Asas menyelesaikan persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua (LNDU-2) dengan pekali malar(PC)
LDDE tertib ke-2 dengan pekali malar $p$ dan $q$ mempunyai bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, dengan $f\left(x \right)$ ialah fungsi berterusan.
Berkenaan dengan LNDU 2 dengan PC, dua kenyataan berikut adalah benar.
Mari kita andaikan bahawa sesetengah fungsi $U$ ialah penyelesaian separa arbitrari bagi persamaan pembezaan tak homogen. Mari kita juga andaikan bahawa sesetengah fungsi $Y$ ialah penyelesaian am (GS) bagi persamaan pembezaan homogen linear sepadan (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Kemudian GR bagi LHDE-2 adalah sama dengan jumlah penyelesaian persendirian dan umum yang ditunjukkan, iaitu, $y=U+Y$.
Jika sebelah kanan LMDE tertib ke-2 ialah jumlah fungsi, iaitu, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \kanan)+ ..+f_(r) \kiri(x\kanan)$, maka mula-mula kita boleh mencari PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ yang sepadan kepada setiap fungsi $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, dan selepas itu tulis CR LNDU-2 dalam bentuk $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Penyelesaian LPDE pesanan ke-2 dengan PC
Jelas sekali bahawa jenis satu atau satu lagi PD $U$ bagi LNDU-2 tertentu bergantung pada bentuk khusus sebelah kanan $f\left(x\right)$. Kes paling mudah untuk mencari PD LNDU-2 dirumuskan dalam bentuk empat peraturan berikut.
Peraturan #1.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, iaitu dipanggil a polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dengan $Q_(n) \left(x\right)$ ialah satu lagi polinomial yang darjah yang sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan yang sama dengan sifar. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah pekali tak tentu (UK).
Peraturan No. 2.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, dengan $P_(n) \left( x\right)$ ialah polinomial darjah $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, di mana $Q_(n ) \ left(x\right)$ ialah polinomial lain yang sama darjah dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri bagi LODE-2 yang sepadan sama dengan $\alpha $. Pekali polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.
Peraturan No. 3.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, di mana $a$, $b$ dan $\beta$ berada nombor yang diketahui. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kanan )\cdot x^(r) $, dengan $A$ dan $B$ ialah pekali yang tidak diketahui, dan $r$ ialah bilangan punca persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $i\cdot \beta $. Pekali $A$ dan $B$ didapati menggunakan kaedah tidak musnah.
Peraturan No. 4.
Bahagian kanan LNDU-2 mempunyai bentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dengan $P_(n) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $ n$, dan $P_(m) \kiri(x\kanan)$ ialah polinomial darjah $m$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, di mana $Q_(s) \left(x\right)$ dan $ R_(s) \left(x\right)$ ialah polinomial darjah $s$, nombor $s$ ialah maksimum dua nombor $n$ dan $m$, dan $r$ ialah bilangan punca daripada persamaan ciri LODE-2 yang sepadan, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Pekali polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ didapati dengan kaedah NC.
Kaedah NK terdiri daripada menggunakan peraturan berikut. Untuk mencari pekali polinomial yang tidak diketahui yang merupakan sebahagian daripada penyelesaian separa bagi persamaan pembezaan tak homogen LNDU-2, adalah perlu:
- gantikan PD $U$, ditulis dalam bentuk am, ke dalam sebelah kiri LNDU-2;
- di sebelah kiri LNDU-2, lakukan penyederhanaan dan istilah kumpulan dengan kuasa yang sama $x$;
- dalam identiti yang terhasil, samakan pekali sebutan dengan kuasa yang sama $x$ sisi kiri dan kanan;
- menyelesaikan sistem persamaan linear yang terhasil untuk pekali yang tidak diketahui.
Contoh 1
Tugasan: cari ATAU LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\kiri(36\cdot x+12\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $. Cari juga PD , memenuhi syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.
