Kvadrātvienādojumus mācās 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir absolūti nepieciešama.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi, un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes ņemiet vērā, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Ir tieši viena sakne;
3. Ir divi dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējoša.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0 Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac.

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes var noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc uzskata daudzi. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Izrakstīsim pirmā vienādojuma koeficientus un atradīsim diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu līdzīgi:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais atlikušais vienādojums ir:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir nulle - sakne būs viens.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka koeficienti ir izrakstīti katram vienādojumam. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet muļķīgas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs to sapratīsit, pēc kāda laika jums vairs nebūs jāpieraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku sāk to darīt kaut kur pēc 50-70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie paša risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Pamata saknes formula kvadrātvienādojums

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemsiet to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un māki skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, aizstājot formulā negatīvus koeficientus. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: apskatiet formulu burtiski, pierakstiet katru soli - un ļoti drīz jūs atbrīvosities no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2–16 = 0.

Ir viegli pamanīt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b = c = 0. Šajā gadījumā vienādojums iegūst formu ax 2 = 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viena sakne: x = 0.

Apskatīsim atlikušos gadījumus. Pieņemsim, ka b = 0, tad iegūstam nepilnu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c = 0. Nedaudz pārveidosim to:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai (-c /a) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnā kvadrātvienādojumā ar formu ax 2 + c = 0 ir izpildīta nevienādība (−c /a) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c /a)< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs — nepilnīgos kvadrātvienādojumos vispār nav sarežģītu aprēķinu. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c /a) ≥ 0. Pietiek izteikt vērtību x 2 un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja tas ir negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad apskatīsim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek faktorēt polinomu:

Kopējā faktora izņemšana no iekavām

Produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā apskatīsim dažus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Es ceru, ka pēc šī raksta izpētes jūs uzzināsit, kā atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes.

Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti tikai pilnie kvadrātvienādojumi, lai atrisinātu nepilnus kvadrātvienādojumus, tiek izmantotas citas metodes, kuras atradīsit rakstā “Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana”.

Kādus kvadrātvienādojumus sauc par pabeigtiem? Šis vienādojumi formā ax 2 + b x + c = 0, kur koeficienti a, b un c nav vienādi ar nulli. Tātad, lai atrisinātu pilnīgu kvadrātvienādojumu, mums jāaprēķina diskriminants D.

D = b 2 – 4ac.

Atkarībā no diskriminanta vērtības mēs pierakstīsim atbildi.

Ja diskriminants ir negatīvs skaitlis (D< 0),то корней нет.

Ja diskriminants ir nulle, tad x = (-b)/2a. Ja diskriminants ir pozitīvs skaitlis (D > 0),

tad x 1 = (-b - √D)/2a un x 2 = (-b + √D)/2a.

Piemēram. Atrisiniet vienādojumu x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Atbilde: 2.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Atbilde: nav sakņu.

Atrisiniet 2. vienādojumu x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2–4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4 = 1

Atbilde: – 3,5; 1.

Tāpēc iedomāsimies pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, izmantojot diagrammu 1. attēlā.

Izmantojot šīs formulas, jūs varat atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu. Jums vienkārši jābūt uzmanīgiem, lai vienādojums tika uzrakstīts kā standarta formas polinoms

A x 2 + bx + c, pretējā gadījumā jūs varat kļūdīties. Piemēram, rakstot vienādojumu x + 3 + 2x 2 = 0, jūs varat kļūdaini izlemt, ka

a = 1, b = 3 un c = 2. Tad

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 un tad vienādojumam ir divas saknes. Un tā nav taisnība. (Skatiet iepriekš 2. piemēra risinājumu).

Tāpēc, ja vienādojums nav uzrakstīts kā standarta formas polinoms, vispirms ir jāuzraksta pilns kvadrātvienādojums kā standarta formas polinoms (vispirms ir jābūt monomālam ar lielāko eksponentu, tas ir A x 2 , tad ar mazāku – bx un tad bezmaksas biedrs Ar.

