Mājas Zobu sāpes Atrisiniet matricu, izmantojot Kremera metodi. Krāmera metode: lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu atrisināšana (slau)

Zobu sāpes

Atrisiniet matricu, izmantojot Kremera metodi. Krāmera metode: lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu atrisināšana (slau)

Krāmera metode balstās uz determinantu izmantošanu sistēmu risināšanā lineārie vienādojumi. Tas ievērojami paātrina risināšanas procesu.

Krāmera metodi var izmantot, lai atrisinātu sistēmu, kurā ir tik daudz lineāru vienādojumu, cik katrā vienādojumā ir nezināmo. Ja sistēmas determinants nav vienāds ar nulli, tad risinājumā var izmantot Krāmera metodi, bet, ja tā ir vienāda ar nulli, tad nevar. Turklāt Krāmera metodi var izmantot, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas, kurām ir unikāls risinājums.

Definīcija. Determinantu, ko veido nezināmo faktoru koeficienti, sauc par sistēmas determinantu un apzīmē (delta).

Noteicošie faktori

tiek iegūti, aizstājot atbilstošo nezināmo koeficientus ar brīvajiem vārdiem:

;

Krāmera teorēma. Ja sistēmas determinants nav nulle, tad lineāro vienādojumu sistēmai ir viens unikāls risinājums, un nezināmais ir vienāds ar determinantu attiecību. Saucējs satur sistēmas determinantu, un skaitītājs satur determinantu, kas iegūts no sistēmas determinanta, aizstājot šī nezināmā koeficientus ar brīvajiem vārdiem. Šī teorēma attiecas uz jebkuras kārtas lineāro vienādojumu sistēmu.

1. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu:

Saskaņā ar Krāmera teorēma mums ir:

Tātad, risinājums sistēmai (2):

tiešsaistes kalkulators, izšķirošā metode Krāmers.

Trīs gadījumi, risinot lineāro vienādojumu sistēmas

Kā skaidrs no Krāmera teorēma, risinot lineāro vienādojumu sistēmu, var rasties trīs gadījumi:

Pirmais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums

(sistēma ir konsekventa un noteikta)

Otrais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits

(sistēma ir konsekventa un nenoteikta)

** ,

tie. nezināmo un brīvo terminu koeficienti ir proporcionāli.

Trešais gadījums: lineāro vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu

(sistēma ir nekonsekventa)

Tātad sistēma m lineāri vienādojumi ar n sauc par mainīgajiem nav locītavu, ja viņai nav viena risinājuma, un locītavu, ja tam ir vismaz viens risinājums. Tiek saukta vienlaicīga vienādojumu sistēma, kurai ir tikai viens risinājums noteikti un vairāk nekā viens - nenoteikts.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas piemēri, izmantojot Krāmera metodi

Lai sistēma ir dota

Pamatojoties uz Krāmera teorēmu

………….
,

Kur
-

sistēmas noteicējs. Atlikušos determinantus iegūstam, aizvietojot kolonnu ar atbilstošā mainīgā (nezināmā) koeficientiem ar brīvajiem terminiem:

2. piemērs.

Tāpēc sistēma ir noteikta. Lai atrastu tā risinājumu, mēs aprēķinām determinantus

Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:

Tātad (1; 0; -1) ir vienīgais sistēmas risinājums.

Lai pārbaudītu risinājumus vienādojumu sistēmām 3 x 3 un 4 x 4, varat izmantot tiešsaistes kalkulatoru, izmantojot Kramera risināšanas metodi.

Ja lineāro vienādojumu sistēmā vienā vai vairākos vienādojumos nav mainīgo, tad determinantā attiecīgie elementi ir vienādi ar nulli! Šis ir nākamais piemērs.

3. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:

Risinājums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:

Uzmanīgi apskatiet vienādojumu sistēmu un sistēmas determinantu un atkārtojiet atbildi uz jautājumu, kādos gadījumos viens vai vairāki determinanta elementi ir vienādi ar nulli. Tātad determinants nav vienāds ar nulli, tāpēc sistēma ir noteikta. Lai atrastu tā risinājumu, mēs aprēķinām nezināmo noteicošos faktorus

Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:

Tātad sistēmas risinājums ir (2; -1; 1).