Kami menulis LOD-2 yang sepadan: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Persamaan ciri: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Punca-punca persamaan ciri ialah: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini adalah sah dan berbeza. Oleh itu, OR bagi LODE-2 yang sepadan mempunyai bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Bahagian kanan LNDU-2 ini mempunyai bentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Adalah perlu untuk mempertimbangkan pekali bagi eksponen $\alpha =3$. Pekali ini tidak bertepatan dengan mana-mana punca persamaan ciri. Oleh itu, PD LNDU-2 ini mempunyai bentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Kami akan mencari pekali $A$, $B$ menggunakan kaedah NC.
Kami mendapati terbitan pertama Republik Czech:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami mendapati terbitan kedua Republik Czech:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot \kiri(e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\kiri(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami menggantikan fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ bukannya $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam NLDE-2 $y""-3\cdot y" yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Selain itu, kerana eksponen $e^(3\cdot x) $ disertakan sebagai faktor dalam semua komponen, maka ia boleh ditinggalkan.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Kami melakukan tindakan di sebelah kiri kesamaan yang terhasil:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Kami menggunakan kaedah NDT. Kami memperoleh sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Penyelesaian kepada sistem ini ialah: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk masalah kita kelihatan seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
OR $y=Y+U$ untuk masalah kami kelihatan seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Untuk mencari PD yang memenuhi syarat awal yang diberikan, kita dapati derivatif $y"$ OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Kami menggantikan kepada $y$ dan $y"$ syarat awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Kami menerima sistem persamaan:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Jom selesaikan. Kami dapati $C_(1) $ menggunakan formula Cramer, dan $C_(2) $ kami tentukan daripada persamaan pertama:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mula(tatasusunan)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \tamat(tatasusunan)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Oleh itu, PD bagi persamaan pembezaan ini mempunyai bentuk: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.
Artikel ini membincangkan isu menyelesaikan persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar. Teori tersebut akan dibincangkan bersama contoh masalah yang diberikan. Untuk mentafsir istilah yang tidak jelas, adalah perlu merujuk kepada topik tentang definisi asas dan konsep teori persamaan pembezaan.
Mari kita pertimbangkan persamaan pembezaan linear (LDE) tertib kedua dengan pekali malar dalam bentuk y "" + p · y " + q · y = f (x), dengan p dan q ialah nombor arbitrari, dan fungsi sedia ada f (x) adalah selanjar pada selang pengamiran x.
Mari kita beralih kepada perumusan teorem penyelesaian umum LNDU.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Teorem penyelesaian am untuk LDNU
Teorem 1Penyelesaian am, terletak pada selang x, bagi persamaan pembezaan tak homogen dalam bentuk y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) dengan pekali pengamiran selanjar pada selang x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) dan fungsi selanjar f (x) adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian am y 0, yang sepadan dengan LOD dan beberapa penyelesaian tertentu y ~, di mana persamaan tak homogen asal ialah y = y 0 + y ~.
Ini menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan tertib kedua tersebut mempunyai bentuk y = y 0 + y ~ . Algoritma untuk mencari y 0 dibincangkan dalam artikel mengenai persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar. Selepas itu kita harus meneruskan ke takrifan y ~.
Pilihan penyelesaian tertentu kepada LPDE bergantung pada jenis fungsi tersedia f (x) yang terletak di sebelah kanan persamaan. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan penyelesaian persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar.
Apabila f (x) dianggap sebagai polinomial bagi darjah ke-n f (x) = P n (x), ia berikutan bahawa penyelesaian tertentu LPDE ditemui menggunakan formula bentuk y ~ = Q n (x ) x γ, dengan Q n ( x) ialah polinomial darjah n, r ialah bilangan punca sifar bagi persamaan ciri. Nilai y ~ ialah penyelesaian tertentu y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , maka pekali tersedia yang ditakrifkan oleh polinomial
Q n (x), kita dapati menggunakan kaedah pekali tak tentu daripada kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Contoh 1
Kira menggunakan teorem Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Penyelesaian
Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk beralih kepada penyelesaian tertentu persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar y "" - 2 y " = x 2 + 1, yang akan memenuhi syarat yang diberikan y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Penyelesaian umum linear persamaan tak homogen ialah hasil tambah penyelesaian am yang sepadan dengan persamaan y 0 atau penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen y ~, iaitu y = y 0 + y ~.
