Kopumā jebkurš vienādojums ir matemātiskais modelis krūzes svari (svira, vienāda roka, šūpuļsvira - ir daudz nosaukumu), izgudroti senā Babilonija Pirms 7000 gadiem vai pat agrāk. Turklāt es pat domāju, ka tieši senākajos tirgos izmantotie kausu svari kļuva par vienādojumu prototipu. Un, ja uz jebkuru vienādojumu skatās nevis kā uz nesaprotamu ciparu un burtu kopumu, kas savienots ar divām paralēlām nūjām, bet gan kā uz svariem, tad ar visu pārējo problēmu nebūs:
Jebkurš vienādojums ir kā līdzsvarotas skalas
Tā nu ir sagadījies, ka katru dienu mūsu dzīvē ir arvien vairāk vienādojumu, bet arvien mazāk tiek saprasts, kas ir vienādojums un kāda ir tā nozīme. Jebkurā gadījumā man radās šāds iespaids, mēģinot izskaidrot savai vecākajai meitai tāda vienkārša matemātiskā vienādojuma nozīmi kā:
x + 2 = 8 (500.1)
Tie. skolā, protams, skaidro, ka šādos gadījumos, lai atrastu X, jums ir jāatņem 2 no labās puses:
x = 8-2 (500.3)
Tas, protams, ir absolūti pareiza rīcība, bet kāpēc vajag atņemt nevis, piemēram, saskaitīt vai dalīt, skolas mācību grāmatās skaidrojuma nav. Ir tikai noteikums, kas jums vienkārši jāiemācās:
Kad vienādojuma loceklis tiek pārnests no vienas daļas uz otru, tā zīme mainās uz pretējo.
Par to, kā 10 gadus vecam skolēnam jāsaprot šis noteikums un kāda ir tā nozīme, tas ir jādomā un jāizlemj jums. Turklāt izrādījās, ka arī mani tuvi radinieki nekad nav sapratuši vienādojumu nozīmi, bet vienkārši iegaumēja prasīto (un jo īpaši iepriekš minēto noteikumu) un tikai tad piemēroja to, kā Dievam tīk. Man nepatika šāds stāvoklis, tāpēc nolēmu uzrakstīt šo rakstu (mans jaunākais aug, pēc dažiem gadiem viņam tas atkal būs jāpaskaidro, un tas var noderēt arī dažiem manas vietnes lasītājiem) .
Uzreiz gribu teikt, ka, lai arī mācījos skolā 10 gadus, es nekad neiemācījos nekādus noteikumus vai definīcijas saistībā ar tehniskajām disciplīnām. Tie. ja kaut kas ir skaidrs, tad atcerēsies, bet ja kaut kas nav skaidrs, tad kāda jēga bāzt, nesaprotot jēgu, ja tik un tā aizmirsies? Un turklāt, ja es kaut ko nesaprotu, tas nozīmē, ka man tas nav vajadzīgs (es tikai nesen sapratu, ka, ja es kaut ko nesapratu skolā, tā nebija mana vaina, bet gan skolotāji, mācību grāmatas un izglītības sistēmas kopumā).
Šāda pieeja man nodrošināja daudz brīvā laika, kura bērnībā tik ļoti pietrūka visādām spēlēm un izklaidēm. Paralēli piedalījos dažādās fizikas un ķīmijas olimpiādēs un pat uzvarēju vienā novadu konkursā matemātikā. Bet laiks gāja, disciplīnu skaits, kas darbojas ar abstraktiem jēdzieniem, tikai pieauga un attiecīgi manas atzīmes samazinājās. Pirmajā institūta gadā ar abstraktiem jēdzieniem darbojošos disciplīnu skaits bija absolūts vairākums un, protams, es biju pilnīgs C students. Bet tad, kad vairāku iemeslu dēļ nācās tikt galā ar materiālu stiprību bez lekciju un pierakstu palīdzības un es to kaut kā sapratu, viss noritēja gludi un beidzās ar atzinības diplomu. Taču tagad runa nav par šo, bet gan par to, ka noteiktās specifikas dēļ mani jēdzieni un definīcijas var būtiski atšķirties no skolā mācītajiem.
Tagad turpināsim
Vienkāršākie vienādojumi, analoģija ar svariem
Faktiski bērni tiek mācīti salīdzināt dažādus objektus jau agrāk pirmsskolas vecums kad viņi joprojām īsti nezina, kā runāt. Tie parasti sākas ar ģeometriskiem salīdzinājumiem. Piemēram, bērnam tiek parādīti divi kubi, un bērnam ir jānosaka, kurš kubs ir lielāks un kurš mazāks. Un, ja tie ir vienādi, tad tas ir vienāds pēc izmēra. Tad uzdevums kļūst sarežģītāks, bērnam tiek parādīti priekšmeti dažādas formas, dažādas krāsas un izvēlēties vienu un to pašu priekšmetu bērnam kļūst arvien grūtāk. Taču mēs tik ļoti nesarežģīsim uzdevumu, bet koncentrēsimies tikai uz vienu vienlīdzības veidu - naudas svaru.
Kad svari atrodas tajā pašā horizontālajā līmenī (skalu bultiņas, kas parādītas 500.1. attēlā oranžā krāsā un zils, sakrīt, horizontālais līmenis ir parādīts ar melnu treknu līniju), tas nozīmē, ka uz svaru labās pannas ir tāds pats svars kā uz kreisās pannas. Vienkāršākajā gadījumā tie varētu būt svari, kas sver 1 kg:
Attēls 500.1.
