Vairāku mainīgo funkciju ekstrēma. Nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Pietiekams stāvoklis ekstremitātei. Nosacīts ekstrēms. Lagranža reizinātāju metode. Lielāko un mazāko vērtību atrašana.

5. lekcija

Definīcija 5.1. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca maksimālais punkts funkcijas z = f(x, y), Ja f (x o , y o) > f(x, y) visiem punktiem (x, y) M 0.

Definīcija 5.2. Punkts M 0 (x 0, y 0) sauca minimālais punkts funkcijas z = f(x, y), Ja f (x o , y o) < f(x, y) visiem punktiem (x, y) no kāda punkta apkārtnes M 0.

Piezīme 1. Tiek izsaukts maksimālais un minimālais punkts ekstremālie punkti vairāku mainīgo funkcijas.

2. piezīme. Ekstrēmuma punkts jebkura skaita mainīgo funkcijai tiek definēts līdzīgi.

Teorēma 5.1 (nepieciešamos nosacījumus ekstremāls). Ja M 0 (x 0, y 0) ir funkcijas galējais punkts z = f(x, y), tad šajā brīdī šīs funkcijas pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

Pierādījums.

Fiksēsim mainīgā vērtību plkst skaitīšana y = y 0. Pēc tam funkcija f(x, y0) būs viena mainīgā funkcija X, par kuru x = x 0 ir galējais punkts. Tāpēc pēc Fermā teorēmas vai neeksistē. Tas pats apgalvojums ir pierādīts attiecībā uz .

Definīcija 5.3. Punktus, kas pieder vairāku mainīgo funkcijas domēnam, kuros funkcijas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc. stacionāri punktišī funkcija.

komentēt. Tādējādi ekstrēmu var sasniegt tikai stacionāros punktos, bet tas nav obligāti novērojams katrā no tiem.

Teorēma 5.2 (pietiekami apstākļi ekstremāls). Ielaidiet kādu punkta apkārtni M 0 (x 0, y 0), kas ir funkcijas stacionārs punkts z = f(x, y),šai funkcijai ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi līdz 3. kārtai ieskaitot. Pēc tam apzīmējiet:

1) f(x, y) ir punktā M 0 maksimums, ja AC-B² > 0, A < 0;

2) f(x, y) ir punktā M 0 minimums, ja AC-B² > 0, A > 0;

3) kritiskajā punktā nav ekstrēma, ja AC-B² < 0;

4) ja AC-B² = 0, ir nepieciešami papildu pētījumi.

Pierādījums.

Uzrakstīsim funkcijas otrās kārtas Teilora formulu f(x, y), paturot prātā, ka stacionārā punktā pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:

Kur Ja leņķis starp segmentu M 0 M, Kur M (x 0+Δ x, y 0+Δ plkst) un O ass X apzīmē φ, tad Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Šajā gadījumā Teilora formula būs šāda: . Ļaujiet Tad mēs varam dalīt un reizināt izteiksmi iekavās ar A. Mēs iegūstam:

Apsveriet tagad četrus iespējamie gadījumi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pietiekami mazam Δρ. Tāpēc kādā apkaimē M 0 f (x 0 + Δ x, y 0+Δ y)< f(x0, y0), tas ir M 0 ir maksimālais punkts.

2) Ļaujiet AC-B² > 0, A > 0. Tad , Un M 0 ir minimālais punkts.

3) Ļaujiet AC-B² < 0, A> 0. Apsveriet argumentu pieaugumu gar staru φ = 0. Tad no (5.1) izriet, ka , tas ir, pārvietojoties pa šo staru, funkcija palielinās. Ja virzāmies pa staru tā, ka tg φ 0 \u003d -A/B, Tas , tāpēc, pārvietojoties pa šo staru, funkcija samazinās. Tātad punkts M 0 nav galējs punkts.

3`) Kad AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

līdzīgs iepriekšējam.

3``) Ja AC-B² < 0, A= 0, tad . Kurā . Tad pietiekami mazam φ izteiksme 2 B cos + C sinφ tuvu 2 IN, tas ir, tas saglabā nemainīgu zīmi, un sinφ maina zīmi punkta tuvumā M 0 . Tas nozīmē, ka funkcijas pieaugums maina zīmi stacionārā punkta tuvumā, kas tāpēc nav galējais punkts.

4) Ja AC-B² = 0 un , , tas ir, pieauguma zīmi nosaka zīme 2α 0 . Tajā pašā laikā ir nepieciešami turpmāki pētījumi, lai noskaidrotu jautājumu par ekstrēma esamību.

Piemērs. Atradīsim funkcijas galējos punktus z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Stacionāro punktu meklēšanai mēs atrisinām sistēmu . Tātad stacionārais punkts ir (-2,-1). Kurā A = 2, IN = -2, AR= 4. Tad AC-B² = 4 > 0, līdz ar to stacionārajā punktā tiek sasniegts galējais punkts, proti, minimums (jo A > 0).

Definīcija 5.4. Ja funkcijas argumenti f (x 1 , x 2 ,…, x n) savienots papildu nosacījumi kā m vienādojumi ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kur funkcijām φ i ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi, tad sauc vienādojumus (5.2) savienojuma vienādojumi.

Definīcija 5.5. Funkciju ekstremitāte f (x 1 , x 2 ,…, x n) apstākļos (5.2) sauc nosacīts ekstrēms.

komentēt. Mēs varam piedāvāt šādu divu mainīgo funkcijas nosacītā ekstrēma ģeometrisko interpretāciju: ļaujiet funkcijas argumentiem f(x,y) ir saistīti ar vienādojumu φ (x, y)= 0, definējot kādu līkni plaknē O hu. Atjaunojot no katra šīs līknes punkta perpendikulārus plaknei O hu pirms šķērsot virsmu z = f (x, y), iegūstam telpisku līkni, kas atrodas uz virsmas virs līknes φ (x, y)= 0. Problēma ir atrast iegūtās līknes galējos punktus, kas, protams, vispārējs gadījums nesakrīt ar funkcijas beznosacījuma galējības punktiem f(x,y).

Definēsim nepieciešamos nosacītos ekstremālos nosacījumus divu mainīgo funkcijai, iepriekš ieviešot šādu definīciju:

Definīcija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+ λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Kur λ i - dažas konstantes, ko sauc Lagranža funkcija, un skaitļi λi– nenoteiktie Lagranža reizinātāji.

Teorēma 5.3(nepieciešamie nosacīti ekstremālie nosacījumi). Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f(x, y) ierobežojuma vienādojuma φ ( x, y)= 0 var sasniegt tikai Lagranža funkcijas stacionārajos punktos L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Pierādījums. Ierobežojuma vienādojums definē netiešu atkarību plkst no X, tāpēc mēs to pieņemsim plkst ir funkcija no X: y = y(x). Tad z ir sarežģīta funkcija X, un tā kritiskos punktus nosaka nosacījums: . (5.4) No ierobežojuma vienādojuma izriet, ka . (5.5)

Vienādību (5.5) reizinām ar kādu skaitli λ un pievienojam (5.4). Mēs iegūstam:

, vai .

Pēdējai vienādībai ir jāsaglabājas stacionārajos punktos, no kuriem izriet:

(5.6)

Tiek iegūta trīs vienādojumu sistēma trim nezināmajiem: x, y un λ, kur pirmie divi vienādojumi ir Lagranža funkcijas stacionārā punkta nosacījumi. Izslēdzot no sistēmas (5.6.) papildu nezināmo λ, atrodam to punktu koordinātes, kuros sākotnējā funkcijai var būt nosacīts ekstrēms.

1. piezīme. Nosacītā ekstrēma esamību atrastajā punktā var pārbaudīt, pētot Lagranža funkcijas otrās kārtas parciālos atvasinājumus pēc analoģijas ar teorēmu 5.2.

Piezīme 2. Punkti, kuros var sasniegt funkcijas nosacīto galējo punktu f (x 1 , x 2 ,…, x n) apstākļos (5.2.), var definēt kā sistēmas risinājumus (5.7)

Piemērs. Atrodiet funkcijas nosacīto ekstrēmu z = xy Atsaucoties uz x + y= 1. Sastādiet Lagranža funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistēma (5.6) izskatās šādi:

No kurienes -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Kurā L (x, y) var attēlot kā L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, tātad atrastajā stacionārajā punktā L (x, y) ir maksimālais un z = xy - nosacītais maksimums.

Nosacīti ekstrēmi.

Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma

Mazākā kvadrāta metode.

FNP lokālais ekstrēms

Ļaujiet funkcijai Un= f(P), RÎDÌR n un ļaujiet punktam Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –iekšējais kopas punkts D.

Definīcija 9.4.

1) Punktu P 0 sauc maksimālais punkts funkcijas Un= f(P) ja šim punktam U(P 0) Ì D ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , nosacījums f(P) £ f(P0) . Nozīme f(P 0) funkcijas maksimālajā punktā tiek izsauktas funkcijas maksimums un apzīmēts f(P 0) = maks f(P) .

2) Tiek izsaukts punkts P 0 minimālais punkts funkcijas Un= f(P) ja pastāv šī punkta U(P 0)Ì D apkārtne tā, ka jebkuram punktam P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0, nosacījums f(P)³ f(P0) . Nozīme f(P 0) funkcijas minimālajā punktā tiek izsauktas funkcijas minimums un apzīmēts f(P 0) = min f(P).

Tiek izsaukts funkcijas minimālais un maksimālais punkts ekstrēmi punkti, tiek izsauktas funkcijas vērtības galējos punktos funkciju ekstremitāte.

Kā izriet no definīcijas, nevienlīdzības f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) jāveic tikai noteiktā punkta Р 0 apkārtnē, nevis visā funkcijas apgabalā, kas nozīmē, ka funkcijai var būt vairākas viena veida ekstrēmas (vairāki minimumi, vairāki maksimumi). Tāpēc tiek sauktas iepriekš definētās galējības vietējā(lokālās) galējības.

Teorēma 9.1. (nepieciešams nosacījums FNP ekstrēmam)

Ja funkcija Un= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ir ekstrēms punktā P 0 , tad tā pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šajā punktā ir vai nu vienādi ar nulli, vai arī neeksistē.

Pierādījums.Ļaujiet punktā Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija Un= f(P) ir galējība, piemēram, maksimums. Labosim argumentus X 2 , ..., x n, liekot X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Tad Un= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) ir viena mainīgā funkcija X 1 . Tā kā šai funkcijai ir X 1 = A 1 ekstremitāte (maksimums), tad f 1 ¢=0 vai nepastāv, kad X 1 =A 1 (nepieciešams nosacījums viena mainīgā funkcijas ekstrēma pastāvēšanai). Bet , tad vai neeksistē punktā P 0 - galējības punkts. Līdzīgi mēs varam apsvērt daļējus atvasinājumus attiecībā uz citiem mainīgajiem. CHTD.

Tiek saukti funkcijas apgabala punkti, kuros pirmās kārtas daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē. kritiskie punkti šī funkcija.

Kā izriet no 9.1. teorēmas, FNP galējie punkti ir jāmeklē starp funkcijas kritiskajiem punktiem. Bet, kas attiecas uz viena mainīgā funkciju, ne katrs kritiskais punkts ir galējais punkts.

Teorēma 9.2

Lai Р 0 ir funkcijas kritiskais punkts Un= f(P) un ir šīs funkcijas otrās kārtas diferenciālis. Tad

un ja d 2 u(P 0) > 0 priekš , tad Р 0 ir punkts minimums funkcijas Un= f(P);

b) ja d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimums funkcijas Un= f(P);

c) ja d 2 u(P 0) nav definēts ar zīmi, tad P 0 nav galējības punkts;

Mēs izskatām šo teorēmu bez pierādījumiem.

Ņemiet vērā, ka teorēmā nav aplūkots gadījums, kad d 2 u(P 0) = 0 vai neeksistē. Tas nozīmē, ka jautājums par ekstrēma klātbūtni punktā P 0 šādos apstākļos paliek atklāts - mums ir nepieciešams papildu pētījumi, piemēram, pārbaudot funkcijas pieaugumu šajā punktā.

Detalizētākos matemātikas kursos tiek pierādīts, ka jo īpaši funkcijai z = f(x,y) no diviem mainīgajiem, kuru otrās kārtas diferenciālis ir formas summa

var vienkāršot pētījumu par ekstremuma klātbūtni kritiskajā punktā Р 0.

Apzīmē , , . Sastādiet determinantu

.

Izrādās:

d 2 z> 0 punktā P 0, t.i. P 0 - minimālais punkts, ja A(P 0) > 0 un D (P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ja D(P 0)< 0, то d 2 z punkta tuvumā Р 0 maina zīmi un punktā Р 0 nav ekstrēma;

ja D(Р 0) = 0, tad nepieciešami arī papildu pētījumi par funkciju kritiskā punkta Р 0 tuvumā.

Tādējādi funkcijai z = f(x,y) divi mainīgie, mums ir šāds algoritms (sauksim to par "algoritmu D"), lai atrastu galējību:

1) Atrodiet definīcijas domēnu D( f) funkcijas.

2) Atrast kritiskos punktus, t.i. punkti no D( f), kuriem un ir vienādi ar nulli vai neeksistē.

3) Katrā kritiskajā punktā Р 0 pārbaudiet ekstrēma pietiekamus apstākļus. Lai to izdarītu, atrodiet , kur , , un aprēķina D(Р 0) un A(P 0). Pēc tam:

ja D(Р 0) >0, tad punktā Р 0 ir ekstrēmums, turklāt, ja A(P 0) > 0 - tad tas ir minimums, un ja A(P 0)< 0 – максимум;

ja D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ja D(Р 0) = 0, tad nepieciešami papildu pētījumi.

4) Aprēķināt funkcijas vērtību atrastajos galējības punktos.

Piemērs1.

Atrodiet funkcijas galējību z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Risinājums.Šīs funkcijas domēns ir visa koordinātu plakne. Atradīsim kritiskos punktus.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Pārbaudīsim, vai ir izpildīti pietiekami ekstrēmi nosacījumi. Atradīsim

6X, = -3, = 48plkst Un = 288hu – 9.

Tad D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - punktā Р 1 ir ekstrēmums, un kopš tā laika A(P 1) = 3 > 0, tad šis ekstrēmums ir minimums. Tātad min z=z(P1) = .

2. piemērs

Atrodiet funkcijas galējību .

Risinājums: D( f) = R 2 . Kritiskie punkti: ; neeksistē plkst plkst= 0, tātad P 0 (0,0) ir šīs funkcijas kritiskais punkts.

2, = 0, = , = , bet D(Р 0) nav definēts, tāpēc nav iespējams izpētīt tā zīmi.

Tā paša iemesla dēļ nav iespējams tieši pielietot teorēmu 9.2. − d 2 zšajā brīdī nepastāv.

Apsveriet funkcijas pieaugumu f(x, y) punktā Р 0 . Ja D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, tad P 0 ir minimālais punkts, ja D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Mums ir mūsu gadījumā

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Pie D x= 0,1 un D y= -0,008 mēs iegūstam D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 un D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, t.i. punkta Р 0 tuvumā ne nosacījums D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0), un tāpēc P 0 nav maksimālais punkts), ne arī nosacījums D f>0 (t.i. f(x, y) > f(0, 0) un tad Р 0 nav minimālais punkts). Tādējādi pēc ekstrēma definīcijas šai funkcijai nav ekstrēmu.

Nosacīti ekstrēmi.

Tiek izsaukts aplūkotais funkcijas ekstrēms beznosacījuma, jo funkcijas argumentiem netiek noteikti nekādi ierobežojumi (nosacījumi).

Definīcija 9.2. Funkciju ekstremitāte Un = f(X 1 , X 2 , ... , x n), konstatēts ar nosacījumu, ka tās argumenti X 1 , X 2 , ... , x n izpildīt vienādojumus j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kur P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), tiek saukts nosacīts ekstrēms .

Vienādojumi j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, tiek saukti savienojuma vienādojumi.

Apsveriet funkcijas z = f(x,y) no diviem mainīgajiem. Ja ir tikai viens ierobežojuma vienādojums, t.i. , tad nosacījuma ekstrēma atrašana nozīmē, ka ekstrēmums tiek meklēts nevis visā funkcijas jomā, bet gan kādā līknē, kas atrodas D( f) (t.i., netiek meklēti virsmas augstākie vai zemākie punkti z = f(x,y), un augstākie vai zemākie punkti starp šīs virsmas krustošanās punktiem ar cilindru , 5. att.).

Funkcijas nosacīts galējais punkts z = f(x,y) no diviem mainīgajiem var atrast šādā veidā( eliminācijas metode). No vienādojuma izsakiet vienu no mainīgajiem kā funkciju no otra (piemēram, rakstiet ) un, aizstājot šo mainīgā vērtību funkcijā , ierakstiet pēdējo kā viena mainīgā funkciju (aplūkotajā gadījumā ). Atrodiet viena mainīgā iegūtās funkcijas ekstrēmu.

Definīcija1: Tiek uzskatīts, ka funkcijai punktā ir lokāls maksimums, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir izpildīta: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums< 0.

Definīcija2: tiek uzskatīts, ka funkcijai punktā ir lokālais minimums, ja punktam ir tāda apkārtne, ka jebkuram punktam M ar koordinātām (x, y) nevienlīdzība ir izpildīta: . Šajā gadījumā, t.i., funkcijas pieaugums > 0.

3. definīcija: tiek izsaukti vietējie minimālie un maksimālie punkti ekstremālie punkti.

Nosacītās galējības

Meklējot daudzu mainīgo funkcijas ekstrēmus, bieži rodas problēmas saistībā ar t.s nosacīta galējība.Šo jēdzienu var izskaidrot ar divu mainīgo funkcijas piemēru.

Dota funkcija un līnija L uz virsmas 0xy. Uzdevums ir ierindot L atrast šādu punktu P(x, y), kurā funkcijas vērtība ir lielākā vai mazākā salīdzinājumā ar šīs funkcijas vērtībām līnijas punktos L atrodas netālu no punkta P. Tādi punkti P sauca nosacīti galējības punkti līnijas funkcijas L. Atšķirībā no parastā galējības punkta, funkcijas vērtība nosacītajā galējā punktā tiek salīdzināta ar funkcijas vērtībām ne visos punktos dažos tā apkaimes punktos, bet tikai tajos, kas atrodas uz līnijas. L.

Ir pilnīgi skaidrs, ka parastā ekstrēma punkts (viņi arī saka beznosacījuma galējība) ir arī nosacījuma galējības punkts jebkurai līnijai, kas iet caur šo punktu. Protams, otrādi nav taisnība: nosacīts galējības punkts var nebūt parasts galējības punkts. Ļaujiet man to izskaidrot ar vienkāršu piemēru. Funkcijas grafiks ir augšējā puslode (3. pielikums (3. att.)).

Šai funkcijai sākumā ir maksimums; tas atbilst augšai M puslodes. Ja līnija L caur punktiem iet līnija A Un IN(viņas vienādojums x+y-1=0), tad ir ģeometriski skaidrs, ka šīs taisnes punktiem augstākā vērtība funkcija tiek sasniegta punktā, kas atrodas vidū starp punktiem A Un IN. Tas ir funkcijas nosacītā galējības (maksimuma) punkts dotajā taisnē; tas atbilst punktam M 1 uz puslodes, un no attēla var redzēt, ka šeit nevar būt ne runas par kādu parastu ekstrēmu.

Ņemiet vērā, ka uzdevuma beigu daļā ir atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības slēgta zona mums ir jāatrod funkcijas ekstremālās vērtības uz šī reģiona robežas, t.i. kādā līnijā un tādējādi atrisināt nosacītā ekstremuma problēmu.

Tagad pāriesim pie funkcijas Z= f(x, y) nosacītā galējības punktu praktiskas meklēšanas, ja mainīgie x un y ir saistīti ar vienādojumu (x, y) = 0. Šī sakarība būs sauc par ierobežojumu vienādojumu. Ja no savienojuma vienādojuma y var skaidri izteikt ar x: y \u003d (x), mēs iegūstam viena mainīgā funkciju Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Atrodot x vērtību, pie kuras šī funkcija sasniedz galējību, un pēc tam no savienojuma vienādojuma nosakot atbilstošās y vērtības, mēs iegūsim vēlamos nosacītās ekstremitātes punktus.

Tātad iepriekš minētajā piemērā no komunikācijas vienādojuma x+y-1=0 mums ir y=1-x. No šejienes

Ir viegli pārbaudīt, vai z sasniedz maksimumu pie x = 0,5; bet tad no savienojuma vienādojuma y = 0,5, un mēs iegūstam tieši punktu P, kas atrasts no ģeometriskiem apsvērumiem.

Nosacītā ekstrēma problēma ir ļoti vienkārši atrisināta pat tad, ja var attēlot ierobežojuma vienādojumu parametru vienādojumi x=x(t), y=y(t). Izteiksmes x un y aizstājot ar šī funkcija, mēs atkal nonākam pie problēmas, kā atrast viena mainīgā funkcijas ekstrēmu.

Ja ierobežojuma vienādojumā ir vairāk nekā sarežģīts skats un mēs nevaram nepārprotami izteikt vienu mainīgo ar citu, ne arī aizstāt to ar parametriskiem vienādojumiem, tad nosacījuma ekstrēma atrašanas problēma kļūst grūtāka. Turpināsim pieņemt, ka funkcijas z= f(x, y) izteiksmē mainīgais (x, y) = 0. Funkcijas z= f(x, y) kopējais atvasinājums ir vienāds ar:

Kur ir atvasinājums y`, ko nosaka netiešās funkcijas diferenciācijas likums. Nosacītā galējības punktos atrastajam kopējam atvasinājumam jābūt vienādam ar nulli; tas dod vienu vienādojumu saistībā ar x un y. Tā kā tiem ir jāizpilda arī ierobežojuma vienādojums, mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem

Pārveidosim šo sistēmu uz daudz ērtāku, ierakstot pirmo vienādojumu kā proporciju un ieviešot jaunu palīgnezināmo:

(ērtības labad priekšā novietota mīnusa zīme). No šīm vienādībām ir viegli pāriet uz šādu sistēmu:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

kas kopā ar ierobežojuma vienādojumu (x, y) = 0 veido trīs vienādojumu sistēmu ar nezināmajiem x, y un.

Šos vienādojumus (*) ir visvieglāk atcerēties, izmantojot šādu noteikumu: lai atrastu punktus, kas var būt funkcijas nosacītā galējības punkti

Z= f(x, y) ar ierobežojuma vienādojumu (x, y) = 0, jums ir jāveido palīgfunkcija

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kur ir kāda konstante, un izveidojiet vienādojumus, lai atrastu šīs funkcijas galējos punktus.

Norādītā vienādojumu sistēma, kā likums, nodrošina tikai nepieciešamos nosacījumus, t.i. ne katrs x un y vērtību pāris, kas atbilst šai sistēmai, noteikti ir nosacīts galējības punkts. Es nesniegšu pietiekamus nosacījumus nosacītajiem ekstrēma punktiem; ļoti bieži pats problēmas konkrētais saturs liek domāt, kas ir atrastais punkts. Aprakstīto metodi nosacītā ekstrēma problēmu risināšanai sauc par Lagranža reizinātāju metodi.

Lai funkcija z - f(x, y) ir definēta kādā jomā D un Mo(xo, y0) ir šī domēna iekšējais punkts. Definīcija. Ja eksistē tāds skaitlis, ka nevienādība ir patiesa visiem, kas atbilst nosacījumiem, tad punktu Mo(xo, yo) sauc par funkcijas f(x, y) lokālā maksimuma punktu; ja tomēr visiem Dx, Du atbilst nosacījumiem | tad punktu Mo(x0, y0) sauc par smalko lokālo minimumu. Citiem vārdiem sakot, punkts M0(x0, y0) ir funkcijas f(x, y) maksimuma vai minimuma punkts, ja punktam A/o(x0, y0) eksistē 6-apkārtne tā, ka vispār šīs apkārtnes punkti M(x, y), funkcijas pieaugums saglabā zīmi. Piemēri. 1. Funkcijai punkts ir minimālais punkts (17. att.). 2. Funkcijai punkts 0(0,0) ir maksimālais punkts (18. att.). 3. Funkcijai punkts 0(0,0) ir vietējais maksimālais punkts. 4 Patiešām, ir punkta 0(0, 0) apkārtne, piemēram, aplis ar rādiusu j (sk. 19. att.), kura jebkurā punktā, kas atšķiras no punkta 0(0, 0), funkcijas f(x, y) vērtība ir mazāka par 1 = Mēs ņemsim vērā tikai punktus ar stingru funkciju maksimumu un minimumu, ja stingrā nevienādība vai stingrā nevienādība attiecas uz visiem punktiem M(x) y) no kāda caurdurta 6-apkaimes. punkts Mq. Funkcijas vērtību maksimālajā punktā sauc par maksimālo, un funkcijas vērtību minimālajā punktā sauc par šīs funkcijas minimumu. Funkcijas maksimālos un minimālos punktus sauc par funkcijas galējībām, bet pašas funkcijas maksimumus un minimumus sauc par tās galējībām. 11. teorēma (nepieciešams nosacījums ekstrēmam). If funkcija Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacījuma ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākajām un mazākajām vērtībām ir ekstremitāte punktā, tad šajā punktā katrs parciālais atvasinājums un u vai nu pazūd, vai neeksistē. Lai funkcijai z = f(x) y) ir ekstrēmums punktā M0(x0, y0). Piešķirsim mainīgajam y vērtību yo. Tad funkcija z = /(x, y) būs viena mainīgā x funkcija\ Tā kā pie x = xo tai ir ekstrēmums (maksimums vai minimums, 20. att.), tad tās atvasinājums attiecībā uz x = “o, | (*o,l>)" ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Tāpat mēs pārbaudām, ka) vai ir vienāds ar nulli, vai neeksistē. Punkti, kuros = 0 un u = 0 vai neeksistē, ir ko sauc par funkcijas z = Dx, y kritiskajiem punktiem. Punktus, kuros $£ = u = 0, sauc arī par funkcijas stacionārajiem punktiem.11. teorēma izsaka tikai nepieciešamos nosacījumus ekstrēmumam, kas nav pietiekami. 18 20. att. immt atvasinājumi, kas izzūd plkst. Bet šī funkcija ir diezgan vāja uz imvat “straumum. Patiešām, funkcija ir vienāda ar nulli punktā 0 (0, 0) un iegūst punktus M (x, y) tik tuvu punktam 0 (0, 0), cik vēlaties, kkk pozitīvas un negatīvas vērtības. Tam, tātad punktos punktos (0, y) patvaļīgi maziem punktiem, šāda veida punktu 0(0, 0) sauc par mini-max punktu (21. att.). Pietiekami nosacījumi divu mainīgo funkcijas ekstrēmam ir izteikti ar šādu teorēmu. 12. teorēma (pietiekami nosacījumi izplūdušo mainīgo ekstrēmumam). Pieņemsim, ka punkts Mo(xo, y0) ir funkcijas f(x, y) stacionārs punkts, un kādā punkta tuvumā / ieskaitot pašu punktu Mo, funkcijai f(r, y) ir nepārtraukti parciālie atvasinājumi uz augšu. uz otro pasūtījumu ieskaitot. Tad "1) punktā Mq(xq, V0) funkcijai f(x, y) ir maksimums, ja determinants ir šajā punktā 2) punktā Mo(x0, V0) funkcija f(x, y) ir minimums, ja punktā Mo(xo, yo) funkcijai f(x, y) nav galējības, ja D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) funkcijas f(x, y) galējais punkts var būt un var nebūt. Šajā gadījumā ir nepieciešami papildu pētījumi. Mēs aprobežojamies ar teorēmas 1) un 2) apgalvojumu pierādīšanu. Funkcijas /(i, y) otrās kārtas Teilora formulu uzrakstīsim: kur. Pieņemot, ka ir skaidrs, ka pieauguma D/ zīmi nosaka trinoma zīme (1) labajā pusē, t.i., otrā diferenciāļa zīme d2f. Apzīmēsim īsuma labad. Tad vienādību (l) var uzrakstīt šādi: Pieņemsim, ka punktā MQ(so, y0) ir punkta M0(s0,yo) apkārtne. Ja nosacījums (punktā A/0) ir izpildīts un nepārtrauktības dēļ atvasinājums /,z(s,y) saglabās savu zīmi kādā punkta Af0 tuvumā. Apgabalā, kur A ∆ 0, mums ir 0 kādā punkta M0(x0) y0 apkārtnē), tad trinoma zīme AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 sakrīt ar zīmi A punktā C nevar būt dažādas zīmes). Tā kā summas AAs2 + 2BAxAy + CAy2 zīme punktā (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) nosaka starpības zīmi, mēs nonākam pie šāda secinājuma: ja funkcija f(s, y) stacionārais punkts (s0, yo) apmierina nosacījumu, tad par pietiekami mazu || nevienlīdzība pastāvēs. Tādējādi punktā (sq, y0) funkcijai /(s, y) ir maksimums. Bet, ja nosacījums ir izpildīts stacionārajā punktā (s0, yo), tad visiem pietiekami mazs |Ar| un |Darīt| nevienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka funkcijai /(s, y) ir minimums punktā (tā, yo). Piemēri. 1. Ekstrēma funkcijas 4 izpēte Izmantojot ekstrēmam nepieciešamos nosacījumus, mēs meklējam funkcijas stacionāros punktus. Lai to izdarītu, mēs atrodam daļējos atvasinājumus u un pielīdzinām tos nullei. Mēs iegūstam vienādojumu sistēmu, no kurienes - stacionārs punkts. Tagad izmantosim 12. teorēmu. Mums ir Tātad punktā Ml ir ekstrēms. Jo tas ir minimums. Ja mēs pārveidojam funkciju r uz formu, tad to ir viegli redzēt labā daļa(") būs minimums, kad ir dotās funkcijas absolūtais minimums. 2. Izpētīt funkciju ekstrēmumam Atrodam funkcijas stacionāros punktus, kuriem sastādām vienādojumu sistēmu No šejienes tā, lai punkts būtu stacionārs. Tā kā, pamatojoties uz 12. teorēmu, punktā M nav ekstrēma. * 3. Ekstrēma funkcijas izpēte Atrodiet funkcijas stacionāros punktus. No vienādojumu sistēmas iegūstam to, ka punkts ir stacionārs. Turklāt 12. teorēma nesniedz atbildi uz jautājumu par ekstrēma esamību vai neesamību. Darīsim to šādi. Funkcijai par visiem punktiem, izņemot punktu, lai pēc definīcijas punktā A/o(0,0) funkcijai r būtu absolūtais minimums. Ar analoģisku žāvēšanu mēs nosakām, ka funkcijai punktā ir maksimums, bet funkcijai punktā nav galējības. Lai η neatkarīgo mainīgo funkcija ir diferencējama punktā Punktu Mo sauc par funkcijas ja stacionāro punktu 13. teorēma (pietiekami nosacījumi ekstrēmam). Ļaujiet funkcijai būt definētai un tai ir nepārtraukti otrās kārtas parciālie atvasinājumi kādā smalkās līnijas Mc(xi...) tuvumā, kas ir stacionāra smalkfunkcija, ja kvadrātiskā forma (funkcijas f otrā diferenciāle smalkajā daļā punkts ir pozitīvs-noteikts (negatīvs-noteikts), funkcijas f minimuma punkts (respektīvi, smalkais maksimums) ir labi Ja kvadrātveida forma (4) ir zīmju maiņa, tad smalkajā LG0 galējības nav 15.2. extremum Līdz šim mēs esam nodarbojušies ar atrašanu vietējās galējības funkcija visā tās definīcijas apjomā, ja funkcijas argumentus nesaista nekādi papildu nosacījumi. Šādas galējības sauc par beznosacījuma. Tomēr bieži vien ir problēmas atrast tā saukto nosacīto galējību. Ļaujiet funkcijai z \u003d / (x, y) būt definētai apgabalā D. Pieņemsim, ka šajā apgabalā ir dota līkne L, un ir jāatrod tikai funkcijas f (x> y) ekstremitāte. starp tām vērtībām, kas atbilst līknes L punktiem. Tās pašas ekstremitātes sauc par funkcijas z = f(x) y) nosacītajām ekstremitātēm līknē L. Definīcija Ir teikts, ka punktā, kas atrodas uz līknei L, funkcijai /(x, y) ir nosacīts maksimums (minimums), ja nevienādība ir izpildīta, attiecīgi visos punktos M (s, y) līkne L, kas pieder kādai punkta M0(x0, Yo apkārtnei) ) un atšķiras no punkta M0 (Ja līkne L ir dota ar vienādojumu, tad funkcijas r - f(x, y) nosacītā galējības atrašanas problēmu uz līknes! var formulēt šādi: atrast ekstrēmu funkcija x = /(n, y) apgabalā D, ar nosacījumu, ka Tādējādi, atrodot funkcijas z = y nosacīto galējību, argumentus zn vairs nevar uzskatīt par neatkarīgiem mainīgajiem: tos savstarpēji savieno relācija. y) = 0, ko sauc par savienojuma vienādojumu. Lai izskaidrotu atšķirību starp m «*D y kā beznosacījuma un nosacījuma galējību, aplūkosim tv piemēru, funkcijas beznosacījuma maksimums (23. att.) ir vienāds ar vienu un tiek sasniegts punktā (0, 0). Tas precīzi atbilst pvvboloīda virsotnei M. Saskaitīsim ierobežojuma vienādojumu y = j. Tad nosacītais maksimums acīmredzot būs vienāds.Tas tiek sasniegts punktā (o, |), un tas atbilst pvvboloīda virsotnei Afj, kas ir pvvboloīda krustošanās līnija ar plakni y = j. Beznosacījuma minimuma s gadījumā mums ir mazākais pielietojums starp visiem virsmas ekspliktiem * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv nosacījums - tikai starp vllkvt punktiem pvrboloidv, kas atbilst punktam * no taisnes y = j, nevis no xOy plaknes. Viena no metodēm, kā atrast funkcijas nosacīto ekstrēmu klātbūtnē un savienojumā, ir šāda. Ļaujiet savienojuma vienādojumam y) - O definēt y kā argumenta x vienvērtības diferencējamu funkciju: Funkcijā aizstājot funkciju y vietā, iegūstam viena argumenta funkciju, kurā savienojuma nosacījums jau ir ņemts vērā. . Funkcijas (beznosacījuma) galējība ir vēlamais nosacījuma ekstrēms. Piemērs. Atrast funkcijas ekstrēmu pie nosacījuma Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi ekstrēmumam Nosacījuma ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības A No savienojuma vienādojuma (2") atrodam y \u003d 1-x. Aizvietojot šo vērtību (V), iegūstam viena argumenta x funkciju: Pārbaudīsim to ekstrēmumam: kur x = 1 ir kritiskais punkts; , lai tas nodrošinātu funkcijas r nosacīto minimumu (24. att.). Norādīsim vēl vienu nosacīto ekstrēmu problēmas risināšanas metodi, ko sauc par Lagranža reizinātāju metodi. Pieņemsim, ka ierobežojuma vienādojums definē unikālu nepārtraukti diferencējamu funkciju kādā punkta xx apkārtnē. Pieņemot, ka iegūstam, ka funkcijas / (r, ip (x)) atvasinājumam attiecībā pret x punktā xq jābūt vienādam ar nulli vai, kas ir līdzvērtīgs tam, f (x, y) diferenciālei ir jābūt ir vienāds ar nulli punktā Mo "O ) No savienojuma vienādojuma mums ir (5) beznosacījuma galējības nosacījumi funkcijas punktā, ko sauc par Lagranža funkciju. Tādējādi funkcijas nosacītā galējības punkts. /(x, y), ja, obligāti ir Lagranža funkcijas stacionārs punkts, kur A ir kāds skaitlisks koeficients. No šejienes mēs iegūstam noteikumu nosacīto ekstrēmu atrašanai: lai atrastu punktus, kas var būt funkcijas galējās ekstrēmas punkti. savienojuma esamība 1) sastāda Lagranža funkciju, 2) šīs funkcijas atvasinājumus un W pielīdzinot nullei un iegūtajiem vienādojumiem pievienojot savienojuma vienādojumu, iegūstam trīs vienādojumu sistēmu, no kuras atrodam A vērtības un koordinātas x, y iespējamie galējie punkti. Jautājums par nosacītā ekstrēma esamību un raksturu tiek atrisināts, pamatojoties uz Lagranža funkcijas otrās diferenciāļa zīmes izpēti aplūkotajai vērtību sistēmai x0, Yo, A, kas iegūta no (8) ar nosacījumu. ka If, tad punktā (x0, Yo) funkcijai f(x, y ) ir nosacīts maksimums; ja d2F > 0 - tad nosacītais minimums. Jo īpaši, ja stacionārā punktā (xo, J/o) funkcijas F(x, y) determinants D ir pozitīvs, tad punktā (®o, V0) ir funkcijas nosacīts maksimums /( x, y) if, un funkcijas /(x, y) nosacījuma minimums, ja Piemērs. Atkal pievērsīsimies iepriekšējā piemēra nosacījumiem: atrodam funkcijas ekstrēmu ar nosacījumu, ka x + y = 1. Uzdevumu atrisināsim, izmantojot Lagranža reizinātāja metodi. Lagrange funkcija iekšā Šis gadījums ir forma Lai atrastu stacionārus punktus, mēs sastādām sistēmu No pirmajiem diviem sistēmas vienādojumiem iegūstam, ka x = y. Tad no sistēmas trešā vienādojuma (savienojuma vienādojuma) mēs atklājam, ka x - y = j - iespējamās ekstremitātes punkta koordinātas. Šajā gadījumā (tiek norādīts, ka A \u003d -1. Tādējādi Lagranža funkcija. ir nosacīts funkcijas * \u003d x2 + y2 minimālais punkts ar nosacījumu, ka Lagranža funkcijai nav beznosacījuma galējības. P ( x, y) vēl nenozīmē, ka funkcijai /(x, y) nav nosacījuma ekstrēmuma savienojuma klātbūtnē Piemērs: Atrodiet funkcijas ekstrēmu saskaņā ar nosacījumu y 4 Sastādiet Lagranža funkciju un izrakstiet sistēma A un iespējamo ekstremālo punktu koordināšu noteikšanai: y = A = 0. Tādējādi atbilstošajai Lagranža funkcijai ir forma Punktā (0, 0) funkcijai F(x, y; 0) nav beznosacījuma ekstrēmums, bet funkcijas r = xy nosacītais ekstrēmums. Kad y = x, ir "Tiešām, šajā gadījumā r = x2. No šejienes ir skaidrs, ka punktā (0,0) ir nosacījuma minimums . "Lagranža reizinātāju metode tiek pārnesta uz jebkura argumentu skaita funkciju gadījumu / Ļaujiet funkcijas ekstrēmu meklēt savienojuma vienādojumu klātbūtnē Sostaalyaem Lagranža funkcija kur A|, Az,..., An , ir nenoteikti nemainīgi faktori. Pielīdzinot nullei visus funkcijas F pirmās kārtas parciālos atvasinājumus un saskaitot iegūtajiem vienādojumiem savienojuma vienādojumus (9), iegūstam n + m vienādojumu sistēmu, no kuras nosaka Ab A3|..., Am un koordinātas x\) x2) . » xn iespējamie nosacījuma ekstrēma punkti. Jautājumu par to, vai ar Lagranža metodi atrastie punkti patiešām ir nosacīti ekstrēma punkti, bieži vien var atrisināt, pamatojoties uz fiziskas vai ģeometriskas dabas apsvērumiem. 15.3. Nepārtraukto funkciju maksimālās un minimālās vērtības Ļaujiet, lai būtu jāatrod maksimālā (mazākā) vērtība funkcijai z = f(x, y), kas ir nepārtraukta kādā daudzkārt ierobežotā domēnā D. Saskaņā ar 3. teorēmu ir punkts (xo, yo) šajā domēnā, kurā funkcijai ir vislielākā (mazākā) vērtība. Ja punkts (xo, y0) atrodas domēna D iekšpusē, tad funkcijai / tajā ir maksimums (minimums), lai šajā gadījumā mums interesējošais punkts būtu starp funkcijas /(x) kritiskajiem punktiem , y). Tomēr funkcija /(x, y) var sasniegt savu maksimālo (mazāko) vērtību arī pie apgabala robežas. Tāpēc, lai ierobežotā slēgtā apgabalā 2 atrastu lielāko (mazāko) funkcijas z = /(x, y) vērtību, ir jāatrod visi šajā apgabalā sasniegtie funkcijas maksimumi (minimumi). , kā arī lielākā (mazākā) funkcijas vērtība uz šīs zonas robežas. Lielākais (mazākais) no visiem šiem skaitļiem būs vēlamā maksimālā (mazākā) funkcijas z = /(x, y) vērtība reģionā 27. Parādīsim, kā tas tiek darīts diferencējamas funkcijas gadījumā. Prmmr. Atrodiet apgabala 4 funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Mēs atrodam funkcijas kritiskos punktus apgabalā D. Lai to izdarītu, mēs izveidojam vienādojumu sistēmu. No šejienes mēs iegūstam x \u003d y "0, lai punkts 0 (0,0) būtu funkcijas x kritiskais punkts. Kopš Atradīsim funkcijas lielākās un mazākās vērtības uz apgabala D robežas Г. No robežas puses mums ir tā, ka y \u003d 0 ir kritiskais punkts, un tā kā \u003d tad pie šī punkts funkcijas z \u003d 1 + y2 minimums ir vienāds ar vienu. Nozares G" galos punktos (, mums ir. Izmantojot simetrijas apsvērumus, iegūstam tādus pašus rezultātus citām robežas daļām. Visbeidzot iegūstam: funkcijas z \u003d x2 + y2 mazāko vērtību apgabals "B" ir vienāds ar nulli un tiek sasniegts apgabala iekšējā punktā 0 (0, 0), un šīs funkcijas maksimālā vērtība, kas vienāda ar diviem, tiek sasniegta četros robežas punktos (att. 25) 25. att. Funkcijas uzdevumi: atrodiet funkciju un to daļējos atvasinājumus kopējās atšķirības : Atrodiet kompleksu funkciju atvasinājumus: 3 Atrodiet J. Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēmums Vairāku mainīgo funkcijas ekstrēma jēdziens. Ekstrēmuma nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi Nosacīts ekstrēmums Nepārtraukto funkciju lielākās un mazākās vērtības 34. Izmantojot divu mainīgo kompleksās funkcijas atvasinājuma formulu, atrodiet un funkcijas: 35. Izmantojot kompleksa atvasinājuma formulu divu mainīgo funkciju, atrodiet |J un funkcijas: Atrodiet jj funkcijas, kas dotas netieši: 40. Atrodiet pieskares līknes slīpumu krustpunktā ar taisni x = 3. 41. Atrodiet punktus, kur pieskaras x līkne ir paralēla Vērša asij. . Šajos uzdevumos atrodiet un Z: Uzrakstiet vienādojumus virsmas pieskares plaknei un normālajai: 49. Uzrakstiet vienādojumus virsmas pieskares plaknēm x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, paralēli plaknei x + 4y + 6z \u003d 0. Atrodiet pirmos trīs līdz četrus izvērsuma vārdus, izmantojot Teilora formulu : 50. y punkta (0, 0) tuvumā. Izmantojot funkcijas ekstrēma definīciju, izpētiet šādas ekstrēmuma funkcijas:). Izmantojot pietiekamus nosacījumus divu mainīgo funkcijas ekstrēmam, izpētiet funkcijas ekstrēmu: 84. Atrodiet funkcijas z \u003d x2 - y2 lielāko un mazāko vērtību slēgtā aplī 85. Atrodiet lielāko un mazāko. funkcijas * \u003d x2y (4-x-y) vērtības trijstūrī, ko ierobežo līnijas x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Noteikt izmērus taisnstūra āra baseinam ar mazāko virsmu, ja tā tilpums ir vienāds ar V. 87. Atrast izmērus taisnstūra paralēlskaldiņam ar doto kopējo virsmu 5 maksimālā tilpuma. Atbildes 1. un | Kvadrāts, ko veido līnijas segmenti x, ieskaitot tā malas. 3. Koncentrisko gredzenu saime 2= 0,1,2,... .4. Visa plakne, izņemot taisnes y punktus. Plaknes daļa, kas atrodas virs parabolas y \u003d -x?. 8. Apļa punkti x. Visa plakne, izņemot taisnes x Radikālā izteiksme ir nenegatīva divos gadījumos j * ^ vai j x ^ ^, kas attiecīgi ir ekvivalenta bezgalīgai nevienādību virknei Definīcijas apgabals ir iekrāsoti kvadrāti (26. att.) ; l kas ir ekvivalents bezgalīgai sērijai Funkcija ir definēta punktos. a) Taisnes, kas ir paralēlas taisnei x b) Koncentriski apļi, kuru centrs ir sākuma punktā. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hiperbolas | .Lidmašīnas xc. 13.Prim - viena dobuma apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi; un ir divu lokšņu apgriezienu hiperboloīdi ap Oza asi, abas virsmu grupas ir atdalītas ar konusu; Nav ierobežojumu, b) 0. 18. Pieņemsim, ka y = kxt, tad z lim z = -2, lai dotajai funkcijai punktā (0,0) nebūtu robežu. 19. a) punkts (0,0); b) punkts (0,0). 20. a) Pārrāvuma līnija - aplis x2 + y2 = 1; b) pārtraukuma līnija ir taisna līnija y \u003d x. 21. a) Pārrāvuma līnijas - koordinātu asis Ox un Oy; b) 0 (tukšs komplekts). 22. Visi punkti (m, n), kur un n ir veseli skaitļi

Nepieciešamie un pietiekamie nosacījumi divu mainīgo funkciju ekstrēmam. Punktu sauc par funkcijas minimālo (maksimālo) punktu, ja kādā punkta apkārtnē funkcija ir definēta un apmierina nevienlīdzību (attiecīgi maksimālo un minimālo punktu sauc par funkcijas galējības punktiem).

Nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Ja galējā punktā funkcijai ir pirmie parciālie atvasinājumi, tad tie šajā punktā pazūd. No tā izriet, ka, lai atrastu šādas funkcijas galējos punktus, jāatrisina vienādojumu sistēma.Punktus, kuru koordinātes apmierina šo sistēmu, sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem. Starp tiem var būt maksimālie punkti, minimālie punkti, kā arī punkti, kas nav ekstremāli punkti.

Lai atlasītu ekstremālos punktus no kritisko punktu kopas, tiek izmantoti pietiekami ekstrēmi nosacījumi, un tie ir uzskaitīti tālāk.

Ļaujiet funkcijai kritiskajā punktā nepārtraukti otrie parciālie atvasinājumi. Ja šajā brīdī,

nosacījums, tad tas ir minimālais punkts pie un maksimālais punkts pie Ja kritiskā punktā, tad tas nav ekstremālais punkts. Šajā gadījumā ir nepieciešama smalkāka kritiskā punkta būtības izpēte, kas šajā gadījumā var būt vai nebūt ekstremālais punkts.

Trīs mainīgo funkciju ekstrēma. Trīs mainīgo funkcijas gadījumā ekstrēmuma punktu definīcijas burtiski atkārto atbilstošās definīcijas divu mainīgo funkcijai. Mēs aprobežojamies ar ekstrēma funkcijas izpētes procedūras izklāstu. Atrisinot vienādojumu sistēmu, jāatrod funkcijas kritiskie punkti un tad katrā no kritiskajiem punktiem jāaprēķina lielumi

Ja visi trīs lielumi ir pozitīvi, tad apskatāmais kritiskais punkts ir minimālais punkts; ja tad dotais kritiskais punkts ir maksimālais punkts.

Divu mainīgo funkcijas nosacīta galējība. Punktu sauc par funkcijas nosacīto minimālo (maksimālo) punktu ar nosacījumu, ka ir tāda punkta apkārtne, kurā funkcija ir definēta un kurā (attiecīgi) visiem punktiem, kuru koordinātas atbilst vienādojumam.

Lai atrastu nosacītos galējības punktus, izmantojiet funkciju Lagrange

kur skaitli sauc par Lagranža reizinātāju. Trīs vienādojumu sistēmas atrisināšana

atrast Lagranža funkcijas kritiskos punktus (kā arī palīgfaktora A vērtību). Šajos kritiskajos punktos var būt nosacīts ekstrēms. Iepriekš minētā sistēma sniedz tikai nepieciešamos nosacījumus ekstrēmumam, bet ne pietiekamus: to var izpildīt ar punktu koordinātām, kas nav nosacīta ekstrēma punkti. Tomēr, vadoties no problēmas būtības, bieži vien ir iespējams noteikt kritiskā punkta raksturu.

Vairāku mainīgo funkcijas nosacītais ekstrēmums. Apsveriet mainīgo funkciju ar nosacījumu, ka tie ir saistīti ar vienādojumiem