Lai pārbaudītu risinājumus vienādojumu sistēmām 3 x 3 un 4 x 4, varat izmantot tiešsaistes kalkulatoru, izmantojot Kramera risināšanas metodi.

Lapas augšdaļa

Mēs turpinām kopīgi risināt sistēmas, izmantojot Cramer metodi

Kā jau minēts, ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli un nezināmo determinanti nav vienādi ar nulli, sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu. Ļaujiet mums ilustrēt ar šādu piemēru.

6. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:

Risinājums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:

Sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tāpēc lineāro vienādojumu sistēma ir vai nu nekonsekventa un noteikta, vai arī nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu. Skaidrības labad mēs aprēķinām determinantus nezināmajiem

Nezināmo determinanti nav vienādi ar nulli, tāpēc sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu.

Lai pārbaudītu risinājumus vienādojumu sistēmām 3 x 3 un 4 x 4, varat izmantot tiešsaistes kalkulatoru, izmantojot Kramera risināšanas metodi.

Problēmās, kas saistītas ar lineāro vienādojumu sistēmām, ir arī tādi, kur bez mainīgo apzīmējošiem burtiem ir arī citi burti. Šie burti apzīmē skaitli, visbiežāk reālu. Praksē šādus vienādojumus un vienādojumu sistēmas noved pie problēmām, kas saistītas ar jebkuru parādību vai objektu vispārīgu īpašību meklēšanu. Tas ir, vai esat izgudrojis kādu jauns materiāls vai ierīci, un, lai aprakstītu tās īpašības, kas ir kopīgas neatkarīgi no instances lieluma vai skaita, ir jāatrisina lineāro vienādojumu sistēma, kur dažu mainīgo koeficientu vietā ir burti. Piemēri nav tālu jāmeklē.

Nākamais piemērs ir paredzēts līdzīgai problēmai, tikai palielinās vienādojumu, mainīgo un burtu skaits, kas apzīmē noteiktu reālo skaitli.

8. piemērs. Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:

Risinājums. Mēs atrodam sistēmas noteicēju:

Noteicošo faktoru atrašana nezināmajiem

Krāmera metodi izmanto lineāro sistēmu risināšanai algebriskie vienādojumi(SLAE), kurā nezināmo mainīgo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu un galvenās matricas determinants atšķiras no nulles. Šajā rakstā mēs analizēsim, kā nezināmi mainīgie tiek atrasti, izmantojot Krāmera metodi, un iegūsim formulas. Pēc tam pāriesim pie piemēriem un detalizēti aprakstīsim lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risinājumu, izmantojot Krāmera metodi.

Lapas navigācija.

Krāmera metode - formulu atvasināšana.

Ļaujiet mums atrisināt formas lineāro vienādojumu sistēmu

Kur x 1, x 2, …, x n ir nezināmi mainīgie, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- skaitliskie koeficienti, b 1, b 2, ..., b n - brīvie termini. SLAE risinājums ir tāda vērtību kopa x 1 , x 2 , …, x n, kurai visi sistēmas vienādojumi kļūst par identitātēm.

Matricas formā šo sistēmu var uzrakstīt kā A ⋅ X = B, kur - sistēmas galvenā matrica, tās elementi ir nezināmu mainīgo koeficienti, - matrica ir brīvu terminu kolonna un - matrica ir nezināmu mainīgo kolonna. Pēc nezināmo mainīgo x 1, x 2, …, x n atrašanas matrica kļūst par vienādojumu sistēmas risinājumu un vienādība A ⋅ X = B kļūst par identitāti.

Mēs pieņemsim, ka matrica A nav vienskaitlī, tas ir, tās determinants nav nulle. Šajā gadījumā lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi. (Sistēmu risināšanas metodes ir apskatītas sadaļā Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana).

Krāmera metode balstās uz divām matricas determinanta īpašībām:

Tātad, sāksim atrast nezināmo mainīgo x 1. Lai to izdarītu, mēs reizinām abas sistēmas pirmā vienādojuma daļas ar A 1 1, abas otrā vienādojuma daļas ar A 2 1 un tā tālāk, abas n-tā vienādojuma daļas ar A n 1 (tas ir, mēs reiziniet sistēmas vienādojumus ar atbilstošajiem pirmās matricas kolonnas A algebriskajiem papildinājumiem:

Saskaitīsim visas sistēmas vienādojuma kreisās puses, grupējot vārdus nezināmiem mainīgajiem x 1, x 2, ..., x n, un pielīdzināsim šo summu visu vienādojumu labo pušu summai:

Ja pievēršamies iepriekš minētajām determinanta īpašībām, mums ir

un iepriekšējā vienlīdzība iegūst formu

kur

Līdzīgi mēs atrodam x 2. Lai to izdarītu, mēs reizinām abas sistēmas vienādojumu puses ar matricas A otrās kolonnas algebriskajiem papildinājumiem:

Mēs saskaitām visus sistēmas vienādojumus, sagrupējam vārdus nezināmiem mainīgajiem x 1, x 2, ..., x n un pielietojam determinanta īpašības:

Kur
.

Pārējie nezināmie mainīgie tiek atrasti līdzīgi.

Ja mēs iecelsim

Tad mēs saņemam formulas nezināmu mainīgo atrašanai, izmantojot Krāmera metodi .

komentēt.

Ja lineāro algebrisko vienādojumu sistēma ir viendabīga, tas ir , tad tam ir tikai triviāls risinājums (pie ). Patiešām, nulles bezmaksas termiņiem visi noteicošie faktori būs vienādi ar nulli, jo tajos būs nulles elementu kolonna. Tāpēc formulas dos.

Algoritms lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai ar Krāmera metodi.

Pierakstīsim to algoritms lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, izmantojot Krāmera metodi.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanas piemēri, izmantojot Krāmera metodi.

Apskatīsim risinājumus vairākiem piemēriem.

Piemērs.

Atrast risinājumu nehomogēnai lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera metodi .

Risinājums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma . Aprēķināsim tā determinantu, izmantojot formulu :

Tā kā sistēmas galvenās matricas determinants atšķiras no nulles, SLAE ir unikāls risinājums, un to var atrast ar Krāmera metodi. Pierakstīsim noteicošos faktorus un . Sistēmas galvenās matricas pirmo kolonnu aizstājam ar brīvo terminu kolonnu un iegūstam determinantu . Līdzīgi mēs aizstājam galvenās matricas otro kolonnu ar brīvo terminu kolonnu, un mēs iegūstam .

Mēs aprēķinām šādus noteicošos faktorus:

Atrodiet nezināmos mainīgos x 1 un x 2, izmantojot formulas :

Pārbaudīsim. Aizstāsim iegūtās vērtības x 1 un x 2 sākotnējā vienādojumu sistēmā:

Abi sistēmas vienādojumi kļūst par identitātēm, tāpēc risinājums tika atrasts pareizi.

Atbilde:

Daži SLAE galvenās matricas elementi var būt vienādi ar nulli. Šajā gadījumā sistēmas vienādojumos nebūs attiecīgo nezināmo mainīgo. Apskatīsim piemēru.

Piemērs.

Atrodiet risinājumu lineāro vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera metodi .

Risinājums.

Pārrakstīsim sistēmu formā , lai kļūtu redzama sistēmas galvenā matrica . Atradīsim tā determinantu, izmantojot formulu

Mums ir

Galvenās matricas determinants nav nulle, tāpēc lineāro vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums. Atradīsim to, izmantojot Krāmera metodi. Aprēķināsim determinantus :

Tādējādi

Atbilde:

Nezināmo mainīgo apzīmējumi sistēmas vienādojumos var atšķirties no x 1, x 2, ..., x n. Tas neietekmē lēmuma pieņemšanas procesu. Bet nezināmo mainīgo secība sistēmas vienādojumos ir ļoti svarīga, sastādot galveno matricu un nepieciešamos Krāmera metodes determinantus. Noskaidrosim šo punktu ar piemēru.

Piemērs.

Izmantojot Krāmera metodi, atrodiet risinājumu trīs lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai trīs nezināmajos .

Risinājums.