Un tad iegūstam vienkāršāko vienādojumu 1 = 1. Tomēr šis vienādojums ir tikai man, matemātikā tādus izteiksmes sauc par vienlīdzību, bet būtība nemainās. Ja mēs noņemsim svaru no svaru kreisās pannas un uzliksim uz tās jebko, pat ābolus, pat nagus, pat sarkanos ikrus, un tajā pašā laikā svari atrodas vienā horizontālā līmenī, tad tas tik un tā nozīmēs, ka 1 kg jebkuram no norādītajiem produktiem, kas vienāds ar 1 kg svara, kas paliek svaru labajā pusē. Atliek tikai samaksāt par šo kilogramu pēc pārdevēja noteiktās cenas. Cita lieta, ka var nepatikt cena, vai šaubāties par svaru precizitāti - bet tie ir ekonomisko un tiesisko attiecību jautājumi, kuriem nav tiešas saistības ar matemātiku.
Protams, tajos tālajos laikos, kad parādījās krūzes svari, viss bija daudz vienkāršāk. Pirmkārt, nebija tāda svara mēra kā kilograms, bet bija naudas vienības, kas atbilst svara mēriem, piemēram, talanti, šekeļi, mārciņas, grivnas utt. (starp citu, es jau sen brīnos, ka ir mārciņa - naudas vienība un mārciņa - svara mērvienība, ir grivna - naudas vienība, un kādreiz grivna bija svara mērvienība, un tikai nesen, kad uzzināju, ka talants ir ne tikai naudas vienība gadā minētie senie ebreji Vecā Derība, bet arī senajā Babilonijā pieņemtais svara mērs, viss nostājās savās vietās).
Precīzāk, sākumā bija svara mēri, parasti graudi labības kultūras, un tikai tad parādījās nauda, kas atbilda šiem skalu mēriem. Piemēram, vienam šekelim atbilda 60 graudi, vienai minai 60 šekeļi, vienam talantam — 60 minas. Tāpēc sākotnēji tika izmantoti svari, lai pārbaudītu, vai piedāvātā nauda nav viltota, un tikai pēc tam kā naudas ekvivalents parādījās svari, atsvari un aprēķini, elektroniskie svari un plastikāta kartes, taču lietas būtību tas nemaina.
Tajos tālajos laikos pārdevējam nevajadzēja gari un detalizēti skaidrot, cik maksās konkrēta prece. Pietika nolikt pārdodamo produktu uz vienas skalas pannas, bet pircējs uzlika naudu uz otrās - tas ir ļoti vienkārši un skaidri, un pat nav nepieciešamas zināšanas par vietējo dialektu, jūs varat tirgoties jebkur pasaulē. Bet atgriezīsimies pie vienādojumiem.
Ja ņemam vērā vienādojumu (500.1) no svaru stāvokļa, tad tas nozīmē, ka uz svaru kreisās pannas ir nezināms kilogramu skaits un vēl 2 kilogrami, bet uz labās pannas ir 8 kilogrami:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Piezīme: IN šajā gadījumā Pasvītrojums simbolizē skalas apakšējo daļu; veicot aprēķinus uz papīra, šī līnija var vairāk līdzināties skalas apakšai. Turklāt matemātiķi jau sen ir izdomājuši īpašus simbolus - iekavas, un tāpēc jebkuras iekavas var uzskatīt par skalas malām, vismaz vienādojumu nozīmes izpratnes pirmajā posmā. Tomēr lielākas skaidrības labad es atstāšu pasvītrojumu.
Tātad, kas mums jādara, lai uzzinātu nezināmo kilogramu skaitu? Pa labi! Noņemiet 2 kilogramus no svaru kreisās un labās puses, tad svari paliks tajā pašā horizontālajā līmenī, t.i., mums joprojām būs vienlīdzība:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Attiecīgi
x = 8–2 kg, (500.3.2)
x = 6 kg, (500.4.2)
Attēls 500.2.
Bieži vien matemātika darbojas nevis ar kilogramiem, bet ar dažām abstraktām bezdimensiju vienībām, un tad vienādojuma (500.1) atrisinājuma rakstīšana, piemēram, melnrakstā, izskatīsies šādi:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Kas atspoguļots 500.2.attēlā.
Piezīme: Formāli, lai vēl labāk izprastu, vienādojumam (500.2) vajadzētu sekot citam formas vienādojumam: x + 2 - 2, = 8 - 2, tas nozīmē, ka darbība ir beigusies un mums atkal ir darīšana ar līdzsvara traukiem. Taču, manuprāt, šāds pilnīgi pilnīgs lēmuma pieraksts nav vajadzīgs.
Tīrās grāmatās parasti tiek lietots saīsināts vienādojuma risinājuma apzīmējums un tiek saīsināti ne tikai skalu simboli, kas, manuprāt, ir tik nepieciešami vienādojumu izpētes sākumposmā, bet pat veseli vienādojumi. Tātad vienādojuma (500.1) risinājuma saīsinātā versija tīrā versijā saskaņā ar mācību grāmatās sniegtajiem piemēriem izskatīsies šādi:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Rezultātā, izmantojot analoģiju ar skalām, mēs sastādījām papildu vienādojumu (500.2) salīdzinājumā ar mācību grāmatās piedāvāto vai nu pēc risinājuma metodes, vai ar šī risinājuma ierakstīšanas formu. Manuprāt, tas ir vienādojums, turklāt aptuveni tādā formā uzrakstīts, t.i. ar simbolisku svaru apzīmējumu - tas ir trūkstošais posms, kas ir svarīgs, lai izprastu vienādojumu nozīmi.