Pertama, kita akan mencari penyelesaian umum untuk LNDU, dan kemudian yang tertentu.
Mari kita teruskan untuk mencari y 0. Menulis persamaan ciri akan membantu anda mencari punca. Kami dapat itu
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Kami mendapati bahawa akarnya berbeza dan nyata. Oleh itu, mari kita tulis
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Mari cari y ~ . Ia boleh dilihat bahawa bahagian kanan persamaan yang diberikan ialah polinomial darjah kedua, maka salah satu punca adalah sama dengan sifar. Daripada ini kita memperoleh bahawa penyelesaian tertentu untuk y ~ ialah
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, di mana nilai A, B, C mengambil pekali yang tidak ditentukan.
Mari cari mereka daripada kesamaan bentuk y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Kemudian kita mendapat bahawa:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Menyamakan pekali dengan eksponen yang sama bagi x, kita memperoleh sistem ungkapan linear - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Apabila menyelesaikan dengan mana-mana kaedah, kita akan mencari pekali dan tulis: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 dan y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Entri ini dipanggil penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear asal dengan pekali malar.
Untuk mencari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat y (0) = 2, y "(0) = 1 4, adalah perlu untuk menentukan nilai C 1 Dan C 2, berdasarkan kesamaan bentuk y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Kami mendapat bahawa:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Kami bekerja dengan sistem persamaan yang terhasil daripada bentuk C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, di mana C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Menggunakan teorem Cauchy, kita mempunyai itu
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Jawapan: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Apabila fungsi f (x) diwakili sebagai hasil darab polinomial dengan darjah n dan eksponen f (x) = P n (x) · e a x , maka kita memperoleh bahawa penyelesaian tertentu bagi LPDE tertib kedua akan menjadi persamaan bentuk y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, dengan Q n (x) ialah polinomial bagi darjah ke-n, dan r ialah bilangan punca persamaan ciri bersamaan dengan α.
Pekali kepunyaan Q n (x) ditemui oleh kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Contoh 2
Cari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan dalam bentuk y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Penyelesaian
Persamaan Pandangan umum y = y 0 + y ~ . Persamaan yang ditunjukkan sepadan dengan LOD y "" - 2 y " = 0. Daripada contoh sebelumnya dapat dilihat bahawa puncanya adalah sama. k 1 = 0 dan k 2 = 2 dan y 0 = C 1 + C 2 e 2 x dengan persamaan ciri.
Ia boleh dilihat bahawa bahagian kanan persamaan ialah x 2 + 1 · e x . Dari sini LPDE ditemui melalui y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, di mana Q n (x) ialah polinomial darjah kedua, di mana α = 1 dan r = 0, kerana persamaan ciri tidak mempunyai akar sama dengan 1. Dari sini kita dapat itu
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C ialah pekali yang tidak diketahui yang boleh ditemui oleh kesamaan y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
faham
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Kami menyamakan penunjuk dengan pekali yang sama dan mendapatkan sistem persamaan linear. Dari sini kita dapati A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Jawapan: adalah jelas bahawa y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ialah penyelesaian tertentu bagi LNDDE, dan y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - penyelesaian umum untuk persamaan pembezaan tak homogen tertib kedua.