Šajā piemērā nezināmajiem mainīgajiem ir atšķirīgs apzīmējums (x, y un z, nevis x1, x2 un x3). Tas neietekmē risinājumu, taču esiet uzmanīgi ar mainīgām etiķetēm. Jūs NEVARAT to uzskatīt par sistēmas galveno matricu . Vispirms ir jāsakārto nezināmie mainīgie visos sistēmas vienādojumos. Lai to izdarītu, mēs pārrakstām vienādojumu sistēmu kā . Tagad ir skaidri redzama sistēmas galvenā matrica . Aprēķināsim tā determinantu:

Galvenās matricas determinants nav nulle, tāpēc vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums. Atradīsim to, izmantojot Kramera metodi. Pierakstīsim noteicošos faktorus (pievērsiet uzmanību apzīmējumam) un aprēķiniet tos:

Atliek atrast nezināmos mainīgos, izmantojot formulas :

Pārbaudīsim. Lai to izdarītu, reiziniet galveno matricu ar iegūto risinājumu (ja nepieciešams, skatiet sadaļu):

Rezultātā mēs ieguvām sākotnējās vienādojumu sistēmas brīvo terminu kolonnu, tāpēc risinājums tika atrasts pareizi.

Atbilde:

x = 0, y = -2, z = 3.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Krāmera metodi , kur a un b ir daži reāli skaitļi.

Risinājums.

Atbilde:

Piemērs.

Atrodiet vienādojumu sistēmas risinājumu pēc Krāmera metodes, - kāds reāls skaitlis.

Risinājums.

Aprēķināsim sistēmas galvenās matricas determinantu: . izteiksme ir intervāls, tāpēc jebkurai reālai vērtībai. Līdz ar to vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi. Mēs aprēķinām un:

Lai apgūtu šo rindkopu, jums jāspēj atklāt noteicošos faktorus “divreiz divi” un “trīs pa trīs”. Ja jums slikti ar kvalifikācijām, lūdzu, izpētiet stundu Kā aprēķināt determinantu?

Pirmkārt, mēs tuvāk aplūkosim Krāmera likumu divu lineāru vienādojumu sistēmai divos nezināmajos. Par ko? - Galu galā visvienkāršākā sistēma var atrisināt skolas metode, pēc termina pievienošanas metodes!

Fakts ir tāds, ka, lai arī dažreiz, šāds uzdevums notiek - atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot Krāmera formulas. Otrkārt, vienkāršāks piemērs palīdzēs saprast, kā Krāmera kārtulu izmantot plašāk sarežģīts gadījums– trīs vienādojumu sistēmas ar trim nezināmajiem.

Turklāt ir lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem, kurus ieteicams atrisināt, izmantojot Krāmera likumu!

Apsveriet vienādojumu sistēmu

Pirmajā solī mēs aprēķinām determinantu, to sauc galvenais sistēmas noteicējs.

Gausa metode.

Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, mums jāaprēķina vēl divi noteicošie faktori:
Un

Praksē var apzīmēt arī iepriekš minētos kvalifikatorus Latīņu burts.

Mēs atrodam vienādojuma saknes, izmantojot formulas:
,

7. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Risinājums: Mēs redzam, ka vienādojuma koeficienti ir diezgan lieli, labajā pusē ir decimāldaļas ar komatu. Komats ir diezgan rets viesis praktiskie uzdevumi matemātikā es šo sistēmu pārņēmu no ekonometriskās problēmas.

Kā atrisināt šādu sistēmu? Jūs varat mēģināt izteikt vienu mainīgo ar citu, taču šajā gadījumā jūs, iespējams, nonāksit pie šausmīgām izdomātām daļām, ar kurām strādāt ir ārkārtīgi neērti, un risinājuma dizains izskatīsies vienkārši briesmīgs. Jūs varat reizināt otro vienādojumu ar 6 un atņemt vārdu no vārda, taču arī šeit radīsies tādas pašas daļas.

Ko darīt? Šādos gadījumos palīgā nāk Kremera formulas.

;

Atbilde: ,

Abām saknēm ir bezgalīgas astes, un tās tiek atrastas aptuveni, kas ir diezgan pieņemami (un pat ikdienišķi) ekonometrijas problēmām.

Komentāri šeit nav nepieciešami, jo uzdevums tiek atrisināts, izmantojot gatavas formulas, tomēr ir viens brīdinājums. Kad lietot šī metode, obligāti Uzdevuma dizaina fragments ir šāds fragments: "Tas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums". Pretējā gadījumā recenzents var jūs sodīt par Krāmera teorēmas neievērošanu.

Nebūtu lieki pārbaudīt, ko ir ērti veikt ar kalkulatoru: mēs aizvietojam aptuvenās vērtības kreisā puse katrs sistēmas vienādojums. Rezultātā ar nelielu kļūdu jums vajadzētu iegūt skaitļus, kas atrodas labajā pusē.