Tie. Risinot vienādojumus, mēs nekur neko nepārnesam ar pretējo zīmi, bet veicam tās pašas matemātiskās darbības ar vienādojuma kreiso un labo pusi.
Tikai tagad ir ierasts pierakstīt vienādojumu risinājumu iepriekš norādītajā saīsinātajā formā. Vienādojumam (500.1.1) uzreiz seko vienādojums (500.3.1), no tā izriet apgriezto zīmju noteikums, ko tomēr daudziem ir vieglāk atcerēties, nekā iedziļināties vienādojumu nozīmē.
Piezīme: Man nav nekas pret saīsinātu ieraksta formu, turklāt. pieredzējuši lietotāji var vēl vairāk saīsināt šo veidlapu, taču tas jādara tikai pēc tam, kad jau ir skaidri izprasta vienādojumu vispārējā nozīme.
Un paplašinātais apzīmējums ļauj saprast galvenos vienādojumu risināšanas noteikumus:
1. Ja veicam tās pašas matemātiskās darbības ar kreiso un labā puse vienādojumus, tad vienlīdzība paliek.
2. Nav svarīgi, kura aplūkojamā vienādojuma daļa ir kreisā un kura ir labā, mēs varam tās brīvi apmainīt.
Šīs matemātiskās darbības var būt jebkas. Mēs varam atņemt to pašu skaitli no kreisās puses un no labās puses, kā parādīts iepriekš. Mēs varam pievienot vienu un to pašu skaitli vienādojuma kreisajā un labajā pusē, piemēram:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Mēs varam dalīt vai reizināt abas puses ar vienu un to pašu skaitli, piemēram:
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Mēs varam integrēt vai atšķirt abas daļas. Ar kreiso un labo daļu varam darīt, ko gribam, bet, ja šīs darbības ir vienādas ar kreiso un labo daļu, tad vienlīdzība saglabāsies (svari paliks tajā pašā horizontālajā līmenī).
Protams, ir jāizvēlas darbības, kas ļaus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk noteikt nezināmo daudzumu.
No šī viedokļa klasiskā apgrieztās darbības metode šķiet vienkāršāka, bet ko darīt, ja bērns vēl nav pētījis negatīvos skaitļus? Tikmēr sastādītajam vienādojumam ir šāda forma:
5 — x = 3 (500.8)
Tie. Atrisinot šo vienādojumu ar klasisko metodi, viens no iespējamiem risinājumiem, kas dod īsāko apzīmējumu, ir šāds:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Un pats galvenais, kā jūs varat izskaidrot bērnam, kāpēc vienādojums (500.8.3) ir identisks vienādojumam (500.8.4)?
Tas nozīmē, ka šajā gadījumā pat lietojot klasiskā metode nav jēgas taupīt uz rakstīšanu un vispirms ir jāatbrīvojas no nezināmās vērtības kreisajā pusē, kurai ir negatīva zīme.
5 — x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5-3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Pilns ieraksts izskatīsies šādi:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5-3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Es to pievienošu vēlreiz. Pilnīgs risinājuma ieraksts ir vajadzīgs nevis skolotājiem, bet gan, lai labāk izprastu vienādojumu risināšanas metodi. Un, kad mēs samainām vienādojuma kreiso un labo pusi, tas ir tā, it kā mēs mainītu skalas skatu no pircēja viedokļa uz pārdevēja skatupunktu, bet vienlīdzība paliek nemainīga.
Diemžēl es nekad nevarēju panākt, lai meita pierakstītu risinājumu pilnībā, pat melnrakstos. Viņai ir dzelžains arguments: "mums tā nemācīja." Tikmēr palielinās sastādīto vienādojumu sarežģītība, samazinās procentuālais uzminējums, kāda darbība ir jāveic, lai noteiktu nezināmo lielumu, un atzīmes samazinās. Es nezinu, ko darīt ar šo...
Piezīme: mūsdienu matemātikā ir pieņemts atšķirt vienādības un vienādojumus, t.i. 1 = 1 ir tikai skaitlisks vienādojums, un, ja vienā no vienādības daļām ir kāds nezināmais, kas jāatrod, tad tas jau ir vienādojums. Man tādai nozīmju diferenciācijai nav lielas jēgas, bet tikai apgrūtina materiāla uztveri. Es uzskatu, ka jebkuru vienlīdzību var saukt par vienādojumu, un jebkura vienādojuma pamatā ir vienlīdzība. Un turklāt rodas jautājums: x = 6, vai šī jau ir vienādība vai tomēr tas ir vienādojums?