Apabila fungsi ditulis sebagai f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, dan A 1 Dan DALAM 1 ialah nombor, maka penyelesaian separa LPDE dianggap sebagai persamaan bentuk y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , di mana A dan B dianggap pekali tidak pasti, dan r ialah bilangan punca konjugat kompleks yang berkaitan dengan persamaan ciri, sama dengan ± i β . Dalam kes ini, pencarian pekali dijalankan menggunakan kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Contoh 3
Cari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan bentuk y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Penyelesaian
Sebelum menulis persamaan ciri, kita dapati y 0. Kemudian
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Kami mempunyai sepasang akar konjugat kompleks. Jom ubah dan dapatkan:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Punca-punca persamaan ciri dianggap sebagai pasangan konjugat ± 2 i, kemudian f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ini menunjukkan bahawa carian untuk y ~ akan dibuat daripada y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Tidak diketahui Kami akan mencari pekali A dan B daripada kesamaan bentuk y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Mari kita ubah:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Maka jelaslah bahawa
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Ia adalah perlu untuk menyamakan pekali sinus dan kosinus. Kami mendapat sistem borang:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Ia berikutan bahawa y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Jawapan: penyelesaian umum LDDE tertib kedua asal dengan pekali malar dipertimbangkan
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Apabila f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), maka y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Kami mempunyai bahawa r ialah bilangan pasangan konjugat kompleks akar yang berkaitan dengan persamaan ciri, sama dengan α ± i β, di mana P n (x), Q k (x), L m (x) dan Nm(x) ialah polinomial darjah n, k, m, m, di mana m = m a x (n, k). Mencari pekali Lm(x) Dan Nm(x) dibuat berdasarkan kesamaan y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Contoh 4
Cari penyelesaian am y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Penyelesaian
Mengikut syarat itu jelas bahawa
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Maka m = m a x (n, k) = 1. Kami mencari y 0 dengan menulis terlebih dahulu persamaan ciri jenis:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Kami mendapati bahawa akarnya adalah nyata dan berbeza. Oleh itu y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Seterusnya, adalah perlu untuk mencari penyelesaian umum berdasarkan persamaan tak homogen y ~ bentuk
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Adalah diketahui bahawa A, B, C adalah pekali, r = 0, kerana tidak ada pasangan punca konjugat yang berkaitan dengan persamaan ciri dengan α ± i β = 3 ± 5 · i. Kami mendapati pekali ini daripada kesamaan yang terhasil:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Mencari derivatif dan istilah serupa memberi
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Selepas menyamakan pekali, kami memperoleh sistem bentuk
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Dari segala-galanya ia mengikuti itu
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) dosa (5 x))
Jawapan: Sekarang kita telah memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan linear yang diberikan:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algoritma untuk menyelesaikan LDNU
Definisi 1Sebarang jenis fungsi lain f (x) untuk penyelesaian memerlukan pematuhan dengan algoritma penyelesaian:
- mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen linear yang sepadan, dengan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, dengan y 1 Dan y 2 adalah penyelesaian separa bebas linear bagi LODE, C 1 Dan C 2 dianggap pemalar sewenang-wenangnya;
- penerimaan sebagai penyelesaian umum LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- penentuan terbitan bagi suatu fungsi melalui sistem berbentuk C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , dan fungsi mencari C 1 (x) dan C 2 (x) melalui pengamiran.
Contoh 5
Cari penyelesaian am untuk y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Penyelesaian
Kami meneruskan menulis persamaan ciri, setelah menulis sebelumnya y 0, y "" + 36 y = 0. Mari kita tulis dan selesaikan:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Kami mempunyai bahawa penyelesaian umum persamaan yang diberikan akan ditulis sebagai y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Ia adalah perlu untuk beralih kepada definisi fungsi terbitan C 1 (x) Dan C2(x) mengikut sistem dengan persamaan:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2"(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Satu keputusan perlu dibuat berkenaan C 1" (x) Dan C 2" (x) menggunakan sebarang kaedah. Kemudian kami menulis:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Setiap persamaan mesti disepadukan. Kemudian kita tulis persamaan yang terhasil:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x dosa (6 x) + C 4
Ia berikutan bahawa penyelesaian umum akan mempunyai bentuk:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 dosa (6 x)
Jawapan: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Kita telah melihat bahawa, dalam kes di mana penyelesaian umum persamaan homogen linear diketahui, adalah mungkin untuk mencari penyelesaian umum persamaan tidak homogen menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari. Walau bagaimanapun, persoalan bagaimana untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan homogen tetap terbuka. Dalam kes khas apabila dalam persamaan pembezaan linear (3) semua pekali p i(X)= a i - pemalar, ia boleh diselesaikan dengan agak mudah, walaupun tanpa penyepaduan.
Pertimbangkan persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar, iaitu persamaan bentuk
y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
di mana dan saya- pemalar (i= 1, 2, ...,n).
