Pada kuliah, LNDE dipelajari - tidak homogen linear persamaan pembezaan. Struktur penyelesaian am dipertimbangkan, penyelesaian LPDE menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari, penyelesaian LPDE dengan pekali malar dan sebelah kanan jenis khas. Isu yang sedang dipertimbangkan digunakan dalam kajian ayunan paksa dalam fizik, kejuruteraan elektrik dan elektronik, dan teori kawalan automatik.
1. Struktur penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear tertib ke-2.
Mari kita pertimbangkan dahulu persamaan tak homogen linear bagi susunan arbitrari:
Dengan mengambil kira notasi, kita boleh menulis:
Dalam kes ini, kita akan menganggap bahawa pekali dan sebelah kanan persamaan ini adalah selanjar pada selang tertentu.
Teorem. Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear dalam domain tertentu ialah hasil tambah mana-mana penyelesaiannya dan penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan.
Bukti. Biarkan Y ialah beberapa penyelesaian kepada persamaan tak homogen.
Kemudian, apabila menggantikan penyelesaian ini ke dalam persamaan asal, kita memperoleh identiti:
biarlah 
- sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen linear 
. Kemudian keputusan bersama persamaan homogen boleh ditulis sebagai:
Khususnya, untuk persamaan pembezaan tak homogen linear tertib ke-2, struktur penyelesaian am mempunyai bentuk:
di mana 
ialah sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan, dan 
- sebarang penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.
Oleh itu, untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen linear, adalah perlu untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen yang sepadan dan entah bagaimana mencari satu penyelesaian tertentu. persamaan tak homogen. Biasanya ia ditemui melalui pemilihan. Kami akan mempertimbangkan kaedah untuk memilih penyelesaian peribadi dalam soalan berikut.
2. Kaedah variasi
Dalam amalan, adalah mudah untuk menggunakan kaedah mengubah pemalar sewenang-wenangnya.
Untuk melakukan ini, mula-mula cari penyelesaian umum kepada persamaan homogen yang sepadan dalam bentuk:
Kemudian, tetapkan pekali C i fungsi daripada X, penyelesaian kepada persamaan tak homogen dicari:
Ia boleh dibuktikan bahawa untuk mencari fungsi C i (x) kita perlu menyelesaikan sistem persamaan:
Contoh. Selesaikan persamaan 
Menyelesaikan persamaan homogen linear 
Penyelesaian kepada persamaan tak homogen akan mempunyai bentuk:
Mari kita buat sistem persamaan:
Mari selesaikan sistem ini:
Daripada hubungan itu kita dapati fungsi Oh).
Sekarang kita dapati B(x).
Kami menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula untuk penyelesaian umum persamaan tidak homogen:
Jawapan akhir: 
Secara umumnya, kaedah variasi pemalar arbitrari adalah sesuai untuk mencari penyelesaian kepada mana-mana persamaan tak homogen linear. Tapi sebab Mencari sistem asas penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan boleh menjadi tugas yang agak sukar; kaedah ini digunakan terutamanya untuk persamaan tidak homogen dengan pekali malar.
3. Persamaan dengan sebelah kanan bentuk khas
Nampaknya mungkin untuk membayangkan jenis penyelesaian tertentu bergantung pada jenis sebelah kanan persamaan tidak homogen.
Kes berikut dibezakan:
I. Bahagian kanan persamaan pembezaan tak homogen linear mempunyai bentuk:
di mana polinomial darjah m.
Kemudian penyelesaian tertentu dicari dalam bentuk:
Di sini Q(x) - polinomial yang sama darjah dengan P(x) , hidung pekali tidak pasti, A r– nombor yang menunjukkan berapa kali nombor ialah punca persamaan ciri bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan.
Contoh. Selesaikan persamaan 
.
Mari kita selesaikan persamaan homogen yang sepadan: 
Sekarang mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen asal.
Mari kita bandingkan sisi kanan persamaan dengan bentuk sisi kanan yang dibincangkan di atas.
Kami mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk: 
, Di mana
Itu. 
Sekarang mari kita tentukan pekali yang tidak diketahui A Dan DALAM.
Marilah kita menggantikan penyelesaian tertentu dalam bentuk umum ke dalam persamaan pembezaan tak homogen asal.
Jumlah penyelesaian peribadi: 
Maka penyelesaian umum persamaan pembezaan tak homogen linear ialah:
II. Sisi kanan persamaan pembezaan tak homogen linear mempunyai bentuk:
Di sini R 1 (X) Dan R 2 (X)– polinomial darjah m 1 dan m 2 masing-masing.
