrātvienādojumi. VIDĒJAIS LĪMENIS
Kas ir kvadrātvienādojums?
Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - daži skaitļi un.
Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, A - bezmaksas dalībnieks.
Kāpēc? Jo, ja vienādojums uzreiz kļūst lineārs, jo pazudīs.
Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.
Dažādu veidu kvadrātvienādojumu risinājumi
Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:
Vispirms apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes – tās ir vienkāršākas.
Mēs varam atšķirt šādus vienādojumu veidus:
I., šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.
II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.
Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:
Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:
ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;
ja mums ir divas saknes
Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.
Piemēri:
Risinājumi:
Atbilde:
Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!
Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums
nav sakņu.
Lai īsi pierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.
Atbilde:
Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.
Atbilde:
Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:
Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:
Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.
Piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Aprēķināsim vienādojuma kreiso pusi un atradīsim saknes:
Atbilde:
Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:
1. Diskriminants
Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.
Vai sakņu formulā pamanījāt sakni no diskriminanta? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.
- Ja, tad vienādojumam ir saknes:
- Ja, tad vienādojumam ir vienādas saknes un faktiski viena sakne:
Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.
- Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.
Kāpēc ir iespējams dažāds sakņu skaits? Pievērsīsimies ģeometriskā sajūta kvadrātvienādojums. Funkcijas grafiks ir parabola:
Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, . Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi). Parabola var nekrustoties ar asi vispār vai var šķērsot to vienā (ja parabolas virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.
Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja, tad uz leju.
Piemēri:
Risinājumi:
Atbilde:
Atbilde: .
Atbilde:
Tas nozīmē, ka risinājumu nav.
Atbilde: .
2. Vietas teorēma
Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo biedru, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.
Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var izmantot tikai reducēti kvadrātvienādojumi ().
Apskatīsim dažus piemērus:
1. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .
Vienādojuma sakņu summa ir:
Un produkts ir vienāds ar:
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda ar;
- Un. Summa ir vienāda.
un ir sistēmas risinājums:
Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.
Atbilde: ; .
2. piemērs:
Risinājums:
Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:
un: viņi dod kopā.
un: viņi dod kopā. Lai iegūtu, pietiek vienkārši nomainīt domājamo sakņu pazīmes: un galu galā produktu.
Atbilde:
3. piemērs:
Risinājums:
Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir vienāda ar to moduļu atšķirības.
Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu un kuru starpība ir vienāda ar:
un: to atšķirība ir vienāda - neder;
un: - nav piemērots;
un: - nav piemērots;
un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei ar mazāko moduli jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:
Atbilde:
4. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:
Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:
Atbilde:
5. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu.
Risinājums:
Ir dots vienādojums, kas nozīmē:
Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abām saknēm ir mīnusa zīme.
Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:
Acīmredzot saknes ir skaitļi un.
Atbilde:
Piekrītu, ir ļoti ērti izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo šķebinošo diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vietas teorēmu.
Bet Vietas teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai jūs gūtu labumu no tā izmantošanas, jums ir jāaktivizē darbības. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:
Patstāvīga darba uzdevumu risinājumi:
Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Saskaņā ar Vietas teorēmu:
Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:
Nav piemērots, jo daudzums;
: summa ir tieši tāda, kāda jums nepieciešama.
Atbilde: ; .
2. uzdevums.
Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai jābūt vienādai, un reizinājumam jābūt vienādam.
Bet tā kā tam jābūt nevis, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).
Atbilde: ; .
3. uzdevums.
Hmm... Kur tas ir?
Visi termini ir jāpārvieto vienā daļā:
Sakņu summa ir vienāda ar produktu.
Labi, beidz! Vienādojums nav dots. Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāsniedz vienādojums. Ja nevarat vadīt, atsakieties no šīs idejas un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Atgādināšu, ka dot kvadrātvienādojumu nozīmē padarīt vadošo koeficientu vienādu:
Lieliski. Tad sakņu summa ir vienāda ar un reizinājumu.
Šeit izvēlēties ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšanu: galu galā tas ir pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).
Atbilde: ; .
4. uzdevums.
Bezmaksas dalībnieks ir negatīvs. Kas šajā ir īpašs? Un fakts ir tāds, ka saknēm būs dažādas zīmes. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.