Atrisinot reducēto kvadrātvienādojumu un kvadrātvienādojumu ar pāra koeficientu otrajā termiņā, var izmantot citas formulas. Iepazīsimies ar šīm formulām. Ja pilnā kvadrātvienādojumā otrajam vārdam ir pāra koeficients (b = 2k), tad vienādojumu var atrisināt, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 2. attēlā.

Pilnu kvadrātvienādojumu sauc par samazinātu, ja koeficients pie x 2 ir vienāds ar vienu, un vienādojums iegūst formu x 2 + pikseļi + q = 0. Šādu vienādojumu var dot, lai atrisinātu, vai arī to var iegūt, dalot visus vienādojuma koeficientus ar koeficientu A, stāvot plkst x 2 .

3. attēlā parādīta diagramma samazinātā kvadrāta risināšanai
vienādojumi. Apskatīsim šajā rakstā aplūkoto formulu pielietojuma piemēru.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Atrisināsim šo vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas diagrammā 1. attēlā.

D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Atbilde: –1 – √3; –1 + √3

Var pamanīt, ka x koeficients šajā vienādojumā ir pāra skaitlis, tas ir, b = 6 vai b = 2k, no kurienes k = 3. Pēc tam mēģināsim atrisināt vienādojumu, izmantojot formulas, kas parādītas attēla D diagrammā. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Atbilde: –1 – √3; –1 + √3. Ievērojot, ka šajā kvadrātvienādojumā visi koeficienti dalās ar 3 un veicot dalīšanu, iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu x 2 + 2x – 2 = 0 Atrisiniet šo vienādojumu, izmantojot reducētā kvadrātvienādojuma formulas
vienādojumi 3. attēls.

D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Atbilde: –1 – √3; –1 + √3.

Kā redzat, risinot šo vienādojumu, izmantojot dažādas formulas, mēs saņēmām to pašu atbildi. Tāpēc, rūpīgi apguvis 1. attēla diagrammā redzamās formulas, jūs vienmēr varēsiet atrisināt jebkuru pilnu kvadrātvienādojumu.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ar šo matemātikas programmu jūs varat atrisināt kvadrātvienādojumu.

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma procesu divos veidos:
- izmantojot diskriminantu
- izmantojot Vietas teorēmu (ja iespējams).

Turklāt atbilde tiek parādīta kā precīza, nevis aptuvena.
Piemēram, vienādojumam \(81x^2-16x-1=0\) atbilde tiek parādīta šādā formā:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ un ne šādi: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.

Ja neesat iepazinies ar ieejas noteikumiem kvadrātiskais polinoms, iesakām ar tiem iepazīties.

Kvadrātiskā polinoma ievadīšanas noteikumi

Jebkurš latīņu burts var darboties kā mainīgais.
Piemēram: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) utt.

Skaitļus var ievadīt kā veselus vai daļskaitļus.
Turklāt daļskaitļus var ievadīt ne tikai decimāldaļas, bet arī parastās daļskaitļa formā.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Decimāldaļās frakcija no kopuma var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas kā šis: 2,5x - 3,5x^2

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ievadot skaitlisko daļskaitli, skaitītāju no saucēja atdala ar dalījuma zīmi: /
Visa daļa no daļdaļas atdalīts ar & zīmi: &
Ievade: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultāts: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Ievadot izteiksmi varat izmantot iekavas. Šajā gadījumā, risinot kvadrātvienādojumu, vispirms tiek vienkāršota ieviestā izteiksme.
Piemēram: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Izlemiet

Tika atklāts, ka daži šīs problēmas risināšanai nepieciešamie skripti netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Kvadrātvienādojums un tā saknes. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Katrs no vienādojumiem
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izskatās kā
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x ir mainīgais, a, b un c ir skaitļi.
Pirmajā vienādojumā a = -1, b = 6 un c = 1,4, otrajā a = 8, b = -7 un c = 0, trešajā a = 1, b = 0 un c = 4/9. Tādus vienādojumus sauc kvadrātvienādojumi.

Definīcija.
Kvadrātvienādojums sauc par vienādojumu formā ax 2 +bx+c=0, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un \(a \neq 0 \).

Skaitļi a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti. Skaitlis a tiek saukts par pirmo koeficientu, skaitlis b ir otrais koeficients, un skaitlis c ir brīvais termins.

Katrā vienādojumā ar formu ax 2 +bx+c=0, kur \(a\neq 0\), mainīgā x lielākā pakāpe ir kvadrāts. Līdz ar to nosaukums: kvadrātvienādojums.

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojumu sauc arī par otrās pakāpes vienādojumu, jo tā kreisā puse ir otrās pakāpes polinoms.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā koeficients x 2 ir vienāds ar 1 dots kvadrātvienādojums. Piemēram, dotie kvadrātvienādojumi ir vienādojumi
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ja kvadrātvienādojumā ax 2 +bx+c=0 vismaz viens no koeficientiem b vai c ir vienāds ar nulli, tad šādu vienādojumu sauc nepilnīgs kvadrātvienādojums. Tādējādi vienādojumi -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Pirmajā no tiem b=0, otrajā c=0, trešajā b=0 un c=0.

Ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) cirvis 2 =0.

Apsvērsim katra šāda veida vienādojumu risināšanu.

Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +c=0 priekš \(c \neq 0 \), tā brīvais termins tiek pārnests uz labā puse un sadaliet abas vienādojuma puses ar a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Labā bultiņa x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kopš \(c \neq 0 \), tad \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ja \(-\frac(c)(a)>0\), tad vienādojumam ir divas saknes.

Ja \(-\frac(c)(a) Lai atrisinātu nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 +bx=0 ar \(b \neq 0 \), izvērsiet to kreisā puse pēc faktoriem un iegūstiet vienādojumu
\(x(ax+b)=0 \Labā bultiņa \left\( \begin(masīvs)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masīvs) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masīvs)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masīvs) \pa labi.

Tas nozīmē, ka nepilnīgam kvadrātvienādojumam formā ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) vienmēr ir divas saknes.

Nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 =0 ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 =0, un tāpēc tam ir viena sakne 0.

Kvadrātvienādojuma sakņu formula

Tagad apskatīsim, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, kuros gan nezināmo, gan brīvā jēdziena koeficienti nav nulle.

Atrisināsim kvadrātvienādojumu iekšā vispārējs skats un rezultātā iegūstam formulu saknēm. Pēc tam šo formulu var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.

Atrisināsim kvadrātvienādojumu ax 2 +bx+c=0

Sadalot abas puses ar a, iegūstam ekvivalentu reducētu kvadrātvienādojumu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Pārveidosim šo vienādojumu, izvēloties binoma kvadrātu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \labā bultiņa \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2. — \frac(c)(a) \labā bultiņa \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) — \frac( c)(a) \Labā bultiņa \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightbult \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Labā bultiņa x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Labā bultiņa \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikālo izteiksmi sauc kvadrātvienādojuma diskriminants ax 2 +bx+c=0 (“diskriminants” latīņu valodā – diskriminators). To apzīmē ar burtu D, t.i.
\(D = b^2-4ac\)

Tagad, izmantojot diskriminējošo apzīmējumu, mēs pārrakstām kvadrātvienādojuma sakņu formulu:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Ir skaidrs, ka:
1) Ja D>0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.
2) Ja D=0, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ja D Tātad, atkarībā no diskriminanta vērtības, kvadrātvienādojumam var būt divas saknes (ja D > 0), viena sakne (ja D = 0) vai nav sakņu (D Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot š. formulu, ieteicams rīkoties šādi:
1) aprēķināt diskriminantu un salīdzināt to ar nulli;
2) ja diskriminants ir pozitīvs vai vienāds ar nulli, tad izmantojiet saknes formulu, ja diskriminants ir negatīvs, tad pierakstiet, ka nav sakņu;

Vietas teorēma

Dotajam kvadrātvienādojumam ax 2 -7x+10=0 ir saknes 2 un 5. Sakņu summa ir 7, un reizinājums ir 10. Redzam, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts no pretēja zīme, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Jebkuram samazinātam kvadrātvienādojumam, kuram ir saknes, ir šī īpašība.

Iepriekš minētā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu.

Tie. Vietas teorēma nosaka, ka reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +px+q=0 saknēm x 1 un x 2 ir īpašība:
\(\left\( \begin(masīvs)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masīvs) \right. \)

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes // Jaunais zinātnieks. 2016. Nr.6.1. P. 17-20..02.2019).



Mūsu projekts ir par kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus tādos veidos, kas nav iekļauti skolas mācību programmā. Uzdevums: atrast visu iespējamie veidi atrisinot kvadrātvienādojumus un iemācoties tos izmantot pašiem un iepazīstināt ar šīm metodēm savus klasesbiedrus.

Kas ir "kvadrātvienādojumi"?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- daži cipari ( a ≠ 0), x- nezināms.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

• a sauc par pirmo koeficientu;
• b sauc par otro koeficientu;
• c - brīvais dalībnieks.

Kurš bija pirmais, kurš “izgudroja” kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas pirms 4000 gadiem Senā Babilonija. Seno Babilonijas māla tablešu atklāšana, kas datētas ar 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras, sniedz agrākos pierādījumus par kvadrātvienādojumu izpēti. Tajās pašās tabletēs ir noteikta veida kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus jau senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar zemes gabalu platību atrašanu un ar militāra rakstura rakšanas darbiem, kā arī tāpat kā ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību.

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsts līmenis algebras attīstība Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgas metodes kvadrātvienādojumu risināšana.

Babilonijas matemātiķi aptuveni 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. izmantoja kvadrāta komplementa metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Ap 300 BC Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš algebriskās formulas veidā atrada vienādojumu risinājumus ar negatīvām saknēm, bija Indijas zinātnieks. Brahmagupta(Indija, mūsu ēras 7. gadsimts).

Brahmagupta izklāstīja vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienti šajā vienādojumā var būt arī negatīvi. Brahmaguptas likums būtībā ir tāds pats kā mūsu.

Indijā bija izplatīti publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu aptumšo zvaigznes, tā mācīts cilvēks aizēnos slavu iekšā tautas sapulces, piedāvājot un risinot algebriskas problēmas. Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khwarizmi ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors saskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 = bx.

2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitļiem”, t.i., ax2 = c.

3) “Saknes ir vienādas ar skaitli”, t.i., ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx.

5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c.

6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitāmie, nevis atņemamie. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autors izklāsta metodes šo vienādojumu risināšanai, izmantojot al-jabr un al-mukabal metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi līdz 17. gadsimtam, neņem vērā nulles atrisinājumu. laikam tāpēc, ka konkrētajā praksē uzdevumos tam nav nozīmes. Atrisinot pilnīgus Al-Khwarizmi kvadrātvienādojumus daļēji skaitliskie piemēri izklāsta risinājuma noteikumus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Veidlapas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khwarizmi parauga Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas “Abaka grāmatā”, kas sarakstīta 1202. gadā. Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskos uzdevumu risināšanas piemērus un pirmais Eiropā pievērsās negatīvu skaitļu ieviešanai.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no šīs grāmatas tika izmantotas gandrīz visās Eiropas 14.-17. gadsimta mācību grāmatās. Vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu atrisinājums, kas reducēts uz vienu kanonisku formu x2 + bх = с visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Stīfels.

Formulas atvasinājums kvadrātvienādojuma atrisināšanai vispārējā formā ir pieejams no Viète, bet Viète atpazina tikai pozitīvas saknes. itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām saknēm tiek ņemtas vērā arī negatīvās saknes. Tikai 17. gs. pateicoties pūlēm Žirārs, Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst modernu formu.