Kemudian penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen akan mempunyai bentuk:
mana nombornya r menunjukkan berapa kali nombor 
ialah punca persamaan ciri bagi persamaan homogen yang sepadan, dan Q 1
(x)
Dan
Q 2
(x)
– polinomial darjah tidak lebih tinggi daripada m, Di mana m- ijazah terbesar m 1
Dan m 2
.
Jadual ringkasan jenis penyelesaian persendirian
untuk pelbagai jenis sisi kanan
|
Bahagian kanan persamaan pembezaan |
persamaan ciri |
Jenis persendirian |
|
|
|
1. Nombor bukan punca persamaan ciri |
|
|
|
2. Nombor ialah punca bagi persamaan ciri kedaraban |
|
||
|
|
1. Nombor |
|
|
|
2. Nombor |
|
||
|
1. Nombor |
|
||
|
2. Nombor |
|
||
|
1. Nombor | |||
|
2. Nombor |
bukan punca persamaan ciri
ialah punca persamaan ciri bagi kepelbagaian 
ialah punca-punca persamaan ciri kepelbagaian 
bukan punca persamaan kepelbagaian ciri 
ialah punca-punca persamaan ciri kepelbagaian 
Ambil perhatian bahawa jika sebelah kanan persamaan ialah gabungan ungkapan jenis yang dipertimbangkan di atas, maka penyelesaian itu didapati sebagai gabungan penyelesaian kepada persamaan tambahan, setiap satunya mempunyai sebelah kanan yang sepadan dengan ungkapan yang disertakan. dalam gabungan.
Itu. jika persamaannya ialah: 
, maka penyelesaian tertentu kepada persamaan ini ialah 
di mana di 1
Dan di 2
– penyelesaian khusus persamaan tambahan
Dan 
Untuk menggambarkan, mari kita selesaikan contoh di atas dengan cara yang berbeza.
Contoh. Selesaikan persamaan 
Mari kita wakili sebelah kanan persamaan pembezaan sebagai hasil tambah dua fungsi f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- dosa x).
Mari kita karang dan selesaikan persamaan ciri:
Kami mendapat: I.e. 
Jumlah: 
Itu. penyelesaian khusus yang diperlukan mempunyai bentuk: 
Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tidak homogen:
Mari lihat contoh aplikasi kaedah yang diterangkan.
Contoh 1.. Selesaikan persamaan 
Mari kita susun persamaan ciri untuk persamaan pembezaan homogen linear yang sepadan:
Sekarang mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen dalam bentuk:
Mari kita gunakan kaedah pekali tak tentu.
Menggantikan ke dalam persamaan asal, kita dapat:
Penyelesaian tertentu mempunyai bentuk: 
Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear: 
Contoh. Selesaikan persamaan 
Persamaan ciri:
Penyelesaian umum persamaan homogen: 
Penyelesaian khusus persamaan tak homogen: 
.
Kami mencari derivatif dan menggantikannya ke dalam persamaan tak homogen asal:
Kami memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan tak homogen:
Asas menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear (LNDE-2) dengan pekali malar (PC)
LDDE tertib ke-2 dengan pekali malar $p$ dan $q$ mempunyai bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dengan $f\left(x \right)$ ialah fungsi berterusan.
Berkenaan dengan LNDU 2 dengan PC, dua kenyataan berikut adalah benar.
Mari kita andaikan bahawa sesetengah fungsi $U$ ialah penyelesaian separa arbitrari bagi persamaan pembezaan tak homogen. Mari kita juga andaikan bahawa sesetengah fungsi $Y$ ialah penyelesaian am (GS) bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kemudian GR bagi LHDE-2 adalah sama dengan jumlah penyelesaian persendirian dan umum yang ditunjukkan, iaitu, $y=U+Y$.
Jika sebelah kanan LMDE tertib ke-2 ialah jumlah fungsi, iaitu, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \kanan)+ ..+f_(r) \kiri(x\kanan)$, maka mula-mula kita boleh mencari PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ yang sepadan kepada setiap fungsi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, dan selepas itu tulis CR LNDU-2 dalam bentuk $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Penyelesaian LPDE pesanan ke-2 dengan PC
Jelas sekali bahawa jenis satu atau satu lagi PD $U$ bagi LNDU-2 tertentu bergantung pada bentuk khusus sebelah kanan $f\left(x\right)$. Kes paling mudah untuk mencari PD LNDU-2 dirumuskan dalam bentuk empat peraturan berikut.
Peraturan #1.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, iaitu dipanggil a polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dengan $Q_(n) \left(x\right)$ ialah satu lagi polinomial yang darjah yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri sepadan dengan LOD-2, sama dengan sifar. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah pekali tak tentu (UK).
Peraturan No. 2.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left( x\right)$ ialah polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, di mana $Q_(n ) \ left(x\right)$ ialah polinomial lain yang sama darjah dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri bagi LODE-2 yang sepadan sama dengan $\alpha $. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.
Peraturan No. 3.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, di mana $a$, $b$ dan $\beta$ berada nombor yang diketahui. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kanan )\cdot x^(r) $, dengan $A$ dan $B$ ialah pekali yang tidak diketahui, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $i\cdot \beta $. Pekali $A$ dan $B$ didapati menggunakan kaedah tidak musnah.
Peraturan No. 4.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dengan $P_(n) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $ n$, dan $P_(m) \kiri(x\kanan)$ ialah polinomial darjah $m$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, di mana $Q_(s) \left(x\right)$ dan $ R_(s) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $s$, nombor $s$ ialah maksimum dua nombor $n$ dan $m$, dan $r$ ialah bilangan punca daripada persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Pekali polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.
Kaedah NK terdiri daripada menggunakan peraturan berikut. Untuk mencari pekali polinomial yang tidak diketahui yang merupakan sebahagian daripada penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan tak homogen LNDU-2, adalah perlu:
- gantikan PD $U$, ditulis dalam bentuk am, ke dalam sebelah kiri LNDU-2;
- di sebelah kiri LNDU-2, lakukan penyederhanaan dan istilah kumpulan dengan kuasa yang sama $x$;
- dalam identiti yang terhasil, samakan pekali sebutan dengan kuasa yang sama $x$ sisi kiri dan kanan;
- menyelesaikan sistem yang terhasil persamaan linear berbanding dengan pekali yang tidak diketahui.
Contoh 1
Tugasan: cari ATAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\kiri(36\cdot x+12\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $. Cari juga PD , memenuhi syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.
Kami menulis LOD-2 yang sepadan: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Persamaan ciri: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Punca-punca persamaan ciri ialah: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini adalah sah dan berbeza. Oleh itu, OR bagi LODE-2 yang sepadan mempunyai bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Bahagian kanan LNDU-2 ini mempunyai bentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Adalah perlu untuk mempertimbangkan pekali bagi eksponen $\alpha =3$. Pekali ini tidak bertepatan dengan mana-mana punca persamaan ciri. Oleh itu, PD LNDU-2 ini mempunyai bentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Kami akan mencari pekali $A$, $B$ menggunakan kaedah NC.
Kami mendapati terbitan pertama Republik Czech:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami mendapati terbitan kedua Republik Czech:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot \kiri(e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\kiri(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami menggantikan fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ bukannya $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam NLDE-2 $y""-3\cdot y" yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Selain itu, kerana eksponen $e^(3\cdot x) $ disertakan sebagai faktor dalam semua komponen, maka ia boleh ditinggalkan.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Kami melakukan tindakan di sebelah kiri kesamaan yang terhasil:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Kami menggunakan kaedah NDT. Kami memperoleh sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Penyelesaian kepada sistem ini ialah: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk masalah kami kelihatan seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
OR $y=Y+U$ untuk masalah kami kelihatan seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Untuk mencari PD yang memenuhi syarat awal yang diberikan, kita dapati derivatif $y"$ OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami menggantikan kepada $y$ dan $y"$ syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Kami menerima sistem persamaan:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Jom selesaikan. Kami dapati $C_(1) $ menggunakan formula Cramer, dan $C_(2) $ kami tentukan daripada persamaan pertama:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mula(tatasusunan)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \tamat(tatasusunan)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Oleh itu, PD bagi persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.
|
Persamaan pembezaan tertib kedua tidak homogen dengan pekali malar |
|
Struktur penyelesaian umum Persamaan tak homogen linear jenis ini mempunyai bentuk: di mana hlm, q− nombor tetap (yang boleh sama ada nyata atau kompleks). Untuk setiap persamaan tersebut kita boleh menulis yang sepadan persamaan homogen:
Teorem: Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen ialah hasil tambah penyelesaian am y 0 (x) daripada persamaan homogen yang sepadan dan penyelesaian tertentu y 1 (x) persamaan tak homogen:
Di bawah ini kita akan mempertimbangkan dua cara untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tidak homogen. Kaedah variasi pemalar Jika penyelesaian umum y 0 daripada persamaan homogen yang berkaitan diketahui, maka penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen boleh didapati menggunakan kaedah variasi malar. Biarkan penyelesaian umum persamaan pembezaan tertib kedua homogen mempunyai bentuk: Daripada kekal C 1 dan C 2 kita akan mempertimbangkan fungsi tambahan C 1 (x) Dan C 2 (x). Kami akan mencari fungsi ini supaya penyelesaiannya memenuhi persamaan tidak homogen dengan bahagian sebelah kanan f(x). Fungsi tidak diketahui C 1 (x) Dan C 2 (x) ditentukan daripada sistem dua persamaan:
Kaedah pekali tidak pasti Bahagian kanan f(x) bagi persamaan pembezaan tidak homogen selalunya merupakan fungsi polinomial, eksponen atau trigonometri, atau beberapa gabungan fungsi ini. Dalam kes ini, adalah lebih mudah untuk mencari penyelesaian menggunakan kaedah pekali tidak pasti. Mari kita tekankan itu kaedah ini berfungsi hanya untuk kelas fungsi terhad di sebelah kanan, seperti  Dalam kedua-dua kes, pilihan penyelesaian tertentu mesti sepadan dengan struktur sebelah kanan persamaan pembezaan tak homogen. Dalam kes 1, jika nombor α V fungsi eksponen bertepatan dengan punca persamaan ciri, maka penyelesaian tertentu akan mengandungi faktor tambahan x s, Di mana s− kepelbagaian akar α dalam persamaan ciri. Dalam kes 2, jika nombor α + βi bertepatan dengan punca persamaan ciri, maka ungkapan untuk penyelesaian tertentu akan mengandungi faktor tambahan x. Pekali yang tidak diketahui boleh ditentukan dengan menggantikan ungkapan yang ditemui untuk penyelesaian tertentu ke dalam persamaan pembezaan tak homogen asal. Prinsip superposisi Jika sebelah kanan persamaan tak homogen ialah jumlah beberapa fungsi bentuk maka penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan juga akan menjadi hasil tambah penyelesaian separa yang dibina secara berasingan bagi setiap sebutan di sebelah kanan. |
|
Contoh 1 |
|
Selesaikan persamaan pembezaan y"" + y= dosa(2 x). Penyelesaian. Mula-mula kita selesaikan persamaan homogen yang sepadan y"" + y= 0.V dalam kes ini punca-punca persamaan ciri adalah khayalan semata-mata: Akibatnya, penyelesaian umum persamaan homogen diberikan oleh ungkapan Mari kita kembali semula kepada persamaan tak homogen. Kami akan mencari penyelesaiannya dalam bentuk menggunakan kaedah variasi pemalar. Fungsi C 1 (x) Dan C 2 (x) boleh didapati daripada sistem seterusnya persamaan:
Mari kita ungkapkan terbitan C 1 " (x) daripada persamaan pertama:
Menggantikan ke dalam persamaan kedua, kita dapati terbitan C 2 " (x):
Ia mengikuti itu Mengintegrasikan ungkapan untuk derivatif C 1 " (x) Dan C 2 " (x), kita mendapatkan: di mana A 1 , A 2 – pemalar penyepaduan. Sekarang mari kita gantikan fungsi yang ditemui C 1 (x) Dan C 2 (x) ke dalam formula untuk y 1 (x) dan tuliskan penyelesaian am bagi persamaan tak homogen:
|
|
Contoh 2 |
|
Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut y"" + y" −6y = 36x. Penyelesaian. Mari kita gunakan kaedah pekali tak tentu. Bahagian kanan persamaan yang diberikan ialah fungsi linear f(x)= ax + b. Oleh itu, kami akan mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk Derivatif adalah sama:
Menggantikan ini ke dalam persamaan pembezaan, kita dapat:
Persamaan terakhir ialah identiti, iaitu, ia sah untuk semua x, oleh itu kita menyamakan pekali sebutan dengan darjah yang sama x di sebelah kiri dan kanan: Daripada sistem yang terhasil kita dapati: A = −6, B= −1. Akibatnya, penyelesaian tertentu ditulis dalam bentuk Sekarang mari kita cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan homogen. Mari kita hitung punca-punca persamaan ciri tambahan: Oleh itu, penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan mempunyai bentuk: Jadi, penyelesaian am bagi persamaan tak homogen asal dinyatakan dengan formula |
Kamiran am DE.
Selesaikan persamaan pembezaan
Tetapi perkara yang paling lucu ialah jawapannya sudah diketahui: , lebih tepat lagi, kita juga mesti menambah pemalar: Kamiran am ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan.
Kaedah variasi pemalar arbitrari. Contoh penyelesaian
Kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen. Pelajaran ini bertujuan untuk pelajar yang sudah lebih kurang mahir dalam topik tersebut. Jika anda baru mula berkenalan dengan alat kawalan jauh, i.e. Jika anda seorang teko, saya cadangkan bermula dengan pelajaran pertama: Persamaan pembezaan tertib pertama. Contoh penyelesaian. Dan jika anda sudah selesai, sila buang kemungkinan prasangka bahawa kaedah itu sukar. Kerana ianya mudah.
Dalam kes apakah kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan?
1) Kaedah variasi pemalar arbitrari boleh digunakan untuk menyelesaikan DE tak homogen linear dari urutan pertama. Oleh kerana persamaan adalah tertib pertama, maka pemalar juga adalah satu.
2) Kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan tertib kedua tak homogen linear. Di sini dua pemalar berbeza-beza.
Adalah logik untuk mengandaikan bahawa pelajaran akan terdiri daripada dua perenggan... Oleh itu, saya menulis ayat ini, dan selama kira-kira 10 minit saya memikirkan tentang omong kosong lain yang boleh saya tambah untuk peralihan yang lancar kepada contoh praktikal. Tetapi atas sebab tertentu saya tidak mempunyai apa-apa pemikiran selepas cuti, walaupun saya nampaknya tidak menyalahgunakan apa-apa. Oleh itu, mari kita terus ke perenggan pertama.
Kaedah variasi pemalar arbitrari untuk persamaan linear tak homogen tertib pertama
Sebelum mempertimbangkan kaedah variasi pemalar sewenang-wenangnya, adalah dinasihatkan untuk membiasakan diri dengan artikel itu Persamaan pembezaan linear urutan pertama. Dalam pelajaran itu kami berlatih penyelesaian pertama tidak homogen 1st order DE. Penyelesaian pertama ini, saya ingatkan anda, dipanggil kaedah penggantian atau kaedah Bernoulli(jangan dikelirukan dengan Persamaan Bernoulli!!!)
Sekarang kita akan lihat penyelesaian kedua– kaedah variasi pemalar arbitrari. Saya hanya akan memberikan tiga contoh, dan saya akan mengambilnya dari pelajaran yang disebutkan di atas. Mengapa begitu sedikit? Kerana sebenarnya, penyelesaian dengan cara kedua akan sangat mirip dengan penyelesaian dengan cara pertama. Di samping itu, menurut pemerhatian saya, kaedah variasi pemalar arbitrari digunakan kurang kerap daripada kaedah penggantian.
Contoh 1
Cari penyelesaian am bagi persamaan pembezaan (Beza daripada Contoh No. 2 pelajaran Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan pertama)
Penyelesaian: Persamaan ini adalah linear tidak homogen dan mempunyai bentuk biasa:
Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan yang lebih mudah: Iaitu, kita dengan bodohnya menetapkan semula bahagian kanan kepada sifar - tulis sifar sebaliknya. Saya akan memanggil persamaan persamaan bantu.
Dalam contoh ini, anda perlu menyelesaikan persamaan bantu berikut:
Sebelum kita persamaan boleh dipisahkan, penyelesaiannya (saya harap) tidak lagi sukar untuk anda:
Oleh itu: – penyelesaian am bagi persamaan tambahan.
Pada langkah kedua kami akan gantikan beberapa tetap untuk sekarang fungsi tidak diketahui yang bergantung pada "x":
Oleh itu nama kaedah - kami mengubah pemalar. Sebagai alternatif, pemalar boleh menjadi beberapa fungsi yang kini perlu kita cari.
DALAM asal dalam persamaan tidak homogen kita buat penggantian:
Mari kita gantikan ke dalam persamaan:
Titik kawalan - dua istilah di sebelah kiri membatalkan. Jika ini tidak berlaku, anda harus mencari ralat di atas.
Hasil daripada penggantian, persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan telah diperolehi. Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan.
Alangkah baiknya, para eksponen juga membatalkan:
Kami menambah pemalar "normal" kepada fungsi yang ditemui:
Pada peringkat akhir, kami ingat tentang pengganti kami:
Fungsi baru sahaja ditemui!
Jadi penyelesaian umum ialah:
Jawapan: keputusan bersama: 
Jika anda mencetak kedua-dua penyelesaian, anda akan perasan dengan mudah bahawa dalam kedua-dua kes kami menemui kamiran yang sama. Satu-satunya perbezaan adalah dalam algoritma penyelesaian.
Sekarang untuk sesuatu yang lebih rumit, saya juga akan mengulas pada contoh kedua:
Contoh 2
Cari penyelesaian am bagi persamaan pembezaan (Beza daripada Contoh No. 8 pelajaran Persamaan pembezaan tak homogen linear bagi urutan pertama)
Penyelesaian: Mari kita bawa persamaan ke bentuk:
Mari kita tetapkan semula bahagian kanan dan selesaikan persamaan tambahan:
Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan: Penyelesaian umum kepada persamaan tambahan:
Dalam persamaan tidak homogen kita membuat penggantian:
Mengikut peraturan pembezaan produk:
Mari kita gantikan ke dalam persamaan tak homogen asal:
Dua istilah di sebelah kiri membatalkan, yang bermaksud kami berada di landasan yang betul: 
Mari kita sepadukan mengikut bahagian. Huruf lazat daripada formula integrasi mengikut bahagian sudah terlibat dalam penyelesaian, jadi kami menggunakan, sebagai contoh, huruf "a" dan "be":
Akhirnya:
Sekarang mari kita ingat penggantinya:
Jawapan: keputusan bersama:
Kaedah variasi pemalar arbitrari untuk persamaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar
Saya sering mendengar pendapat bahawa kaedah mengubah pemalar arbitrari untuk persamaan tertib kedua bukanlah satu perkara yang mudah. Tetapi saya menganggap perkara berikut: kemungkinan besar, kaedah itu kelihatan sukar bagi ramai kerana ia tidak berlaku begitu kerap. Tetapi pada hakikatnya tidak ada kesulitan tertentu - perjalanan keputusan adalah jelas, telus dan boleh difahami. Dan cantik.
Untuk menguasai kaedah, adalah wajar untuk dapat menyelesaikan persamaan tertib kedua yang tidak homogen dengan memilih penyelesaian tertentu berdasarkan bentuk sebelah kanan. Kaedah ini dibincangkan secara terperinci dalam artikel DE pesanan ke-2 tidak homogen. Kami ingat bahawa persamaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar mempunyai bentuk:
Kaedah pemilihan, yang dibincangkan dalam pelajaran di atas, hanya berfungsi dalam bilangan kes yang terhad apabila bahagian kanan mengandungi polinomial, eksponen, sinus dan kosinus. Tetapi apa yang perlu dilakukan apabila di sebelah kanan, sebagai contoh, adalah pecahan, logaritma, tangen? Dalam keadaan sedemikian, kaedah variasi pemalar datang untuk menyelamatkan.
Contoh 4
Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib kedua 
Penyelesaian: Terdapat pecahan di sebelah kanan persamaan ini, jadi kita boleh segera mengatakan bahawa kaedah memilih penyelesaian tertentu tidak berfungsi. Kami menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari.
Tidak ada tanda-tanda ribut petir, permulaan penyelesaian adalah biasa:
Kami akan mencari keputusan bersama sesuai homogen persamaan:
Mari kita karang dan selesaikan persamaan ciri: 
– akar kompleks konjugasi diperoleh, jadi penyelesaian umum ialah:
Beri perhatian kepada rekod penyelesaian umum - jika terdapat kurungan, kemudian bukanya.
Sekarang kita melakukan helah yang hampir sama seperti untuk persamaan tertib pertama: kita mengubah pemalar, menggantikannya dengan fungsi yang tidak diketahui. Itu dia, penyelesaian umum tidak homogen kita akan mencari persamaan dalam bentuk:
di mana - untuk sekarang fungsi yang tidak diketahui.
Nampak seperti tapak pelupusan sampah buangan isi rumah, tetapi sekarang kami akan menyelesaikan semuanya.
Yang tidak diketahui ialah terbitan bagi fungsi. Matlamat kami adalah untuk mencari derivatif, dan derivatif yang ditemui mesti memenuhi kedua-dua persamaan pertama dan kedua sistem.
Dari mana datangnya "orang Yunani"? Bangau membawa mereka. Kami melihat penyelesaian umum yang diperoleh sebelum ini dan tulis:
Mari cari derivatif:
Bahagian kiri telah diuruskan. Apa yang ada di sebelah kanan?
- ini sebelah kanan persamaan asal, dalam kes ini:
Artikel ini membincangkan isu menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar. Teori tersebut akan dibincangkan bersama contoh masalah yang diberikan. Untuk mentafsir istilah yang tidak jelas, adalah perlu untuk merujuk kepada topik tentang definisi asas dan konsep teori persamaan pembezaan.
Mari kita pertimbangkan persamaan pembezaan linear (LDE) tertib kedua dengan pekali malar dalam bentuk y "" + p · y " + q · y = f (x), dengan p dan q ialah nombor arbitrari, dan fungsi sedia ada f (x) adalah selanjar pada selang pengamiran x.
Mari kita beralih kepada perumusan teorem untuk penyelesaian umum LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Teorem penyelesaian am untuk LDNU
Teorem 1Penyelesaian am, terletak pada selang x, bagi persamaan pembezaan tak homogen dalam bentuk y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) dengan pekali pengamiran selanjar pada selang x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) dan fungsi berterusan f (x) adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian am y 0, yang sepadan dengan LOD dan beberapa penyelesaian tertentu y ~, di mana persamaan tak homogen asal ialah y = y 0 + y ~.
Ini menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan tertib kedua tersebut mempunyai bentuk y = y 0 + y ~ . Algoritma untuk mencari y 0 dibincangkan dalam artikel mengenai persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar. Selepas itu kita harus meneruskan ke takrifan y ~.
Pilihan penyelesaian tertentu kepada LMDE bergantung pada jenis fungsi tersedia f (x) yang terletak di sebelah kanan persamaan. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan penyelesaian persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar.
Apabila f (x) dianggap sebagai polinomial bagi darjah ke-n f (x) = P n (x), ia berikutan bahawa penyelesaian tertentu LPDE ditemui menggunakan formula bentuk y ~ = Q n (x ) x γ, dengan Q n ( x) ialah polinomial darjah n, r ialah bilangan punca sifar bagi persamaan ciri. Nilai y ~ ialah penyelesaian tertentu y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , maka pekali tersedia yang ditakrifkan oleh polinomial
Q n (x), kita dapati menggunakan kaedah pekali tak tentu daripada kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Contoh 1
Kira menggunakan teorem Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Penyelesaian
Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk beralih kepada penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar y "" - 2 y " = x 2 + 1, yang akan memenuhi syarat yang diberikan y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Penyelesaian am bagi persamaan tak homogen linear ialah hasil tambah penyelesaian am, yang sepadan dengan persamaan y 0 atau penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen y ~, iaitu, y = y 0 + y ~.
Pertama, kita akan mencari penyelesaian umum untuk LNDU, dan kemudian yang tertentu.
Mari kita teruskan untuk mencari y 0. Menulis persamaan ciri akan membantu anda mencari punca. Kami dapat itu
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Kami mendapati bahawa akarnya berbeza dan nyata. Oleh itu, mari kita tulis
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Mari cari y ~ . Ia boleh dilihat bahawa bahagian kanan persamaan yang diberikan ialah polinomial darjah kedua, maka salah satu punca adalah sama dengan sifar. Daripada ini kita memperoleh bahawa penyelesaian tertentu untuk y ~ ialah
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, di mana nilai A, B, C mengambil pekali yang tidak ditentukan.
Mari cari mereka daripada kesamaan bentuk y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Kemudian kita mendapat bahawa:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Menyamakan pekali dengan eksponen yang sama bagi x, kita memperoleh sistem ungkapan linear - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Apabila menyelesaikan dengan mana-mana kaedah, kita akan mencari pekali dan tulis: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 dan y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Entri ini dipanggil penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear asal dengan pekali malar.
Untuk mencari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat y (0) = 2, y "(0) = 1 4, adalah perlu untuk menentukan nilai C 1 Dan C 2, berdasarkan kesamaan bentuk y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Kami mendapat bahawa:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Kami bekerja dengan sistem persamaan yang terhasil daripada bentuk C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, di mana C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Menggunakan teorem Cauchy, kita mempunyai itu
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Jawapan: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Apabila fungsi f (x) diwakili sebagai hasil darab polinomial dengan darjah n dan eksponen f (x) = P n (x) · e a x , maka kita memperoleh bahawa penyelesaian tertentu bagi LPDE tertib kedua akan menjadi persamaan bentuk y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, dengan Q n (x) ialah polinomial bagi darjah ke-n, dan r ialah bilangan punca persamaan ciri bersamaan dengan α.
Pekali kepunyaan Q n (x) ditemui oleh kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Contoh 2
Cari penyelesaian am kepada persamaan pembezaan dalam bentuk y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Penyelesaian
Persamaan Pandangan umum y = y 0 + y ~ . Persamaan yang ditunjukkan sepadan dengan LOD y "" - 2 y " = 0. Daripada contoh sebelumnya dapat dilihat bahawa puncanya adalah sama. k 1 = 0 dan k 2 = 2 dan y 0 = C 1 + C 2 e 2 x dengan persamaan ciri.
Ia boleh dilihat bahawa bahagian kanan persamaan ialah x 2 + 1 · e x . Dari sini LPDE ditemui melalui y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, di mana Q n (x) ialah polinomial darjah kedua, di mana α = 1 dan r = 0, kerana persamaan ciri tidak mempunyai akar sama dengan 1. Dari sini kita dapat itu
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C ialah pekali yang tidak diketahui yang boleh ditemui oleh kesamaan y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
faham
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Kami menyamakan penunjuk dengan pekali yang sama dan mendapatkan sistem persamaan linear. Dari sini kita dapati A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Jawapan: adalah jelas bahawa y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ialah penyelesaian tertentu bagi LNDDE, dan y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - penyelesaian umum untuk persamaan pembezaan tak homogen tertib kedua.
Apabila fungsi ditulis sebagai f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, dan A 1 Dan DALAM 1 adalah nombor, maka penyelesaian separa LPDE dianggap sebagai persamaan bentuk y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, di mana A dan B dianggap pekali tidak ditentukan, dan r ialah bilangan akar konjugat kompleks yang berkaitan dengan persamaan ciri, sama dengan ± i β . Dalam kes ini, pencarian pekali dijalankan menggunakan kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Contoh 3
Cari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan bentuk y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Penyelesaian
Sebelum menulis persamaan ciri, kita dapati y 0. Kemudian
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Kami mempunyai sepasang akar konjugat kompleks. Jom ubah dan dapatkan:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Punca-punca persamaan ciri dianggap sebagai pasangan konjugat ± 2 i, kemudian f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ini menunjukkan bahawa carian untuk y ~ akan dibuat daripada y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Tidak diketahui Kami akan mencari pekali A dan B daripada kesamaan bentuk y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Mari kita ubah:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Maka jelaslah bahawa
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Ia adalah perlu untuk menyamakan pekali sinus dan kosinus. Kami mendapat sistem borang:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Ia berikutan bahawa y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Jawapan: penyelesaian umum LDDE tertib kedua asal dengan pekali malar dipertimbangkan
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Apabila f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), maka y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Kami mempunyai bahawa r ialah bilangan pasangan konjugat kompleks akar yang berkaitan dengan persamaan ciri, sama dengan α ± i β, di mana P n (x), Q k (x), L m (x) dan Nm(x) ialah polinomial darjah n, k, m, m, di mana m = m a x (n, k). Mencari pekali Lm(x) Dan Nm(x) dibuat berdasarkan kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Contoh 4
Cari penyelesaian am y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Penyelesaian
Mengikut syarat jelas bahawa
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Maka m = m a x (n, k) = 1. Kami mencari y 0 dengan terlebih dahulu menulis persamaan ciri bentuk:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Kami mendapati bahawa akarnya adalah nyata dan berbeza. Oleh itu y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Seterusnya, adalah perlu untuk mencari penyelesaian umum berdasarkan persamaan tak homogen y ~ bentuk
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Adalah diketahui bahawa A, B, C adalah pekali, r = 0, kerana tidak ada pasangan punca konjugat yang berkaitan dengan persamaan ciri dengan α ± i β = 3 ± 5 · i. Kami mendapati pekali ini daripada kesamaan yang terhasil:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Mencari derivatif dan istilah serupa memberi
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Selepas menyamakan pekali, kami memperoleh sistem bentuk
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Dari segala-galanya ia mengikuti itu
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dosa (5 x))
Jawapan: Sekarang kita telah memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan linear yang diberikan:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algoritma untuk menyelesaikan LDNU
Definisi 1Sebarang jenis fungsi lain f (x) untuk penyelesaian memerlukan pematuhan dengan algoritma penyelesaian:
- mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen linear yang sepadan, dengan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, dengan y 1 Dan y 2 adalah penyelesaian separa bebas linear bagi LODE, C 1 Dan C 2 dianggap pemalar sewenang-wenangnya;
- menerima sebagai penyelesaian am LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- penentuan terbitan bagi suatu fungsi melalui sistem berbentuk C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , dan fungsi mencari C 1 (x) dan C 2 (x) melalui pengamiran.
Contoh 5
Cari penyelesaian am untuk y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Penyelesaian
Kami meneruskan menulis persamaan ciri, setelah menulis sebelumnya y 0, y "" + 36 y = 0. Mari kita tulis dan selesaikan:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Kami mempunyai bahawa penyelesaian umum persamaan yang diberikan akan ditulis sebagai y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Ia adalah perlu untuk beralih kepada definisi fungsi terbitan C 1 (x) Dan C2(x) mengikut sistem dengan persamaan:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2"(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Satu keputusan perlu dibuat berkenaan C 1" (x) Dan C 2" (x) menggunakan sebarang kaedah. Kemudian kami menulis:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Setiap persamaan mesti disepadukan. Kemudian kita tulis persamaan yang terhasil:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dosa (6 x) + C 4
Ia berikutan bahawa penyelesaian umum akan mempunyai bentuk:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dosa (6 x)
Jawapan: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