Tātad, saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.
Atbilde: ; .
5. uzdevums.
Kas jums jādara vispirms? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:
Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:
Saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka mīnusam būs lielāka sakne.
Atbilde: ; .
Ļaujiet man apkopot:
- Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
- Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
- Ja vienādojums nav dots vai vienādojums nav atrasts piemērots pāris brīvā vārda reizinātāji, kas nozīmē, ka nav veselu sakņu, un jums tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).
3. Pilna kvadrāta izvēles metode
Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrātā -, tad pēc mainīgo aizstāšanas vienādojumu var uzrādīt nepilnīga veida kvadrātvienādojuma veidā.
Piemēram:
1. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
2. piemērs:
Atrisiniet vienādojumu:.
Risinājums:
Atbilde:
IN vispārējs skats transformācija izskatīsies šādi:
Tas nozīmē:.
Tev neko neatgādina? Tā ir diskriminējoša lieta! Tieši tā mēs ieguvām diskriminējošās formulas.
Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
Kvadrātvienādojums- tas ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - kvadrātvienādojuma koeficienti, - brīvais termins.
Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.
Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .
Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:
- ja koeficients, vienādojums izskatās šādi: ,
- ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
- ja un, vienādojums izskatās šādi: .
1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai
1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izteiksim nezināmo: ,
2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:
- ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
- ja, tad vienādojumam ir divas saknes.
1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
1) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām: ,
2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:
1.3. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:
Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .
2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur
2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu
1) Sakārtosim vienādojumu standarta formā: ,
2) Aprēķināsim diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:
3) Atrodiet vienādojuma saknes:
- ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
- ja, tad vienādojumam nav sakņu.
2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu
Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , A.
2.3. Risinājums ar pilna kvadrāta izvēles metodi
Ja formas kvadrātvienādojumam ir saknes, tad to var uzrakstīt formā: .
Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.
Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!
Tagad pats svarīgākais.
Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.
Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...
Par ko?
Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.
Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...
Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.
Bet tas nav galvenais.
Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...
Bet padomājiet paši...
Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?
IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.
Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.
Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.
Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.
Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.
Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!
Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.
Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.
Kā? Ir divas iespējas:
- Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā - 299 rubļi.
- Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - 499 rubļi.
Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.
Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.
Noslēgumā...
Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.
“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.
Atrodi problēmas un atrisini tās!
Kopjevskas lauku vidusskola
10 veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus
Vadītāja: Patrikejeva Gaļina Anatoljevna,
matemātikas skolotājs
Kopevo ciems, 2007
1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture
1.1 Kvadrātvienādojumi Senajā Babilonā
1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus
1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā
1.4. Khorezmi kvadrātvienādojumi
1.5 Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII - XVII gs
1.6. Par Vietas teorēmu
2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes
Secinājums
Literatūra
1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture
1.1 Kvadrātvienādojumi Senajā Babilonā
Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus jau senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar zemes gabalu platību atrašanu un ar militāra rakstura rakšanas darbiem, kā arī tāpat kā ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību. Kvadrātvienādojumus varēja atrisināt ap 2000. gadu pirms mūsu ēras. e. babilonieši.
Izmantojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, mēs varam teikt, ka viņu ķīļraksta tekstos papildus nepilnīgajiem ir, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādes par to, kā tie atrasti.
Neskatoties uz augsts līmenis algebras attīstība Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgas metodes kvadrātvienādojumu risināšana.
1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus.
Diofanta aritmētika nesatur algebras sistemātisku izklāstu, bet satur sistemātisku uzdevumu virkni, kam pievienoti skaidrojumi un atrisinātas, konstruējot dažādu pakāpju vienādojumus.
Sastādot vienādojumus, Diofants prasmīgi atlasa nezināmos, lai vienkāršotu risinājumu.
Šeit, piemēram, ir viens no viņa uzdevumiem.
11. problēma."Atrodiet divus skaitļus, zinot, ka to summa ir 20 un reizinājums ir 96"
Diofants pamato šādi: no uzdevuma nosacījumiem izriet, ka nepieciešamie skaitļi nav vienādi, jo, ja tie būtu vienādi, tad to reizinājums būtu nevis 96, bet 100. Tādējādi viens no tiem būs lielāks par puse no to summas, t.i. 10 + x, otrs ir mazāks, t.i. 10. gadi. Atšķirība starp tām 2x .