Seperti yang diketahui, untuk persamaan homogen linear tertib pertama penyelesaian adalah fungsi bentuk e kx. Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan (14) dalam bentuk j (X) = e kx.
Mari kita gantikan fungsi itu ke dalam persamaan (14) j (X) dan terbitan tertibnya m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Kita mendapatkan
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Tetapi e k x ¹ 0 untuk mana-mana X, sebab tu
k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)
Persamaan (15) dipanggil persamaan ciri, polinomial di sebelah kiri- polinomial ciri , akarnya- akar ciri persamaan pembezaan (14).
Kesimpulan:
fungsij (X) = e kx - penyelesaian kepada persamaan homogen linear (14) jika dan hanya jika nombor itu k - punca persamaan ciri (15).
Oleh itu, proses menyelesaikan persamaan homogen linear (14) dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra (15).
Pelbagai kes akar ciri adalah mungkin.
1.Semua punca persamaan ciri adalah nyata dan berbeza.
Dalam kes ini n akar ciri yang berbeza k 1 ,k 2 ,..., k n sepadan n penyelesaian persamaan homogen yang berbeza (14)
Ia boleh ditunjukkan bahawa penyelesaian ini adalah bebas secara linear dan oleh itu terbentuk sistem asas keputusan. Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan ialah fungsi
di mana DENGAN 1 , C 2 , ..., C n - pemalar sewenang-wenangnya.
Contoh 7. Cari penyelesaian umum bagi persamaan homogen linear:
A) di¢ ¢ (X) - 6di¢ (X) + 8di(X) = 0,b) di¢ ¢ ¢ (X) + 2di¢ ¢ (X) - 3di¢ (X) = 0.
Penyelesaian. Mari kita cipta persamaan ciri. Untuk melakukan ini, kami menggantikan derivatif pesanan m fungsi y(x) pada tahap yang sesuai
k(di (m) (x) « k m),
manakala fungsi itu sendiri di(X) kerana derivatif tertib sifar digantikan dengan k 0 = 1.
Dalam kes (a) persamaan ciri mempunyai bentuk k 2 - 6k + 8 = 0. Akar-akar ini persamaan kuadratik k 1 = 2,k 2 = 4. Oleh kerana mereka adalah nyata dan berbeza, penyelesaian umum mempunyai bentuk j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.
Bagi kes (b), persamaan ciri ialah persamaan darjah ke-3 k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Mari kita cari punca-punca persamaan ini:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Akar ciri ini sepadan dengan sistem asas penyelesaian persamaan pembezaan:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Penyelesaian umum, mengikut formula (9), ialah fungsi
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Semua punca persamaan ciri adalah berbeza, tetapi sebahagian daripadanya adalah kompleks.
Semua pekali persamaan pembezaan (14), dan oleh itu persamaan cirinya (15)- nombor nyata, bermakna jika c antara punca ciri terdapat punca kompleks k 1 = a + ib, iaitu akar konjugatnya k 2 = ` k 1 = a- ib.Kepada akar pertama k 1 sepadan dengan penyelesaian persamaan pembezaan (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(kami menggunakan formula Euler e i x = cosx + isinx). Begitu juga akar k 2 = a- ib sepadan dengan penyelesaian
j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e ax(cosbx - isinbx).
Penyelesaian ini adalah menyeluruh. Untuk mendapatkan penyelesaian sebenar daripada mereka, kami menggunakan sifat penyelesaian kepada persamaan homogen linear (lihat 13.2). Fungsi
ialah penyelesaian nyata bagi persamaan (14). Selain itu, penyelesaian ini bebas secara linear. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan berikut.
Peraturan 1.Sepasang akar kompleks konjugat a± ib persamaan ciri dalam FSR bagi persamaan homogen linear (14) sepadan dengan dua penyelesaian separa nyataDan .
Contoh 8. Cari penyelesaian umum bagi persamaan:
A) di¢ ¢ (X) - 2di ¢ (X) + 5di(X) = 0 ;b) di¢ ¢ ¢ (X) - di¢ ¢ (X) + 4di ¢ (X) - 4di(X) = 0.