8. piemērs

Sniedziet atbildi parastās nepareizās daļskaitļos. Veiciet pārbaudi.

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums(pabeigšanas un atbildes piemērs nodarbības beigās).

Apskatīsim Krāmera likumu trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem:

Mēs atrodam galveno sistēmas noteicēju:

Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa (nav risinājumu). Šajā gadījumā Kremera noteikums nepalīdzēs, jums ir jāizmanto Gausa metode.

Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums un, lai atrastu saknes, jāaprēķina vēl trīs determinanti:
, ,

Visbeidzot, atbilde tiek aprēķināta, izmantojot formulas:

Kā redzat, gadījums “trīs pa trīs” būtībā neatšķiras no gadījuma “divi pa divi”; brīvo terminu kolonna secīgi “iet” no kreisās uz labo pa galvenā noteicēja kolonnām.

9. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas.

Risinājums: Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas.

, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Atbilde: .

Patiesībā šeit atkal nav ko īpaši komentēt, jo risinājums seko gatavām formulām. Bet ir pāris komentāri.

Gadās, ka aprēķinu rezultātā tiek iegūtas “sliktās” nereducējamās daļas, piemēram: .
Es iesaku šādu “ārstēšanas” algoritmu. Ja pie rokas nav datora, rīkojieties šādi:

1) Aprēķinos var būt kļūda. Tiklīdz jūs saskaraties ar "slikto" daļu, jums nekavējoties jāpārbauda Vai nosacījums ir pārrakstīts pareizi?. Ja nosacījums tiek pārrakstīts bez kļūdām, tad determinanti ir jāpārrēķina, izmantojot izvēršanu citā rindā (kolonnā).

2) Ja pārbaudes rezultātā netiek konstatētas kļūdas, tad visticamāk, ka uzdevuma nosacījumos bija drukas kļūda. Šajā gadījumā mierīgi un UZMANĪGI strādājiet ar uzdevumu līdz galam, un tad noteikti pārbaudiet un mēs to noformējam uz tīras lapas pēc lēmuma pieņemšanas. Protams, daļējas atbildes pārbaude ir nepatīkams uzdevums, taču tas būs atbruņojošs arguments skolotājam, kuram ļoti patīk ielikt mīnusu par jebkuru muļķību, piemēram, . Kā rīkoties ar daļskaitļiem, tas ir detalizēti aprakstīts atbildē uz 8. piemēru.

Ja pie rokas ir dators, tad pārbaudei izmantojiet automatizētu programmu, kuru var bez maksas lejupielādēt jau pašā nodarbības sākumā. Starp citu, programmu visizdevīgāk ir izmantot uzreiz (pat pirms risinājuma palaišanas), uzreiz redzēsit starpposmu, kurā pieļāvāt kļūdu! Tas pats kalkulators automātiski aprēķina sistēmas risinājumu matricas metode.

Otrā piezīme. Ik pa laikam ir sistēmas, kuru vienādojumos trūkst dažu mainīgo, piemēram:

Šeit pirmajā vienādojumā nav mainīgā, otrajā nav mainīgā. Šādos gadījumos ir ļoti svarīgi pareizi un UZMANĪGI pierakstīt galveno noteicošo:
– trūkstošo mainīgo vietā tiek liktas nulles.
Starp citu, ir racionāli atvērt determinantus ar nullēm atbilstoši rindai (kolonnai), kurā atrodas nulle, jo ir ievērojami mazāk aprēķinu.

10. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas.

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam (gala dizaina paraugs un atbilde nodarbības beigās).

4 vienādojumu sistēmai ar 4 nezināmajiem Krāmera formulas tiek rakstītas pēc līdzīgiem principiem. Dzīvu piemēru varat redzēt nodarbībā Noteicošo faktoru īpašības. Samazinot determinanta secību - pieci 4.kārtas determinanti ir diezgan atrisināmi. Lai gan uzdevums jau ļoti atgādina profesora kurpi uz laimīgā studenta krūtīm.

Sistēmas atrisināšana, izmantojot apgriezto matricu

Metode apgrieztā matrica- tas būtībā ir īpašs gadījums matricas vienādojums(Skatīt norādītās nodarbības piemēru Nr. 3).

