Pirmkārt, aplūkosim divu mainīgo funkcijas gadījumu. Funkcijas $z=f(x,y)$ nosacītā galējība punktā $M_0(x_0;y_0)$ ir šīs funkcijas ekstrēmums, kas sasniegts ar nosacījumu, ka mainīgie $x$ un $y$ šī punkta tuvumā atbilst savienojuma vienādojums $\ varphi (x,y)=0$.

Nosaukums “nosacījuma” ekstrēmums ir saistīts ar faktu, ka mainīgajiem tiek uzlikts papildu nosacījums $\varphi(x,y)=0$. Ja vienu mainīgo var izteikt no savienojuma vienādojuma caur citu, tad nosacījuma ekstrēma noteikšanas problēma tiek reducēta uz viena mainīgā funkcijas parastā ekstrēma noteikšanas problēmu. Piemēram, ja savienojuma vienādojums nozīmē $y=\psi(x)$, tad $y=\psi(x)$ aizstājot ar $z=f(x,y)$, mēs iegūstam viena mainīgā $z funkciju. =f\left (x,\psi(x)\right)$. IN vispārējs gadījums Tomēr šī metode ir maz lietderīga, tāpēc ir jāievieš jauns algoritms.

Lagranža reizinātāja metode divu mainīgo funkcijām.

Lagranža reizinātāja metode sastāv no Lagranža funkcijas konstruēšanas, lai atrastu nosacījuma ekstrēmu: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametrs $\lambda$ tiek saukts Lagranža reizinātājs). Ekstrēmumam nepieciešamos nosacījumus nosaka vienādojumu sistēma, no kuras nosaka stacionāros punktus:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \beigas (līdzināts) \pa labi. $$

Pietiekams nosacījums, pēc kura var noteikt ekstrēmuma raksturu, ir zīme $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ja stacionārā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai $z=f(x,y)$ šajā punktā ir nosacīts minimums, bet ja $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ir vēl viens veids, kā noteikt ekstremuma raksturu. No savienojuma vienādojuma iegūstam: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tāpēc jebkurā stacionārā punktā mums ir:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \pa labi)$$

Otro faktoru (atrodas iekavās) var attēlot šādā formā:

Determinanta $\left| elementi ir iezīmēti sarkanā krāsā. \begin(masīvs) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (masīvs)\right|$, kas ir Lagranža funkcijas Hess. Ja $H > 0$, tad $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, t.i. mums ir funkcijas $z=f(x,y)$ nosacījuma minimums.

Piezīme par determinanta $H$ apzīmējumu. parādīt\slēpt

$$ H=-\left|\begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ beigas(masīvs) \right| $$

Šajā situācijā iepriekš formulētais noteikums mainīsies šādi: ja $H > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, un ja $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritms divu mainīgo funkcijas izpētei nosacījuma ekstrēmumam

1. Izveidojiet Lagranža funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Atrisiniet sistēmu $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(līdzināts) \right.$
3. Nosakiet ekstrēma raksturu katrā no stacionārajiem punktiem, kas atrasti iepriekšējā punktā. Lai to izdarītu, izmantojiet kādu no šīm metodēm:
   • Sastādiet $H$ determinantu un noskaidrojiet tā zīmi
   • Ņemot vērā savienojuma vienādojumu, aprēķiniet $d^2F$ zīmi

Lagranža reizinātāja metode n mainīgo funkcijām

Pieņemsim, ka mums ir funkcija no $n$ mainīgajiem $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un $m$ savienojuma vienādojumiem ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Apzīmējot Lagranža reizinātājus kā $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Nepieciešamos nosacījumus nosacījuma ekstrēma klātbūtnei nosaka vienādojumu sistēma, no kuras tiek atrastas stacionāro punktu koordinātas un Lagranža reizinātāju vērtības:

$$\left\(\begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(līdzināts) \right.$$

To, vai funkcijai atrastajā punktā ir nosacīts minimums vai nosacīts maksimums, tāpat kā iepriekš, var noskaidrot, izmantojot zīmi $d^2F$. Ja atrastajā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, bet ja $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matricas $\left| determinants \begin(masīvs) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpunkti & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \lpunkti & \lpunkti & \lpunkti &\lpunkti & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( masīvs) \right|$, kas matricā $L$ iezīmēts sarkanā krāsā, ir Lagranža funkcijas Hesenes valoda. Mēs izmantojam šādu noteikumu:

• Ja leņķisko nepilngadīgo pazīmes $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricas $L$ sakrīt ar $(-1)^m$ zīmi, tad pētāmais stacionārais punkts ir funkcijas $ nosacītais minimālais punkts z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ja leņķisko nepilngadīgo pazīmes $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ mijas, un minora $H_(2m+1)$ zīme sakrīt ar skaitļa $(-1)^(m+1 )$, tad stacionārais punkts ir funkcijas $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ nosacījuma maksimālais punkts.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=x+3y$ nosacīto ekstrēmu ar nosacījumu $x^2+y^2=10$.

Šīs problēmas ģeometriskā interpretācija ir šāda: ir jāatrod lielākās un mazākās plaknes $z=x+3y$ pielietojuma vērtības tās krustošanās punktiem ar cilindru $x^2+y ^2=10$.

Ir nedaudz grūti izteikt vienu mainīgo ar citu no savienojuma vienādojuma un aizstāt to ar funkciju $z(x,y)=x+3y$, tāpēc izmantosim Lagranža metodi.

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\daļējs x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Uzrakstīsim vienādojumu sistēmu, lai noteiktu Lagranža funkcijas stacionāros punktus:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (līdzināts)\pa labi.$$

Ja pieņemam $\lambda=0$, tad pirmais vienādojums kļūst: $1=0$. Iegūtā pretruna norāda, ka $\lambda\neq 0$. Saskaņā ar nosacījumu $\lambda\neq 0$ no pirmā un otrā vienādojuma mums ir: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Aizvietojot iegūtās vērtības trešajā vienādojumā, mēs iegūstam:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(līdzināts) \right.\\ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(līdzināts) $$

Tātad sistēmai ir divi risinājumi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ un $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā: $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām determinantu $H$ katrā punktā.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right| $$

Punktā $M_1(1;3)$ iegūstam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(masīvs) \right|=40 > 0$, tātad pie punkts Funkcijai $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Līdzīgi, punktā $M_2(-1,-3)$ atrodam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(masīvs) \right|=-40 $. Kopš $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Es atzīmēju, ka tā vietā, lai aprēķinātu determinanta $H$ vērtību katrā punktā, ir daudz ērtāk to paplašināt vispārējs skats. Lai nepārblīvētu tekstu ar detaļām, šo metodi paslēpšu zem piezīmes.

Determinanta $H$ rakstīšana vispārīgā formā. parādīt\slēpt

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(masīvs)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Principā jau ir skaidrs, kāda zīme ir $H$. Tā kā neviens no punktiem $M_1$ vai $M_2$ nesakrīt ar izcelsmi, tad $y^2+x^2>0$. Tāpēc $H$ zīme ir pretēja zīmei $\lambda$. Jūs varat pabeigt aprēķinus:

$$ \begin(līdzināts) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(līdzināts) $$

Jautājumu par ekstrēma raksturu stacionārajos punktos $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$ var atrisināt, neizmantojot determinantu $H$. Atradīsim $d^2F$ zīmi katrā stacionārajā punktā:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Ļaujiet man atzīmēt, ka apzīmējums $dx^2$ nozīmē tieši $dx$, kas pacelts līdz otrajai pakāpei, t.i. $\left(dx\right)^2$. Tādējādi mums ir: $dx^2+dy^2>0$, tāpēc ar $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ mēs iegūstam $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Atbilde: punktā $(-1;-3)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=-10$. Punktā $(1;3)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=10$

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ nosacīto ekstrēmu saskaņā ar nosacījumu $x+y=0$.

Pirmā metode (Lagranža reizinātāja metode)

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x+y$, mēs veidojam Lagranža funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(līdzināts) \pa labi. $$

Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ un $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Mums ir divi stacionāri punkti: $M_1(0;0)$ un $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā, izmantojot determinantu $H$.

$$H=\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(masīvs) \right|=-10-18y $$

Punktā $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tāpēc šajā brīdī funkcijai ir nosacīts maksimums $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Mēs pētām ekstrēma raksturu katrā punktā, izmantojot citu metodi, pamatojoties uz $ d^2F$ zīmi:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

No savienojuma vienādojuma $x+y=0$ mums ir: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Tā kā $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tad $M_1(0;0)$ ir funkcijas $z(x,y)=3y^3+ nosacītais minimālais punkts. 4x^ 2-xy$. Līdzīgi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Otrais veids

No savienojuma vienādojuma $x+y=0$ iegūstam: $y=-x$. Aizvietojot $y=-x$ funkcijā $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, iegūstam kādu mainīgā $x$ funkciju. Apzīmēsim šo funkciju kā $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Tādējādi mēs reducējām divu mainīgo funkcijas nosacītā ekstrēma atrašanas problēmu līdz viena mainīgā funkcijas ekstrēma noteikšanas problēmai.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Mēs ieguvām punktus $M_1(0;0)$ un $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Turpmākie pētījumi ir zināmi no viena mainīgā lieluma funkciju diferenciālrēķinu gaitas. Izpētot $u_(xx)^("")$ zīmi katrā stacionārajā punktā vai pārbaudot $u_(x)^(")$ zīmes izmaiņas atrastajos punktos, mēs iegūstam tādus pašus secinājumus kā tad, kad risinot pirmo metodi. Piemēram, mēs pārbaudīsim zīmi $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Tā kā $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tad $M_1$ ir funkcijas $u(x)$ minimālais punkts un $u_(\min)=u(0)=0 $ . Kopš $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funkcijas $u(x)$ vērtības noteiktajam savienojuma nosacījumam sakrīt ar funkcijas $z(x,y)$ vērtībām, t.i. atrastās funkcijas $u(x)$ ekstrēmas ir funkcijas $z(x,y)$ meklētās nosacītās ekstremitātes.

Atbilde: punktā $(0;0)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=0$. Punktā $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcijai ir nosacīts maksimums, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Apskatīsim vēl vienu piemēru, kurā mēs noskaidrosim ekstrēma būtību, nosakot $d^2F$ zīmi.

Piemērs Nr.3

Atrodiet funkcijas $z=5xy-4$ lielāko un mazāko vērtību, ja mainīgie $x$ un $y$ ir pozitīvi un apmierina savienojuma vienādojumu $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Izveidosim Lagranža funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Atradīsim Lagranža funkcijas stacionāros punktus:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(līdzināts) \pa labi. $$

Visas turpmākās transformācijas tiek veiktas, ņemot vērā $x > 0; \; y > 0$ (tas ir norādīts problēmas paziņojumā). No otrā vienādojuma mēs izsakām $\lambda=-\frac(5x)(y)$ un aizstājam atrasto vērtību pirmajā vienādojumā: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Trešajā vienādojumā aizstājot $x=2y$, mēs iegūstam: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Tā kā $y=1$, tad $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstrēmuma raksturu mēs nosakām punktā $(2;1)$, pamatojoties uz $d^2F$ zīmi.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Tā kā $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tad:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Principā šeit uzreiz var aizstāt stacionārā punkta koordinātas $x=2$, $y=1$ un parametru $\lambda=-10$, iegūstot:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Tomēr citās problēmās nosacītā galējībā var būt vairāki stacionāri punkti. Šādos gadījumos labāk ir attēlot $d^2F$ vispārīgā formā un pēc tam aizstāt katra atrastā stacionārā punkta koordinātas iegūtajā izteiksmē:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Aizstājot $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, mēs iegūstam:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kopš $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Atbilde: punktā $(2;1)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=6$.

Nākamajā daļā aplūkosim Lagranža metodes pielietojumu lielāka skaita mainīgo funkcijām.

Vairāku mainīgo funkciju ekstrēma. Nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Pietiekams stāvoklis ekstremitātei. Nosacīts ekstremāls. Lagranža reizinātāja metode. Lielāko un mazāko vērtību atrašana.

5. lekcija.

Definīcija 5.1. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca maksimālais punkts funkcijas z = f (x, y), Ja f (x o , y o) > f(x,y) visiem punktiem (x, y) M 0.

Definīcija 5.2. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca minimālais punkts funkcijas z = f (x, y), Ja f (x o , y o) < f(x,y) visiem punktiem (x, y) no kāda punkta apkārtnes M 0.

Piezīme 1. Tiek izsaukts maksimālais un minimālais punkts ekstremālie punkti vairāku mainīgo funkcijas.

2. piezīme. Ekstrēmuma punktu jebkura skaita mainīgo funkcijai nosaka līdzīgi.

Teorēma 5.1(nepieciešamie nosacījumi ekstrēmam). Ja M 0 (x 0, y 0)– funkcijas galējais punkts z = f (x, y), tad šajā brīdī šīs funkcijas pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

Pierādījums.

Fiksēsim mainīgā vērtību plkst, skaitot y = y 0. Pēc tam funkcija f (x, y 0) būs viena mainīgā funkcija X, par kuru x = x 0 ir galējais punkts. Tāpēc pēc Fermā teorēmas vai neeksistē. Tas pats apgalvojums ir pierādīts līdzīgi attiecībā uz .

Definīcija 5.3. Punktus, kas pieder vairāku mainīgo funkcijas domēnam, kuros funkcijas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc stacionāri punktišī funkcija.

komentēt. Tādējādi ekstrēmu var sasniegt tikai stacionāros punktos, bet tas nav obligāti novērojams katrā no tiem.

Teorēma 5.2(pietiekami apstākļi ekstrēmam). Ielaidiet kādu punkta apkārtni M 0 (x 0, y 0), kas ir funkcijas stacionārs punkts z = f (x, y),šai funkcijai ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi līdz 3. kārtai ieskaitot. Tad apzīmēsim:

1) f(x,y) ir punktā M 0 maksimums, ja AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ir punktā M 0 minimums, ja AC–B² > 0, A > 0;

3) kritiskajā punktā nav ekstrēma, ja AC–B² < 0;

4) ja AC–B² = 0, ir nepieciešami turpmāki pētījumi.

Pierādījums.

Uzrakstīsim funkcijai otrās kārtas Teilora formulu f(x,y), atceroties, ka stacionārā punktā pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:

Kur Ja leņķis starp segmentu M 0 M, Kur M (x 0+Δ x, y 0+Δ plkst) un O ass X apzīmē φ, tad Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Šajā gadījumā Teilora formula būs šāda: . Ļaujiet Tad mēs varam dalīt un reizināt izteiksmi iekavās ar A. Mēs iegūstam:

Tagad apskatīsim četrus iespējamie gadījumi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pie pietiekami maza Δρ. Tāpēc kādā apkaimē M 0 f (x 0 + Δ x, y 0+Δ y)< f (x 0, y 0), tas ir M 0- maksimālais punkts.

2) Ļaujiet AC–B² > 0, A > 0. Tad , Un M 0- minimālais punkts.

3) Ļaujiet AC-B² < 0, A> 0. Apsveriet argumentu pieaugumu gar staru φ = 0. Tad no (5.1) izriet, ka , tas ir, pārvietojoties pa šo staru, funkcija palielinās. Ja virzāmies pa staru tā, ka tg φ 0 = -A/B, Tas , tāpēc, pārvietojoties pa šo staru, funkcija samazinās. Tātad, punkts M 0 nav galējība.

3`) Kad AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

līdzīgs iepriekšējam.

3``) Ja AC–B² < 0, A= 0, tad . Kurā . Tad pietiekami mazam φ izteiksme 2 B cosφ + C sinφ ir tuvu 2 IN, tas ir, tas saglabā nemainīgu zīmi, bet sinφ maina zīmi punkta tuvumā M 0. Tas nozīmē, ka funkcijas pieaugums maina zīmi stacionāra punkta tuvumā, kas tāpēc nav galējais punkts.

4) Ja AC–B² = 0 un , , tas ir, pieauguma zīmi nosaka zīme 2α 0. Tajā pašā laikā ir nepieciešami turpmāki pētījumi, lai noskaidrotu jautājumu par ekstrēma esamību.

Piemērs. Atradīsim funkcijas galējos punktus z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Lai atrastu stacionārus punktus, mēs atrisinām sistēmu . Tātad stacionārais punkts ir (-2,-1). Kurā A = 2, IN = -2, AR= 4. Tad AC–B² = 4 > 0, līdz ar to stacionārā punktā tiek sasniegts galējais punkts, proti, minimums (jo A > 0).

Definīcija 5.4. Ja funkcijas argumenti f (x 1 , x 2 ,…, x n) savienots papildu nosacījumi kā m vienādojumi ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kur funkcijām φ i ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad sauc vienādojumus (5.2) savienojuma vienādojumi.

Definīcija 5.5. Funkcijas galējība f (x 1 , x 2 ,…, x n) kad ir izpildīti nosacījumi (5.2.), to sauc nosacīts ekstrēms.

komentēt. Mēs varam piedāvāt šādu divu mainīgo funkcijas nosacītā ekstrēma ģeometrisko interpretāciju: ļaujiet funkcijas argumentiem f(x,y) kas saistīti ar vienādojumu φ (x,y)= 0, definējot kādu līkni O plaknē xy. Perpendikulu rekonstrukcija plaknei O no katra šīs līknes punkta xy līdz tas krustojas ar virsmu z = f (x,y), iegūstam telpisku līkni, kas atrodas uz virsmas virs līknes φ (x,y)= 0. Uzdevums ir atrast iegūtās līknes galējos punktus, kas, protams, vispārīgā gadījumā nesakrīt ar funkcijas beznosacījuma ekstrēma punktiem f(x,y).

Noteiksim nepieciešamos nosacījumus nosacījuma ekstrēmam divu mainīgo funkcijai, vispirms ieviešot šādu definīciju:

Definīcija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+ λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Kur λi – daži ir nemainīgi, sauc Lagranža funkcija un skaitļi λi– nenoteiktie Lagranža reizinātāji.

Teorēma 5.3(nepieciešamie nosacījumi nosacītam ekstrēmam). Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f (x, y) savienojuma vienādojuma φ ( x, y)= 0 var sasniegt tikai Lagranža funkcijas stacionārajos punktos L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Pierādījums. Savienojuma vienādojums nosaka netiešu saistību plkst no X, tāpēc mēs to pieņemsim plkst ir funkcija no X: y = y(x). Tad z Tur ir sarežģīta funkcija no X, un tā kritiskos punktus nosaka nosacījums: . (5.4) No savienojuma vienādojuma izriet, ka . (5.5)

Sareizināsim vienādību (5.5) ar kādu skaitli λ un pievienosim (5.4). Mēs iegūstam:

, vai .

Pēdējā vienādība ir jāizpilda stacionārajos punktos, no kuriem izriet:

(5.6)

Tiek iegūta trīs vienādojumu sistēma trim nezināmajiem: x, y un λ, un pirmie divi vienādojumi ir Lagranža funkcijas stacionārā punkta nosacījumi. Izslēdzot no sistēmas (5.6.) palīgu nezināmo λ, mēs atrodam to punktu koordinātas, kuros sākotnējai funkcijai var būt nosacīts ekstrēmums.

1. piezīme. Nosacītā ekstrēma esamību atrastajā punktā var pārbaudīt, pētot Lagranža funkcijas otrās kārtas parciālos atvasinājumus pēc analoģijas ar 5.2. teorēmu.

Piezīme 2. Punkti, kuros var sasniegt funkcijas nosacīto galējo punktu f (x 1 , x 2 ,…, x n) ja ir izpildīti nosacījumi (5.2.), var definēt kā sistēmas risinājumus (5.7)

Piemērs. Atradīsim funkcijas nosacīto ekstrēmu z = xy Atsaucoties uz x + y= 1. Sastādām Lagranža funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistēma (5.6) izskatās šādi:

kur -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Kurā L(x,y) var attēlot formā L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, tātad atrastajā stacionārajā punktā L(x,y) ir maksimums, un z = xy – nosacītais maksimums.

Definīcija1: tiek uzskatīts, ka funkcijai ir lokālais maksimums punktā, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir spēkā: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums< 0.

Definīcija2: tiek uzskatīts, ka funkcijai punktā ir lokālais minimums, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir spēkā: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums > 0.

3. definīcija: Tiek izsaukti lokālā minimuma un maksimuma punkti ekstremālie punkti.

Nosacītās galējības

Meklējot daudzu mainīgo funkcijas ekstrēmus, bieži rodas problēmas saistībā ar t.s nosacīts ekstrēms.Šo jēdzienu var izskaidrot, izmantojot divu mainīgo funkcijas piemēru.

Dota funkcija un līnija L uz virsmas 0xy. Uzdevums ir tikt uz līnijas L atrast šādu punktu P(x, y), kurā funkcijas vērtība ir lielākā vai mazākā salīdzinājumā ar šīs funkcijas vērtībām līnijas punktos L, kas atrodas netālu no punkta P. Tādi punkti P tiek saukti nosacīti galējības punkti funkcijas tiešsaistē L. Atšķirībā no parastā galējības punkta, funkcijas vērtība nosacītajā galējā punktā tiek salīdzināta ar funkcijas vērtībām nevis visos tās apkārtnes punktos, bet tikai tajos, kas atrodas uz līnijas. L.

Ir pilnīgi skaidrs, ka parastā ekstrēma punkts (viņi arī saka beznosacījuma galējība) ir arī nosacījuma galējības punkts jebkurai līnijai, kas iet caur šo punktu. Pretēji, protams, nav taisnība: nosacītais galējības punkts var nebūt parastais galējības punkts. Ļaujiet man paskaidrot, ko es teicu, izmantojot vienkāršu piemēru. Funkcijas grafiks ir augšējā puslode (3. pielikums (3. att.)).

Šai funkcijai sākumā ir maksimums; virsotne tai atbilst M puslodes. Ja līnija L caur punktiem iet līnija A Un IN(viņas vienādojums x+y-1=0), tad ir ģeometriski skaidrs, ka šīs taisnes punktiem augstākā vērtība funkcija tiek sasniegta punktā, kas atrodas vidū starp punktiem A Un IN.Šis ir funkcijas nosacītā galējības (maksimuma) punkts šajā taisnē; tas atbilst punktam M 1 uz puslodes, un no attēla ir skaidrs, ka šeit nevar būt runas par kādu parastu ekstrēmu.

Ņemiet vērā, ka uzdevuma beigu daļā ir atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības slēgta zona mums ir jāatrod funkcijas galējās vērtības pie šī reģiona robežas, t.i. kādā līnijā un tādējādi atrisināt nosacīto galējības problēmu.

Tagad pāriesim pie funkcijas Z= f(x, y) nosacīto ekstrēmu punktu praktiskas meklēšanas, ja mainīgie x un y ir saistīti ar vienādojumu (x, y) = 0. Šo sakarību sauksim par savienojuma vienādojums. Ja no savienojuma vienādojuma y var skaidri izteikt ar x: y=(x), iegūstam viena mainīgā funkciju Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Atrodot vērtību x, pie kuras šī funkcija sasniedz galējību, un pēc tam no savienojuma vienādojuma nosakot atbilstošās y vērtības, iegūstam vēlamos nosacītās ekstrēmuma punktus.

Tātad iepriekš minētajā piemērā no relācijas vienādojuma x+y-1=0 mums ir y=1-x. No šejienes

Ir viegli pārbaudīt, vai z sasniedz maksimumu pie x = 0,5; bet tad no savienojuma vienādojuma y = 0,5, un mēs iegūstam tieši punktu P, kas atrasts no ģeometriskiem apsvērumiem.

Nosacītā ekstrēma problēma ir ļoti viegli atrisināma pat tad, ja savienojuma vienādojumu var attēlot parametru vienādojumi x=x(t), y=y(t). Aizstājot šajā funkcijā izteiksmes x un y, mēs atkal nonākam pie problēmas, kā atrast viena mainīgā funkcijas ekstrēmu.

Ja savienojuma vienādojumā ir vairāk nekā sarežģīts izskats un mēs nevaram vai nu skaidri izteikt vienu mainīgo ar citu, vai aizstāt to ar parametriskiem vienādojumiem, tad uzdevums atrast nosacīto ekstrēmu kļūst grūtāks. Turpināsim pieņemt, ka funkcijas z= f(x, y) izteiksmē mainīgais (x, y) = 0. Funkcijas z= f(x, y) kopējais atvasinājums ir vienāds ar:

Kur atvasinājums y` tiek atrasts, izmantojot implicītās funkcijas diferenciācijas likumu. Nosacītā galējības punktos atrastajam kopējam atvasinājumam jābūt vienādam ar nulli; tas dod vienu vienādojumu saistībā ar x un y. Tā kā tiem ir jāizpilda arī savienojuma vienādojums, mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem

Pārveidosim šo sistēmu uz daudz ērtāku, ierakstot pirmo vienādojumu proporcijas formā un ieviešot jaunu palīgnezināmo:

(mīnusa zīme priekšā ir ērtībai). No šīm vienādībām ir viegli pāriet uz šādu sistēmu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

kas kopā ar savienojuma vienādojumu (x, y) = 0 veido trīs vienādojumu sistēmu ar nezināmajiem x, y un.

Šos vienādojumus (*) ir visvieglāk atcerēties, izmantojot šādu noteikumu: lai atrastu punktus, kas var būt funkcijas nosacītā galējības punkti

Z= f(x, y) ar savienojuma vienādojumu (x, y) = 0, jāveido palīgfunkcija

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kur ir kāda konstante, un izveidojiet vienādojumus, lai atrastu šīs funkcijas galējos punktus.

Norādītā vienādojumu sistēma, kā likums, nodrošina tikai nepieciešamos nosacījumus, t.i. ne katrs vērtību pāris x un y, kas atbilst šai sistēmai, noteikti ir nosacīts galējības punkts. Es nesniegšu pietiekamus nosacījumus nosacīto ekstrēmu punktiem; ļoti bieži pats problēmas konkrētais saturs liek domāt, kas ir atrastais punkts. Aprakstīto paņēmienu problēmu risināšanai nosacītā ekstremitātē sauc par Lagranža reizinātāja metodi.

Piemērs

Atrodiet funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu X Un plkst ir saistīti ar attiecību: . Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses
lidmašīna
.

Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
mēs atradām
X:

ar nosacījumu, ka
, kas samazināts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas galējību intervālā
.

Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses , kas iegūts, šķērsojot cilindru
lidmašīna
, jums jāatrod aplikācijas maksimālā vai minimālā vērtība (9. att.). Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
mēs atradām
. Ievietojot atrasto y vērtību plaknes vienādojumā, iegūstam viena mainīgā funkciju X:

Līdz ar to funkcijas galējības atrašanas problēma
ar nosacījumu, ka
, kas samazināts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas galējību intervālā.

Tātad, nosacījuma ekstrēma atrašanas problēma– tā ir mērķfunkcijas galējības atrašanas problēma
, ar nosacījumu, ka mainīgie X Un plkst pakļauts ierobežojumam
, zvanīja savienojuma vienādojums.

Teiksim tā punkts
, kas apmierina savienojuma vienādojumu, ir vietējā nosacījuma maksimuma punkts (minimums), ja ir apkaime
tāds, ka par jebkuriem punktiem
, kuras koordinātes apmierina savienojuma vienādojumu, nevienādība ir izpildīta.

Ja no savienojuma vienādojuma var atrast izteiksmi priekš plkst, tad, aizstājot šo izteiksmi ar sākotnējo funkciju, mēs to pārvēršam par viena mainīgā kompleksu funkciju X.

Vispārējā metode nosacītās ekstremitātes problēmas risināšanai ir Lagranža reizinātāja metode. Izveidosim palīgfunkciju, kur ─ kādu numuru. Šo funkciju sauc Lagranža funkcija, A ─ Lagranža reizinātājs. Tādējādi uzdevums atrast nosacīto ekstrēmu ir samazināts līdz lokālu ekstrēma punktu atrašanai Lagranža funkcijai. Lai atrastu iespējamos galējības punktus, jāatrisina 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem x, y Un.

Tad jums vajadzētu izmantot šādu pietiekamu nosacījumu ekstremitātei.

TEORĒMA. Ļaujiet šim punktam būt Lagranža funkcijas iespējamajam galējības punktam. Pieņemsim, ka punkta tuvumā
pastāv nepārtraukti otrās kārtas funkciju daļējie atvasinājumi Un . Apzīmēsim

Tad ja
, Tas
─ funkcijas nosacījuma galējais punkts
ar savienojuma vienādojumu
šajā gadījumā, ja
, Tas
─ nosacītais minimālais punkts, ja
, Tas
─ nosacījuma maksimālais punkts.

§8. Gradients un virziena atvasinājums

Ļaujiet funkcijai
definēts kādā (atvērtā) reģionā. Apsveriet jebkuru punktu
šis laukums un jebkura virzīta taisne (ass) , kas iet caur šo punktu (1. att.). Ļaujiet
- kāds cits punkts uz šīs ass,
– segmenta garums starp
Un
, ņemts ar plus zīmi, ja virziens
sakrīt ar ass virzienu , un ar mīnusa zīmi, ja to virzieni ir pretēji.

Ļaujiet
tuvojas bezgalīgi
. Ierobežot

sauca funkcijas atvasinājums
virzienā (vai pa asi ) un tiek apzīmēts šādi:

.

Šis atvasinājums raksturo funkcijas “izmaiņu ātrumu” punktā
virzienā . Jo īpaši parastie daļējie atvasinājumi ,var uzskatīt arī par atvasinājumiem "attiecībā uz virzienu".

Tagad pieņemsim, ka funkcija
ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi aplūkotajā reģionā. Ļaujiet asij veido leņķus ar koordinātu asīm
Un . Saskaņā ar izdarītajiem pieņēmumiem virziena atvasinājums pastāv un tiek izteikts ar formulu

.

Ja vektors
ko dod tās koordinātas
, tad funkcijas atvasinājums
vektora virzienā
var aprēķināt, izmantojot formulu:

.

Vektors ar koordinātām
sauca gradienta vektors funkcijas
punktā
. Gradienta vektors norāda funkcijas visātrākā pieauguma virzienu dotajā punktā.

Piemērs

Dota funkcija, punkts A(1, 1) un vektors
. Atrast: 1)grad z punktā A; 2) atvasinājums punktā A vektora virzienā .

Dotās funkcijas parciālie atvasinājumi punktā
:

;
.

Tad funkcijas gradienta vektors šajā punktā ir:
. Gradienta vektoru var uzrakstīt arī, izmantojot vektoru sadalīšanu Un :

. Funkcijas atvasinājums vektora virzienā :

Tātad,
,
.◄

Nosacīts ekstremāls.

Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma

Mazākā kvadrāta metode.

Vietējais ekstrēms FNP

Lai funkcija ir dota Un= f(P), РÎDÌR n un ļaujiet punktam P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –iekšējais kopas punkts D.

Definīcija 9.4.

1) Tiek izsaukts punkts P 0 maksimālais punkts funkcijas Un= f(P), ja šim punktam U(P 0) М D ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0, nosacījums ir izpildīts f(P) £ f(P 0) . Nozīme f(P 0) funkcija maksimālajā punktā tiek izsaukta funkcijas maksimums un ir norādīts f(P0) = maks f(P) .

2) Tiek izsaukts punkts P 0 minimālais punkts funkcijas Un= f(P), ja šim punktam U(P 0)Ì D ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0, nosacījums ir izpildīts f(P)³ f(P 0) . Nozīme f(P 0) funkcija minimālajā punktā tiek izsaukta minimālā funkcija un ir norādīts f(P 0) = min f(P).

Tiek izsaukts funkcijas minimālais un maksimālais punkts ekstremālie punkti, tiek izsauktas funkcijas vērtības galējos punktos funkcijas galējība.

Kā izriet no definīcijas, nevienlīdzības f(P) £ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) ir jāizpilda tikai noteiktā punkta P 0 apkārtnē, nevis visā funkcijas definīcijas jomā, kas nozīmē, ka funkcijai var būt vairākas viena veida galējības (vairāki minimumi, vairāki maksimumi) . Tāpēc tiek sauktas iepriekš definētās galējības vietējā(lokālās) galējības.

Teorēma 9.1.( nepieciešamais nosacījums FNP galējība)

Ja funkcija Un= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ir ekstrēms punktā P 0 , tad tā pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šajā punktā ir vai nu vienādi ar nulli, vai arī neeksistē.

Pierādījums.Ļaujiet punktā P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija Un= f(P) ir galējība, piemēram, maksimums. Labosim argumentus X 2 , ..., x n, liekot X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Tad Un= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) ir viena mainīgā funkcija X 1 . Tā kā šai funkcijai ir X 1 = A 1 ekstremitāte (maksimums), tad f 1 ¢=0 vai nepastāv, kad X 1 =A 1 (nepieciešams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Bet tas nozīmē vai neeksistē punktā P 0 - galējā punktā. Līdzīgi mēs varam apsvērt daļējus atvasinājumus attiecībā uz citiem mainīgajiem. CTD.

Funkcijas apgabala punktus, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc kritiskie punkti šī funkcija.

Kā izriet no 9.1. teorēmas, FNP galējie punkti ir jāmeklē starp funkcijas kritiskajiem punktiem. Bet, kas attiecas uz viena mainīgā funkciju, ne katrs kritiskais punkts ir galējais punkts.

9.2. teorēma (pietiekams nosacījums FNP ekstrēmam)

Lai P 0 ir funkcijas kritiskais punkts Un= f(P) un ir šīs funkcijas otrās kārtas diferenciālis. Tad

un ja d 2 u(P 0) > 0 pie , tad P 0 ir punkts minimums funkcijas Un= f(P);

b) ja d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimums funkcijas Un= f(P);

c) ja d 2 u(P 0) nav definēts ar zīmi, tad P 0 nav galējības punkts;

Mēs izskatīsim šo teorēmu bez pierādījumiem.

Ņemiet vērā, ka teorēmā nav aplūkots gadījums, kad d 2 u(P 0) = 0 vai neeksistē. Tas nozīmē, ka jautājums par ekstrēma klātbūtni punktā P 0 šādos apstākļos paliek atklāts - mums ir nepieciešams papildu pētījumi, piemēram, pētot funkcijas pieaugumu šajā punktā.

Detalizētākos matemātikas kursos tas ir pierādīts, jo īpaši attiecībā uz funkciju z = f(x,y) no diviem mainīgajiem, kuru otrās kārtas diferenciālis ir formas summa

var vienkāršot pētījumu par ekstremuma klātbūtni kritiskajā punktā P 0.

Apzīmēsim , , . Sastādīsim determinantu

.

Izrādās:

d 2 z> 0 punktā P 0, t.i. P 0 – minimālais punkts, ja A(P 0) > 0 un D (P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ja D(P 0)< 0, то d 2 z punkta P 0 tuvumā tas maina zīmi un punktā P 0 nav ekstrēma;

ja D(Р 0) = 0, tad nepieciešami arī papildu pētījumi par funkciju kritiskā punkta Р 0 tuvumā.

Tādējādi funkcijai z = f(x,y) no diviem mainīgajiem mums ir šāds algoritms (sauksim to par “algoritmu D”), lai atrastu galējību:

1) Atrodiet definīcijas domēnu D( f) funkcijas.

2) Atrast kritiskos punktus, t.i. punkti no D( f), kuriem un ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

3) Katrā kritiskajā punktā P 0 pārbaudiet ekstrēma pietiekamus nosacījumus. Lai to izdarītu, atrodiet , kur , , un aprēķina D(P 0) un A(P 0). Pēc tam:

ja D(P 0) >0, tad punktā P 0 ir ekstrēmums, un ja A(P 0) > 0 – tad tas ir minimums, un ja A(P 0)< 0 – максимум;

ja D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ja D(P 0) = 0, tad ir nepieciešami papildu pētījumi.

4) Atrastajos galējos punktos aprēķiniet funkcijas vērtību.

1. piemērs.

Atrodiet funkcijas galējību z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Risinājums.Šīs funkcijas definīcijas domēns ir visa koordinātu plakne. Atradīsim kritiskos punktus.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Pārbaudīsim, vai ir izpildīti pietiekami ekstrēma nosacījumi. Mēs atradīsim

6X, = -3, = 48plkst Un = 288xy – 9.

Tad D(P 0) = 288 × 0 × 0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – punktā Р 1 ir ekstrēmums, un tā kā A(P 1) = 3 > 0, tad šis ekstrēmums ir minimums. Tātad min z=z(P 1) = .

2. piemērs.

Atrodiet funkcijas galējību .

Risinājums: D( f) =R 2 . Kritiskie punkti: ; neeksistē, kad plkst= 0, kas nozīmē, ka P 0 (0,0) ir šīs funkcijas kritiskais punkts.

2, = 0, = , = , bet D(P 0) nav definēts, tāpēc tās zīmes izpēte nav iespējama.

Tā paša iemesla dēļ nav iespējams tieši piemērot teorēmu 9.2 - d 2 zšajā brīdī nepastāv.

Apskatīsim funkcijas pieaugumu f(x, y) punktā P 0. Ja D f =f(P) - f(P 0)>0 "P, tad P 0 ir minimālais punkts, bet, ja D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Mūsu gadījumā mums ir

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Pie D x= 0,1 un D y= -0,008 mēs iegūstam D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 un D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.i. punkta P 0 tuvumā nav izpildīts neviens nosacījums D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0), un tāpēc P 0 nav maksimālais punkts), ne arī nosacījums D f>0 (t.i. f(x, y) > f(0, 0) un tad P 0 nav minimālais punkts). Tātad, pēc ekstrēma definīcijas, šī funkcija nav galējību.

Nosacīts ekstremāls.

Tiek izsaukts aplūkotais funkcijas ekstrēms beznosacījuma, jo funkcijas argumentiem netiek noteikti nekādi ierobežojumi (nosacījumi).

Definīcija 9.2. Funkcijas galējība Un = f(X 1 , X 2 , ... , x n), konstatēts ar nosacījumu, ka tās argumenti X 1 , X 2 , ... , x n izpildīt vienādojumus j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kur P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), sauca nosacīts ekstrēms .

Vienādojumi j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, tiek saukti savienojuma vienādojumi.

Apskatīsim funkcijas z = f(x,y) divi mainīgie. Ja savienojuma vienādojums ir viens, t.i. , tad nosacījuma ekstrēma atrašana nozīmē, ka ekstrēmums tiek meklēts nevis visā funkcijas definīcijas jomā, bet gan uz kādas līknes, kas atrodas D( f) (t.i., netiek meklēti virsmas augstākie vai zemākie punkti z = f(x,y), un augstākie vai zemākie punkti starp šīs virsmas krustošanās punktiem ar cilindru, 5. att.).

Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f(x,y) no diviem mainīgajiem var atrast šādā veidā( eliminācijas metode). No vienādojuma izsakiet vienu no mainīgajiem kā cita funkciju (piemēram, rakstiet ) un, aizstājot šo mainīgā vērtību funkcijā, ierakstiet pēdējo kā viena mainīgā funkciju (aplūkotajā gadījumā ). Atrodiet viena mainīgā iegūtās funkcijas ekstrēmu.