Līdz ar to vienādojums:
(10 + x) (10 – x) = 96
100 x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
No šejienes x = 2. Viens no nepieciešamajiem skaitļiem ir vienāds ar 12 , cits 8 . Risinājums x = -2 jo Diofants neeksistē, jo grieķu matemātika zināja tikai pozitīvus skaitļus.
Ja šo uzdevumu atrisināsim, izvēloties vienu no nepieciešamajiem skaitļiem kā nezināmo, tad nonāksim pie vienādojuma risinājuma
y(20 — y) = 96,
y 2 - 20 g + 96 = 0. (2)
Ir skaidrs, ka, izvēloties vajadzīgo skaitļu starpību kā nezināmo, Diofants vienkāršo risinājumu; viņam izdodas problēmu reducēt līdz nepilnīga kvadrātvienādojuma (1) atrisināšanai.
1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā
Kvadrātvienādojumu problēmas ir atrodamas jau Indijas matemātiķa un astronoma Arjabhatas 499. gadā sastādītajā astronomiskajā traktātā “Aryabhattiam”. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta (7. gadsimts) izklāstīja vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu risinājumi, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
(1) vienādojumā koeficienti, izņemot A, var būt arī negatīvs. Brahmaguptas likums būtībā ir tāds pats kā mūsu.
IN Senā Indija Izplatīti bija publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu aptumšo zvaigznes, tā mācīts cilvēks aizēnos cita godību tautas sapulces, ierosinot un risinot algebriskas problēmas. Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.
Šī ir viena no slavenā Indijas 12. gadsimta matemātiķa problēmām. Bhaskars.
13. problēma.
“Gaismu pērtiķu ganāmpulks un divpadsmit gar vīnogulājiem...
Varas iestādes, paēdušas, izklaidējās. Viņi sāka lēkt, karāties...
Tie ir laukumā, astotā daļa. Cik pērtiķu tur bija?
Es izklaidējos izcirtumā. Pastāsti man, šajā iepakojumā?
Bhaskaras risinājums norāda, ka viņš zināja, ka kvadrātvienādojumu saknes ir divvērtības (3. att.).
13. uzdevumam atbilstošais vienādojums ir:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara aizsegā raksta:
x 2 - 64x = -768
un, lai šī vienādojuma kreiso pusi pabeigtu līdz kvadrātam, pievieno abām pusēm 32 2 , pēc tam iegūstiet:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Kvadrātvienādojumi al-Khorezmi
Al-Khorezmi algebriskajā traktātā ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors saskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:
1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i. cirvis 2 + c = b X.
2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitļiem”, t.i. cirvis 2 = c.
3) “Saknes ir vienādas ar skaitli”, t.i. ah = s.
4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i. cirvis 2 + c = b X.
5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitļiem”, t.i. ah 2+ bx = s.
6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i. bx + c = ax 2 .
Al Horezmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitāmie, nevis atņemamie. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autors izklāsta metodes šo vienādojumu risināšanai, izmantojot al-jabr un al-muqabala metodes. Viņa lēmumi, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējiem. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāņem vērā, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu
al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi pirms 17. gadsimta, neņem vērā nulles risinājumu, iespējams, tāpēc, ka konkrētās praktiskās problēmās tam nav nozīmes. Atrisinot pilnīgus kvadrātvienādojumus al-Khorezmi par daļēju skaitliski piemēri izklāsta risinājuma noteikumus un pēc tam ģeometriskos pierādījumus.
14. problēma.“Kvadrāts un skaitlis 21 ir vienādi ar 10 saknēm. Atrodi sakni" (kas nozīmē vienādojuma sakni x 2 + 21 = 10x).
Autora risinājums ir apmēram šāds: sadaliet sakņu skaitu uz pusēm, iegūstiet 5, reiziniet ar 5, no reizinājuma atņemiet 21, paliek 4. Ņem sakni no 4, iegūst 2. Atņemiet 2 no 5. , jūs saņemat 3, šī būs vēlamā sakne. Vai arī pievienojiet 2 pret 5, kas dod 7, tā arī ir sakne.