Vienkāršākie vienādojumi, analoģija ar laiku
Protams, līdzība ar svariem, risinot vienādojumus, nebūt nav vienīgā. Piemēram, vienādojumu risināšanu var aplūkot arī no laika perspektīvas. Tad nosacījums, kas aprakstīts ar vienādojumu (500.1), izklausīsies šādi:
Pēc tam, kad esam pievienojuši nezināmam daudzumam X Vēl 2 vienības, tagad mums ir 8 vienības (pašreiz). Tomēr viena vai otra iemesla dēļ mūs neinteresē, cik to ir, bet gan tas, cik daudz to bija pagātnē. Attiecīgi, lai noskaidrotu, cik mums bija šo pašu vienību, ir jāveic pretēja darbība, t.i. atņemiet 2 no 8 (vienādojums 500.3). Šī pieeja precīzi atbilst mācību grāmatās izklāstītajam, taču, manuprāt, tā nav tik skaidra kā līdzība ar svariem. Tomēr viedokļi par šo jautājumu var atšķirties.
Piemērs vienādojuma risināšanai ar iekavām
Šo rakstu rakstīju vasarā, kad mana meita absolvēja 4. klasi, bet pēc nepilna pusgada viņiem skolā prasīja atrisināt šādas formas vienādojumus:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Neviens klasē nevarēja atrisināt šo vienādojumu, un tomēr, izmantojot manis piedāvāto metodi, tā atrisināšanā nav nekā sarežģīta, taču pilna apzīmējuma forma aizņems pārāk daudz vietas:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5 x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50–25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Tomēr šajā posmā tādā pilna forma ierakstīšana nav nepieciešama. Tā kā mēs nonācām pie dubultajām iekavām, nav nepieciešams izveidot atsevišķu vienādojumu matemātiskām darbībām kreisajā un labajā pusē, tāpēc risinājuma rakstīšana uzmetumā var izskatīties šādi:
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5 x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Kopumā šajā posmā bija nepieciešams pierakstīt 14 vienādojumus, lai atrisinātu sākotnējo.
Šajā gadījumā vienādojuma risinājuma rakstīšana tīrā kopijā var izskatīties šādi:
97 + 75: (50–5 x) = 300:3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50–5x) = 100–97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50–5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50–25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Tie. ar saīsināto apzīmējuma formu mums joprojām ir jāizveido 12 vienādojumi. Ietaupījums ierakstā ir minimāls, taču piektklasniekam patiesībā var būt problēmas saprast nepieciešamās darbības.
P.S. Tikai runājot par dubultiekavām, mana meita sāka interesēties par manis piedāvāto metodi vienādojumu risināšanai, bet tajā pašā laikā viņas rakstīšanas formā, pat uzmetumā, joprojām ir 2 reizes mazāk vienādojumu, jo viņa izlaiž galīgo. vienādojumi, piemēram, (500.10.4), (500.10. 7) un tamlīdzīgi, un ierakstot uzreiz atstāj vietu nākamajam matemātiskā darbība. Rezultātā ieraksts viņas melnrakstā izskatījās apmēram šādi:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Rezultātā mēs saņēmām tikai 8 vienādojumus, kas ir pat mazāk nekā nepieciešams saīsinātajam risinājumam. Principā es neiebilstu, bet tas būtu noderīgi.
Tas patiesībā ir viss, ko es gribēju teikt par vienkāršāko vienādojumu atrisināšanu, kas satur vienu nezināmu daudzumu. Lai atrisinātu vienādojumus, kas satur divus nezināmus lielumus, jums būs nepieciešams
Saņemot vispārēju priekšstatu par vienādībām un iepazinušies ar vienu no to veidiem - skaitliskām vienādībām, jūs varat sākt runāt par cita veida vienādībām, kas ir ļoti svarīgas no praktiskā viedokļa - vienādojumiem. Šajā rakstā mēs apskatīsim kas ir vienādojums, un ko sauc par vienādojuma sakni. Šeit mēs sniegsim atbilstošās definīcijas, kā arī sniegsim dažādus vienādojumu un to sakņu piemērus.
Lapas navigācija.
Kas ir vienādojums?
Mērķtiecīgs ievads vienādojumos parasti sākas matemātikas stundās 2. klasē. Šajā laikā tiek sniegts sekojošais vienādojuma definīcija:
Definīcija.
Vienādojums ir vienādība, kas satur nezināmu skaitli, kas jāatrod.
Nezināmus skaitļus vienādojumos parasti apzīmē, izmantojot mazus skaitļus. Latīņu burti, piemēram, p, t, u utt., bet visbiežāk lietotie burti ir x, y un z.
Tādējādi vienādojums tiek noteikts no rakstīšanas formas viedokļa. Citiem vārdiem sakot, vienlīdzība ir vienādojums, kad tas ievēro noteiktos rakstīšanas noteikumus - tajā ir burts, kura vērtība ir jāatrod.
Sniegsim piemērus pašam pirmajam un visvairāk vienkārši vienādojumi. Sāksim ar vienādojumiem formā x=8, y=3 utt. Vienādojumi, kas satur zīmes kopā ar cipariem un burtiem, izskatās nedaudz sarežģītāki aritmētiskās darbības, piemēram, x+2=3, z−2=5, 3·t=9, 8:x=2.
Vienādojumu daudzveidība pieaug pēc iepazīšanās ar - sāk parādīties vienādojumi ar iekavām, piemēram, 2·(x−1)=18 un x+3·(x+2·(x−2))=3. Nezināms burts vienādojumā var parādīties vairākas reizes, piemēram, x+3+3·x−2−x=9, arī burti var atrasties vienādojuma kreisajā pusē, tā labajā pusē vai abās pusēs vienādojums, piemēram, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 vai 3·x−4=2·(x+12) .