Penyelesaian. Dalam kes persamaan (a), punca-punca persamaan ciri k 2 - 2k + 5 = 0 ialah dua nombor kompleks konjugasi
k 1, 2 = .
Akibatnya, mengikut peraturan 1, ia sepadan dengan dua penyelesaian bebas linear nyata: dan , dan penyelesaian umum persamaan ialah fungsi
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x dosa 2x.
Dalam kes (b), untuk mencari punca-punca persamaan ciri k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, kami memfaktorkan bahagian kirinya:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Oleh itu, kita mempunyai tiga akar ciri: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 sepadan dengan penyelesaian , dan sepasang akar kompleks konjugat k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- dua penyelesaian yang sah: dan . Kami menyusun penyelesaian umum kepada persamaan:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 dosa 2x.
III . Antara punca persamaan ciri terdapat gandaan.
biarlah k 1 - punca sebenar kepelbagaian m persamaan ciri (15), iaitu antara punca ada m akar yang sama. Setiap daripada mereka sepadan dengan penyelesaian yang sama kepada persamaan pembezaan (14) Walau bagaimanapun, sertakan m Tiada penyelesaian yang sama dalam FSR, kerana ia membentuk sistem fungsi yang bergantung secara linear.
Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam kes punca berbilang k 1 penyelesaian kepada persamaan (14), sebagai tambahan kepada fungsi, ialah fungsi
Fungsi adalah bebas linear pada keseluruhan paksi berangka, kerana , iaitu, ia boleh dimasukkan ke dalam FSR.
Peraturan 2. Akar ciri sebenar k 1 kepelbagaian m dalam FSR sepadan m penyelesaian:
Jika k 1 - kepelbagaian akar yang kompleks m persamaan ciri (15), maka terdapat punca konjugat k 1 kepelbagaian m. Dengan analogi kita memperoleh peraturan berikut.
Peraturan 3. Sepasang akar kompleks konjugat a± ib dalam FSR sepadan dengan penyelesaian bebas linear 2mreal:
, , ..., ,
, , ..., .
Contoh 9. Cari penyelesaian umum bagi persamaan:
A) di¢ ¢ ¢ (X) + 3di¢ ¢ (X) + 3di¢ (X)+ y ( X)= 0;b) pada IV(X) + 6di¢ ¢ (X) + 9di(X) = 0.
Penyelesaian. Dalam kes (a) persamaan ciri mempunyai bentuk
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
i.e. k =- 1 - punca gandaan 3. Berdasarkan peraturan 2, kita tuliskan penyelesaian umum:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
Persamaan ciri dalam kes (b) ialah persamaan
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
atau sebaliknya,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.
Kami mempunyai sepasang akar kompleks konjugat, setiap satunya mempunyai kepelbagaian 2. Menurut peraturan 3, penyelesaian umum ditulis sebagai
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.
Daripada perkara di atas, ia mengikuti bahawa untuk mana-mana persamaan homogen linear dengan pekali malar adalah mungkin untuk mencari sistem asas penyelesaian dan menyusun penyelesaian umum. Akibatnya, penyelesaian persamaan tak homogen yang sepadan untuk sebarang fungsi berterusan f(x) di sebelah kanan boleh didapati menggunakan kaedah variasi pemalar arbitrari (lihat bahagian 5.3).
Contoh 10. Dengan menggunakan kaedah variasi, cari penyelesaian umum bagi persamaan tak homogen di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = xe 2x .
Penyelesaian. Mula-mula kita mencari penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = 0. Punca-punca persamaan ciri k 2 - k- 6 = 0 ialah k 1 = 3,k 2 = - 2, a penyelesaian umum persamaan homogen - fungsi ` di ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan tidak homogen dalam bentuk
di( X) = DENGAN 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Mari cari penentu Wronski
W[e 3X , e 2X ] = .
