Syarahan: Garis bersilang, selari dan bersilang; keserenjangan garisan

Garisan bersilang

Jika terdapat beberapa garis lurus pada satah, maka lambat laun ia akan bersilang secara sewenang-wenangnya, atau pada sudut tepat, atau akan selari. Mari lihat setiap kes.

Garisan yang mempunyai sekurang-kurangnya satu titik persilangan boleh dipanggil bersilang.

Anda mungkin bertanya mengapa sekurang-kurangnya satu garis lurus tidak boleh memotong garis lurus yang lain dua atau tiga kali. awak betul! Tetapi garis lurus boleh sama sekali bertepatan antara satu sama lain. Dalam kes ini, akan terdapat bilangan mata sepunya yang tidak terhingga.

Paralelisme

selari Anda boleh menamakan garisan yang tidak akan bersilang, walaupun pada infiniti.

Dalam erti kata lain, selari adalah mereka yang tidak mempunyai satu titik sepunya. Sila ambil perhatian bahawa takrifan ini hanya sah jika garis berada dalam satah yang sama, tetapi jika ia tidak mempunyai titik sepunya, berada dalam satah yang berbeza, maka ia dianggap bersilang.

Contoh garis selari dalam kehidupan: dua tepi bertentangan skrin monitor, garisan dalam buku nota, serta banyak bahagian lain benda yang mempunyai bentuk segi empat sama, segi empat tepat dan bentuk lain.

Apabila mereka ingin menunjukkan secara bertulis bahawa satu baris adalah selari dengan yang lain, mereka menggunakan tatatanda berikut a||b. Entri ini mengatakan bahawa garis a adalah selari dengan garis b.

Apabila mengkaji topik ini, adalah penting untuk memahami satu lagi pernyataan: melalui titik tertentu pada satah yang tidak tergolong dalam garis tertentu, seseorang boleh melukis satu garis selari. Tetapi perhatikan, sekali lagi pembetulan adalah pada pesawat. Jika kita mempertimbangkan ruang tiga dimensi, maka kita boleh melukis bilangan garisan yang tidak terhingga yang tidak akan bersilang, tetapi akan bersilang.

Pernyataan yang diterangkan di atas dipanggil aksiom garis selari.

Perpendicularity

Talian terus hanya boleh dipanggil jika berserenjang, jika ia bersilang pada sudut yang sama dengan 90 darjah.

Di ruang angkasa, melalui titik tertentu pada garis, bilangan garis serenjang yang tidak terhingga boleh dilukis. Walau bagaimanapun, jika kita bercakap tentang satah, maka melalui satu titik pada garisan anda boleh melukis satu garis serenjang.

Garis lurus bersilang. Sekan

Jika beberapa garis bersilang pada titik tertentu pada sudut sewenang-wenangnya, ia boleh dipanggil kawin campur.

Mana-mana garis bersilang mempunyai sudut menegak dan bersebelahan.

Jika sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang bersilang mempunyai satu sisi yang sama, maka ia dipanggil bersebelahan:

Sudut bersebelahan menambah sehingga 180 darjah.

Teorem. Jika satu garis terletak pada satah tertentu, dan garis lain memotong satah ini pada titik yang bukan milik garis pertama, maka kedua-dua garis ini bersilang. Tanda garisan lintasan Bukti. Biarkan garisan a terletak dalam satah, dan garisan b bersilang dengan satah di titik B, yang bukan kepunyaan garis a. Jika garis a dan b terletak pada satah yang sama, maka titik B juga akan terletak pada satah ini. Oleh kerana hanya terdapat satu satah melalui garisan dan satu titik di luar garisan ini, maka satah ini mestilah satah. Tetapi kemudian garis lurus b akan terletak di dalam pesawat, yang bercanggah dengan keadaan itu. Akibatnya, garis lurus a dan b tidak terletak pada satah yang sama, i.e. kacukan.

Berapakah pasang garis senget yang terdapat yang mengandungi tepi prisma segi tiga sekata? Penyelesaian: Bagi setiap tepi tapak terdapat tiga tepi yang bersilang dengannya. Untuk setiap tepi sisi terdapat dua rusuk yang bersilang dengannya. Oleh itu, bilangan pasangan garisan condong yang diperlukan ialah Latihan 5

Berapakah pasang garis senget yang terdapat yang mengandungi tepi prisma heksagon sekata? Penyelesaian: Setiap tepi tapak mengambil bahagian dalam 8 pasang garisan silang. Setiap tepi sisi mengambil bahagian dalam 8 pasang garisan silang. Oleh itu, bilangan pasangan garisan condong yang diperlukan ialah Latihan 6

Kedudukan relatif dua garisan dalam ruang.

Kedudukan relatif dua garisan dalam ruang dicirikan oleh tiga kemungkinan berikut.

Garis terletak pada satah yang sama dan tidak mempunyai titik sepunya - garis selari.

Garisan terletak pada satah yang sama dan mempunyai satu titik sepunya - garis bersilang.

Di ruang angkasa, dua garis lurus juga boleh terletak sedemikian rupa sehingga mereka tidak terletak di mana-mana satah. Garisan sedemikian dipanggil condong (ia tidak bersilang atau selari).

CONTOH:

MASALAH 434 Segitiga ABC terletak pada satah, a

Segitiga ABC terletak pada satah, tetapi titik D tidak berada dalam satah ini. Titik M, N dan K masing-masing ialah titik tengah segmen DA, DB dan DC

Teorem. Jika satu daripada dua garis terletak pada satah tertentu, dan satu lagi memotong satah ini pada titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garisan ini bersilang.

Dalam Rajah. 26 garis lurus a terletak pada satah, dan garis lurus c bersilang di titik N. Garis a dan c bersilang.

Teorem. Melalui setiap dua garis bersilang hanya terdapat satu satah yang selari dengan garis yang satu lagi.

Dalam Rajah. 26 garis a dan b bersilang. Garis lurus dilukis dan satah dilukis (alfa) || b (dalam satah B (beta) garis lurus a1 || b ditunjukkan).

Teorem 3.2.

Dua garis selari dengan satu pertiga adalah selari.

Harta ini dipanggil transitivity keselarian garisan.

Bukti

Biarkan garis a dan b selari serentak dengan garis c. Mari kita andaikan bahawa a tidak selari dengan b, kemudian garis a bersilang garis b pada satu titik A, yang tidak terletak pada garis c mengikut keadaan. Akibatnya, kita mempunyai dua garis a dan b, melalui titik A, tidak terletak pada garis c tertentu, dan pada masa yang sama selari dengannya. Ini bercanggah dengan aksiom 3.1. Teorem telah terbukti.

Teorem 3.3.

Melalui titik yang tidak terletak pada garis tertentu, satu dan hanya satu garis boleh dilukis selari dengan garis yang diberi.

Bukti

Biarkan (AB) ialah garis yang diberi, C titik tidak terletak di atasnya. Talian AC membahagikan satah kepada dua satah separuh. Titik B terletak pada salah satu daripadanya. Selaras dengan aksiom 3.2, adalah mungkin untuk mendepositkan sudut (ACD) dari sinar C A sama dengan sudut (CAB) ke dalam separuh satah lain. ACD dan CAB adalah sama melintang dalaman terletak dengan garis AB dan CD dan sekan (AC) Kemudian, dengan Teorem 3.1 (AB) || (CD). Mengambil kira aksiom 3.1. Teorem telah terbukti.

Sifat garis selari diberikan oleh teorem berikut, bertentangan dengan Teorem 3.1.

Teorem 3.4.

Jika dua garis selari bersilang dengan garis ketiga, maka sudut pedalaman yang bersilang adalah sama.

Bukti

Biarkan (AB) || (CD). Mari kita andaikan bahawa ACD ≠ BAC. Melalui titik A kita lukis garis lurus AE supaya EAC = ACD. Tetapi kemudian, oleh Teorem 3.1 (AE ) || (CD ), dan mengikut syarat – (AB ) || (CD). Selaras dengan Teorem 3.2 (AE ) || (AB). Ini bercanggah dengan Teorem 3.3, mengikut mana melalui titik A yang tidak terletak pada garis CD, seseorang boleh melukis garis unik selari dengannya. Teorem telah terbukti.

Rajah 3.3.1.

Berdasarkan teorem ini, sifat-sifat berikut boleh dibenarkan dengan mudah.

Jika dua garis selari bersilang dengan garis ketiga, maka sudut yang sepadan adalah sama.

Jika dua garis selari bersilang dengan garis ketiga, maka hasil tambah sudut sebelah dalam ialah 180°.

Akibat 3.2.

Jika garis berserenjang dengan salah satu garis selari, maka ia juga berserenjang dengan yang lain.

Konsep paralelisme membolehkan kita memperkenalkan konsep baharu berikut, yang akan diperlukan kemudian dalam Bab 11.

Dua sinar itu dipanggil sama diarahkan, jika terdapat garis yang, pertama, ia berserenjang dengan garis ini, dan kedua, sinar terletak pada separuh satah yang sama berbanding dengan garis ini.

Dua sinar itu dipanggil berlawanan arah, jika setiap satu daripadanya diarahkan sama dengan sinar yang saling melengkapi.

Kami akan menandakan sinar terarah sama AB dan CD: dan sinar berarah bertentangan AB dan CD -

Rajah 3.3.2.

Tanda garisan lintasan.

Jika satu daripada dua garisan terletak pada satah tertentu, dan garisan yang satu lagi memotong satah ini pada satu titik yang tidak terletak pada garisan pertama, maka garisan ini bersilang.

Kes susunan garisan bersama dalam ruang.

1. Terdapat empat kes susunan dua garisan yang berbeza dalam ruang:

   
   

   – lintasan lurus, i.e. jangan berbaring dalam satah yang sama;

   – garis lurus bersilang, i.e. terletak pada satah yang sama dan mempunyai satu titik yang sama;

   – garis selari, i.e. berbaring dalam satah yang sama dan tidak bersilang;

   - garisan bertepatan.

   
   

   Mari kita dapatkan ciri-ciri kes ini bagi kedudukan relatif garis yang diberikan oleh persamaan kanonik

   
   
   di mana — titik kepunyaan garisan Dan sewajarnya, a— vektor arah (Rajah 4.34). Mari kita nyatakan denganvektor yang menghubungkan titik-titik tertentu.
   
   

   Ciri berikut sepadan dengan kes kedudukan relatif garisan yang disenaraikan di atas:

   
   

   – vektor lurus dan lintasan bukan coplanar;

   
   

   – garis lurus dan vektor bersilang adalah koplanar, tetapi vektor bukan kolinear;

   
   

   – vektor langsung dan selari adalah kolinear, tetapi vektor bukan kolinear;

   
   

   – garis lurus dan vektor bertepatan adalah kolinear.

   
   

   Syarat ini boleh ditulis menggunakan sifat produk campuran dan vektor. Ingat bahawa hasil campuran vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat ditemui dengan formula:

   
   
   dan penentu bersilang adalah sifar, dan baris kedua dan ketiganya tidak berkadar, i.e.
   

   – garis lurus dan selari kedua dan ketiga bagi penentu adalah berkadar, i.e. dan dua baris pertama tidak berkadar, i.e.

   
   

   – garis lurus dan semua garis penentu bertepatan dan berkadar, i.e.

Bukti ujian garis condong.

Jika satu daripada dua garisan terletak dalam satah, dan yang satu lagi memotong satah ini pada satu titik yang bukan milik garisan pertama, maka kedua-dua garis ini bersilang.

Bukti

Biarkan a tergolong dalam α, b bersilang α = A, A bukan milik a (Lukisan 2.1.2). Mari kita andaikan bahawa garis a dan b adalah tidak bersilang, iaitu, ia bersilang. Maka wujud sebuah satah β di mana garis a dan b tergolong. Dalam satah ini β terletak satu garis a dan satu titik A. Oleh kerana garis a dan titik A di luar ia mentakrifkan satu satah, maka β = α. Tetapi b memacu β dan b bukan milik α, oleh itu kesamaan β = α adalah mustahil.

Jika dua garisan dalam ruang mempunyai titik sepunya, maka kedua-dua garis ini dikatakan bersilang. Dalam rajah berikut, garis a dan b bersilang di titik A. Garis a dan c tidak bersilang.

Mana-mana dua garis lurus sama ada hanya mempunyai satu titik sepunya atau tidak mempunyai titik sepunya.

Garis selari

Dua garisan di angkasa dipanggil selari jika ia terletak pada satah yang sama dan tidak bersilang. Untuk menandakan garis selari, gunakan ikon khas - ||.

Notasi a||b bermakna garis a selari dengan garis b. Dalam rajah yang dibentangkan di atas, garis a dan c adalah selari.

Teorem Garis Selari

Melalui mana-mana titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, terdapat melewati garis selari dengan yang diberikan dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.

Melintasi garisan

Dua garisan yang terletak pada satah yang sama boleh bersilang atau selari. Tetapi di angkasa, dua garis lurus tidak semestinya tergolong dalam satah ini. Mereka boleh terletak dalam dua satah yang berbeza.

Adalah jelas bahawa garisan yang terletak dalam satah yang berbeza tidak bersilang dan bukan garis selari. Dua garis yang tidak terletak pada satah yang sama dipanggil melintasi garisan lurus.

Rajah berikut menunjukkan dua garis lurus bersilang a dan b, yang terletak pada satah yang berbeza.

Uji dan teorem pada garis condong

Jika satu daripada dua garisan terletak pada satah tertentu, dan garisan yang satu lagi memotong satah ini pada satu titik yang tidak terletak pada garisan pertama, maka garisan ini bersilang.

Teorem pada garis condong: melalui setiap dua garis yang bersilang terdapat satah yang selari dengan garis yang satu lagi, dan, lebih-lebih lagi, hanya satu.

Oleh itu, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan kes kedudukan relatif garis dalam ruang. Terdapat hanya tiga daripada mereka.

1. Garisan bersilang. (Iaitu, mereka hanya mempunyai satu titik persamaan.)

2. Garisan adalah selari. (Iaitu, mereka tidak mempunyai titik yang sama dan terletak dalam satah yang sama.)

3. Garis lurus bersilang. (Iaitu, mereka terletak di satah yang berbeza.)