Skatiet, kas ir "CONDITIONAL EXTREME" citās vārdnīcās:

Relatīvais ekstrēmums, n + t mainīgo funkcijas f (x1,..., xn + m) ekstrēmums, pieņemot, ka uz šiem mainīgajiem attiecas papildu t savienojuma vienādojumi (nosacījumi): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (sk. …trem (*)).

Ļaujiet atvērtajai kopai un dot funkcijas. Ļaujiet būt. Šos vienādojumus sauc par ierobežojumu vienādojumiem (terminoloģija ir aizgūta no mehānikas). Ļaujiet G ... Wikipedia definēt funkciju

- (no latīņu extremum extreme) nepārtrauktas funkcijas f (x) vērtība, kas ir vai nu maksimums, vai minimums. Precīzāk: funkcijai f (x), kas ir nepārtraukta punktā x0, ir maksimums (minimums) punktā x0, ja ir šī punkta apkārtne (x0 + δ, x0 δ), ... ... Lielā padomju enciklopēdija

Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet sadaļu Extreme (nozīmes). Ekstrēmums (latīņu extremum extreme) matemātikā ir funkcijas maksimālā vai minimālā vērtība noteiktā kopā. Punkts, kurā tiek sasniegts galējais punkts, ir ... ... Wikipedia

Funkcija, ko izmanto problēmu risināšanai nosacīts ekstrēms vairāku mainīgo un funkcionālo funkciju funkcijas. Ar L. f. tiek ierakstīti nepieciešamos nosacījumus nosacītā ekstrēma problēmu optimālums. Nav nepieciešams izteikt tikai mainīgos... Matemātiskā enciklopēdija

Matemātiskā disciplīna, kas veltīta mainīgo funkciju ekstrēmo (maksimālo un minimālo) vērtību atrašanai atkarībā no vienas vai vairāku funkciju izvēles. In un. ir šīs nodaļas dabiska attīstība…… Lielā padomju enciklopēdija

Mainīgie lielumi, ar kuru palīdzību tiek konstruēta Lagranža funkcija nosacītā ekstrēma problēmu izpētē. L. m un Lagranža funkcijas izmantošana ļauj vienveidīgi iegūt nepieciešamos optimāluma nosacījumus uzdevumos nosacītam galējībai ... Matemātiskā enciklopēdija

Variāciju aprēķins ir funkcionālās analīzes nozare, kas pēta funkcionālo variantu variācijas. Tipiskākais variāciju aprēķina uzdevums ir atrast funkciju, uz kuras dotā funkcija sasniedz ... ... Wikipedia

Matemātikas sadaļa, kas veltīta metožu izpētei, lai atrastu funkcionālo ekstrēmu, kas ir atkarīgas no vienas vai vairāku funkciju izvēles saskaņā ar dažāda veida ierobežojumiem (fāze, diferenciālis, integrālis utt.), kas uzlikts šīm ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Variāciju aprēķins ir matemātikas nozare, kas pēta funkcionālu variācijas. Tipiskākais variāciju aprēķina uzdevums ir atrast funkciju, uz kuras funkcionālā sasniedz galējo vērtību. Metodes ... ... Wikipedia

Grāmatas

• Lekcijas par kontroles teoriju. 2. sējums. Optimāla kontrole, V. Boss. Aplūkotas klasiskās optimālās kontroles teorijas problēmas. Prezentācija sākas ar optimizācijas pamatjēdzieniem ierobežotu dimensiju telpās: nosacītais un beznosacījuma ekstrēmums, ...

Piemērs

Atrodiet funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu X Un plkst ir saistīti ar attiecību: . Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses
lidmašīna
.

Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
atrast
X:

ar nosacījumu, ka
, kas samazināts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas galējību intervālā
.

Ģeometriski problēma nozīmē: uz elipses ko iegūst, šķērsojot cilindru
lidmašīna
, ir jāatrod pieteikuma maksimālā vai minimālā vērtība (9. att.). Šo problēmu var atrisināt šādi: no vienādojuma
atrast
. Ievietojot atrasto y vērtību plaknes vienādojumā, iegūstam viena mainīgā funkciju X:

Līdz ar to funkcijas galējības atrašanas problēma
ar nosacījumu, ka
, kas reducēts līdz problēmai atrast viena mainīgā funkcijas ekstrēmu segmentā.

Tātad, nosacījuma ekstrēma atrašanas problēma ir mērķfunkcijas galējības atrašanas problēma
, ar nosacījumu, ka mainīgie X Un plkst ievērojot ierobežojumu
sauca savienojuma vienādojums.

Mēs to teiksim punkts
, izpildot ierobežojuma vienādojumu, ir lokālā nosacītā maksimuma punkts (minimums), ja ir apkaime
tāds, ka par jebkuriem punktiem
, kuras koordinātas apmierina ierobežojumu vienādojumu, pastāv nevienādība.

Ja no komunikācijas vienādojuma ir iespējams atrast izteiksmi priekš plkst, tad, aizstājot šo izteiksmi ar sākotnējo funkciju, mēs to pārvēršam par viena mainīgā kompleksu funkciju X.

Vispārējā metode nosacītās ekstremitātes problēmas risināšanai ir Lagranža reizinātāja metode. Izveidosim palīgfunkciju, kur ─ kādu numuru. Šo funkciju sauc Lagranža funkcija, A ─ Lagranža reizinātājs. Tādējādi nosacītā ekstrēma atrašanas problēma ir samazināta līdz Lagranža funkcijas lokālo ekstrēma punktu atrašanai. Lai atrastu iespējamās ekstremitātes punktus, ir jāatrisina 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem x, y Un.

Tad vajadzētu izmantot šādu pietiekamu ekstremitāšu nosacījumu.

TEORĒMA. Lai punkts ir Lagranža funkcijas iespējamā galējības punkts. Mēs pieņemam, ka punkta tuvumā
pastāv nepārtraukti funkciju otrās kārtas daļējie atvasinājumi Un . Apzīmē

Tad ja
, Tas
─ funkcijas nosacījuma galējais punkts
pie ierobežojuma vienādojuma
tikmēr, ja
, Tas
─ nosacītais minimālais punkts, ja
, Tas
─ nosacītā maksimuma punkts.

§8. Gradients un virziena atvasinājums

Ļaujiet funkcijai
definēts kādā (atvērtā) domēnā. Apsveriet jebkuru punktu
šis laukums un jebkura virzīta taisne (ass) kas iet caur šo punktu (1. att.). Ļaujiet
- kāds cits šīs ass punkts,
- segmenta garums starp
Un
, ņemts ar plus zīmi, ja virziens
sakrīt ar ass virzienu , un ar mīnusa zīmi, ja to virzieni ir pretēji.

Ļaujiet
tuvojas bezgalīgi
. Ierobežot

sauca funkcijas atvasinājums
virzienā (vai pa asi ) un tiek apzīmēts šādi:

.

Šis atvasinājums raksturo funkcijas "izmaiņu ātrumu" punktā
virzienā . Jo īpaši un parastie daļējie atvasinājumi ,var uzskatīt arī par atvasinājumiem "attiecībā uz virzienu".

Pieņemsim, ka tagad funkcija
ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi aplūkotajā reģionā. Ļaujiet asij veido leņķus ar koordinātu asīm
Un . Saskaņā ar izdarītajiem pieņēmumiem virziena atvasinājums pastāv un tiek izteikts ar formulu

.

Ja vektors
nosaka tās koordinātas
, tad funkcijas atvasinājums
vektora virzienā
var aprēķināt, izmantojot formulu:

.

Vektors ar koordinātām
sauca gradienta vektors funkcijas
punktā
. Gradienta vektors norāda funkcijas visātrākā pieauguma virzienu dotajā punktā.

Piemērs

Dota funkcija , punkts A(1, 1) un vektors
. Atrast: 1) grad z punktā A; 2) atvasinājums punktā A vektora virzienā .

Dotās funkcijas parciālie atvasinājumi punktā
:

;
.

Tad funkcijas gradienta vektors šajā punktā ir:
. Gradienta vektoru var arī uzrakstīt, izmantojot vektora izvēršanu Un :

. Funkcijas atvasinājums vektora virzienā :

Tātad,
,
.◄

Nosacīti ekstrēmi.

Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma

Mazākā kvadrāta metode.

FNP lokālais ekstrēms

Ļaujiet funkcijai Un= f(P), RÎDÌR n un ļaujiet punktam Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –iekšējais kopas punkts D.

Definīcija 9.4.

1) Punktu P 0 sauc maksimālais punkts funkcijas Un= f(P) ja šim punktam U(P 0) Ì D ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , nosacījums f(P) £ f(P0) . Nozīme f(P 0) funkcijas maksimālajā punktā tiek izsauktas funkcijas maksimums un apzīmēts f(P 0) = maks f(P) .

2) Tiek izsaukts punkts P 0 minimālais punkts funkcijas Un= f(P) ja pastāv šī punkta U(P 0)Ì D apkārtne tā, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0, nosacījums f(P)³ f(P0) . Nozīme f(P 0) funkcijas minimālajā punktā tiek izsauktas funkcijas minimums un apzīmēts f(P 0) = min f(P).

Tiek izsaukts funkcijas minimālais un maksimālais punkts ekstrēmi punkti, tiek izsauktas funkcijas vērtības galējos punktos funkciju ekstremitāte.

Kā izriet no definīcijas, nevienlīdzības f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) jāveic tikai noteiktā punkta Р 0 apkārtnē, nevis visā funkcijas apgabalā, kas nozīmē, ka funkcijai var būt vairākas viena veida ekstrēmas (vairāki minimumi, vairāki maksimumi). Tāpēc tiek sauktas iepriekš definētās galējības vietējā(lokālās) galējības.

Teorēma 9.1. (nepieciešams nosacījums FNP ekstrēmam)

Ja funkcija Un= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ir ekstrēms punktā P 0 , tad tā pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šajā punktā ir vai nu vienādi ar nulli, vai arī neeksistē.

Pierādījums.Ļaujiet punktā Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija Un= f(P) ir galējība, piemēram, maksimums. Labosim argumentus X 2 , ..., x n, liekot X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Tad Un= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) ir viena mainīgā funkcija X 1 . Tā kā šai funkcijai ir X 1 = A 1 ekstremitāte (maksimums), tad f 1 ¢=0 vai nepastāv, kad X 1 =A 1 (nepieciešams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Bet , tad vai neeksistē punktā P 0 - galējības punkts. Līdzīgi mēs varam apsvērt daļējus atvasinājumus attiecībā uz citiem mainīgajiem. CHTD.

Tiek saukti funkcijas apgabala punkti, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē. kritiskie punkti šī funkcija.

Kā izriet no 9.1. teorēmas, FNP galējie punkti ir jāmeklē starp funkcijas kritiskajiem punktiem. Bet, kas attiecas uz viena mainīgā funkciju, ne katrs kritiskais punkts ir galējais punkts.

Teorēma 9.2

Lai Р 0 ir funkcijas kritiskais punkts Un= f(P) un ir šīs funkcijas otrās kārtas diferenciālis. Tad

un ja d 2 u(P 0) > 0 priekš , tad Р 0 ir punkts minimums funkcijas Un= f(P);

b) ja d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimums funkcijas Un= f(P);

c) ja d 2 u(P 0) nav definēts ar zīmi, tad P 0 nav galējības punkts;

Mēs izskatām šo teorēmu bez pierādījumiem.

Ņemiet vērā, ka teorēmā nav aplūkots gadījums, kad d 2 u(P 0) = 0 vai neeksistē. Tas nozīmē, ka jautājums par ekstrēma klātbūtni punktā P 0 šādos apstākļos paliek atklāts - mums ir nepieciešams papildu pētījumi, piemēram, pārbaudot funkcijas pieaugumu šajā punktā.

Detalizētākos matemātikas kursos tiek pierādīts, ka jo īpaši funkcijai z = f(x,y) no diviem mainīgajiem, kuru otrās kārtas diferenciālis ir formas summa

var vienkāršot pētījumu par ekstremuma klātbūtni kritiskajā punktā Р 0.

Apzīmē , , . Sastādiet determinantu

.

Izrādās:

d 2 z> 0 punktā P 0, t.i. P 0 - minimālais punkts, ja A(P 0) > 0 un D (P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ja D(P 0)< 0, то d 2 z punkta tuvumā Р 0 maina zīmi un punktā Р 0 nav ekstrēma;

ja D(Р 0) = 0, tad nepieciešami arī papildu pētījumi par funkciju kritiskā punkta Р 0 tuvumā.

Tādējādi funkcijai z = f(x,y) divi mainīgie, mums ir šāds algoritms (sauksim to par "algoritmu D"), lai atrastu galējību:

1) Atrodiet definīcijas domēnu D( f) funkcijas.

2) Atrast kritiskos punktus, t.i. punkti no D( f), kuriem un ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

3) Katrā kritiskajā punktā P 0 pārbaudi pietiekami apstākļi ekstremitāte. Lai to izdarītu, atrodiet , kur , , un aprēķina D(Р 0) un A(P 0). Pēc tam:

ja D(Р 0) >0, tad punktā Р 0 ir ekstrēmums, turklāt, ja A(P 0) > 0 - tad tas ir minimums, un ja A(P 0)< 0 – максимум;

ja D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ja D(Р 0) = 0, tad nepieciešami papildu pētījumi.

4) Aprēķināt funkcijas vērtību atrastajos galējības punktos.

Piemērs1.

Atrodiet funkcijas galējību z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Risinājums.Šīs funkcijas domēns ir visa koordinātu plakne. Atradīsim kritiskos punktus.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Pārbaudīsim, vai ir izpildīti pietiekami ekstrēmi nosacījumi. Atradīsim

6X, = -3, = 48plkst Un = 288hu – 9.

Tad D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - punktā Р 1 ir ekstrēmums, un kopš tā laika A(P 1) = 3 > 0, tad šis ekstrēmums ir minimums. Tātad min z=z(P1) = .

2. piemērs

Atrodiet funkcijas galējību .

Risinājums: D( f) = R 2 . Kritiskie punkti: ; neeksistē plkst plkst= 0, tātad P 0 (0,0) ir šīs funkcijas kritiskais punkts.

2, = 0, = , = , bet D(Р 0) nav definēts, tāpēc nav iespējams izpētīt tā zīmi.

Tā paša iemesla dēļ nav iespējams tieši pielietot teorēmu 9.2. − d 2 zšajā brīdī nepastāv.

Apsveriet funkcijas pieaugumu f(x, y) punktā Р 0 . Ja D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, tad P 0 ir minimālais punkts, ja D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Mums ir mūsu gadījumā

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Pie D x= 0,1 un D y= -0,008 mēs iegūstam D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 un D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.i. punkta Р 0 tuvumā ne nosacījums D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0), un tāpēc P 0 nav maksimālais punkts), ne arī nosacījums D f>0 (t.i. f(x, y) > f(0, 0) un tad Р 0 nav minimālais punkts). Tātad, pēc ekstrēma definīcijas, dotā funkcija nav galējību.

Nosacīti ekstrēmi.

Tiek izsaukts aplūkotais funkcijas ekstrēms beznosacījuma, jo funkcijas argumentiem netiek noteikti nekādi ierobežojumi (nosacījumi).

Definīcija 9.2. Funkciju ekstremitāte Un = f(X 1 , X 2 , ... , x n), konstatēts ar nosacījumu, ka tās argumenti X 1 , X 2 , ... , x n izpildīt vienādojumus j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kur P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tiek saukts nosacīts ekstrēms .

Vienādojumi j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, tiek saukti savienojuma vienādojumi.

Apsveriet funkcijas z = f(x,y) no diviem mainīgajiem. Ja ir tikai viens ierobežojuma vienādojums, t.i. , tad nosacījuma ekstrēma atrašana nozīmē, ka ekstrēmums tiek meklēts nevis visā funkcijas jomā, bet gan kādā līknē, kas atrodas D( f) (t.i., netiek meklēti virsmas augstākie vai zemākie punkti z = f(x,y), un augstākie vai zemākie punkti starp šīs virsmas krustošanās punktiem ar cilindru , 5. att.).

Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f(x,y) no diviem mainīgajiem var atrast šādā veidā( eliminācijas metode). No vienādojuma izsakiet vienu no mainīgajiem kā funkciju no otra (piemēram, rakstiet ) un, aizstājot šo mainīgā vērtību funkcijā , ierakstiet pēdējo kā viena mainīgā funkciju (aplūkotajā gadījumā ). Atrodiet viena mainīgā iegūtās funkcijas ekstrēmu.

Vairāku mainīgo funkciju ekstrēma. Nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Pietiekams stāvoklis ekstremitātei. Nosacīti ekstrēmi. Lagranža reizinātāju metode. Lielāko un mazāko vērtību atrašana.

5. lekcija

Definīcija 5.1. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca maksimālais punkts funkcijas z = f(x, y), Ja f (x o , y o) > f(x, y) visiem punktiem (x, y) M 0.

Definīcija 5.2. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca minimālais punkts funkcijas z = f(x, y), Ja f (x o , y o) < f(x, y) visiem punktiem (x, y) no kādas punkta apkārtnes M 0.

Piezīme 1. Tiek izsaukts maksimālais un minimālais punkts ekstremālie punkti vairāku mainīgo funkcijas.

2. piezīme. Ekstrēmuma punkts jebkura skaita mainīgo funkcijai tiek definēts līdzīgi.

Teorēma 5.1(nepieciešamie ekstrēmi apstākļi). Ja M 0 (x 0, y 0) ir funkcijas galējais punkts z = f(x, y), tad šajā brīdī šīs funkcijas pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

Pierādījums.

Fiksēsim mainīgā vērtību plkst skaitīšana y = y 0. Pēc tam funkcija f(x, y0) būs viena mainīgā funkcija X, par kuru x = x 0 ir galējais punkts. Tāpēc pēc Fermā teorēmas vai neeksistē. Tas pats apgalvojums ir pierādīts attiecībā uz .

Definīcija 5.3. Punktus, kas pieder vairāku mainīgo funkcijas domēnam, kuros funkcijas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc stacionāri punktišī funkcija.

komentēt. Tādējādi ekstrēmu var sasniegt tikai stacionāros punktos, bet tas nav obligāti novērojams katrā no tiem.

Teorēma 5.2(pietiekami apstākļi ekstrēmam). Ielaidiet kādu punkta apkārtni M 0 (x 0, y 0), kas ir funkcijas stacionārs punkts z = f(x, y),šai funkcijai ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi līdz 3. kārtai ieskaitot. Pēc tam apzīmējiet:

1) f(x, y) ir punktā M 0 maksimums, ja AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ir punktā M 0 minimums, ja AC-B² > 0, A > 0;

3) kritiskajā punktā nav ekstrēma, ja AC-B² < 0;

4) ja AC-B² = 0, ir nepieciešami papildu pētījumi.

Pierādījums.

Uzrakstīsim funkcijas otrās kārtas Teilora formulu f(x, y), paturot prātā, ka stacionārā punktā pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:

Kur Ja leņķis starp segmentu M 0 M, Kur M (x 0+Δ x, y 0+Δ plkst) un O ass X apzīmē φ, tad Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Šajā gadījumā Teilora formula būs šāda: . Ļaujiet Tad mēs varam dalīt un reizināt izteiksmi iekavās ar A. Mēs iegūstam:

Apsveriet tagad četrus iespējamie gadījumi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pietiekami mazam Δρ. Tāpēc kādā apkaimē M 0 f (x 0 + Δ x, y 0+Δ y)< f(x0, y0), tas ir M 0 ir maksimālais punkts.

2) Ļaujiet AC-B² > 0, A > 0. Tad , Un M 0 ir minimālais punkts.

3) Ļaujiet AC-B² < 0, A> 0. Apsveriet argumentu pieaugumu gar staru φ = 0. Tad no (5.1) izriet, ka , tas ir, pārvietojoties pa šo staru, funkcija palielinās. Ja virzāmies pa staru tā, ka tg φ 0 \u003d -A/B, Tas , tāpēc, pārvietojoties pa šo staru, funkcija samazinās. Tātad punkts M 0 nav galējs punkts.

3`) Kad AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

līdzīgs iepriekšējam.

3``) Ja AC-B² < 0, A= 0, tad . Kurā . Tad pietiekami mazam φ izteiksme 2 B cos + C sinφ tuvu 2 IN, tas ir, tas saglabā nemainīgu zīmi, un sinφ maina zīmi punkta tuvumā M 0 . Tas nozīmē, ka funkcijas pieaugums maina zīmi stacionārā punkta tuvumā, kas tāpēc nav galējais punkts.

4) Ja AC-B² = 0 un , , tas ir, pieauguma zīmi nosaka zīme 2α 0 . Tajā pašā laikā ir nepieciešami turpmāki pētījumi, lai noskaidrotu jautājumu par ekstrēma esamību.

Piemērs. Atradīsim funkcijas galējos punktus z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Stacionāro punktu meklēšanai mēs atrisinām sistēmu . Tātad stacionārais punkts ir (-2,-1). Kurā A = 2, IN = -2, AR= 4. Tad AC-B² = 4 > 0, līdz ar to stacionārajā punktā tiek sasniegts galējais punkts, proti, minimums (jo A > 0).

Definīcija 5.4. Ja funkcijas argumenti f (x 1 , x 2 ,…, x n) savienots papildu nosacījumi kā m vienādojumi ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kur funkcijām φ i ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad sauc vienādojumus (5.2) savienojuma vienādojumi.

Definīcija 5.5. Funkciju ekstremitāte f (x 1 , x 2 ,…, x n) apstākļos (5.2) sauc nosacīts ekstrēms.

komentēt. Mēs varam piedāvāt šādu divu mainīgo funkcijas nosacītā galējības ģeometrisko interpretāciju: ļaujiet funkcijas argumentiem f(x,y) ir saistīti ar vienādojumu φ (x, y)= 0, definējot kādu līkni plaknē O hu. Atjaunojot no katra šīs līknes punkta perpendikulārus plaknei O hu pirms šķērsot virsmu z = f (x, y), iegūstam telpisku līkni, kas atrodas uz virsmas virs līknes φ (x, y)= 0. Problēma ir atrast iegūtās līknes galējos punktus, kas, protams, vispārējs gadījums nesakrīt ar funkcijas beznosacījuma galējības punktiem f(x,y).

Definēsim nepieciešamos nosacītos ekstremālos nosacījumus divu mainīgo funkcijai, iepriekš ieviešot šādu definīciju:

Definīcija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+ λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Kur λ i - dažas konstantes, ko sauc Lagranža funkcija un skaitļi λ i– nenoteiktie Lagranža reizinātāji.

Teorēma 5.3(nepieciešamie nosacīti ekstremālie nosacījumi). Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f(x, y) ierobežojuma vienādojuma φ ( x, y)= 0 var sasniegt tikai Lagranža funkcijas stacionārajos punktos L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Pierādījums. Ierobežojuma vienādojums definē netiešu atkarību plkst no X, tāpēc mēs to pieņemsim plkst ir funkcija no X: y = y(x). Tad z ir sarežģīta funkcija X, un tā kritiskos punktus nosaka nosacījums: . (5.4) No ierobežojuma vienādojuma izriet, ka . (5.5)

Vienādību (5.5) reizinām ar kādu skaitli λ un pievienojam (5.4). Mēs iegūstam:

, vai .

Pēdējai vienādībai ir jāsaglabājas stacionārajos punktos, no kuriem izriet:

(5.6)

Tiek iegūta trīs vienādojumu sistēma trim nezināmajiem: x, y un λ, kur pirmie divi vienādojumi ir Lagranža funkcijas stacionārā punkta nosacījumi. Izslēdzot no sistēmas (5.6.) papildu nezināmo λ, atrodam to punktu koordinātas, kuros sākotnējā funkcijai var būt nosacīts ekstrēms.

1. piezīme. Nosacītā ekstrēma esamību atrastajā punktā var pārbaudīt, pētot Lagranža funkcijas otrās kārtas parciālos atvasinājumus pēc analoģijas ar 5.2. teorēmu.

Piezīme 2. Punkti, kuros var sasniegt funkcijas nosacīto galējo punktu f (x 1 , x 2 ,…, x n) apstākļos (5.2.), var definēt kā sistēmas risinājumus (5.7)

Piemērs. Atrodiet funkcijas nosacīto ekstrēmu z = xy Atsaucoties uz x + y= 1. Sastādiet Lagranža funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistēma (5.6) izskatās šādi:

No kurienes -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Kurā L (x, y) var attēlot kā L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, tātad atrastajā stacionārajā punktā L (x, y) ir maksimālais un z = xy - nosacītais maksimums.

Lai funkcija z - f(x, y) ir definēta kādā jomā D un Mo(xo, y0) ir šī domēna iekšējais punkts. Definīcija. Ja ir tāds skaitlis, ka visiem nosacījumiem nevienlīdzība ir patiesa, tad punktu Mo(xo, yo) sauc par punktu vietējais maksimums funkcijas /(x, y); ja tomēr visiem Dx, Du atbilst nosacījumiem | tad punktu Mo(x0, y0) sauc par smalko lokālo minimumu. Citiem vārdiem sakot, punkts M0(x0, y0) ir funkcijas f(x, y) maksimuma vai minimuma punkts, ja pastāv punkta A/o(xo, y0) 6-apkaime tā, ka funkcijas pieaugums saglabā zīmi visos šīs apkārtnes punktos M(x, y). Piemēri. 1. Funkcijai punkts ir minimālais punkts (17. att.). 2. Funkcijai punkts 0(0,0) ir maksimālais punkts (18. att.). 3. Funkcijai punkts 0(0,0) ir vietējais maksimālais punkts. 4 Patiešām, eksistē punkta 0(0, 0) apkārtne, piemēram, aplis ar rādiusu j (sk. 19. att.), kura jebkurā punktā, kas atšķiras no punkta 0(0, 0), funkcijas /(x, y) vērtība ir mazāka par 1 = Mēs ņemsim vērā tikai funkcijas stingrā maksimuma un minimuma punktus, kad ir izpildīti noteiktie kvalitātes punkti vai visi stingrie punkti no(x) ed 6-punkta apkaime Mq. Funkcijas vērtību maksimālajā punktā sauc par maksimālo, un funkcijas vērtību minimālajā punktā sauc par šīs funkcijas minimumu. Funkcijas maksimālos un minimālos punktus sauc par funkcijas galējībām, bet pašas funkcijas maksimumus un minimumus sauc par tās galējībām. 11. teorēma (nepieciešams nosacījums ekstrēmam). If funkcija Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacījuma ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākajām un mazākajām vērtībām ir ekstremitāte punktā, tad šajā punktā katrs parciālais atvasinājums un u vai nu pazūd, vai neeksistē. Lai funkcijai z = f(x) y) ir ekstrēmums punktā M0(x0, y0). Piešķirsim mainīgajam y vērtību yo. Tad funkcija z = /(x, y) būs viena mainīgā x funkcija\ Tā kā pie x = xo tai ir ekstrēmums (maksimums vai minimums, 20. att.), tad tās atvasinājums attiecībā uz x = “o, | (*o,l>)" Ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Tāpat mēs pārbaudām, vai a) vai ir vienāds ar nulli, vai arī nepastāv. Punktus, kuros = 0 un u = 0 vai neeksistē, sauc par funkcijas z = Ax, y kritiskajiem punktiem. immt atvasinājumi, kas pazūd. Bet šī funkcija ir maza par funkciju imvat, trum ir vienāds ar punktu 0. Inde) " un pieņem punktus M(x, y), patvaļīgi tuvu punktam 0(0,0), kkk pozitīvas un negatīvas vērtības. Tam, tātad punktos punktos (0, y) patvaļīgi maziem punktiem, šāda veida punktu 0(0, 0) sauc par mini-max punktu (21. att.). Pietiekami nosacījumi divu mainīgo funkcijas ekstrēmam ir izteikti ar šādu teorēmu. 12. teorēma (pietiekami nosacījumi izplūdušo mainīgo ekstrēmumam). Pieņemsim, ka punkts Mo(xo, y0) ir funkcijas f(x, y) stacionārs punkts, un kādā punkta / tai skaitā paša punkta Mo tuvumā, funkcijai f(r, y) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi līdz otrajai pakāpei ieskaitot. Tad "1) punktā Mq(xq, Yo) funkcijai /(x, y) ir maksimums, ja šajā punktā determinantam 2) punktā Mo(x0, Yo) funkcijai /(x, y) ir minimums, ja punktā Mo(x, Y0) funkcijai /(x, y) nav ekstrēma, ja D(xo, y)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) funkcijas f(x, y) galējais punkts var būt un var nebūt. Šajā gadījumā ir nepieciešami papildu pētījumi. Mēs aprobežojamies ar teorēmas 1) un 2) apgalvojumu pierādīšanu. Funkcijas /(i, y) otrās kārtas Teilora formulu uzrakstīsim: kur. Pieņemot, ka ir skaidrs, ka pieauguma D/ zīmi nosaka trinoma zīme (1) labajā pusē, t.i., otrā diferenciāļa zīme d2f. Apzīmēsim īsuma labad. Tad vienādību (l) var uzrakstīt šādi: Pieņemsim, ka punktā MQ(so, Y0) mums ir .. Tā kā, pieņemot, ka funkcijas /(s, y) otrās kārtas parciālie atvasinājumi ir nepārtraukti, nevienādība (3) būs spēkā arī kādā punkta M0(s0,yo) apkārtnē. Ja nosacījums ir izpildīts (punktā A/0, un nepārtrauktības dēļ atvasinājums /,z(s,y) saglabās savu zīmi kādā punkta Af0 tuvumā. Apgabalā, kur A ∆ 0, mums ir No tā ir skaidrs, ka, ja LC - B2 > 0 kādā punkta M0(x0) apkārtnē y0, tad zīmei A un C2 nevar atšķirties trinomināls). Tā kā summas AAs2 + 2BAxAy + CAy2 zīme punktā (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) nosaka starpības zīmi, mēs nonākam pie šāda secinājuma: ja ir izpildīts nosacījums funkcijai f(s, y) stacionārajā punktā (s0, yo), tad pietiekami mazam || nevienlīdzība pastāvēs. Tādējādi punktā (sq, y0) funkcijai /(s, y) ir maksimums. Bet, ja nosacījums ir izpildīts stacionārajā punktā (s0, yo), tad visiem pietiekami mazs |Ar| un |Darīt| nevienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka funkcijai /(s, y) ir minimums punktā (tā, yo). Piemēri. 1. Ekstrēma funkcijas 4 izpēte Izmantojot ekstrēmam nepieciešamos nosacījumus, mēs meklējam funkcijas stacionāros punktus. Lai to izdarītu, mēs atrodam daļējos atvasinājumus u un pielīdzinām tos nullei. Mēs iegūstam vienādojumu sistēmu, no kurienes - stacionārs punkts. Tagad izmantosim 12. teorēmu. Mums ir Tātad punktā Ml ir ekstrēms. Jo tas ir minimums. Ja mēs pārveidojam funkciju r uz formu, tad to ir viegli redzēt labā daļa (") būs minimums, kad ir dotās funkcijas absolūtais minimums. 2. Izpētīt funkciju ekstrēmumam Atrodam funkcijas stacionāros punktus, kuriem sastādām vienādojumu sistēmu No šejienes tā, lai punkts būtu stacionārs. Tā kā, pamatojoties uz 12. teorēmu, punktā M nav ekstrēma. * 3. Ekstrēma funkcijas izpēte Atrodiet funkcijas stacionāros punktus. No vienādojumu sistēmas iegūstam to, ka punkts ir stacionārs. Turklāt 12. teorēma nesniedz atbildi uz jautājumu par ekstrēma esamību vai neesamību. Darīsim to šādi. Funkcijai par visiem punktiem, izņemot punktu, lai pēc definīcijas punktā A/o(0,0) funkcijai r būtu absolūtais minimums. Ar analoģisku žāvēšanu mēs nosakām, ka funkcijai punktā ir maksimums, bet funkcijai punktā nav galējības. Lai η neatkarīgo mainīgo funkcija ir diferencējama punktā Punktu Mo sauc par funkcijas ja stacionāro punktu 13. teorēma (pietiekami nosacījumi ekstrēmam). Ļaujiet funkcijai būt definētai un tai ir nepārtraukti otrās kārtas parciālie atvasinājumi noteiktā smalkās līnijas MC(xi..., kas ir stacionāra smalkfunkcija) tuvumā, ja kvadrātiskā forma (funkcijas f otrais diferenciālis smalkajā punktā ir pozitīvs-noteikts (negatīvi noteikts), funkcijas f minimuma punkts (respektīvi, smalkais maksimums) ir pozitīvs, definite, piemēram, pozitīvs esteris. kvadrātformas noteiktība. 15.2. Nosacījuma galējība Līdz šim visā tās definīcijas apgabalā esam meklējuši funkcijas lokālās ekstrēmas, kad funkcijas argumentus nesaista nekādi papildu nosacījumi. Šādas ekstrēmas tiek sauktas par beznosacījuma. Taču bieži rodas problēmas, meklējot tā saukto nosacīto ekstrēmu. Ļaujiet, lai funkcija L.x, thezz =ve definēta a. šajā apgabalā, un ir jāatrod funkcijas f(x> y) ekstrēmi tikai starp tām tās vērtībām, kas atbilst līknes L punktiem. Ekstrēmas tiek sauktas arī par funkcijas z = f(x) y) nosacītajām ekstremitātēm līknē L. Punkta M0 (x0, Yo) apkārtnes definīcija un L ir atšķirīga no punkta M0 (x0, Yo) un atšķiras no nosacījuma M0 (If punkta atrašana, tad problēma). funkcijas r - f (x, y) ekstrēmums uz līknes! var formulēt šādi: atrast funkcijas x = /(x, y) ekstrēmu apgabalā D, ar nosacījumu, ka Līdz ar to, atrodot funkcijas z = y nosacīto galējību, argumentus zn vairs nevar uzskatīt par neatkarīgiem mainīgajiem: tos savstarpēji saista sakarība y) = 0, ko sauc par ierobežojuma vienādojumu. Lai izskaidrotu atšķirību starp m «*D y kā beznosacījuma un nosacījuma ekstrēmu, apskatīsim tv piemēru, funkcijas beznosacījuma maksimums (23. att.) ir vienāds ar vienu un tiek sasniegts punktā (0,0). Tas precīzi atbilst pvvboloīda virsotnei M. Saskaitīsim ierobežojuma vienādojumu y = j. Tad nosacītais maksimums acīmredzot būs vienāds.Tas tiek sasniegts punktā (o, |), un tas atbilst pvvboloīda virsotnei Afj, kas ir pvvboloīda krustošanās līnija ar plakni y = j. Beznosacījuma minimuma s gadījumā mums ir mazākais pielietojums starp visiem virsmas ekspliktiem * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv nosacījums - tikai starp vllkvt punktiem pvrboloidv, kas atbilst punktam * no taisnes y = j, nevis no xOy plaknes. Viena no metodēm, kā atrast funkcijas nosacīto ekstrēmu klātbūtnē un savienojumā, ir šāda. Ļaujiet savienojuma vienādojumam y) - O definēt y kā argumenta x vienvērtības diferencējamu funkciju: Funkcijā aizstājot funkciju y vietā, iegūstam viena argumenta funkciju, kurā savienojuma nosacījums jau ir ņemts vērā. Funkcijas (beznosacījuma) galējība ir vēlamais nosacījuma ekstrēms. Piemērs. Atrast funkcijas ekstrēmu pie nosacījuma Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacījuma ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības A No savienojuma vienādojuma (2") atrodam y \u003d 1-x. Šo vērtību y aizstājot (V), iegūstam viena argumenta x funkciju: Pārbaudīsim to a ekstrēmumam: no kurienes ir 0, minimālais nosacījums3 xd \1 funkcija; r (24. att.). Norādīsim citu nosacītā ekstrēma problēmas risināšanas veidu, ko sauc par reizinātāju Lagranda metodi. Lai ir funkcijas nosacītā galējības punkts ierobežojuma klātbūtnē Pieņemsim, ka ierobežojuma vienādojums definē unikālu nepārtraukti diferencējamu funkciju kādā no funkcijas (x, kas attiecas uz atvasinājumu xi) apkārtnē. )) punktā xq ir jābūt vienādam ar nulli vai, kas ir ekvivalents tam, f (x, y) diferenciālei punktā Mo "O) jābūt vienādai ar nulli. No ierobežojuma vienādojuma, kas mums ir (5) termins pa vārdam ar vienādību (4), mums būs (tā mēs pieņemam). Tad dx patvaļības dēļ mēs iegūstam vienādības (6) un (7) izsaka nepieciešamos nosacījumus beznosacījuma ekstrēmumam funkcijas punktā, ko sauc par Lagranža funkciju. Tādējādi funkcijas / (x, y) nosacītā ekstremuma punkts, ja, noteikti ir Lagranža funkcijas stacionārs punkts, kur A ir kāds skaitlisks koeficients. No šejienes mēs iegūstam nosacījumu nosacīto ekstrēmu atrašanai: lai atrastu punktus, kas savienojuma klātbūtnē var būt funkcijas galējās ekstrēmas punkti, 1) sastāda Lagranža funkciju, 2) šīs funkcijas atvasinājumus un W pielīdzina nullei un iegūtajiem vienādojumiem pievieno savienojuma vienādojumu, iegūstam koordinātu sistēmu, no kurām var atrast trīs iespējamos vienādojumus un vienādojumus. punktus. Jautājums par nosacītās ekstrēma esamību un raksturu tiek atrisināts, pamatojoties uz Lagranža funkcijas otrās diferenciāļa zīmes izpēti aplūkotajai vērtību sistēmai x0, Yo, A, kas iegūta no (8) ar nosacījumu, ka Ja, tad punktā (x0, Yo) funkcijai f(x, y) ir nosacīts maksimums; ja d2F > 0 - tad nosacītais minimums. Konkrēti, ja stacionārā punktā (xo, J/o) funkcijas F(x, y) determinants D ir pozitīvs, tad punktā (®o, Yo) ir funkcijas f(x, y) nosacītais maksimums, bet funkcijas f(x, y) nosacītais minimums, ja Piemērs. Atkal pievērsīsimies iepriekšējā piemēra nosacījumiem: atrodam funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu, ka x + y = 1. Uzdevumu atrisināsim, izmantojot Lagranža reizinātāja metodi. Lagrange funkcija iekšā Šis gadījums ir forma Lai atrastu stacionārus punktus, mēs sastādām sistēmu No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem iegūstam, ka x = y. Tad no sistēmas trešā vienādojuma (savienojuma vienādojuma) mēs atklājam, ka x - y = j - iespējamās ekstremitātes punkta koordinātas. Šajā gadījumā (tiek norādīts, ka A \u003d -1. Tādējādi Lagranža funkcija. ir funkcijas * \u003d x2 + y2 nosacījuma minimuma punkts ar nosacījumu, ka funkcijai Lagranžs nav beznosacījuma galējības. P (x, y) vēl nenozīmē nosacīta ekstrēmuma neesamību funkcijas em piemērā (x,extremum of the em) piemērā. Vienādojumu nosacījums y, mēs iegūstam x + y = 0 un nonākam pie sistēmas, no kuras x = y = A = 0. Tādējādi atbilstošajai Lagranža funkcijai ir forma Punktā (0,0) funkcijai F(x, y; 0) nav beznosacījuma galējības, taču funkcijas nosacītais ekstrēmums ir skaidrs, r = xy, kad r = xy. punktā (0,0) ir nosacītais minimums. tiek veikts jebkura argumentu skaita funkciju gadījumā / Savienojuma vienādojumu klātbūtnē meklēsim funkcijas ekstrēmu. Pielīdzinot nullei visus funkcijas F pirmās kārtas parciālos atvasinājumus un saskaitot iegūtajiem vienādojumiem savienojuma vienādojumus (9), iegūstam n + m vienādojumu sistēmu, no kuras nosaka Ab A3|..., Am un koordinātas x\) x2) . » xn iespējamie nosacījuma ekstrēma punkti. Jautājumu par to, vai ar Lagranža metodi atrastie punkti patiešām ir nosacīti ekstrēma punkti, bieži vien var atrisināt, pamatojoties uz fiziskas vai ģeometriskas dabas apsvērumiem. 15.3. Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības Jāatrod lielākā (mazākā) funkcijas vērtība z = /(x, y), nepārtraukta kādā vairākkārt ierobežotā domēnā D. Saskaņā ar 3. teorēmu šajā jomā ir punkts (xo, V0), kurā funkcija iegūst lielāko (mazāko) vērtību. Ja punkts (xo, y0) atrodas domēna D iekšpusē, tad funkcijai / tajā ir maksimums (minimums), tā ka šajā gadījumā mūs interesējošais punkts ir iekļauts starp funkcijas /(x, y) kritiskajiem punktiem. Taču funkcija /(x, y) savu maksimālo (mazāko) vērtību var sasniegt arī pie apgabala robežas. Tāpēc, lai ierobežotā diapazonā atrastu lielāko (mazāko) vērtību, ko ņem funkcija z \u003d / (x, y) slēgta zona 2), ir jāatrod visi šajā reģionā sasniegtie funkcijas maksimumi (minimumi), kā arī funkcijas maksimālā (mazākā) vērtība uz šī apgabala robežas. Lielākais (mazākais) no visiem šiem skaitļiem būs vēlamā maksimālā (mazākā) funkcijas z = /(x, y) vērtība reģionā 27. Parādīsim, kā tas tiek darīts diferencējamas funkcijas gadījumā. Prmmr. Atrodiet apgabala 4 funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Mēs atrodam funkcijas kritiskos punktus apgabalā D. Lai to izdarītu, mēs sastādām vienādojumu sistēmu. No šejienes mēs iegūstam x \u003d y "0, lai punkts 0 (0,0) būtu funkcijas x kritiskais punkts. Kopš Atradīsim funkcijas lielāko un mazāko vērtību uz apgabala D robežas Г. No robežas daļas mums ir tā, ka y \u003d 0 ir kritiskais punkts, un tā kā \u003d tad šajā punktā funkcijas z \u003d 1 + y2 minimums ir vienāds ar vienu. Nozares G galos, punktos (, mums ir. Izmantojot simetrijas apsvērumus, iegūstam tādus pašus rezultātus arī citām robežas daļām. Visbeidzot iegūstam: funkcijas z \u003d x2 + y2 mazākā vērtība reģionā "B" ir vienāda ar nulli un tā tiek sasniegta apgabala iekšējā punktā 0 (0, 0), un augstākā vērtībašīs funkcijas, kas vienāda ar diviem, tiek sasniegts četros robežas punktos (25. att.) 25. att. Uzdevumi Atrodiet funkciju apgabalu: Uzzīmējiet funkciju līmeņa līnijas: 9 Atrodiet trīs neatkarīgu mainīgo funkciju līmeņu virsmas: Aprēķiniet funkciju robežas: Atrodiet funkciju daļējos atvasinājumus un tos. kopējās atšķirības : Atrodiet kompleksu funkciju atvasinājumus: 3 Atrodiet J. Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Ekstrēmuma nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi Nosacīts ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības 34. Izmantojot divu mainīgo kompleksās funkcijas atvasinājuma formulu, atrodiet un funkcijas: 35. Izmantojot divu mainīgo kompleksās funkcijas atvasinājuma formulu, atrodiet |J un funkcijas: Atrodiet jj funkcijas ar tās slīpuma līknes punktu40. taisne x \u003d 3. 41. Atrodiet punktus, kuros x līknes pieskare ir paralēla Ox asij. . Šādos uzdevumos atrodiet un Z: Uzrakstiet virsmas pieskares plaknes un normālās vienādojumus: 49. Uzrakstiet virsmas pieskares plakņu vienādojumus x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, paralēli plaknei x + 4y + 6z \u003d \u003d \u003d. punkts (0, 0). Izmantojot funkcijas ekstrēma definīciju, izpētiet šādas ekstrēmuma funkcijas:). Izmantojot pietiekamus nosacījumus divu mainīgo funkcijas ekstrēmumam, izpētiet funkcijas ekstrēmu: 84. Atrodiet funkcijas z \u003d x2 - y2 lielāko un mazāko vērtību slēgtā aplī 85. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību \u200b\u200b\u200b\u200b\u200vt. \u003d 0, y \u003d 0, x + y \u003d b. 88. Noteikt izmērus taisnstūra āra baseinam ar mazāko virsmu, ja tā tilpums ir vienāds ar V. 87. Atrast izmērus taisnstūra paralēlskaldiņam ar doto kopējo virsmu 5 maksimālā tilpuma. Atbildes 1. un | Kvadrāts, ko veido līnijas segmenti x, ieskaitot tā malas. 3. Koncentrisko gredzenu saime 2= 0,1,2,... .4. Visa plakne, izņemot taisnes y punktus. Plaknes daļa, kas atrodas virs parabolas y \u003d -x?. 8. Apļa punkti x. Visa plakne, izņemot taisnes x Radikālā izteiksme nav negatīva divos gadījumos j * ^ vai j x ^ ^, kas attiecīgi ir ekvivalenta bezgalīgai nevienādību virknei Definīcijas apgabals ir iekrāsoti kvadrāti (26. att.); l kas ir ekvivalents bezgalīgai sērijai Funkcija ir definēta punktos. a) Taisnes, kas ir paralēlas taisnei x b) Koncentriski apļi, kuru centrs ir sākuma punktā. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hiperbolas | .Lidmašīnas xc. 13.Prim - viena dobuma apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi; un ir divu lokšņu apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi, abas virsmu grupas ir atdalītas ar konusu; Nav ierobežojumu, b) 0. 18. Pieņemsim, ka y = kxt, tad z lim z = -2, lai dotajai funkcijai punktā (0,0) nebūtu robežu. 19. a) punkts (0,0); b) punkts (0,0). 20. a) Pārrāvuma līnija - aplis x2 + y2 = 1; b) pārtraukuma līnija ir taisna līnija y \u003d x. 21. a) Pārrāvuma līnijas - koordinātu asis Ox un Oy; b) 0 (tukšs komplekts). 22. Visi punkti (m, n), kur un n ir veseli skaitļi