Mari kita susun satu sistem persamaan (12) untuk terbitan bagi fungsi yang tidak diketahui DENGAN ¢ 1 (X) Dan DENGAN¢ 2 (X):
Menyelesaikan sistem menggunakan formula Cramer, kami memperoleh
Mengintegrasikan, kami dapati DENGAN 1 (X) Dan DENGAN 2 (X):
Menggantikan fungsi DENGAN 1 (X) Dan DENGAN 2 (X) menjadi kesamaan (*), kita memperoleh penyelesaian umum kepada persamaan di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = xe 2x :
Dalam kes apabila sebelah kanan persamaan tak homogen linear dengan pekali malar mempunyai bentuk khas, penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen boleh didapati tanpa menggunakan kaedah mengubah pemalar arbitrari.
Pertimbangkan persamaan dengan pekali malar
y (n) + 1 tahun (n– 1) +...a n – 1y " + a n y = f (x), (16)
f( x) = ekapak(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
di mana Pn(x) Dan R m(x) - polinomial darjah n Dan m masing-masing.
Penyelesaian peribadi y*(X) bagi persamaan (16) ditentukan oleh formula
di* (X) = xse kapak(Encik(x)cosbx + No(x)sinbx), (18)
di mana Encik(x) Dan No(x) - polinomial darjah r = maks(n, m) dengan pekali yang tidak pasti , A s sama dengan gandaan punca k 0 = a + ib polinomial ciri persamaan (16), dan kami andaikan s = 0 jika k 0 bukan akar ciri.
Untuk mengarang penyelesaian tertentu menggunakan formula (18), anda perlu mencari empat parameter - a, b, r Dan s. Tiga yang pertama ditentukan dari sebelah kanan persamaan, dan r- ini sebenarnya darjah tertinggi x, terdapat di sebelah kanan. Parameter s didapati daripada perbandingan nombor k 0 = a + ib Dan set semua (dengan mengambil kira pendaraban) punca ciri persamaan (16), yang ditemui dengan menyelesaikan persamaan homogen yang sepadan.
Mari kita pertimbangkan kes khas bentuk fungsi (17):
1) pada a ¹ 0, b= 0f(x)= e ax P n(x);
2) bila a= 0, b ¹ 0f(x)= Pn(x) Denganosbx + R m(x)sinbx;
3) bila a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Catatan 1. Jika P n (x) º 0 atau Rm(x)º 0, maka sebelah kanan persamaan f(x) = e ax P n (x)с osbx atau f(x) = e ax R m (x)sinbx, iaitu mengandungi hanya satu fungsi - kosinus atau sinus. Tetapi dalam rakaman penyelesaian tertentu, kedua-duanya mesti ada, kerana, mengikut formula (18), setiap satunya didarab dengan polinomial dengan pekali tidak ditentukan darjah yang sama r = max(n, m).
Contoh 11. Tentukan jenis penyelesaian separa kepada persamaan homogen linear tertib ke-4 dengan pekali malar jika bahagian kanan persamaan diketahui f(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)dosa 3x) dan punca-punca persamaan ciri:
A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Penyelesaian. Di sebelah kanan kita dapati bahawa dalam penyelesaian tertentu di*(X), yang ditentukan oleh formula (18), parameter: a= 1, b= 3, r = 2. Mereka kekal sama untuk ketiga-tiga kes, maka bilangannya k 0 yang menentukan parameter terakhir s formula (18) adalah sama dengan k 0 = 1+ 3i. Dalam kes (a) tiada nombor di antara punca ciri k 0 = 1 + 3saya, Bermaksud, s= 0, dan penyelesaian tertentu mempunyai bentuk
y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)dosa 3x) =
= ex( (Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dosa 3x.
Dalam kes (b) nombor itu k 0 = 1 + 3i berlaku sekali antara akar ciri, yang bermaksud s = 1 Dan
y*(X) = x e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dosa 3x.
Untuk kes (c) kita ada s = 2 dan
y*(X) = x 2 e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)dosa 3x.
Dalam contoh 11, penyelesaian tertentu mengandungi dua polinomial darjah 2 dengan pekali tidak ditentukan. Untuk mencari penyelesaian, anda perlu menentukan nilai berangka pekali ini. Mari kita rumuskan peraturan am.