Tālāk pēc studijām naturālie skaitļi notiek iepazīšanās ar veseliem, racionāliem, reāliem skaitļiem, tiek pētīti jauni matemātiski objekti: pakāpes, saknes, logaritmi utt., savukārt parādās arvien jauni vienādojumu veidi, kas satur šīs lietas. To piemērus var redzēt rakstā vienādojumu pamatveidi mācās skolā.
7. klasē kopā ar burtiem, kas nozīmē dažus konkrētus ciparus, viņi sāk apsvērt burtus, kas var iegūt dažādas vērtības, tos sauc par mainīgajiem (skat. rakstu). Tajā pašā laikā vienādojuma definīcijā tiek ieviests vārds “mainīgais”, un tas kļūst šāds:
Definīcija.
Vienādojums sauc par vienādību, kas satur mainīgo, kura vērtība ir jāatrod.
Piemēram, vienādojums x+3=6·x+7 ir vienādojums ar mainīgo x, un 3·z−1+z=0 ir vienādojums ar mainīgo z.
Algebras stundās tajā pašā 7. klasē sastopamies ar vienādojumiem, kas satur nevis vienu, bet divus dažādus nezināmus mainīgos. Tos sauc par vienādojumiem divos mainīgajos. Nākotnē vienādojumos ir atļauta trīs vai vairāku mainīgo lielumu klātbūtne.
Definīcija.
Vienādojumi ar vienu, divi, trīs utt. mainīgie– tie ir vienādojumi, kas satur attiecīgi vienu, divus, trīs, ... nezināmus mainīgos.
Piemēram, vienādojums 3.2 x+0.5=1 ir vienādojums ar vienu mainīgo x, savukārt vienādojums formā x−y=3 ir vienādojums ar diviem mainīgajiem x un y. Un vēl viens piemērs: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Ir skaidrs, ka šāds vienādojums ir vienādojums ar trīs nezināmiem mainīgajiem x, y un z.
Kāda ir vienādojuma sakne?
Vienādojuma definīcija ir tieši saistīta ar šī vienādojuma saknes definīciju. Veiksim dažus argumentus, kas palīdzēs mums saprast, kas ir vienādojuma sakne.
Pieņemsim, ka mums ir vienādojums ar vienu burtu (mainīgo). Ja šī vienādojuma ierakstā iekļautā burta vietā tiek aizstāts noteikts skaitlis, tad vienādojums pārvēršas par skaitlisko vienādību. Turklāt iegūtā vienlīdzība var būt patiesa vai nepatiesa. Piemēram, ja vienādojumā a+1=5 burta a vietā aizstājat skaitli 2, iegūsit nepareizu skaitlisko vienādību 2+1=5. Ja šajā vienādojumā aizstājam skaitli 4, nevis a, mēs iegūstam pareizo vienādību 4+1=5.
Praksē vairumā gadījumu interese ir par tām mainīgā vērtībām, kuru aizstāšana vienādojumā dod pareizo vienādību; šīs vērtības sauc par šī vienādojuma saknēm vai risinājumiem.
Definīcija.
Vienādojuma sakne- šī ir burta (mainīgā) vērtība, kuru aizvietojot, vienādojums pārvēršas par pareizu skaitlisko vienādību.
Ņemiet vērā, ka vienādojuma sakni vienā mainīgajā sauc arī par vienādojuma atrisinājumu. Citiem vārdiem sakot, vienādojuma risinājums un vienādojuma sakne ir viens un tas pats.
Paskaidrosim šo definīciju ar piemēru. Lai to izdarītu, atgriezīsimies pie vienādojuma, kas uzrakstīts iepriekš a+1=5. Saskaņā ar norādīto vienādojuma saknes definīciju skaitlis 4 ir šī vienādojuma sakne, jo, aizstājot šo skaitli burta a vietā, mēs iegūstam pareizo vienādību 4+1=5, un skaitlis 2 nav tā sakne. sakne, jo tā atbilst nepareizai formas 2+1= 5 vienādībai.
Šajā brīdī rodas vairāki dabiski jautājumi: "Vai jebkuram vienādojumam ir sakne un cik sakņu ir dotajam vienādojumam?" Mēs viņiem atbildēsim.
Ir gan vienādojumi, kuriem ir saknes, gan vienādojumi, kuriem nav sakņu. Piemēram, vienādojumam x+1=5 sakne ir 4, bet vienādojumam 0 x=5 nav sakņu, jo neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs šajā vienādojumā aizstātu mainīgā x vietā, mēs iegūsim nepareizu vienādību 0=5. .
Runājot par vienādojuma sakņu skaitu, ir gan vienādojumi, kuriem ir noteikts ierobežots sakņu skaits (viens, divi, trīs utt.), gan vienādojumi, kuriem ir bezgalīgs sakņu skaits. Piemēram, vienādojumam x−2=4 ir viena sakne 6, vienādojuma x 2 =9 saknes ir divi skaitļi −3 un 3, vienādojumam x·(x−1)·(x−2)=0 ir trīs saknes 0, 1 un 2, un vienādojuma x=x risinājums ir jebkurš skaitlis, tas ir, tam ir bezgalīgs sakņu skaits.
Daži vārdi jāsaka par pieņemto vienādojuma sakņu apzīmējumu. Ja vienādojumam nav sakņu, viņi parasti raksta “vienādojumam nav sakņu” vai izmanto tukšas kopas zīmi ∅. Ja vienādojumam ir saknes, tad tos raksta atdalot ar komatiem vai raksta kā komplekta elementi cirtainajās iekavās. Piemēram, ja vienādojuma saknes ir skaitļi -1, 2 un 4, tad ierakstiet -1, 2, 4 vai (-1, 2, 4). Ir atļauts arī pierakstīt vienādojuma saknes vienkāršu vienādību veidā. Piemēram, ja vienādojumā ir burts x un šī vienādojuma saknes ir skaitļi 3 un 5, tad varat rakstīt x=3, x=5 un bieži tiek pievienoti apakšindeksi x 1 =3, x 2 =5. uz mainīgo, it kā norādot vienādojuma skaitļu saknes. Vienādojuma bezgalīgu sakņu kopu parasti raksta formā, ja iespējams, izmanto arī naturālu skaitļu kopu N, veselu skaitļu Z un reālu skaitļu R apzīmējumu. Piemēram, ja vienādojuma ar mainīgo x sakne ir jebkurš vesels skaitlis, tad ierakstiet , un, ja vienādojuma ar mainīgo y saknes ir jebkurš reāls skaitlis no 1 līdz 9 ieskaitot, tad ierakstiet .
Vienādojumiem ar diviem, trim vai vairākiem mainīgajiem, kā likums, terminu “vienādojuma sakne” neizmanto; šajos gadījumos viņi saka “vienādojuma atrisinājums”. Ko sauc par vienādojumu atrisināšanu ar vairākiem mainīgajiem? Sniegsim atbilstošo definīciju.
Definīcija.
Vienādojuma atrisināšana ar divi, trīs utt. mainīgie sauc par pāri, trīs utt. mainīgo lielumu vērtības, pārvēršot šo vienādojumu par pareizu skaitlisko vienādību.
Parādīsim paskaidrojošus piemērus. Apsveriet vienādojumu ar diviem mainīgajiem x+y=7. Aizstāsim x vietā skaitli 1 un y vietā skaitli 2, un mums būs vienādība 1+2=7. Acīmredzot tas ir nepareizi, tāpēc vērtību pāris x=1, y=2 nav rakstītā vienādojuma risinājums. Ja ņemam vērtību pāri x=4, y=3, tad pēc aizstāšanas vienādojumā nonāksim pie pareizā vienādības 4+3=7, tāpēc šis mainīgo vērtību pāris pēc definīcijas ir risinājums vienādojumam x+y=7.
Vienādojumiem ar vairākiem mainīgajiem, piemēram, vienādojumiem ar vienu mainīgo, var nebūt sakņu, tiem var būt ierobežots sakņu skaits vai arī bezgalīgs sakņu skaits.
Pāri, trīnīši, četrinieki utt. Mainīgo vērtības bieži tiek rakstītas īsi, iekavās norādot to vērtības, atdalot tās ar komatiem. Šajā gadījumā iekavās ierakstītie skaitļi atbilst mainīgajiem lielumiem alfabētiskā secībā. Noskaidrosim šo punktu, atgriežoties pie iepriekšējā vienādojuma x+y=7. Šī vienādojuma atrisinājumu x=4, y=3 var īsi uzrakstīt kā (4, 3).
Vislielākā uzmanība skolas matemātikas kursā, algebrā un analīzes sākumos tiek pievērsta vienādojumu sakņu atrašanai ar vienu mainīgo. Mēs ļoti detalizēti apspriedīsim šī procesa noteikumus rakstā. vienādojumu risināšana.
Bibliogrāfija.
- Matemātika. 2 klases Mācību grāmata vispārējai izglītībai iestādes ar adj. uz elektronu pārvadātājs. 14:00 1. daļa / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltjukova u.c.] - 3. izd. - M.: Izglītība, 2012. - 96 lpp.: ill. - (Krievijas skola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: 9. klase: izglītojoša. vispārējai izglītībai iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2009. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Skolas matemātikas kursā bērns pirmo reizi dzird terminu “vienādojums”. Kas tas ir, mēģināsim to izdomāt kopā. Šajā rakstā aplūkosim risinājuma veidus un metodes.
Matemātika. Vienādojumi
Sākumā mēs iesakām izprast pašu jēdzienu, kas tas ir? Kā teikts daudzās matemātikas mācību grāmatās, vienādojums ir daži izteicieni, starp kuriem ir jābūt vienādības zīmei. Šīs izteiksmes satur burtus, tā sauktos mainīgos, kuru vērtība ir jāatrod.
Šis ir sistēmas atribūts, kas maina tā vērtību. Labs mainīgo lielumu piemērs ir:
- gaisa temperatūra;
- bērna augums;
- svars un tā tālāk.
Matemātikā tos apzīmē ar burtiem, piemēram, x, a, b, c... Parasti matemātikas uzdevums ir šāds: atrodiet vienādojuma vērtību. Tas nozīmē, ka ir jāatrod šo mainīgo lielumu vērtība.
Šķirnes
Vienādojums (mēs apspriedām, kas tas ir iepriekšējā punktā) var būt šādā formā:
- lineārs;
- kvadrāts;
- kubiskais;
- algebrisks;
- pārpasaulīgs.
Lai iegūtu sīkāku iepazīšanos ar visiem veidiem, mēs apsvērsim katru atsevišķi.
Lineārais vienādojums
Šī ir pirmā suga, ar kuru tiek iepazīstināti skolēni. Tie tiek atrisināti diezgan ātri un vienkārši. Tātad, kas ir lineārais vienādojums? Šī ir formas izteiksme: ah=c. Tas nav īpaši skaidrs, tāpēc sniegsim dažus piemērus: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Apskatīsim vienādojumu piemērus. Lai to izdarītu, mums ir jāapkopo visi zināmie dati vienā pusē un nezināmie otrā pusē: x=26/2; x=40/5; x=6/1,2. Šeit tika izmantoti elementārie matemātikas likumi: a*c=e, no šī c=e/a; a=e/c. Lai pabeigtu vienādojuma atrisinājumu, veicam vienu darbību (mūsu gadījumā dalīšanu) x = 13; x=8; x=5. Tie bija reizināšanas piemēri, tagad apskatīsim atņemšanu un saskaitīšanu: x+3=9; 10x-5=15. Zināmos datus pārnesam vienā virzienā: x=9-3; x=20/10. Izpildi pēdējo darbību: x=6; x=2.
Iespējami arī varianti lineārie vienādojumi, kur tiek izmantots vairāk nekā viens mainīgais: 2x-2y=4. Lai atrisinātu, katrai daļai jāpievieno 2y, iegūstam 2x-2y + 2y = 4-2y, kā mēs pamanījām, kreisā puse vienādības zīmes -2y un +2y tiek atceltas, atstājot mums: 2x=4-2y. Pēdējais solis ir sadalīt katru daļu ar diviem, mēs saņemam atbildi: x ir vienāds ar diviem mīnus y.
Problēmas ar vienādojumiem ir atrodamas pat uz Ahmesa papirusiem. Šeit ir viena problēma: skaitlis un tā ceturtā daļa tiek summēti 15. Lai to atrisinātu, mēs uzrakstām šādu vienādojumu: x plus viena ceturtā daļa x ir vienāds ar piecpadsmit. Mēs redzam citu piemēru, pamatojoties uz risinājuma rezultātu, mēs saņemam atbildi: x=12. Bet šo problēmu var atrisināt citā veidā, proti, ēģiptiešu vai, kā to sauc citādi, pieņēmuma metodi. Papirusam tiek izmantots šāds risinājums: ņem četrus un ceturto daļu, tas ir, vienu. Kopā viņi dod piecus, tagad piecpadsmit jādala ar summu, mēs iegūstam trīs, pēdējais solis ir reizināt trīs ar četriem. Mēs saņemam atbildi: 12. Kāpēc mēs risinājumā dalām piecpadsmit ar pieci? Tātad mēs uzzinām, cik reizes piecpadsmit, tas ir, rezultāts, kas mums jāsaņem, ir mazāks par pieciem. Viduslaikos problēmas tika risinātas šādā veidā, tas kļuva pazīstams kā viltus pozīcijas metode.
Kvadrātvienādojumi
Papildus iepriekš apspriestajiem piemēriem ir arī citi. Kuras tieši? Kvadrātvienādojums, kas tas ir? Tie izskatās kā cirvis 2 +bx+c=0. Lai tos atrisinātu, jums jāiepazīstas ar dažiem jēdzieniem un noteikumiem.
Pirmkārt, jums ir jāatrod diskriminants, izmantojot formulu: b 2 -4ac. Ir trīs iespējamie lēmuma rezultāti:
- diskriminants ir lielāks par nulli;
- mazāks par nulli;
- vienāds ar nulli.
Pirmajā variantā atbildi varam iegūt no divām saknēm, kuras atrod pēc formulas: -b+-diskriminanta sakne dalīta ar dubulto pirmo koeficientu, tas ir, 2a.
Otrajā gadījumā vienādojumam nav sakņu. Trešajā gadījumā sakne tiek atrasta, izmantojot formulu: -b/2a.
Apskatīsim kvadrātvienādojuma piemēru, lai iegūtu detalizētāku ievadu: trīs x kvadrātā mīnus četrpadsmit x mīnus pieci ir vienāds ar nulli. Vispirms, kā tika rakstīts iepriekš, mēs meklējam diskriminantu, mūsu gadījumā tas ir vienāds ar 256. Ņemiet vērā, ka iegūtais skaitlis ir lielāks par nulli, tāpēc mums vajadzētu iegūt atbildi, kas sastāv no divām saknēm. Mēs aizstājam iegūto diskriminantu sakņu atrašanas formulā. Rezultātā mums ir: x ir pieci un mīnus viena trešdaļa.
Īpaši gadījumi kvadrātvienādojumos
Šie ir piemēri, kuros dažas vērtības ir nulle (a, b vai c) un, iespējams, vairāk nekā viens.
Piemēram, ņemsim šādu vienādojumu, kas ir kvadrātisks: divi x kvadrātā ir vienādi ar nulli, šeit mēs redzam, ka b un c ir vienādi ar nulli. Mēģināsim to atrisināt, lai to izdarītu, abas vienādojuma puses sadalām ar divi, mums ir: x 2 =0. Rezultātā mēs iegūstam x=0.
Cits gadījums ir 16x2 -9=0. Šeit tikai b=0. Atrisināsim vienādojumu, pārnesam brīvo koeficientu uz labo pusi: 16x 2 = 9, tagad sadalām katru daļu ar sešpadsmit: x 2 = deviņas sešpadsmitdaļas. Tā kā mums ir x kvadrātā, 9/16 sakne var būt negatīva vai pozitīva. Mēs rakstām atbildi šādi: x ir vienāds ar plus/mīnus trīs ceturtdaļas.