Lai izpētītu šo sadaļu, jums jāspēj izvērst determinantus, atrast matricas apgriezto vērtību un veikt matricas reizināšanu. Attiecīgās saites tiks nodrošinātas, skaidrojumu pilnveidošanai.

11. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot matricas metodi

Risinājums: Rakstīsim sistēmu matricas formā:
, Kur

Lūdzu, apskatiet vienādojumu un matricu sistēmu. Es domāju, ka visi saprot principu, pēc kura mēs ierakstām elementus matricās. Vienīgais komentārs: ja vienādojumos trūktu daži mainīgie, tad matricā attiecīgajās vietās būtu jāliek nulles.

Mēs atrodam apgriezto matricu, izmantojot formulu:
, kur ir transponētā matrica algebriskie papildinājumi atbilstošie matricas elementi.

Vispirms apskatīsim determinantu:

Šeit determinants ir izvērsts pirmajā rindā.

Uzmanību! Ja , tad apgrieztā matrica neeksistē, un ar matricas metodi sistēmu nav iespējams atrisināt. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar nezināmo novēršanas metodi (Gausa metode).

Tagad mums ir jāaprēķina 9 nepilngadīgie un jāieraksta tie nepilngadīgo matricā

Atsauce: Lineārajā algebrā ir noderīgi zināt dubulto indeksu nozīmi. Pirmais cipars ir rindas numurs, kurā atrodas elements. Otrais cipars ir kolonnas numurs, kurā atrodas elements:

Tas ir, dubultais indekss norāda, ka elements atrodas pirmajā rindā, trešajā kolonnā un, piemēram, elements atrodas 3 rindā, 2 kolonnā.

Risinājuma laikā labāk ir detalizēti aprakstīt nepilngadīgo aprēķinu, lai gan ar zināmu pieredzi jūs varat pierast tos aprēķināt ar kļūdām mutiski.

Krāmera metode jeb tā sauktais Kremera noteikums ir metode nezināmu lielumu meklēšanai no vienādojumu sistēmām. To var izmantot tikai tad, ja meklēto vērtību skaits ir vienāds ar algebrisko vienādojumu skaitu sistēmā, tas ir, galvenajai no sistēmas veidotajai matricai jābūt kvadrātveida un tajā nedrīkst būt nulles rindas, kā arī tad, ja tās determinantam ir jābūt nav nulle.

1. teorēma

Krāmera teorēma Ja galvenās matricas galvenais determinants $D$, kas sastādīts, pamatojoties uz vienādojumu koeficientiem, nav vienāds ar nulli, tad vienādojumu sistēma ir konsekventa, un tai ir unikāls risinājums. Šādas sistēmas risinājums tiek aprēķināts, izmantojot tā sauktās Krāmera formulas lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Kas ir Cramer metode?

Krāmera metodes būtība ir šāda:

Lai rastu sistēmas risinājumu ar Krāmera metodi, vispirms aprēķinām matricas $D$ galveno determinantu. Kad galvenās matricas aprēķinātais determinants, aprēķinot ar Krāmera metodi, izrādās vienāds ar nulli, tad sistēmai nav viena risinājuma vai ir bezgalīgs atrisinājumu skaits. Šajā gadījumā, lai atrastu vispārīgu vai kādu pamata atbildi sistēmai, ieteicams izmantot Gausa metodi.
Tad jums jāaizstāj galvenās matricas ārējā kolonna ar brīvo terminu kolonnu un jāaprēķina determinants $D_1$.
Atkārtojiet to pašu visām kolonnām, iegūstot noteicošos faktorus no $D_1$ līdz $D_n$, kur $n$ ir vistālāk labās kolonnas numurs.
Kad visi determinanti $D_1$...$D_n$ ir atrasti, nezināmos mainīgos var aprēķināt, izmantojot formulu $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Matricas determinanta aprēķināšanas paņēmieni

Lai aprēķinātu determinantu matricai, kuras izmērs ir lielāks par 2 x 2, varat izmantot vairākas metodes:

Trīsstūru likums jeb Sarrusa likums, kas atgādina to pašu likumu. Trijstūra metodes būtība ir tāda, ka, aprēķinot determinantu, visu skaitļu reizinājumus, kas attēlā savienoti ar sarkano līniju labajā pusē, raksta ar plus zīmi, un visi skaitļi, kas līdzīgi savienoti attēlā pa kreisi. ir rakstīti ar mīnusa zīmi. Abi noteikumi ir piemēroti matricām, kuru izmērs ir 3 x 3. Sarrus noteikuma gadījumā vispirms tiek pārrakstīta pati matrica, un blakus atkal tiek pārrakstīta tās pirmā un otrā kolonna. Caur matricu un šīm papildu kolonnām tiek izvilktas diagonāles, matricas elementi, kas atrodas uz galvenās diagonāles vai paralēli tai, tiek rakstīti ar plus zīmi, bet elementi, kas atrodas uz sekundārās diagonāles vai paralēli tai, tiek rakstīti ar mīnusa zīmi.

1. attēls. Trīsstūra noteikums Krāmera metodes determinanta aprēķināšanai

Izmantojot metodi, kas pazīstama kā Gausa metode, šo metodi dažreiz sauc arī par determinanta secības samazināšanu. Šajā gadījumā matrica tiek pārveidota un samazināta līdz trīsstūrveida skats, un tad visi skaitļi galvenajā diagonālē tiek reizināti. Jāatceras, ka, šādā veidā meklējot determinantu, rindas vai kolonnas nevar reizināt vai dalīt ar skaitļiem, neizņemot tos kā reizinātāju vai dalītāju. Determinanta meklēšanas gadījumā rindas un kolonnas var atņemt un pievienot tikai viena otrai, iepriekš atņemto rindu reizinot ar koeficientu, kas nav nulle. Tāpat ikreiz, kad pārkārtojat matricas rindas vai kolonnas, jāatceras, ka jāmaina matricas beigu zīme.
Risinot SLAE ar 4 nezināmajiem, izmantojot Cramer metodi, vislabāk ir izmantot Gausa metodi, lai meklētu un atrastu determinantus vai noteiktu determinantu, meklējot nepilngadīgos.

Vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera metodi

Pielietosim Krāmera metodi 2 vienādojumu sistēmai un diviem nepieciešamajiem lielumiem:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(gadījumi)$

Ērtības labad parādīsim to izvērstā veidā:

$A = \begin(masīvs)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(masīvs)$

Atradīsim galvenās matricas determinantu, ko sauc arī par sistēmas galveno determinantu:

$D = \begin(masīvs)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(masīvs) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ja galvenais determinants nav vienāds ar nulli, tad, lai atrisinātu slogu, izmantojot Krāmera metodi, ir jāaprēķina vēl pāris determinanti no divām matricām, galvenās matricas kolonnas aizstājot ar brīvo terminu rindu:

$D_1 = \begin(masīvs)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(masīvs) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(masīvs)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(masīvs) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Tagad atradīsim nezināmos $x_1$ un $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1) (D) $

$x_2 = \frac (D_2) (D) $

1. piemērs

Krāmera metode SLAE risināšanai ar 3. kārtas galveno matricu (3 x 3) un trim nepieciešamajām.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

$\begin(gadījumi) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(gadījumi)$

Aprēķināsim matricas galveno determinantu, izmantojot noteikumu, kas minēts iepriekš 1. punktā:

$D = \begin(masīvs)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(masīvs) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - 64 $

Un tagad trīs citi noteicošie faktori:

$D_1 = \begin(masīvs)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(masīvs) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - 296 ASV dolāri

$D_2 = \begin(masīvs)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(masīvs) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cpunkts 10 \cpunkts 4 + 21 \cdots 2 \cpunkts 2 – 4 \cdots 9 \cpunkts 2 – 21 \cpunkts 3 \cpunkts (-1) – 2 \cpunkts 10 \cpunkts 3 = - 27 + 120 + 84 - 72 + 63 - 60 = 108 ASV dolāri

$D_3 = \begin(masīvs)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(masīvs) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 = - 60 ASV dolāri

Atradīsim nepieciešamos daudzumus:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(-296) (-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Pirmajā daļā apskatījām dažus teorētiskos materiālus, aizstāšanas metodi, kā arī sistēmu vienādojumu pa terminu saskaitīšanas metodi. Es iesaku visiem, kas apmeklēja vietni caur šo lapu, izlasīt pirmo daļu. Iespējams, dažiem apmeklētājiem materiāls šķitīs pārāk vienkāršs, taču lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas procesā es izteicu vairākus ļoti svarīgus komentārus un secinājumus par matemātisko problēmu risināšanu kopumā.