Untuk menentukan pekali polinomial yang tidak diketahui Encik(x) Dan No(x) kesamaan (17) dibezakan bilangan kali yang diperlukan, dan fungsi digantikan y*(X) dan derivatifnya ke dalam persamaan (16). Membandingkan sisi kiri dan kanannya, kami mendapat sistem persamaan algebra untuk mencari pekali.
Contoh 12. Cari penyelesaian kepada persamaan di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = xe 2x, setelah menentukan penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen dengan bentuk sisi kanan.
Penyelesaian. Penyelesaian umum persamaan tak homogen mempunyai bentuk
di( X) = ` di(X)+ y*(X),
di mana ` di ( X) - penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan, dan y*(X) - penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.
Mula-mula kita selesaikan persamaan homogen di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = 0. Persamaan cirinya k 2 - k- 6 = 0 mempunyai dua akar k 1 = 3,k 2 = - 2, oleh itu, ` di ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Mari kita gunakan formula (18) untuk menentukan jenis penyelesaian tertentu di*(X). Fungsi f(x) = xe 2x mewakili kes istimewa(a) formula (17), manakala a = 2,b = 0 Dan r = 1, i.e. k 0 = 2 + 0i = 2. Membandingkan dengan akar ciri, kami menyimpulkan bahawa s = 0. Menggantikan nilai semua parameter ke dalam formula (18), kita ada y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Untuk mencari nilai A Dan DALAM, mari kita cari terbitan tertib pertama dan kedua bagi fungsi tersebut y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Selepas penggantian fungsi y*(X) dan derivatifnya ke dalam persamaan yang kita ada
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X = xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Oleh itu, penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen mempunyai bentuk
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
dan penyelesaian umum - di ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Nota 2.Dalam kes apabila masalah Cauchy ditimbulkan untuk persamaan tidak homogen, seseorang mesti terlebih dahulu mencari penyelesaian umum kepada persamaan itu
di( X) = ,
setelah menentukan semua nilai berangka bagi pekali dalam di*(X). Kemudian gunakan syarat awal dan, menggantikannya ke dalam penyelesaian umum (dan bukan ke dalam y*(X)), cari nilai pemalar C i.
Contoh 13. Cari penyelesaian kepada masalah Cauchy:
di¢ ¢ (X) - di¢ (X) - 6di(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Penyelesaian. Penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah
di(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
ditemui dalam Contoh 12. Untuk mencari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal masalah Cauchy ini, kita memperoleh sistem persamaan
Menyelesaikannya, kita ada C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Oleh itu, penyelesaian kepada masalah Cauchy ialah fungsi
di(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Nota 3(prinsip superposisi). Jika dalam persamaan linear Ln[y(x)]= f(x), Di mana f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) Dan y* 1 (x) - penyelesaian kepada persamaan Ln[y(x)]= f 1 (x), A y* 2 (x) - penyelesaian kepada persamaan Ln[y(x)]= f 2 (x), kemudian fungsi y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) ialah menyelesaikan persamaan Ln[y(x)]= f(x).
Contoh 14. Nyatakan jenis penyelesaian am kepada persamaan linear
di¢ ¢ (X) + 4di(X) = x + sinx.
Penyelesaian. Penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan
` di(x) = C 1 cos 2x + C 2 dosa 2x,
sejak persamaan ciri k 2 + 4 = 0 mempunyai akar k 1, 2 = ± 2i.Sebelah kanan persamaan tidak sepadan dengan formula (17), tetapi jika kita memperkenalkan tatatanda f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx dan menggunakan prinsip superposisi , maka penyelesaian tertentu kepada persamaan tak homogen boleh didapati dalam bentuk y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Di mana y* 1 (x) - penyelesaian kepada persamaan di¢ ¢ (X) + 4di(X) = x, A y* 2 (x) - penyelesaian kepada persamaan di¢ ¢ (X) + 4di(X) = sinx. Mengikut formula (18)
y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.
Kemudian penyelesaian tertentu
y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,
oleh itu, penyelesaian am mempunyai bentuk
di(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
Contoh 15. Litar elektrik terdiri daripada sumber arus yang disambung secara bersiri dengan emf e(t) = E dosaw t, induktansi L dan bekas DENGAN, dan