Vēl viena iespējamā atbilde ir tāda, ka vienādojumam vispār nav sakņu. Apskatīsim šo piemēru: 5x 2 +80=0, šeit b=0. Lai atrisinātu, iemetiet brīvo dalībnieku labā puse, pēc šīm darbībām mēs iegūstam: 5x 2 = -80, tagad mēs sadalām katru daļu ar pieci: x 2 = mīnus sešpadsmit. Ja mēs kvadrātā jebkuru skaitli, mēs neiegūsim negatīvu vērtību. Tāpēc mūsu atbilde ir: vienādojumam nav sakņu.
Trinoma izplešanās
Kvadrātvienādojumu uzdevums var izklausīties arī šādi: paplašināt kvadrātveida trinomāls pēc reizinātājiem. To var izdarīt, izmantojot šādu formulu: a(x-x 1)(x-x 2). Lai to izdarītu, tāpat kā citā uzdevuma versijā, ir jāatrod diskriminants.
Apsveriet šādu piemēru: 3x 2 -14x-5, koeficientu trinomu. Mēs atrodam diskriminantu, izmantojot mums jau zināmu formulu, kas izrādās vienāds ar 256. Uzreiz atzīmējam, ka 256 ir lielāks par nulli, tāpēc vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos atrodam, tāpat kā iepriekšējā punktā, mums ir: x = pieci un mīnus viena trešdaļa. Izmantosim formulu trinoma faktorēšanai: 3(x-5)(x+1/3). Otrajā iekavā ieguvām vienādības zīmi, jo formula satur mīnusa zīmi, un arī sakne ir negatīva, izmantojot matemātikas pamatzināšanas, summā mums ir plus zīme. Vienkāršības labad sareizināsim vienādojuma pirmo un trešo daļu, lai atbrīvotos no daļskaitļa: (x-5)(x+1).
Vienādojumi, kas reducēti uz kvadrātu
Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā atrisināt sarežģītākus vienādojumus. Sāksim uzreiz ar piemēru:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Varam pamanīt atkārtojošus elementus: (x 2 - 2x), lai to atrisinātu, mums ir ērti to aizstāt ar citu mainīgo, un tad nekavējoties atrisiniet parasto kvadrātvienādojumu Mēs atzīmējam, ka šādā uzdevumā mēs iegūsim četras saknes, tam nevajadzētu jūs nobiedēt. Mēs apzīmējam mainīgā a atkārtošanos. Mēs iegūstam: a 2 -2a-3=0. Mūsu Nākamais solis ir jauna vienādojuma diskriminanta atrašana. Mēs iegūstam 16, atrodam divas saknes: mīnus viens un trīs. Mēs atceramies, ka veicām nomaiņu, aizstājam šīs vērtības, kā rezultātā mums ir vienādojumi: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Mēs tos atrisinām pirmajā atbildē: x ir vienāds ar vienu, otrajā: x ir vienāds ar mīnus viens un trīs. Atbildi rakstām šādi: plus/mīnus viens un trīs. Parasti atbildi raksta augošā secībā.
Kubiskie vienādojumi
Apskatīsim vēl vienu iespējamais variants. Tas ir par par kubiskajiem vienādojumiem. Tie izskatās šādi: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Tālāk mēs apskatīsim vienādojumu piemērus, bet vispirms nedaudz teorijas. Tiem var būt trīs saknes, un ir arī formula kubiskā vienādojuma diskriminanta atrašanai.
Apskatīsim piemēru: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Kā to atrisināt? Lai to izdarītu, mēs vienkārši izliekam x no iekavām: x(3x 2 +4x+2)=0. Viss, kas mums jādara, ir jāaprēķina vienādojuma saknes iekavās. Kvadrātvienādojuma diskriminants iekavās ir mazāks par nulli, pamatojoties uz to, izteiksmei ir sakne: x=0.
Algebra. Vienādojumi
Pāriesim pie nākamā skata. Tagad mēs īsumā apskatīsim algebriskie vienādojumi. Viens no uzdevumiem ir šāds: koeficients 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Ērtākais veids būtu grupēšana: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Ņemiet vērā, ka mēs attēlojām 8x 2 no pirmās izteiksmes kā 3x 2 un 5x 2 summu. Tagad mēs no katras iekavas izņemam kopējo koeficientu 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Mēs redzam, ka mums ir kopīgs koeficients: x kvadrātā plus viens, mēs to izņemam no iekavām: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Tālāka paplašināšana nav iespējama, jo abiem vienādojumiem ir negatīvs diskriminants.
Transcendentālie vienādojumi
Mēs iesakām jums rīkoties ar šādu veidu. Tie ir vienādojumi, kas satur pārpasaulīgas funkcijas, proti, logaritmiskas, trigonometriskas vai eksponenciālas. Piemēri: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 un tā tālāk. Kā tās tiek risinātas, uzzināsiet trigonometrijas kursā.
Funkcija
Pēdējais solis ir apsvērt funkcijas vienādojuma jēdzienu. Atšķirībā no iepriekšējām opcijām šis tips nav atrisināts, bet uz tā pamata tiek veidots grafiks. Lai to izdarītu, ir vērts labi analizēt vienādojumu, atrast visus būvniecībai nepieciešamos punktus un aprēķināt minimālo un maksimālo punktu skaitu.