Apskatīsim vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standartmetodes kvadrātvienādojumu atrisināšanai no skolas mācību programma:

1. Vienādojuma kreisās puses faktorēšana.
2. Pilna kvadrāta izvēles metode.
3. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu.
4. Grafiskais risinājums kvadrātvienādojums.
5. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Sīkāk pakavēsimies pie reducētu un nereducētu kvadrātvienādojumu risinājuma, izmantojot Vietas teorēmu.

Atgādiniet, ka, lai atrisinātu iepriekš minētos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu un kuru summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x+6=0

Jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6 un kuru summa ir 5. Šie skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs varat arī izmantot šo metodi vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 +2x-5=0

Ņemiet pirmo koeficientu un reiziniet to ar brīvo termiņu: x 2 +2x-15=0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir - 15 un kuru summa ir - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu saknes sākotnējais vienādojums, sadaliet iegūtās saknes ar pirmo koeficientu.

Atbilde: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Vienādojumu risināšana, izmantojot "mest" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Reizinot abas puses ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tās saknes 1 un 2, izmantojot Vietas teorēmu.

Beidzot iegūstam x 1 = y 1 /a un x 2 = y 2 /a.

Izmantojot šo metodi, koeficients a tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam tiek “iemests”, tāpēc to sauc par “metienu” metodi. Šo metodi izmanto, ja vienādojuma saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Izmetīsim” koeficientu 2 uz brīvo terminu un veiksim aizstāšanu un iegūsim vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vietas apgriezto teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ja a+ b + c = 0 (t.i., vienādojuma koeficientu summa ir nulle), tad x 1 = 1.

2. Ja a - b + c = 0 vai b = a + c, tad x 1 = - 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tad x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrātvienādojuma koeficientiem ir arī citas īpašības. bet to izmantošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un šobrīd aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas ievietota krājuma 83. lpp.: Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.

XXII tabula. Nomogramma vienādojuma risināšanai z 2 + pz + q = 0. Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes no tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Ticot OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), no 1. att. trīsstūru līdzības SAN Un CDF mēs iegūstam proporciju

kas pēc aizstāšanas un vienkāršošanas dod vienādojumu z 2 + pz + q = 0, un vēstule z nozīmē jebkura punkta atzīmi izliektā skalā.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde:8,0; 1.0.

2) Izmantojot nomogrammu, mēs atrisinām vienādojumu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.X 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

Aplūkosim kvadrātu ar malu x, tā malās ir izveidoti taisnstūri tā, lai katra otra mala būtu 2,5, tāpēc katra laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūtais skaitlis tiek papildināts ar jaunu kvadrātu ABCD, pievienojot četrus kvadrātus stūros. vienāds kvadrāts, katra no tām mala ir 2,5, un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafiskā metode vienādojuma x 2 + 10x = 39 atrisināšanai

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu no: sākotnējā kvadrāta x 2, četriem taisnstūriem (4∙2,5x = 10x) un četriem papildu kvadrātiem (6,25∙4 = 25), t.i. S = x 2 + 10x = 25. Aizstājot x 2 + 10x ar skaitli 39, iegūstam, ka S = 39 + 25 = 64, kas nozīmē, ka kvadrāta mala ir ABCD, t.i. segments AB = 8. Sākotnējā kvadrāta vajadzīgajai malai x iegūstam

10. Vienādojumu risināšana, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Atlikušais polinoma P(x) dalījums ar binomiālu x - α ir vienāds ar P(α) (tas ir, P(x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P(x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Sadaliet P(x) ar (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 vai x-3=0, x=3; Atbilde: x1 =2, x2 =3.