Al-Khorezmi traktāts ir pirmā līdz mums nonākusī grāmata, kurā sistemātiski izklāstīta kvadrātvienādojumu klasifikācija un dotas formulas to risināšanai.
1.5. Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII - XVII bb
Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc al-Khwarizmi līnijām Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas Abaka grāmatā, ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs, kas atspoguļo matemātikas ietekmi gan islāma valstīs, gan Senā Grieķija, izceļas gan ar prezentācijas pilnīgumu, gan skaidrību. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskos uzdevumu risināšanas piemērus un pirmais Eiropā pievērsās negatīvu skaitļu ieviešanai. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no Abaku grāmatas tika izmantotas gandrīz visās Eiropas 16. - 17. gadsimta mācību grāmatās. un daļēji XVIII.
Vispārējais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas samazināts līdz vienai kanoniskai formai:
x 2+ bx = c,
visām iespējamām koeficientu zīmju kombinācijām b , Ar Eiropā tikai 1544. gadā formulēja M. Stīfels.
Formulas atvasinājums kvadrātvienādojuma atrisināšanai vispārējā formā ir pieejams no Viète, bet Viète atpazina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām tiek ņemtas vērā arī negatīvās saknes. Tikai 17. gs. Pateicoties Žirāra, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbam, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst mūsdienīgu formu.
1.6. Par Vietas teorēmu
Teorēmu, kas izsaka attiecības starp kvadrātvienādojuma koeficientiem un tā saknēm, kas nosauktas Vietas vārdā, viņš pirmo reizi formulēja 1591. gadā šādi: “Ja B + D, reizināts ar A - A 2 , vienāds BD, Tas A vienāds IN un vienāds D ».
Lai saprastu Vietu, mums tas jāatceras A, tāpat kā jebkurš patskaņa burts, nozīmēja nezināmo (mūsu X), patskaņi IN, D- nezināmā koeficienti. Mūsdienu algebras valodā iepriekšminētais Vieta formulējums nozīmē: ja ir
(+ b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Sakarības izteikšana starp vienādojumu saknēm un koeficientiem vispārīgas formulas rakstīts, izmantojot simbolus, Vjets noteica vienveidību vienādojumu risināšanas metodēs. Tomēr Vietas simbolika joprojām ir tālu no moderns izskats. Viņš neatzina negatīvus skaitļus un tāpēc, risinot vienādojumus, viņš ņēma vērā tikai gadījumus, kad visas saknes bija pozitīvas.
2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes
Kvadrātvienādojumi ir pamats, uz kura balstās majestātiskā algebras celtne. Tiek atrasti kvadrātvienādojumi plašs pielietojums risinot trigonometriskos, eksponenciālos, logaritmiskos, iracionālos un transcendentālos vienādojumus un nevienādības. Mēs visi protam atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas (8.klase) līdz skolas beigšanai.
Es ceru, ka pēc šī raksta izpētes jūs uzzināsit, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.
Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnie kvadrātvienādojumi, nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā “Nepilnu kvadrātvienādojumu risināšana”.
Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pabeigtiem? Šis vienādojumi formā ax 2 + b x + c = 0, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātvienādojumu, mums jāaprēķina diskriminants D.
D = b 2 – 4ac.
Atkarībā no diskriminanta vērtības mēs pierakstīsim atbildi.
Ja diskriminants ir negatīvs skaitlis (D< 0),то корней нет.
Ja diskriminants ir nulle, tad x = (-b)/2a. Ja diskriminants ir pozitīvs skaitlis (D > 0),
tad x 1 = (-b - √D)/2a un x 2 = (-b + √D)/2a.
Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Atbilde: 2.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Atbilde: nav sakņu.
Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2–4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4 = 1
Atbilde: – 3,5; 1.
Tāpēc iedomāsimies pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, izmantojot diagrammu 1. attēlā.
Izmantojot šīs formulas, jūs varat atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu. Jums vienkārši jābūt uzmanīgiem, lai vienādojums tika uzrakstīts kā polinoms standarta skats
A x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 = 0, jūs varat kļūdaini izlemt, ka
a = 1, b = 3 un c = 2. Tad
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skatiet iepriekš 2. piemēra risinājumu).
Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms ir jāuzraksta pilns kvadrātvienādojums kā standarta formas polinoms (vienādojums ar lielāko eksponentu ir jābūt pirmajā vietā, tas ir A x 2 , tad ar mazāku – bx un tad bezmaksas biedrs Ar.
Atrisinot reducēto kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar pāra koeficientu otrajā termiņā, var izmantot citas formulas. Iepazīsimies ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātvienādojumā otrajam vārdam ir pāra koeficients (b = 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 2. attēlā.
Pilnu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + pikseļi + q = 0. Šādu vienādojumu var dot atrisinājumam, vai arī to var iegūt, visus vienādojuma koeficientus dalot ar koeficientu A, stāvot plkst x 2 .
3. attēlā parādīta diagramma samazinātā kvadrāta risināšanai 
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu pielietojuma piemēru.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 1. attēlā.
D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3
Var pamanīt, ka x koeficients šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b = 6 vai b = 2k, no kurienes k = 3. Pēc tam mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas attēla D diagrammā. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3. Ievērojot, ka šajā kvadrātvienādojumā visi koeficienti dalās ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x – 2 = 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot reducētā kvadrātvienādojuma formulas. 
vienādojumi 3. attēls.
D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = - 1 - √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Atbilde: –1 – √3; –1 + √3.
Kā redzat, risinot šo vienādojumu, izmantojot dažādas formulas, mēs saņēmām vienu un to pašu atbildi. Tāpēc, rūpīgi apguvis 1. attēla diagrammā redzamās formulas, jūs vienmēr varēsiet atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu.
blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
IN mūsdienu sabiedrība spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātu, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to liecina jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Izmantojot šādus aprēķinus, kustības trajektorijas visvairāk dažādi ķermeņi, ieskaitot kosmosa objektus. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami pārgājienos, sporta pasākumos, veikalos, veicot pirkumus un citās ļoti izplatītās situācijās.
Sadalīsim izteiksmi tās komponentfaktoros
Vienādojuma pakāpi nosaka izteiksmē ietvertā mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātisko.
Ja runājam formulu valodā, tad norādītos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest formā, kad kreisā puse izteiksme sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam trūkst viena no tā sastāvdaļām, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar šādu problēmu risinājumu, kuru mainīgo vērtības ir viegli atrast.
Ja izteiksmes labajā pusē ir divi vārdi, precīzāk ax 2 un bx, vienkāršākais veids, kā atrast x, ir izlikt mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Pēc tam kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma rodas, lai atrastu mainīgo no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums nosaka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.
Piemērs
x=0 vai 8x - 3 = 0
Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.
Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas ņemts par koordinātu sākumpunktu. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, var uzzināt laiku, kas paiet no ķermeņa pacelšanās brīža līdz krišanas brīdim, kā arī daudzus citus lielumus. Bet mēs par to runāsim vēlāk.
Izteiksmes faktorēšana
Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj šīs problēmas atrisināt vairāk sarežģīti gadījumi. Apskatīsim šāda veida kvadrātvienādojumu risināšanas piemērus.
X 2 — 33x + 200 = 0
Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigta. Vispirms pārveidosim izteiksmi un faktoros to. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.
Piemēri ar kvadrātvienādojumu risināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.
Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Faktorējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x+1), (x-3) un (x+). 3).
Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -1; 3.
Kvadrātsakne
Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas burtu valodā attēlota tā, ka labā daļa ir izgatavots no komponentiem ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termiņš tiek pārsūtīts uz labā puse, un pēc tam kvadrātsakne tiek ņemta no abām vienādības pusēm. Jāpiebilst, ka iekš šajā gadījumā Parasti vienādojumam ir divas saknes. Vienīgie izņēmumi var būt vienādības, kas vispār nesatur vārdu ar, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.
Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.
Zemes platības aprēķins
Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senatnē, jo matemātikas attīstību tajos tālajos laikos lielā mērā noteica nepieciešamība ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.
Mums arī jāapsver piemēri kvadrātvienādojumu risināšanai, pamatojoties uz šāda veida problēmām.
Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem lielāks nekā platums. Objekta garums, platums un perimetrs ir jānoskaidro, ja zināt, ka tās platība ir 612 m2.
Lai sāktu, vispirms izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim ar x laukuma platumu, tad tā garums būs (x+16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x(x+16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumiem ir 612. Tas nozīmē, ka x(x+16) = 612.
Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšanu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar veikt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas dažādas metodes.
Diskriminējošais
Vispirms veiksim nepieciešamās pārvērtības, tad izskatsšī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi formā, kas atbilst iepriekš norādītajam standartam, kur a=1, b=16, c=-612.
Tas varētu būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek ražoti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šis palīglielums ne tikai ļauj atrast vajadzīgos daudzumus otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka daudzumu iespējamie varianti. Ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Par saknēm un to formulu
Mūsu gadījumā diskriminants ir vienāds ar: 256 - 4(-612) = 2704. Tas liek domāt, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt k, kvadrātvienādojumu risināšana jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.
Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrs variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala izmērus nevar izmērīt negatīvos daudzumos, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 +16=34, un perimetrs 2(34+ 18)=104(m2).
Piemēri un uzdevumi
Mēs turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Vairāku no tiem piemēri un detalizēti risinājumi tiks sniegti turpmāk.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Pārvietosim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūsim vienādojuma veidu, ko parasti sauc par standartu, un pielīdzināsim to nullei.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Saskaitot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D = 49 - 48 = 1. Tas nozīmē, ka mūsu vienādojumam būs divas saknes. Aprēķināsim tos pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais ar 1.
2) Tagad atrisināsim cita veida noslēpumus.
Noskaidrosim, vai šeit ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, reducēsim polinomu līdz atbilstošajai parastajai formai un aprēķināsim diskriminantu. Iepriekš minētajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo tā nemaz nav problēmas būtība. Šajā gadījumā D = 16 - 20 = -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.
Vietas teorēma
Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek ņemta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Viņa ir nosaukta pēc viņa vārda, kurš dzīvoja 16. gadsimtā Francijā un izveidoja spožu karjeru, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.
Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes skaitliski summējas ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.
Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:
x 2 + 7x - 18 = 0
Izmantosim Vietas teorēmu, kas iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgās vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.
Parabola grafiks un vienādojums
Kvadrātfunkciju un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādas attiecības, kas uzzīmētas kā grafiks, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.
Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura rodas tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātvienādojumus. Šo metodi sauc par grafisko. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast, izmantojot tikko doto formulu x 0 = -b/2a. Un, aizstājot iegūto vērtību sākotnējās funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder ordinātu asij.
Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi
Kvadrātvienādojumu risināšanai ir daudz piemēru, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apskatīsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Ir arī pretējais. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk izveidot grafiku.
No vēstures
Izmantojot vienādojumus, kas satur kvadrātveida mainīgo, vecos laikos viņi ne tikai veica matemātiskos aprēķinus un noteica ģeometrisko figūru laukumus. Senajiem cilvēkiem šādi aprēķini bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.
Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras. Protams, viņu aprēķini radikāli atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi smalkumi, ko zina jebkurš mūsdienu skolēns.
Varbūt pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Baudhajama sāka risināt kvadrātvienādojumus. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus ēras. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē līdzīgi jautājumi interesēja arī ķīniešu matemātiķus. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.
Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1)
.
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
;
.
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizēts):
.
Tālāk mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsvērsim kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
;
.
Tad kvadrātiskā trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
;
.
Tad
.
Grafiskā interpretācija
Ja attēlojat funkciju
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Pie , grafiks krustojas ar x asi (asi) divos punktos.
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā.
Kad , grafiks nešķērso x asi.
Zemāk ir šādu grafiku piemēri.
Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana
Mēs veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):
,
Kur
;
.
Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
Tas parāda, ka vienādojums
veikta plkst
Un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.
Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri
1. piemērs
(1.1)
.
Risinājums
.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.
No šejienes mēs iegūstam kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:
.
Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3 krusto x asi divos punktos.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso abscisu asi (asi) divos punktos:
Un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.
Atbilde
;
;
.
2. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1)
.
Risinājums
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.
Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni parasti sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.
Atbilde
;
.
3. piemērs
Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1)
.
Risinājums
Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
(1)
.
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc īstu sakņu nav.
Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nekrustojas ar x asi (asi). Tāpēc īstu sakņu nav.
Atbilde
Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.
