Funkcija y = f (x) ir likums (noteikums), saskaņā ar kuru katrs kopas X elements x ir saistīts ar vienu un tikai vienu kopas Y elementu y.
Elements x ∈ X sauca funkcijas arguments vai neatkarīgais mainīgais.
Elements y ∈ Y sauca funkcijas vērtība vai atkarīgais mainīgais.
Tiek izsaukta kopa X funkcijas domēns.
Elementu kopa y ∈ Y, kuriem ir priekšattēli kopā X, tiek izsaukts apgabals vai funkciju vērtību kopa.
Faktiskā funkcija tiek izsaukta ierobežots no augšas (no apakšas), ja ir tāds skaitlis M, ka nevienlīdzība attiecas uz visiem:
.
Tiek izsaukta skaitļa funkcija ierobežots, ja ir tāds skaitlis M, ka visiem:
.
Augšējā mala vai precīzs augšējā robeža
Reālu funkciju sauc par mazāko skaitli, kas ierobežo tā vērtību diapazonu no augšas. Tas ir, šis ir skaitlis s, kuram katram un jebkuram ir arguments, kura funkcijas vērtība pārsniedz s′: .
Funkcijas augšējo robežu var apzīmēt šādi:
.
Attiecīgi apakšējā mala vai precīza apakšējā robeža Reālu funkciju sauc par lielāko skaitli, kas ierobežo tā vērtību diapazonu no apakšas. Tas ir, šis ir skaitlis i, kuram katram un jebkuram ir arguments, kura funkcijas vērtība ir mazāka par i′: .
Funkcijas infimumu var apzīmēt šādi:
.
Funkcijas robežas noteikšana
Funkcijas robežas noteikšana pēc Košī
Funkciju ierobežotas robežas beigu punktos
Ļaujiet funkcijai tikt definētai kādā beigu punkta apkārtnē, iespējams, izņemot pašu punktu. punktā, ja kādam ir tāda lieta, atkarībā no , ka visiem x, kuriem , nevienlīdzība ir spēkā
.
Funkcijas ierobežojums ir apzīmēts šādi:
.
Vai plkst.
Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, funkcijas robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.
Vienpusēji ierobežojumi.
Kreisā robeža punktā (kreisā robeža):
.
Labā robeža punktā (labās puses robeža):
.
Kreisās un labās robežas bieži tiek apzīmētas šādi:
;
.
Funkcijas ierobežotās robežas punktos bezgalībā
Robežas punktos bezgalībā nosaka līdzīgi.
.
.
.
Tos bieži sauc par:
;
;
.
Izmantojot punkta apkārtnes jēdzienu
Ja mēs ieviešam jēdzienu par punkta caurdurtu apkārtni, tad mēs varam sniegt vienotu funkcijas galīgās robežas definīciju galīgos un bezgalīgi attālos punktos:
.
Šeit par galapunktiem
;
;
.
Jebkura punktu apkārtne bezgalībā tiek pārdurta:
;
;
.
Bezgalīgi funkciju ierobežojumi
Definīcija
Ļaujiet funkcijai definēt kādā punkta caurdurtā apkārtnē (galīgā vai bezgalībā). Funkcijas f. robeža (x) kā x → x 0
ir vienāds ar bezgalību, ja kādam patvaļīgi lielam skaitlim M > 0
, ir skaitlis δ M > 0
, atkarībā no M, ka visiem x, kas pieder caurdurtajai δ M - punkta apkārtnei: , pastāv šāda nevienādība:
.
Bezgalīgo robežu apzīmē šādi:
.
Vai plkst.
Izmantojot eksistences un universāluma loģiskos simbolus, funkcijas bezgalīgās robežas definīciju var uzrakstīt šādi:
.
Varat arī ieviest definīcijas bezgalīgām robežām noteiktām zīmēm, kas vienādas ar un :
.
.
Funkcijas robežas universāla definīcija
Izmantojot punkta apkārtnes jēdzienu, mēs varam sniegt universālu funkcijas galīgās un bezgalīgās robežas definīciju, kas piemērojama gan galīgiem (divpusējiem un vienpusējiem), gan bezgalīgi attāliem punktiem:
.
Funkcijas robežas noteikšana pēc Heines
Ļaujiet funkcijai definēt kādu kopu X:.
Skaitli a sauc par funkcijas robežu punktā:
,
ja jebkurai secībai, kas konverģē uz x 0
:
,
kuras elementi pieder kopai X: ,
.
Rakstīsim šo definīciju, izmantojot loģiskos esamības un universāluma simbolus:
.
Ja punkta x kreisās puses apkārtni ņemam par kopu X 0 , tad iegūstam kreisās robežas definīciju. Ja tas ir ar labo roku, tad mēs iegūstam labās robežas definīciju. Ja bezgalības punkta apkārtni ņemam par kopu X, iegūstam funkcijas robežas definīciju bezgalībā.
Teorēma
Funkcijas robežas Košī un Heina definīcijas ir līdzvērtīgas.
Pierādījums
Funkcijas robežas īpašības un teorēmas
Tālāk mēs pieņemam, ka aplūkojamās funkcijas ir definētas attiecīgajā punkta apkārtnē, kas ir ierobežots skaitlis vai viens no simboliem: . Tas var būt arī vienpusējs robežpunkts, tas ir, tam ir forma vai . Apkaime ir divpusēja divpusēja ierobežojuma gadījumā un vienpusēja vienpusēja ierobežojuma gadījumā.
Pamatīpašības
Ja funkcijas f vērtības (x) mainīt (vai padarīt nedefinētu) noteiktu punktu skaitu x 1, x 2, x 3, ... x n, tad šīs izmaiņas neietekmēs funkcijas robežas esamību un vērtību patvaļīgā punktā x 0 .
Ja ir ierobežota robeža, tad ir punkta x apkārtne, kas ir caurdurta 0
, uz kura funkcija f (x) ierobežots:
.
Ļaujiet funkcijai atrasties punktā x 0
ierobežota nulles robeža:
.
Tad jebkuram ciparam c no intervāla ir šāda punkta x caurdurta apkārtne 0
, priekš kam ,
, Ja ;
, Ja.
Ja par kādu punktu apkārtnē, , ir konstante, tad .
Ja ir noteiktas robežas un un uz kādu punktu x apkārtni 0
,
Tas .
Ja , un par kādu punktu apkārtnē
,
Tas .
Jo īpaši, ja atrodas kāda punkta apkārtnē
,
tad ja , tad un ;
ja , tad un .
Ja uz kāda caurdurta punkta x apkārtnē 0
:
,
un ir ierobežotas (vai noteiktas zīmes bezgalīgas) vienādas robežas:
, Tas
.
Galveno īpašību pierādījumi ir sniegti lapā
"Funkciju robežu pamatīpašības."
Funkcijas robežas aritmētiskās īpašības
Ļaujiet funkcijām un būt definētas kādā punkta caurdurtajā apkārtnē. Un lai pastāv ierobežotas robežas:
Un .
Un lai C ir konstante, tas ir, dots skaitlis. Tad
;
;
;
, Ja.
Ja tad.
Aritmētisko īpašību pierādījumi ir doti lapā
"Funkciju robežu aritmētiskās īpašības".
Košī kritērijs funkcijas robežas esamībai
Teorēma
Lai funkcija, kas definēta kādā ierobežotā apgabalā vai bezgalības punktā x 0
, šajā brīdī bija ierobežota robeža, ir nepieciešams un pietiekami, ka jebkuram ε > 0
bija tāda caurdurta punkta x apkārtne 0
, ka jebkuram punktam un no šīs apkārtnes pastāv šāda nevienlīdzība:
.
Sarežģītas funkcijas robeža
Robežas teorēma sarežģīta funkcija
Ļaujiet funkcijai noteikt ierobežojumu un kartēt punkta caurdurto apkārtni ar punkta caurdurto apkārtni. Ļaujiet šai apkaimē definēt funkciju un ierobežot to.
Šeit ir pēdējie vai bezgalīgi attālie punkti: . Apkaimes un tām atbilstošās robežas var būt gan divpusējas, gan vienpusējas.
Tad ir sarežģītas funkcijas ierobežojums, un tas ir vienāds ar:
.
Sarežģītas funkcijas robežteorēma tiek piemērota, ja funkcija nav definēta punktā vai tās vērtība atšķiras no robežas. Lai piemērotu šo teorēmu, ir jābūt caurdurtam punktam, kurā funkcijas vērtību kopa nesatur punktu:
.
Ja funkcija ir nepārtraukta punktā , tad argumentam var lietot ierobežojuma zīmi nepārtraukta funkcija:
.
Tālāk ir sniegta teorēma, kas atbilst šim gadījumam.
Teorēma par funkcijas nepārtrauktas funkcijas robežu
Lai ir funkcijas g ierobežojums (t) kā t → t 0
, un tas ir vienāds ar x 0
:
.
Šeit ir punkts t 0
var būt ierobežots vai bezgalīgi attāls: .
Un ļaujiet funkcijai f (x) ir nepārtraukts punktā x 0
.
Tad ir kompleksās funkcijas f robeža (g(t)), un tas ir vienāds ar f (x0):
.
Teorēmu pierādījumi ir doti lapā
"Sarežģītas funkcijas ierobežojums un nepārtrauktība".
Bezgalīgi mazas un bezgalīgi lielas funkcijas
Bezgalīgi mazas funkcijas
Definīcija
Tiek uzskatīts, ka funkcija ir bezgalīgi maza, ja
.
Summa, starpība un produkts no ierobežota skaita bezgalīgi mazām funkcijām pie ir bezgalīgi maza funkcija pie .
Ierobežotas funkcijas reizinājums par kādu punktu apkārtnē , lai bezgalīgi mazs pie ir bezgalīgi maza funkcija pie .
Lai funkcijai būtu ierobežots ierobežojums, tas ir nepieciešams un pietiekami
,
kur - bezgalīgi maza funkcija plkst.
"Bezgalīgi mazu funkciju īpašības".
Bezgalīgi lielas funkcijas
Definīcija
Saka, ka funkcija ir bezgalīgi liela, ja
.
Ierobežotas funkcijas summa vai starpība kādā punkta caurdurtajā apkārtnē un bezgalīgi lielas funkcijas pie ir bezgalīga lieliska funkcija plkst.
Ja funkcija ir bezgalīgi liela un funkcija ir ierobežota ar kādu punktu pārdurtu apkārtni, tad
.
Ja funkcija , kādā punkta caurdurtajā apkārtnē apmierina nevienlīdzību:
,
un funkcija ir bezgalīgi maza:
, un (par kādu caurdurtu punkta apkārtni), tad
.
Īpašību pierādījumi ir parādīti sadaļā
"Bezgalīgi lielu funkciju īpašības".
Saistība starp bezgalīgi lielām un bezgalīgi mazām funkcijām
No divām iepriekšējām īpašībām izriet saikne starp bezgalīgi lielām un bezgalīgi mazām funkcijām.
Ja funkcija ir bezgalīgi liela pie , tad funkcija ir bezgalīgi maza pie .
Ja funkcija ir bezgalīgi maza , un , tad funkcija ir bezgalīgi liela .
Sakarību starp bezgalīgi mazu un bezgalīgi lielu funkciju var izteikt simboliski:
,
.
Ja bezgalīgi mazai funkcijai ir noteikta zīme pie , tas ir, tā ir pozitīva (vai negatīva) kādā punkta caurdurtajā apkārtnē, tad šo faktu var izteikt šādi:
.
Tādā pašā veidā, ja bezgalīgi lielai funkcijai ir noteikta zīme pie , tad viņi raksta:
.
Tad simbolisko saikni starp bezgala mazām un bezgala lielām funkcijām var papildināt ar šādām attiecībām:
,
,
,
.
Papildu formulas, kas attiecas uz bezgalības simboliem, var atrast lapā
"Punkti bezgalībā un to īpašības."
Monotonisko funkciju robežas
Definīcija
Tiek izsaukta funkcija, kas definēta uz kādu reālu skaitļu kopu X stingri pieaugot, ja visiem tādiem, uz kuriem attiecas šāda nevienlīdzība:
.
Attiecīgi par stingri samazinās funkcijai ir spēkā šāda nevienlīdzība:
.
Priekš nesamazinās:
.
Priekš nepalielinošs:
.
No tā izriet, ka stingri pieaugoša funkcija arī nesamazinās. Stingri samazinoša funkcija arī nepalielinās.
Funkcija tiek izsaukta vienmuļš, ja tas nesamazinās vai nepalielinās.
Teorēma
Lai funkcija nesamazinās intervālā, kur .
Ja augšā to ierobežo skaitlis M: tad ir ierobežota robeža. Ja nav ierobežots no augšas, tad .
Ja no apakšas to ierobežo skaitlis m: tad ir ierobežota robeža. Ja nav ierobežots no apakšas, tad .
Ja punkti a un b atrodas bezgalībā, tad izteiksmēs robežzīmes nozīmē, ka .
Šo teorēmu var formulēt kompaktāk.
Lai funkcija nesamazinās intervālā, kur . Tad punktos a un b ir vienpusējas robežas:
;
.
Līdzīga teorēma nepalielinošai funkcijai.
Ļaujiet funkcijai nepalielināties intervālā, kur . Tad ir vienpusēji ierobežojumi:
;
.
Teorēmas pierādījums ir parādīts lapā
"Monotonisko funkciju robežas".
Atsauces:
L.D. Kudrjavcevs. Nu matemātiskā analīze. 1. sējums. Maskava, 2003. g.
CM. Nikoļskis. Matemātiskās analīzes kurss. 1. sējums. Maskava, 1983. gads.
Risinājums tiešsaistes funkciju ierobežojumi. Atrodiet funkcijas vai funkcionālās secības robežvērtību punktā, aprēķiniet galīgais funkcijas vērtība bezgalībā. noteikt skaitļu rindas konverģenci, un daudz ko citu var paveikt, pateicoties mūsu tiešsaistes pakalpojums- . Mēs ļaujam ātri un precīzi atrast funkciju ierobežojumus tiešsaistē. Jūs to ievadāt pats funkciju mainīgais un robežu, līdz kurai tas tiecas, mūsu serviss veic visus aprēķinus jūsu vietā, sniedzot precīzu un vienkāršu atbildi. Un priekš ierobežojumu atrašana tiešsaistē varat ievadīt gan skaitliskās sērijas, gan analītiskās funkcijas, kas satur konstantes burtiskā izteiksmē. Šajā gadījumā funkcijas atrastais ierobežojums ietvers šīs konstantes kā nemainīgus argumentus izteiksmē. Mūsu pakalpojums atrisina visas sarežģītas atrašanas problēmas ierobežojumi tiešsaistē, pietiek norādīt funkciju un punktu, kurā nepieciešams aprēķināt funkcijas robežvērtība. Aprēķinot tiešsaistes ierobežojumi, tu vari izmantot dažādas metodes un to risinājuma noteikumus, vienlaikus pārbaudot iegūto rezultātu ar ierobežojumu risināšana tiešsaistē vietnē www.vietne, kas novedīs pie veiksmīgas uzdevuma izpildes - jūs izvairīsities no savām kļūdām un pārrakstīšanās kļūdām. Vai arī varat mums pilnībā uzticēties un izmantot mūsu rezultātu savā darbā, netērējot papildu pūles un laiku, lai patstāvīgi aprēķinātu funkcijas limitu. Mēs atļaujam ievadīt robežvērtības, piemēram, bezgalību. Ir jāievada skaitļu virknes kopīgs dalībnieks un www.vietne aprēķinās vērtību ierobežojums tiešsaistē līdz plus vai mīnus bezgalībai.
Viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem ir funkciju ierobežojums Un secības ierobežojums punktā un bezgalībā ir svarīgi prast pareizi atrisināt robežas. Izmantojot mūsu pakalpojumu, tas nebūs grūti. Tiek pieņemts lēmums ierobežojumi tiešsaistē dažu sekunžu laikā atbilde ir precīza un pilnīga. Matemātiskās analīzes izpēte sākas ar pāreja uz robežu, robežas tiek izmantoti gandrīz visās augstākās matemātikas jomās, tāpēc ir lietderīgi, ja pa rokai ir serveris tiešsaistes ierobežojumu risinājumi, kas ir vietne.
Funkcijas robeža punktā un punktā
Funkcijas robeža ir galvenais matemātiskās analīzes aparāts. Ar tās palīdzību pēc tam tiek noteikta funkcijas nepārtrauktība, atvasinājums, integrālis un sērijas summa.
Ļaujiet funkcijai y=f(x)definēts kādā punkta apkārtnē 
, izņemot varbūt pašu punktu 
.
Formulēsim divas līdzvērtīgas funkcijas robežas definīcijas punktā.
1. definīcija (“sekvenču valodā” vai saskaņā ar Heine). Numurs b sauca funkcijas robeža
y=f(x)
punktā
(vai kad 
), ja jebkurai derīgu argumentu vērtību secībai 
saplūst ar
(tie. 
), atbilstošo funkciju vērtību secība 
saplūst ar skaitli b(tie. 
).
Šajā gadījumā viņi raksta 
vai 
plkst 
. Funkcijas robežas ģeometriskā nozīme: 
nozīmē, ka visiem punktiem X, pietiekami tuvu punktam
, funkcijas atbilstošās vērtības atšķiras no skaitļa tik maz, cik vēlams b.
2. definīcija (valodā", vai saskaņā ar Košī). Numurs b sauca funkcijas robeža
y=f(x)
punktā
(vai kad 
), ja jebkuram pozitīvam skaitlim ir pozitīvs skaitlis tāds, ka visiem 
apmierinot nevienlīdzību 
, nevienlīdzība ir spēkā 
.
Pierakstīt 
.
Šo definīciju var īsi uzrakstīt šādi:
ievērojiet, tas 
var rakstīt šādi 
.
G 
funkcijas robežas ģeometriskā nozīme: 
, ja kādai punkta apkaimē b ir tāda punkta apkaime
tas ir visiem 
no šīs apkārtnes atbilstošās funkcijas vērtības f
(x) atrodas punkta apkārtnē b. Citiem vārdiem sakot, punkti funkcijas diagrammā y
=
f
(x) atrodas 2 platas joslas iekšpusē, ko ierobežo taisnas līnijas plkst
= b + ,
plkst = b (17. attēls). Acīmredzot vērtība ir atkarīga no izvēles, tāpēc viņi raksta = ().
Piemērs Pierādiet to 
Risinājums
. Ņemsim patvaļīgu 0 un atrodam = () 0 tā, lai visiem X 
, nevienlīdzība ir spēkā 
. Kopš no plkst 
tie. 
, tad ņemot 
, mēs to redzam ikvienam X, apmierinot nevienlīdzību 
, nevienlīdzība ir spēkā 
. Tāpēc 
Piemērs Pierādiet, ja f
(x) =
Ar, Tas 
.
Risinājums
. Priekš 
tu vari paņemt 
. Tad plkst 
mums ir . Tāpēc 
.
Funkcijas robežas definēšanā 
Tiek uzskatīts, ka X tiecas pēc
jebkādā veidā: paliek mazāk nekā
(kreisajā pusē no
), lielāks nekā
(pa labi no
), vai svārstās ap punktu
.
Ir gadījumi, kad argumenta tuvināšanas metode X Uz
būtiski ietekmē funkcijas limita vērtību. Tāpēc tiek ieviesti vienpusējo ierobežojumu jēdzieni.
Definīcija. Numurs 
sauca funkcijas robeža
y=f(x)
pa kreisi
punktā
, ja jebkuram skaitlim 0 ir tāds skaitlis = () 0 
, nevienlīdzība ir spēkā 
.
Kreisajā pusē esošais ierobežojums ir rakstīts šādi 
vai īsi 
(Dirihleta apzīmējums) (18. attēls).
Definēts līdzīgi funkcijas ierobežojums labajā pusē , rakstīsim, izmantojot simbolus:
Īsumā ir norādīts ierobežojums labajā pusē 
.
P 
Tiek izsauktas funkcijas robežas kreisajā un labajā pusē vienvirziena ierobežojumi
. Acīmredzot, ja ir 
, tad pastāv abas vienpusējās robežas, un 
.
Ir arī otrādi: ja pastāv abas robežas 
Un 
un tie ir vienādi, tad ir robeža 
Un .
Ja 
, Tas 
neeksistē.
Definīcija. Ļaujiet funkcijai y=f(x) ir definēts intervālā 
. Numurs b sauca funkcijas robeža
y=f(x)
plkst
X , ja kādam skaitlim 0 ir šāds skaitlis M
= M() 0, kas visiem X, apmierinot nevienlīdzību 
nevienlīdzība pastāv 
. Īsumā šo definīciju var uzrakstīt šādi:
E 
ja X +, tad viņi raksta 
, Ja X , tad viņi raksta 
, Ja 
=
, tad parasti tiek apzīmēta to vispārējā nozīme 
.
Šīs definīcijas ģeometriskā nozīme ir šāda: priekš 
, ka plkst 
Un 
atbilstošās funkciju vērtības y=f(x) iekrīt punkta apkārtnē b, t.i. grafika punkti atrodas 2 platā joslā, ko ierobežo taisnas līnijas 
Un 
(19. attēls).
Funkciju ierobežojums- numurs a būs kāda mainīga lieluma robeža, ja tā maiņas procesā šis mainīgais lielums bezgalīgi tuvosies a.
Vai citiem vārdiem sakot, skaitlis A ir funkcijas ierobežojums y = f(x) punktā x 0, ja jebkurai punktu secībai no funkcijas definīcijas domēna , nav vienāda x 0, un kas saplūst ar punktu x 0 (lim x n = x0), atbilstošo funkciju vērtību secība saplūst ar skaitli A.
Funkcijas grafiks, kuras robeža, ņemot vērā argumentu, kas tiecas uz bezgalību, ir vienāda ar L:
Nozīme A ir funkcijas robeža (robežvērtība). f(x) punktā x 0 jebkuras punktu secības gadījumā 
, kas saplūst ar x 0, bet kas nesatur x 0 kā viens no tā elementiem (t.i., caurdurtajā tuvumā x 0), funkciju vērtību secība 
saplūst ar A.
Košī funkcijas ierobežojums.
Nozīme A būs funkcijas robeža f(x) punktā x 0 ja kādam iepriekš ņemtam nenegatīvam skaitlim ε tiks atrasts attiecīgais nenegatīvais skaitlis δ = δ(ε) tāds, ka katram argumentam x, apmierinot nosacījumu 0 < | x - x0 | < δ , nevienlīdzība tiks apmierināta | f(x)A |< ε .
Tas būs ļoti vienkārši, ja sapratīsiet limita būtību un pamatnoteikumus tā atrašanai. Kāda ir funkcijas robeža f (x) plkst x tiecoties pēc a vienāds A, ir rakstīts šādi:
Turklāt vērtība, uz kuru mainīgais tiecas x, var būt ne tikai skaitlis, bet arī bezgalība (∞), dažreiz +∞ vai -∞, vai arī ierobežojumu var nebūt vispār.
Lai saprastu, kā atrast funkcijas robežas, vislabāk ir apskatīt risinājumu piemērus.
Ir jāatrod funkcijas robežas f (x) = 1/x pie:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Atradīsim risinājumu pirmajai robežai. Lai to izdarītu, varat vienkārši aizstāt x skaitlis, uz kādu tā mēdz, t.i. 2, mēs iegūstam:
Atradīsim funkcijas otro robežu. Aizvietojiet šeit tīrā formā 0 vietā x tas nav iespējams, jo Jūs nevarat dalīt ar 0. Bet mēs varam ņemt vērtības tuvu nullei, piemēram, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 un tā tālāk, kā arī funkcijas vērtība f (x) palielināsies: 100; 1000; 10 000; 100 000 un tā tālāk. Tādējādi var saprast, ka kad x→ 0 funkcijas vērtība, kas atrodas zem ierobežojuma zīmes, pieaugs bez ierobežojuma, t.i. tiekties uz bezgalību. Kas nozīmē:
Attiecībā uz trešo robežu. Tāda pati situācija kā iepriekšējā gadījumā, to nav iespējams aizstāt ∞ tīrākajā veidā. Mums jāapsver neierobežota palielinājuma gadījums x. Mēs aizstājam 1000 pa vienam; 10 000; 100000 un tā tālāk, mums ir šī funkcijas vērtība f (x) = 1/x samazināsies: 0,001; 0,0001; 0,00001; un tā tālāk, tiecoties uz nulli. Tāpēc:
Ir nepieciešams aprēķināt funkcijas robežu 
Sākot risināt otro piemēru, mēs redzam nenoteiktību. No šejienes mēs atrodam skaitītāja un saucēja augstāko pakāpi - tas ir x 3, mēs to izņemam no iekavām skaitītājā un saucējā un pēc tam samazinām par:
Atbilde 
Pirmais solis iekšā atrast šo robežu, tā vietā aizstājiet vērtību 1 x, kā rezultātā rodas nenoteiktība. Lai to atrisinātu, skaitītāju faktorizēsim un darīsim to, izmantojot sakņu atrašanas metodi kvadrātvienādojums x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Tātad skaitītājs būs:
Atbilde 
Šī ir tās īpašās vērtības vai noteiktas zonas, kurā funkcija ietilpst, definīcija, kuru ierobežo ierobežojums.
Lai atrisinātu ierobežojumus, ievērojiet noteikumus:
Sapratusi būtību un galveno limita risināšanas noteikumi, jūs iegūsit pamata izpratni par to risināšanu.
Pastāvīgs skaitlis A sauca ierobežojums sekvences(x n ), ja jebkuram patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlimε > 0 ir skaitlis N, kuram ir visas vērtības x n, kuriem n>N, apmierina nevienādību
|x n - a|< ε. (6.1)
Pierakstiet to šādi: vai x n → a.
Nevienādība (6.1) ir ekvivalenta dubultajai nevienādībai
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
kas nozīmē, ka punkti x n, sākot no kāda skaitļa n>N, atrodas intervāla (a-ε, a+ ε ), t.i. iekrist jebkurā mazāε -punkta apkaime A.
Tiek izsaukta secība ar ierobežojumu saplūst, citādi - atšķiras.
Funkcijas ierobežojuma jēdziens ir secības ierobežojuma jēdziena vispārinājums, jo secības robežu var uzskatīt par vesela skaitļa argumenta funkcijas x n = f(n) robežu. n.
Dota funkcija f(x) un pieņem a - robežpunktsšīs funkcijas definīcijas domēns D(f), t.i. tāds punkts, kura jebkurā apkārtnē ir kopas D(f) punkti, kas nav a. Punkts a var piederēt vai nepiederēt kopai D(f).
1. definīcija.Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x →a, ja jebkurai argumentu vērtību secībai (x n ), kas tiecas uz A, attiecīgajām sekvencēm (f(x n)) ir tāda pati robeža A.
Šo definīciju sauc definējot funkcijas robežu saskaņā ar Heine, vai " secības valodā”.
2. definīcija. Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x →a, ja, norādot patvaļīgi patvaļīgi mazu pozitīvu skaitli ε, var atrast šādu δ>0 (atkarībā no ε), kas ir paredzēts ikvienam x, guļskaitļa ε-apkaimes A, t.i. Priekš x, apmierinot nevienlīdzību
0 <
x-a< ε
, funkcijas f(x) vērtības atradīsiesSkaitļa A ε-apkaime, t.i.|f(x)-A|<
ε.
Šo definīciju sauc definējot funkcijas robežu saskaņā ar Košī, vai “valodā ε - δ “.
1. un 2. definīcijas ir līdzvērtīgas. Ja funkcija f(x) kā x →ir ierobežojums, vienāds ar A, tas ir uzrakstīts formā
. (6.3)
Gadījumā, ja secība (f(x n)) palielinās (vai samazinās) bez ierobežojumiem jebkurai tuvināšanas metodei x līdz jūsu robežai A, tad teiksim, ka funkcijai f(x) ir bezgalīga robeža, un ierakstiet to šādā formā:
Tiek izsaukts mainīgais (t.i., secība vai funkcija), kura robeža ir nulle bezgala mazs.
Tiek izsaukts mainīgais, kura robeža ir vienāda ar bezgalību bezgala liels.
Lai praksē atrastu robežu, tiek izmantotas šādas teorēmas.
1. teorēma . Ja pastāv visas robežas
(6.4)
(6.5)
(6.6)
komentēt. Izteicieni, piemēram, 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ir nenoteikti, piemēram, divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu daudzumu attiecība, un šāda veida robežas atrašanu sauc par "nenoteiktības atklāšanu".
2. teorēma. (6.7)
tie. var sasniegt robežu, pamatojoties uz jaudu ar nemainīgu eksponentu, jo īpaši, 
;
(6.8)
(6.9)
3. teorēma.
(6.10)
(6.11)
Kur e » 2.7 - naturālā logaritma bāze. Formulas (6.10) un (6.11) sauc par pirmo brīnišķīga robeža un otrā ievērojamā robeža.
Praksē tiek izmantotas arī formulas (6.11.) sekas:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
jo īpaši ierobežojums,
Ja x → a un vienlaikus x > a, pēc tam ierakstiet x→a + 0. Ja konkrēti a = 0, tad simbola 0+0 vietā rakstiet +0. Līdzīgi, ja x→a un tajā pašā laikā x 
un tiek attiecīgi saukti labā robeža Un kreisais ierobežojums funkcijas f(x) punktā A. Lai funkcijai f(x) būtu ierobežojums kā x→a ir nepieciešams un pietiekams, lai 
. Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukts punktā x 0 ja ierobežojums
. (6.15)
Nosacījumu (6.15.) var pārrakstīt šādi:
,
tas ir, pāreja uz robežu zem funkcijas zīmes ir iespējama, ja tā ir nepārtraukta noteiktā punktā.
Ja tiek pārkāpta vienlīdzība (6.15), tad mēs tā sakām plkst x = x o funkciju f(x) Tā ir plaisa Apsveriet funkciju y = 1/x. Šīs funkcijas definīcijas domēns ir kopa R, izņemot x = 0. Punkts x = 0 ir kopas D(f) robežpunkts, jo jebkurā tās apkārtnē, t.i. jebkurā atvērtajā intervālā, kurā ir punkts 0, ir punkti no D(f), bet tas pats nepieder šai kopai. Vērtība f(x o)= f(0) nav definēta, tāpēc punktā x o = 0 funkcijai ir pārtraukums.
Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukta labajā pusē punktā x o ja ierobežojums
,
Un nepārtraukts pa kreisi punktā x o, ja ierobežojums
.
Funkcijas nepārtrauktība punktā xo ir līdzvērtīgs tās nepārtrauktībai šajā punktā gan pa labi, gan pa kreisi.
Lai funkcija kādā punktā būtu nepārtraukta xo, piemēram, labajā pusē, pirmkārt, ir jābūt galīgai robežai, un, otrkārt, šī robeža ir vienāda ar f(x o). Tāpēc, ja nav izpildīts vismaz viens no šiem diviem nosacījumiem, funkcijai būs pārtraukums.
1. Ja robeža pastāv un nav vienāda ar f(x o), tad viņi tā saka funkciju f(x) punktā x o ir pirmā veida plīsums, vai lēciens.
2. Ja limits ir+∞ vai -∞ vai neeksistē, tad viņi saka, ka iekšā punktu xo funkcijai ir pārtraukums otrais veids.
Piemēram, funkcija y = cot x pie x→ +0 ierobežojums ir vienāds ar +∞, kas nozīmē, ka punktā x=0 tam ir otrā veida pārtraukums. Funkcija y = E(x) (vesela daļa no x) punktos ar veselām abscisēm ir pirmā veida pārtraukumi vai lēcieni.
Tiek izsaukta funkcija, kas ir nepārtraukta katrā intervāla punktā nepārtraukts V . Nepārtrauktu funkciju attēlo cieta līkne.
Daudzas problēmas, kas saistītas ar kāda daudzuma nepārtrauktu pieaugumu, noved pie otrās ievērojamās robežas. Pie šādiem uzdevumiem, piemēram, pieder: noguldījumu pieaugums pēc salikto procentu likuma, valsts iedzīvotāju skaita pieaugums, radioaktīvo vielu sabrukšana, baktēriju vairošanās utt.
Apsvērsim Ya. I. Perelman piemērs, sniedzot skaitļa interpretāciju e salikto procentu problēmā. Numurs e ir limits 
. Krājbankās ik gadu pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Ja pievienošanās notiek biežāk, tad kapitāls aug straujāk, jo procentu veidošanā tiek iesaistīta lielāka summa. Ņemsim tīri teorētisku, ļoti vienkāršotu piemēru. Lai bankā nogulda 100 deniņus. vienības pamatojoties uz 100% gadā. Ja procentu naudu pamatkapitālam pievieno tikai pēc gada, tad līdz šim periodam 100 den. vienības pārvērtīsies 200 naudas vienībās. Tagad paskatīsimies, par ko pārvērtīsies 100 denize. vienības, ja ik pēc sešiem mēnešiem pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Pēc sešiem mēnešiem 100 den. vienības pieaugs līdz 100×
1,5 = 150, un vēl pēc sešiem mēnešiem - 150×
1,5 = 225 (den. vienības). Ja pievienošanās notiek ik pēc 1/3 gada, tad pēc gada 100 den. vienības pārvērtīsies par 100× (1 +1/3) 3 collas 237 (den. vienības). Palielināsim procentu naudas pieskaitīšanas termiņus līdz 0,1 gadam, līdz 0,01 gadam, līdz 0,001 gadam utt. Tad no 100 den. vienības pēc gada būs:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vienības),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vienības),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vienības).
Neierobežoti samazinot procentu pieskaitīšanas termiņus, uzkrātais kapitāls nepalielinās bezgalīgi, bet tuvojas noteiktai robežai, kas ir aptuveni 271. 100% gadā noguldītais kapitāls nevar palielināties vairāk kā 2,71 reizi, pat ja uzkrātie procenti tika pievienoti galvaspilsētai katru sekundi, jo limits
Piemērs 3.1.Izmantojot skaitļu virknes robežas definīciju, pierādiet, ka secībai x n =(n-1)/n ir robeža, kas vienāda ar 1.
Risinājums.Mums tas jāpierāda neatkarīgi no tāε > 0 neatkarīgi no tā, ko mēs ņemam, viņam ir kaut kas dabiskais skaitlis N, tā, ka visiem n N pastāv nevienādība|x n -1|< ε.
Ņemsim jebkuru e > 0. Kopš ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tad lai atrastu N pietiek atrisināt nevienādību 1/n< e. Tādējādi n>1/e un tāpēc N var uzskatīt par veselu skaitļa daļu no 1/ e , N = E(1/e ). Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka robeža .
3. piemērs.2
. Atrodiet secības robežu, ko nosaka kopīgs termins 
.
Risinājums.Pielietosim summas teorēmas robežu un atradīsim katra termina robežu. Kad n→ ∞ katra vārda skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, un mēs nevaram tieši pielietot koeficienta ierobežojumu teorēmu. Tāpēc vispirms mēs pārveidojam x n, dalot pirmā vārda skaitītāju un saucēju ar n 2, un otrais ieslēgts n. Tad, piemērojot koeficienta robežu un summas teorēmas robežu, mēs atrodam:
.
Piemērs 3.3. 
. Atrast.
Risinājums. 
.
Šeit mēs izmantojām pakāpes teorēmu: pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi.
3. piemērs.4
. Atrast ( 
).
Risinājums.Nav iespējams piemērot atšķirības teorēmas robežu, jo mums ir formas nenoteiktība ∞-∞ . Pārveidosim vispārīgā termina formulu:
.
3. piemērs.5 . Ir dota funkcija f(x)=2 1/x. Pierādiet, ka nav ierobežojumu.
Risinājums.Izmantosim funkcijas robežas 1 definīciju caur secību. Ņemsim secību ( x n ), kas saplūst ar 0, t.i. Parādīsim, ka vērtība f(x n)= dažādām sekvencēm darbojas atšķirīgi. Pieņemsim, ka x n = 1/n. Acīmredzot, tad robeža 
Ļaujiet mums tagad izvēlēties kā x n secība ar kopīgu terminu x n = -1/n, arī tiecas uz nulli. 
Tāpēc ierobežojumu nav.
3. piemērs.6 . Pierādiet, ka nav ierobežojumu.
Risinājums.Lai x 1 , x 2 ,..., x n ,... ir secība, kurai
. Kā secība (f(x n)) = (sin x n) darbojas dažādiem x n → ∞
Ja x n = p n, tad sin x n = sin p n = 0 visiem n un limits Ja
x n =2 p n+ p /2, tad sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiem n un tāpēc robeža. Tātad tas neeksistē.
Logrīks limitu aprēķināšanai tiešsaistē
Augšējā logā sin(x)/x vietā ievadiet funkciju, kuras limitu vēlaties atrast. Apakšējā logā ievadiet skaitli, uz kuru x tiecas, un noklikšķiniet uz pogas Aprēķināt, iegūstiet vēlamo limitu. Un, ja rezultātu logā augšējā labajā stūrī noklikšķināsit uz Rādīt darbības, jūs iegūsit detalizētu risinājumu.
Noteikumi funkciju ievadīšanai: sqrt(x)- Kvadrātsakne, cbrt(x) — kuba sakne, exp(x) — eksponents, ln(x) — naturālais logaritms, sin(x) – sinuss, cos(x) – kosinuss, tan(x) – tangenss, cot(x) – kotangenss, arcsin(x) – arkosīns, arccos(x) – arkosīns, arctan(x) – arktangenss. Pazīmes: * reizināšana, / dalīšana, ^ kāpināšana, vietā bezgalība Bezgalība. Piemērs: funkcija tiek ievadīta kā sqrt(tan(x/2)).
