Kami akan mempertimbangkan ungkapan siri Fourier dalam bentuk trigonometri dan kompleks, dan juga memberi perhatian kepada syarat Dirichlet untuk penumpuan siri Fourier. Di samping itu, kami akan membincangkan secara terperinci tentang penjelasan konsep seperti frekuensi negatif spektrum isyarat, yang sering menyebabkan kesukaran apabila menjadi biasa dengan teori analisis spektrum.
Isyarat berkala. Siri Trigonometri Fourier
Biarkan terdapat isyarat berkala masa berterusan yang berulang dengan tempoh c, i.e. , di mana ialah integer arbitrari.
Sebagai contoh, Rajah 1 menunjukkan urutan denyutan segi empat tepat tempoh c, diulang dengan tempoh c.
Rajah 1. Urutan berkala
denyutan segi empat tepat
Daripada kursus analisis matematik diketahui bahawa sistem fungsi trigonometri
Dengan berbilang frekuensi , di mana rad/s ialah integer, ia membentuk asas ortonormal untuk penguraian isyarat berkala dengan tempoh yang memenuhi syarat Dirichlet. Syarat Dirichlet untuk penumpuan siri Fourier memerlukan isyarat berkala dinyatakan pada segmen dan memenuhi syarat berikut:
Contohnya, fungsi berkala 
tidak memenuhi syarat Dirichlet kerana fungsi mempunyai ketakselanjaran jenis kedua dan mengambil nilai tak terhingga pada , dengan integer arbitrari. Jadi fungsinya tidak boleh diwakili berhampiran Fourier. Anda juga boleh memberikan contoh fungsi 
, yang terhad, tetapi juga tidak memenuhi syarat Dirichlet, kerana ia mempunyai bilangan mata ekstrem yang tidak terhingga apabila ia menghampiri sifar. Graf fungsi ditunjukkan dalam Rajah 2.
Rajah 2. Graf fungsi :
a - dua tempoh pengulangan; b - di kawasan berhampiran
Rajah 2a menunjukkan dua tempoh ulangan bagi fungsi tersebut , dan dalam Rajah 2b - kawasan di sekitar . Ia boleh dilihat bahawa apabila ia menghampiri sifar, kekerapan ayunan meningkat tanpa terhingga, dan fungsi sedemikian tidak boleh diwakili oleh siri Fourier, kerana ia tidak monotonik sekeping.
Perlu diingatkan bahawa dalam praktiknya tidak ada isyarat dengan nilai arus atau voltan tak terhingga. Berfungsi dengan jenis ekstrem yang tidak terhingga juga tidak berlaku dalam masalah yang digunakan. Semua isyarat berkala nyata memenuhi syarat Dirichlet dan boleh diwakili oleh siri Fourier trigonometri tak terhingga dalam bentuk:
Dalam ungkapan (2), pekali menentukan komponen malar bagi isyarat berkala.
Di semua titik di mana isyarat berterusan, siri Fourier (2) menumpu kepada nilai isyarat yang diberikan, dan pada titik ketakselanjaran jenis pertama - kepada nilai purata , di mana dan adalah had di sebelah kiri dan di sebelah kanan titik ketakselanjaran, masing-masing.
Ia juga diketahui daripada kursus analisis matematik bahawa penggunaan siri Fourier terpotong, yang mengandungi hanya sebutan pertama dan bukannya jumlah tak terhingga, membawa kepada perwakilan anggaran isyarat:
Di mana ralat min kuasa dua minimum dipastikan. Rajah 3 menggambarkan penghampiran kereta api gelombang persegi berkala dan gelombang tanjakan berkala apabila menggunakan bilangan sebutan siri Fourier yang berbeza.
Rajah 3. Penghampiran isyarat menggunakan siri Fourier terpotong:
a - denyutan segi empat tepat; b - isyarat gigi gergaji
Siri Fourier dalam bentuk kompleks
Dalam bahagian sebelumnya, kami mengkaji siri Fourier trigonometri untuk pengembangan isyarat berkala sewenang-wenang yang memenuhi syarat Dirichlet. Menggunakan formula Euler, kita boleh menunjukkan:
Kemudian siri Fourier trigonometri (2) dengan mengambil kira (4):
Oleh itu, isyarat berkala boleh diwakili oleh jumlah komponen malar dan eksponen kompleks berputar pada frekuensi dengan pekali untuk frekuensi positif, dan untuk eksponen kompleks berputar pada frekuensi negatif.
Mari kita pertimbangkan pekali untuk eksponen kompleks berputar dengan frekuensi positif:
Begitu juga, pekali untuk eksponen kompleks berputar dengan frekuensi negatif ialah:
Ungkapan (6) dan (7) bertepatan; sebagai tambahan, komponen malar juga boleh ditulis melalui eksponen kompleks pada frekuensi sifar:
Oleh itu, (5) mengambil kira (6)-(8) boleh diwakili sebagai jumlah tunggal apabila diindeks daripada tolak infiniti kepada infiniti:
Daripada ungkapan (2) ia mengikuti bahawa untuk isyarat sebenar pekali siri (2) juga nyata. Walau bagaimanapun, (9) mengaitkan isyarat sebenar dengan set pekali konjugat kompleks yang berkaitan dengan kedua-dua frekuensi positif dan negatif.
Beberapa penjelasan siri Fourier dalam bentuk kompleks
Dalam bahagian sebelumnya, kami membuat peralihan daripada siri Fourier trigonometri (2) kepada siri Fourier dalam bentuk kompleks (9). Akibatnya, bukannya mengurai isyarat berkala dalam asas fungsi trigonometri sebenar, kami menerima pengembangan dalam asas eksponen kompleks, dengan pekali kompleks, malah frekuensi negatif muncul dalam pengembangan! Memandangkan isu ini sering disalah ertikan, beberapa penjelasan diperlukan.
Pertama, bekerja dengan eksponen kompleks dalam kebanyakan kes lebih mudah daripada bekerja dengan fungsi trigonometri. Sebagai contoh, apabila mendarab dan membahagi eksponen kompleks, cukup dengan hanya menambah (menolak) eksponen, manakala formula untuk mendarab dan membahagi fungsi trigonometri adalah lebih rumit.
Membezakan dan menyepadukan eksponen, walaupun yang kompleks, juga lebih mudah daripada fungsi trigonometri, yang sentiasa berubah apabila dibezakan dan disepadukan (sinus bertukar menjadi kosinus dan sebaliknya).
Jika isyarat berkala dan nyata, maka siri Fourier trigonometri (2) kelihatan lebih jelas, kerana semua pekali pengembangan , dan kekal nyata. Walau bagaimanapun, seseorang sering perlu berurusan dengan isyarat berkala yang kompleks (contohnya, apabila memodulasi dan penyahmodulasian, perwakilan kuadratur sampul kompleks digunakan). Dalam kes ini, apabila menggunakan siri trigonometri Fourier, semua pekali , dan pengembangan (2) akan menjadi kompleks, manakala apabila menggunakan siri Fourier dalam bentuk kompleks (9), pekali pengembangan yang sama akan digunakan untuk kedua-dua isyarat input sebenar dan kompleks. .
Dan akhirnya, adalah perlu untuk memikirkan penjelasan tentang frekuensi negatif yang muncul dalam (9). Soalan ini sering menimbulkan salah faham. DALAM Kehidupan seharian kita tidak menghadapi frekuensi negatif. Sebagai contoh, kami tidak pernah menala radio kami kepada frekuensi negatif. Mari kita pertimbangkan analogi berikut dari mekanik. Biarkan terdapat bandul spring mekanikal yang berayun bebas dengan frekuensi tertentu. Bolehkah bandul berayun dengan frekuensi negatif? Sudah tentu tidak. Sama seperti tiada stesen radio yang menyiarkan pada frekuensi negatif, kekerapan ayunan bandul tidak boleh negatif. Tetapi bandul spring ialah objek satu dimensi (bandul berayun sepanjang satu garis lurus).
Kita juga boleh memberikan analogi lain dari mekanik: roda berputar dengan frekuensi . Roda, tidak seperti bandul, berputar, i.e. titik pada permukaan roda bergerak dalam satah, dan tidak hanya berayun sepanjang satu garis lurus. Oleh itu, untuk menentukan secara unik putaran roda, menetapkan kelajuan putaran tidak mencukupi, kerana ia juga perlu untuk menetapkan arah putaran. Inilah sebabnya mengapa kita boleh menggunakan tanda frekuensi.
Jadi, jika roda berputar dengan rad frekuensi sudut / s lawan jam, maka kami menganggap bahawa roda berputar dengan frekuensi positif, dan jika mengikut arah jam, maka kekerapan putaran akan menjadi negatif. Oleh itu, untuk arahan putaran, frekuensi negatif tidak lagi menjadi karut dan menunjukkan arah putaran.
Dan sekarang perkara yang paling penting yang mesti kita fahami. Ayunan objek satu dimensi (contohnya, bandul spring) boleh diwakili sebagai jumlah putaran dua vektor yang ditunjukkan dalam Rajah 4.
Rajah 4. Ayunan bandul spring
sebagai hasil tambah putaran dua vektor
pada satah kompleks
Bandul berayun di sepanjang paksi sebenar satah kompleks dengan frekuensi mengikut hukum harmonik. Pergerakan bandul ditunjukkan sebagai vektor mendatar. Vektor atas berputar pada satah kompleks dengan frekuensi positif (lawan arah jam), dan vektor bawah berputar dengan frekuensi negatif (mengikut arah jam). Rajah 4 dengan jelas menggambarkan hubungan yang terkenal dari kursus trigonometri:
Oleh itu, siri Fourier dalam bentuk kompleks (9) mewakili isyarat satu dimensi berkala sebagai jumlah vektor pada satah kompleks berputar dengan frekuensi positif dan negatif. Pada masa yang sama, mari kita ambil perhatian bahawa dalam kes isyarat sebenar, menurut (9), pekali pengembangan untuk frekuensi negatif adalah konjugat kompleks kepada pekali sepadan untuk frekuensi positif. Dalam kes isyarat kompleks, sifat pekali ini tidak dipegang kerana fakta bahawa dan juga kompleks.
Spektrum isyarat berkala
Siri Fourier dalam bentuk kompleks ialah penguraian isyarat berkala kepada jumlah eksponen kompleks yang berputar pada frekuensi positif dan negatif dalam gandaan rad/c dengan pekali kompleks sepadan yang menentukan spektrum isyarat. Pekali kompleks boleh diwakili menggunakan formula Euler sebagai , di mana adalah spektrum amplitud, a ialah spektrum fasa.
Memandangkan isyarat berkala dibentangkan dalam satu baris hanya pada grid frekuensi tetap, spektrum isyarat berkala adalah garis (diskrit).
Rajah 5. Spektrum jujukan berkala
denyutan segi empat tepat:
a - spektrum amplitud; b - spektrum fasa
Rajah 5 menunjukkan contoh amplitud dan spektrum fasa bagi jujukan berkala bagi denyutan segi empat tepat (lihat Rajah 1) pada c, tempoh nadi c dan amplitud nadi B.
Siri Fourier fungsi berkala dengan kala 2π.
Siri Fourier membolehkan kita mengkaji fungsi berkala dengan menguraikannya kepada komponen. Arus ulang alik dan voltan, anjakan, kelajuan dan pecutan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah tipikal contoh praktikal aplikasi fungsi berkala dalam pengiraan kejuruteraan.
Pengembangan siri Fourier adalah berdasarkan andaian bahawa semua fungsi kepentingan praktikal dalam selang -π ≤x≤ π boleh dinyatakan dalam bentuk siri trigonometri penumpu (satu siri dianggap menumpu jika jujukan jumlah separa yang terdiri daripada sebutannya. bertumpu):
Tatatanda piawai (=biasa) melalui hasil tambah sinx dan cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
di mana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ialah pemalar nyata, i.e.
Di mana, untuk julat dari -π hingga π, pekali siri Fourier dikira menggunakan formula:
Pekali a o , a n dan b n dipanggil Pekali Fourier, dan jika ia boleh ditemui, maka siri (1) dipanggil di sebelah Fourier, sepadan dengan fungsi f(x). Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) dipanggil pertama atau harmonik asas,
Satu lagi cara untuk menulis siri ialah menggunakan hubungan acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Di mana a o ialah pemalar, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ialah amplitud pelbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.
Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) dipanggil yang pertama atau harmonik asas,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) dipanggil harmonik kedua dan sebagainya.
Untuk mewakili isyarat kompleks dengan tepat biasanya memerlukan bilangan istilah yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, dalam banyak masalah praktikal adalah memadai untuk mempertimbangkan hanya beberapa istilah pertama.
Siri Fourier fungsi bukan berkala dengan kala 2π.
Peluasan fungsi bukan berkala.
Jika fungsi f(x) adalah tidak berkala, ia bermakna ia tidak boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk mentakrifkan siri Fourier yang mewakili fungsi ke atas sebarang julat lebar 2π.
Memandangkan fungsi bukan berkala, fungsi baharu boleh dibina dengan memilih nilai f(x) dalam julat tertentu dan mengulanginya di luar julat itu pada selang 2π. Oleh kerana fungsi baharu adalah berkala dengan kala 2π, ia boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Sebagai contoh, fungsi f(x)=x bukan berkala. Walau bagaimanapun, jika perlu untuk mengembangkannya menjadi siri Fourier dalam selang dari o hingga 2π, maka di luar selang ini fungsi berkala dengan tempoh 2π dibina (seperti ditunjukkan dalam rajah di bawah).
Untuk fungsi bukan berkala seperti f(x)=x, jumlah siri Fourier adalah sama dengan nilai f(x) pada semua titik dalam julat tertentu, tetapi ia tidak sama dengan f(x) untuk mata di luar julat. Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi bukan berkala dalam julat 2π, formula pekali Fourier yang sama digunakan.
Fungsi genap dan ganjil.
Mereka mengatakan fungsi y=f(x) malah, jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi genap sentiasa simetri tentang paksi-y (iaitu, ia adalah imej cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.
Mereka mengatakan bahawa fungsi y=f(x) ganjil, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi ganjil sentiasa simetri tentang asalan.
Banyak fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
Pengembangan siri Fourier dalam kosinus.
Siri Fourier bagi fungsi berkala genap f(x) dengan kala 2π hanya mengandungi sebutan kosinus (iaitu, tiada sebutan sinus) dan mungkin termasuk sebutan tetap. Oleh itu,
di manakah pekali bagi siri Fourier,
Siri Fourier bagi fungsi berkala ganjil f(x) dengan kala 2π hanya mengandungi sebutan dengan sinus (iaitu, ia tidak mengandungi sebutan dengan kosinus).
Oleh itu,
di manakah pekali bagi siri Fourier,
Siri Fourier pada separuh kitaran.
Jika fungsi ditakrifkan untuk julat, katakan dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, ia boleh dikembangkan dalam siri hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Siri Fourier yang terhasil dipanggil berhampiran Fourier pada separuh kitaran.
Jika anda ingin mendapatkan penguraian Fourier separuh kitaran mengikut kosinus fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala genap. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Kerana ia malah berfungsi simetri tentang paksi f(x), lukis garis AB, seperti ditunjukkan dalam Rajah. di bawah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan yang diperolehi bentuk segi tiga adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir kelihatan seperti, tunjukkan. dalam Rajah. di bawah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier dalam kosinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier a o dan a n
Jika anda perlu dapatkan Pengembangan sinus separuh kitaran Fourier fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala ganjil. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Oleh kerana fungsi ganjil adalah simetri tentang asal, kami membina CD baris, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan isyarat gigi gergaji yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier separuh kitaran dari segi sinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier. b
Siri Fourier untuk selang sewenang-wenangnya.
Peluasan fungsi berkala dengan kala L.
Fungsi berkala f(x) berulang apabila x bertambah dengan L, i.e. f(x+L)=f(x). Peralihan daripada fungsi yang dipertimbangkan sebelum ini dengan tempoh 2π kepada fungsi dengan tempoh L agak mudah, kerana ia boleh dilakukan menggunakan perubahan pembolehubah.
Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi f(x) dalam julat -L/2≤x≤L/2, kami memperkenalkan pembolehubah baharu u supaya fungsi f(x) mempunyai tempoh 2π berbanding u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Juga biarkan f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Siri Fourier F(u) mempunyai bentuk
(Had penyepaduan boleh digantikan dengan sebarang selang panjang L, contohnya, dari 0 hingga L)
Siri Fourier pada separuh kitaran untuk fungsi yang dinyatakan dalam selang L≠2π.
Untuk penggantian u=πх/L, selang dari x=0 hingga x=L sepadan dengan selang dari u=0 hingga u=π. Akibatnya, fungsi boleh dikembangkan menjadi siri hanya dalam kosinus atau hanya dalam sinus, i.e. V Siri Fourier pada separuh kitaran.
Pengembangan kosinus dalam julat dari 0 hingga L mempunyai bentuk
, Di mana
.
Siri Fourier bagi fungsi f(x) pada selang (-l;l) ialah siri trigonometri dalam bentuk: 
, Di mana
.
Tujuan. Kalkulator dalam talian direka bentuk untuk mengembangkan fungsi f(x) ke dalam Siri Fourier.
Untuk fungsi modulo (seperti |x|), gunakan pengembangan kosinus.
Peraturan untuk memasukkan fungsi:
Untuk fungsi modulo, gunakan pengembangan kosinus. Contohnya, untuk |x| adalah perlu untuk memasukkan fungsi tanpa modul, i.e. x.Siri Fourier berterusan sekeping, monoton sekeping dan terikat pada selang (- l;l) bagi fungsi itu menumpu pada keseluruhan garis nombor.
Jumlah siri Fourier S(x) :
- ialah fungsi berkala dengan kala 2 l. Fungsi u(x) dipanggil berkala dengan kala T (atau T-berkala) jika untuk semua x bagi rantau R, u(x+T)=u(x).
- pada selang waktu (- l;l) bertepatan dengan fungsi f(x), kecuali titik putus
- pada titik ketakselanjaran (jenis pertama, kerana fungsi itu dibatasi) fungsi f(x) dan pada penghujung selang mengambil nilai purata:
Mereka mengatakan bahawa fungsi berkembang menjadi siri Fourier pada selang (- l;l):
.
Jika f(x) ialah fungsi genap, maka hanya fungsi genap mengambil bahagian dalam pengembangannya, iaitu b n=0.
Jika f(x) ialah fungsi ganjil, maka hanya fungsi ganjil mengambil bahagian dalam pengembangannya, iaitu dan n=0
Berdekatan Fourier
fungsi f(x) pada selang (0; l) oleh kosinus berbilang lengkok
baris itu dipanggil: 
, Di mana 
.
Berdekatan Fourier
fungsi f(x) pada selang (0; l) sepanjang sinus berbilang lengkok
baris itu dipanggil: 
, Di mana 
.
Jumlah siri Fourier di atas kosinus berbilang lengkok ialah fungsi berkala genap dengan kala 2 l, bertepatan dengan f(x) pada selang (0; l) pada titik kesinambungan.
Jumlah siri Fourier di atas sinus berbilang lengkok ialah fungsi berkala ganjil dengan kala 2 l, bertepatan dengan f(x) pada selang (0; l) pada titik kesinambungan.
Siri Fourier untuk fungsi tertentu pada selang tertentu mempunyai sifat keunikan, iaitu, jika pengembangan diperoleh dengan cara lain daripada menggunakan formula, contohnya, dengan memilih pekali, maka pekali ini bertepatan dengan yang dikira daripada formula. .
Contoh No. 1. Kembangkan fungsi f(x)=1:
a) dalam siri Fourier lengkap pada selang(-π ;π);
b) dalam satu siri sepanjang sinus berbilang lengkok pada selang(0;π); plot siri Fourier yang terhasil
Penyelesaian:
a) Pengembangan siri Fourier pada selang (-π;π) mempunyai bentuk: 
,
dan semua pekali b n=0, kerana fungsi ini adalah sekata; Oleh itu,
Jelas sekali, kesaksamaan akan berpuas hati jika kita menerima
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Oleh kerana sifat keunikan, ini adalah pekali yang diperlukan. Oleh itu, penguraian yang diperlukan: 
atau hanya 1=1.
Dalam kes ini, apabila satu siri secara identik bertepatan dengan fungsinya, graf siri Fourier bertepatan dengan graf fungsi pada keseluruhan garis nombor.
b) Pengembangan pada selang (0;π) dari segi sinus berbilang lengkok mempunyai bentuk:
Jelas sekali mustahil untuk memilih pekali supaya kesamaan kekal sama. Mari kita gunakan formula untuk mengira pekali:
Oleh itu, untuk walaupun n (n=2k) kita ada b n=0, untuk ganjil ( n=2k-1) - 
Akhirnya, 
.
Mari kita plot siri Fourier yang terhasil menggunakan sifatnya (lihat di atas).
Pertama sekali, kami membina graf fungsi ini pada selang waktu tertentu. Seterusnya, mengambil kesempatan daripada keganjilan jumlah siri, kami meneruskan graf secara simetri kepada asal: 
Kami meneruskan secara berkala sepanjang garis nombor: 
Dan akhirnya, pada titik rehat kami mengisi nilai purata (antara had kanan dan kiri): 
Contoh No. 2. Kembangkan fungsi 
pada selang (0;6) di sepanjang sinus berbilang lengkok.
Penyelesaian: Pengembangan yang diperlukan mempunyai bentuk:
Oleh kerana kedua-dua belah kiri dan kanan kesamaan mengandungi sahaja berfungsi dosa daripada argumen yang berbeza, anda harus menyemak sama ada, untuk sebarang nilai n (semula jadi!), argumen sinus di sebelah kiri dan bahagian yang betul kesaksamaan:
atau , dari mana n =18. Ini bermakna istilah sedemikian terkandung di sebelah kanan dan pekalinya mesti bertepatan dengan pekali di sebelah kiri: b 18 =1;
atau , dari mana n =4. Bermaksud, b 4 =-5.
Oleh itu, dengan memilih pekali adalah mungkin untuk mendapatkan pengembangan yang dikehendaki:
Belanjawan negeri persekutuan institusi pendidikan pendidikan tinggi
"UNIVERSITI NEGERI VOLGA
TELEKOMUNIKASI DAN MAKLUMAT"
Jabatan Matematik Tinggi
O.V.STAROZHILOVA
BAB KHAS MATEMATIK
protokol No 45, bertarikh 10 Mac 2017
Starozhilova, O.V.
C Bab khas matematik: buku teks //Starozhilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 p.
Tutorial menyentuh cabang-cabang khas matematik: logik matematik dan teori automata, algebra proposisi, kalkulus proposisi, unsur-unsur teori algoritma, analisis regresi, kaedah pengoptimuman.
Untuk pelajar universiti dan sarjana yang belajar ke arah 03/09/02 " Sistem maklumat dan teknologi", yang ingin belajar sendiri bab-bab khas matematik.
Setiap bahagian berakhir dengan soalan kawalan yang akan membantu menyemak penguasaan teori kursus, mengandungi sejumlah besar tugas untuk keputusan bebas dan jawapan untuk disemak.
Manual ini mengandungi kompleks makmal dan beberapa masalah kejuruteraan dengan penekanan pada pelaksanaan perisian kaedah matematik pengiraan.
Starozhilova O.V., 2017
Bab 1 Analisis Harmoni 6
1.1 Masalah rentetan bunyi 7
1.2 Sistem fungsi ortogon 8
1.3 Siri Fourier untuk sistem fungsi trigonometri 10
1.4 Syarat yang mencukupi pengembangan fungsi dalam siri Fourier 13
1.5 Pengembangan siri Fourier bagi fungsi bukan berkala 17
1.6 Siri Fourier untuk fungsi genap dan ganjil 18
1.7 Siri Fourier untuk fungsi mana-mana tempoh 21
1.8 Kamiran Fourier 27
1.9 Kamiran Fourier untuk fungsi genap dan ganjil 29
1.10 Bentuk kompleks Kamiran Fourier 30
1.11 Transformasi Fourier 32
Bab 2 Logik matematik dan IV 33
2.1 Peringkat pembangunan logik 34
2.2 Logik cadangan 38
2.3 Penghubung logik 40
2.4Operasi logik 41
2.5 Abjad kalkulus proposisi 42
2.6 Formula Tautologi 42
2.7 Undang-undang logik proposisi 44
2.8 Teori formal. Kebolehtetasan. Tafsiran 46
2.9 Kaedah aksiomatik 47
2.10 Sistem aksiom kalkulus proposisi (PS) 52
2.11 Peraturan kesimpulan 53
2.12 Peraturan inferens terbitan 56
2.13 Membina kesimpulan dalam logik proposisi 62
2.14 Hubungan antara algebra dan kalkulus proposisi 66
Bab 3 Masalah Analisis Regresi 70
3.1 Kaedah petak terkecil 74
3.2 Analisis regresi linear 76
3.3 Anggaran model regresi 79
3.4 Masalah dalam mengaplikasikan kaedah regresi linear 83
3.5 Prasyarat model statistik LR 85
3.6 Masalah analisis regresi 86
3.7 Multivariate normal model regresi 90
3.8 Variasi pembolehubah bersandar 92
Soalan ujian 94
Bab 4 Rumusan umum dan jenis masalah membuat keputusan 95
4.1 Rumusan matematik masalah pengoptimuman 97
4.2 TF tempatan dan global minimum 99
4.3 Kaedah pengoptimuman tanpa syarat 102
4.4 Kaedah turun koordinat 102
4.5 Kaedah Rosenbrock 105
4.6 Kaedah tatarajah 105
4.7 Kaedah carian rawak 108
4.8 Kaedah Newton 112
Bab 5 Transformasi Fourier 114
5.1 Anggaran fungsi Fourier 114
5.2 Transformasi Fourier 117
5.3 Transformasi Fourier pantas 120
KOMPLEKS MAKMAL 123
Analisis harmonik dan spektrum 123
Topik 1. “Logik cadangan” 131
Varian tugasan individu untuk topik LP 133
Topik 2. Regresi berpasangan linear 140
Kerja makmal № 1 141
Pengiraan pekali persamaan LR 141
Kerja makmal No. 2 144
Mengira pekali korelasi sampel 144
Kerja makmal No. 3 145
Pengiraan anggaran varians LR 145 berpasangan
Kerja makmal No. 4 147
Fungsi Excel untuk pekali LR berpasangan 147
Kerja makmal No. 5 149
Pembinaan anggaran selang untuk fungsi LR berpasangan 149
Kerja makmal No. 6 151
Menyemak kepentingan persamaan LR menggunakan kriteria Fisher 151
Topik 3 Regresi berpasangan bukan linear 153
Kerja makmal No. 7 153
Membina regresi tak linear menggunakan 153
Tambah Arahan Garis Aliran 153
Kerja makmal No. 8 158
Memilih regresi tak linear terbaik 158
Topik 4. Linear regresi berganda 161
Kerja makmal No. 9 162
Pengiraan pekali LMR 162
Kerja makmal No. 10 166
Ujian kepentingan dalam mod Regresi 166
Topik 5. Regresi berbilang tak linear 175
Kerja makmal No. 11 175
Pengiraan untuk fungsi Cobb-Douglas 175
Ujian № 1 179
Regresi berpasangan 179
Ujian No. 2 181
Majmuk regresi linear 181
Kaedah berangka untuk mencari ekstrem tanpa syarat 185
Analisis grafik fungsi 185
Masalah carian satu dimensi 187
Algoritma Svenn 190
Kaedah kekerasan 193
Kaedah carian bitwise 195
Kaedah dikotomi. 198
Kaedah Fibonacci 201
Kaedah nisbah emas 205
Kaedah titik tengah 210
Kaedah Newton 214
Sastera 218
Bab 1 Analisis Harmonik
DefinisiAnalisis harmonik- cabang matematik yang berkaitan dengan penguraian getaran kepada getaran harmonik.
Apabila mengkaji fenomena berkala (iaitu, berulang dalam masa), kami mempertimbangkan fungsi berkala.
Contohnya, ayunan harmonik diterangkan oleh fungsi masa berkala t:
Ø DefinisiFungsi berkala- fungsi yang nilainya tidak berubah apabila nombor bukan sifar tertentu dipanggil tempoh fungsi.
Oleh kerana jumlah dan perbezaan dua tempoh sekali lagi merupakan tempoh dan, oleh itu, sebarang gandaan tempoh juga merupakan tempoh, maka setiap fungsi berkala mempunyai bilangan tempoh yang tidak terhingga.
Jika fungsi berkala mempunyai tempoh sebenar, berterusan dan berbeza daripada pemalar, maka ia mempunyai tempoh positif terkecil T; mana-mana tempoh sebenar lain fungsi yang sama akan mempunyai bentuk kT, Di mana k =±1, ±2,....
Jumlah, hasil darab dan hasil bagi fungsi berkala dengan tempoh yang sama adalah fungsi berkala dengan tempoh yang sama.
Fungsi berkala memainkan peranan yang sangat penting dalam teori ayunan dan dalam fizik matematik secara amnya. Semasa analisis matematik, kami berkenalan dengan konsep siri berfungsi, bekerja dengan kes khasnya yang penting - siri kuasa. Mari kita pertimbangkan satu lagi yang sangat penting (termasuk untuk aplikasi fizikal) kes istimewa siri berfungsi - siri trigonometri.
Ø Definisi Julat fungsi - siri borang
di mana fungsi bergantung pada satu pembolehubah atau beberapa pembolehubah.
Untuk setiap nilai tetap, siri berfungsi bertukar menjadi siri berangka
yang mungkin bertumpu atau mungkin bercapah.
Ø Definisi Titik penumpuan siri berfungsi- titik di mana siri fungsian menumpu.
Ø Definisi Set semua titik penumpuan dipanggil rantau penumpuan siri.
Adakah mungkin fungsi ini mewakili dalam bentuk siri trigonometri, i.e. adakah mungkin untuk mencari pekali? a n Dan b n supaya ada persamaan untuk semua orang
Jumlah siri itu jelas merupakan fungsi berkala. Ini bermakna hanya fungsi berkala boleh dikembangkan menjadi siri trigonometri f.
Di samping itu, jelas bahawa jika dua fungsi berkala bertepatan pada selang yang panjangnya sama dengan tempoh, maka ia bertepatan di mana-mana. Oleh itu, sudah cukup untuk menyemak selang panjang tertentu, sebagai contoh, .
1.1 Masalah rentetan bunyi
Kajian siri trigonometri telah diketuai oleh masalah rentetan bunyi yang ditimbulkan pada abad ke-18.
Memandangkan fungsi, adakah mungkin untuk mencari siri trigonometri yang menumpu dan mempunyai sebagai hasil tambahnya fungsi. Ia adalah perlu untuk mengenakan sekatan ke atasnya supaya seseorang boleh mencari siri trigonometri yang menumpu kepadanya.
Tugas yang sama adalah untuk siri kuasa, jika ia boleh diselesaikan, maka siri sedemikian ialah siri Taylor.
1.2 Sistem fungsi ortogon
Kajian sistematik sistem ortogonal fungsi telah dimulakan berkaitan dengan kaedah Fourier untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan persamaan fizik matematik. Salah satu masalah utama dalam teori sistem ortogonal fungsi ialah masalah penguraian fungsi. f(x) dalam satu siri bentuk , di mana ialah sistem fungsi ortogon.
Ø Definisi Fungsi dipanggil ortogon pada , jika dipenuhi:
q Contoh , 
- fungsi adalah ortogon kepada , kerana 
q Contoh on adalah ortogon kepada mana-mana fungsi yang ditakrifkan pada.
Ø Definisi Sistem fungsi tak terhingga dipanggil ortogon pada jika
q Contoh Sistem fungsi tak terhingga tidak membentuk sistem fungsi ortogon
q Contoh -sistem fungsi trigonometri membentuk satu sistem fungsi ortogonal kepadanya.
, 
, 
.
Ø Definisi Biarkan sistem arbitrari berfungsi ortogon kepada . baris
di mana pekali berangka arbitrari, dipanggil bersebelahan antara satu sama lain mengikut sistem fungsi ortogon.
Ø Definisi Siri mengikut sistem fungsi trigonometri
dipanggil siri trigonometri.
ü Komen Jika jumlah siri trigonometri menumpu pada setiap titik, maka ia adalah berkala, kerana , adalah fungsi berkala dengan kala, maka dalam kesamaan 
tiada apa yang akan berubah, oleh itu berkala.
ü Komen Jika diberikan pada segmen, tetapi tidak , maka dengan mengalihkan asal koordinat ia boleh dikurangkan kepada kes yang dikaji.
ü Komen Jika fungsi berkala dengan kala bukan , maka ia dikembangkan menjadi siri trigonometri
q Teorem Jika siri nombor menumpu, maka siri trigonometri
menumpu secara mutlak dan seragam sepanjang keseluruhan paksi.
Bukti
Oleh itu,
siri - mengambil bahagian dalam siri trigonometri tertentu, dan mengikut ujian Weierstrass, menumpu secara seragam.
Konvergensi mutlak adalah jelas.
1.3 Siri Fourier untuk sistem fungsi trigonometri
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830 – ahli matematik Perancis.
Untuk mengira pekali siri Fourier, kami mengira kamiran
, 
, 
, 
,
q Teorem Jika ada persamaan untuk semua orang
dan siri trigonometri menumpu secara seragam pada keseluruhan paksi, maka pekali siri ini ditentukan
, 
,
Bukti
Siri menumpu secara seragam pada keseluruhan garis nombor, sebutannya ialah fungsi berterusan, maka jumlahnya juga berterusan dan penyepaduan sebutan demi sebutan bagi siri itu mungkin dalam
Setiap kamiran adalah sama dengan sifar, kerana sistem fungsi trigonometri adalah ortogon kepada , dan kemudian
Untuk membuktikannya, darab kedua-dua belah dengan
Ini tidak akan mengganggu penumpuan seragam siri.
Oleh kerana penumpuan seragam siri
dan ini bermakna penumpuan seragam siri.
Menyepadukan pada , kami ada
Disebabkan oleh keortogonan sistem trigonometri fungsi pada
, 
, dan daripada 
kamiran pada ,
, itu, dsb.
Mari kita ingat itu
Kesahan kesamaan ini berikutan daripada penggunaan formula trigonometri kepada integrand.
Formula untuk terbukti dengan cara yang sama.
ü Komen Teorem kekal sah pada mana-mana selang, dan had penyepaduan digantikan dengan dan masing-masing.
Ø Definisi Siri trigonometri
,
yang pekalinya ditentukan oleh formula
, ,
,
dipanggil berhampiran Fourier untuk fungsi, dan pekali dipanggil Pekali Fourier.
Jika siri Fourier bagi fungsi itu f(x) menumpu pada semua titik kesinambungannya, maka kita katakan bahawa fungsi itu f(x) dikembangkan menjadi siri Fourier.
ü Komen Bukan setiap siri trigonometri ialah siri Fourier, walaupun ia menumpu pada keseluruhan garis nombor.
Jumlah siri penumpuan tidak seragam mungkin tidak selanjar dan tidak boleh disepadukan, jadi penentuan pekali Fourier adalah mustahil.
ü Komen Siri Fourier ialah kes khas siri berfungsi.
1.4 Keadaan yang mencukupi untuk pengembangan fungsi dalam siri Fourier
Ø Definisi Fungsi itu dipanggil serpihan monotonik pada segmen, jika segmen ini boleh dibahagikan dengan bilangan mata yang terhad x 1 , x 2 , ..., x n-1 ke dalam selang waktu ( a,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,b) supaya pada setiap selang fungsinya adalah monotonik, iaitu sama ada tidak bertambah atau tidak berkurang.
ü Komen Daripada takrifan, ia berikutan bahawa jika sesuatu fungsi adalah monotonic sekeping dan terikat kepada [ a,b], maka ia hanya mempunyai ketakselanjaran jenis pertama.
Ø Definisi Fungsi itu dipanggil licin sekeping, jika pada setiap selang terhingga ia dan terbitannya mempunyai paling banyak bilangan titik ketakselanjaran terhingga jenis pertama.
q Teorem (keadaan Dirichlet keadaan yang mencukupi untuk kebolehuraian fungsi dalam siri Fourier): Jika fungsi berkala dengan kala memenuhi salah satu syarat:
maka siri Fourier yang dibina untuk fungsi ini menumpu pada semua titik
dan menumpu kepada nombor 
pada setiap titik ketidaksinambungannya.
Jumlah siri yang terhasil adalah sama dengan nilai fungsi pada titik kesinambungan fungsi
Berfungsi, menguraikannya menjadi komponen. Arus ulang alik dan voltan, anjakan, kelajuan dan pecutan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah contoh praktikal tipikal penggunaan fungsi berkala dalam pengiraan kejuruteraan.
Pengembangan siri Fourier adalah berdasarkan andaian bahawa semua fungsi kepentingan praktikal dalam selang -π ≤x≤ π boleh dinyatakan dalam bentuk siri trigonometri penumpu (satu siri dianggap menumpu jika jujukan jumlah separa yang terdiri daripada sebutannya. bertumpu):
Tatatanda piawai (=biasa) melalui hasil tambah sinx dan cosx
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
di mana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. ialah pemalar nyata, i.e.
Di mana, untuk julat dari -π hingga π, pekali siri Fourier dikira menggunakan formula:
Pekali a o , a n dan b n dipanggil Pekali Fourier, dan jika ia boleh ditemui, maka siri (1) dipanggil di sebelah Fourier, sepadan dengan fungsi f(x). Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) dipanggil pertama atau harmonik asas,
Satu lagi cara untuk menulis siri ialah menggunakan hubungan acosx+bsinx=csin(x+α)
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
Di mana a o ialah pemalar, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 ialah amplitud pelbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.
Untuk siri (1), istilah (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) dipanggil yang pertama atau harmonik asas,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) dipanggil harmonik kedua dan sebagainya.
Untuk mewakili isyarat kompleks dengan tepat biasanya memerlukan bilangan istilah yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, dalam banyak masalah praktikal adalah memadai untuk mempertimbangkan hanya beberapa istilah pertama.
Siri Fourier fungsi bukan berkala dengan kala 2π.
Peluasan fungsi bukan berkala kepada siri Fourier.
Jika fungsi f(x) adalah tidak berkala, ia bermakna ia tidak boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk mentakrifkan siri Fourier yang mewakili fungsi ke atas sebarang julat lebar 2π.
Memandangkan fungsi bukan berkala, fungsi baharu boleh dibina dengan memilih nilai f(x) dalam julat tertentu dan mengulanginya di luar julat itu pada selang 2π. Oleh kerana fungsi baharu adalah berkala dengan kala 2π, ia boleh dikembangkan menjadi siri Fourier untuk semua nilai x. Sebagai contoh, fungsi f(x)=x bukan berkala. Walau bagaimanapun, jika perlu untuk mengembangkannya menjadi siri Fourier dalam selang dari o hingga 2π, maka di luar selang ini fungsi berkala dengan tempoh 2π dibina (seperti ditunjukkan dalam rajah di bawah).
Untuk fungsi bukan berkala seperti f(x)=x, jumlah siri Fourier adalah sama dengan nilai f(x) pada semua titik dalam julat tertentu, tetapi ia tidak sama dengan f(x) untuk mata di luar julat. Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi bukan berkala dalam julat 2π, formula pekali Fourier yang sama digunakan.
Fungsi genap dan ganjil.
Mereka mengatakan fungsi y=f(x) malah, jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi genap sentiasa simetri tentang paksi-y (iaitu, ia adalah imej cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.
Mereka mengatakan bahawa fungsi y=f(x) ganjil, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Graf bagi fungsi ganjil sentiasa simetri tentang asalan.
Banyak fungsi tidak genap dan tidak ganjil.
Pengembangan siri Fourier dalam kosinus.
Siri Fourier bagi fungsi berkala genap f(x) dengan kala 2π hanya mengandungi sebutan kosinus (iaitu, tiada sebutan sinus) dan mungkin termasuk sebutan tetap. Oleh itu,
di manakah pekali bagi siri Fourier,
Siri Fourier bagi fungsi berkala ganjil f(x) dengan kala 2π hanya mengandungi sebutan dengan sinus (iaitu, ia tidak mengandungi sebutan dengan kosinus).
Oleh itu,
di manakah pekali bagi siri Fourier,
Siri Fourier pada separuh kitaran.
Jika fungsi ditakrifkan untuk julat, katakan dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, ia boleh dikembangkan dalam siri hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Siri Fourier yang terhasil dipanggil berhampiran Fourier pada separuh kitaran.
Jika anda ingin mendapatkan penguraian Fourier separuh kitaran mengikut kosinus fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka adalah perlu untuk membina fungsi berkala genap. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Oleh kerana fungsi genap adalah simetri tentang paksi f(x), kita lukis garis AB, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. di bawah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan, bentuk segi tiga yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir kelihatan seperti ini: dalam Rajah. di bawah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier dalam kosinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier a o dan a n
Jika anda ingin mendapatkan fungsi f(x) dalam julat dari 0 hingga π, maka anda perlu membina fungsi berkala ganjil. Dalam Rajah. Di bawah ialah fungsi f(x)=x, dibina pada selang dari x=0 hingga x=π. Oleh kerana fungsi ganjil adalah simetri tentang asal, kami membina CD baris, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. Jika kita menganggap bahawa di luar selang yang dipertimbangkan isyarat gigi gergaji yang terhasil adalah berkala dengan tempoh 2π, maka graf akhir mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. Oleh kerana kita perlu mendapatkan pengembangan Fourier separuh kitaran dari segi sinus, seperti sebelum ini, kita mengira pekali Fourier. b
Siri Fourier untuk selang sewenang-wenangnya.
Peluasan fungsi berkala dengan kala L.
Fungsi berkala f(x) berulang apabila x bertambah L, i.e. f(x+L)=f(x). Peralihan daripada fungsi yang dipertimbangkan sebelum ini dengan tempoh 2π kepada fungsi dengan tempoh L agak mudah, kerana ia boleh dilakukan menggunakan perubahan pembolehubah.
Untuk mencari siri Fourier bagi fungsi f(x) dalam julat -L/2≤x≤L/2, kami memperkenalkan pembolehubah baharu u supaya fungsi f(x) mempunyai tempoh 2π berbanding u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Juga biarkan f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Siri Fourier F(u) mempunyai bentuk
Di manakah pekali bagi siri Fourier,
Walau bagaimanapun, lebih kerap formula di atas menghasilkan pergantungan pada x. Oleh kerana u=2πx/L, ia bermakna du=(2π/L)dx, dan had penyepaduan adalah dari -L/2 hingga L/2 dan bukannya - π hingga π. Akibatnya, siri Fourier untuk pergantungan pada x mempunyai bentuk
di mana dalam julat dari -L/2 hingga L/2 ialah pekali bagi siri Fourier,
(Had penyepaduan boleh digantikan dengan sebarang selang panjang L, contohnya, dari 0 hingga L)
Siri Fourier pada separuh kitaran untuk fungsi yang dinyatakan dalam selang L≠2π.
Untuk penggantian u=πх/L, selang dari x=0 hingga x=L sepadan dengan selang dari u=0 hingga u=π. Akibatnya, fungsi boleh dikembangkan menjadi siri hanya dalam kosinus atau hanya dalam sinus, i.e. V Siri Fourier pada separuh kitaran.
Pengembangan kosinus dalam julat dari 0 hingga L mempunyai bentuk