Secinājums: Spēja ātri un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu sarežģītākus vienādojumus, piemēram, daļējus racionālos vienādojumus, augstākas pakāpes vienādojumus, bikvadrātiskie vienādojumi, un vidusskolas trigonometriskajos, eksponenciālajos un logaritmiskajos vienādojumos. Izpētot visas atrastās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, mēs varam ieteikt saviem klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un atrisināt vienādojumus, izmantojot koeficientu īpašību (7), jo tie ir pieejamāki. uz izpratni.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990.g.
2. Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes Makarychev Yu, Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teljakovskis, 15. izd., pārstrādāts. - M.: Izglītība, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Izglītība, 1964. gads.

Sākotnēji šī tēma var šķist sarežģīta, jo daudzi to nedara vienkāršas formulas. Pašiem kvadrātvienādojumiem ir ne tikai gari apzīmējumi, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Kopumā tiek iegūtas trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc šādu vienādojumu biežas risināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit mēs piedāvājam to skaidru ierakstu, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad noteikumi ir pretrunīgi. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim dažus apzīmējumus. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Lai šī formula ir numur viens.

Kad ir dots vienādojums, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• vienādojumam vispār nebūs sakņu.

Un, kamēr lēmums nav galīgs, ir grūti saprast, kurš variants parādīsies konkrētajā gadījumā.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumos var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies vispārējā formula kvadrātvienādojums. Dažreiz tajā pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai termini ar koeficientiem “b” un “c”. Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Nepilnīgas vienādojumu formas formulas būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Ļaujiet pirmajai formulai būt divi, bet otrajai - trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šis skaitlis ir jāzina, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs ceturtais numurs.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Plkst negatīvs skaitlis trūks kvadrātvienādojuma saknes. Ja tas ir vienāds ar nulli, būs tikai viena atbilde.

Kā atrisināt pilnīgu kvadrātvienādojumu?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noteikts, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un ir zināms to skaits, jums jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, jums jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, tam būs divas nozīmes. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt savādāk.

Piektā formula. No tā paša ieraksta ir skaidrs, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja kvadrātvienādojumu risināšana vēl nav izstrādāta, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Bet pašā sākumā ir apjukums.

Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat nav vajadzīgas papildu formulas. Un tie, kas jau pierakstīti diskriminējošajam un nezināmajam, nebūs vajadzīgi.

Vispirms apsvērsim nepilnīgs vienādojums otrajā numurā. Šajā vienādībā ir jāizņem nezināmais daudzums no iekavām un jāatrisina lineārais vienādojums, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir reizinātājs, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūsim, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepilns vienādojums numurs trīs tiek atrisināts, pārvietojot skaitli no vienādības kreisās puses uz labo pusi. Tad jums jādala ar koeficientu, kas vērsts pret nezināmo. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un atcerēties to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdzēs jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības var izraisīt sliktas atzīmes, pētot plašo tēmu “Kvadrātvienādojumi (8. klase).” Pēc tam šīs darbības nebūs jāveic pastāvīgi. Jo parādīsies stabila prasme.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes, un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta “a” parādās mīnuss, tas var sarežģīt darbu iesācējam, kas studē kvadrātvienādojumus. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar “-1”. Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 − 7x = 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Izņemot to no iekavām, izrādās: x (x - 7) = 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 = 0. Otrā tiks atrasta no lineārais vienādojums: x - 7 = 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 = 7.

Otrais vienādojums: 5x 2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Trešais vienādojums: 15 − 2х − x 2 = 0. Šeit un tālāk kvadrātvienādojumu risināšana sāksies ar to pārrakstīšanu standarta skats: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 = 0. Izmantojot ceturto formulu, jums jāaprēķina diskriminants: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No tā, kas teikts iepriekš, izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie ir jāaprēķina, izmantojot piekto formulu. Izrādās, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x = 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 = 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Sestais vienādojums (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka jāienes līdzīgi termini, vispirms atverot iekavas. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc tam, kad būs saskaitīti līdzīgi vārdi, vienādojums būs šādā formā: x 2 - x = 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Kaut kas līdzīgs šim jau ir apspriests nedaudz augstāk. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.