Tagad mēs analizēsim Krāmera likumu, kā arī atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto matricu (matricas metodi). Visi materiāli ir parādīti vienkārši, detalizēti un skaidri, gandrīz visi lasītāji varēs uzzināt, kā atrisināt sistēmas, izmantojot iepriekš minētās metodes.

Pirmkārt, mēs tuvāk aplūkosim Krāmera likumu divu lineāru vienādojumu sistēmai divos nezināmajos. Par ko? – Galu galā visvienkāršāko sistēmu var atrisināt, izmantojot skolas metodi, terminu saskaitīšanas metodi!

Fakts ir tāds, ka, lai arī dažreiz, šāds uzdevums notiek - atrisināt divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, izmantojot Krāmera formulas. Otrkārt, vienkāršāks piemērs palīdzēs saprast, kā izmantot Krāmera likumu sarežģītākam gadījumam – trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem.

Turklāt ir lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem mainīgajiem, kurus ieteicams atrisināt, izmantojot Krāmera likumu!

Apsveriet vienādojumu sistēmu

Pirmajā solī mēs aprēķinām determinantu, to sauc galvenais sistēmas noteicējs.

Gausa metode.

Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums, un, lai atrastu saknes, mums jāaprēķina vēl divi noteicošie faktori:
Un

Praksē iepriekš minētos apzīmētājus var apzīmēt arī ar latīņu burtu.

Mēs atrodam vienādojuma saknes, izmantojot formulas:
,

7. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu

Risinājums: Mēs redzam, ka vienādojuma koeficienti ir diezgan lieli, labajā pusē ir decimāldaļas ar komatu. Praktiskajos matemātikas uzdevumos komats ir diezgan rets viesis, es šo sistēmu pārņēmu no ekonometriskās problēmas.

Ko darīt? Šādos gadījumos palīgā nāk Kremera formulas.

;

Atbilde: ,

Abām saknēm ir bezgalīgas astes, un tās tiek atrastas aptuveni, kas ir diezgan pieņemami (un pat ikdienišķi) ekonometrijas problēmām.

Komentāri šeit nav nepieciešami, jo uzdevums tiek atrisināts, izmantojot gatavas formulas, tomēr ir viens brīdinājums. Lietojot šo metodi, obligāti Uzdevuma dizaina fragments ir šāds fragments: "Tas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums". Pretējā gadījumā recenzents var jūs sodīt par Krāmera teorēmas neievērošanu.

Nebūtu lieki pārbaudīt, ko ērti var veikt ar kalkulatoru: katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē aizvietojam aptuvenās vērtības. Rezultātā ar nelielu kļūdu jums vajadzētu iegūt skaitļus, kas atrodas labajā pusē.

8. piemērs

Sniedziet atbildi parastās nepareizās daļskaitļos. Veiciet pārbaudi.

Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam (gala noformējuma un atbildes piemērs nodarbības beigās).

Apskatīsim Krāmera likumu trīs vienādojumu sistēmai ar trim nezināmajiem:

Mēs atrodam galveno sistēmas noteicēju:

Ja , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu vai tā ir nekonsekventa (nav risinājumu). Šajā gadījumā Kremera noteikums nepalīdzēs, jums ir jāizmanto Gausa metode.

Ja , tad sistēmai ir unikāls risinājums un, lai atrastu saknes, jāaprēķina vēl trīs determinanti:
, ,

Visbeidzot, atbilde tiek aprēķināta, izmantojot formulas:

Kā redzat, gadījums “trīs pa trīs” būtībā neatšķiras no gadījuma “divi pa divi”; brīvo terminu kolonna secīgi “iet” no kreisās uz labo pa galvenā noteicēja kolonnām.

9. piemērs

Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas.

Risinājums: Atrisināsim sistēmu, izmantojot Krāmera formulas.

, kas nozīmē, ka sistēmai ir unikāls risinājums.

Atbilde: .

Patiesībā šeit atkal nav ko īpaši komentēt, jo risinājums seko gatavām formulām. Bet ir pāris komentāri.

Gadās, ka aprēķinu rezultātā tiek iegūtas “sliktās” nereducējamās daļas, piemēram: .
Es iesaku šādu “ārstēšanas” algoritmu. Ja pie rokas nav datora, rīkojieties šādi: